（应用数学专业论文）带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性.pdf

大连理丁大学硕十学位论文 摘要 本文主要是对一类带无界系数的非线性椭圆问题进行讨论，研究解的存在性和正则 性，将文献 1 中的结果进行了推广，其结果与一般的带测度资料的椭圆方程的结果形成 了对比，得到了较好的性质。并且采用逼近的方法给出证明。 第一部分引言。 第二部分假设。 第三部分给出带无界系数的非线性椭圆问题解的存在性的主要结果。 第四部分给出主要结果的证明。 第五部分结论。 关键词：非线性椭圆方程；r a d o n 测度；存在性；正则性 带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 e x i s t e n c er e s u l t sf o rs o m en o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t h u n b o u n d e dc o e m c i e n t s a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw r hc e r t a i nk i n d so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hu n b o u n d e d c o e f f i c i e n t s w eg e tt h ee x i s t e n c ea n dr e g u l a r i t yo fw e a ks o l u t i o n s ，f u r t h e r m o r e ，g e n e r a l - i z e st h er e s u l t so f 1 】w eg e ts o m eb e t t e rr e s u l t s ，w h i c ha r ec o n t r a s tt ot h er e s u l t so f e l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hm e a s u r ed a t a a l s ow ep r o v et h er e s u l t sb ya p p r o x i m a t i o n i ns e c t i o n1 ，i n t r o d u c t i o ni sg i v e n i ns e c t i o n2 ，w es e to u ta s s u m p t i o n so nt e r m st h a ta p p e a r si nt h ee q u a t i o n i ns e c t i o n3 ，t h em a i nr e s u l t so ft h ep r o b l e ma r eg i v e n i ns e c t i o n4 ，w es h a l lg i v et h ep r o o fo ft h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s i ns e c t i o n5 ，w eg i v et h ec o n c l u s i o n k e y w o r d s ：n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ；r a d o nm e a s u r e ；e x i s t e n c e ；r e g u l a r i t y i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论 文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或 其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论 文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 作者签名年上月丝日 大连理工大学硕+ 学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文 工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有权保留 论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目 作者签名 导师签名 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 本文的主要目的就是研究如下问题 - d i v ( 唏v 钆) = p 在q 中， ， ( 1 1 ) iu = 0在a q 上 、 。 解的存在性和正则性，其中qcr n ( n 2 ) 是一个有界开集，p 为q 上的有界的 r a d o n 测度。 这类问题的主要特点是椭圆算子在整个啄p ( q ) ( 明p ( q ) 通常被看成是解决这类 问题的空间) 不是很好定义的。因为当u 取值为4 - 1 时，鸟等v 让不一定属于l 1 ( q ) 。 然而对任意的礼n ，可以通过定义逼近函数h n ， f 1 k ( s ) ： 研， l 佗， ( 1 2 ) 考虑原问题的逼近问题 一d i v ( k ( ) l v 扎i p 2 v u ) 5 肛 在q 中， ( 1 3 ) i = 0 在a q 上 、7 若右端项肛属于对偶空间w 1 巾( q ) ，由h n 的定义知道k 是有界的，从而逼近问题 ( 1 3 ) 存在解u n w j 护( q ) 。得到逼近问题的解之后，很自然的就会想到是否会在某 个依赖于肛的空间里有界? 如果乱竹在某个空间有界，那么缸n 是否会在某种意义下收敛 于原问题( 1 1 ) 的解? 本文就是在这个思路下来证明这类非线性椭圆问题解的存在性。 更一般地，考虑下面问题 ：掣0 歌叻l 孔p 以乳卜弘差q 0 1 2 置 4 ， iu =在 上 、 7 p = 2 时的情形已在文献( 1 】中得到讨论，本文就是要推广的一般的非线性情形。本 文组织如下： 第一部分是绪论；第二部分是给出关于方程中出现各项的假设；第三部分列出本文 的主要结果；第四部分是主要结果的证明；在最后一部分对本文的结果进步的总结。 1 时时 佗 南南 当当 大连理工大学硕十学位论文 2 假设条件 在这一部分给出关于问题( 1 4 ) 中各项的假设，后面所有的讨论都是依赖于这些假 设条件而进行的。 qcr ( n 2 ) 是一个有界开集，p 为q 上有界的r a d o n 测度。 设盯一，盯+ 是两个实数，仃一 苦，1 p n ，假设条件( 3 1 ) 成立，则问题 ( 1 4 ) 至少存在一个弱解u w 3 p ( q ) i 1l ( q ) ，并满足 a ( x ，让) i v u i p 一2 v u v 妒d x = ，妒d x ， v 妒苫p ( q ) ，nj q 此外还存在一个非负常数c ，使得对于几乎所有的z q 都有 ( 3 2 ) 盯一 日一1 ( 一c 1 1 厂| i l m ( q ) ) 钍( z ) h 一1 ( c l i f l i l m ( q ) ) 7 n ，正是由于这个假设条件的出现，才保证了解的有界性( 见 文献 2 】) 。 如果降低方程( 1 4 ) 中右端项肛的光滑性，则仍然可以得到问题( 1 4 ) 的弱解，这就 是下面的定理3 2 。 定理3 2 若p 是q 上的一个有界的r a d o n 测度，2 一专 p n ，假设条件( 3 1 ) 成立，则问题( 1 4 ) 至少存在一个弱解u 嘲巾( q ) nl o 。( q ) ，并满足 la ( 删) i v u i p - - 2 v u v 妒出= z 妒毗咖印( q ) ( 3 4 ) 5 带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 此外日( 让) 啊9 ( q ) ，v q i n ，2 1 q ，定义函数a n ：q rh 冗+ 如下： 口舷= 曲茎甏：善：兰三 爱：葛sg 。q ，时 c 4 考虑问题( 1 4 ) 的逼近问题 卜d i v ( a ( 掣n ) i v u i p 2 v u n ) = ，在q 中， ( 4 2 ) iu n = 0 在a q 上 、7 对于口w o p ( q ) ，定义算子a 如下 a ( v ) = 一d i v ( a n ( z ，v ) l v v l p v v ) 下面欲证算子a 是拟单调算子，即对于 及 有 曼珏在叼，p ( q ) 中， ，l i m 。( a ( u j ) ，哟一u ) ) o ， ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) l i m ( a ( u j ) ，吻一移) ) ( a ( 珏) ，髓一移) ) ，v v 蚵p ( q ) ( 4 6 ) j 一 7 带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 由算子a 的定义知 ( a ( ) ，一钆) ) = 上。n ( z ，) i 由于 所以 = l 弋t u ji p 一2 v v ( u j u ) d x o 竹( z ，u , ) ( i v u j l p 一2 v 呦一 十知z ，u j ) l = ( i ) + ( i i ) i v u i p _ 2 v u ) v ( u j u ) d x v u l p v u v ( 一u ) d x 曼u 在w 1 ，p ( q ) 中， ( i i ) 一0 ， 当j o o 时 因为( i v u j l p 一2 v 呦一i v u l p - 2 v u ) v ( u j u ) 0 ，所以 ( i )乜古( i v u j i p - 2 v u i i v u i p 一2 v u ) v ( j q 综合( 4 7 ) ，( 4 8 ) ，( 4 9 ) 有 所以 u ) d x ( a ( ) ，u j 一让) a 声1( 1 w jj p 一2 v 一i v 让i p 一2 v 钆) v ( 一u ) d x j q 结合( 4 5 ) 可以得到 又因为 所以 1 i m ( a ( 乱) ，u j 一让) ) = j o 。 堕( a ( u j ) ，一u ) ) 0 j ， l i m ( a ( u j ) ，呦一u ) ) = 0 ，- o 。 j i m a n ( z ，u ) l w l p 2 v u v ( u j u ) d x = 0 ， 3 - - - , x ) ，q l i m ( a ( ) 一a ( u ) ，u j u ) ) = 0 j + o 。 8 ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 大连理t 大学硕士学位论文 上式左端可改写为 ( a ( ) 一a ( 仳) ，u j 一钆) ) = ( z ，) j v i p 一2 v v ( u j u ) d x 一a n ( x ，u ) v u p - 2 v u v ( u j ，s2，& z = a n ( z ，嘶) ( i v u jl p - 2 v 一i v ”| p - 2 v 缸) v ( u j u ) d x ，q + ( ( z ，) 一a n ( x ，珏) ) l v 锃l p 一2 v 锃v ( u j u ) d x ，1 2 ( i i i ) + ( ) 首先考虑( ) 。因为曼u ，在w j p ( q ) 中，所以 v ( 吻一牡) 墅0 ，在三p ( q ) 中 u ) d x ( 4 1 5 ) 下欲证( ( z ，u j ) 一n t l ( z ，让) ) i v u i p 一2 v 让在l p , ( q ) 中是强收敛的，其中；1 + 多= 1 。 由于 并且 ( n n ( z ，) 一口几( z ，缸) ) j 所以i w l p 一1 l p ( q ) v u l p - 2 v u ic v u i p ， fl v u l 1 ) p 出= z l v 妒 进而 ( ，u 3 ) 一( z ，乱) ) 从而有子列，不妨仍记为 ) ，使得 v u l p 一2 v t 正斗o ， n e x q ( 。n ( z ，呦) 一口n ( z ，缸) ) i v u l p 一2 v 让里0 ，在三p 7 ( q ) 中 由l e b e s g u e 控制收敛定理知 综上可知 i l i m | j o o ，ql ( 。几( z ，) 一口n ( z ， ) ) i v 饥i p 一2 v 扎i d z ：0 ( i v ) _ 0 ，当j _ o 。时 下面考虑( i i i ) ，由文献【6 知 ( a ( u a a ( 缸) ，一u ) c ，i v 一v u p d x j 1 2 9 ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) 带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 j 1 i r a 。 q v u j v u i p 出 1 ，所以 器一o 。，洲慨q ，一姗 ( 4 2 。) 结合( 4 6 ) ，( 4 2 0 ) 以及a 是有界算子和，l m ( q ) ，由文献【7 中的伪单调算子理 论可知逼近问题( 3 1 ) 至少存在一个解u 竹叼p ( q ) nl o o ( q ) ，且满足 a n ( z ，t 正n ) l v u n i p 一2 v u n v 妒d x = ，妒d x ， v 妒w 0 1 p ( q ) ( 4 2 1 ) ，q，q 对于n n ，且礼 q ，定义函数h 礼：rhr + 如下 k e s ，= l 茎2 暑量竺三 爱：j 譬sg 。时 c 4 忽， 对于k 0 ，在( 4 2 1 ) 中令妒= g k ( 巩( u n ) ) ，在这里 凰( s ) = 懈。1 ( t ) d t 大连理工大学硕士学位论文 则有 因为 a n ( x ，让n ) l v u n p 一2v u n v g k ( h , , ( u n ) ) d x = f g k ( h n ( u n ) ) d x ( 4 2 3 ) ，q，n v g 七( 风( 乱竹) ) = g ：( ku n ) ) 南v u 竹， g 如) = r 嚣i s l 七，i v i p d z = 上i v ( 1 i 一老) + i p d z e 3 ( 上i ( 1 l 一) + l p + d z ) 笋 ( 4 3 。) ， i t ，t l i 七 ，q，q 带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 且v f k ，都有 z q ：i v n i f ) c 和q ：i v n l 七) ，所以( 4 3 0 ) 可变为 z i 七，i v 秒n i p d x c 3 ( z u 。1 2 。，i ( 1 l 一后) + l p + d z ) 参 ( 4 3 1 ) 综合( 4 2 9 ) 与( 4 3 1 ) 有 而 所以有 i v , , i k l p d x c 4 ( a ( 七) ) 1 一击一专) 舟譬 ( 4 3 2 ) j i 钉。i 0 i i i 一七i p d x ( 1 一k ) p + a ( f ) ， ， | f z 卸) 若希( 船) ) ( 1 。蚌) 6 譬 记，y = ( 1 一鬲1 一专) 与譬，由于 例1 一熹一两n - p ) 高 ( 4 3 3 ) ( 4 3 4 ) =丽(m瓦n二p-而1-=ran两)-1mnp m n m pm p ，( 4 3 5 )( 一 十 ) 一 2 p 7 其中1 1 。进而v 1 k 有 卸) 矗印( n 这样由 2 】知存在k o 0 ，使得a ( k o ) = 0 ，即m e a s x q ：i v n f k o ) = 0 故 i k 一( q ) k o 从而存在与n 无关的正常数c 0 ，使得 l j 忆一( q ) c oi i f l l l m ( q ) ， ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) 即 一c o i i f l l l n ( f 2 ) ( 乱n ) c 0 | | 厂l i 工m ( q ) ( 4 3 8 ) 令 t 一= h 。( c o 川b ( q ) ) ，t + = h 。1 ( c 0 1 1 1 1 二。( n ) ) 由假设条件( 3 1 ) 知t 一与t + 的定义是有意义的，并且盯一 t 一 0 t + m o z 够+ 1 ) n 。，q ) 都有 口n ( z ，钍n ( z ) ) = a ( x ，u n ( z ) ) ， a e z q 则札n 就是问题( 1 4 ) 的解，并且满足( 3 3 ) 。 这样就完成了定理3 1 的证明。 下面我们来证明定理3 2 ，定理3 2 的证明需要用到定理3 1 和估计式( 3 3 ) 。 定理3 2 的证明： 取 厶) cl 。( q ) ，使得 厶墨p ， 并且 i 厶怯( n ) c ， 其中c ，是一个与死无关的正常数。 令锃n 是逼近问题 0 0 p 隅州p q 乳j 套裟。 ( 4 3 9 ) i i = 在a q 上。 、 的解。 由定理3 1 知，问题( 4 3 9 ) 是存在解u n 叼p ( q ) nl ( q ) 的，并且存在t n ，一和 t n + 使得 盯一 t n ，一乱n ( z ) t f l ，+ 0 ，取t k ( h ( u n ) ) 为逼近问题试验函数，从而得到 n ( z ，u n ) l v u n i p _ 2 v v t k ( h ( u n ) ) d x = a t k ( h ( u 礼) ) d x ( 4 4 4 ) j qj q 由瓦的定义知 l v t k ( h ( u 几) ) l p = 砖 ( 乱佗) 寺l v u n l p 结合假设条件( 2 4 ) 可知 i v t k ( h ( u 他) ) l p 出= ( 九( u 几) ) 寺i v u 佗i pd x t ，q t ， 1 日( t n ) l 知 = h ( u ) l w n i p 。2 v v t k ( h ( u n ) ) d x ( 4 4 5 ) o ( z ，乱n ) l v u n i p v u 佗v t k ( h ( u n ) ) d x 大连理工大学硕士学位论文 fl v t k ( h ( 乱n ) ) i p d z z 厶疋( 日( 钆n ) ) d z c 2 圳厶忆，( q ) = c 3 后 ( 4 4 6 ) 矽o s ，：手；二：至三鎏2 时， a ( x ，) l v u n i p - ：v u 竹v 矽( 日( 缸竹) ) d x = 厶妒( 日( u n ) ) d x ( 4 4 7 ) ，q，q a ( x ，) l v u np 一2 v v 妒( 日( ) ) d x ：a ( x ，钆n ) 危两1 ( 乱n ) l v u n i p d x ( 4 4 8 ) ，n j b k 厶1 w ( 酬) l p 扣名。祷帆l p d z( 4 4 9 ) a ( x , u n ) 占( ) 危暑( ) l v u n l p 血 、 上。l v 矽( 日( ) ) f p 血c 4 上。口( z ，u n ) 危芦1 ( 让n ) i v i p 血 带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 v q k q i b k l ， 其中q + 满足矿1 = i 1 一丙1 ，所以 i b k l _ 丙1 - z 。i h ( 训r 兆 令c 6 ：毒，则有 ， 小酏郴出铂( p 郴) 1 弓南 从而对任意的自然数n o 都有 七e 霎。b 。 v h ( u n ) l q d x - c 6 。e 泓i h ( u n ) l q * d x ) 1 。；( 蠢南广 所以有 z i 肚j k 删蚓i ( 肌+ k 三：n n ，j b k i ( 训口d z i ，q 1 日( t n ) j 伽)一 n “j i h ( u 删蚓i v 酬mk 壹= n nj h b k 酬n ) i 伽一 鲫吾+ c 6 1lh(un)ll州酗k(n釉)c61 h ( u n ) i i l ( 蠢南) c 7 佗占+一i ：i 万 酉l ， 其中c 7 ：若i q l l 一；由s o b 。1 e v 嵌入不等式有 惮川备c s n o 旦+ i i h ( u n ) i q * ( 1 面- q ( 囊南计 在( 4 5 6 ) 中适当的选取n o ，则有 i i h ( u 竹) i l l 。( q ) c o d 彩 印 q 鄙 唧 曩 曩 & 5 5 5 5 心 h h 大连理工大学硕十学位论文 结合( 4 5 5 ) 知 i i s ( u n ) l i l a ( q ) c i o ( 4 5 8 ) 故v 口 必n - 1 ，s ( u 竹) 在叼9 ( q ) 中有界。结合( 4 4 3 ) ，进而有 日( u n ) ) 的子列，不妨 仍记为 日( 让n ) ) ，使得 日( ) 望日( “) 在叼，g ( q ) 中， 日( ) 叫s ( u ) a e z q 再结合( 4 4 6 ) 知 t k ( h ( ) ) 望t k ( h ( u ) ) 在啊，p ( q ) 中 由弱下半连续性得 i v t k ( h ( u ) ) i pd x c 3 k ( 4 5 9 ) 由于2 一丙1 p 1 ，所以 叼口( q ) c 三9 ( q ) cl 1 ( q ) 从而h ( u ) l 1 ( q ) ，即s ( u ) 在q 上几乎处处有限。结合假设条件( 3 1 ) 则得 m e a s ( u = 盯一) ) + m e o s ( 1 ，及 0 定义集合日，易，马 易= z q ：l 钍竹i 歹) u z q ：i u l 歹) u z q ：l v u n l 歹) u z q ：i v u i 歹) ， 易= _ ( z q ：i u n 一钍i e ) ， e 3 = z q ：i 让n u i ，l u n i j ，i 牡i j ，l v u n l j ，i v u l 歹) ，i v u n v u i 入 则有 z q ：i v 一v u i 入) ce 1ue 2u 易( 4 6 0 ) 由于 钍n 璺乱在嘲，p ( q ) 中， u 疗骂u在汐( q ) 中u 疗叫仕( szj 中 17 带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 所以u n 依测度收敛于仳故对于固定的仃 0 ，存在自然数t t o ，使得 i 易l 要，v n n o ( 4 6 1 ) 由于 v u n ) ， 札钆 在l 1 ( q ) 中有界，且u ，v u l 1 ( q ) ，所以 i e f 昙，v n n 和足够大的j ( 4 6 2 ) 下面证欲存在7 和，使得 i 忍i 罢，v 佗 7 ，其中j 满足( 4 6 1 ) ( 4 6 3 ) 对于 0 ，j 0 ，取 v = 正( u n 一乃( u ) ) ， 为( 4 3 9 ) 的试验函数( 由于乃( u ) 和正钾都属于哪p ( q ) ，所以这样的选取是合理的) 可 得 f a ( 训圳v 也n p - 2 v u n v vd x = 上厶秒n( 4 6 4 ) ，2 所以有 i fa ( z ，u 圳v u 胛。2 v v ( 钆竹一t j ( 乱) ) d z i = i z 厶钉出i c ， ( 4 6 5 ) 而 n ( z ，u n ) l v u n l p - 2 v v t 。( u n 一乃( 札) ) 血 o ( z ，) l v 仳np _ 2 v t j ( u ) - v t 。( u n 一乃( 钆) ) 出 + a ( x ，u n ) l v u i p 一2 v u 竹一a ( x ，钆n ) l v u n l p 一2 v t j ( u ) - v ( u 竹一乃( 札) ) ) ( e ( i 一t j ( u ) j ) d x = ( i ) 4 - ( i i ) ( 4 6 6 ) 首先考虑( i i ) a ( x ，n ) l v “np 一2 v 一o ( z ，u n ) i v u n | p 一2 v 乃( u ) v ( u n 一乃( 札) ) x e ( f 一t j ( u ) 1 ) d z 2 o ( z ，让竹) l v u n i p - 2 v u n a ( x ，u n ) l v u n p v 弓( 钆) v ( u n 一乃c a ) ) x e ( j u n t j ( u ) 1 ) d x o ( z ，乱n ) i r a n l p 一2 v u 竹一a ( x ，u n ) l v u n i p 一2 v u v ( 乱n u ) d x ( 4 6 7 ) 1 8 大连理工大学硕士学位论文 由于 n ( z ，钍靠) l v u n l p 。2 v 一a ( x ，乱扎) l v l p 2 v 翻v ( u 竹一牡) 0 ， 所以存在一个实函数- 7 ：q 一 0 ，+ o 。) ，满足 m e a s x q ：，y ( z ) = o ) = 0 使得对于l v u n v u i 入，l 钆n i j ，l u i j ，l v u n i j ，l v u i j ，有 【n ( z ，让亿) l v i p 一2 v u n a ( x ，让n ) l v u n l p 一2 v u v ( 也n 一 ) 7 ( z ) ，口e x q ( 4 6 s ) 结合( 4 6 7 ) 与( 4 6 8 ) 可得 7 ( x ) d x ( i i ) ( 4 6 9 ) 即 厶一y ( z ) 如上口( z ，“竹) l v 札n i p - 2 v v 正( 一t j ( 钆) ) 出一( i ) ( 4 7 0 ) 取乃( 让n ) 为试验函数，则有 o ( z ，) l v u n i p v u n v 乃( u 竹) d z = 厶乃( u n ) d x ( 4 7 1 ) ，q ，q 由假设条件( 2 1 ) 和( 2 4 ) 所以 l v 乃( 乱n ) | p c i x = i v u n l p d x ，n j i u n i j ) 三z 口( z ，) i v 乱n i p - 2 v u n 。v t j ( u n ) 血 ( 4 7 2 ) 扣圳硪q ) t j ( ) 望乃( u ) 在w j ( q ) 中 对任意的k ，j 0 ，由( 4 7 2 ) 及v i t a l i s 定理有 口( z ，瓦( u n ) ) i v t k ( ) i p z v 乃( “) 里。( z ，t k ( 让) ) i v t k u l p 一2 v t j ( u ) 由 8 ， 9 知 ( 4 7 3 ) 在( p 7 ( q ) ) 中 ( 4 7 4 ) z q ：j 乱n 一乃( 让) i e ) c z q ：l 珏n i j + 占) 1 9 带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 o ( z ，u , , ) l v u 竹i p 2 v t j ( u ) v t 。( u n t j ( u ) ) d x i ，q = o ( z ，u n ) l v u n i p 一2 v t j ( u ) v ( u n t j ( u ) ) x e ( 1 让n t j ( u ) 1 ) d x ，q = n ( z ，乃托u n ) ) l v 乃+ 。( | u 。) i p 2 v t j ( u ) v ( t j 托u n ) 一t j ( u ) ) x e ( i 一t j ( u ) 1 ) d x i ，q r l i ，m a ( z i v 仳n i p 一2 v 乃乱v 正u n 一乃乱d z ( 4 7 6 ) = n ( z ，t j + 。( 札) ) f v 乃托( “) l p - 2 v 乃( 让) v ( t j 扣u ) 一弓( u ) ) x e ( 1 u t j ( u ) ) d x ，n 觋上巾，t j 一乱) ) | v 乃“) | p _ 2 v t j ( u ) v ( t j 一乱) 一t j ( 让) ) 矧卜乃( u d z _ 0 r e 3 化) 出害， 札 ( 4 7 8 ) l e v i 詈 由假设条件( 2 4 ) ，v7 尚有 i 口( z ，u n ) i w i p - 2w i r ( ) f v 札n lo p - 1 ) r = i v h ( u n ) i p 一1 p ( 4 s 2 ) 大连理- t 大学硕士学位论文 上l 。( z ，“n ) i v u n i p - - 2v u n i r 出上h ( u n ) l - 1 ) 7 出 ( 4 8 3 ) 聊小嚼 g ( q ) v q 等旱， 勇：f i r ( p 一1 ) 等半，由v i t a l i 7 s 定理知 n ( x , u n ) i v 让胛- 2 v “n 堡n ( 删) i v u | p - 2 v 札，在( 州驯中，v r 0 ，所以有 日- + 一c l i ，| | l m ( q ) 风u n ) t i t f i l l m ( q ) 丑+ 一s ， 即 盯一 m n z ( p + 1 ) n o ，q ) ，有 n n ( z ，u n ( z ) ) = n ( z ，u n ( z ) ) ，a e x q ( 4 9 0 ) 所以，u n 就是原问题( 1 4 ) 的解。 到此，定理3 3 证明完毕。 2 2 大连理工大学硕士学位论文 5 结论 本文主要研究类了带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性和正则性。在关于“( q 上的有界r a d o n 测度) 和日的不同假设条件下，主要分为两种情况，即日有界与日无 界，推广了文献 1 的结论，得到了较好的结果。 并对这些结果给出具体的证明，主要采用了逼近的方法，即通过对函数a ( x ，s ) 和测 度弘的逼近，考虑其逼近问题解的性质，使得逼近问题的解在某种意义下收敛到原问题 的解。 大连理_ t 大学硕士学位论文 6 参考文献 【1 】l o r s i n a ，e x i s t e n c er e s u l t sf o rs o m ee l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hu n b o u n d e dc o e f f i c i e n t s j ， a s y m p t o t i ca n a l y s i s ，2 0 0 3 ，3 4 ( 3 - 4 ) ：1 8 7 - 1 9 8 【2 】g s t a m p a c c h i a ，l ep r o b l 色m ed ed i r i c h l e tp o u rl e s6 q u a t i o n se l l i p t i q u e sd us e c o n do r d r e d c o e f f i c i e n t sd i s c o n t i n u s j ，a n n i n s t f o u r i e r ( g r e n o b l e ) ，1 9 6 5 ，1 5 ( 1 ) ：1 8 9 - 2 5 8 【3 l b o c c a r d o ，t g a u o u e t ，n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hr i g h t h a n ds i d em e a s u r e s j ， c o m m i np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 2 ，1 7 ( 3 - 4 ) ：6 4 1 - 6 5 5 【4 l b o c c a r d o ，t g a l l o u e t ，n o n l i n e a re l l i p t i ca n dp a r a b o l i ce q u a t i o n si n v o l v i n gm e a s u r e d a t a j ，j o u r n a lo ff u n c t i o na n a l y s m ，1 9 8 9 ，8 7 ( 1 ) ：1 4 9 - 1 6 9 【5 】p b 百n i l c m ，l b o c c a r d o ，t g a l l o u e t ，r p i e r r e ，j l v a z q u e s ，a nl l - t h e o r yo fe x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s j ，a n n ，s c u o l an o r m s u p p i s ac 1 s c i s e r i v ，1 9 9 5 ，2 2 ( 2 ) ：2 4 0 - 2 7 3 【6 】a n d r e ad a l l ，a g l i o ，l u i g io r s i n a ，o nt h el i m i to fs o m en o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n - v o l v i n gi n c r e a s i n gp o w e r s j ，a s y m p t o t i ca n a l y s i s ，1 9 9 7 ( 1 4 ) ：4 9 - 7 1 【7 】j l l i o n s ，q u e l q u e sm 6 t h o d e sd el 聪s o l u t i o nd e sp r o b l 6 m e sa u xl i m i t e sn o n - l i n 6 a i r e s m ，p a r i s ：d u n o d ，1 9 6 9 ( p 译本：非线性边值问题的一些解法郭柏灵、汪礼祁 译中山大学出版社1 9 9 2 ) 【8 】l b o c c a r d o ，j i d i a z ，d g i a c h e t t i ，f m u r a t ，e x i s t e n c eo fas o l u t i o nf o raw e a k e r f o r mo fan o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ，r e c e n ta d v a n c e si nn o n l i n e a re l l i p t i ca n dp a r a b o l i c p r o b l e m s ，p b e n i l a n ，m c h i p o t ，l c e v a n s ，m p i e r r e ( e d s ) ，p i t m a nr e s e a r c hn o t e s i nm a t h e m a t i c s ，s e r i e s2 0 8 【9 j m r a k o t o s o n ，q u a s i l i n e a re l l i p t i cp r o b l o m sw i t hm e a s u r e sa sd a t a ，d i f f e r e n t i a la n d i n t e g r a le q u a t i o n s j ，1 9 9 1 ，4 ( 3 ) ，4 4 9 4 5 7 10 】l b o c c a r d o ，o nt h er e g u l a r i z i n ge f f e c to fs t r o n g l yi n c r e a s i n gl o w e ro r d e rt e r m s j ，j e v 0 1 e q u ，2 0 0 3 ，3 ( 2 ) ：2 2 5 - 2 3 6 2 5 带无界系数的非线性椭圆方程解的存在性 【1