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b 样条的扩展及其应用 摘要 调整和改变曲线的形状是几何造型领域中常见的问题，本文重点讨论参数 可调曲线的定义与推广，得到下述一些结果 扩展了二次均匀b 样条基函数，构造出三次和四次带局部参数丑的调配函数 推广后得到了r 1 次的调配函数它们具有二次均匀b 样条基函数的性质，且用它们 生成的分段多项式曲线具有与分段二次均匀b 样条曲线相同的结构和几何性质 但与二次均匀b 样条曲线相比，它们还有其自身的优点：首先，曲线的形状都可用 参数旯进行局部调整：其次，四次调配函数所构造的曲线就可达到g 2 连续：另外， 为了满足实际应用中对曲线连续性的不同要求，可使用相应次数的调配函数来构 造曲线作为均匀b 样条曲线的进一步扩展，作者对三次和四次b 样条基函数进行 扩展，构造了三b 五次、四b 五次、四b 六次调配函数，从而产生了连续性分别达 到c 3 和c 4 连续的多项式曲线，它们的形状都可以用参数五进行调整 对二次非均匀b 样条作了进一步扩展，提高了曲线的连续性：曲线的每一段 上都有一个局部控制参数，利用它们可以更有效的控制曲线的形状：同时，利用 曲线的重节点可以很方便的在曲线上构造尖点 作为b 样条扩展曲线的应用，作者将上面构造的各次调配函数应用到三次 口一b 样条插值曲线上，得到下述结果 利用三b 四次调配函数对三次盘一b 样条插值曲线进行了扩展，扩展后得到的 四次插值曲线在保留了三次口一b 样条插值曲线的结构和性质的同时，增加了一 个形状调节参数兄，从而扩大了参数对曲线的调节范围，使曲线更易于控制作为 三次口一b 样条插值曲线的进一步扩展，也为了提高插值曲线的连续性，作者定义 了相应次数的奇异调配函数，同时利用三b 五次、三b 六次调配函数分别构造了 五次租六次参数可调的插值曲线，它们分别是c 3 和c 4 连续的 关键词：b 样条：口一b 样条：曲线设计：插值曲线：调配函数：形状参数 e x t e n s i o no f b s p l i n ea n d i t sa p p l i c a t i o n s a b s t r a c t i ti saf a m i l i a rp r o b l e mf o rc h a n g i n gs h a p eo f c u r v e si ng e o m e t r i cs h a p ed e s i g n ， t h ea r t i c l em a i n l yf o c u s e do nt h ed e f i n i t i o na n de x t e n s i o no fp a r a m e t e r i z e dc u r v e s w h i c ha r ea d j u s t a b l e ，a n dt h ec o n c l u s i o ni sd e s c r i b e da sf o l l o w s t h eq u a d r a t i cu n i f o r mb - s p l i n ec u r v e sa r ee x t e n d e d ，a n dac l a s so fp o l y n o m i a l b l e n d i n gf u n c t i o n so fd e g r e e3a n dd e g r e e4a r ep r e s e n t e di nt h i sp a p e r , w h i c h c a nb e e x t e n d e dt ot h ec a s eo f d e g r e en t h e yh a v et h ep r o p e g i e sl i k et h eq u a d r a t i cu n i f o r m b s p l i n e b a s i sf u n c t i o n s t h e p i e c e w i s ep o l y n o m i a l c u r v e s g e n e r a t e db y t h e a b o v e m e n t i o n e df u n c t i o n sp o s s e s st h es a m es t r u c t u r ea n dg e o m e t r yp r o p e g i e sa s p i e c e w i s eq u a d r a t i cu n i f o r mb s p l i n ec u r v e c o m p a r i n gw i t ht h eq u a d r a t i cb - s p l i n e c u r v e ，t h e yh a v ea d v a n t a g e sb yt h e m s e l v e s ：f i r s t l y , t h es h a p eo ft h ec u r v e sc a nb e a d j u s t e dl o c a l l yb yt h ep a r a m e t e r s ，：s e c o n d l y , t h e c u r v e sf o r m e db yb l e n d i n g f u n c t i o n so fd e g r e e4c a nb eg 2c o n t i n u o u s i na d d i t i o n ，i no r d e rt om e e tv a r i o u s r e q u e s t sf o rc o n t i n u i t yo f c u r v e si np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，c o r r e s p o n d i n gp o l y n o m i a l f u n c t i o n sc a nb eu s e dt oc o n s t r u c tt h ec u r v e s a sf u r t h e re x t e n s i o no ft h eu n i f o r m b s p l i n eb a s i sf u n c t i o n s ，t h ea u t h o re x t e n d st h eu n i f o r mb s p l i n eb a s i sf u n c t i o n so f d e g r e e3 a n dd e g r e e4 ，a n dg e n e r a t e st h eb l e n d i n gf u n c t i o n so f d e g r e e5 ( 3 一b ) 、 d e g r e e5 ( 4 - b ) a n dd e g r e e6 ( 4 一b ) a sar e s u l t ，t h ec u r v e so f c 3a n dc 4 c o n t i n u i t y c a nb eg e n e r a t e d ，a n dt h es h a p eo ft h ec u r v e sc a nb ea d j u s t e db yt h ep a r a m e t e r s t h e q u a d r a t i c n o n u n i f o r m b - s p l i n e c u r v e sa r ef u l m e re x t e n d e da n dt h e c o n t i n u i t yo f c u r v e si si m p r o v e di nt h i sp a p e r ；w i t l lal o c a ls h a p ep a r a m e t e ri ne a c h p i e c e w i s ec u r v e ，t h es h a p eo ft h ec u r v e sc a nb ec o n t r o l l e de f f e c t i v e l y ；m o r e o v e r , c u s p so fc u r v e sc a nb eg e n e r a t e dc o n v e n i e n t l yo nt h e c u r v e sw h i l eu s i n gm u l t i p l e k n o t s a st h ea p p l i c a t i o no ft h ee x t e n s i o no ft h eb s p l i n ec u r v e s ，t h ea u t h o ra p p l i e st h e a b o v ep o l y n o m i a lf u n c t i o n st ot h ec u b i c 口一b s p l i n ei n t e r p o l a t i o nc u r v e sa n dg e t st h e f o l l o w i n g r e s u l t s e x t e n d i n g t h ec u b i c 口一b - s p l i n ei n t e r p o l a t i o nc u r v e sw i t l lt h eb l e n d i n gf u n c t i o n o fd e g r e e4 ( 3 一b ) ，w eg e tt h ei n t e r p o l a t i o nc u r v e so f d e g r e e4 t h ec u r v e sh a v en o t o n l yk e p tt h es t r u c t u r e sa n dp r o p e r t i e so f t h ec u b i c 口一b s p l i n ei n t e r p o l a t i o nc u r v e s b u ta l s oi n c r e a s e da s h a p ec o n t r o lp a r a m e t e r 五，w h i c he x p a n d st h ea d j u s t i n gr a n g e s o ft h ec u r v e sa n dm a k et h ec u r v e se a s i e rt ob e c o n t r o l l e d a sf u r t h e re x p a n s i o no ft h e c u b i c 口一b s p l i n ei n t e r p o l a t i o nc u r v e s ，i no r d e rt or a i s et h ec o n t i n u i t yo ft h ec u r v e s e v e n ，t h ea u t h o r h a sd e f i n e dt h e b l e n d i n g f u n c t i o n so fc o r r e s p o n d i n g d e g r e e s ， c o n s t r u c t e dt h e a d j u s t a b l ei n t e r p o l a t i o n c u r v e so fd e g r e e5a n d d e g r e e 6w i t h p o l y n o m i a lb l e n d i n gf u n c t i o n so fd e g r e e5 ( 3 一b ) a n dd e g r e e6 ( 3 - b ) r e s p e c t i v e l y t h e y a r ec 3a n dc 4 c o n t i n u o u ss e p a r a t e l y k e yw o r d s ：b 。s p l i n e ；d - b s p l i n e ；c u r v ed e s i g n ；i n t e r p o l a t i o nc u r v e ；b l e n d i n g f u n c t i o n ；s h a p ep a r a m e t e r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得盒日b 上些叁堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者元全了解盒目王些盍堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 胆：! ：些盔堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名导师签名 签字日期：年月日 签字日期：p 中年广月序日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址； 电话： 邮编： 致谢 在本文完成之际，谨向所有关心和支持我的人们致以诚挚的敬意! 首先感谢导师檀结庆教授，在攻读硕士学位期间，始终得到檀老师的悉心指 导，他以渊博的知识和敏锐的思路引导着我克服了研究中遇到的困难，使我5 顺利 完成了学业导师严谨的治学态度和谦和的为人品质给我留下了深刻的印象，也 使我受益终生。三年来，恩师在生活上也给了我无微不至的关怀，谨向恩师表示衷 心的感谢! 感谢三年来所有给予我指导和帮助的老师，包括朱功勤教授、邬弘毅教授、 黄有度教授等在研究生的学习期间，我有幸和闵杰、苏本跃、许如星、刘智秉、 刘植、余宏杰、张丽等同学一起学习和讨论，正是在与他们的合作和交流中，使我 得到很大的启发和动力，特致以诚挚的感谢! 特别要感谢中南大学韩旭里教授，在论文完成的过程中，韩教授给予了我极 有意义的支持和帮助! 最后深深的感谢我的家人和女朋友青国霞小姐，正是他们多年来对我 的全力支持和无私奉献，才使我顺利完成了三年的学习生活，谨以此文献 给他们! 作者：刘长明 2 0 0 4 年3 月 1 1研究背景 第一章绪论 在几何造型和计算机图形学领域，调整和改变曲线曲面的形状和位置是人 们最经常遇到的问题，在此背景下，人们提出了很多值得思考的方法 用张量参数构造曲线 1 - 4 是人们最经常使用的方法，有理b 6 z ie r 曲线和有 理b 样条曲线 5 - 6 中的权因子也有调整曲线形状的作用此外，也有较高阶的其 他类型的形状可调有理曲线 7 - 8 使用张量参数建立更加实用的曲线生成方法， 是值得研究的重要问题 就带形状参数的分段多项式曲线而言，芦曲线埘 】是重要曲线之一，它具 有较好的几何连续性然而，对均匀节点，只有当所拥有的形状参数鼠= 1 和 反= 0 时，p 曲线才是c 2 连续的，即此时不能改变曲线的形状此外，只有适当 选取形状参数值，口曲线才具有较好的端点性质 c b 样条曲线 9 - 1 0 是另一类带形状参数的曲线，该曲线的基函数中含有三角 函数，形状参数也用三角函数表示当然，使用三角函数不如使用多项式方便改 变形状参数的取值，c b 样条曲线只能位于三次均匀b 样条曲线的远离控制多边 形的一侧 分段b 样条曲线具有形状简单、使用灵活的优点，已有广泛的应用然而， 对给定的控制点，分段均匀b 样条曲线的位置是确定的如果要调整曲线的形状 需要调整控制多边形然而，我们知道调整控制顶点的位置并不能有效而准确的 改变曲线的形状，从而达不到人们对曲线形状的要求基于以上的考虑，文 1 1 将三次均匀b 样条曲线扩展后，得到了一种c 2 连续的四次组合多项式曲线，对 于给定的控制顶点，使用曲线中的形状参数可以调整曲线接近其控制多边形的 程度类似的扩展方法还可以应用于b 6 z i e r 曲线”，得到带有局部形状参数的 多项式曲线另外，文 1 2 将二次非均匀b 样条曲线扩展后，得到了一种带局部 形状参数的非均匀三次组合多项式血线它保证曲线整体c 1 连续的同时，调整 局部参数的值只会影响相邻的二个曲线段的形状 另外，b 一型样条曲线 l 4 - 1 8 是一种集插值和逼近于一体的曲线，带有形状因子 的c ”连续的b 一型样条曲线由每四个控制顶点形成一个曲线段，改变形状因子的 值可以使曲线在自由曲线和插值曲线之间进行转换，甚至将它们融合在一起当 参数因子的值满足某些条件时，曲线的次数可以被降至最低此外，当所有的参 数因子同时趋于零时，曲线整体逼近于控制多边形 在c a g d 中，许多产品的外型设计，要求形状曲线严格通过些预先给定的 点，这就是插值问题b 样条曲线虽然能很方便地用于设计自由型曲线，但用它 设计插值曲线比较困难y a m a g u s h i 用迭代法来近似计算插值b 样条的控制顶点 m 】，其缺点是插值曲线不准确，曲线的形状不能修改b a r s h y 和谭建荣分别用反 算的方法来计算控制顶点1 2 0 - z 1 ，这种方法虽然能精确的插值于控制多边形的顶 点，但计算量大，且曲线的形状不能局部修改关于控制顶点的反算问题，比较系 统的介绍可见著作 2 2 口一b 样条曲线是由b 样条曲线和一个多边形混合得到 的，用它做插值陆线非常方便，形状调节参数还可以直接对曲线进行控制利用 求给定多边形的内切b 样条曲线的方法 2 3 - 2 41 ，通过对切线多边形顶点的直接计 算，就能得到b 样条曲线的控制顶点，用这种方法 2 s - 2 7 计算插值b 样条曲线，有 很多优点，值得推广另外，还有一些给定了特定条件的插值方法 2 8 - 3 1 ，象二次 曲线样条插值方法【2 8 】、将曲线约束于两给定曲线之间的有理插值方法口”、加权 有理插值方法m 1 等等 1 2主要工作 参数可调曲线在几何造型中的广泛应用，使人们对其的理论研究不断的深 入，本文在文 1 卜1 3 的基础上进一步对b 样条曲线的扩展做了研究，得到如下 一些结果： 1 二次b 样条曲线是最简单的样条曲线之一，虽然其结构简单，但由于它 是c 1 连续的而且曲线的形状不能调整，所以其应用受到限制为了克服上述缺 点，本文第3 1 节第一目扩展了二次均匀b 样条基函数，构造出三次和四次带局 部参数a ，的调配函数，推广后得到了n 次的调配函数它们具有二次均匀b 样条 基函数的性质，且用它们生成的分段多项式曲线具有与分段二次均匀b 样条曲 线相同的结构和几何性质但与二次均匀b 样条曲线相比，它们还有其自身的优 点：首先，曲线的形状都可用参数五，进行局部调整：其次，四次调配函数所构造的 曲线就可达到g 2 连续，另外，为了满足实际应用中对曲线连续性的不同要求，可 使用相应次数的调配函数来构造曲线 2 在工程设计中经常需要在所设计的曲线中构造一些尖点，对于这种情 况，均匀b 样条曲线是没有办法处理的，为了达到此目的，同时保证曲线仍然具 有可调性，文 1 2 以及本文第3 1 节第二目对二次非均匀b 样条作了扩展，扩展 后曲线的每一段上都有一个局部控制参数，这为曲线的调节提供了方便，同时， 利用重节点的性质就可以很方便的构造曲线上的尖点了除此之外，由于节点的 作用，利用非均匀b 样条的扩展可以更有效的控制曲线的形状 3 在上述工作的基础上，作者在第3 2 节对三次和四次b 样条基函数进 行扩展，构造了三b 五次、四b 五次、四b 六次调配函数，从而产生了连续性分 别达到c 3 和c 4 连续的多项式曲线，它们的形状都可以用参数五进行调整 4 口一b 样条曲线是由b 样条曲线和一个重新参数化的多边形按混合因子 口进行混合得到的m 】，它以口作为形状参数，并且和原b 样条曲线具有相同的参 数连续性文 3 3 用三次均匀b 样条构造出了c2 连续、保单调的a b 样条插值 曲线为了增强参数对三次口一b 样条插值曲线形状的调节能力，作者利用文 1 1 构造的四次调配函数，在第4 1 = 常对三次d b 样条插值曲线进行了扩展，扩展后 得到的四次插值曲线在保留了三次口一b 样条插值曲线的结构和性质的同时，增 加了一个形状调节参数五，从而扩大了参数对曲线的调节范围，使曲线更易于控 制 5 作为三次口一b 样条插值曲线的进步扩展，也为了提高插值曲线的连 续性，作者在第4 2 节定义了相应次数的奇异混合函数，同时利用三b 五次、三 b 六次调配函数分别构造了五次和六次参数可调的插值曲线，它们分别是c s 和 c4 连续的。 第二章b 样条曲线的扩展和应用 本章第节主要介绍文 1 1 的研究结果，对三次均匀b 样条基函数作了扩 展后，得到四次多项式调配函数，用它可以构造出一种带形状参数的分段多项 式曲线；第二节介绍文 1 2 的内容，通过定义一种分段调配函数，对二次非均 匀b 样条作了扩展，扩展后的曲线的每一段上都有一个局部控制参数，这为曲线 的调节提供了方便，同时，利用重节点的性质就可以很方便的构造曲线上的尖点 了：作为b 样条曲线的应用，本章第三节介绍文 3 2 的内容，即利用三次b 样 条构造c2 连续的a - b 样条插值曲线的方法 2 1三次均匀b 样条曲线的扩展 先给出四次多项式调配函数的定义，它是三次均匀b 样条函数的扩展基于 给出的调配函数，文 1 1 建立了一种带形状参数的分段多项式曲线的生成方法 通过改变形状参数的取值，可以调整曲线接近其控制多边形的程度可以调整曲 线从三次均匀b 样条曲线的两侧逼近三次b 样条曲线选取不同的形状参数值， 可以得到不同位置的c 2 连续的曲线，且所给曲线与三次均匀b 样条曲线有相同 的端点性质 定义2 1 川 对“l o ，l l ，旯r ，称关于u 的多项式 瑶囊) = 去( 4 2 3 , z x x 一“) 3 w “) = 击脚2 ( 2 + 五2 ( 1 + 五灿】 ( 2 ，) 6 = 去【4 m 1 2 “+ 6 ( 2 + 兄2 1 2 “。勉4 】 6 ；o ) = 去( 4 埘+ 3 2 “k 3 为带参数五的三b 四次调配函数 经过对( 2 1 ) 式的直接计算并根据n 次多项式在 0 ，1 上非负的充分条件 3 4 1 可得下述结论： 定理2 1 对调配函数式( 2 1 ) 有结论 ( 1 ) 酽= l ； ( 2 ) 当一8 旯1 时，对“【0 ，1 有6 7 0 ) o ( i = 0 , 1 ，2 ，3 ) 易见，当 = 0 时，6 1 4 0 x f = o ，l ，2 ，3 ) 是三次均匀b 样条基函数因此，它们是三 次均匀b 样条基函数的扩展。图2 1 分别给出了五= 一0 5 0 05 时经过平移后的调 配函数曲线 l ： = 0 ，：2 ：z = 0 ：3 ： = - 0 5 图2 1参数五对三b 四次调配函数的影响 由式( 2 1 ) ，可以定义出带有参数z 的多项式曲线 定义2 2 给定控制顶点f r d 0 = 2 , 3 ；i = 0 , 1 ，”) ，令 c j , 4 ( 旯；“) = 6 ；( “她+ ，( 0 “s 1 ；- 2 五1 ；i = 0 , 1 ，n - 3 ) ( 2 2 ) 则称曲线c 。q ；“x f = 0 , 1 ，n 一3 ) 为三次均匀b 样条的四次扩展曲线 定理2 2 m 给定控制顶点p r , l p = 2 , 3 ；i = 0 , 1 ，n ) ，则多项式曲线 c 以；“) = 6 ；0 记+ ，( 0 “1 ；- 2 五1 ；i = 0 , 1 ，n - 3 ) = o 是c 2 连续的 证明：对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 进行直接计算可得 c 以；o ) = 击 ( 4 一五) 只+ 0 6 + 2 i t ) e , 一( 4 一旯弛+ z 1 ， c 州( i t ；1 ) = 击 ( 4 一i t ) e , “+ ( 1 6 + 2 五k + z + ( 4 一五归+ ，】， c 以；o ) = 妻+ ：一p ) ， c 以；1 ) = 妻。一只+ ) ， c ，。”( i t ；o ) ：f 1 + 害 ( # 一2 只+ + 只+ ：) ， c ”q ；1 ) ：f 1 + 鲁1 圹2 7 , + 2 + 只+ ，) 因此，对i = 0 , 1 ，h 一4 ，有 c j + i , 4 0 。) ( 旯；o ) = c 4 似1 以；1 ) ，k = 0 1 ，2 证毕 由定理2 2 的证明可见，曲线( 2 2 ) 的端点位置、端点切矢及二阶导数与三 次均匀b 样条曲线的性质是一致的 与三次均匀b 样条曲线一样，当要求曲线以最和只分别为起点和终点，并且 在r 和只处分别以鼻一只和只一只一为切线时，只要增加两个顶点只。= 2 r 一只 和只“= 2 只一只一即可，这里只l ，岛，只。是式( 2 2 ) 的控制多边形( 此时 i = 一1 , 0 ，n 一2 ) 当要构造封闭曲线( t o = 只) 时，只要对控制多边形多取两个顶 点p o + 。= 鼻，只+ ：= b ( 此时i = - 1 ，0 ，h 一1 ) ，图2 2 所示分别给出了多项式( 2 2 ) 在五= 1 , 0 ，1 时所对应的开曲线和闭曲线 a 一开曲线b 闭曲线 l ：五= 1 ：2 ：丑= 0 ：3 ：五= 一l 图2 2 五取不同参数时的曲线c 。以；“) 随着五的增大，曲线逐渐靠近其控制多边形，这种性质具有一般性事实上， 由式( 2 ，1 ) 可见，6 ：( “) 和酲( “) 是丑的递减函数( 对固定的u ) 因此，随着五的增大 曲线段( 2 2 ) 中点只一，和p 一。的权系数之和增大，曲线段将靠近线段p 一，f 。进一 步地，我们有下面的结论 定理2 3 当一2 兰2 s 1 时，平面曲线段c 。( 五；“) 位于4 点 + 2 只+ ，+ 只+ ：) 4 ，只。只+ 2 ， 。+ 2 只+ ：+ 只+ ，) 4 所围成的凸多边形中当 0 丑1时 ，平面曲线段 c ，4 ( 五；“)位于 4 点 ( 只+ 4 p + 。+ c + ：) 6 ，只。尸。+ 1 + 4 只+ ：+ 只十3 ) 6 所围成的凸多边形中 证明：曲线段式( 2 2 ) 可以写成 c 以；= ；i ( 4 一五一3 2 u x l 一“) 3 + 2 只。+ 只+ 2 ) + 三 2 + 五+ 6 “一6 ( 2 + a _ 2 + 4 - 二叶u 0 + 2 五- 3 3 2 u 4 只“+ ：1 “ 6 + 4 以一1 k2 3 2 u 3 只+ 2 + 寺( 4 4 2 + 3 _ 船一3 ( p + l + 2 只+ 2 + 2 + ，) ，当一2 兰as l 时，由多项式在 0 ，1 上非负的充分条件可知上式中 ( # + 2 p + 。+ 只+ ：) 4 ，p 。p 。( p + 。+ 2 鼻+ ：+ 鼻。) 4 的系数非负，且系数之和为1 因 而结论成立同理可证0 a 1 的情形证毕 根据上述分析，我们可以将兄看作形状控制参数，方便地构造处于不同位置 的曲线根据c ，( 五；o ) 和c ( 兄；1 ) 的表达式和定理2 3 ，我们可以通过选取 即 印 卯 毋 m 加 旧 0 一2 五1 来进行曲线设计当一2 五l 时，随着丑的增大，曲线将更接近其控制 多边形 2 2 二次非均匀b 样条曲线的扩展 分段二：次b 样条曲线结构简单，使用灵活但曲线的位置相对于其控制顶点 是固定的，如果想调节曲线的形状，则必须改变相应的控制顶点的位置尽管二 次非均匀有理b 样条曲线的权系数可以用于调整曲线的形状弘但任个权系 数值的变化将同时改变三段曲线的形状，即用权系数控制曲线时其局部性不能 得到有效保证。作为二次非均匀b 样条曲线的扩展，文 1 2 构造了- * 4 非均匀的 调配函数，在此基础上得到了带有局部形状参数的分段多项式曲线分段曲线对 任形状参数都是c 1 连续的，而且形状参数的变化只影响相邻两个曲线段的形 状 定义2 3 1 12 1 给定节点“。 “。 冁+ ，以及t f o ，1 】， 卜2 ，1 ，并令 啊刮w 刊一，2 忐，屈2 击 协半， 口矗( ，) = 口，( 1 4 t ) o f ) 2 ， a 3o ) = 防。+ ( 2 + a ，五，x 1 一f ) 2 + b 。+ ( 2 + p ， + ，x l f 滩2 ， a 3o ) = 屈 1 一丑+ 。( 1 一f 冲2 ， 则相应的分段调配函数定义如下： 旧：o ，0 法都l 。) 6 7 似) ：j 口三? 一o ) ? = ue 肇m ，甜一) ， ( 2 3 ) “ l 口j 3 + ：。 + ：0 ) ) ，“k 。，“h 。) ， 【o ，“萑k ，u m ) 其中，i 0 ，1 ， 显然，当五= 0 ( 对任意的i ) 时，调配函数6 7 ( “) 就是二次非均匀b 样条：而 当旯，0 时，它们是分段三次多项式，可以看成非均匀二次b 样条的扩展 定理2 4 u 2 i 调配函数6 7 ( “) 具有下列性质： 1 ) 当“， “ 0 ， 2 ) 当 u “，或u “ “柑时 3 ) 当“k ，“。1 时，9 0 ) = l 。 i = o 证明：任取“1 ，“f + l 】，i = 2 , 3 ，h ，由于 6 f 3 0 ) = 0 6 三：0 ) = 口知( ，0 ) ) ，6 三。0 ) = a u 3 ( ，。0 ) ) ，醇0 ) = a 。3o ，0 ) ) a j ( f ) + d 知( f ) + d i ：o ) = 1 ，6 ；0 ) = o ，j f 一2 ，i 一1 ，i ， 可得， 6 ；0 ) = 6 二：0 ) + 6 五0 ) + 6 7 ( “) = 1 ， = o 性质3 ) 得证，性质1 ) 、2 ) 可直接代入验证。证毕 观察定理2 4 的三个性质1 ) 一3 ) 可知，调配函数6 7 0 ) g = 0 , 1 ，n ) 是1 的分 割，而每个调配函数b 2 ( g ) 只支撑区间l ，+ ，】上的曲线 定理2 5 1 1 2 1 调配函数6 7 0 ) 在每个节点“，处是c 1 连续的 让明：仕般i = 0 , i ，n ，拽1 f j 伺 配0 7 ) = 0 ，b 3 , ( u t + 。) = 属，6 拖二。) = ， w 0 二：) = ：，6 7 0 ：) = ：，6 璩j ) = 0 ， 以及 6 7 7 0 ? ) = 。，6 7 o 二，) = ! 竺! 三未j 生生- 2 ，6 77 0 二。) = 掣， 6 7 o 二：) = 一掣，6 77 0 二：) ：一旦掣，6 7 7 0 二，) ：o “i + l“，+ 2 因此，可得 一b ，3 ( p ) 0 i ) = 6 7 咖( ) ，p = o k = f ，i + i ，i + 2 ，i + 3 证毕 类似于二次b 样条曲线，当节点的重复度k 蔓3 时，调配函数仍然有意义在 此条件下，我们将有重复度的节点所在区间长度变成0 ，并去除相应区间所在的 段例如，当u ，= h 。时，我们定义 酽0 ) = 口沁o 。0 ) ) ，“l 。川+ ，) ， 口_ ；! _ ：。o 。0 ) ) ，“k 。瑚+ 。) ， o ，“k ，“+ 。) 重节点在实际应用中是很有意义的由定理( 2 5 ) 和式( 2 3 ) 的直接推导，可 得到下述关于重节点几何意义的定理 定理2 6 叫假设调配函数对参数u 有k ( k = 2 ，3 ) 重节点，那么调配函数所 支撑的区间从3 段减少为4 - k 段当k = 2 时，调配函数是连续的：当k = 3 时，调配 函数不连续 图2 3 显示了五。= 0 和 = 一1 时调配函数6 7 ( “) 在不同节点区间上的曲线 左侧的是均匀节点的调配函数，右侧是带有重节点的非均匀调配函数， a 均匀：肯点 b - 1 f 均匀节点 1 ： = 0 ；2 ： = 一1 图2 3 取不同参数时的调配函数 定义2 4 1 2 】给定控制顶点只r = 2 , 3 ) ，i = 0 , 1 ，订，和节点向量 u = 0 。，鹕。) 令 p o ) ：主叼如) 弓，”2 2 ，”e l ：，“。】 j = 0 ( 2 4 ) 则称p ( “) 为带形状参数序列乩 的分段三次多项式曲线 显然，当五，0 时，曲线是分段三次多项式曲线参数一是局部参数当所有 的五：0 时，曲线退化成了二次非均匀b 样条曲线，因此( 2 4 ) 式是二次非均匀b 样条曲线的扩展 与二次b 样条曲线类似，节点向量的选择将自动确定曲线在每一个节点处 的连续性，由定理2 5 和定理2 6 的推导可得到下述结论： 定理2 7 n z l 当节点向量u = ( d 0 “i 一，“。) 中有j = 1 ，2 ，3 ) 重节点时，若 k = 1 ，2 ，则曲线( 2 4 ) 是c 2 - 。连续的：若k = 3 ，则曲线在此节点处不连续 当“& 。“。 时，如果蚝“。( 0 i 栉) ，则曲线p ( h ) 可以被表示成 j p 0 ) = 6 三：0 一：+ 配0 归一。+ 即0 皿 ，。、 = c t j 0 3o 她一：+ a u 3o 谚一。+ 口i 2 0 沪 其中，f ：兰；兰此外， 投 户- ? ) = 口，只一：+ ( 1 一口，皿一，尸0 二，) = ( 1 一屈皿。+ 尼只， ( 2 6 ) p 麓( 以：) 。篇也t ) ， ( 27 ) 从( 2 6 ) 和( 2 7 ) 式可知，曲线尸0 ) 与线段p 一。只相切于点p 0 ) 与二次非均 匀b 样条曲线类似，我们可以使用( 2 。4 ) 式构造闭曲线和开曲线 9 设簖o ) = 【2 + 丑，( 1 一f ) + 丑+ t o f ，则( 2 5 ) 式可以表示为 j d 0 ) = o - 丑fx 1 一f ) 2j d ( 。) + 磊o 她一。+ d 一五。0 一f 冲2 尸0 。) 根据上式，可得到下述定理 定理2 8 对于“l 。，“。】，当一2 丑， + ，l 时，曲线p 0 ) 位于点 p 0 ；) ，只。p 0 。) 的凸包内，当五。= 丑。= 一2 时，曲线j d 0 ) 就退化成了线段 p 0 妒( ) 图2 4 显示了当所有 ，= 0 , 0 5 时由( 2 4 ) 式构造出的开曲线和闭曲线 a 一开曲线b 闭曲线 1 ：丑= 0 ；2 ： = 0 5 幽2 4 取不同参数时的曲线e ( u ) 2 3 口一b 样条曲线 作为b 样条曲线的应用，口一b 样条曲线是由b 样条曲线和一个重新参数化 的多边形按混合因子口进行混合得到的 3 2 1 ，它以口作为形状参数，并且和原b 样 条曲线具有相同的参数连续性下面介绍用三次b 样条构造c 2 连续的口一b 样条 插值曲线的方法1 3 3 j 己知插值点列j ：，为了得到通过每个插值点的曲线，需要设置两个任意 位置的辅助点r ，只。值得注意的是，为了保持曲线在两个端点附近的保型性， j 生取点晶，只+ - 时，应该使它们与两端的顶点e ，置，只和只：，+ 只有相同的凸性 如果点列 只难。是一个闭的插值多边形，那么要构造闭的插值曲线就得设 e o = 只，只。= 只，只+ ：= p 2 ( 此时插值点列为 只 等) 定义节点参数“，= i ( i = - 2 ，一1 ，0 ，1 ，n ，珂+ 1 ，月+ 2 ，i t + 3 ) 对每个插值点p ，设簧 对应的节点参数 - - 9 po = 0 , 1 ，n + o 以如， ：曼为节点向量， p ) 2 为控制顶 点，n 。( “) 为3 次( 4 阶) 均匀b 样条基，构造1 3 样条曲线 c 0 ) = n ( “) 只+ ， “1 “。 记l ( u ，盘) 为参数化的多边形，也称为奇异多边形，其待定的顶点序列形 竺。 将由已知的插值点列和插值条件确定，它的每一条边都定义在相应的节点区间 “，“川 上，连接两相邻顶点_ 和+ 的直线段，记为l ju ，口) ，即 l ( u ，口) = l ju ，口) = o - s 0 ) ”+ s ，0 弘0 。，“，“+ 。 其中s ju ) 为 “，“川】上的奇异混合函数： s j 0 ) = 数若r 呼“s 弘知， 兰i ( 嚣卜( 嚣一册；u s + 1 o ，进一步计算可得 j 十 c j 。帆；o ) = 3 0 + x p 一只+ ，) ： c 。以，；1 ) = 一3 ( 1 + x c + 一只+ ，) ： 若令肛等，铲击h m h ) ( 酱 刈当 。( _ 2 ，l x j ：0 , 1 ，”一2 ) 时，有等式c 。”瓴+ 。；o ) ：届2 。t l 魄；1 ) 十卢：c “( a ，；1 ) ( f = 0 , 1 ，行一3 ) 成立，所以曲线是g 2 连续的 当 = 1 ( f = 0 , 1 ，n 一2 ) 时，可计算出曲线的三阶导数值 c ；：l ( 1 ；o ) = 1 2 ( p , + 一只) ： q 0 ；1 ) = 1 2 ( p + ：一只+ 。) ： 由上述计算可知，当五，= 1 ( i = 0 , 1 ，h 一2 ) 时，届= 1 ，扇= 一6 ，若令屁= 5 4 ， 则等式c 品。( 1 ；o ) = b , 3 c 5 ( 1 ；1 ) + 3 f 1 ：q 。( 1 ；1 ) + 屈c ；，4 ( 1 ；1 ) ( f = 0 , 1 ，”一3 ) 恒成立，所以 曲线当丑。= 1 ( f = 0 , 1 ，n 一2 ) 时是g 3 连续的 证毕 出定理3 3 可知，曲线c 。以，；u x i = o , 1 ，以一2 ) 也与分段二次均匀1 3 样条曲线 的结构相同，另外，在不改变曲线的g2 连续性的同时可任意调节局部参数丑以 改变曲线的形状 类似于图3 2 ，下图给出瞎线c 。魄；“) 在参数 取不同值时对应的开曲线和 闭曲线 1 6 a 一开曲线b 一| = j j 曲线 1 ： = 1 ；2 ：丑= 0 ；3 ：丑，：1 图3 3 丑取不同参数时的曲线c ，。( 五；“) 将二b 三次调配函数和二b 四次调配函数推广到一般形式，就得到了n 次调 配函数，用n 次调配函数构造的多项