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姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现 摘要 图像信息丰富，数据量大，如何对图像数据进行压缩处理，目前已发展成为专 门的研究领域图像编码。如何有效地组织、存储、传输和恢复图像数据，即探 索更有效、更高压缩比的图像压缩编码技术，已成为现代信息处理技术中关键任务 之一。由于小波变换所具有的独特特性，基于小波变换的图像压缩编码已经成为图 像压缩研究领域的主流之一。 论文首先介绍了图像数据压缩的必要性、图像压缩编码技术的发展及研究现 状，并给出了图像压缩方法的评价标准。在回顾了傅里叶变换和短时傅里叶变换的 基础上，引入了小波变换的定义及其性质，接下来对连续小波变换、离散小波变 换、多分辨率分析、尺度函数、小波函数、二尺度方程及多分辨率滤波器组等小波 分析理论进行了阐述，进而分析了m a u a t 算法中小波变换的分解和重构方法。在 以上小波分析理论的基础上进一步讨论了二维正交小波变换和离散图像的小波变换 实现。 再次，对于图像压缩编码技术，本文对图像压缩编码理论和各种算法进行了较 为详细的分析论述。本文着重对e z w 、s p i h t 、e b c o t 三种经典的基于小波变换 系数的图像压缩编码算法进行了系统分析与比较，分别总结归纳了其优点及不足， 并给出了这三种图像压缩编码算法的实验结果比较。 论文提出了一种基于整数小波变换，结合s p i h t 算法和自适应算术编码的静 态图像无损压缩编码方案，并详细讨论了编码方案的各个组成模块。实验结果表 明，与公开发表的其它方案相比，本文提出的方案较为有效、可行。在总结分析已 有图像压缩编码算法的基础上，对s p i h t 算法进行了改进，并应用到本文的编码 方案中进行仿真验证。结果表明，改进算法能有效提高测试图像的无损压缩比。 关键词：小波分析、整数小波变换、无损图像压缩、压缩编码、改进的s p i h t ii 扬州大学硕士学位论文 a b s t r a c t i m a g e c o n t a i n sl a r g ed a t a , s oh o wt oc o m p r e s s i m a g ed a t ah a sd e v e l o p e da sas p e c i a l r e s e a r c ha r e a - i n l a g ec o d i n g h o wt o o r g a n i z e ，s a v e ，t r a n s m i ta n dr e s t o r ei m a g ed a t a e f f e c t i v e l y , i e ，h o wt oe x p l o r em o r ee f f i c i e n ta n db e t t e rc o m p r e s s i o nr a t ei m a g ec o d i n g t e c h n i q u e s h a sb e c o m eo n eo fi m p o r t a n tt a s k si nm o d e mi n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s b e c a u s eo f i t su n i q u ec h a r a c t e f i s t i c s ，w a v e l e tt r a n s f o r mh a sb e e n s u c c e s s f u l l y a p p l i e di n t oi m a g ec o m p r e s s i n gc o d i n ga r e a s ，a n di m a g ec o d i n gt e c h n i q u e sb a s e do n w a v e l e tt r a n s f o r mh a sb e c o m eo n eo f m a i nt a s k si ni m a g er e s e a r c ha r e a s ， i nt h i st h e s i s ，t h ei n t r o d u c t i o nt ot h en e c e s s i t y , t h ed e v e l o p m e n ta n dt h er e s e a r c ho f i m a g ec o m p r e s s i o nc o d i n gt e c h n i q u e sh a v eb e e nf i r s t l y m a d eb e f o r et h ee v a l u a t i o n c r i t e r i ao fi m a g ec o m p r e s s i o nt e c h n i q u e sh a v eb e e nl i s t e d a f t e r r e v i e w i n gf o u r i e r t r a n s f o r ma n ds h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ( s t f t ) t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o n a n dp r o p e r t i e so fw a v e l e tt r a n s f o r m t h e o r i e ss u c ha sc o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m ， d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m , m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，s c a l ef u n c t i o n ，w a v e l e tf u n c t i o n ， t w o s c a l ee q u a t i o n , a n dm u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i sf i l t e r sa n ds oo nh a v eb e e ni l l u s t r a t e d s e q u e n t l y , d e c o m p o s i t i o na n dc o m p o s i t i o no f w a v e l e tt r a n s f o r mi nm a l l a ta l g o r i t h ma r e a n a l y z e d b a s e d o nm e n t i o n e d a b o v ew a v e l e t a n a l y s i st h e o r i e s ，t w o - d i m e n s i o n b i o r t h o g o n a lw a v e l e ta n dt h ei m p l e m e n t a t i o no f w a v e l e tt r a n s f o r mo nd i s c r e t ei m a g e s h a v eb e e nd i s c u s s e d t h et h e s i sa n a l y z e sa n dd i s c u s s e si m a g ec o m p r e s s i o nc o d i n gt h e o r i e sa n ds e v e r a l i m a g ec o m p r e s s i o nc o d i n gt e c h n i q u e s b a s e d o nw a v e l e tt r a n s f o r m ：e z w , s p i h t , e b c o t , t h r e et y p i c a lc o d i n ga l g o r i t h m sa r ea n a l y z e da n dc o m p a r e ds y s t e m i c a l l y t h e i r s t r e n g t h sa n dw e a k n e s s e sa r es u m m a r i z e d f u r t h e r m o r e ，t h ef i n a le x p e r i m e n t a lr e s u l t so f t h et h r e ec o d i n ga l g o r i t h m sa r er e v e a l e d t h et h e s i sp u t sf o r w a r dac o d i n gs c h e m ef o rs t i l li m a g e sb a s e do ni n t e g e rw a v e l e t t r a n s f o r m ，c o m b i n e dw i t hs p i h ta l g o r i t h ma n da d a p t i v ec o d i n g ，a n de v e r ym o d u l e so f t h es c h e m ea r ed i s c u s s e d n l ee x p e r i m e n t a lr e s u l t si n d i c a t et h a tt h es c h e m ei sa v a i l a b l e a n df e a s i b l ec o m p a r e d 、i mo t h e rs c h e m e s w eh a v ei m p r o v e dt h es p i h ta l g o r i t h m b a s e do ne x i s t i n gi m a g ec o m p r e s s i o nc o d i n g a l g o r i t h m s ，a n da p p l i e dt h ei m p r o v e d s p i h i a l g o r i t h mi n t ot h es c h e m ew eh a v ep r o p o s e d t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t si n d i c a t e t h a tt h es c h e m ew i t hi m p r o v e ds p i h te a r le n h a n c ei m a g el o s s l e s sc o m p r e s s i o nr a t e e f f e c t i v e l y k e y w o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ，i n t e g e rw a v e l e tt r a n s f o r m ，l o s s l e s si m a g ec o m p r e s s i o n , i m a g ec o d i n g ，i m p r o v e ds p i h t 姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现 1 前言 近十几年来，随着通信技术和i n t e m e t 的迅猛发展，以及多媒体技术应用的普 及，对图像信息的获取和处理更是引起了各方面人士的广泛重视，图像压缩编码技 术的应用范围不断扩大，如医学图像、数字图书馆、图像的远程浏览和检索、数码 设备等领域，在未来的社会发展中，它显示出其强大的生命力和发展潜力。 1 1 数字图像的概念 用计算机对图像进行处理的前提是图像必须以数字格式存储，即数字化，我们 把以数字格式存放的图像称之为数字图像。一幅数字图像是点或图像元素的埘行 列的矩形数组。m x n 是图像的大小，而这些点称为像素0 i x e l s ) 。数字图像可 以分为以下几种类型0 , 2 1 ： 1 、二值( b i 1 e v e l ) 图像。这类图像的像素取值为二者之一，通常是非黑即白。 每个像素用1 位表示，是最简单的图像类型。 2 、狄度( g r a y s c a l e ) 图像。这类图像的像素为2 ”个明暗灰度中的一个。h 的值 通常与字节的大小兼容，即取为4 、8 、1 2 、1 6 、2 4 或其它方便的4 或8 的倍数。 所有像素最高位的集合就是最高位平面。因此，灰度图像有”个位平面。 3 、连续色调( c o n t i n u o u s - t o n e ) 图像。这类图像有相似的颜色( 或灰度级) 。当 相邻像素只相差一个单位时，人眼很难或者就不可能辨别出颜色的不问。因此，这 类图像可以包含人眼看来好像是连续变化的区域。一幅连续色调图像通常为自然图 像( 与人造图像相对) ，可以用数码相机拍照雨得，或者对照片和图坷扫描而得。 4 、离散色调( d i s c r e t e - t o n e ) 图像。通常为人造图像，颜色可多可少，但不存在 自然图像中的噪声和模糊。离散色调图像中有急剧变化、界限分明的边缘，因而与 图像的其它部分( 背景) 形成鲜明对比。离散色调图像相邻像素的取值往往要么相 同，要么差别明显。 1 2 图像数据压缩的必要性 众所周知，原始图像数据会占有大量的存储空间，庞大的数据量给存储器的存 储容量、通信线路的信道传输能力以及计算机的处理速度都带来了极大的压力，因 此许多应用领域( 如医学图像处理、卫星遥测系统、h d t v 等多媒体综合信息服 2 扬州大学硕士学位论文 务系统等) 需要有效的方法来存储及传输这些图像文件。用扩大存储器容量、增加 通信线路的传输能力以及计算机的处理速度等办法是不现实的。而图像压缩技术是 行之有效的方法，通过压缩编码手段把图像数据量降下来，以压缩的形式存储和传 输，这样既节省了存储空间，又提高了通信线路的传输效率。所以图像数据压缩势 在必行1 3 , 4 j 。 图像压缩编码是指通过删除冗余的或是不必要的信息来减少图像数据量的技 术。图像压缩编码的目的是以尽可能少的比特数来表征图像信息，同时保证复原图 像的质量，使它符合预定应用场合的需要。压缩数据量，提高有效性是图像压缩编 码的首要目的。 图像压缩编码得以实现的两个主要依据是图像的统计特性和人类视觉系统特 性。通常情况下，图像中包含大量的冗余信息1 5 】，主要表现有： 1 、空间冗余。一幅图像中相邻像素的灰度值( 或彩色值) 基本上是一致的 ( 除去图像边缘的像素点) ，图像的空间冗余指的就是图像相邻像素之间的相关 性。 2 、时间冗余。时间冗余反映在图像序列中就是相邻帧图像之间有较大的相关 性，一帧图像中的某物体或场景可以由其它帧图像中的物体或场景重构出来。 3 、信息熵冗余。对于信源编码，当分配给第i 个码元类的比特数b ( y ：) = - l g e 。 时，才能使编码后单位数据量等于其信源熵，即达到其压缩极限。但实际中各码元 类的先验概率很难预知，比特分配不能达到最佳，实际单位数据量d h ( s ) ，既 存在信息冗余熵。 4 、结构冗余。有些图像的纹理区中图像的像素值存在着明显的分布模式，即 存在着结构冗余。 5 、知识冗余。有些图像的理解与某些知识有相当大的相关性，这类规律性的 结构可由先验知识和背景知识得到，该类冗余称为知识冗余。 6 、视觉冗余。人眼具有以下的视觉特性： 亮度特性：根据w e b e r 定律，人眼的亮度感觉依赖于目标与背景的亮度比， 而不是绝对亮度。 空间掩盖效应；即一个视觉刺激加在另一个视觉刺激上时产生的效果，使图像 中均匀背景上施加的随机白噪声比高对比度区域可见。 视觉带通特性与图像边缘敏感度：人眼具有低通特性，即人眼对图像高频部分 姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现 3 不如对低频部分敏感；对于图像边缘，人眼对水平和垂直方向的边缘和线条较灵敏 而对斜向不灵敏，即视觉敏感度又方向性。 通过图像压缩编码，去除图像中存在着的大量的冗余数据，可以使原始图像数 据极大地减少，从而解决图像数据量巨大的问题。 1 3 图像压缩编码技术的发展及研究现状 图像压缩编码的过程 6 】可以概括为变换、量化、编码三个步骤。即原始图像经 映射变换后得到变换系数，变换系数经过量化，输出量化后的数据，量化得到的数 据经过编码后得到更为紧凑的码流，从而得到压缩的图像数据，图像的解码过程与 编码过程相似，只是执行相反的操作即可。 图像压缩编码的研究至今已经有了几十年的发展历程【7 ，8 】。图像压缩编码技术 的研究一直循着两条主线索不断展开，一是对图像信源特性的不断认识；二是对人 类视觉系统特性的不断认识。对两方面的不断深入研究，推动着图像压缩编码技术 的进步。 经典的图像压缩编码方法基于s h a n n o n 信息论，其中最基本的熵编码、预测编 码和变换编码理论就产生发展与2 0 世纪五六十年代并且影响至今，在目前已知的 图像压缩编码的国际标准中，仍然被普遍使用。 熵编码的基本原理是给出现概率较大的符号分配短码字，给出现概率较小的符 号分配一个长码字，这样是最终的平均码长最短。一个经过精心设计的熵编码器， 其输出的平均码长可以接近信源的信息熵，即码长的下限。常用的熵编码有霍夫曼 编码( h u f f i n a nc o d i n g ) 、游程编码( r l c ，r u n l e n g t hc o d i n g ) 与算术编码( a r i t h m e t i c c o d i n g ) 等。 预测编码是对统计冗余进行压缩，图像数据中相邻像素之间存在很强的相关 性，去除相关性可以大大简化图像的数据表示。一个像素可以由与其相邻并且已经 编码的像索进行预测，最后编码传输的数据是量化后的差值，在此基础上人们提出 了以差分脉冲编码调制( d p c m ) 为代表的各种预测编码方法。 变换编码的基本思想是通过变抉来消除图像中存在的高度相关性，首先对空域 作线性变换得到一组变换系数，然后对这组系数进行量化、编码和传输。典型的交 换有离散余弦变换( d c t ) 、k - l 变换等。 随着对图像本身特性的不断研究，人们发现图像数据在数值上的细微变化不会 被人眼察觉。由此，人们开始研究各种限失真编码的方案，研究目的从精确恢复原 4扬州大学硕士学位论文 原始图像数据转变为如何将重构图像的误差限定在人眼可接受的范围内。许多经典 的图像压缩编码算法和压缩技术都是在这个阶段提出并逐步完善起来的。 2 0 世纪9 0 年代以来，m k u n t 提出“第二代图像压缩编码技术”的概念【9 。他 们认为传统的图像压缩编码方法是基于信号波形的方法，衡量编码算法的效率主要 以重建信号与原始信号的波形一致性程度为评价标准；而新一代图像压缩编码方法 则是基于对象模型的描述方法，主要特点是以去除图像的视觉冗余为主要目标，强 调编码不仅应充分利用图像信源的局部和全局的统计相关性，而且要利用图像内部 的几何特性、自相似性和方向性等多种自然属性和规律，同时不再把图像简单地作 为客观信源来看待，在充分考虑人类视觉系统特性的基础上，进行有效编码，因此 有可能获得比经典的算法高得多的压缩效率。 第二代图像压缩编码技术代表性的方法包括分形编码、模型基编码、轮廓编码 等。在一定的实验条件下，这些编码方法可以取得非常出色的编码性能，但如果考 虑实用化，它们还受到许多限制，例如处理的复杂度等，而且在对一般的自然图像 进行处理时，所获得的编码效率也没有理论上预期的好。尽管第二代图像压缩编码 技术还未进入实用，但它的编码思想对整个编码领域产生了较为深远的影响。 8 0 年代中期人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ) 研究兴起，许多学者开 始将其引入图像压缩领域。a n n 是一种大规模的非线性系统模型，模仿人脑功能 的信息处理并借鉴了生物神经网络的主要特点，具有自适应性、大规模并行处理和 非线性处理等许多优点。其中，用自组织映射型神经网络进行图像压缩的方法类似 于矢量量化，同时具有收敛特性不受初始码书的影响、生成的码书鲁棒性较好等优 点。但是到目前为止，人们对于a n n 的工作机理仍在探索之中，其工作过程的数 学解只能通过迭代产生，收敛速度较慢，所以a n n 在图像编码领域尚未进入真正 的实用阶段。 图像压缩编码领域的另一个重要成果是混合编码方法的发展。经过几十年的研 究和探索，人们逐渐认识到单纯通过一种编码技术很难达到理想的压缩效果，而将 多种编码技术有机地结合起来能够得到对图像数据的较好的压缩效果。通常在实际 系统和国际标准中，常常根据不同的应用，选择几种不同的熵编码和变换编码方法 组织在一起，构成一种混合编码方法来达到压缩目的。例如在j p e g 标准中，就采 用了d c t 、霍夫曼编码和算术编码等多种编码方法。同时，还出现以视觉的空间 频率特性为出发点的子带图像编码技术，它具有多分辨率和渐进传输的特点，对后 姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现 5 来的小波编码技术的发展有着直接的影响。 小波变换编码 6 1 是近年来随着小波分析的研究提出的一种具有很好发展前景的 图像编码方法，它是在数学界和工程界共同研究数据表示技术的过程中发展起来 的。小波变换用于图像编码的基本思想就是把图像进行多分辨率分解，分解成不同 空间、不同频率的子图像，然后再对子图像进行系数编码。小波变换继承并发展了 傅里叶变换，小波变换具有很好的时频或空频局部特性，特别适合按照人眼视觉系 统特性设计图像编码方案，也非常有利于图像信号的分层传输。因此，基于小波变 换的图像压缩方案在静态和动态图像压缩领域得到广泛的应用，小波变换编码正在 逐渐被j p e g 2 0 0 0 、m p e g - 4 等国际图像编码标准所采纳，已经成为当前图像、视 频压缩的研究热点。 自2 0 世纪8 0 年代以来，图像压缩编码技术逐步开始了较大范围的应用阶段， 国际标准化组织( i s o ) 和国际电联的电信委员会( i t u t ) 开始了一系列的图像 编码国际标准的制定，主要目的是提供高效的压缩编码算法和统一的压缩数据流格 式。迄今为止，i s o 和i t u 玎已经制定了适用于不同类型图像的压缩编码标准， 包括：h 2 6 1 、j p e g 、j b i g 、m p e g 一1 、m p e g 2 、h 2 6 3 、m p e g 一4 、j p e g 2 0 0 0 等。这些标准和建议的制定，给图像压缩编码领域以极大的发展，极大地推动了图 像通信的大规模普及应用，而这种大规模的普及应用又对图像压缩编码技术提出了 新的、更高的要求。 1 4 图像压缩方法的评价 在对一幅图像进行压缩处理过程中，由于包括的环节很多，最终恢复出来的图 像的优劣到底如何，这就需要有一个对图像压缩技术进行评判的标准，这个标准对 图像压缩技术在各个方面的应用起着至关重要的作用。 对图像压缩方法的评价障- ，1 2 】可分为图像压缩效率的评价和图像压缩质量的评价 两类，图像压缩质量的评价又可以分为图像压缩质量的客观评价和图像压缩质量的 主观评价两种。 一、图像压缩效率的评价标准 图像压缩系统的效率可由冗余度、编码效率、压缩比、压缩解压缩速度等来衡 量。设原始图像的平均码长为z ，熵为h ( s ) ，压缩后图像的平均码长为l 。，则定 义： 6 扬州大学硕士学位论文 冗余度： 编码效率： 压缩比 r ：土一1 日( s ) 。：旦盟：上 驴亍2 丽 c ，2 i l ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) 其中( s ) = 一只1 0 9 ：只( 最为像素点灰度概率) 。 k = l 压缩解压缩速度也是图像压缩效率的一个重要的评价标准，我们希望压缩解压 缩速度要尽可能的快。在许多应用中，压缩和解压缩将在不同的时间、不问的地 点、不同的系统中进行，因而可以分别评价压缩和解压缩速度。在静态图像中，压 缩速度没有解压缩速度要求严格，处理速度只需比用户能够忍受的等待时间快一些 即可。但对于动态视频图像的压缩和解压缩，速度问题是至关重要的。动态视频图 像为保证帧间动作变换的连贯要求，必须有较高的帧速。否则动态图像就会产生跳 动感，使人难以接受。 二、图像压缩质量的客观评价标准 所谓客观评价，就是定义一个数学公式，然后对待评价的图像和原始图像进行 运算，得到一个数字值作为测度结果，这种方法最常用于对图像的逼真度评价。图 像压缩质量的客观评价标准通常有均方误差( m s e ) 、信噪比( s n r ) 和峰值信噪 比( p s n r ) 三种方法。 当图像大小为m n 时，归一化的均方误差为： z z l ( x , y ) 一f o ( x , _ y ) 】2 q = 竺弓丽r 一 阮( ) 】2 ( 1 4 4 ) 为了衡量两幅图像之间的差异，还可用信噪比( s n r ) 和峰值信噪比 ( p s n r ) 来进行量化表示，其定义为： s n r ：l o l g l 。i 0 2 u ( 1 4 5 ) 姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现7 式( 1 4 5 ) 中，盯2 为输入图像的方差 误差。 m - i n l d = c 厂( b y ) 一f o ( x ，y ) 】2 为均方 ( 1 4 6 ) 式( 1 4 4 ) 、( 1 4 6 ) 中，1 雌为图像的最大像素值；厂( x ，y ) n f o ( z ，y ) 分别是 图像的第( 工，y ) 个元素的像素值和重建后的像素值。 一般的情况下，对图像的质量测度采用峰值信噪比来评判，但某些隋况下，峰 值信噪比对图像质量的评价结果可能和主观上的评价结果不相符合。 三、图像压缩质量的主观评价标准 图像质量的主观评价就是以人作为图像的观察者。按照一定规则并根据自己的 经验对图像的优劣作质量判断。在这些情况下，也可以提供一组标准图像作为参 考，帮助观察者对图像质量做出合适的评价。 无损压缩在压缩以及解压过程中没有损失原始图像信息，所以对无损压缩编码 系统无需进行主观评价；有损压缩则对原始图像做了一些改变。主观评价是建立在 人眼对图像的视觉感受观上，表1 1 给出了国际6 级主观测试分级标准。 表1 1 国际6 级主观测试分级标准 每级的主观质量( 损伤)每级的主观质量( 质量) 1 、不能察觉1 优 2 、刚察觉到2 良 3 、明显但不妨碍3 中 4 、稍有妨碍4 稍次 5 、明显妨碍5 次 6 、极妨碍6 极次 由于图像最终的接受者是人的视觉，所以相比客观评价方法，主观评价方法 是可靠的。但是由于使用起来不够方便，对观察者的知识水平等有一定的要求；又 不同的观察者会得出截然不同的评价结论等，评价结果可能会有出入，所以在大多 数情况下还是以客观评价方法为主对图像质量进行评价。 8 扬州大学硕士学位论文 按照恢复后的图像与原图像的区别，图像压缩编码分为两类：有损压缩编码和 无损压缩编码。如果对图像信息进行编码时不丢失有效信息，经还原而得的图像与 原图像完全一样，则这种编码称为无损压缩编码。如果对编码的图像进行还原，所 得图像与原图像有差别，则这种编码称为有损压缩编码。 有损压缩用于一般图像，如风景、人物照片、部分医疗图像等。有损压缩的压 缩比很高，以牺牲原图像的信息为代价，主要原因就在于原始图像的像素值可以用 一些近似值代替，因为人眼对这些差距并不十分敏感，这也体现了一种对图像数据 的精确性、存储空间和带宽占用的折中处理。 无损压缩应用于各种签名图像处理和档案图像领域，医疗图像也逐步采用无损 压缩方法，因为由于图像的不清晰而导致医生误诊已经带来很多社会问题，而且医 疗成像设备如c t 、m i u 等价格及其昂贵，图像的获取代价高昂，因此这些图像最 好采取无损压缩。但无损图像的压缩比并不是很高。 对于无损压缩，一般采用图像压缩效率评价标准，主要由压缩比c ，来衡量， 压缩比越高，图像压缩效果越高；而对于有损压缩，图像压缩质量的评价和图像压 缩效率的评价两类标准都适用。 除了图像压缩效率和图像压缩质量外，图像压缩编码还要考虑软件和硬件的开 销。有些数据的压缩和解压缩可以在标准的p c 硬件上用软件实现，有些则因为算 法时间或者空间复杂度太大或者质量要求太高而必须采用专门的硬件。这就需要在 占用p c 上的计算资源或者另外使用专门硬件的问题上做出选择。 1 5 论文的研究内容和章节安排 本论文课题的研究受到了江苏省计算机信息处理技术重点实验室开放研究课 题：“基于内容的d i c o m 3 0 图像检索的研究和实现”( k j s 0 1 0 2 3 ) 、江苏省教育厅 自然科学研究计划项目：“基于第二代小波变换的图像压缩技术”( k k 0 3 1 0 0 6 8 ) 等 科研项目的资助。 本论文分析讨论了不同的图像数据压缩编码算法，着重对e z w 、s p i h t 、 e b c o t 等几种典型的基于小波变换系数的图像压缩编码算法进行了系统分析与比 较，分别总结归纳了其优点及不足，并给出了这三种图像压缩编码算法的实验结果 比较。论文提出了一种基于整数小波变换，结合s p i h t 算法和自适应算术编码的 静杰图像压缩编码方案，详细讨论了编码方案的各个组成模块，实验结果表明，与 姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现 9 公开发表的其它方案相比，该方案较为有效、可行。在总结分析已有图像压缩编码 算法的基础上，对s p i h t 算法进行改进，并应用到本文的编码方案中进行仿真验 证，结果表明，改进算法能有效提高图像的无损压缩比。本文所采用和提出的算法 及图像压缩编码系统均在计算机上v i s u a lc + + 6 0 编程环境下全部实现。 论文的章节安排如下： 第一章指出数字图像数据压缩的必要性，概述了图像压缩技术的发展及研究 现状并讨论了图像压缩方法的评价标准。 第二章介绍了小波分析理论。从傅里叶变换和短时傅里叶变换的缺陷出发， 引出了小波变换定义，接下来分别讨论了连续小波变换和离散小波变换、多分辨率 分析、二尺度方程即多分辨率滤波器组、m a l l a t 算法、小波构造的提升方法、整数 到整数的小波变换等理论知识。 第三章在小波变换理论的基础上进一步讨论了图像的小波变换方法，包括二 维正交小波变换及其快速算法，最后给出了图像的小波变换实现。 第四章分析比较了已有的各种图像数据压缩编码箅法，包括：图像信源的建 模与编码、游程编码、h u f l m a n 编码、算术编码、预测编码、变换编码、位平面编 码、图像小波变换编码，并较为详细的讨论了e b c o t 、e z w 两种基于小波变换的 经典的编码算法。 第五章阐述了本论文所实现的基于整数小波变换的静态图像压缩编码方案， 首先给出了编码系统概述，接下来对编码方案各个组成模块展开讨论：边界延拓、 小波基的选择、s p i h t 算法，给出了编码方案的实现及实验结果。在对e z w 、 s p i h t 、e b c o t 三种典型的基于小波变换系数的图像压缩编码算法进行了系统分 析与比较，分别总结归纳了其优点及不足，并给出了这三种图像压缩编码算法的实 验结果比较。提出了一种基于整数小波变换结合自适应算术编码和s p i h t 算法的 图像压缩编码方案；在总结分析已有图像压缩编码算法的基础上，对s p i h t 算法 进行改进，并应用到编码方案中进行仿真验证。 第六章对全论文进行了总结，并对进一步的研究工作提出了设想。 1 0 扬卅i 大学硕士学位论文 2 小波分析理论 小波分析是近年来发展起来的一门新兴数学分支，是对人们熟知的傅里叶变换 和短时( 窗口) 傅里叶变换的一个重大突破，为信号分析、图像处理、量子物理及 其他非线性科学的研究领域带来革命性的影响。小波分析是目前世界上公认的最新 时频分析工具，在时间一频率上都具有很好的局部性，被称为“数学显微 镜”，是2 0 世纪公认的最辉煌的科学成就之一。 2 1 傅里叶变换和短时傅里叶变换 时域与频域是信号分析的两个领域，傅里叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 1 硼是时域 和频域相互转化的工具。傅里叶变换的本质在于对于一个确定性函数f ( x ) 可表示 为一组标准函数族k 似b r 的加权求和： f ( x ) = 击e f “d c o q 1 d 或 ，( x ) = 去f ( c o ) e ” ( 2 1 2 ) 、，雄一 其中 f ( c o ) 2 去e 似”d x 1 3 便是原函数f ( x ) 的傅里叶正变换：( 2 1 1 ) 式称为原函数( 曲的反傅里叶变 换。原函数，( x ) 和它的傅里叶变换f ( c o ) 是统一能量信号的两种不同的表示形式a ，( x ) 显示了时间信息而隐藏了频率信息，f ( t o ) 显示了频率信息丽隐藏了时间信 息。 傅里叶变换中时频域可以截然分开是以信号的频率特性为线性或统计特性平稳 为前提的条件的，但实际中大多数信号是非线性或非平稳的，此种情况下，傅里叶 变换便无能为力，f ( 国) 在任何有限频段上的信息均不足以刻画任意小范围内的 ，( x ) ，即傅里叶变换无法做到时一频局部化分析，可见经典的傅里叶变换在理论 上和实践应用中存在着诸多的困难与不足。 为了研究信号在局部范围的频域特征， 换1 1 1 ( 也称g a r b o r 变换) ，其基本思想是 1 9 4 6 年( a r b o r 提出了加窗f o u r i e r 变 取时间函数g o ) = 疗一v 4 e 一2 作为窗口函 姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现 1 l 数，用g o r ) 同待分析函数f ( t ) 相乘，然后再进行傅里叶变换： g r ( 国，f ) = i ，o ) 9 0 一咖一。“d t ( 2 1 4 ) r 称式( 2 1 4 ) 为窗口函数g ( t ) 的窗口f o u r i e r 变换或g a r b o r 变换。 上式的逆变换为： 1 邝) 2 去j d c o i e “g ( f f ) g ，( 珊，r ) d f ( 2 1 5 ) rr 设函数，u ) 和窗口函数g ( t ) 的傅氏变换分别为f ( 国) 和g ( ) ，则 g ，( 0 9 ，f ) = f ( ) t g ( c o ) e ” ( 2 1 6 ) 由g a r b o r 变换变换可得，g ，( 珊，f ) 表示的是以f 为中心，左右为f 局部时间 内的频谱特性。窗口宽度a r 的大小决定了时间域的分辨率，频域窗口2 a c o 的大小 又决定了g a r b o r 变换的频域分辨率，即g a r b o r 变换的时频域分辨率是由窗口函数 的时频域窗口的大小直接决定的，一旦窗v i 函数g ( t ) 选定，其时频分辨率就已确 定，并且不随频率0 9 和时间f 而变化。 通常为了提高时、频域的分辨率，我们希望f 、珊都尽量小，但由傅立叶 变换的性质可知，a c o 或a r 不可能同时减小，其方的减小必引起另一方的增 大。 在g a r b o r 变换的基础上，为了适应不同问题的需要，人们又构造了多种形式 的窗口函数，如常用的矩形窗、汉明窗等，我们将这一类的加窗f o u r i e r 变换统称 为短时傅里叶变换( s h o r tt u n ef o u r i e rt r a n s f o r m ，简称为s t f t ) ，目前s t f t 在许 多领域都获得了应用。 s t f t 虽然可以描述某一局部时间段上的频率信息，但是其时、频域的窗口 f 和a m 不随r 和国的变化而变化。对于我们要分析的非平稳信号来说，要获得 信号高频成分信息，就需使用很窄的时间窗口进行分析，而要获得信号的低频成分 信息，需用较宽的时间窗口进行分析。因此，对一个时变的非平稳信号，短时傅里 叶变换不能达到此目的，我们很难找到一个“好的”时间窗口来适合不同的对间 段，因为窗函数本身不具备这种“弹性”。所以迫切需要在理论上与方法上创建新 的时一频分析技术，以满足信息处理的发展，小波分析的思想正是在这一需求的基 础上逐渐产生的。 1 2 扬州大学硕士学位论文 2 2 小波变换 小波分析方法 1 3 】窗口大小固定但其形状可以改变，时、频域的窗口均随频率 的变化而变化，以实现对低频分量采用大时窗，对高频分量采用小时窗的符合自然 规律的分析方法。 设( ) 为一平方可积函数，也即矿( r ) l 2 ( r ) ，若其傅里叶变换w ( c o ) 满足条 件： 隧曲 0 ，r r ( 2 2 2 ) “ 称虬，( f ) 为依赖于参数口，f 的小波基函数。由于尺度因子口、平移因子为f 是 取连续变换的值，因此称妒。( f ) 为连续小波基函数，它们是由同一母函数矿o ) 经 伸缩和平移后得到的一组函数系列。 小波基函数y 。( f ) 具有以下性质： 1 ) 尺度的倒数土在一定意义上对应于频率国，即尺度越小，对应频率越高， a 尺度越大，对应频率越低。如果我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度信号为 短时间信号，大尺度信号为长时间信号。这一点是与信号时频分布的自然规律相符 的，因为实际中高频信号必然持续时间很短，低频信号必然持续时间较长。 2 1 在任何f 值上，小波的时、频域窗口的大小缸和都随频率口( 或者 上) 的变化而变化。 d 3 ) 在任何尺度a 、时间点f 上，窗i ：1 面积a t - 国保持不变，也即时间、尺度 分辨率是相互制约的，不可能同时提高。 4 ) 由于小波基函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移序列就可以看作是一 组带通滤波器。 姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现 1 3 将不同岛f 值下的y 。0 ) 的时频域窗口绘在一张图上，我们就得到小波基函数 的相平面，如图2 1 所示。 1 a a 2 a 1 l - b ll il l 啦 ， r i i r ，h l i m 、 l 图2 1 小波基函数f ( f ) 的相平面 2 2 1 连续小汲变换 将( f ) l 2 ( r ) 在小波基下展开，称之为函数厂( r ) 的连续小波变换 ( c o n t i n u e w a v e l e t t r a n s f o r m ，c w t ) ，其表达式为： 吁( 叩) _ ，( f 帆m 扭击，( f ) y ( 等膨 ( 2 2 3 ) 对连续小波变换，若采用的小波满足可容许性条件，则其逆变换存在，对于公 式( 2 2 _ 3 ) ，我们有如下的重构公式，即厂u ) l 2 ( r ) 的逆连续小波变换公式： 们) 2 击f 。窘e 暇( 州k r ( 2 2 4 ) 2 百1 f ”7 d al 。暇( 邮) 击妒( 等胁 ( 2 _ 2 5 ) 其中c ，= r 。壁芝竽匕 0 。 ( 3 ) 内积定理( m o y a l 定理) 设x ( f ) ，y ( ，) l 2 ( r ) ，且x ( f ) 的c w t 为聊：( 盘，f ) ，y ( f ) 的c w t 为 h l ( 口，f ) ，也即 p ：( 口，f ) = 阡l ( 口，r ) = 则有m o y a l 定理： = c t 鼽c ，= f 学 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现 1 5 2 2 2 几种常见的小波函数 1 4 , 1 5 1 1 、h a a r 小波 h a a r 函数是一组互相正交归一的函数集，h a a r 小波是由它诞生而得的。h a a r 小波是支撑域在f 0 ，l 】范围内的单个矩形波。即 缈( r ) = + 1 , 0 0 ) ，则对应的离散小波函数y 肚( r ) 可写为： ，。( f ) ：口。一j p ，( ! ：! ! ! ；鱼) ：口。一j ( a o j t - k b 。) ( 2 2 1 7 ) 口0 。 函数f ( t ) 的离散小波变换为： 阡l ( ，k ) = ( 2 2 1 8 ) = 眇( f ) 卅( t ) d t = 一；p ( f ) 矿( 嘞f k b o ) d t ( 2 2 1 9 ) rr 在缈j , k ( f ) 满足小波框架条件的情况下，( f ) 的重构公式，即，o ) 的逆离散小波 变换公式为： 邝) = 衫，。( f ) 2 c w t e ( j ，七) ( f ) ( 2 2 2 0 其中c 为大于0 的常数。 对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取离散栅格的a 。_ 2 ，b o = l ，即相 姜会亮：基于整数小波变换的静态图像压缩技术的研究及实现 1 7 当于连续小波只在尺度上进行了二迸制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小 波为二进小波( d y a d i cw a v e l e t ) ，表示为： 一 2 j , k ( r ) 2 2 2 缈( 2 1 ，一七) ( 2 2 2 1 ) 函数f ( t ) el 2 ( r ) 的二进小波变换为 降弓( 2 7 ，) 2 2 22 j j ( r ) 沙( 2 7 卜k ) d t ( 2 2 2 2 ) r 二进小波变换的重建公式为 邝) 2 胛j ( 2 7 ，妒2 j , k ( t ) d r ( 2 2 - 2 3 ) e z 二进小波介于连续小波和离散小