（应用数学专业论文）n约化离散kp系列的递推算子.pdf

摘要 本文主要研究k p 系列和离散k p 系列( d k p 系列) 的流方程和 遗推算子的相关问题我们得出了离散k p 系列流方程的一种一般表 达式可以看出，在这利表达中，位移算子a 是离散k p 系列和经 典k p 系列的显著区别进一步，我们得到了n 约化离散k p 系列流 方程的一利- 递归表达 关键词：k p 系列，d k p 系列，流方程，递推算子 1 1 1 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ea s s o c i a t e dp r o b l e mo ft h ek p h i e r a r c h ya n d d i s c r e t ek p ( d k p ) h i e r a r c h y w ed e r i v e dag e n e r a le x p r e s s i o no ft h ed i s c r e t e k p ( d k p ) h i e r a r c h y sf l o we q u a t i o n t h es h i f to p e r a t o rai st h ed i s t i n c t d i f f e r e n c eb e t w e e nd k p h i e r a r c h ya n dc l a s s i ck ph i e r a r c h yi nt h i se x p r e s s i o n f u r t h e rw es h o war e c u r s i o ne x p r e s s i o nf o rt h ef l o we q u a t i o no ft h en - r e d u c e d d k p h i e r a r c h y k e y w o r d s ：k ph i e r a r c h y , d k ph i e r a r c h y , f l o we q u a t i o n s ，r e c u r s i o no p e r - a t o r 1 v 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：局葛签字日期：2 翌 旦：鱼： 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 签字同期： 口保密( 年) 局玉 2 0 f o 6 8 导师签名： 签字嗍j 么尘产 致谢 首先感谢我的导师程艺教授和贺劲松教授，在三年的学习和生 活中，他们给予了我诸多的教诲和关怀。我从他们那里不仅学到了 不少专业知识，更多的是对待科学研究的严谨作风。感谢李翊神教 授，在他的悉心指导下，我的学习和研究工作有了长足的进步。 感谢陈效群老师、左达峰老师和同组的师兄弟姐妹们：田可雷、 虞静、李小冬、涂俊壹、程秋盛、程纪鹏、李传忠等。我们大家在学 习生活过程中建立的友谊，必将终身难忘。感谢张斯伟、黄稚新和 张伟三位老师，谢谢他们在三年中给予的各种帮助。 最后，我要感谢我的父母，感谢家人和朋友，感谢大家为我做 的一切。 第一章引言帚一早jii 孤子与可积系统的研究，最早可以追溯至u 1 8 3 4 年，英国科学家j s c o t t r u s s e l 在从格拉斯哥至爱丁堡的运河中发现一种不寻常的水波1 8 4 4 年，r u s s e l 向英国皇家科学院提交报告f 2 】：我正在观看沿不宽的水道由两匹马牵引迅速 向前的一只小船的运动当小船骤然停止时，水道中为小船所推动的一大堆 水却并不停止，水积聚在船头前面猛烈地激动着，然后水浪突然呈现出一个 很大的、孤立的凸起，那是一个滚圆而光滑、周界分明的水堆它以巨大的速 度向前滚动，而将小船留在它后面这一水堆沿着水道继续行进并没有明显 地改变其形状或降低其速度我骑马紧跟，并追上了它，它仍保持其原来的大 约3 0 英尺长、1 英尺至1 英尺半的高度的外形以大约每小时8 或9 英里的速度滚 滚向前渐渐地它的高度下降当我追赶一、二英里后在水道的弯曲处它不见 了 这次发现的奇特景观促使r u s s e l 开始广泛的水波实验研究，他认为这不 是普通的水波，因为普通的水波是由水面的振动形成的，在扩展一小段距 离后会自行消失；而他观察到的这个水团，却具有规整光滑的形状，以稳 定的速度在水面上移动，衰减得也很慢他把这种奇特的现象命名为“孤立 波”r u s s e l 还模仿运河的实际状况建造了一个狭长的大水槽，模拟当时的条 件，果然从实验上再现了当时观察到的水波他认为这应该是流体运动的一 个稳定解，但是始终未能从理论上证实孤立波的存在直至u 1 8 9 5 年，荷兰数 学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究浅水中小振幅长波运动时，考虑到可 把水简化为弹性体，还注意到水具有非线性特征与色散作用，在一定条件下 会形成相干结构，他们由此提出了浅水波运动方程【3 】： a n吒j 3 、叮0 2 n 。 群2 云( 石矿籼叩+ i 莽) 盯= 扣等 其中7 7 为波面高度，h 为水深，g 为重力加速度，p 为水的深度，q 是与水的匀速 流动有关的常数，t 是水的表面张力此后k o r t e w e g 署n d ev r i e s 利用行波法求 出了与r u s s e l 描述相一致的孤立波解如果作变换 亡= 丢屈， 2 0 1 0 年 中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章引言 z 一嘉， 11 让。互叼+ 吾q ， 则方程可以改写为标准的形式 钆+ u 茁z z + 6 u u = 0 这就是著名的k d v 方程，它可以描述物理学中很多有趣的现象，如描述微小 振幅的水波的渐进变化、冷等离子体中的流体磁力波、非调和晶体中的离子 声波等 e n r i c of e f m i 在夏季访问l o sa l a m o s 国家实验室时，与j p a s t 卿s u l a m 合作，利用名口q m a n i a ci 的计算机作了有名的实验，他们分析了由6 4 个小 球所组成的一维动力系统，相邻的小球用弹簧连接起来，小球之间的相互 作用包含了非线性项他们的主要目的是针对这个系统的不同模式，计算出 趋近于能量平衡位置的速率然而，出乎他们意料之外的是，系统并不显示 出趋近于能量平衡的趋势，却不断地重复初始状态1 9 5 4 年1 1 月f e r m i 去世 后，p a s t a 和u l a m 完成了最后几个例子的计算，并写出了至今从未发表的一 份手稿【4 】 1 9 6 5 年，z a b u s k y 和k r u s k a l 成功地将f e r m i - p a s t a - u l a m 模型描述为k d v 方 程的孤立波他们在数值分析中观察到了“孤立波脉冲”，这种脉冲之间的相 互作用是非线性的，但是在相互作用结束时，它们除了一些相移之外，形状 和大小都不发生变化，表现出类似于粒子的性质 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 利用反散射方法( i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r mm e t h o d ) 求解出了k d v 方程n 个孤立波相互作用的精确 解 5 】1 9 6 8 年，p e t e rl a x 将这种方法推广到更一般的情形，使之可以用于 一系列的非线性演化方程 6 1 1 9 7 4 年，a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r 提出 了a k n s 方法 7 】，进一步将反散射方法进行了有效的推广由此，越来越多的 数学家对该领域产生了了浓厚的兴趣，研究文章层出不穷，包括l a x ，g e l f a n d ， d r i n f e l d 等在内的著名数学家都对孤立子与可积系统进行了研究，取得了一 系列重要的成果f 8 1 6 孤立子与可积系统的研究是一个十分广泛的领域，其中包含了数学物 理的许多分支一方面可以从微分方程理论和分析的角度来加以研究，例如 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章引言 反散射方法，它有效地解决了很多非线性方程的求解问题：另一方面，也可 以从几何的角度出发，通过空间中曲线和曲面的局部性质来构造孤立子方 程。上世纪7 0 年代，g e l f a n d 和d i c k e y 等奖代数的方法引入了可积系统的研 究【1 5 1 ，提出- j g e l f a n d d i c k e y ( g d ) 系列，通过变分法来构造p o i s s o n 括号接 下来，a d l e r 对其进行了清晰地表述并推广到n 阶变分算子的情形f 1 7 1 9 通 过对g d 系列h a m i l t o n i a n 结构的研究，对可积系统有了深刻的认识8 0 年代， d r i n f e l d 和s o k o l o v 通过建立n 阶矩阵算子和微分算子的对应关系，给出了上 述结果的k a c - m o o d y 代数解释1 1 1 从8 0 年代起，k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i ( k p ) 系y l j 的研究f 1 2 ，1 5 1 ，开始成为 经典可积系统中最重要的课题之一1 9 8 3 年，d a t e ，k a s h i w a r a ，j i m b o 和m i w a 证明了k p 系列的7 - 函数存在性定理【1 2 】9 0 年代，r a d u l 彻底解决了基于拟 微分算子描述的k p 系列中关于h a m i l t o n i a n 结构的问题1 2 0 】m m u l a s e 在 2 l 】中写到： “1 9 8 0 年以来，k p 理论发展迅速，与数学的众多分支建立了联系，它们包 括：代数曲线，e 函数，交换常微分算子，s c h u r 多项式，无穷维g r a s s m a n n i a n s 流形，仿射k a c - m o o d y 代数，顶点算子，l o o p 群，j a c o b i a n 簇，c a u c h y r i e m a n n 算子的行列式，辛几何，弦论，共形场论，代数曲线的模空间上的线丛及其 上同调，曲线的切丛，p r y m 簇，交换偏微分算子，2 维量子引力，矩阵模型， 模空间上同调类的相交理论如果要使上述列举更完整的话，我们还必须加 上应用数学的很多分支! 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流 的地位已经发生了变化，离散数学( d i s c r e t em a t h e m a t i c s ) 的重要性逐渐被人 们认识由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了 的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切 相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型； 又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加 以处理在数学中，离散化关注连续模型和等式转化为离散形式的过程离散 化通常是处理对象使其易于数值计算机进行数值评估和处理的第一步因此， 离散k p ( d k p ) 也逐_ 渐成为可积系统研究中一个重要课题 本文将主要利用w s t r a m p p 和w o e v e l 提出的方法【2 2 1 ，研究离散k p ( d k p ) 系列的n 约化问题，得出一种算子的递归表达式其结构如下：第二章 回顾经典k p 系列的相关结果；第三章给出d k p 系列的定义和基本性质，求 2 0 1 0 年 中国科学技术大学硕士学位论文 第4 页 第一章引言 出流方程的一种表达；第四章给出约化下d k p 系列的递推算子；第五章总 结本文的主要结果以及提出问题 第二章经典k p 系列的相关结果 这一章我们简单回顾一下k p 系列及其流方程 k p 系列的定义基于一阶拟微分算子( 皿d d ) ： l = u 1 一f = 0 + u 2 0 。- 1 - u 3 0 。2 + ， l 1 其中a = o a , ，u o = 1 ，i i , 1 = 0 ，f z 0 - i 是a 的形式逆，满足 0 0 1 = 0 - 1 a = 1 ( 2 1 ) 下面的l e i b n i t z 法则成立： 伊，= i 0 ( 耖妒， ( 2 2 ) 其中歹z ，) = ( ，) ，其中 ( ；) = 业盟等删m 我们记： l m = ( a - i - u 2 0 。14 - u 3 0 4 - ) m = p j ( m ) o j j m = 伊g j ( m ) ， j m l ? = 乃( m ) ， j = o 珥= 伊劬( m ) ， 5 疋= p j ( m ) 0 j ， j o h o h o r o - - rr r ( ( 1 ：r ) 唧鲤( 小 r oh ou = v 一( ：) 灿( 咖p ) 扩胁 妻轰( ( 唧掣c 小( 0 ) c 咖舻詹 晕r ) 唧紫叫( m ) 乇亲r ) 灿妒胁炉 _ 如，h p h ( m ) 0 1 j j l 具体计算可得a 1 1 = 0 ，从而，比较 的系数，我们得到 其中 l = u j a 1 。j j 2 如， = e | 至；( 乙1 - r r ) 乱，a 。一 一r ，一j - h r ) u 9 一 一r ，) ， j = 2 ，3 ，4 ，1sh j 。 下面我们同样计算出一些具体的例子： a j j a j - 1 a j 。 2 a j 。 _ 3 0 ， a 0 ， 一u 2 0 一( 3 一j ) u 2 霉 432 = ，mh ph a ，胁 = m 了 u 将如 和乃( m ) 代入到( 2 6 ) ，即可得流方程 = p 一1 ，善( 仇) ， = p 一2 z ( m ) ， = 一u 2 p l 声( m ) + p 一1 ( 仇) 让2 。+ p 一3 ，z ( 7 n ) 第8 页 考虑在n 约化的情形下： 定理2 2 胆纠驴= l 罩，则有： ( n ) t 。= a ( n ) q ( n ，7 n ) ，( 2 8 ) 其中 q ( n ，m ) 矽( 礼) e 。= b ( 亿) p ( 礼，m ) ，( 2 9 ) a ( n ) ，b ( 礼) 具体如下： ，a 2 l i a 3 l a ( n ) ：i ； k 1 阶，= 跏川馁丁 口 一 文 沦位 学 士硕 学 大术技 学果科舯国相中m歹系pk典 经 年章 加二 第 细 细 咖 倪 似 似 、l， 、，、， r 砌砌 1 l 2 + 一 一 m g 口 一g ，-i。一 耶 囊 o o；k厶 2 k 0 n m ；舻缸 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 第二章经典k p 系列的相关结果 b ( n ) = 我们有如下的引理： 引理2 3 其中 其中 0 b 3 2 ： b n 一1 ，2 b n ，2 0 o b n 一1 ，3 s n ，3 0 o 0 鼠n 一1 n 劬( m + 扎) = c 知( n ) q j 一。( 仇) ， 吲钆) = 壹0 计5 ( 乏二弦伽) ， m a x ( 0 ，o ) 、7 j - 1 ，s = 歹+ 1 ，n 竹 g j ( m + 礼) = 咒( 礼) 劬一。( m ) ，歹l ， 虬( n ) = ( 7 ：s ) 口r + 。c 佗，矿，。s n 进一步，我们得到如下的递归表达式： 定理2 4 2 2 对于礼- 约化条件下的即系列，存在递归算子圣( n ) ，使得 u ( n ) m + 。= 西( n ) v ( 几) 。， 踟晚；跏孤 ，。一 l +一一 亭 o 厂 一删 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 0 页 第二章经典k p 系列的相关结果 其中c 厂( n ) ，a ( 佗) 如前所述，k = 0 ，1 ，2 ，m = l ，2 ，3 ，n = 1 ，2 ，3 ， 圣( n )= a ( 礼) r ( 礼) a ( n ) 一1 ， 冗( n ) = s ( 礼) 肋( n ) 一1 ( n ) ， s ( n ) m ( n ) = ( n ) = 其中 睫，墨 (；兰no薹；名薹0驽，三 愿篓， 飞冀0丑0no 0d i i n ，n 一2 ( n )佗a 岛，s ( 札) = q ，。( n ) 一琏( n ) d 一1 扩2 ( n ) d 一2 扩3 ( n ) ； d n + 1 ，o ( n ) 口n 。一1 ( n ) 第三章离散k p 系列的流方程 这一章，我们首先定义两个算子【2 4 】差分算子和位移算子a a f ( n ) = f ( n + 1 ) 一，( 礼) ， h f ( n ) = ，+ 1 ) ， a = a 一， 其中i 为单位算子，与a 可以交换 利用数学归纳法可以证明，以下i 拘l e i b n i t z 规则对于j l 是成立的： 歹，= i og ) ( 叫，) j 一 我们可以形式化的定义 a - 1 ，= ( 一1 ) ( a 小a ) a 小， t 之0 此时，容易验证得一1 f = a 一1 ，= f 成立，因此关于a 一1 的定义是合理 的，再次利用数学归纳法，可以证明对于歹 0 i 对l e i b n i t z 规则也成立因此， 在整个j z 上，我们有l e i b n i t z 规则： 嘶= 萎g ) ( 甜矿， 其中 ( 乏) = 止掣，g ) 乩 比如 a f = ( a f ) a + ， 2 f = ( 人2 f ) a 2 + 2 ( a a f ) a + a 2 f ， 3 f = ( a 3 f ) a 3 + 3 ( a 2 a f ) a 2 + 3 ( a a 2 f ) a + a 3 f 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 第三章离散k p 系列的流方程 类似于经典的k p 系列，离散k p 系列的定义基于一个离散一阶拟差分算 子( d 皿d o ) ： l ：r o t “一件1 ， i 0 其中u o = 1 ，这个算子通常被称为离散k p 系列的l a x 算子，与经典k p 系列有所 区别的是，并不要求u 1 = 0 引入记号： l m ： ( + t 1 + u 2 一1 + u 3 一2 + ) m p i ( m ) a i m 劬( m ) ， i oh o = 萎三阻，( 卜三“) ( 扩m a g _ ( 删 r 2 0h oa 0 、 一 7 一( ：) 一呻州( 跏r ) 】一一件t 2 磊k 轰k ( 1 - 七一r - r ( a l - a - k a k - r q _ h ( m ) ) 一( 尼三) ( 一+ r 。矿r g _ 舭) ) l l _ 扣 = 萎j j - h k g - r - h 、( a l - j a j - h - , q _ h j - h - r ( m ) ) = k) ( ( m ) ) ， 1 = 1r - - - - o g 亲r ) ( a 卜w 小r g - 棚) ) 】1 - ， 其中第五个等号用到了变量代换k = r + q ，第六个等号用到了变量代 换j = k + h 我们有 l m = 蛳村a 卜j ， j o 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 第三章离散k p 系列的流方程 比较系数可得 = 沙j - h ( 三二a i - j a j - h - r _ g 未r ) 啦】 同理可得： l t m = 【l # ，l 】 并且 比较系数即可得 l l m l m l u ，1 - rp h ( m ) a 山】 r 2 0h 0 h 0 a o u r ( 1 一o tr ) ( 人1 一r a q p 一 ( 彳) ) 堆棚) ( 0 ) ( 一咄讹r ) 】1 - m 吨 篆妻磊k ( 三二r r ) a l - k a k - r p h c m ， 乍腆) ( 尼三) ( 一“+ r 矿训1 胁 j 0 壹h = l = l - - r r ( a 1 - j + h a i - h - 7 p _ h ( m ， 乍艄) g 亲r ) ( 一+ r 矿胁钆r ) 】矿j 。 厶m = 札”m 卜， j o = 驴j - h 1 - - r r ) a 1 - j - l - h i j - h - r _ _ gor ) c 扩州飞川 咖 2 0 1 0 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第三章离散k p 系列的流方程 下面给出流方程的几个具体例子：具体计算可得： p t ( 1 ) p 一2 ( 1 ) p 一1 ( 2 ) p _ 2 ( 2 ) b t ，1 b 2 。1 “2 ， u 3 ， ( a + i ) u 3 + a u 2 + 乱2 ( u l + a 一1 u 1 ) ， ( a + i ) u 4 + a u 3 + u 3 ( u 1 + 人一2 u 1 ) + u 2 ( a 一1 u 2 + a 一2 a u l ) ， b 2 ，2 = 岛，j = a i = a ， + u l 一人一1 t 正1 从而可得流方程： u l 。t t u 2 ，t l 珏1 t 2 u 2 ，t 2 b a ，l p - l ( 1 ) = a u 2 岛，l p 一1 ( 2 ) + b 2 2 p 一2 ( 2 ) ( + 仳1 一a - 1 u 1 ) u 2 + a u 3 b 1 。l p 一1 ( 2 ) 【( 人+ i ) u 3 + u 2 + u 2 ( u l + 人一1 乱1 ) 】 岛，l p 一1 ( 2 ) + b 2 ，2 p 一2 ( 2 ) ( a + t 1 一a 一1 u 1 ) ( 人+ i ) u 3 + h u 2 + u 2 ( t 正l + 人一1 u 1 ) 1 + ( 人+ ，) 锄+ a u 3 + u a ( u l + a - 2 u 1 ) + u 2 ( h 一1 u 2 + 人一2 t 1 ) 】 现在来考虑离散k p 系列在n 一约化下的情形，也就是附加上条件l ! = 0 ，即l = l 垡 定理3 2 - 约化离散即系列的l n z 方程具有如下两种向量方程的表达： u ( n ) t m = a ( n ) q ( n ，m ) u ( ) 哳= b ( n ) p ( n ，m ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 7 页 第三章离散k p 系列的流方程 其中 q ( n ，m ) = u ( n ) = g i ( m ) q 一2 ( m ) q - l v + l ( m ) r 撕、 i u 2 i h lu n 一1l t 鲥m ) a ( ) ，b ( ) 都是下三角矩阵，具体如下： a ( n ) b ( n ) = o a 2 2 a 一1 2 a n 2 0 b 2 2 b l v 一1 ，2 b n ，2 p 。m 0 0 a i r 一1 ，3 a j | v 3 0 0 b n 一1 ，3 b n 。3 证明：根据( 3 4 ) 式，附加上n 一约化条件l = l g ，也就是劬( ) = 0 ，对 于j o ) 由m l ，u 2 ，缸) 唯一 决定也就是说，在n 约化条件下，系统的动力学坐标由独立变量( u 1 ，仳2 ，u ) 组 成再由( 3 4 ) 式，( q n 一1 ( ) ，q n 一2 ( ) ，q n 一3 ( ) ，) 就由( 让l ， 2 ，u ) 决定，从 而也就决定于有限的( g o ( ) ，q l ( ) ，q 2 ( n ) ，q n 一1 ( ) ) ，根据( 3 6 ) 式，可得n 一 约化下的l a x 方程可以写成有限的形式 u ( ) m = a ( ) q ( jm ) 同理，n 一约化条件下，根据( 3 3 ) ，可得如下的式子： 与上述一致的分析，n 。约化下的l a x 方程可以写成有限的形式 u ( n ) t 肘= b ( n ) p ( n ，m ) 一 = uuu 一9 一 = + ua m 脚 2一 i i ，+ u u 一 9 一 = + u k a 脚 p 一 = ，一+ u钍让 p 一9 一 = p + u 八 m 脚 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 9 页 第三章离散k p $ - 列的流方程 下面我们具体计算2 约化情形下，也就是n = 2 时的流方程： p 一1 ( 1 ) = ? 2 2 ， p 一5 ( t ) = 锄， p 2 ( 2 ) = 1 ， p 1 ( 2 ) = a u l + u l ， p o ( 2 ) = a u 2 + u 2 + a u l + 让；， p - 1 ( 2 ) = ( a + i ) 7 2 3 + a ? 2 2 + 7 2 2 ( l + 人一1 7 2 1 ) = 0 ， p - 2 ( 2 ) = ( a + j ) 蝴+ 地+ 7 2 s ( 7 2 1 + 人一2 u 1 ) + t 2 ( a 一1 抛- f 人一2 a u l ) = 0 从而可得： l 3 = a 2 + ( 人钆l + u 1 ) a + c a ? 2 2 + t 2 + 仳1 + t 上；) 】( + t 1 + “2 一1 + 让3 a 一2 + ) 进一步可得： p - 1 ( 3 ) =a 2 u 2 + 2 ( a a ? 2 3 ) + 人2 t 4 + ( a u l + u 1 ) ( t 正2 + a ? 2 3 ) + ( a u 2 - f 让2 + a u l + 缸；) t 正2 ， p - 2 ( 3 ) = a 2 t 1 3 + 2 ( h a 7 2 4 ) + 人2 7 2 3 , 5 + ( a 7 2 1 + u 1 ) ( h u 3 + a 7 2 4 ) + ( a u 2 + 7 2 2 + a u x + 7 2 1 ) 7 2 3 从而可得2 约化下的流方程： ? 2 1 ，l 7 2 2 ，t l “1 。t 2 7 2 2 ，t 2 7 2 1 ，幻 缸2 ，t 3 b a 。l p - 1 ( 1 ) = 让2 ， b 2 , 1 p 一1 ( 2 ) + b 2 ，2 p 一2 ( 2 ) = ( + ? 2 1 一a 一1 j l , 1 ) 7 2 2 + a u s ， 0 ， 0 ， b x l p 一1 ( 3 ) 2 7 2 2 + 2 ( a 4 7 2 3 ) + a 2 7 2 4 + ( a u x + 珏1 ) ( t 2 + a ? 2 3 ) + ( a u 2 + 心2 + 4 7 2 l - - u ；) u 2 1 ， 岛1 p l ( 3 ) + 岛2 p 一2 ( 3 ) ( + 7 2 1 一a 一1 犯1 ) 【2 7 2 2 + 2 ( a 4 7 2 s ) + a 2 7 2 4 + ( a ? 2 l + 7 2 1 ) ( 4 7 2 2 + a ? 2 3 ) + ( a u 2 + u s + a 7 2 1 + u ；) 7 2 2 】+ 【2 7 2 3 + 2 ( h a u 4 ) + a 2 让5 + ( a m l + 7 2 1 ) ( 钍3 + a u 4 ) + ( 人砌+ u 2 + a m l + 7 2 1 ) 7 2 3 由2 约化条件，上述的让3 ，? 2 4 ，? 2 5 均依赖于独立变量u 1 ，缸2 ，由此可以看出， 上述是关于u 1 ，钍2 的方程 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 0 页 第三章离散k p 系列的流方程 注记1 定理3 1 给出了流方程的一种表达，我们可以看出，它与经典k p 流 方程最大区别在于，相差了位移算子a 的作用，这导致了“+ 1 ，牡+ 2 ，写成 关于札1 ，u 2 ，u 的表达式时，会含有算子的求逆，实质上是关于算子的形 式幂级数，因此流方程在形式上很复杂：并且乱l 不再为0 ，导致了关于t 1 流方 程的产生 注记2 定理3 2 给出了n 约化条件下流方程的一种有限形式的表达，将 动力学坐标限制到独立的( u l ，u 2 ，u ) 在下一章，我们将进一步得到该流 方程的递归形式，也即已知u ( ) m = a ( n ) q ( n ，m ) = b ( n ) p ( n ，m ) 的情 况下，可以形式上递归得出高阶的流方程u ( n h ，( ， m ) 第四章离散k p 系列的递推算子 本章主要利用w s t r a m p p 和w o e v e l 所提出的方法【2 2 ，得出n 一约化条 件下离散k p 系列流方程的递归表达式，也即求得一个递归算子，作用在低 阶的流方程上，可以得出高阶的流方程 定理4 1 对于- 约化条件下的离散胛系列，存在递归算子皿( ) ，使得 u ( ) t 盯+ 。= 皿k ( ) u ( ) t m ， 其中七= 0 ，1 ，2 ，m = 1 ，2 ，3 ，n = 1 ，2 ，3 ， 证明：首先，我们需要利用( l m + ) 一= ( ( l m ) ( l ) ) 一= ( ( l ) ( l m ) ) 一得 出p j ( m + ) 的两个递归表达式； ( l m + n ) 一= ( ( l m ) ( l ) ) 一 = ( ( l y + l m ，、l ，n ) ) 一 = ( ( l ! ) ( l 垡) ) 一 n = 【( ( m ) 口) ( 张( ) 七) 】一 q s 一1 k = 0 另外， = 【p q a e p k ( n ) a 七】一 = 嘎篆羡地c m ，( 茗) c a a - f l a f l p k c 删旷m l = 量。n n ，( c 矿w 删跏c 舭 ( 二m + ) 一= p j ( m + n ) a j j _ - i 2 1 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 2 页 第四章离散k p 系列的递推算子 比较的系数司得： 鳓( m + ) = g j 。( ) 功一。( m ) ，j 一l ， ( 4 1 ) 其中， 剐啦七：品n ( c 蚋删 同理，我们有： ( l m + ) 一= = = = 【p k a 七m ( m ) a 】一 = 匹ep k ( n ) a 七p c , ( m ) a a 】- = 【三萎p n ( ) g ) ( 扩w 以冽扩娜】_ a 冬一1 卢0 七= o v ， = n n-$肌()(卢孙舭(圳缸j m ) 均 可以通过递归算子求出来 、， 。劫 扩觚忍+ 虹 俾 第五章结论与相关问题的讨论 本文根据w s t r a m p p 和w o e v e l 关于经典k p 流方程的处理，得出了关于 离散k p 系列的三个结论，定理3 1 定理3 2 和定理4 1 其中定理3 1 给出了流方程的两种表达： j 加= 如，h q 一 ( m ) ，j = l ，2 ，o 3 ， h = l j 砌= b j ，h p 一 ( m ) ，歹= 1 ，2 ，o i 3 一， h - - = l 从该表达式中可以看出，位移算子人的出现，是离散k p 系列和经典k p 系列 的最大区别这个区别直接来源于差分算子的定义，l e i b n i t z 规则变为 嘶2 若( 弘一的炉 这正是体现了差分运算与偏微分运算的本质区别另外，在离散k p 系列中，u ，项 不再恒取为0 ，也引起了我们在后续处理中的变化 然后在定理3 2 中，我们考虑n 约化的情形，l = 三筝得出( 乱+ l ，u n + 2 ，u + 3 ，) 均依赖于有限的( u l ，u 2 ，u n ) ，也即可以将算子l 的n 个系数l ，乱2 ，乱) 作 为动力学坐标，转而研究这n 个函数的流方程，写成有限的n 向量方程的表 达式： u ( ) m = a ( n ) q ( n ，m ) ， 扩( ) 哳= b ( n ) p ( n ，m ) 更进一步，在定理4 1 中，我们通过处理关系式 ( l 肘+ ) 一= ( ( 己m ) ( ) ) 一= ( ( 二) ( 三m ) ) 一 2 7 2 0 1 0 年 中国科学技术大学硕士学位论文 第2 8 页 第五章结论与相关问题的讨论 得出p f ( m + n ) 的表达，从而得出流方程的一种递归表达式，这使得我们可 以从低阶流推导出高阶流方程 然而，我们注意到，无论是a s , h ，b ， 的表达式( 3 8 ) 和( 3 9 ) ，以及递归算 子皿( ) 有关的表达式( 4 5 ) 和( 4 8 ) ，都涉及到差分算子和位移算子人的求逆 运算，具体展开，将会是一个关于算子的形式幂级数，导致了运算的复杂这 是用该方法处理离散系统的局限性 本文的优点是理论上证明了n 约化下离散k p 系列流方程递归表达的存 在性，如何提出更简洁的表达式更有效的计算方法，将是可以继续研究的问 题 参考文献 【1 】j s c o t tr u s s e l ，r e p o r to ft h ec o m m i t t e eo nw a v e s ，r e p o r to ft h e7 t hm e e t i n g o ft h eb r i t i s ha s s o c i a t i o nf o rt h ea d v a n c e m e n to fs c i e n c e ，l i v e r p o o l ，4 7 1 4 9 6 ( 1 8 3 8 ) 【2 】2 j s c o t tr u s s e l ，r e p o r to nw a v e s ，r e p o r to ft h e1 4 t hm e e t i n go ft h eb r i t i s h a s s o c i a t i o nf o rt h ea d v a n c e m e n to fs c i e n c e ，j o h nm u r r a y , l o n d o n ，3 1 1 3 9 0 ( 1 8 4 4 ) 【3 】k o r t e w e gd j a n dd ev r i e sg ，o nt h ec h a n g eo ff o r mo fl o n gw a v e sa d - v a n c i n gi n ar e c t a n c u l a rc a n a l ，a n do n an e wt y p eo fl o n gs t a t i o n a r y w a v e s ，p h i l o s ，m a g s e r 5 ，3 9 ，4 2 2 4 4 3 ( 1 8 9 5 ) 【4 】e f e r m i ，j p a s t a ，a n ds u l a m ，s t h d i e so fn o n l i n e a rp r o b l e m s ，i ，d o c u m e n tl a 一 1 9 4 0 ，l o sa l a m o sn a t i o n a ll a b o r a t o r y , m a y1 9 5 5 【5 】g a r d n e rc s ，g r e e n ej m ，k r u s k a lm d ，a n dm i u r ar m ，m e t h o df o rs o l v i n g t h ek o r t e w e gd ev i r e se q u a t i o n ，p a y s r e v l e t t 1 9 ，1 0 9 5 - 1 0 9 7 ( 1 9 6 7 ) 【6 】l a xp d ，i n t e g r a l s o fn o n l i n e a re q u a t i o n so fe v o l u t i o na n d s o l i t a r y w a v e s ，c o m m u n p u r ea p p l m a t h ，2 1 ，4 6 7 - 4 9 0 ( 1 9 6 8 ) f 7 】a b l o w i t zm v jk a u pd j n e w e l la c ，s e g u rh ，n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a - t i o n so fp a y s i c a ls i g n i f i c a n c e ，p a y s r e v l e t t 3 1 ，1 2 5 1 2 7 ( 1 9 7 3 ) 【8 】8 g e l f a n di m a n dd i k i i l a ，r e s o l v a n t s a n dh a m i t o n i a n s y s t e m s ，f u n c a n a l a p p l ，1 1 ，9 3 1 1 4 ( 1 9 7 7 ) 【9 】d r i n f e l dv g ，a n ds o k o l o vv v ，e q u a t i o n so fk d vt y p ea n dl i ea l g e b r a s ， s o y m a t h d o k l ，2 3 ，4 5 7 - 4 6 2 ( 1 9 8 1 ) f 1 0 】d r i n f e l dv g ，h o p fa l g e b r a s a n dt h e q u a n t u my a n g - b a x t e r e q u a t i o n s ，s o y m a t h d o k l ，3 2 ，2 5 4 2 5 8 ( 1 9 8 5 ) 【1 1 1 d r i n f e l dv g ，a n ds o k o l o vv v ，l i ea l g e b r aa n de q u a t i o n so fk o r t e w e gd e v i r e st y p e ，s o y m a t h d o k l ，3 0 ，1 9 7 5 2 0 3 5 ( 1 9 8 5 ) 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第3 0 页 参考文献 f 1 2 】d a t ee ，k a s h i w a r am ，m i w at ，n o n l i n e a ri n t e g r a b l es y s t e m s - c l a s s i c a n d q u a n t u mt h e o r y e d i t e db y m j i m b oa n d t m i w a ， w o r l d s c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，p p 3 9 - 11 9 ( 1 9 8