关于用导数处理的数列型不等式集锦.doc

1.求证：. 解析:先构造函数有,从而所以 2.求证: 解析: 3. 已知.求证：.4.求证:解析:一方面:(法二) 另一方面: 5.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,5.求证:解析:提示:函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,所以有,所以综上有6.求证:和.解析:构造函数后即可证明7.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题)8.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以9.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828）和任意正整数，总有 2；() 正数数列中，.求数列中的最大项. （）解：由已知：对于，总有 成立 （n 2） -得均为正数， （n 2） 数列是公差为1的等差数列 又n=1时， 解得=1.() （）证明：对任意实数和任意正整数n，总有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 时，是递减数列. 令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , 数列中的最大项为. 10. 已知证明. 解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即11已知函数若 解析:设函数 函数）上单调递增，在上单调递减.的最小值为，即总有而即令则 12 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立，求证：解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以令,有 所以(方法二) 所以 又,所以13定义 如果内存在二阶导数则(1) 若对则函数在内为凸函数. (2) 若对则函数在内为凹函数.若函数内是凸(或凹)函数时,对及,有Jensen(琴森)不等式等号当且仅当时成立. 证明下列不等式.分析 上式只要能证明,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的可以看作是同一函数的多个不同函数值,设那么就可以用Jensen不等式来证明它.然后只要令,同理可得.证明 令因为 ,所以是凹函数则对有即 又因为 所以 令 , 则同理可得所以14.（浙江省五校2009届高三第一次联考理科第21题）已知函数，数列满足：（1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）求证不等式：分析：（1）构造函数、利用函数的单调性证明；（2）根据函数关系把数列的递推关系找出来，利用变换的方法将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决；（3）根据（1）（2）的结果分析探究解析：（1）， ，当时，即是单调递增函数；当时，即是单调递减函数 所以，即是极大值点，也是最大值点 ，当时取到等号 （2）由得， ，即数列是等差数列，首项为，公差为，（3） 又时，有，令，则 15 (1)证明: (2)数列中. ,且; 证明: 解析:(1)设,则. 所以在内是减函数, . 又在处连续,所以. 即(2) 用数学归纳法证之.a.当时, ; b.假设时, ;当时, ,结论成立.综上,对一切,有.由及已知得,所以 .所以,又由(1)得,所以,.相加,得,故不等式成立.点评:本题是一道改编题,属于理科数学的预测题.递推数列与不等式证明的结合,是历年高考命题的常见策略.16.已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即17已知数列满足，且。（I）求数列an的通项公式；（II）证明：对于一切正整数n，不等式恒成立。解：（I）显然，由可得，即，也即，所以是首项为，公比为的等比数列，从而有，即。 证明：（II）由得，所以有，为证，只需证。 ，猜想有。 下面用数学归纳法证明：当n=1时， 式显然成立；假设当时， 式成立，即。那么当时，上式表明当时， 式也成立。由、可知对一切， 式都成立。利用 式得，故式成立，从而结论成立。18. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（）（）若则当n2时,.解: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.4分又由, 得,从而.综上可知6分()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因为,所以,即0,从而10分() 因为 ,所以, , 所以 , 12分由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = . 14分由 两式可知: .16分19已知等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明；(3)设，证明：对任意的正整数，均有.【解析】(1).是以为首项，为公差的等差数列.，所以.（2）设，则.故，所以.所以，所以.所以，.（3）因为，所以.当时，即；当时，即.所以.又因为时，并且，所以.所以对任意的正整数，均有的最大值为，所以对任意的正整数，均有.20.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.如果函数有且仅有两个不动点、，且.（）试求函数的单调区间；（）已知各项不为1的数列满足，求证：；（）在（2）中，设，为数列的前项和，求证：.解：（1）设 1分 由 又 3分 于是 由得或； 由得或 故函数的单调递增区间为和，4分单调减区间为和 5分（2）由已知可得， 当时， 两式相减得或6分当时，若，则这与矛盾 7分于是，待证不等式即为.为此，我们考虑证明不等式令则，再令， 由知当时，单调递增 于是即 9分 令， 由知当时，单调递增 于是即 由、可知 所以，即 11分（3）由（2）可知 则 在中令，并将各式相加得 即 14分21. 对于函数，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的不动点如果函数f(x)有且仅有两个不动点0和2()试求b、c满足的关系式；()若c2时，各项不为零的数列an满足4Snf()1，求证：；()设bn，Tn为数列bn的前n项和，求证：T20091ln2009T2008()设 2分()c2 b2 ，由已知可得2Snanan2，且an1当n2时，2 Sn -1an1an12 ，得(anan1)( anan11)0，anan1 或 anan1 1，当n1时，2a1a1a12 a11，若anan1，则a21与an1矛盾anan11， ann4分要证待证不等式，只要证 ，即证 ，只要证 ，即证 考虑证不等式(x0) *6分令g(x)xln(1x)， h(x)ln(x1) (x0) g (x)， h (x)，x0， g (x)0， h (x)0，g(x)、h(x)在(0, )上都是增函数，g(x)g(0)0， h(x)h(0)0，x0时，令则*式成立，9分()由()知bn，则Tn在中，令n1，2，3，2008，并将各式相加，得，即T20091ln2009T200812分22.已知函数.（）求的单调区间和极值；（）求证：.解：（）定义域为， 2分 令，令 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 的极大值为 （）证：要证 即证， 即证 即证 令，由（）可知在上递减，故 即，令，故 累加得， 故，得证23已知的图像在点处的切线与直