北师大版高中数学必修五第1章数列3.2等比数列的前n项和PPT课件.ppt

等比数列的前n项和,古印度国王舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人宰相西萨班达依尔。国王问他想要什么，发明者说：“请在第一个格子里放上1粒麦子，在第二个格子里放上2粒麦子，在第三个格子里放上4粒麦子，在第四个格子里放上8粒麦子，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得太容易了，就同意了他的要求。,当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？第第第第第一二三四64格格格格格=18446744073709551615(粒),人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!,假定千粒麦子的质量为10g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。,等比数列前n项和公式的推导,1,2,4,3,复习导入等比数列及前n项和an+1:an=qan=a1qn1Sn=a1+a2+anSn-1=a1+a2+an-1(n1)an=SnSn-1(n1),这些你都记得吗?,(一)用等比定理推导,当q=1时Sn=na1,因为,所以,Sn=a1+a2+a3+.+an-1+an,=a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1,=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1qn-2),=a1+qSn-1=a1+q(Snan),Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,两式相减有(1q)Sn=a1a1qn,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1,=a1（1+q+q2+qn-2+qn-1）,2、求数列1，x，x2，x3，xn，的前n项和。,1、等比数列1，2，4，8，从第5项到第10项的和为,或,3、求和：,例3,某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？,分析：第1年产量为5,第2年产量为,5(1+10%)=51.1,第3年产量为,5(1+10%)(1+10%)=51.12,则n年内的总产量为：,解：由题意，从第1年起，每年的产量组成一个等比数列,其中,即,两边取对数，得,印度还有一古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。,不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移动多少次，那么，不难发现，不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍。这样，移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次。全部次数为：18446744073709551615次这和“麦粒问题”的计算结果是完全相同的!假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢?一年大约有31556926秒