（一般力学与力学基础专业论文）粘弹性传动带的横向非线性振动研究.pdf

摘要 传动带的横向振动是影响电机及其整个动力系统工作平稳性、精确性和安静 性的重要因素，对传动带振动特性的透彻了解是对其进行有效振动控制的前提。 本文主要研究了粘弹性传动带横向非线性振动的稳定性和混沌行为。 首先，为了更真实地反映实际工程中传动带的振动，本文给出了更为合理的 传动带的动力学模型沿轴向运动的抗弯刚度较小的粘弹性梁，该模型同时考 虑了传动带的材料粘弹性，振动过程中变形的几何非线性以及传动带的抗弯刚度 的影响，用弹性力学方法建立了粘弹性传动带横向振动的动力学方程，该方程包 含了一些以往文献没有同时考虑的非线性因素。 其次，分析了传动带横向振动的稳定性，直接运用多尺度法运用到非线性振 动方程中，得到关于摄动小参数的零阶线性方程和一阶近似方程。零阶线性方程 的解的形式中采用了k o n g 提出的适用于小抗弯刚度运动梁情形的模态函数，然 后代入到一次近似方程中通过消除近似方程中的永久项来得到可解性条件，得到 关于振幅和相位角的常微分方程组，研究了模型的稳态响应，并发现带速波动频 率会影响方程中的永久项，分别讨论了当带速波动频率两倍于系统的固有频率和 其他频率区间情形下的振动稳定性，分析结果表明，当波动频率两倍于系统固有 频率时，系统会产生共振。进而确定了系统平凡解和非平凡解的稳定区间。通过 数值方法得到了共振不稳定域图，由图可以直观地看出：不稳定域随着带速和抗 弯刚度的增大而增大。 最后，运用二阶g a l e r k i n 离散方法对传动带横向振动偏微分方程进行离散化 处理，得到了时空坐标解耦的二阶广义坐标形式的常微分非线性方程组，直接采 用数值方法得到了该非线性振动方程组的响应。并研究了混沌振动的初值敏感性 和功率谱，庞加莱映射图表明当平均带速或者带速波动幅值连续变化时，系统经 历了周期振动和混沌振动交替的过程，而且当这些参数到达到某一临界值时，系 统振动最终演化成为混沌振动，分岔图和庞加莱吸引子都表明倍周期分岔是导致 混沌振动的道路。频率连续变化时的庞加莱映射图表明：当外激励频率增大时， 系统混沌振动的振幅有增大的趋势。 关键词：粘弹性传动带，横向振动，多尺度法，运动稳定性，混沌 a b s t r a c t t h eb e l td r i v es y s t e mi sw i d e l yu s e di nv a r i o u si n d u s t r i e st ot r a n s f e rp o w e r n o w a d a y s d e s p i t em a n ya d v a n t a g e so ft h i sd e v i c e ，a st h eb e l ts y s t e mi saf l e x i b l e m e c h a n i s m ；i tw i l lb r i n gn o i s e sa n dv i b r a t i o n s ( e s p e c i a l l yt r a n s v e r s ev i b r a t i o n ) w h e n t h em a c h i n er u n s t h ev i b r a t i o n sw i l lc a u s et h ei m p r e c i s i o na n dji g g l e so ft h e t r a n s m i s s i o na n da b r a s i o n so ft h ea p p a r a t u s ，t h e s ed e f e c t sh a v el i m i t e di t sa p p l i c a t i o n s i no r d e rt op e r f o r mt h ev i b r a t i o nc o n t r o ls y s t e m ，t h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no ft h e t r a n s m i s s i o nb e l ts h o u l db eh a sa ni n t e n s i v ea n a l y s i s i nt h i sp a p e r , s o m en o n l i n e a r d y n a m i cp r o b l e m so ft h ev i s c o e l a s t i ct r a n s m i s s i o nb e l ta r ei n v e s t i g a t e d f i r s t l y , t h ep a p e rs y s t e m a t i c a l l yi n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dr e s e a r c h p r o g r e s so f t h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no ft r a n s m i s s i o nb e l ta tp r e s e n t ，i no r d e rt or e f l e c t t h et r u ed y n a m i cc h a r a c t e r s ，s o m eo fn o n l i n e a rf a c t o r s ( s u c ha sm a t e r i a l sn o n l i n e a r c o n s t i t u t i v er e l a t i o n ，g e o m e t r yn o n l i n e a ro fd e f o r m a t i o n ) c a n n o tb ei g n o r e di n p r a c t i c e ，b a s e do nt h ep r e d e c e s s o r sa c h i e v e m e n t ，t h ev i s c o e l a s t i co ft h eb e l t s m a t e r i a l ，t h eg e o m e t r i cn o n l i n e a ro fd e f o r m a t i o na n df l e x u r a lr i g i d i t y f o r t h e v i s c o e l a s t i cm o v i n gb e l ta r ec o n s i d e r e ds i m u l t a n e o u s l yi nt h ep a p e r , t h en o n l i n e a r e q u a t i o no fp l a n a rt r a n s v e r s eo s c i l l a t i o nf o rv i s c o e l a s t i cm o v i n gb e l ti se s t a b l i s h e d u s i n ge l a s t i cm e c h a n i c sm e t h o d t h ek e l v i nv i s c o e l a s t i c m o d e li s a d o p t e dt o d e s c r i b et h er e l a t i o nb e t w e e nt h es t r e s sa n ds t r a i nf o rv i s c o e l a s t i cm a t e r i a l t h e m o t i o np a r t i a le q u a t i o nc o n t a i n sm o r en o n l i n e a rp o l y n o m i a le x p r e s s i o n sc o m p a r e d w i t ho t h e r sw o r k ，t h ef o r c e dv i b r a t i o ne q u a t i o no ft h eb e l ts u b je c t e dt op e r i o d i c o s c i l l a t i o no ft h ea x i a l l ys p e e di sa l s oo b t a i n e d s e c o n d l y , i ti sc o n t i n u e dt oi n v e s t i g a t et h ed y n a m i cs t a b i l i t yo ft h en o n l i n e a r t r a n s m i s s i o nb e l t s u b j e c t e d t os m a l lh a r m o n i cv a r i a t i o n so ft h eb e l t sm e a n t r a n s m i s s i o nv e l o c i t y , t h em u l t i p l es c a l em e t h o di sa p p l i e dd i r e c t l yt ot h en o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a lg o v e r n i n ge q u a t i o no f t h ek e l v i nv i s c o e l a s t i cm o d e li n t oas e to f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sr e s p e c tt os m a l lp e r t u r b a t i o np a r a m e t e r , t h em o d a l f u n c t i o n si n v e n t e db yk o n ga r eu s e di nt h er o o t so fz e r o o r d e rl i n e a re q u a t i o n w h e n t h e s er o o t sf i r es u b s t i t u t e di n t oo n e o r d e re q u a t i o nt h es o l v a b i l i t yc o n d i t i o n so ft h e n o n l i n e a re q u a t i o na r eo b t a i n e d 一t 1 1 ep e r m a n e n tp o l y n o m i a l so ft h ee q u a t i o n s h o u l db ec a n c e l e d t h ea n a l y s i ss h o w st h a tt h ep r i n c i p a lp a r a m e t r i cr e s o n a n c ew i l l o c c u rw h e nt h ef r e q u e n c yo fv e l o c i t yf l u c t u a t i o n si sc l o s et ot w ot i m e st h en a t u r a l f r e q u e n c i e s d y n a m i cs t a b i l i t yp r o b l e m so fp a r a m e t r i cv i b r a t i o na r ea l s oc o n s i d e r e d n u m e r i c a le x a m p l e si n d i c a t et h a tt h ev e l o c i t ya n db e n d i n gs t i f f n e s so ft h eb e l tb o t h i n f l u e n c et h er e s o n a n c es t a b i l i t yr e g i o n s ；t h ed y n a m i cs t a b i l i t yo ft h e t r i v i a la n d n o n t r i v i a ls o l u t i o ni ss t u d i e dr e s p e c t i v e l yb yt h el y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r y t h es t a b l e a n dt h ei n s t a b l er e g i o n sf o rt h eb e l t sn o n l i n e a rt r a n s v e r s ev i b r a t i o na r en u m e r i c a l l v p r e s e n t e d f i n a l l y ，t h es e c o n do r d e rt r u n c a t i o ng a l e r k i na p p r o a c hi sa p p l i e dt ot h ep a r t i a l e q u a t i o no b t a i n i n gag r o u po fs e c o n d o r d e rg e n e r a l i z e dc o o r d i n a t e sn o n l i n e a r e q u a t i o n st h a td e c o u p l e di nt i m ea n ds p a c ec o o r d i n a t e s t h en u m e r i c a l l ys i m u l a t i o ni s a p p l i e dd i r e c t l yt ot h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h eb e l tt oa n a l v z et h e b i f u r c a t i o na n dc h a o t i cp h e n o m e n a n u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o di su s e dt ov i e l dt h e r e s p o n s eo ft h es y s t e mv i am a t h e m a t i cs o f t w a r em a t l a b ；t h ec h a o t i cp h e n o m e n o n s u c ha ss e n s i b i l i t yo fi n i t i a lv a l u ea n dc o n t i n u e sp o w e rs p e c t r u ma r eo b s e r v e d ，t h e e f f e c to ft h ev e l o c i t yp e r t u r b a t i o n ( s u c ha st h em e a nv e l o c i t yv a r i e so rt h ea l t l p l i t u d e o fp e r t u r b a t i o nv a r i e s ) i sd i s c u s s e de m p h a t i c a l l y t h eb i f u r c a t i o nf i g u r e sa n d p o i n c a r 6 m a p so fa l lp a r a m e t e r s ( t h em e a nt r a n s p o r ts p e e d ，t h ea m p l i t u d ea n df f e q u e n c vo f t r a n s p o r ts p e e df l u c t u a t i o n ，t h eb e l t ss t i f f n e s sa n dt h eb e l t sd y n a m i cv i s c o s i t y la r e s t u d i e db yu s i n gs t e p l e n g t hv a r i e dr u n g e - k u t t aa l g o r i t h m ，f r o mt h e s ef i g u r e s i t s e e m st h a tt h eb e l tm a yu n d e r g op e r i o d i ca n dc h a o t i cm o t i o n s a r o u n dd i f r e r e n t e q u i l i b r i u mi nc e r t a i np a r a m e t e rr e g i o n s ，a n dt h ec h a o t i cm o t i o nw i l lo c c u rt h r o u g h p e r i o dd o u b l eb i f u r c a t i o n t h ep o i n c a r6m a po fc o n t i n u o u sv a r i e d f r e q u e n c i e s i n d i c a t e dt h a tt h ea m p l i t u d eo ft h ec h a o si n c r e a s e sw h e nt h e f r e q u e n c yo ft h ee x t e r n a l e x c i t a l ：i o nj n c r e a s e s k e y w o r d s ：t h ev i s c o - e l a s t i ct r a n s m i s s i o nb e l t ，t h et r a n s v e r s ev i b r a t i o n ， a x i a l l ym o v i n gb e a m ，t h em u l t i p l es c a l a r sm e t h o d ， d y n a m i cs t a b i l i t y , p e r i o dd o u b l eb i f u r c a t i o n ，c h a o s i i i 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 带传动是机械传动重要的传动形式之一，它具有结构简单、造价低廉，且在 远距离内以最少构件传递大功率等优点。随着工业技术水平的不断提高，以及对 机械设备精密化，轻量化，功能化和个性化的要求，其应用范围越来越广，工作 形式越来越多。作为带传动中的主体部件传动带，也由原来的易损件向功能 件转变，其品种规格向多样性发展，由传统的普通包布v 带和普通平带，发展 了窄v 带，宽v 带，联组v 带，切变v 带，多锲带，同步带，绳芯平带和片基 平带等等，这些传动带已广泛引用于汽车、机械、纺织、家电、轻工、农机等各 个领域，在国民经济和人民日常生活中发挥着愈来愈重要的作用。带传动成为生 活中和工程中广泛应用的传动装置。 1 1 课题背景 传动带是由具有较柔软的橡胶或其他高分子材料制成，而且带传动装置本身 是个大跨度的结构，所以其工作时柔性传动带会产生人们所不期望的横向振动， 不仅产生了噪音，而且影响了传动精度，加速了传动带的疲劳磨损，从而减少了 带的使用寿命。特别是随着近年来，机械加工行业和汽车工业的迅猛发展，对电 机及其传动装置传动的平稳性、安静性和精确性提出了更高的要求【l 2 】。发动机 中的皮带驱动系统是汽车中的重要传动部件，其工作质量的优劣直接影响发动机 及其整车运行的平稳性。桑塔纳汽车维修中心统计显示：由于传动带而引起的故 障占整个维修记录的1 5 9 ，皮带故障的根源是摩擦、振动和发热引起老化和磨 损。人们通过研制高性能的高分子聚合橡胶材料( 粘弹性材料) 来制造传动带， 增大其韧性和抗磨损能力，并采用高强度的复合带芯等手段来延长传动带的使用 寿命。但是传动带的振动( 横向振动，纵向振动，扭转振动) 【3 ，4 1 问题一直没有 得到很好的解决，这些振动严重影响了传动带的工作品质，限制了传动带的应用 空间。从2 0 世纪8 0 年代以来，随着汽车行驶速度从低速向高速发展，为了提高 乘坐舒适性、行驶平稳性和车体的安静性，有必要研究传动带的振动特性并相应 地设计振动抑制系统。粘弹性传动带系统的动力学问题引起了美国和加拿大等发 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 达国家的高度重视，例如美国的u n i v e r s i t yo fc a l i f o m i aa tb e r k e l e y , u n i v e r s i t yo f m i c h i g a na ta n na r b o r , c a r n e g i em e l l o nu n i v e r s i t y ，加拿大的u n i v e r s i t yo ft o r o n t o 等世界一流大学均开展了传动带系统动力学问题的研究工作，并且取得了许多进 展。由于我国汽车工业的独立自主研究和开发工作严重滞后于世界汽车工业的发 展，对传动带系统动力学的研究目前为止还基本处于起步阶段，所以研究传动带 的振动有着重要的实际应用价值1 5 j 。 传动带的动力学模型可以简化成为沿轴向运动的弦或梁，并且承受轴向张 力。实际生活中很多机构和工程元件如磁带存储系统，纸带，纺织纤维，带锯， 牵引空中缆车的缆绳，高楼电梯升降索等等，还有一些多带传送运输系统( 如自 动取款机的输送系统) 和多带驱动装置( 洗衣机中带驱动动力装置) ，甚至沿着 管道流动的液体，输流管道1 6 ，7 】均可以视为该力学模型；传动带横向振动机理的 透彻研究对于优化设计这些相关的工程系统元件有着至关重要的作用。工业中如 何提高上述机构的平稳性也是亟待解决的问题，所以对传动带横向振动的分析是 一个十分重要的工程问题；同时，传动带动力学问题是一类连续陀螺力学系统， 该典型系统振动的激励响应关系，稳定性分析，数值仿真和控制系统设计也提出 若干重要理论问题。轴向运动连续体的振动和控制成为较为活跃的研究领域，所 以研究传动带的振动具有广泛的理论应用价值。 1 2 传动带动力学问题研究进展 随着工程实践和认识研究的不断深入，传动带动力学问题也在不断地实际 化，复杂化和理论化，最新的非线性理论研究成果也推动了传动带研究手段的更 新，传动带动力学经历了由浅入深，从线性到非线性，从简单到复杂的研究过程， 现在仍然在不断地更新和发展。传动带动力学问题研究对象包括许多内容，简要 归纳起来主要研究两类问题，第一类问题是单独地精确地分析两个带轮之间传动 带的振动问题，第二类问题是研究整个带传动装置( 主要包括传动带，带轮，张 紧轮或者弹性支座) 的动响应和耦合振动问题。 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 1 第一类问题研究进展 传动带动力学第一类问题属于轴向运动连续体( 线，带，板，壳等) 动力学 问题方面的内容，它的发展是与轴向运动连续体动力学理论的发展紧密联系的， 轴向运动弹性体的研究是传动带动力学分析的基础，同时传动带所特有动力学行 为也丰富了轴向运动连续体这一学科的内容。在建模方面，最初是用简化的线弹 性弦线，随着带形状的多样化和新材料的引入，最初的线弹性模型与试验观察到 的非线性振动现象不吻合，为了更真实地反映传动带的振动特性，不得不考虑几 何非线性和材料非线性。在响应分析方面，最初是为了解决工程设计时传动带的 固有频率的计算及其周期振动特性，使其工作频率或外界扰动频率远离系统地固 有频率以避免共振的发生。研究进入到非线性阶段以后，涌现出大量的问题：共 振区域的幅频特性，亚谐共振和组合共振，参数振动，稳定性问题， 动态分岔 及其混沌运动等等，非线性动力学的介入大大拓宽和丰富了传动带问题的研究内 容和深度。 带传动机构的物理模型如图1 1 所示，传动带圈在两个滑轮上，轴向张力为 尸，并且以一定的速度c 运动，张紧在两个带轮之间的传动带的动力学模型可以 看成是沿轴向运动的连续弹性体。所以说传动带动力学问题是轴向运动连续体动 力学的子课题。 图1 1 传动带的力学模型 一直以来，传动带的动力学问题的研究有两种基本模型：沿轴向运动弦线模 型和沿轴向运动梁模型。早期的关于传动带的振动分析受到轴向运动弦线的启 发，由于传动带是一个大柔性结构，研究者不约而同地把传动带视为轴向运动线 性弦线模型，分析其线性运动方程和振动特性等问题；为了得到传动带的横向振 动方程，需将两个带轮之间的传动带分离出来单独分析，如图1 2 所示。若将其 西北工业大学硕士学位论文 第一章 绪论 看成是弦线模型，假设带的跨度为l ，单位长度上的质量为p ，传动带以速度c 匀速运动，w ( x ，t ) 表示传动带振动偏离平衡位置的横向位移，x 表示轴向位移 坐标，丁是时间坐标。 图1 2 轴向运动弦模型 一般情况下，工作中传动带的横向振动位移较小，当其横向位移w ( x ，丁) 较 小，略去高阶项以后，容易得到线性弦模型的动力学方程为 p 降忆翥卜，豢= 。 t ， 化为无量纲形式 粤+ 2 a t v 盟a x a t _ ( 1 - v 2 ) 窘= ” ( 1 2 )彳+v 一ll v 。l t = u( 1 2 ) 2 、 7 2 - 1 其中 石= i x ，w = 警，= 三砉p ，y = c 旦p c 3 ， 石= ， = ，= 一f 一， ，= c f 二_ ( 1 3 ) 三三 三、f 。 无量纲化以后，无量纲形式的坐标x 取值范围变成区间 0 , 1 】，图1 2 所示的边界 条件是两端横向的位移固定，即 w ( o ，) 1 10 ，w ( 1 ，t ) = 0( 1 4 ) 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 w i c k e r t 和m o t e 8 】系统地总结了前人对这方面工作的成果，他们采用连续陀 螺系统模态分析的方法和g r e e n 函数方法确立了轴向运动弦线对一般激励的响 应的解析表达式，为方便观察和分析，运动方程( 1 2 ) 可以写为矩阵算子形式 的无穷维陀螺系统 m 粤o t + g 业o t + 脚= o z ( 1 5 ) 其中，质量算子m 为恒等质量算予，关于空间变量反对称的陀螺算子g 和关于 空间变量对成的刚度算子k 分别为 m - l ，g - 2 v 昙，k 一( 1 _ v 2 ) 蔷 ( 1 6 ) 出ox一 进一步可将方程( 1 5 ) 中的变量用状态变量表示，在给定的边界条件( 1 4 ) 下， 可以导出系统的特征值和特征函数，采用模态分析的方法得到对任意作用力满足 任意初始条件的响应，利用g r e e n 函数可以给出响应的积分表达式，随后他们又 对模态函数的选取作了改进。这一工作不仅完全解决了均匀运动弦线在两端固定 约束下的振动响应问题，而且是研究更为复杂的受约束轴向运动弦线系统和耦合 振动问题的基础，也是用近似解析方法研究轴向运动连续体非线性振动的基础。 随后许多关于传动带或者轴向运动弦线的振动研究都是在该基础上进行的。该方 程类似于弹性波的波动方程，不同之处是传动带振动方程( 1 1 ) 中有张力尸的 影响。所以许多学者从波动学研究传动带的振动【9 j 。现代工业对带传动的运行速 度要求越来越高，由于传动带系统在高速运转时，对外界因素的干扰比较敏感， 外界激扰如驱动力矩的波动，皮带轮的加速和减速，间歇性载荷等，所以又有学 者研究了轴向运动弦线由于轴向张力的涨落和轴向运动速度的变化导致参数振 动。很多文献研究了参数共振的不稳定区域。传动带在工作过程中，机器操作人 员会时常需要停车或启动，张力或者带速会经常发生变化，研究发现这种张力或 者带速的变化对系统的动力学特性有着重要的影响，许多学者用数学上的简谐波 动表达式来描述这种变化，即张力或者带速的变化规律为 p ( t ) = p o + es i n ( f 2 t ) c ( 丁) = c o + c le o s ( f f 2 t ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 将式( 1 2 ) 或者( 1 2 ) 带入方程( 1 1 ) 中，得到受周期激扰后系统的动响应方 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 程 ( 等忆焉) 一( 半。) 豢= 。9 ， ( 豢+ 啬豢忆器心一c z 豢= 。 方程( 1 9 ) ，( 1 1 0 ) 中系数中包含有与时间有关的慢变参数，系统经一阶线性化 处理后会得到m a t h i e u 方程。u s l o y 1 0 1 等研究了带张紧轮的动力传动带参数振动 的稳定性，建立了考虑带的耦合并计入阻尼因素的数学模型，用空间和时间的有 限差分法进行数值求解：p a k d e m i r l i l l l 】等研究了轴向速度周期变化时弦线横向、 纵向振动的稳定性，采用g a l e r k i n 方法将偏微分方程转化为常微分方程，然后采 用数值方法计算f l o u q u e t 乘子来判断系统的稳定性。 随着材料科学的发展，为了增强传动带的工作效率和使用寿命，工程中传动 带的材料更多地采用高分子高强度聚合材料和人造纤维等粘弹性材料，这类材料 受到力作用后，变形过程是一个随时间变化的过程，卸载后的恢复过程又是一个 延迟过程。因此，这类材料中的应力不仅与当时的应变有关，而且与应变的全部 变化历史有关，粘弹性材料结构的动力学特性相当复杂，最近几年的轴向运动连 续体的研究集中在非线性材料方面的研究；振动研究的重要问题之一是工程系统 中阻尼因素的建模，其有效的解决途径是考虑材料的粘弹性。如果考虑传动带材 料的粘弹性效应，即将粘弹性本构方程( 包括积分型和微分型应力一应变关系) 代入到动力学方程( 1 9 ) 或( 1 1 0 ) 中，即可得到粘弹性传动带的振动方程。例 如对于k e l i v i n 本构模型，有应力应变关系为 盯= e 0 6 + 玎鲁= e 6 ( 彬) ( 1 这里e 。是传动带的弹性模量，7 是动态粘性阻尼系数，由粘弹性材料的特 性确定，e 是是刻画粘弹性材料性质的粘弹性模量算子，这里可以理解为等价 弹性模量。将( 1 1 1 ) 代入到方程( 1 9 ) 或者( 1 1 0 ) 中，将对方程中的张力p 表达式产生影响。 而后许多研究者认为：由于工程中的传动带为了满足系统驱动较大动力和使 用寿命的要求都要具有一定的厚度，厚度对传动带的动力学行为的影响是不能忽 略的。为了更精确地反映工程中传动带的实际情况，他们又将传动带看成是沿轴 6 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 向运动的梁模型，也就是传动带具有一定的抗弯刚度，可以承受一定的弯矩或者 剪力。其模型简图如图1 3 所示 图1 3 传动带的梁模型图 a b r a t e 1 2 1 系统地阐述了静止传动带和轴向运动梁的横向振动、扭转振动和纵 向振动问题，分析了线性振动的固有频率和带速之间的关系，但是他没有计入轴 向张力变化的影响。p a k d e m i r l i t l 4 1 研究了受张力的轴向运动梁受到带速波动的横 向振动方程 c 豢化翥+ 詈詈豢h 矛0 2 w + e 10 矛4 w = 。 其中4 为传动带的横截面积，为截面惯性矩，e 表示传动带的弹性模量， c 表 示带速，p 表示带的张力。此后在轴向运动弦线的研究基础上，考虑到梁的变形 和本构关系的复杂性，关于轴向运动梁的研究更多地集中在非线性振动上。 考虑了上述的各种非线性因素以后，传动带的横向非线性振动偏微分方程变 得非常的复杂，解耦后得到一组独立广义坐标形式的微分方程，传统的非线性解 析方法只能够解决低阶数，低维数的非线性微分方程，而对于多自由度高阶系统 的响应解析解已经无法得到。研究非线性振动主要借助于数值方法，利用数值解 来分析研究非线性的一些动力学特性，并且借助于计算机分析其复杂的非线性动 力学现象，如分岔，混沌等等。关于轴向运动连续体的分岔和混沌运动动力学分 析研究在最近的两年里吸引了许多学者，成为非线性动力学问题中一个较活跃的 研究课题。w i c k e r t 1 3 用k b m 渐近方法研究运动梁的非线性分岔，6 z 和 p a k d e m i r l i t h 】研究了轴向运动弹性梁的共振稳定区间，c h e n t ”】分别采用二、三、 7 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 四阶g a l e r k i n 法研究了粘弹性弦线在轴向运动速度周期变化激励下的分岔特性， 李滨城【1 6 】通过实验指出工作负荷对传动带的振动有着重要的影响，张伟【1 7 】将传 动带视为粘弹性弦线，利用w i c k e r t 提出的模态函数研究了传动带在张力周期变 化时的l ：3 内共振情形。杨晓东【l8 】研究了k e l v i n 本构关系的粘弹性运动梁的分岔 和混沌动力学行为。c h e n 1 9 】又用多尺度法分析了轴向运动粘弹性梁的主共振及 其稳态响应。陈立群教授和他的学生杨晓东，吴俊，刘芳等1 7 1 - 7 5 j ，对轴向运动粘 弹性弦和粘弹性梁的混沌特性做了很大量的工作，他们用数值方法研究了这些系 统的分岔特性和混沌图谱，为传动带横向振动的分岔和混沌研究提供了有益的借 鉴。冯志华和胡海岩分析了共振条件( 包括内共振和主参数共振及其组合共振与 内共振联合激励) 下直线运动梁的动力稳定性。 1 2 2 第二类问题研究进展 带传动的第二类问题主要研究较为复杂的约束问题( 偏心效应，摩擦阻尼， 弹性支承等) 和其他元件的耦合振动( 带与带轮，张紧轮和弹性支承等) 问题， 考虑到柔性带与刚性带轮之间的明显差别，为简化计算，处理此类问题时，均将 传动带视为线弹性弦线，或者线性阻尼弹簧，将带轮视为刚体，考虑其质量效应。 对于约束问题较早的工作主要考虑由于带轮制造和安装误差而引起的偏心 振动，许多研究者也通过试验来观测这种偏心振动并对其做了深入地研究。m o o n 和w i c k e r t 2 2 1 用试验激光干涉测量手段和解析方法研究了传动带的偏心振动，发 现带速在某些临界值附近系统有强烈的共振现象。带传动机构有时为了实现一些 工程传动要求，需要安装在弹性支承( 非固定支座) 上，所以研究者通过一端支 撑的弹性来模拟支座松动或者非固定支座的情况，非固定支座包括纵向或横向非 固定支座( 图1 4 ) 和旋转非固定支座( 图1 5 ) 等等。 图1 4 纵向非固定支座 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 近年来研究传动带振动的另一类问题是传动带和其他元件的耦合振动问题， 由于传动带是绕在带轮上，并且依靠带轮的运动而运动的，那么传动带和带轮之 间必定存在耦合作用，成经平研究了高速带传动系统的固有频率，对发生耦合振 动的振因分析及解决提供了有效的途径。1 w a t s u b o 2 5 j 分析了各种组合形式的多带 驱动系统的线性振动方程及其规律，这个问题主要是解决传动带在多个带轮支承 时( 图1 6 ) 或者受到张紧轮( 图1 7 ) 支承时的振动问题。动力传动装置可以模 型化为弦线振动和圆盘转动振动的耦合，r u b i n 2 7 】考虑了带与带轮间的摩擦带来 的能量损耗以及带轮的加速度的影响，研究了多带轮带传动系统的稳态运动，并 得到了解析解。k i m 和l e e 2 s j 用h a m i l t o n 原理建立了更为复杂的系统：传动带、 带轮、转轴和齿轮系统的非线性数学模型。t o k o r o 和n a k a m u r a 2 9 | 用试验方法研 究了齿形同步带的横向振动，发现张力的波动周期对振动有很大的影响。 a 图1 5 旋转带传动装置 图1 6 多带系统 9 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 z h a n g 和z u l 2 6 】综合离散陀螺系统模态分析的方法和运动弦线模态分析的方 法，对图1 7 所示的张紧轮系统进行了模态分析，建立了显式的频率方程，并得 到了对任意激励的响应，而且着重讨论了对简谐激励的响应；他们还进一步研究 了有阻尼的情形，提出了非自伴的混杂系统的模态分析方法。为解决一类平带驱 动系统振动问题提供了方法。u l s o y 4 4 】还讨论了张紧轮的设计问题。 图1 6 张紧轮系统 1 3 本论文的主要工作和研究意义 本文研究的是第一类传动带动力学问题。工程中实际使用的传动带机构是个 大跨度的柔性结构，而传动带本身为了使用强度的要求，传动带要具有一定带宽 和厚度，而且具有粘弹性材料特性，以往文献单纯地将传动带视为弦模型或者是 梁模型，是不合理的。因为弦模型没有考虑带的较小的抗弯刚度，梁模型没有考 虑到传动带是个柔性很大的结构，横向位移会影响到轴向变形。本文将传动带视 为轴向运动的抗弯刚度较小的k e l v i n 本构关系的粘弹性梁模型，同时考虑了轴 向变形的几何非线性和材料的非线性因素，这样才能更精确的反映粘弹性传动带 横向振动的本质。 在上述考虑的基础上，本文研究了粘弹性传动带的横向振动的非线性动力学 l o 西北工业大学硕士学位论文 第章绪论 行为。主要的工作有三个方面： 1 将传动带视为粘弹性轴向运动的小抗弯刚度梁模型，同时考虑了传动带的抗 弯刚度和变形的几何非线性以及传动带材料的非线性，详细地对传动带进行 了受力分析和运动分析，采用弹性力学方法建立了横向振动非线性方程和在 带速周期扰动情况下传动带受迫振动方程。 2 运用多尺度法分析振动微分方程，分析使传动带系统能够稳定工作的带速上 限，并且分析了带速波动频率对系统的振动稳定性的影响，利用 r o u t h h u r w i t z 稳定性判据确定了共振的不稳定域。 3 对非线性方程进行g a l e r k i n 离散后，采用数值方法研究了传动带横向振动的 分岔特性和混沌行为。 本论文详细推导了该模型的动力学建模，得到了传动带横向非线性振动方 程，随后用数值方法研究了该模型的稳定性和分岔及其混沌现象，对工程实践有 重要的指导意义。同时本文所研究的模型也丰富了轴向运动连续体非线性动力学 的内容，对轴向运动连续体的非线性振动的理论研究和数值方法方面都有一定的 意义和价值。 西北工业大学硕士学位论文 第二章传动带动力学建模 第二章传动带动力学建模 在本章中我们将同时考虑传动带的材料粘弹性、振动过程中变形的几何非线 性以及传动带的微小抗弯刚度这三个因素，建立非线性平面运动的粘弹性传动带 的横向振动的动力学方程。 2 1 动力学建模方法概述 建立工程系统的动力学方程的方法通常有三种【6 3 】： 1 分析力学方法。分析力学中的l a g r a n g e 方程是最受欢迎的方法。其特点 是基于系统的能量来建立系统的运动微分方程，从而无需对系统取分离体进行受 力分析。对于多自由度系统和连续系统可以采用该方法。分析力学方法中的另外 一个较为常用方法就是h a m i l t o n 变分原理方法，h a m i l t o n 变分原理是分析力学 中的一个基本变分原理，根据这一变分原理，可以从一切可能发生的运动中确定 真实的运动。因此只需要得到弹性体的能量表达式，如动能r ，势能u 和虚功 删，就可以建立动力学方程。因此对于复杂连续系统而言，用h a m i l t o n 变分方 法来建立系统的运动微分方程较为方便。 2 多刚体动力学方法。多刚体动力学的研究对象是由多个刚体，关节，不 计质量的弹性元件和阻尼元件等构成的系统，主要任务是采用程式化的方法来建 立系统的动力学方程，并计算系统的运动。因此，它是理论力学和分析力学的自 然延伸和技术发展。自2 0 世纪6 0 年代起，机器人、汽车等工业的需求推动了多 刚体力学理论的发展，r o b e r s o n 和w i t t e n b u r g ，s c h i e h l e n 和k r e u z e r ，k a n e 等学 者提出了一系列新方法。随后兴起的各种计算机语言为程式化建模提供了平台， 出现了n e w e u l ，m e s a v e r d e ，a d a m s 等建模和分析软件，需要借助计算 机来完成。 3 弹性力学方法。采用弹性力学方法建模时，一般依次列出系统的动力平 衡方程，变形几何方程和本构关系方程，然后尽可能消去联立方程中的未知函数， 求解剩下的未知物理量。弹性力学建模方法有位移法，力法和混合法。其中位移 西北工业大学硕士学位论文第二章 传动带动力学建模 法是最常用的。相比之下，具有无限自由度的连续介质非线性系统的建模非常复 杂。系统的非线性来自两方面，一是系统的运动( 如大变形) ，二是构成系统的 材料的非线性。对于计入上述非线性的杆，轴，梁，板和简单的壳体，高等材料 力学和弹性力学提供了一些建模手段。至于更复杂的结构，则要采用非线性有限 元，多柔体动力学等方法，借助于计算机完成建模和计算。 本文传动带类似于梁结构，用弹性力学方法建模比较方便，下面运用弹性力 学方法来建立粘弹性传动带的非线性动力学方程。 2 2 非线性动力学方程 传动带的模型简图如图2 1 所示，粘弹性传动带张紧在固定的无偏心的两个 带轮上( 这里不考虑带轮偏心的影响) ，假设传动带的跨度为三，平均密度为p ， 带的横截面面积为a ，并且传动带以速度v 绕着带轮运动。假设粘弹性材料是均 匀的，应力不超过弹性极限，变形前垂直于传动带轴线的横截面在变形后仍然垂 直于传动带的轴线。传动