（应用数学专业论文）一些非线性发展方程的研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 孤子理论是非线性科学中的一个非常重要的研究方向。本文主要是 利用达布变换法和多线性分离变量法分别讨论了三个重要的非线性发展 方程。 本文包括五部分内容。 第一章简要回顾了孤子的发现、发展及其意义，并介绍了原始的达 布变换、达布阵方法和最近发展起来的分离变量法。 第二章考虑k a u p k u p e r s c h m i d t 方程 ”以一抱u 莩u x u x x + 5 n 2 u x = o ， 的达布变换，并以平凡解“。= 0 作为种子解，利用此达布变换生成了 k a u p k u p e r s c h m i d t 方程的孤子解。 第三章考虑了c d g k s 方程新的l a x 对。 第四章讨论了( 2 + 1 ) 维色散长波方程组 i“+ ，7 l + “j 材，+ u u 砂= o ， i r ，+ u ，+ r u j + u r j + x r y = o ， 的多线性分离变量法，即通过p a i n l e v 6 截断展开法实现方程分离变量， 并得到新的广义分离变量解 f = q o ( y ，f ) + 只( x ，y ) q k ( y ，f ) ， 七2 l 并且讨论了变系数( 2 + 1 ) 维色散长波方程组 内蒙古师范大学硕士学位论文 t 案：誊芸， 的多线性分离变量法，即通过p a i n l e v 6 截断展开法实现方程分离变量， 并得到广义分离变量解 f = p t ( x , t ) q k ( y ，f ) k = i 第五章对本篇学位论文整体内容和研究结果进行综合概括，并阐述 了自己研究工作的价值以及今后还需要深入研究的工作。 关键词：达布变换法，多线性分离变量法，孤子解 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t s o l i t o nt h e o r yi sa l li m p o r t a n tr e s e a r c ha r e ai nn o n l i n e a rs c i e n c e i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，t h r e ei m p o r t a n tn o n l i n e a re q u a t i o n sa r em a i n l yd i s c u s s e db y u s i n gt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n dt h em u l t i - l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o n a p p r o a c h t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ri ，t h ed i s c o v e r yo fs o l i t o n sa n di t sd e v e l o p m e n t sa r er e v i e w e d b yb r i e f l y w ea l s oi n t r o d u c e dt h eo r i g i n a ld a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，t h e d a r b o u xm a t r i xa p p r o a c ha n dt h em u l t i - l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h i nc h a p t e ri i ，w ed i s c u s s e dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no f k a u p - k u p e r s c h m i d te q u a t i o n + “一幽u 竽g x u 耵+ 5 u 2 u x = o ， a n dg e n e r a t e dt h en e ws o l i t o ns o l u t i o n so f k a u p k u p e r s c h m i d te q u a t i o nb y u s i n gt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nf r o mt h et r i v i a ls o l u t i o n “l = 0 i nc h a p t e ri i i ，t h en e wl a xp a i ro fc d g k s e q u a t i o ni sp r e s e n t e d i nc h a p t e ri v ，w ed i s c u s s e dt h em u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h o ft h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a ld i s p e r s i v el o n gw a v e e q u a t i o n s a n dan e wg e n e r a lv a r i a b l es e p a r a t e ds o l u t i o n sf o r ( 2 + 】) - d i m e n s i o n a ld i s p e r - s i o nl o n gw a v ee q u a t i o n si nt h ef r o m q 却 + 仉 竹栅 ”哪 + “月一 一 内蒙古师范大学硕士学位论文 r 厂= q 0 ( y ，f ) + 最( x ，y ) q k ( y ，f ) ， k = l i so b t a i n e db yu s eo ft h et r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o na p p r o a c h i nt h i sc h a p t e r ，t h em u l t i - l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c ho ft h e ( 2 十1 ) 一d i m e n s i o n a ld i s p e r s i o nl o n gw a v ee q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s i sd i s c u s s e d an e wg e n e r a lv a r i a b l es e p a r a t e ds o l u t i o n si nt h ef r o m 厂= e k ( x ，t ) q k ( y ，f ) ， 上皇l i so b t a i n e db yu s i n gt h et r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o na p p r o a c h i nc h a p t e rv ，w es u m m a r i z e dt h ec o n t e n t so ft h i sp a p e r w ea l s od i s c u s s e dm a i na n di m p o r t a n tr e s u l t sa sw e l la st h er e s e a r c ht o p i c so ff u r t u r ei no u r w o r k k e yw o r d s ：m u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，e x a c ts o l u t i o n s 舢“ ，气 “疗 叫 w 翟 伊 = “ 咋 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：鱼猛盘一 日期：2 = o 云年占月沙日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：包扁许导师签名：崎乏 i ， 日期：砌8 年衫月2 半日 第一章引言 第一章引言 1 1 孤子理论的发展及意义 随着科学的发展，自然界中错综复杂的现象激发了人们去不断探索其本质，这使 得非线性科学得以产生并蓬勃发展。因为与线性系统相比而言，非线性模型能够更好， 更准确地描述自然现象，从而更接近现象的本质，所以人们在非线性科学发展上投入 了极大的热情，使得对非线性的研究成为现代自然科学研究的重要特征。非线性偏微 分方程在非线性科学领域中占有重要的地位，而孤子理论是非线性偏微分方程研究的 一个重要方向。因为对自然科学和工程应用的深入研究常常归纳为对非线性偏微分方 程的研究，而非线性方程极其复杂，人们很难找到一种十分有效的求解方法，因此每 一个典型的偏微分方程问题的解决都会引起人们的极大关注。孤立子理论是研究非线 性方程的主要手段之一。它的兴起给求解非线性偏微分方程及对非线性科学的研究带 来了革命性的内容和新的动力。 孤立子理论在数学上涉及如泛函分析、微分方程、动力系统、经典力学、l i e 群、 无穷维代数、微分儿何、拓扑学、椭圆函数、代数几何等许多数学分支。这使得它在 流体力学、量子场论、非线性光学、经典场论、化学、生命科学、通讯等学科都有应 用。从1 8 3 4 年r u s s e l1 1 】发现孤波以来，孤立子理论一直处于不断发展的时期。1 8 8 5 年k o r t e w e g 和d ev r i e s 发现浅水波运动方程k d v 方程。19 6 5 年z a b u s k y 和 k r u s k a l 通过数值计算对k d v 方程解的孤子特性进行了详细的研究【2 1 。随后g a r d n e r 、 g r e e n e 、k n l s k a l 和m i u r a 开创性地用反散射法，求出了k d v 方程的孤子解。l a x t 3 1 研 究的孤子方程的l a x 对理论并进行了推广，在此基础上z a k h a r o v 、s h a b a t 、a b l o w i t z 、 k r u s k a l 、n e w e l l 、s e g u r 研究了矩阵形式的l a x 对，并对反散射法进行了推广。同时 一系列求孤立子方程精确解的方法不断产生，如反散射法1 4 6 j 、b a c k l u n d 变换法【7 j l 、 达布变换法【弘l 、h i r o t a 双线性法i t 2 - 1 4 1 、l i e 对称法i t s - i ? l 、齐次平衡法u 8 1 、代数几何 内蒙古师范大学硕士学位论文 法【1 9 1 、分离变量法f 2 叭、辅助方程法1 2 l ，2 2 】等。 现在孤子理论的热点问题是对多维孤子方程的研究，但由于这些方程的多维性和 高度非线性，很难用直接方法求解这些方程，因此通常考虑将多维闯题降为低维可积 的问题。特征值问题的非线性化方法或约束流方法可以达到这个目的。早期文献主要 是通过这个方法将( 1 + 1 ) 维孤子方程分解为两个相容的常微分方程。近年来该方法被 推广到分解( 2 + 1 ) 维孤子方程为己知的( 1 + 1 ) 维可积系统。而对于复杂的( 2 + 1 ) 维方程可 以由它们的l a x 对表示，用类似的方法分解为( 1 + 1 ) 维方程，再进一步分解( o + 1 ) 维方 程即相容的常微分方程，通过求解常微分方程，从而可以求解( 2 + 1 ) 维孤子方程。 1 2 孤子系统精确解的两种构造方法 在求解孤子方程精确解的方法中，达布变换是一种构造显式解的有效方法。1 8 8 2 年，jg d a r b o u x 研究了s c h r s d i n g e r 方程： 一一( 力缈= 五仍( 1 1 ) 其中u ( x ) 是位势函数，五是谱参数。他发现若设u ( x ) 、9 ( x ，a ) 是满足( 1 1 ) 的两个函数， 对任意给定的常数旯= 厶，令，( 工) = 缈佤厶) ，若定义如下函数“7 、 材= 掰+ 2 ( 1 n 力。，妒( 五= 纹传a ) + 啾五2 ) ( 1 2 ) 其中仃一黜 贝! i 甜也满足s e h r s d i n g e t ；b - 程，即 一珐一“( 工) 妒_ m - - 五缈，( 1 3 ) 这种借助变换( 1 2 ) 将s c h r s d i n g e r 方程的一组函数( z | ，缈) 变为同一方程的另一组函 数似，缈) 的性质，称为达布定理。这是最原始的达布交换。 到了2 0 世纪6 0 年代，人们发现描述浅水波运动的k d v 方程的谱问题 材f + 6 u u ，+ ”。= 0( 1 4 ) 是关于眇的线性方程组 一伊。一u e p = 五缈，( 1 5 ) 第一章引言 仍= 却蕊一6 u c p ，一3 u ，c , a ， ( 1 6 ) 的可积条件，其中“，缈都是关于工，t 的函数，也就是说( 1 5 ) 和( 1 6 ) 是k d v 方程的 l a x 对。 进一步的研究还发现达布变换( 1 2 ) 适合s c l 拍d i l l g e r 方程( 1 5 ) 的同时还适合关于f 的演化方程( 1 6 ) ，也就是说甜和”一样也满足k d v 方程的可积条件，即u 7 是由u 导 出的k d v 方程的一个新解。这样，如果已知k d v 方程的一个解群，通过解线性方程 组( 1 5 ) 和( 1 6 ) 得到缈( 工，t ，2 ) ，取五的一个值厶，得到厂“f ) = 烈x , t ，厶) ，然后利用( 1 2 ) 就获得k d v 方程的一个新解 ，( 1 2 ) 中的缈则为相应的l a x 对的解。这就是说，为 了从k d v 方程的一个己知解得到它的新解，只须解线性方程组( 1 5 ) 和( 1 6 ) 求出缈， 再通过( 1 2 ) 就可以得到k d v 方程的一个特解，然后再将特解看成已知解使这个变换 继续进行下去，从而得到一系列解 ( ”，缈) 专( 甜，缈) 专似，d p ) 一 这就为k d v 方程的求解提供了一个有效的方法。 随后为了使达布变换方法有更大的普适性，能够解其他大量的孤立子方 程，m a t v e e v 、s a l l e 、n e u g e b a u e r 、m e i n e l 提出了达布阵方法1 2 1 。 已知( 1 + 1 ) 维微分方程为 f ( u ，u 。，u t ，u ，) = 0 ，( 1 7 ) 其可积条件为 织2 娶2 仍 ( 1 8 ) 仍= j j l ( 五) 缈， 、7 其中g ( 2 ) ，办( 五) s l ( 2 ) 是参数五的n 次矩阵多项式，缈为2 维向量。假设仍和 仍是上述特征多项式方程相应于参数 ，如( 丑如) 的两个已知的解向量， 兀五) = 甜+ 瓦由代数系统 确定，则若变换 r ( ? 仍21 ，j ：仍2 o ( 1 9 ) t ( 2 2 ) 仍= ( 如i + 瓦) 仍= 0 ， 、7 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 妒寸妙= 丁( 五) 织r g ( 五) jg7 ( 五) = ( 丁( 兄) g ( a ) + l ( x ) t 1 ( a ) ) ， i l ( 五) ( 名) = ( r ( 力) j i l ( 见) + z ( 五) r - 1 ( 旯) ) ， 满足g ( 五) ，办( 旯) s l ( 2 ) ( 位势函数u ) 且g ( 五) ，i l ( a ) 分别与g ( 五) ， ( a ) 具有相同的结 构，那么伊7 ，g ( 五) ，磊( 五) 满足 。 ， ， 纯= g ( 允) 缈，仍= j l ( 名) 伊 ( 1 1 1 ) 由方程组( 1 1 1 ) 的相容条件也可得到方程( 1 7 ) ，进而产生孤立子方程( 1 7 ) 的一个新解 甜，其中丁( a ) 称为达布阵。 达布变换方法的关键是寻求一种保持相应的l a x 对不变的规范变换。现在人们已 经用达布变换求出了如a k n s 方程族，d a v e y - s t e w a r t s o n 方程，自对偶y a n g - m i l l s 流， e i n s t e i n - m a x w e l l 方程7 h 幢1 等大量孤立子方程的解。 傅里叶变换法和分离变量法是线性物理中的两大普遍适用的方法。这两种方法都 不能直接应用于非线性方程。到2 0 世纪6 0 年代后期，傅里叶变换法被非常成功地推 广到了非线性物理中的一些所谓的可积模型中，即著名的反散射方法。而分离变量法 在非线性物理中一直没有得到非常成功地推广和应用，直到最近才在几个方向得到了 发展。比如有p wd o l y e 的几何方法、rzz h d a a n o v 的a n s a t z - b a s e d 方法、曹策问教 授提出的( l a x 对的) 非线性化方法、李翊神教授和程艺教授的对称约束法、形式分 离变量法、屈长江教授和张顺利博士等提出的基于一般条件对称的泛函分离变量法、 楼森岳教授和张顺利博士等推广泛函分离变量法从而建立的导数相关泛函分离变量 法以及由楼森岳教授等人提出和发展的多线性分离变量法。 这几种非线性分离变量法在相对独立地发展。为了更好地研究、分析、求解非线 性系统，提出新的观点，建立新的分离变量法，推广以致统一已知的各种分离变量法 的工作有待进一步进行深入研究。 1 3 论文的主要研究工作 给出k a u p k u p e r s c h m i d t 方程的达布变换，并通过达命变换构造此方程的精确解。 通过p a i n l e v e 截断展丌法以及多线性分离变量法给出常系数( 2 + 1 ) 维色散长波方 4 第一章引言 程组和变系数( 2 + 1 ) 维色散长波方程组的多线性分离变量解。 内蒙古师范大学硕士学位论文 第二二章k a u p k u p e rs c h mid t 方程 2 1 k a u p k u p e r s c h m id t 方程的d a r b o u x 变换 k a u p k u p e r s c h r n i d t 方程： 相联系的l a x 对【2 3 1 是： + 稚一+ 5 ”埘+ 了2 5 “，掰曩+ 5 u 2 u x = o ， i x = + u y x + i 1 “膏y 一兄y ：o ， + 互“膏y 一九y 2 0 ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) 一缈一一l 妇沙肼一i 4 5 材，一( - 莩u x r + 5 u 2 ) 虬一5 ( “越+ 删，渺= o ( 2 3 ) 首先基于截断展开法，根据文献【2 4 】和【2 5 】假定 ”= “l + 3 ( 1 n 缈) 。， y ：监+ y 1 缈 将( 2 4 ) 并1 1 ( 2 5 ) 式代入方程( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，可以得到如下方程： 帆。嘲+ 三一似) + ；i ( 缈。mq + 3 + 互1 + - 2 弘, o ) + 吉( 却。n + 互l 叫缈。依一3 矽；一弘) + 歹1 ( 3 沙骶织2 一三。纯+ 3 帅：) = 。， 帆一9 i 一一l5 “，沙，。一了4 5u l x 5 l , l l x a - - ( 3 2 5 + s u i ! ) l ，一5 ( u 1 u x - i - l l u l x ) 缈卜 6 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 第二章k a u p - k u p e r s c h m id t 方程 1 缈1 9 9 , o = = , + 1 5 u , y o = + 4 2 5 ，”i ，y 嘶+ ( 。3 2 5 。+ 5 u 加妇+ 5 ( u l x t x t u l u l x ) + 4 5 9 l 。+ 学+ 半+ 3 0 u t l ，1 5 9 l + 1 5 u m +l 。+ 了曩+ 了沙l 工+ ，+l +l y l + 1 5 y - - - i o t 】+ 古( 4 5 少。一纹+ 4 5 。+ 了4 5 丫。_ i 1 5 工一 6 吼+ 1 5 u i 少船+ 4 5 u i y 。纯+ 4 5 沙b 织+ 了1 5 y 。+ 芋约。少。纹+ 5 “抄。纹+ 4 5 少。+ 兰笋m 纯+ t 2 2 5 ，砖+ 2 1 0 吵。，纯+ 3 0 u l ，霞+ 7 5 9 , l 纯+ 1 0 5 9 , 1 + 4 5 u l 纯+ 1 5 u l ，刃一o 够卜 古( 1 3 如。+ t 4 0 5 吼+ l 如。，纯+ 警以+ 6 帆。缈。，旌一 譬甄纯一了7 5 甄+ 1 5 u i 甄织纵+ 3 ，y 。戎+ 1 3 影。+ 5 4 0 弘l ，卵+ 2 5 5 9 l 醭+ 315 少l 纵砖+ 3 0 u l y l 戎) 一 歹1 ( 一2 7 缈。曩识一2 7 缈。，戎+ 1 0 5 9 o 织2 + 9 缈。纯砖- 3 0 u 1 y o 霞一 2 7 0 9 , l ，- 6 7 5 u l 程) 一( 2 7 缈o ，醭一1 3 5 9 , o 碟+ 2 7 0 9 , l 醭) = o ( 2 7 ) 谚 。 设，满足方程( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，即 弘 ，i x x x + u l h + 三1 “l ，沙i 一五j = o ， ( 2 8 ) 弘i t m 9 沙。一_ 1 5 彬。砧一了4 5u i x j l l l v t - - ( 莩+ 5 ”? 帆- 5 ( u l m + u l u l x ) = 。( 2 9 ) 现在令方程( 2 6 ) 中三前的系数为o ，即 缈。 。，织一要妙。伊。+ y l 霞：o ， o ，织一j 妙。伊“+ y l 蝶2 o ， 而方程( 2 1 0 ) 是关于y 。的一阶线性微分方程，利用常数变易法可得5 c ，。的通解： l ；，o = 一强+ d ，= 建，g = l d x ， 其中c 为积分常数，卜出表示取原函数。 7 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 ，命题 看强是k a u p k u p e r s c h m i d t 万崔趵一个解，满足( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式，当 名= 厶时，厂满足( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式，则得到k a u p k u p e r s c h m i d t 方程有如下形式的 d a r b o u x 变换 ”= ”l + 3 ( i n q j ) = ，败= 2 ，( 2 1 2 ) y 嘲一丢胁。出+ 普 ( 2 1 3 ) 缈。尹 l i e n ：f l j ( 2 1 1 ) 得 9 0 ，= - l g 一启工+ 呒，( 2 1 4 ) y o 。= 一f = g 2 l g 工一店曩+ d 名，( 2 1 5 ) o 。= 一f = g 一3 f = g ，一3 l g 。一詹搬+ d 0 ，( 2 1 6 ) 将( 2 1 1 ) 和( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 式代入方程( 2 6 ) 中，得 刍卜乞g 一3 厶g x - 3 正g 。一f g 。+ 如+ “。( 一正g f g ，+ 矿) + 3 ，+ 圭( 以+ 们+ 三一廿f g + 旷) 】+ 歹1 【3 ( 厶g + 2 六g j + f g 曩一吮) 吼一 ( 一f g + 矿) 织一3 j | f ，h 戎+ 乏1 ( 一f g + 矿) 一i 9 y l 败】= 0 ( 2 1 7 ) 即 刍 ( - 厶一f 一扛+ , 2 0 f ) g + ( 乞q f + 1 ，一2 0 f ) c + 【( 旯+ , z o ) g + l g h f g l 。一二矿，一蝴f g i l 厂一2 a o f g - c ( , a 一九v ) + 古【( 2 统一r + “。厂2 ) f g 一矿( 2 以一+ “，2 ) 】= 。 ( 2 1 8 ) 设当兄= 厶时，f 满足方程( 2 2 ) ，即 厶+ ”。正+ 1 ，一厶厂= o ， ( 2 1 9 ) 再注意到 昙【( 五+ 2 0 ) g + f 缈l ，一f g i n l x g l l f g 】= o x 第二章k a u p - k u p e r s c h m id t 方程 所以， 一( 麒+ “。，+ 互1 “h y 。一五。) 一u 二+ “。六+ 三蝴，厂一厶门= 。 ( 见+ 厶) g + ：l 工一砂l 曩一厶吵l 一“1 砂l = c l ，( 2 2 0 ) 这里c 。是f 的任意函数，不妨取q = c ( 五+ 厶) ，c 为任意常数。再注意到去前系数中 够 的( 2 f f 。一+ u 1 f 。) 有 昙( 2 以一m 门= 2 ( 乞正+ 知f ) f = 2 厶r 所以 2 以一+ “，f 2 = 2 五of f 2 d r 将( 2 1 9 ) - ( 2 2 1 ) 式代入方程( 2 1 8 ) 中，得 争c ( 五+ 厶) 厂一2 厶店一c ( 名一a o ) f + 歹1 ( 2 厶店p 2 出一2 砜少2 出) = 。 ! 。 由( 2 1 1 ) 式中的f = 孵，得 f 2 d x = q ) 将( 2 2 3 ) 式代入方程( 2 2 2 ) 中，得： 即 丢【一2 厶( g c ) 门+ 7 1 【2 厶( g c ) 咖】= o ， 缈缈 。 11 一二， 2 a o ( g c ) 厂】+ 二 2 2 0 ( g - c ) f 】= 0 缈矽 。 由上面推导过程可知( 2 1 2 ) ；g l ( 2 1 3 ) 式使得( 2 。2 ) 式成立。下面证明( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式也使 得( 2 3 ) 式成立。 若再假定厂满足方程( 2 3 ) ，即 ，z 一9 k 一1 5 允一萼厶一( 萼u l 。+ 5 u d 六一5 ( 甜。+ “ ，) 厂= 0 ( 2 2 4 ) 9 d 动 2 2 2 q q q 内蒙古师范大学硕士学位论文 仍= 2 所办= 1 8 屈谢一l 畈允+ 眈+ 3 抛。以+ 1 5 u l x f f ，一1 5 “l 允+ l o u 荔f 2 + 5 u 2 f 2 ， ( 2 2 5 ) g ，2j ( 加l t + y l z ) 出= 9 加i 一+ 9 l 一。一9 y h 厶+ 9 厶曩+ 1 5 u l f , t i + 1 轭。加l x c - - 1 5 正 f ，。，+ 萼五y 。+ 萼加。，+ l 咄囊舭+ 5 “；加。， ( 2 2 6 ) 这里积分常数取零。 将( 2 1 1 ) 式代入方程( 2 7 ) d o ，并应用( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 得 扣- 1 5 u 1 厶一争，厶一( 莩i i x z + 5 u m - 5 ( u l x 。 a t u l u l x ) 门( g c ) 一 1 5 力二妒l - i s l f = , 弘, l - 3 吮y h - 1 5 u l 二吵l - 1 5 u l 鼻y l 一3 0 “l 尻y h 一 1 5 厂2 一萼厂2 + 扣( 4 5 六乞+ 1 5 儿+ 1 5 u j 以+ 萼厂2 + 4 5 “七+ 4 5 u l ，历) ( g c ) f + 6 0 f 3 厶 f ，i + 3 0 f 2 l f = e 1 + 3 0 f 3 厶 f ，l ，- 15 f 2 兵2 l 工一l5 f ，i + 7 5 u l f 3 正少1 + 1 5 u l f 4 i x + 3 0 u l x f 4 y i 】+ 【( 一6 0 厂4 二一6 吖3 ：厶+ 3 0 f 2 一 矽。 9 舰正- 3 0 u t x 厂5 ) ( g c ) 一6 。厂5 厶+ 3 。厂4 z f ，1 - 3 0 u s 厂】+ 专【3 吖5 ( 2 以一 f + ”l ) ( g c ) 】= 0 ( 2 2 7 ) 再由( 2 1 9 ) 得 厶= 厶一“。六一1 ，厂， ( 2 2 8 ) 气1 乞= 厶六一互u , x l 一“- 厶一吉“- 曩厂 ( 2 2 9 ) 在将( 2 21 ) 、( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 式代a ( 2 2 7 ) 整理得 三( 一3 0 2 0 f f x l 一3 0 2 0 f 2 1 , , ) +2 f ( + 4 沙l沙l 缈+ y 1 - 刍( 6 0 2 0 f g - c )6 0 2 0 f +3020ff。rto + 3 0 2 o f 2 y l ，缈) + l _ 【羽九厂5 ( g c ) - 6 0 2 0 f 2 ：烈g c ) - 6 0 2 0 f 4 少i 妒】+ 够。 可1 【6 0 厶厂5 ( g - - c ) 妒】：0 ( 2 3 0 ) 汐。 第二章k a u p k u p e r s c h m id t 方程 显然( 2 3 0 ) 式成立。所以( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式也使得( 2 3 ) 式成立。证毕 2 2 精确解 下面，给出k a u p k u p e r s c h m i d t 方程解的具体例子。取k a u p k u p e r s c h m i d t 方程 的一个平凡解u 。= 0 ，则满足下列方程组 厶= 厶f( 2 3 1 ) z = 9 无一 ( 2 3 2 ) 则厂= e 2 c o s ( 号) 是方程( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 的一个特解2 3 1 ，这里 乡= 3 露( x 一9 七4 ，) ，7 = k ( x + 9 k 4 ) ，k 3 = 厶 将厂代入( 2 12 ) n - 可得k a u p k u p e r s c h m i d t 方程的一个周期解 “：一3 6 k ：竺圭二堂墅圭! ( c o s 孝一4 3s i n 孑+ 4 ) 2 注：程艺教授在【2 3 】中也得到上述命题，但程艺教授是利用反d a r b o u x 变换【2 3 1 得到的 k a u p k u p e r s c h m i d t 方程的积分型d a r b o u x 变换。 内蒙古师范大学硕士学位论文 第三章c d g k s 方程 3 1c d g k s 方程新的l a x 对 拉克斯( pdl a x ) 3 1 最早指出，孤子方程可以用以下方式导出： 1 给定一个线性算子，满足以下谱方程t l p = 舛( 其中五是谱参数) 2 设参数五与f 无关，谱不变t 丑= 0 3 矽还满足以下线性方程： 仍= a 9( 彳也是一个算子) 若要求妒同时满i f = ( 3 1 ) 一( 3 3 ) ，则厶爿满足以下算子： 厶= 么三一彳= 【彳，l 】 ( 3 4 ) 称为拉克斯方程，厶彳称为拉克斯对【2 6 1 。 以下我们导出c d g k s 方程新的l a x 对。 c d g k s 方程【2 7 】为： “，+ “黼+ 5 “脚+ 5 “j “盯+ 5 u 2 甜j = 0 原相联系的l a x 对1 2 7 是： 沙砸+ u v ，= 旯少， 缈，= 9 l l f ，一+ 1 5 “5 c ，掰+ 1 5 u ，缈。+ ( 1 0 “。+ 5 u 2 p ， 现在假设c d g k s 方程的l a x 对为： l = a 3 + m u o + n u ， a = 9 0 5 + a u a 3 + b u ，a 2 + ( c l f 。+ 5 u 2 ) a + d ( “。+ u u ，) ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 第三章c d g k s 方程 其中口，b ，c ，d ，m ，l 为常数。 a l = 9 a 5 + a u 0 3 + b u ，a 2 + ( 侧取+ 5 u 2 ) a + d ( “砧+ i a u ：) 】( 0 3 + m u o + n u 工) = 9 0 8 + ( 9 m + a ) u 0 6 + ( 4 5 m + b + 9 n ) u 。a 5 + ( 9 0 m + 4 5 n + c ) “。+ ( 5 + 口m ) 材2 】a 4 + ( 9 0 m + 9 0 n + d ) “撕+ ( d + 3 口聊+ 锄+ a n ) u u ，】a 3 + 【( 4 5 所+ 9 0 以) “脯+ ( 3 口聊+ 3 a n + c m ) u u 嚣+ ( 2 6 + 砌) “：+ 5 m u 3 p 2 + ( 9 0 m + 4 5 刀) “脚+ ( a m + 3 a n + d m ) u u 。+ ( b m + 2 b n + c m + c n ) u ，“曩+ ( 5 m + 5 n + d m ) u 2 甜工】a + 9 以“榭+ 口刀材甜藤+ ( b n + d n ) u ，甜撕+ 硎“三+ d n u u ：+ 5 n u 2 ”。， 三彳= ( a 3 + 埘幻+ 以“，) 9 0 5 + a u 0 3 + b u ，a 2 + ( 似矗+ 5 u 2 ) a + d ( “掰+ u u ，) 】 = 9 0 3 + ( 9 小+ a ) u 0 6 + o a + b + 9 n ) u ，a 5 + 【( 3 口+ 3 b + c ) u 。+ ( 5 + 姗) “2 】a 4 + 【( a + 3 6 + 3 c + d ) “撕+ ( 3 0 + a m + b m + a n + d ) u u ，】a 3 + 【( 6 + 3 c + 3 d ) “一+ ( 3 0 + 3 d + c m + d m ) u u 。+ ( 3 0 + 9 d + b n ) u ：+ 5 m u 3 】a 2 + 【( c + 3 d ) “脚+ ( 1 0 + 3 d + 硎+ 西研) 掰“厨+ ( 3 0 + 9 d + c 栉) “，“。+ ( 1 0 m + 5 n + d m ) u 2 u ，】a + 如一+ ( d + 西竹) “蕊+ ( 4 d + d n ) u ，“一+ 3 咖三+ ( 西竹+ d n ) u u ：+ d m u 2 ”。 从而我们有 厶一 么，】 = ( 3 a 一4 5 m ) u ，0 5 + ( 3 a + 3 b - 9 0 m - 4 5 n ) u 。a 4 + 【( 口+ 3 6 + 3 c 一9 0 m 一9 0 n ) u 。+ ( 3 0 2 a m ) u u ，p 3 + 【( 6 + 3 c + 3 d 一4 5 朋一9 0 刀) 甜脚+ ( 3 0 + 3 d + b m 一3 a m 一3 a n ) u u 。+ ( 3 0 + 3 d 一2 b m ) u ； 0 2 + 铭，+ ( c + 3 d 一9 ，押一4 5 行) “一+ ( 1 0 + 3 d + 册一翻睨一3 a n ) u u 一+ ( 3 0 + 9 d b m c m 一2 b n ) u ，“。+ 5 m u 2 ”，】a + ”h + ( d 一9 刀) “。+ ( d + d m - a n ) u u , , , + ( 4 d b n ) u ，“一+ ( 3 d c 玎) ”三+ d m u u ：+ ( 拥- s n ) u 2 “。= 0 ， ( 3 1 0 ) 这罩令方程( 3 10 ) 中的o s , 0 4a 3 ，a 2 前系数为0 ，令ai j 式子与方程( 3 1 ) 左端相同得以 下方程组 1 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 3 a - 4 5 m2 0 ， 3 a + 3 b 一9 0 m 一4 5 n = 0 ， a + 3 b + 3 c 9 0 班一9 0 n = 0 ， 3 0 - 2 a m = 0 ， 6 + 3 c + 3 d 一4 5 m - 9 0 n = 0 ， 3 0 + 3 d + 锄一3 a m - 3 a n = 0 ， 3 0 + 3 d 一2 b i n = 0 ， c + 3 d 一9 研- 4 5 n = l ， l o + 3 d + c m a m 一3 a n = 5 ， 3 0 + 9 d b m c m 一2 b n = 5 ， 5 m = 5 解方程组( 3 1 1 ) 得以下两组解： a = 1 5 ，b = 1 5 ，c = 1 0 , d = 0 ，押= l ，以= 0 ， a = 1 5 ，b = 3 0 , c = 2 5 ，d = 1 0 , m = n = 1 再把( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 式代回方程( 3 1 0 ) 得： 厶一【丘q = ( ”，+ “撇+ 5 u u x = + 5 u ，甜。+ 5 u 2 ”，) a + ( “肛+ 嬲+ 5 “”瑚+ 1 0 u ，“二+ 5 甜三+ 5 u 2 ”囊+ 1 0 “：) = o 而( 3 1 4 ) 式中的 “，+ “+ 5 “”撕+ 5 u ，“h + 5 u 2 u x 对工求一阶偏导得 + ”一+ 5 u u = , 。+ 1 0 u ，l k + 5 材三+ 5 u 2 + 1 0 u u ； 所以( 3 1 4 ) 式可以写成 u t + 掰+ 5 “掰m + 5 u j u + 5 u 2 豁j = o ， 它恰好是c d g k s 方程。 再把( 3 1 2 ) 和( 3 13 ) 式分别代入( 3 8 ) 和( 3 9 ) 式得c d g k s 方程的l a x 对 l = a 3 + u o 1 4 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 第三章c d g k s 方程 和 a = 9 a 5 + 1 5 u a 3 + 1 5 u ，a 2 + ( 1 0 u 。+ 5 u 2 ) a ， l = 扩+ u o + u ， a = 9 0 5 + 1 5 u 0 3 + 3 0 u ，a 2 + ( 2 5 u 曩+ 5 u 2 ) a + l o ( 甜。+ u u ，) ， ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 其中( 3 1 5 ) 乘i ( 3 1 6 ) 就是原l a x 对( 3 6 ) 和( 3 7 ) ，而( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 为我们所获得新l a x 对。 1 5 内蒙古师范大学硕士学位论文 第四章( 2 + 1 ) 维色散长波方程组的多线性分离变量解 4 1 常系数( 2 + 1 ) 维色散长波方程组的多线性分离变量解 本文研究的( 2 + 1 ) 维色散长波方程组【2 8 1 0 芝繁麓芝品 ， i 仇+ 甜工+ ，7 “j + “，7 j + “田2o ， 它是b o i t it 2 9 l 等人在研究弱l a x 对的相容条件时首先得到的。曾等人应用一种修 改的代数方法求解此色散长波方程组，获得部分精确解，包括孤子解、类周期解、类 有理解、类双曲函数解、类j a c o b i 椭圆函数解等。王f 3 l j 等人利用c o l e - h o p f 变换和 分离变量法，也获得色散长波方程组的精确解，包括多孤子解、多s o l i t o f f 解、多 d r o m i o n 解、环孤子解。包1 2 8 j 等人利用齐次平衡法，也获得色散长波方程组的一些精 确解。