（应用数学专业论文）椭圆方程的pohozaev恒等式及应用.pdf

壤士学毽始文 粥a 耋t 窭r s 善 王基s l s 零交考惑了霓豢耩溪方貘瓣黼锵锵v 鏊簿蕊，特舅l 凳黠弘澜穰方程凌 两种边孵条件下的憾等式体了详细的演算，弗利用这些憾等式得到了一些 解的非存在性结果 饕巍，我嚣l 在第一带泠缀了孙h 嬲8 州蠖餐妓翡餮究骥嚣藏英旋悉。接 蒋在第二节中，我稍辅糟举鼹子萼i 京审探等式推导的普遍穷法对兑种豢照 爨瀵冀擎瓣p o h 。；a 姆憾筹式裕了缀一攘黪。簸震在第三蒂审，我瓣黪舅g 瓣 带n 燃娜遥值条徉糯蛰i 靠粼e t 边傻条件的满秘方程酶轴魏扰8 槲恒等式 佟了淡冀，并剩慝逡蔑懂等式褥到了榛应褥妒调和方程 辫界增长勰题懿 嚣擎藏躲懿藜存在缝络慕 关键词t 椭隳型问越；鳓h 锵螽e v 攥等式；p 调秘穷程；非学凡麟 a b 8 t r a c t 毡l 瓤弧p 鳝钟，嬲蜮d 甜t 酝如h 。删i d 野瞒t i 锚纽s 啦程3 至l ( i 珏盎礤蕊i c e 掣i a t i o n 8 融p e c i 酞w ed 嚣i 谐德ep 镰。甚8 e vi d e 斌i t yf o rp h 8 r m o n ce q 堪醣i o nf r o 黻 w h i c hw eo b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gn o n e 姑s t e n c eo fn o n t r i v i a 王s o l u t i o nf b rp _ h 艄h l o i l i e e q u a t i o nw i t hc r i t i c a i 即t h f 蛔t l y 骶i n t r o d u c et h er e s e 射c h i n g8 i t u 删o n 曲o u tp o h o z 嘏ri d e n t i t 晒枞d t h e 主r8 p p 斌i o n 8 强睨w e 如r i 张t 轴i d 姐i t i 鹪撵8 e 垤r 越k i n 出o fe o m 璐o n “ l i p 毫遍e p 雌辑# o 璐姆t 囊e 毽e 如。文娥i 穗 8 i | i 歉糖瞒f 如撤t 沁瑚l v e f s 醯印p 毅叁攘8 毛 玺 持i 畦e 蜘蕊沁毒d 瓣e d 蠹o l 珏镰撼i 嫩“避l 斌b 氍a tl 鹪瓤溉溉玷n3 。w ee 羁l e 轱l 辩慰鹤瓣 p ( h 隅卸、ri d e n t i t yf o rp l h 糊n i ce q 【h 雠i o n 蚴d e rn a v 酶ro rd i 晾姐呔b o l l n d 8 r y 胁 d i t i o nf o mw h i e hw e 曲毫a i n 媳ec o 料麟驴o n d i n gn o n 鳓吐s t e n c eo fn o n t d v i m8 0 l 砒i o 芏l s 岛rp h 嚣r m 黼i e 赣u 越j o 酗哦魄蕊黼嚣瓣蛾h 。 k e y w 。蚶s ：啦婶i ep f o b l e m ；p o h i d 雠l 鼬撂r m o n i ce q 硅赫i o n ； r 蛐t r i v i 拽l l u t i o n 差 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：胡宪 日期：勘。占年6 月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以：采用影印、缩印或扫描等复制手段 作者签名： 胡宪 日期：2 d 。6 年6 月7 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。圃意迨塞握变卮进卮! 旦坐生；旦二生i 旦三生筮查! 作者签名：胡荚 日期：2 。g 年6 月7 日 剌黟溪零 言捌麟蓬 蝴：落 第一麓攀l 言 早撵l 6 年，p 德o z 8 e v 讨论了d i 班黜蘸瓣题 f 牡+ ，( 铭) 。o ， 。 舳。， 稳发现了令耋饔懿挺等式 2 嚣互f ( 嚣) 如 2 一谚互钍芗瀚鼢一厶嚣+ 磅| 暑阮乎杰， f 1 1 ) ( 圭2 ) 这羼的n 是舻申的，o 区域，函数，( t ) 连续，t 秽2 ( n ) n 0 1 ( 秘是半线 性耩雷方程l ，1 ) 的瓣，f ) = f ，( 冲，”= 扩为点嚣勰上的肇位外 浚线爨爨。德褒震撼簿式曩2 ) 褥骜：若q 是舻孛有券震形嚣壤，菇霭数 ，( 龆) 在露上满魑一2 ) “，( 牡) 一2 招f o ( 其中“o ) ，则问题( 1 。1 ) 没有 黪平冠髂。后寒久 j 辩这令慑等式鞭名为黜v 毽等式 1 9 8 3 年，b r 喇8 稀n i r e n b e r g ( 见文【1 】) 对问题 一t = t 矿+ 她，茹n ， 砧o ，茹n ，1 3 ) 释瓣垂，茹a 瞻， 做了广援研究。遮璧n c 彬( 住3 是鸯爨光滑区壤，筘。裂黑，a 燕实 鬻数德们稳甩上面鲢p 0 嬲a “恒簿式褥到：漆 o 越n 是缈审有界 鏊澎嚣竣时，1 3 ) 没祷解+ 遴一步，德 j 考虑了p 兰薯煞情形。褥洋是 利用p o h o 嚣a g v 恒簿式( 1 2 ) ，他嚣】褥裂；当qc 彬协3 ) 是鸯舆星澎聪域， 量a s ”这里”罴依赖q 和p 晦蔡个藤常数) 时，阔题( 1 3 ) 没有解。 随后，n iw e i 城n g ( 见文f 7 1 ) 考虑了一般的毕线性椭圆方程 善留洋太 疆t ， 德褥到了恒等式 2 n 五f ( * ，) 如+ ( 2 一n ) 五u ，( 。，u ) 如+ 2 上0 b ( z ，u ) ) 如一厶 v ) i d u l 2 d s ， ( 1 鼙 这里“魁( 1 4 ) 的解，f “) = f ， ，t ) d ，且，( 孔u ) 和段( 吼u ) 是q 矗上 的连续硝数该憾簿式是通过在方程( 1 4 ) 两边同时乘以( z - 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p ) 如一二 ( ；一n 一2 ) l “1 2 + 僦，( u ) 一n f ( 钍) 】如。 ( 2 一1 7 ) 雀上式枣选敝常数。一芸一2 ，我镪褥戮 一；东l 铭| 2 秘- 磅奈= 点l ( 詈一2 ) 珏萝嚣) 一牲f 珏) l 如。 2 ，1 8 ) 我褥撒簿式( 2 1 8 ) 称作双调和方程( 1 1 8 ) 的解所满足的p 。h o z a e v 恒等浅。 考虑麟疆( 1 ，1 8 ) ，貔髓褥弱下落建毽。 庭耀2 ，$ 蒴聚珏芒萨( 国n 8 ，两是鬻蕤( 1 。i 锄魏黎，筑蹙包岔潦赢酌 蠢：器璧形嚣壤，蠢慰擎黪枣懿“，灌是 芸一2 ) 酊( 缸) 一稚声珏) 2o ( 等等侵崧 u 赫。时成娆) ，那么在n 内钍瓣o 诬明 ( 1 1 8 ) 对纛的鹅所潜戆黪p o h 瓣a 时恒等式昭1 8 ) 左边是非正黪 阂魏轴ox 弱它的右边鼹撼的，除j # 农靠中t 芝o 。敬在n 内啦整o 命越襻涯。 1 5 繁量节离淤方器戆鞠酗蒜巍鲥憾簿式及冀疫鼹 3 。重一个一般黪憔等戏 考虑变分泛函 蚓一是，矧，r ) 如 巍翘识芦一曩。，。港r ) 一双敏，而热，瓢，趣扩，冀警妒舻， ；嚣，嚣q 且r 舻x 聃途基我们崩r 代餐变照萨u 瓣名警，熙p 钱祷 交避腆；懿名字，惩z 代替嶷鳖”翰黪名字，溺辩我蠢j 令 秘芦一洱。，再。) ， 缉一磊，瓦爻 轻；笋一芋；， 玩芦一瓯一，是。 我们鲻遵( 1 2 2 ) 鳇黛分凝薅怒 臻一；点 焱嚣l 戳五瓤链如， 裕2 ) 邃墼妒宠义淹歹懿缀灏数f 瀚一f 渤搿耩黻 芦一双热档，地d 2 锤) 一；| 铭i 9 一f 扣) 。 ( 3 。 我稍檄容赫证鹱芦一嚣蔹2 ，弘砖美乎意的交凝是伊酶，并艇嚣。再辩 瓣予瓣铭伊q 辫灌麓静糨寝瓣瓿淞l 蝌躺g e 穷罄是 否蠡双驯，踟，妒酗一蠢民随黜，魄) + 五池执，如) 一。( ) 3 。2 尚伊调釉露援糕灏静p o 瓠绷v 挺等戏及瓣的繇存谯睡缝祭 1 6 定理3 1 假设g 4 ( n ) 是e u l e r - l a g r a n g e 方程( 3 4 ) 的解，且满足 u = 赛j 鲫= o ，那么下面的恒等式 上。伊一咒j ) ( z 叫d s = 上 n ，+ z t 氏一一只一( + 1 ) 差矗 七+ 2 ) 磊嘉酬卜 ( 3 5 ) 在q 中成立这里n 为常数，重复的指数i 和j 表示为从l 到n 求和 证明参阅文 8 】中的性质4 ，我们有 去p ，一( z * 袅+ 一) ( 矗一玉) 一刍( 岔t 袅+ 删只j = p + 孔五一。u 兀一( 。+ 1 ) 差o 。 ( 口+ 2 ) 磊蠡气) - ( & 6 ) 当u 在勰上时“= o ，我们有 尝：祟悱 ( 3 7 ) 缸加。 、 所以在铀上，我们有 急：c 舡：譬咋否蕊2l 百夏j q 2 言咋 ：掣均 = d ( 劣雌) 吩 = ( d ( 筹) 址+ 未圳一吩 = ( 雾地+ 筹) 吩2 【瓦万地+ 石。瓦j 吩 伊钍a 巩a “ 2 百地咋+ 万+ 面吩 护 2 丽n 吩， 所以就有 。* 差惫嘶= 蕞蓦砷肌 慨s ， 1 7 把等式( 3 。劬在n 上襁分，对左边积分应用散度定理，最后代入边界条伟， 应用( 3 8 ) 我们很快就可以得到等式( 3 5 ) 。 宠矮3 。2 毂设魏蔗包含簸赢艇逡彝毙溪豹星形送域，n ( 渤怒阕 题( 1 - 2 2 ) 的解，且对于所有的“，满足( ；一2 ) ”，( u ) 一n f ( 挂) 惫o ( 等号当艇 仪当擞n 内”；o 时成立) ，则氍q 内“蒜o 。 浚鹾考察霹憨( 1 2 2 ) ，凌嚣l 恕( 硒) 率戆芦霉尹= ；| * 尹一尹耱 代，那么 厶( ：| 珏尹一f f 铭) 一l u | 一) p ) 露 2 五律 ；| n 尹一f 钰) j + 黜歹社) 一扛+ 霉l 铭| 9 馥2 = 上f ；一。十2 ) 】l “ 9 一嚏f ( 铒) + m 巧( 社) d z 9 ) 理耄逡旅常数a = 兰2 ，我雷l 褥瓣 厶( 字脚n ( ) 拈肛州卅( ；- 2 ) 州训鼢 ( 3 1 0 ) 盘然等式( 3 1 0 鹃左逡楚毒 歪戆f 瓣为在鳓童鬈，8 登l p 8 ) 。艇 是( 3 + l o ) 盼右边是正酶，除j # 在n 河每一点砧一o 。所以我们舄上得到农q 内t 鳘o ，命题得诞 我秘怒等式3 。l 妨e 罐徽争灞秘方程在魏r l e 瓣酷逮篷条黪下怒骆滚怒瓣 p o i 输a 慑等式。取p 一2 ，调秘方程( 1 2 2 ) 嶷为双调秘方程( 1 。1 8 ) ( 3 1 在一2 时与( 2 1 8 ) 熙一致的 攮论3 。l 懿巢翁爨黔孛蒜雾蓥黟篷缄霾* 避燕瓣蘧1 蠲辩 解，那么当a 去聪戡伊( 怒 铭一z 静 ( | # l ，一t 龆) ；a l 锚尹咄啦十阳- 一， 沁：知咄 强始 懿蒋，嚣么警 茎。虽娆是舻审宥舞攫影嚣域时，程q 悫鲇拦o 证明考察阊题姆。1 2 ) ，我们糟报论3 1 褥样盼迸蹭方法可戳褥掰该撵 论懿结沦，谨缨戆涯骥避程羧攀褥嚣笈了 注：推论3 1 和推论3 2 袋明带d i r i c h l 雠边值条件的p 调和方橼，在 鼗器壤捻秘怒l 舞器增妖熬情形节零存纛嚣乎惩怨+ 定瓒3 。3 如果，( 。，u ) 和段( 文“是q 冀上的连续函数， 拶( 避n 拶固骧是 = 茹 并凰锚 辑1 3 ) 厶( 字| “图劣- 毋泰一互 一n f ( 戤“) 十( ；一2 ) 铭，( 畸十p e 瓴钍) ) 幽3 1 4 ) 成立，遮璧f ( 钍) = f ，( 潞， 诳明考察问题鼹1 3 ) ，我们把( 3 + 5 ) 中的芦用= ：l 钍r f 钍) 替 代+ 孬5 么选取常数。= 兰一2 ，就霄敝得到等式( 3 。l 彭 1 定理3 4 假设q 是包含原点且边界光滑的星形区域，u g 4 ( q ) 是问 题( 1 2 3 ) 的解，且对于所有的“，满足( ；一2 ) u ，( u ) 一n f ( ) 2o ( 等号当且 仅当在n 内u 兰。时成立) ，则在n 内u 兰o 证明 在方程( 1 2 3 ) 两边同时乘以( 。d t ) ，并在n 上积分，我们得到 ( ( 1 “| p 一：u ) 扛d u ) d z = 厶p d 钍) ，( ) 如- ( 3 - 1 5 ) 我们把表达式写作 a = b 由分部积分公式，左边的项可写为 a ：= 喜上( 呦r 2 舭k 鹕u 如 2 ：砉二c i “r 。2 u ，“c 奶t q k d z 十；叠厶( i u p 。“一：，。， = a l + a 2 。7 现在 a t = 一薹五( m 4 酬池如一喜上( m 2 剁蚋如 = 耋上( i “r 2 u ) z 。如一喜点( i r 2 k z ，丹出 = 耋厶( i u r 2 u 池m 如十蚤上( f 训”2 m 如 + f 1 ( i u 旷“) 掣”卿出 i f = 1 = 2 五j u 1 9 如+ 壹五( 1 训”2 ) m q 出 = 2 上i u 9 出+ 薹上( i i ”2 u ) q ( “) z ，如 = 2 五i u f 9 d z 十上( f “l p 一2 u 净d ( u ) 4 z = 2 五l u 1 9 如十五；d ( 1 u n 一如 ( 3 1 7 ) 硕士举住论文 m a s t e r l st h e s i s 利用边界条件u l 帅= o 对( 3 1 7 ) 分部积分，我们得到 上；。( 1 计) z 如= 一；上l u i 出 ( 3 ，8 ) 所以 a = ( 2 一：) 上俐p 出 另一方面，因为在边界a n 上，u = u = o ，d u ( 功和d ( u ( z ) ) 在边界 上每一点z 的外法向是平行的，所以d “( z ) = 士l d u ( $ ) i v ( 嚣) ，d ( “( 。) ) = 士i d ( u ( z ) ) i ”( 。) 利用这两个等式，我们得到 a 22 一厶i d ( i u l ”2 u ) i i d u l 扛v ) 出 ( 3 1 9 ) 现在把方程( 1 2 3 ) 两边同时乘以“，并在n 上利用格林公式及边界条件 u i 舶= u b = o ，我们得到 上i “1 9 出2 厶“，( “) 出 ( 3 _ 2 0 ) 把a - 和如相加，得到 a = ( 2 一；) 上“，( n ) d z 一厶i d ( i u l ”2 u ) | i d u i 扛v ) d s ( 3 2 1 ) 回到等式( 3 1 5 ) 中，利用分部积分公式和f ( o ) = o ，我们得到 b 2 苫上，( u ) z t 出2 蚤厶( f ( t ) ) 。t 如如 2 一”上f ( “) 如 ( 3 2 2 利用( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) ，整理后我们得到 ( 2 一；) 上u ，( “) d z + n 上f ( “) d z = 上。i d ( i ”i 一2 u ) l i d 训扛”) 如 ( 3 2 3 ) 显然等式( 3 2 3 ) 的右边是非负的( 因为在勰上z ”o ) 但是( 3 2 3 ) 的左 边是负的除非在n 内每一点u = o 所以我们马上得到在q 内札；o ，命题 得证 我们把等式( 3 2 3 ) 叫做p 调和方程n 删e r 边值条件下解所满足的p 0 一 h o z a e v 恒等式 2 1 硕士学佼论文 m a s t e r s 下h e s i s 撤论3 3 如果q 是舻中有界星形区域，u ( q ) 婕问题( 1 ，2 5 ) 的 解，那么当 墨越锑( n ) 憝 n z 口 i ( i u l ”2 a t ) = a “r 2 “十l n p 一2 钍， ( 3 2 4 ) 珏| 瓣= # 融= o 的解，那么当a o 且n 是有界隰形区域时，在q 内u 誊o 诳骥考察游题( 3 2 4 ) ，我们臆推论3 3 隧榉的证明方法霹鞋褥剿攒论 的缩论，话疆过程举再重复了。 注推论3 3 和推论3 4 表明带n 删e r 边值条件的p 调和方程，谯临 界增长稠超临界增长盼情形下苓存在非平凡解 推论3 。5 螽栗，墨) 是q 霆上酶连续黼数，并且锚f 国n ( 孬) 满足 l ( i 州”4 u ) = ，( 辑 ) ， ( 3 2 秘 l # | 瓣一e | 舰= o ， 那么等忒 ( 2 一争上n ，缸，n ) 如一z ( 。d 钍) ，钍) 如= z 。l d ( | t l 一2 钍，n 执| z - 啦幽( 3 。2 6 ) 成立 2 2 推论3 。6 ，沁# ) 是震r 点的连续遴数，并且“( 渤n 伊( 硒满足 黜尹- 2 嚣净鬏程芰添2 7 ) lh 一翟l 鼬一氓 那么髂式 2 一；) 互狂热，暂脚一互妇瓤) 芦啄珏) 妇一五；酬缸| ”纨锃) n 执陋”胁 ( 3 2 8 ) 黢巍。 溱；推论3 。5 秘攘沦3 。6 鳃诞骤方法等怒骥3 ，4 僵等式攘譬方法类叛。 参考文献 【1 】h b r 出摭 l 。n i r e n b e r g ：p 渊i t i v e8 0 l u t i o n so f 扫o n l i n e 蚶e l l 砸t i ce q u a t i o n si n v o l v i g c r 潞e 嚣l 救p 糊柏抟。c 瞪m ，p 娃黼a p p l 勰8 疆。3 6 l 搴8 3 ) ，稿誊莲7 7 。 嘲b 啪c el g 。：轴毗i a ld i 胁d 8 量e 蚪触i o 珊 m 】p 洲d 蝴r h o d eh l 删，1 蛰鹪 蠲a 融蝴，eg 龆嘲a ：酗融e e 媾s 。l q 疆璐f o r 蜘辩泌嚣i t i e 畦鄹锻hs 渊墨e 技 e j l 啦i ce q u 黼o n 8 ，j d i 融啦! 黼脚黼1 7 7 0 0 0 1 ) ，4 5 2 2 f 4 lm g u e d d 8 ，l 、协o n ：q u 艄i u n e 叶e u i p t i ce q u a t i o 黼i 娜i v b gc r i t i c 8 l 觥p o e n t 8 n o n - 陡 e 嚣a 摭8 | 。1 3 l 躜( 1 鹤妨，8 绺鞫2 ， 5 】n g h o