（应用数学专业论文）一类椭圆型方程解的多重性.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 研究一类带有边值问题的偏微分方程广义解的多重性，是微分方程理论研究领域 的核心，也是这一领域研究内容的重点课题之一 利用拓扑度理论和交分方法、临界点原理等工具研究偏微分方程边值问题的可解 性和解的多重性具有深刻的物理和力学等背景。解决这类问题不仅需要古典的空间拓 扑和几何等方面的性质，同时这类问题的解决又带动了非线性分析中许多新工具的产 生和发展，而且也展示了一个多学科相互交融的研究领域经过大量数学家的努力，这 一领域的理论已构成偏微分方程的一类典型的处理方法本文主要利用这些方法，在前 人的基础上研究了一类偏微分方程边值问题的可解性和解的多重性 本文安排如下： 1 在第一章中主要介绍与本论文相关的一些重要的定义和符号，以及前入利用拓扑 度理论、变分方法、山路引理、临界点原理。等工具研究波动方程、椭圆方程所取得的 成果 2 在第二章和第三章中主要考察一类四阶半线性椭圆方程 + c a u = 6 l f ( + 1 ) 十一1 】+ b 2 u - 在q 中 牡= 0 a u = o在勰上 我们主要讨论了吼，6 2 ) 在六个不同的区域时，狄立克莱边界问题解的存在性和多重性首 先介绍了由算子2 + c 的特征函数张成的s o b o l e v 空间及其性质；其次把椭圆方程的相 伴泛函g 求出后，证明了泛函满足( p 研条件；最后我们研究了椭圆方程在吼，6 2 ) 属于六个 不同区域上解存在性和多重性 关键词：特征值；变分方法；多重性：山路引理 一类椭圆型方程解的多重性 m u l t i p l i c i t ys o l u t i o n sf o r ae l l i p t i ce q u a t i o n a b s t r a c t i ti sac o r eo ft h el h e o r yo fr e s e a r c hf i e l do fd i f f 删t i a le q u a t i o nt os t u d ym u l t i p l i c i t y r e s u l t sf o rd i f f e r e n t i a ld i i l a t m su n d e rb o u n d a r yc o n d i t i o n a l s o , i ti so n eo ft h ek e ys u b j e c t s o ft h er e s e a r c hc o n t e n t so fl l 】i sf i e l d i th a sb a c k g r o u n d so fd e e pp h y s i c sa n dm e c h a n i c st ou t i l i z et h et h e o r i e so ft o p o l o g i c a l d e g r e e ，v a r i a t i o n a lr e d u c t i o nm e t h o da n dc r i t i c a l 脚p r i n c i p l et oi n v e s t i g a t es o l v a b i l i t ya n d m u l t i p l i c i t yr e s u l t so fd i f f e r e n t i a l 既l u m i o mu n d e rb o u n d a r yc o n d i t i o n s o l v i n gt h ep r o b l e m n e 2 , d gt o p o l o g i c a la n dg e o m e t r i c a lp r o p e r t i e so fc l a s s i c a ls p a c e a tt h es a 雌t i m e t h es e t - t l e m e n to ft h ep r o b l e md r i v e sal o to fn 哪p r o d u c t i o na n dd e v e l o p m e n to ft o o li nn o n l i n e a r a n a l y s i s ，a n dh a ss h o w nam u l t i - d i s c i p l i n a r yr e s e a r c hf i e l dt h a tb l e n d se a c ho t h e r t h r o u g h al a r g en u m b e ro fm a t h e m a t i c i a n s e f f o r t s t h et h e o r yo ft h i sf l d dh a sa l r e a d yf o r m e dak i n d o ft y p i c a lt r e a u n e n tm e t h o df o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i st e x tu 碰z 船t h e s em e t h o d s m a i n l y , s m a ys o l v a h i l i t yo f 曲峙s ，酬d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n so n t h eb a s i so f f o r e f a t h e r s 1 t h ef i r s tc h a p m i n n o d u e e ss e v e r a ls y m b o l s ，d e f i n i t i o n sa n ds o m er e s u l t sa b o u te u i l , t i c a a 矗o n ，w h i c hh a v eb e e no b t a i n e db yu s i n gt h et h e o r i e so ft o p o l o g i c a ld e g r e e ，v a r i a - t i o n a lr e d u c t i o nm e t h o d , m o o n t a i np a s st h e o n 粗a n dc r i t i c a lp o i n tp r i n c i p l e 2 i nt h es e c o n da n dt h i r dc h a p t e r , w em a i n l yi n v e s t i g a t eaf o u r t ho r d e r 齄m i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o nu n d e r d i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u e a 2 让+ c a u = b l 【m + 1 ) + 一1 1 + b 2 钍- 在q 中 u = 0 ，a u = 0在舰上 w e m a i n l y i n v e s t i g a t e t h es o l u t i o n s o f t h e e q u a t i o n i n d i f f e r e n t s i x r e g i o n s o f ( h ，6 2 ) w h e n 入1 c 屯h r s t l y , w ei n t r o d u c et h es o b o l e vs p a c es p a n n e x tb yt h ee i g e n f u n c t i o n so f o p e r a t o r a 2 + c s e c o n d l y w e p r o v e t h e a s s o c i a t e d f u n c t i o n a l g s a t i s f i e s ( p s ) c o n d i t i o n ； f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t et h em u l t i p l i c i t ys o l u t i o n sf o r t h ee q u a t i o ni ns i xr e g i o n so f ( b l ，k ) ； 大连理工大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：c i g e n v a l u e ；v a r i a t i o n a lr e d u c l i o nm e 自h o d ；m u l t i p l i c i t y ；m o u n t a i np a s sf l l e o r c m m 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研 究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：趣圣i i l 日期：凌：f ! ：；d 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 学位论文 皿年6 月且目 盟且 直红 鹤 戤 惜 新 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 引言 偏微分方程解的存在性及多重性是当代科学中比较重要的领域，是偏微分方程理 论的重要组成部分。作为其中的分支，非线性波动方程、桥梁模型方程解的多重性， 不仅具有重要的理论价值，而且对力学，物理，工科等各专业都有重要的实际意义。 像桥梁，大坝等一些工程都能建立波动方程，桥梁模型方程的数学模型。研究非线性 波动方程和桥梁方程解的多重性对这些实际问题提供了必要的理论支持，保证了工程 的顺利进行。 微分方程中的变分方法就是把微分方程边值问题化为交分问题以证明解的存在， 解的个数及求近似解的方法。具体的来说，在自然科学和工程技术中出现的许多闯 题，常要研究这样一种抽象的函数一泛函，其值域是实数域，而定义域由某种函数所 构成。研究泛函的极值问题，是变分法的基本问题。变分法是数学分析的一个分支， 是微分学中处理函数极值方法的扩展，但由于泛函定义域中的函数起着独立变量的作 用，在处理极值问题时，适合泛函极值条件的变元不是单个或有限多个数值变量，而 是整个变动的曲线或函数。甚至是一组函数，因而它涉及的问题更深入和广泛。 古希腊入提出所谓等周问题，即在长度一定的所有封闭曲线中，找出含有最大面 积的一条封闭曲线，这就是一个变分问题。人们很早就知道，这条曲线是一个圆， 但这个事实直到十八由欧拉( e u l e r ) 和拉格朗日( l a g r a n g e ) 确立了变分法后，才得到令 人满意的证明。1 6 9 6 年约翰伯努力o o h a n nb e r n o u l l i ) 向他的长兄雅可布f 自努力o a k o b b e r n o u l l i ) 和其他数学家们挑战性地提出了捷线( 最速降线) 问题，这是变分法发展 的一个标志。这个闽题引起了当时数学家们极大的兴趣，如牛顿( n e w t o n ) 、莱布尼 兹( l e i b n i z ) 、洛必达口h o s p f i a l ) 都获得了一些结果，只有受到自己弟弟嘲笑为无能的雅 可布得到的结果与众不同，在他那“很不优美”的解答中，却看到了其他人所没有看 到的事实一一从无穷多条曲线中，选出一条满足极值条件的曲线。实质上，这个问题 是一类新问题，这个问题的解决，需要新的方法。在一系列的研究中，欧拉和拉格朗 日得出了泛函极值的必要条件，勒让德( l e g e n d r e ) 、雅可比( j a c o b i ) 和另外一些数学家又 加以发展，导出了极值的充分条件，维尔斯特拉斯( w e i e r s w a s s ) 又使该理论臻于完善希 尔伯特( h i b e r t ) 对变分法这个领域做出了若干重要的贡献，他在一个定理中叙述并证明 一类椭圆型方程解的多重性 了极小弧的可微性条件，在许多场合里，上述条件保证了极小值的存在。在希尔伯特 工作的启示下，物理学家里兹( r i t z w a l t e r ) 从已修正的狄利克霄( d i r i c h l e t ) 原理出发，发 现了一个求偏微分方程边值问题数值解的极有用的方法，这个方法为今天计算机成为 日益成功的数值计算工具，提供了一种可能性条件。希尔伯特深切体会到：重大个别 问题是数学的活的血液。变分法的理论正是在解决个别问题上发展起来的。1 9 0 0 年8 月庞家莱( p o t n c a r 6 ) 在巴黎宣布第二次国际数学家代表大会开幕，希尔伯特作了“数学 问题”的报告，他提出了并讨论了二十三个个别问题，他相信这些问题的解决，必将 大大地推动二十世纪数学的发展。他所提出的第二十三个问题是对未来的一个建议。 希尔伯特认为，变分法这个数学领域，在过去受到了不适当的忽视，他希望下个世纪 的数学家们能对这个领域给以更多的重视。 变分理论的发展，与力学、物理学等其它自然科学的发展密切相关，相互促进。 在十九世纪早期，泊松( p o i s s o n ) 、索非乔曼( s o p h io e r m a i n ) 、柯西( c a u c b y ) 等用变分法 解决了许多弹性理论问题。哈密顿( h a m i l t o n ) 在1 8 2 4 年至1 j 1 8 3 2 年，建立了光学的数学 理论，此后，他从最小作用原理出发得到了更普遍的原理，在其它数学物理分支，如 弹性理论、电磁理论、相对论和量子理论中，求得了相似的变分原理，不仅推动了 变分法的进一步研究。而且也推动了微分方程进一步的研究。上世纪3 0 年代l u s 咖址 s c h n i r e l m a n n 提出了流形上的泛函的临界点性质和流形的拓扑性质的一般理论，这一理 论推广到无穷维并应用到偏微分方程的解的多重性等许多闻题。1 9 r 7 3 年，由安布罗塞 特( a a m b r o s e , ) 、鲁滨罗维茨( h r a b i n o w i t z ) 等提出了著名的山路引理( m o u n t a i n - p a s s l e m m a ) ，由此引出的一系列极小极大原理和环绕形式的临界点原理，解决了许多即无 上界又无下晃的泛函的临界点问题。为超线性椭圆型方程边值问题、超线性弦的周期 振动问题、以及哈密顿方程组周期轨道的研究提供了有效的工具。也就是说，在一定 条件下，微分方程边值问题常常可以转化为变分问题来研究。因此，变分方法就成为 研究偏微分方程边值问题的一种基本方法。 研究偏微分方程解的存在性一直都是国内外学者研究的重要课题，上世纪七十年 代开始以m c k e n n a 为首的一批学者利用拓扑维度方法、变分方法、临界点原理等方法 研究了一类非线性椭圆型方程解的多重性，并取得了突破性的进展，为进一步研究 这门领域理论，提供了新的思想和方法。1 9 9 3 年，m e c k n n a 在t o p o l o g i c a lm e t h o d sf o r 2 大连理工大学硕士学位论文 m y m m e t r i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s 一书中对一类偏微分方程 t + ，( u ) = = 9 ( 。) 。q “= 0 茁锄 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 可解性及解的存在性，前人所做的工作及所取得的成果作了详细的介绍。其中，q 为舒中的有界区域，为拉普拉斯算子。h a m m e r s t e i n 最早发现了拉普拉斯算子第 一个特征值a l 的重要性。且利用压缩映象原理证明了当一p + s ，( s ) a 1 一e m ，0 ) 时，方程存在唯一解。随后，a m a , h e s s 及d a n c e r 等人综合利用拓扑维度， 上解，下解，等方法证明了下面这个结论。若l i m ，一。掣= a ，l i m 。叫啪掣= b ， 且- - o o a a l b + o o ，则存在t o c h ) 使得方程 u + ，( “) = t 妒1 + hz q t l = 0z 鲫 ( l 3 ) ( 1 4 ) 在t t o 时，至少有两解。m e c k n n a 等人对 方程中的非线性项做了进一步的假设：，( t ) = b u + 一a b - ，且非线性项介于特征值之 间口 a 1 ，a 2 b b 通过压缩映象原理，首先把无限维的问题转化为有限维的问题。 并且，充分利用拉普拉斯算子第一个特征值a 1 对应的特征函数仇( z ) 是正的，把所考 虑的有限维空间细化为四个锥，分别考虑这四个锥所具有的性质，得出了更精确的结 论，方程“+ b u + 一伽一= t 9 i 至少存在四个解。 从九十年代起，一些学者又把这种方法推广到了更一般的算子上。 1 9 9 9 年，金正国老师在【l 】，【2 j 中考察了一类抛物方程 t 一d t u + 地+ 一础一 u u ( x ，t ) = h0 ，力n x r ， = 0z 砷 = u ( x ，t + 2 1 ) ， 解的多重性。这里，d a 0 1 b 入函数h 属于由特征函数伽l ，i p 张成的空间 3 一类椭圆型方程解的多重性 1 9 9 3 年，q h c h o i ，t j t m g 等人在【1 6 】用变分方法，临界点理论研究了桥梁模型方程 地+ 豫+ 玩+ = 1 + e h ( x ， t ( 士吾，t ) = t 嚣( 士，t ) = 0 ， ( 1 5 ) u 仁，t ) = t ( 一z ，t ) t 扛，t + 霄) 在( 一，吾) r 中解的多重性。 1 9 9 6 年，q h c h o i 等人在【3 2 】中仍然用变分方法，临界点理论研究了一类更抽象 的桥梁模型方程 t 十仳。= p c x ，t ，u ) ， t ( 士三，t ) = t 一( 士三，= 0 ， u ( x ，t ) = u ( - x ，t ) = 以，t + r ) 在( 一，季) r 中至少存在一个解其中，p 0 ，t ，u ) 满足三个条件 ( 1 ) p 0 ，t ，仳) 关于z 是偶函数，且p ( 茁，t ，廿) e ( f 乎，割r ，兄) ( 2 ) 存在常数a l ，a a 0 使得当0 s 1 时，有i p c x ，t ，f ) i a l + 0 2 蚓5 并进一步假设 当8 = 1 时，有 l i r a 血塑：一6 1 i r a 也攀：_ c e 一+ 乏 _ 一 乏 这里，- 1 b c 1 5 ( 3 ) 存在常数k ，且一3 k 1 使得当f 一0 时，彳劾p ，t ，f ) 一k = o ( ) 例如，1 9 9 4 年q - h e u n gc h o i 和t a e k s u nj u n g 在0 3 e p 利用变分方法，拓手卜度考察了一类波动方程 t 瓴一t + b u + 一讹一 u ( 士1 2 r ，) t ( z ，t ) = t ( 一毛t ) = u ( x ，一d = 啦t ) ( 一三，三) 蜀 = 0 ， = 牡忙，t + 印， 解的多重性这里，- 5 a - 1 = 一a ，一a l o = 3 b a 1 ( a l c ) ，c a 1 时，方程有一 解“，其中t 扛) o , g ( z ，u ) = 恤+ 1 ) + 一1 1 9 9 5 年a m m i c h e l e t t i 和a p i s 自o i a 在【3 】中研究了一类四阶半线性椭圆方程 a 2 u + e _ a u = 6 【( t + 1 ) + 一1 j i t , 0 牡= 0 霉q ( 1 7 ) o 锄 解的多重性。其中2 表示双调和算子首先利用算子一的特征值性质，研究了算子2 + c 的特征值的一些特性；计算出椭圆方程的耜伴泛函主要是用变分的方法研究方程的 解利用变分环绕定理得出方程存在两个解；当6 接近h ( k c ) 时，利用变分的结果得出，方 程存在三个解 紧接着在1 9 9 6 - 年m i c h e l e t t i 和p i 嗷d a 在【4 】研究了方程( 1 6 ) 解的多重性其中的非线性 项为9 ，) = 0 + 1 ) + 一l ( b a l 时，条件b a l 满足，方程至少有两个解 c h i o 和j u n g 在【3 7 】中讨论了 2 u + c u - - - - b g ( z ，缸) 喾刨 ( 1 8 ) t = 0 u = 0z 锄 其中非线性项是m + 时，方程只有平凡解，其中k c 0 时，l g + = ；当u 0 时，一= 0 ：当 o 使当茹d - o - i i x 一$ o i i j 时，恒 有4 血一a 勋0 e ，则称a 在跏连续；若在d 中每一点都连续，则称a 在口连续 定义1 2 ：若a 将d 中任何有界集踟突成岛中的列紧集a ( s ) ( 即a ( s ) 是相对紧集，亦即 它的闭包a 寥) 是易中的紧集) ，i m j 称a 是映d 入易的紧算子。 注1 3 ：显然，a 在d 上紧的充要条件是：对于d 中任何有界序列 ，必有子序 列 x n s 存在，使序列 瓴。 在易中收敛 定理1 1 ：( 压缩映象原理) 设e 是b a n a e h 空间，是曰中的闭集，算子a ：e e 在上是压缩的，即 a z ，坛e ， 且存在正数7 0 ，使得对于满足条件( 。) = 。，坛j 山的任何连续映像妒：s e ，s d 厶4 ，都有： 毋( d ) a ，v d a ，d c 那么，c 必是，的临界值，即必存在矿e ，使得，( 矿) = 口，g i ( x * ) = c 注1 8 设e 是实b a n a z a 空间，j ：e r l 是g 1 泛函，满足p s 条件，并且j 在e 上有下 界，那么c = i n 厶e f ，0 ) 必是，的一个临界值 证明在定理中令a = “z i z f ，即获证 口 注1 9 ：设e 是实b a n a v a 空间，：e r 1 是e 1 泛函，满足p 曼条件，并且，在e 上有上 晃，那么c = s u p = e e ， ) 必是朋一个临界值 证明考察泛函一l 即化为系1 的情形 口 定理1 4 ：( 山路引理) 设e 是实b a c a 空间，：e r 1 是c 1 泛函，满足p ts 条件， 知，z l e ，q 是z o 的开邻域，z l 乏矗假定 m 觚 ，) ，0 t ) ) 2 骧，( 功 令 c 。膳罂鼢m ( z ，。) ) ， 其中垂= h l h ：【o 1 1 一剧匿续。g 使h ( o ) = 知，h ( 1 ) = $ l ( 即垂由e 中联结z o 和。l 的 一切道路组成) 。那么，c 必是，的临界值，即存在z e 使，7 ( 矿) = p ，且，( 矿) = c ，8 大连理工大学硕士学位论文 定义1 1 0 ：( b r o u w * r 度) i i 2 匝，p ) ，p 萑，( a q ) ；则定义： 其中g 伊( _ ，舯) ，满足 b r o u w e r 度是取整值的。 如9 ( ，q ，p ) = d , g ( g ，q ，p ) i i g f l i t c h ) d i s t ( p ，( a q ) ) ， ( 1 1 1 ) 定理1 5 ：( b r o u w , r 不动点定理) 设b 是b a n a c h 空间第中的单位开球。又设对五= i d 一 劬，t 【o ，1 j 以及口萑五( a 口) ，d e g c f , ，b ，口) 有定义，满足同伦不变性、区域可加性及规 范性。则必有z b 使得 “ 多( 功= z 证明：考察 = i d 一却，t 【0 ，l 】由假设必有：口芒 p b ) 。由同伦不变性、规范 性， d 印( ，b ，0 ) = d 印“d ，b ，口) = 1 从而，f 1 ( 口) n b 口( 区域可加性) ，即有z 口使妒( z ) = z 。 定理1 6 ：( l e r a y s c h a u & r ；不动点定理) 假设乃是有限维空间酽到自身的映射，a t o ，1 j 为参数，若 1 ) t x 对口j p 和o 入1 连续： 2 ) a = o 时，3 v o 砂，使坳驴，成立t o ( v ) = v o ； 3 ) n 的所有可能的不动点关于0 a 1 一致有界； 则对一切的0 a 1 ，乃至少有一个不动点。 推论1 1 1 ：( b r o u w e r ) 设：历一而连续，其中矿是”中的单位球，则必有不动 舶而，砂( z ) = $ 。 推论1 1 2 ：( s c h a u d e r ) 设k ：一b 1 _ b l 紧，则k 在b l 必有不动点。 9 一 大连理工大学硕士学位论文 2 一类非线性椭圆型方程解的多重性 关于非线性椭圆方程解的存在唯一性和多重性，前人的研究成果以及本文的主要任 务已经在上一章中简要的提出，这一章更为详细系统的描述 2 1 介绍 这一章我们考察在狄立克莱边界条件下，一类四阶半线性椭圆型方程， 2 缸+ c 珏= 讹+ 1 ) + 一1 】+ w xeq ( 2 1 ) 札= 0 a u = 0鲫 解的多重性，其中2 表示双调和算子，是在j 上的拉普拉斯算子，矿= m t ，o ) ， ncr 是一个光滑的有界开区域在这里a 1 c a 2 ，其中 h i l 表示算子一在空 间砩( q ) 里的特征值序列，并且有6 1 ，6 2 不是算子2 十c 的特征值 2 2 预备知识 这一节里面我们介绍由算子2 + c 的特征函数生成的，带有狄立克莱边界条件的 索伯列夫空间紧接着我们定义了方程( 2 1 ) 的相伴泛函g ，并对于相伴泛函g 的性质进行 了研究，发现g 满足( p s ) 条件我们还要给大家介绍一个变分环绕定理，这个定理对于我 们讨论这类椭圆方程的非平凡解有着重要的作用 特征值问题为a u + a u = 0 我们让k 表示特征值，e k 表示相对于特征值a k 的特征函数，在 空二2 ( q ) 中是标准正交的，这里特征值k 是按其重数出现通过对于特征值的问题的学 习，我们知道0 0 ，泛函g 满足( 条件 证明我们计算得到 g ( u ) = ；( ( u ) 2 一cy u 四一：， u 2 + ( + ) 一】2 + 鲁一) 2 = ；( ( 2 + i v 砰) 一t l + cy “1 2 。b 2 1 ， u 2 - b 。l ， ( u + 1 ) - 】2 + i b 2 ( u ) 2 = 扣沪厂( 半i v 让1 2 + 鲁铲一知+ 1 ) - 】2 一鲁( 缸_ ) 2 ) 研究得到 v c ( u ) = t + 矿【( 1 + c ) a u + 9 ( u ) 】 ( 2 4 ) 1 2 大连理工大学硕士学位论文 这里 g ( u ) = 一b l u + b x ( u + 1 ) 一+ b 2 u - i ：三2 ( n ) 一日是一个紧算子( ( 矿是f ：- 一舻( n ) ) 的自伴算- t ) 假设 墨lc 日 是一个( p s ) 序列，等价于 g ( 妣) ) 是1 ， 是有界的 和 、t g ( u k ) 一0 ，在日中 这足以证明 “k 嚣1 是有界的( 因为矿：l 2 ( f 1 ) 一日是一个紧算子) 通过矛盾我们可以假 设1 i m0 峙= + o 。则对于一个子列，我们可以假设1 i m i i 址。k l l = t 往日中弱收敛，在l 2 ( q ) 中 强收敛，在q 中逐点收敛根据( 2 4 ) 我们推导出 ( v g ( 毗赢) = 高( 卜计一c p 砰i - 志 二一咄， = 黜一以雠q a t 峰铲” 喝黯 取极限，因为6 1 b 2 0 有 恕警+ z 蛛铲+ 2 鲁跞= 。 我们通过计算得到 管+ z 珠铲+ z 鲁器皆乏箭 取极限我们得到 n 2 卜 1 3 一类椭圆型方程解的多重性 因此让20 和“喊立根据( 2 4 ) 我们得到 觇黜= 恕 赢州( ，+ c ) 盎岫赢舶t 臀+ k 彘惮 在日上强收敛这里矿：驴( q ) 一h 是一个紧算子所以有界序列矿 1 i = ) k e n 在日上强 收敛因此有 t + 矿【( 1 + c ) a i t 一6 l 川= 0 暗含“0 是下面方程的一个非平凡的解 2 t + c t = b z i t 这和方程( 2 6 ) ( 仇( c ) ) 只有平反的解相矛盾所以我们得出序列( ) 甚l 在日上是有 界的因此存在一个子列 咐) 绍l 和缸h 满足在日中，t 一u 定义2 3 ：记x 是一个两i b e f t 空间，满足ycx ，p o ，和e x m e o 成立集合定义为 岛( y ) ； i n yii i x l l xs p ) s ；( 1 ，) 一 i n y l l 忙“x = p a p ( e ，y ) = 仃e + t ，l 矿0 ， y i l e + t , l l x p ) l ( e ，y ) = 盯e + 口l 盯o ，t ，y | | 仃e + 训i x = p u l 移e i i t ，l l x p 如下是关于泛函存在两个临界水平的定理，我们称为变分环绕定理 定理2 1 ：( 交分环绕定理) x 是一个h i l b c f t 空间，并且是子空间置，弼的拓扑直和空间 f g 1 五冠而且我们假设满足 i 出饥x l 0 ，r 0 和e 墨，e 0 满足p r 希i s u p s p ( x 1 ) ， i n f r ( 。渴) ， 3 一o 。 n = i n f a r ( c 函) ， 4 ( p s ) 。条件对于任意c bb 】都满足，其中b = m l p e , , ( x 0 ， 1 4 - 大连理工大学硕士学位论文 则泛函，存在两个临界水平。1 和c 2 ，满足 a 磊) ，。1 嬲) ， 燕) ，晚戢l ， 1 5 大连理工大学硕士学位论文 3主要结果 这一章中我们我们主要证明了问题( 2 1 ) 中，当( 6 l ，b ) 在六个不同的区域，并且满 足入1 b l 成立。则问题( 2 1 ) 只有平凡解 证明我们把( 2 1 ) 写为 【2 + c 一a 1 ( c ) 】u + 【a 1 ( c ) 一h 】t + + 【- a 1 ( c ) 4 - b t b 2 u - 一6 l + 1 ) 一= 0 与e 1 相乘，并在q 上积分因为 ( f 2 + c 一a 1 ( c ) 】乱，8 1 ) = 0 我们有 ( f a z ( c ) 一h j u + 4 - 卜a 1 ( c ) + 6 1 6 爿u 一4 - ( 一h ) ( 4 - 1 ) 一) e l = 0 ( 3 1 ) j o 条件b 1 6 2 a l ( c ) b l 暗含f a l ( c ) 一b l 】t + 0 ，卜a l ( c ) + b l b 2 j u - 0 ，( 一6 1 ) ( 缸+ 1 ) 一 0 对任意实值函数u 都成立而且还有e l ( x ) 0 成立，任意z q 由此得到等式( 3 1 ) 的左边总 是大于等于零，因此等式( 3 1 ) 成立的唯一可能就是乱兰0 口 定理3 2 ：假设一幻 a l ( c ) h 0 则问题( 2 1 ) 只有平凡解 证明我们把( 2 1 ) 写为 【2 + c 一a l ( c ) k + a l ( c ) u b l 4 - 1 ) + 一b 2 u - = 一b l 乘上e l 并在q 上积分则我们有 z 【a l ( c ) u - b t ( u + 1 ) 5 2 , , - i e l = - b lj f e - 一类椭圆型方程解的多重性 因为( t + 1 ) + s t 广+ 1 和b 1 o r , - r ，则 呐上e 上【a 1 ( 咖+ 一a 1 ( c ) u 一一h 矿一以一w 】e 1 等价于 0 【a l ( c ) 一6 1 1 u + e 1 + - a l ( c ) 一b 2 u - e 1 j n 但是【a l ( c ) 一h i 0 ，【- a 1 ( c ) 一6 2 1 o 成立因此。方程( 2 1 ) 只有平凡解 记二= a 2 + c 和七一学把( 2 1 ) 重新写为 砒一h 【( + 1 ) + 一1 】+ 6 2 t 一 口 或等价于 t 一 m = 6 l 【( t 工 4 - 1 ) + 一1 】+ 6 2 t 一一k u ( 3 2 ) 因为a l c a 2 。特征值算子l 满足a l ( c ) 0 a 2 ( c ) a l 成立。方程( 3 2 ) 只有平凡解 证明方程( 3 2 ) 等价于 这里 因为 l j = ( l k ) - 1 ，( ，= b l 【+ 1 ) 十一l 】+ 6 2 矿一玩 ，( 让) = 6 。( ”+ 1 ) + + 6 2 一一：( t + 一u 一) 一；f + 1 ) + 一( + 1 ) 一】+ ；一6 l 1 8 一 ( 3 3 ) 一一 盔整堡三盔兰堡主竺垡垒奎 我们有 i f c v a ) 一m - ) h ( h 一瓤t 2 + 1 ) + 一( u 1 + 1 ) + 】+ ；+ 1 ) 一一( u t + 1 ) 一1 + m + k ) c v 一嵋) 一；( 时一时) l a 1 ，我们得到 i f ( u 2 ) 一，( u ) i ；一6 1 + 6 2 i + i = 七一( 6 。一6 2 ) 一a 。 算子陋一功一1 自伴的紧线性算予( l 一七) 一1 在口中的范数是 i i ( l - 矿忙南= 南 因为= 1 抄和a 1 ( c ) 0 a 2 ( c ) a 3 ( c ) 成立测有等式( 3 2 ) 的左边定义了一 + l i p s c h i t z 喇 f f , l i p s c h i t z 常数王， 七，b l 一幻 a 2 ，则方程( 3 2 ) 只有平凡解 此定理的证明与定理( 3 3 ) 的证明类似，此处省略 3 2 至少两个解 在这一部分我们证明了闯题( 2 1 ) 至少存在两个解 定理3 4 ：假设6 i 一1 , 2 a i ( c ) ，如 o 贝蚱日题( 2 1 ) 至少有两个解 为了证明定理( 3 4 ) 我们需要引入下面的g l 理 引理3 1 ：若h 幻 0 满足 廿r e l ) 2 一 ( - r e l + 1 ) 卅1 ) e ( 州1 ) 2 + 胍 ( 3 4 ) 因此我们有 g ( 一r e ) 互1 a t ( c ) r 2 一鲁e ( 一r e - ) 2 + m i ( a - ( c ) 一6 1 e ) r 2 砰+ m 一一o o 当r 一+ 。这就证明了我们的声明 注3 2 ：若我们有 由上面的方程我们得到 。舡塔乒= o n u n j = r 0j u 备 小札+ 1 ) 叩 i i u j i 备d ( | | u 1 1 日) 考虑泛函g 在集合d ( 日) 上的值其中 r p ( h ) = 让- + 坳印帆 e - ) 。辟i 田+ ( t 2 ) 2 一c l v 地1 2 p 2 ) 集合l ( 日) 在日中同胚于一个球，其边界是集合 ( 日) = 仳+ 坳s p a n e t 。舛l 遥+ ( 砌) 2 一c i v 坳1 2 = p 2 ) ， 口 大连理工大学硕士学位论文 引理3 3 ：若b a b o u 炬- - y p t h ) 证明对于任意u e 我们可以把写为n = 牡1 + t 2 ，其