（应用数学专业论文）两类非线性发展方程的初值及边值问题.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 本文研究半线性抛物方程的初值问题和任意维数的神经传播型方程的初 边值问题这两类方程从表面上看是不同的两个方程，但实际上，若把半线性 抛物方程两边同时对，求导，就得到神经传播型方程 本文利用位势井族研究了半线性抛物方程的初值问题首先，引入一族位 势井和对应的集合，并给出这族位势井的性质其次，利用这族位势井得到了 解的不变集合和真空隔离现象第三，得到了解的整体存在性与不存在性的一 个门槛结果第四，证明了解的有限时间b l o w u p 最后，讨论了解的渐进性 本文还利用g a l e r k i n 方法结合能量估计研究了任意维数的神经传播型 方程初边值问题整体强解的存在性证明了当，? 3 时，对非线性项在某些条 件下，问题能得到整体时间r 强解当疗4 时，如果厂c ，g c 在厂，g 下 方有界，厂，g 满足一定的增长条件下，i ；1 题能得到整体时间r 强解在力4 时， 引进了一种新的整体强解的概念 关键词：抛物方程；拟双曲方程；初边值问题；初值问题 哈尔滨t 程大学硕士学何论文 a b s t r a c t t h ep r e s e n tp a p e rs t u d i e st h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fs e m i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o na n dt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o re q u a t i o no fn e r v ec o n d u c t i o n t ) ，p e i na r b i t r a r yd i m e n s i o n s o u t w a r d l yt h e yl o o kl i k et w od i f f e r e n tt y p e so f e q u a t i o n s i nf a c t ，t h ed e r i v a t i o n so ft h es e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s w t i h r e s p e c tt o fi st h en e r v ec o n d u c t i o ne q u a t i o n t h i sp a p e rs t u d i e st h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n b yaf a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l s f i r s t l yi ti n t r o d u c e saf a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l sa n d i t sc o r r e s p o n d i n gs e t sa n dg i v e sas e r i e so ft h e i rp r o p e r t i e s s e c o n d l yi tp r o v e st h e i n v a r i a n c eo fs o m es e t sa n dv a c u u mi s o l a t i n go fs o l u t i o n s t h i r d l yi to b t a i n sa t h r e s h o l dr e s u l tf o rt h eg l o b a le x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s f o u r t h l yi t p r o v e s f i n i t et i m eb l o w - u po fs o l u t i o n s f i n a l l yi td i s c u s s e st h ea s y m p t o t i c b e h a v i o r o ft h es o l u t i o n s t h i sp a p e ra l s os t u d i e st h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls t r o n gs o l u t i o n st ot h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn e r v ec o n d u c t i o ne q u a t i o ni na r b i t r a r yd i m e n s i o n sb y g a l e r k i nm e t h o dt o g e t h e r 、砘t he n e r g ye s t i m a t i o n i tp r o v e st h a tw h e n 胛3 ，t h e p r o b l e ma d m i t sag l o b a li nt i m e 譬s t r o n gs o l u t i o ni fn o n l i n e a rt e r m ss a t i s f y s o m ec o n d i t i o n s w h e nn 4 ，舭p r o b l e ma d m i t sag l o b a li nt i m e , 2s t r o n g s o l u t i o ni ff c ，g c 1 ，fa n dg a r eb o u n d e db e l o w ，fa n dgs a t i s f yc e r t a i n g r o w t hc o n d i t i o n t h ep a p e ri n t r o d u c e sa n e wc o n c e p to fg l o b a ls t r o n gs o l u t i o n s w h e n 玎 4 k e yw o r d s ：p a r a b o l i ce q u a t i o n ；n e u r a lc o m m u n i c a t i o ne q u a t i o n ；i n i t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；i n i t i a lv a l u ep r o b l e m 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：哥考葛 日期：w 略年月日 哈尔滨_ 程大学硕士学位论文 第1 章绪论 非线性发展方程是近5 0 年来从力学、流体力学、物理、化学、生物学、 人口动力学等大量实际问题中提出来的，它们有非线性抛物方程、非线性双曲 方程、非线性拟抛物方程、非线性拟双曲方程等等所以这些方程都有强烈的 实际背景与广泛应用对非线性发展方程的研究起始于上世纪六十年代，至今 已取得大量的研究成果，并积累形成了很多比较成熟的研究方法，形成了一套 较为完善的理论体系但是，迄今仍存在不少问题没有解决，相应的理论和方 法也有待于进一步的改进和完善 1 1 概述 在研究热的传导过程，气体扩散现象以及电磁场的传播等物理问题时，我 们常常遇到抛物型偏微分方程这一类方程的自变量中往往有一个是时间变 量，因而方程所描述的通常是随时间变化的非定常的物理现象，这也就决定了 抛物型方程的基本定解问题是初值( c a u c h y ) 问题 非线性抛物型方程是偏微分方程研究领域的一个主要分支，大量问题来 自于物理学，化学和生物学中众多的数学模型，因而有强烈的实际背景：另一 方面，在非线性抛物型方程的研究中，对数学也提出了许多挑战性的问题，为 了适应现代科学技术的突飞猛进，关于非线性抛物型方程的研究必将在理论 与应用方面得到更加迅速的发展本文的第2 章至第5 章将研究非线性抛物方 程的最简单的类型半线性抛物方程的初值( c a u c h y ) 问题 非线性拟双曲方程是近些年来在神经传播，具有粘性效应的杆的纵振动 等生物，力学问题中提出的，它不但有重要的实际背景，而且在理论上也是很有 意义的，但目前对他的研究却很少，尤其对高维非线性拟双曲方程的研究就更 l 哈尔滨t 稃大学硕十学何论文 少了，所以很有必要对其进行全面深入研究本文将在第6 章研究一类任意维 数的神经传播型非线型拟双曲方程初边值问题 1 2 问题的研究现状和本文要做的工作 对非线性发展方程的解的整体存在性的研究，已经有了很多的结果n 一州， 并已经发展了不少有效的处理方法，但由于发展方程包含的范围十分广泛， 非线性的具体特点又多种多样，不少结果往往只是针对某一特定的物理模型， 对某一类具体方程的定解问题而得到的 关于非线性发展方程初边值问题与柯西问题的研究已有很多很好的结论 ”，同时也应用了一些好的处理方法啪。蛐，如特征值法，积分估计法等等但由 于同样的原因，研究结果还显得比较零碎，远未形成一个相当一般的理论总 的说来，目前的有关理论研究工作已经取得了重大进展，特别是一维问题，现 在正向更加深入、更加本质的方向发展目前的发展趋势，一是向多维方面发 展，二是向非线性耦合的发展方程组方向发展虽然这些方面的问题是比较难 的，目前得到的成果也少，但也正是大有可为的下面以本文的研究问题为例 就目前该方面的文献研究情况做简单叙述 近年来关于半线性抛物方程整体解存在性的研究现状如下： 关于半线性热方程，甜，一a u = “，的柯西问题的整体解存在性与解的有限 时间b l o w u p 已有许多结果 如在 3 0 中，w a n g 和d i n g 研究了问题 ”f a u = 材7 一甜，x r ”，t 0 ， u ( x ，0 ) = ( x ) 0 ， 的柯西问题 此处，当聍= 1 , 2 时，l 7 0 ， ( 1 1 ) 材( x ，o ) = 掰。( x ) ，x r ” ( 1 - 2 ) 首先，引入一族位势井和对应的集合，并给出这族位势井的性质，而后利 用这族位势井得到了解的不变集合和真空隔离现象，而且得到解的整体存在 性与不存在性的一个门槛结果及解的有限时间b l o w - u p ，而后讨论了解的渐 近性 哈尔溟i 祥大字由贝十学位论文 近年来关于神经传播型非线性拟双曲方程的研究现状如下： 1 9 6 2 年，n a g u m o 等m 1 提出了神经传播方程 = “脚- c l ( 1 - u + c 2 u 2 u t 一甜， c i , c 2 为非负常数 19 6 3 年，a r i m a m l ，y a m a g u t i m 把上述方程推广为 = - - f ( u ) u t - g ( u ) ， 1 9 7 5 年，p a o ，c v m l 研究了下述广泛的多维非线性拟双曲方程的初边值问 题 = 善吼南+ 善n 啪州) 钆0 2 西u 叫船圹咖， ( ，【o ，r 】，x qcr ”) 口( 觚) 杀( “) + ( 船) = 办( 船) ( x a q ) ， “( o ，x ) = 矽( x ) ，u t ( x ，0 ) = 缈( x ) ， 当a ( t ，x ) - 0 或j 1 2 ( f ，x ) 兰0 的情形 1 9 8 7 年，刘亚成呻，研究了比p a o cv 研究的广泛得多的非线性拟双曲方程 n i t - a u t = - f ( x ，r ，掰，v u ，l d t ，v l d t ) u r - g ( x ，t ，u ，v u ，u t ，v ) ， 及相应的方程组，初边值条件为 “i ，：。= 材。( x ) ，u , i ，；。= 1 ( x ) ， 坼( f ，x ) = h ( t ，x ) ( x 钿) 的强解的存在和唯一性 1 9 9 5 年，刘亚成，于涛，研究了如下神经传播性方程 1 t t - - a u t = f ( u ) u ，+ g ( “) ， 掰i ，；。= “。( x ) ，g l t i ，：。= “。( x ) ， 4 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 材i m = 0 的初边值问题与初边值问题解的b l o w u p 2 0 01 年，李剑秋幅引把神经传播型方程 u t t - a u ，= ( 甜) 吩+ s s ( u ) 的柯西问题解的b l o w - u p 的结果推广到更为广泛的拟线性发展方程 u t t - a u t = p ( x ，f ，u ，u t ) 的柯西问题解的b l o w - u p 现象 1 9 9 7 年，刘亚成旧，等进一步研究了神经传播型方程 u t t - - a u t = f ( u ) u t + g ( 甜) 的初值问题解的非整体存在性与b l o w u p ，使其之前的结果得到推广 非线性拟双曲方程是近些年来在神经传播，具有粘性效应的杆的纵振动 等生物，力学问题中提出的，它不但有重要的实际背景，而且在理论上也是很 有意义的，但目前对他的研究却很少，尤其对高维非线性拟双曲方程的研究就 更少了，所以很有必要对其进行全面深入研究 本文的第6 章将用g a l e r k i n 方法结合能量估计研究任意维数的神经传播 型方程 z - a u t = - f ( u ) u t - g ( u ) ，x q ， 0 ， ( 1 3 ) 初边值条件为 u l 瑚= ( x ) ，u , i 瑚= 甜，( x ) ，x q ， ( 卜4 ) u l 铀= 0 ， ( 卜5 ) 的初边值问题经过研究发现当胛4 时不论对非线性项加任何条件都得不到 以前的整体时间r 强解，只能得到整体时间r 强解主要结果是：当n 4 时， 若满足f c c , g e u ，且存在常数鼠，c 0 ，么，b ，a ，b 使得厂( s ) b o ， 哈尔滨工稗大学硕十学位论文 g ( s ) c o ，i 巾) + b ，阢) h 5 i 。+ 6 ，其中，吉7 老， 丢口j ，则此问题存在整体时间r 强解 z刀一z 在本文中我们将用| | i i p 表示矿。n ) ，叫= i i i i ：，l - - lu 叭) 和土+ ! ：1 其中p 1 ，g 1 pq 6 出” p = 、l ， 矿 l 一2 、ll-， 2 + 2 “v ，j-i i i 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 第2 章位势井族的引进及其性质 对于问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 我们总假设方程( 卜1 ) 中的厂( 材) 满足 ( h ) ( i ) 厂c ，f ( o ) = 厂( o ) = 0 ； ( i i ) 厂( z f ) 是单调的，当甜 o 时，厂( “) 是凸函数；当甜 o 时，f ( u ) 是凹函数； ( iii ) i 厂( 甜) l 彳7 ，( p + 1 ) f ( “) 矿( 甜) ，其中，当刀= 1 ，2 时， 2 p + 1 y ( p + 1 ) bu i p “，u 1 引理2 3 令厂( 甜) 满足( h ) ，然后对任意”日1r ”) ，l uh 。o 并且 缈( 旯) = 去l 矿( 旯“) 出，那么 ( i ) 伊q ) 是严格增加的，当0 名 0 ，有引理2 1 中的( i i ) 可得 缈。q ) = 虿1 上。似2 厂q “) 一矿( 砌) 皿 = 万1 l 砌( 元矿( 勉) 一厂( 砌) ) 出 o ， 因此矽( 兄) 在o 五 0 0 是严格增加的 ( i i ) 一方面，由( h ) 中的( i i i ) 有 m 咄l 卿岫i o ，使得丢，( 砌) f 五。= o ； ( i i i ) ，( 舭) 在0 五z 时严格增加的，在彳兄 0 0 时严格递减的，且 五= z 时，取得最大值； ( i v ) 当0 五 0 ，当z 力 0 ，我们进一步定义 l 0 ) = 刑i ：。一上。矿0 皿， d ( 万) 2 毗i n f ，( “) ， m = kh 1 ( r “) l 厶( “) = 0 ，。o ) ， 引理2 5 令f ( u ) 满足( ) ，如果“日1 ( r ”) 且o h 。 o 特别地，如果o l l u l i o ，此处，( 万) 是方程 办( 厂) = 万的唯一实根，办( ，) = 彳a + l r r - i ，c , = 脚s u 协p ，丽u f y + 1 证明从o l h 。 0 6 ：。， 引理2 6 令厂( “) 满足( h ) ，如果u e h 1 ( r ”) 且厶( 甜) ，( 万) 特别地，如果，( 材) ，( 1 ) 又由 可得 证明由厶( “) o 易知州j h 。o ， 因此得到 则 厶( 掰) - - 8 1 1 娘l 矿( 豁协 ，( j ) 引理2 7 令厂( 甜) 满足( 日) ，如果u h 1 ( 尺”) 且乃( “) = o ，那么 0 u l l h 。，( 6 ) 或恻i ；c o ，特别地，如果，( “) = o ，那么恻i h 。 - r ( i ) 或l u 。- - 0 证明一方面， 果l u l l = o ，那么厶( 甜) = o ，另一方面，如果厶( “) = 0 且 h o ，那么万：= l 矿( 材协办( ) ：，我们得到 那么 h ( u 。) 万， l l 哈尔滨工程大学硕十学位论文 。，( 万) 引理2 8 令厂( 甜) 满足( ) ，作为万的函数，d ( 万) 拥有下面的性质 ( i ) d ( 万) 口( j ) r 2 ( 艿) 对于邪) = i 1 一斋，0 万 o 对 0 万 a o 。 ( i i i ) d ( 6 ) 是严格单调递增的在0 o 对o 万 磊 ( i i i ) 现在我们证d ( 万) d ( 万。) 对任意o 万。 万。 1 或1 艿。 万 8 0 ， 显然，只需证对任意0 万 万。 1 或1 万” 万 o ，使得，( v ) ，( “) 一占( 万。，艿”) 实际上，对上面 的甜，我们定义旯( 万) 通过( 2 1 ) 式，然后厶( a ( 万) 甜) = o ，力( 万”) = 1 令g ( 兄) = j ( 2 u ) ，那么 丢g ( 五) = 丢砌o ：。一lf ( 砌皿) = 去 1 力材o ：。一la 矿( a 甜) 出 = l 力2 ( 1 一万) ：。+ 厶( 勉) i = 2 ( 1 一万) ：。 几l o 取，= 名( 万) “，然后1 ，以x f fo 8 艿” ( 一万”) r 2 ( 艿”) 旯( 万) ( 一力( 万) ) 兰g ( 万。，艿“) ， 对1 万。 万 ( 6 ”一1 ) r 2 ( 万“) 五( 万”) ( 名( 6 ) 一1 ) 三占( 万，6 ”) ， 即证之 z j l 理2 9 令厂( “) 满足( h ) ，让o 一 = 哈尔滨工程大学硕十学位论文 = 六灿巳+ 而i 砸) ， 由，( “) 0 ，可得 d p 六一巳， 故 ：。 掣d 引理2 1 0 令( 甜) 满足( h ) ，o 万 鬻挪么( 都) 掣矗，撇m ) 。 证明由 d ( 万) m ) = 扣卜l f ( 材) 出 扣卜六l 矿( “) 出 = 扣n 六( 厶( 甜) 一喇 = ( 三一南灿巳+ 六她) = 俐呲- + 六厶( z ，) ， 又由 陋胁鬻， 1 5 哈尔滨t 稗大学硕十学位论文 可知 又由 可知 特别地，若 易( u ) o d j ( ) = 扣卜l f ( ”) 出 净六l 矿( 甜) 出 = 扣n 击( m ) 一i i 婚) = ( 六i ：+ 两1 m ) ， 忱胁訾d ， i ( u ) o 引理2 1 1 令( “) 满足( 日) ，o 万 冬笋，假设厶( “) = o ，1 1 “i | 。o r m ) 叫踟叫l 乙。鬻特别地女口果m ) d 且m ) - 0 ，那么 忆邮警d 证明从l ( z 1 ) = o ，l l u l l 片。o 和d ( 万) 的定义，我们得到，( “) d ( 万) ，综上 j ( u ) - - d ( 万) 由引理2 9 证明知 故 口( 帅“六厶( 甜) m ) = d ( 万) ， 1 6 嗡刃i 绠上样大掌坝十掌位论文 忙拈鬻 特别地，从，( “) = o ，i l u l l h 。o 和d 的定义，我们得到，( “) d ，综上 j ( “) = d ，由引理2 9 证明知 2 ( p + 1 ) l l 婚+ 而1 m ) ，( 甜) = d ， 故 肛拈掣d 2 2 位势井族的引进及其性质 厶 口 此处 现在为了后面证明的需要，我门将引入一族位势井和它们的其它对应集 对0 万 0 ，( 材) d ( 万) ) u o ) ， k = u eh 1 r ”) l 厶( “) 0 ，( ”) d ( 万) ， b = u e h r ”) 1 1 1 m ，( 万) ) z j l 理2 12 让o 万 旦，那么k ( j ) c c k ，2 ( 占) ，cb ； k i 卜日1 ( 只堋m m i n m 万) 捌( 万) ) ， 1 7 哈尔溟i 程大学硕士学何论文 坼卜1 ( 尺圳：- 7 鬻) 证明首先，由引理2 5 ，i l u l l 日。 o 另一方面，从，( “) 去恻巳和恻已。 2 d ( 万) ，我们得到，( “) d ( 甜) 因 此，k ( j ) c 引理的另一半可由引理2 6 ，2 9 e 4 至r j 从引理2 8 和和的定义，我们得到 引理2 13 ( i ) 如果0 万。 万”1 那么c i ( i i ) 如果1 万” 万。 瓯那么圪c z j l 理2 1 4 假设o ，( “) d 对某甜日1 ( r ”) ，4 o ，暗示i 0 ，如果厶( 甜) 的符号在万( 4 ，磊) 改变 了，我们一定能找到一个万( 4 ，盈) 使得( 甜) = 0 ，即“n 孑，因此有 ，( “) d ( 万) ，这与，( “) = d ( 4 ) = d ( 皖) d ( 万) 矛盾 2 3 本章小结 本章首先给出了位势井的定义接着证明了位势井相关的一些引理，最后 又引入了一族位势井和它的对应集合，给出了它们对问题( 1 - 1 ) 一( 卜2 ) 的一系 列性质，通过引理阐述了这些集合之间的关系，使我们对s o b o l e v 空间中的位 势井及位势井族的结构有了清晰的认识 哈尔滨下程大学硕十学位论文 第3 章不变集合和解的真空隔离 在这部分，我们证明了方程( 1 - 1 ) 一( 1 - 2 ) 的流之下的一些集合的不变性和 问题( 卜1 ) 一( 1 - 2 ) 的解的真空隔离首先给出弱解的定义如下： 3 1 整体解的不变性 定义3 1 一个函数“= “( x ，) c ( o ，t ；h 1 ( r ”) ) ，r ( o ，t ；l 2 ( r ”) ) ，被 叫做问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 在r ”x o ，丁) 下的一个弱解，只需满足下面的条件： ( i ) ( “，v ) + ( v 甜，v v ) = ( 厂( “) ，v ) v v e h l ( 尺”) ，t e o ，丁) ， ( 3 1 ) ( i i ) u ( x ，o ) = ( x ) 在行1r ”) ， ( i i i ) f i l 材，1 1 2 d f + ，( “) ，( “。) ，v ，【o ，丁) ( 3 2 ) 定义3 2 “( f ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的一个弱解，我们定义“( f ) 的最大存在 时间r = r ( “) 如下： ( i ) 如果“( f ) 对0 f o o 存在，那么t = - t - o o ， ( i i ) 如果存在一个f 0 ( o ，o o ) ，使得甜( f ) 对o5f b 存在，但在f = t o 不存 在，那么t = ，o 定理3 1 令厂( “) 满足( h ) ，( x ) 日( 素“) ，0 e d ，4 0 ，问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的所有弱解“在( “。) = p 时属于 ，其中万( 4 ，磊) ，0 f r ； ( i i ) 只要，( “。) o 和引理2 1 4 有 厶( 甜。) o 和j ( “。) d ( 万) ， 即 n o ( x ) ，对4 8 疋 接下来我们证明“( f ) ，对4 j 以和0 f t 否则，一定存在一 + 8 0 ( 4 ，4 ) 和( o ，r ) 使得甜( 岛) a ， 即 气( “( ) ) = o ，i lu ( t 。) 峙o 或j ( “( ) ) = d ( 瓯) ， 从 刖u r1 1 2 d r + ，( “) ，( “。) d ( 艿) ，4 万 8 2 ，0 t t ，( 3 3 ) 我们能得到 ，( “( 岛) ) d ( 瓯) ， 如果 k ( “( 气) ) = o ，l i n ( t o ) l l h o ， 那么由d ( 8 ) 的定义我们有 ，( “( 气) ) d ( 瓯) ， 这与( 3 - 3 ) 矛盾，故 “( f ) ( i i ) 令“( ，) 是问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的任意弱解，其中 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 j ( u o ) = p ，i ( u o ) o ， t 是“( f ) 的最大存在时间，首先从j ( ) = p ，i ( u 。) o 和引理2 1 4 有 l ( ) o 和j ( u 。) d ( 万) ， 即 i j o ( x ) ，对4 万 盈 下面我们证明z f ( f ) 对磊 万 暖和o f 丁 否则，一定存在一个磊( 4 ，8 2 ) ，t o ( o ，丁) 使得 即 由( 3 - 3 ) 得 则只能是 “( f o ) a 吆， ( 甜( ) ) = o 或j ( “( f 0 ) ) = d ( 磊) ，( “( f 0 ) ) d ( 岛) ， 氏( 甜( ) ) = o 假设( “( ，o ) ) = o 和f 。是使气( “( f ) ) = o 的第一时间f ，那么 由引理2 6 我们有 因此， 气( “( f ) ) o ，对o f ，( 磊) ，对o ， o m 训日。，( 8 0 ) ( 暗剥“( 训h 。o ) 则，( “( 乇) ) d ( 磊) 与( 3 3 ) 式矛盾 根据定理3 1 ，引理2 8 和2 1 4 我们能进一步证明定理3 2 和3 3 2 1 哈尔浜i 程人学硕十学何论文 定理3 2 如果在定理3 1 中，假设，( ) = p ，被o j ( u 。) p 代替，那么 定理3 1 的结论也成立 证明若，( ) = p 被o ，( ) e 被代替，则有o j ( u 。) e d ，又与定 理3 1 所需条件相同，同理可证 定理3 3 让厂( “) ，u o ( x ) ，p 和瞑( i = 1 ，2 ) 与定理3 1 相同，那么对任意 万( 磊，岛) ，集合和在问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的流之下是不变的，因此 岛2 x 屯，如2 而占：是不变的特别地在( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的流之下， 只要0 ，( ) e 3 2 解的真空隔离现象 注意如果o l j r ( ) e ，那么j ( u 。) a ( 8 ) x c4 万 屯，根据( 3 3 ) 得 到对所有的万( 4 ，岛) 一定有材诺n 占因此，对问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 在 0 j ( u o ) e 时存在一个与之对应的真空区域 址= 心屯= 磊苌如虬= 扰h 1r ”) k ( 甜) = o ，一o ，4 万 岛 ， 使得问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 2 ) 在这个真空区域内没有弱解 真空区域u 。随着e 的减小变得越来越大，作为极限情况我们得到 = 卜日1 ( 尺”) i 厶( “) = 啡”0 ，o 万 瓯 ， 而且我们得到下面定理 定理3 4 让厂( 甜) 满足( h ) ，u o ( x ) 1 ( r ”) ，假设，( ) - o ，那么问题 ( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的所有非平凡的弱解在甜( f ) 的存在时间内都属于 爵= 卜何1 ( 尺训m ， 哈尔暝工程大学硕士学位论文 此处是方程啊( ，) = 去的唯一实根， 竹) = 并广1 证明令甜( f ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的任意弱解，其中j ( u 。) = 0 ，t 是u ( t ) 的最大存在时间，9 、i j ( u 。) = o 和( 3 2 ) 得，( 甜) 0 因此从 扣私lf ( “) a x 六l 矿( 扰六l 彳i “ = 两a 川y + l p + lc 川i = h ( 洲坼， 则或者日。= o 或者l l u l 圩，0 ， r o ，那么0 u 峙，对 o t t ，否则必存在f 0 ( o ，r ) ，使得o 怯( t o ) l l 圩。 r o ，这与前面l 。- - - r o 矛 盾同理，如果l 峙= o ，膨, n i l 。= o ，对于o ， 丁 从定理3 4 我们得到如下定理 定理3 5 让厂( “) 满足( h ) ，u o ( x ) h 1 ( r ”) ，然后问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 在 i i 甜。峙= 0 时的所有弱解是平凡的 定理3 6 让厂( 甜) 满足( 日) ，( x ) h 1r ”) ，假v 2s ( u 。) = o 且帆峙o ， 那么问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的所有弱解属于对0 万 磊和0 f o ， 故 j ( u ) 0 故 由 篆川p + l + 去，占( 甜) 去l ( 甜) + 万1 l 矿( “。 厶( u ) o 厶( “) o ，j ( u ) d ( 万) ， 可知问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的所有弱解属于 定理3 7 让厂( “) 满足( 日) ，u o ( x ) 日1 ( 尺”) ，假设，( ) o ，那么问题 ( 1 - 1 ) - ( 1 2 ) 的所有弱解属于v , x 寸o 万 磊和0 ， t ，此处丁= r ( u ) 是“ 的最大存在时间 哈尔滨丁程大学硕+ 学位论文 3 3 本章小结 利用位势井族理论，研究了整体解的不变性，进而研究了解的真空隔离现 象而真空隔离现象又是刘亚成教授于2 0 0 3 年首次提出的，在本章中将真空 隔离现象的条件进行推广和改进，得出了新的结论这些结论对我们研究 s o b o l e v 空间中解的分布情况有很大帮助 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 第4 章解的整体存在性和有限时间内解的爆破 在这部分，我们证明了解的整体存在性和有限时间内的解b l o w - u p ，然后 给出了问题( 卜1 ) 一( 1 - 2 ) 的整体解存在和不存在的一个门槛结果 4 1 整体弱解存在定理 定义4 1 让z f ( r ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的一个弱解，我们称“( f ) 在有限时 间内b l o w - u p 如果最大存在时间t 是有限的，i ；tl i m i l l 甜0 2d f = 佃 0 定理4 1 让厂( “) 满足( ) ，“。( x ) h 1r ”) ，假设，( ) o 那么问题( i - 1 ) 一( 1 - 2 ) 存在一个整体弱解 甜( f ) r ( o ，o o ；h 1 ( 尺”) ) ，z l f ( f ) r ( o ，；r ( r ”) ) 且甜( f ) 矿对o r o 。 证明令 ( x ) ) 是日1 ( 尺”) 中的基函数系，构造问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 近似解 ( x ，f ) = _ ( x ) ，m = l ，2 且满足如下常微分方程组的初值问题 ( u r a t 毗) + ( v ，v 嵋) + ( “。，比) = ( 厂( ) ，心) ，s = l ，2 ，聊， u m ( x ，o ) = _ ( x ) 专( z ) 在日1 ( 尺”) 中， 将( 4 1 ) 两端同乘g s m ( f ) 再对s 求和可得 j l 8 2 + 互l 磊d i i v 1 2 + o l j 2 = 磊dl f ( u m ) d r ， 对f 从0 j t 积分得 ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) 即 知 由 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 乡i “。1 1 2d f + 吉 o v “。1 1 2 + 8 “。1 1 2 一lf ( “。) d k = 扣( o ) | | 2 + 抛( o ) 1 1 2 一l f ( “。( o ) ) 出， i h u m ，1 1 2 d f + ( ) = ，( “。( o ) ) ，o $ t 0 ( ( o ) ) 专j ( ) ， 蜘0 2d f + j ( ) d ，o t b 六卜m 哈尔滨3 - _ 程大学硕十学位论文 ，l u m = 1 1 2m 陪六妒眨。缸 洚4 ， 则 m 拈掣圳纵 厂( 甜。) 炉i ( a u r a 盯出= 彳9 瞄 q 鲋c ，+ - ( 訾d 广 其中g ：出，0 t 7 因此，存在一个“和 “。 的一个子序列 使得 u v 寸掰在r ( o ，o o ；h 1 ( f ) ) 弱术收敛，且a e 在q = q 【o ，o o ) “盯专甜，在r ( o ，o o ；l 2 ( n ”) ) 弱收敛， ( 4 - 5 ) ( 4 - 6 ) f ( u o ) - - , za c ( o ，；口( r ”) ) 弱：i ：收敛，且a e 在q = q 1 0 ，o o ) 在( 4 - 1 ) 中固定s ，让m = u o o 我们得到 ( u i ) + ( v 甜，v 比) + ( “，也) = ( 厂( “) ，嵋) ，v s 另一方面( 4 2 ) 给出u ( x ，0 ) = ( x ) 在日1 ( r ”) 中，最后，从定理3 1 有 “( f ) r vx 寸o f o o f o 代替，磊 也是 方程j ( 万) = ( ) 的两个根，那么问题( 卜1 ) 一( 1 2 ) 存在一个整体弱解 甜( f ) p ( o ，；日1 ( r ”) ) ，哆( f ) r ( o ，o o ；l 2 ( r ”) ) 且z ，( ，) 对 4 艿 o ，i 玫o j ( u o ) o ，由0 ，( ) o 于万( 4 ，嘎) ， 由此及，( 甜。) = d ( 么) = d ( 嘎) d ( 万) 有 ( x ) 于艿( 4 ，嘎) ， 接下来我们证明掰( ，) 对4 万 暖和o ， 否则，一定存在个 磊( 4 ，4 ) 采l t o ( o ，r ) 使得 u ( t o ) a ， 即 ( “( ) ) = o ，她( f 0 ) 0 ， 或 ，( 材( ，o ) ) = d ( 引， 哈尔滨_ 程大学硕十学