（信号与信息处理专业论文）基于有限差分方法的多模光纤模式群数字化解析.pdf

摘要 摘要 本文主要介绍了基于有限差分方法的多模光纤模式群数字化解析。 有限差分方法是一种数字化方法，被广泛的应用于工程领域。本文首先介 绍了一些光纤基本知识，然后从标量波动方程出发，由有限差分方法获得标量 波动方程中的微分近似，接着利用m a t l a b 进行求解。由标量波动方程解出的传 播常数可以进一步计算得到模式群时延。最后通过电场强度分布、功率耦合因 子和模式群时延，我们可以计算出多模光纤的传输函数和频率响应。 从第三章和第四章可以看出，多模光纤的数字化模型可以较容易的由有限 差分方法得出。对于多模光纤的模式解析，与其它数字化方法( 如w k b 方法、 v a r i a t i o n a l 方法等) 相比，有限差分方法更为方便和快捷有效。 关键词：多模光纤，有限差分方法，模式群 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sw o r kp r e s e n t san u m e r i c a lm e t h o df o re v a l u a t i o no fm o d eg r o u p si nm u l t i m o d e f i b e r f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，嬲ak i n do fn u m e r i c a lm e t h o d ，w h i c hi sw i d e l yu s e di n e n g i n e e r i n g ，i sg i v e ni nd e t a i l f i r s to fa l l ，s c a l a rw a v ee q u a t i o ni sa p p r o x i m a t e db y f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d t h e ni ti ss o l v e dw i t hm a t l a b m o d eg r o u pd e l a yi sf u r t h e r a p p r o x i m a t e db yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d 、析t ht h er e s u l t so fs c a l a rw a v ee q u a t i o n a t l a s t ，w i t he l e c t r i c a lf i e l dd i s t r i b u t i o n ，p o w e r sc o u p l i n gc o e f f i c i e n ta n dm o d eg r o u p d e l a y , t h et r a n s f e rf u n c t i o na n df r e q u e n c yr e s p o n s ea r ei n t r o d u c e d f r o mc h a p t e r3a n dc h a p t e r4w es e et h a tt h en u m e r i c a lm o d a lo ft h em m f i se a s i l y o b t a i n e du s i n gf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d c o n t r a s tt oo t h e rn u m e r i c a lm e t h o d ，f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o di sap o w e r f u la n de f f i c i e n t f o rt h ea n a l y s i so fm o d eg r o u p si n m m f , i ti se a s i e ra n df a s t e rt h a no t h e rn u m e r i c a lm e t h o dl i k ew k bm e t h o da n d v a r i a t i o n a lm e t h o d k e yw o r d s ：m u l t i m o d ef i b e r , f i n i t e - d i f f e r e n c e - m e t h o d ，m o d eg r o u p s 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 一站雾站日 埘肆) ，月坫日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 够缆 u 年尸月日 第1 章导论 1 1 研究背景 第1 章导论 现如今，随着计算机的普及和互联网的迅速发展，使得人们对信息的需求 量与日俱增。在通信等诸多领域，光纤作为传输介质，已经起到了无可比拟的 重要作用。在高速骨干网，短程通信等基础设施建设中被广泛应用。它比传统 的铜线，以及无线连接有着很多优势。如高安全性，较小的电磁干扰，信号泄 漏小，带宽大，方便管理等诸多优势。这样光纤就义不容辞地承担起了海量信 息的传输和交换的任务。基于此，多模光纤中的传播模式也被大家重视和研究。 目前，对于光纤中的传播模式已有多种数字化分析研究方法，如w k b 方法， v a r i a t i o n a l 方法等等，但是它们本身过于复杂，并不易于工程上的简单仿真和计 算，使得光纤中的模式分析过于复杂和繁冗。有限差分方法弥补了这一不足， 它非常简单、有效，便于计算机仿真和计算。 1 2 研究内容与步骤 本文通过对光纤传输理论的分析研究，针对多模光纤的传播模式分析困难 的问题，寻找一种便于计算机仿真和计算的数字化方法。通过有限差分方法对 光纤中的传播模式予以分析，最终得到多模光纤中的电场分布、功率分布、模 式延迟、功率耦合因子、传输函数等等多模光纤的传输特性参数。 具体研究步骤如图1 1 所示： 第l 章导论 l 相关论文收集与分析 上 l 对多模光纤的传输理论进行分析 上 寻找适当的模式解析方法 上 i 结合有限差分方法分析光纤中的传播模式 上 i j 撕m a t l a b 仿真 j l 论文结束 l 1 3 论文思路与结构 图1 1 本文的研究步骤 本文共分为六章： 第一章为引言，主要介绍本论文的研究背景、研究内容及其步骤。 第二章介绍光纤的基本理论，包括光纤结构、光纤类型、光纤的几何光学 传输原理以及模式理论。 第三章重点介绍基于有限差分方法的模式解析。首先给出有限差分方法的 基本概念及其原理和推导。接着，由麦克斯韦方程和h e l m h o l t z 方程推导出标量 波动方程。最后，根据有限差分方法求解标量波动方程，得到电场强度分布、 功率分布以及模式群时延。 第四章主要阐述多模光纤的传输函数和频率响应。我们从多模光纤注入条 件开始，介绍功率耦合因子及其对多模光纤的影响，接着导出多模光纤的传输 函数，最后由传输函数得到多模光纤的频率响应。 第五章给出了基于有限差分方法的m a t l a b 仿真方法。具体介绍了输入、输 出数据的数据结构和利用有限差分方法求解标量波动方程的关键问题。最后给 2 第1 章导论 出了所有仿真结果。包括电场强度分布、功率分布、模式群时延、功率耦合因 子、传输函数以及频率响应。 第六章是多模光纤模式群数字化解析的总结。 3 第2 章光纤基础理论 2 1 光纤结构 2 1 1 基本结构 第2 章光纤基础理论 光纤是传光的纤维波导或光导纤维的简称。其典型结构是多层同轴圆柱体。 光纤的结构由三部分组成，自内向外为纤芯、包层和涂覆层。核心部分是纤芯 和包层，其中纤芯由高度透明的材料制成，是光波的主要传输通道。包层和涂 覆层具有以下功能： 1 ) 减小光从纤芯向周围环境的泄漏： 2 ) 减小光在纤芯表面的散射； 3 ) 光纤不受水汽的侵蚀相机械的擦伤； 4 ) 增加光纤的柔韧性，起着延长光纤寿命的作用。 图2 - 1 给出了光纤的基本结构。光纤的纤芯和包层需由不同的材料组成， 它们应该这样选择：光纤的内部要有较大的折射率，这样当光在光纤中传播的 时候，就会在纤芯和包层的交界面发生全反射。 图2 - 1 光纤基本结构 2 1 2 光纤材料 由s i q 一四面体组成的非规则网络构成的玻璃( 二氧化硅) 是制造光纤最重 要的材料。玻璃是一种非定形的材料，其光学特性由折射率 4 第2 章光纤基础理论 刀( 力1 4 4 4a t2 = 1 5 5 0 n m ) 决定。在制造光纤时，我们可以使用向玻璃中掺杂其 它杂质的方法，以达到纤芯和包层具有不同折射率系数的目的。 1 在短距离数据通信时，例如在一栋大楼内的通信，玻璃光纤可以被塑料光 纤所取代，这样的塑料光纤非常便宜而且便于连接。 2 2 光纤类型 光纤的分类有许多种如表2 - 1 所示。 表2 1 光纤分类 j 垂歪 夏困 二二二二巫二二二 光纤中只传输一种模式，即基模。纤芯直径只 单模光纤有4 1 0 u m ，包层直径为1 2 5 p m 。适用于长距 按光纤中的传输模式 离、大容量的光纤通信系统。 数量分类 光纤中存在多个传导模式。纤芯直径一般为 5 0l im ，且其横截面折射率分布为渐变型，包层 多模光纤 外径1 2 5um 。适用于中距离、中容量的光纤通 信系统。 主要由高纯度的s i 0 2 并掺有适当的杂质制成， 按光纤构成的原材料 石英系光纤 损耗最低，强度和可靠性最高，应用最广泛 分类 如用钠玻璃掺有适量杂质制成。损耗较低但可 多组分玻璃光纤 靠性存在问题。 塑料包层光纤纤芯是石英制成，包层是硅树脂。 纤芯和包层均由塑料制成。损耗较大，可靠性 全塑光纤 也不高。 各层之间紧贴，光纤被套管紧紧箍住，不能在 按光纤的套塑层分类 紧套光纤 其中松动。结构简单，使用和测试方便。 松套光纤护套为松套管，光纤能在其中松动。 松套光纤 机械、防水性能好，便于成缆。 本文采用第一种分类方法，即按光纤中的传输模式数量分类，将光纤分为 两种类型：单模光纤( s m f ) 和多模光纤( 删f ) 。 从单模光纤和多模光纤的命名上我们便可看出，光纤是以在光纤中传播的 5 第2 章光纤基础理论 模式群的数目来分类的。单模光纤具有较小的纤芯直径和较小的纤芯包层折射 率差。只有基础模式可以在单模光纤中传播，且在其横截面上的归一化亮度分 布是一致的。与单模光纤相比而言，多模光纤可以传输更多的模式种类，它们 同时具有各自的场分布和各自的传播特性。 单模光纤和多模光纤最基本的结构区别在于纤芯直径的差异。典型单模光 纤的纤芯直径大约为8 棚，纤芯和包层的相对折射率差为o 3 。与此相比，多 模光纤的纤芯直径通常大于等于5 0 聊，而纤芯和包层的折射率差大于等于1 。 2 2 1 单模光纤 从多模光纤的名字我们知道只有一种模式可以在单模光纤中传播。原因是 单模光纤较小的纤芯直径，它小到已经几乎接近于光在其中传播时的波长见。模 式传播的归一化频率参数y 的值与纤芯直径相关。图2 - 2 是几种典型的单模光 纤的折射率系数。 d i m p e r s i o nf l a t t e n e d 图2 2 典型单模光纤的折射率系数 1 】 6 w 止 捌 一 舢 一 蹦 第2 章光纤基础理论 对于单模光纤来说，归一化频率矿小于或等于2 4 0 5 。当v 2 4 0 5 时，基础 模式可以在单模光纤中传播，而高次模则消失在包层中。对于较小的y 值( 1 0 ) ， 能量主要集中在包层中传输。在光纤弯曲的地方，包层传输的能量非常容易流 失。因此归一化频率v 应该保持接近2 4 0 5 的水平 3 。 与多模光纤相比，单模光纤具有低的信号泄漏、高传输容量的优势。由于 光纤色散较小，单模光纤可以应用于大量数据的传输。基本上，当光在光纤中 传输时，色散就是光的展宽。图2 - 3 给出了单模光纤中光的传播路径和光经过 传输后的脉冲展宽。从中我们可以看出，光线是沿着单模光纤的纤芯轴直线传 播，光脉冲经过单模光纤传输后只有很小的展宽。信号的泄漏取决于光在光纤 中传输时的波长五。在单模光纤中，可以通过调整波长五来增大或减小由光纤弯 曲所造成的信号泄漏。如果传输在单模光纤中的光的波长五大于截至波长，大部 分的能量将损失在光纤的弯曲处。这种要是由于此处大部分能量向外辐射进入 了包层。鉴于单模光纤泄漏较小，我们称之为低泄漏光纤。 2 2 2 多模光纤 图2 3 单模光纤的传输特性 2 】 如名所示，多模光纤可以传输不止一种模式。有超过1 0 0 种模式可以在多 模光纤中传播。在多模光纤中传播的模式数目是由多模光纤的纤芯直径和数值 孔径( n a ) 决定的。在多模光纤中传播的模式数目随着多模光纤的纤芯直径和数 值孔径的增加而增加。 1 ) 对于多模光纤而言，大的纤芯直径和数值孔径有很多优势 5 。 2 ) 光线可以较容易的射入光纤纤芯； 7 第2 章光纤基础理论 3 ) 光纤连接变得容易； 4 ) 纤芯对纤芯的阵列接合变得不那么严格。 多模光纤的另外一个优点是可以使用发光二极管作为光源。而单模光纤一 般只能使用激光作为光源。发光二极管较为便宜，结构也不像激光发生器那么 复杂，寿命长。因此，发光二极管相对于激光发生器更受人们青睐。 同时，多模光纤也有缺点。模式色散的影响随着模式数目的增加而增加。 模式色散指的是各个模式经过多模光纤的传输到达接收端的时间不尽相同。这 样的时间差异最终导致了光脉冲的展宽。因此模式色散也对系统带宽有着重要 影响 6 。 通常，多模光纤依据其纤芯和包层的折射率变化来分类。据此多模光纤可 分为两类：突变型光纤和渐变型光纤。顾名思义，对于突变型光纤，其纤芯的 折射率是一样的，直到纤芯和包层的分界面产生突变。突变型光纤由此得名。 对于渐变型光纤，其纤芯的折射率是光纤半径的函数，随着半径增大而缓慢变 化。 2 2 2 1 突变型光纤 如图2 - 4 所示突变型光纤折射率变化，其中口为突变型光纤的纤芯半径，6 为包层半径，常数啊纤芯折射率，常数为包层折射率。光纤折射率刀等于，l l ， 如果， 口时，光纤折射率为刀等于他。突变发生在，- - - - - 口时。 一一一】一 ，2 2 3 已 i i i 砼 l r | 一b 一占a 一0 _ 一b 一山a 一一 ： 图2 4 突变型光纤的折射率 我们定义相对折射率差为 8 第2 章光纤基础理论 虹等 ( 2 1 ) 也与数值孔径有关 w = 甩? 一以；n i 2 ( 2 2 ) 由此可见，在突变型光纤中传播的模式数目是由相对折射率差，光纤半径 g 以及传播的光的波长见所决定的。典型的突变型光纤可以传播数百种模式，大 部分模式是远离截止波长的。远离截止波长的模式，其大部分能量集中在纤芯 中。那些靠近截止波长的模式，其大部分能量则集中在包层中。由于在光纤中 传输的模式，大部分还是远离截止波长的模式，所以光纤中光的主要能量还是 集中在纤芯中的。 不过，由于色散，主要是模式色散，使得突变型光纤的带宽和传输信息容 量收到了限制。 图2 5 突变型光纤的传输特性 2 】 图2 5 给出了突变型光纤的传输特性。我们看到，入射光以折线在突变型光 纤的纤芯中传播，输出脉冲相比输入脉冲展宽了很多。因此，这类光纤中要应 用于短程，带宽受限和低成本的信号传输。 2 2 2 2 渐变型多模光纤 与突变型光纤不同，在渐变型光纤中，纤芯的折射率随着半径，增大而减 小。为了能够使光能够在光纤中传播，纤芯折射率n l 必须大于包层折射率。 与突变型光纤相同，包层折射率为常数，稍小于纤芯折射率惕的最大值。相 对折射率差由纤芯折射率的最大值和包层折射率计算得出。 9 第2 章光纤基础理论 渐变型光纤的折射率可以由下面的分段函数表示 刀( ，) = 啊 - - 2 ( 言) g i 一( 丢) 譬 ，；f 。厂口 。2 3 ， m 【1 - 2 】- n a ， i f r a 其中，是纤芯折射率，拧：是包层折射率，是半径长度的变量，口是纤芯半径。 图2 - 6 是一种渐变型光纤的折射率剖面图。大部分渐变型光纤的折射率是抛 物线状的。近抛物线状的多模渐变光纤具有最好的传输特性。 厂 、 厂 咒 i i 1 i， ： i b 一嘲一a 一一 图2 6 一种渐变型光纤的折射率变化 在具有相同的折射率差的情况下，渐变型光纤比突变型光纤接受的光要少。 尽管如此，通常渐变型光纤相对于突变型光纤具有较好的性能。由于纤芯近抛 物线状的折射率，使得渐变型光纤比突变型光纤具有较小的模式色散。 图2 7 渐变型光纤的传输特性【2 】 如图2 7 所示，图中给出了光可能传播的路径 7 ，可以看出光纤沿正弦曲 1 0 第2 章光纤基础理论 线状传播。 在较小纤芯折射率的渐变光纤中，无论沿靠近纤芯轴传播的光线还是远离 纤芯轴传播的光线，其传播时间是几乎相同的。减小这些光线在传播过程中时 间上的差异就可以减小模式色散，并且增加渐变光纤的带宽。增加带宽后，渐 变光纤可以应用在大部分场合 8 。 2 3 光纤传输原理 要详细描述光纤传输原理，我们首先需要求解由麦克斯韦方程组导出的波 动方程。但在极限( 波数k = 2 n 力非常大，波长旯专0 ) 条件下，可以用几何 光学的射线方程作近似分析。几何光学的方法比较直观，容易理解，但并不十 分严格。不管是射线方程还是波动方程，数学推演都比较复杂，我们只选取其 中主要部分和有用的结果。 2 3 1 多模光纤几何光学传输模型 运用几何光学方法分析光纤传输原理，我们关注的问题主要是光束在光纤 中传播的空间分布和时间分布。 2 3 1 1 突变型光纤 数值孔径为简便起见，以突变型多模光纤的交轴( 子午) 光线为例，进一步 讨论光纤的传输条件。设纤芯和包层折射率分别为n a 和惕，空气的折射率n o = 1 ， 纤芯中心轴线与z 轴一致，如图2 8 。光线在光纤端面以小角度口从空气入射到 纤芯( n o n 2 ) 。 改变角度秒，不同护相应的光线将在纤芯与包层交界面发生反射或折射。根 据全反射原理，存在一个临界角包，当秒 馥时，相应的光线将在交界面折射进入包层并逐 渐消失，如光线3 。由此可见，只有在半锥角为乡包的圆锥内入射的光束才能 在光纤中传播。 图2 8 突变型光纤的光传播原理 2 3 1 2 渐变型多模光纤 射线方程的解用几何光学方法分析渐变型多模光纤要求解射线方程，射线 方程的一般形式为 丢( 刀警) = v ，l ， 凼k 凼j 、 式中，p 为特定光线的位置矢量，j 为从某一固定参考点起的光线长度。选用圆 柱坐标( ，缈，z ) ，把渐变型多模光纤的子午面( ，- 一z ) 示于图2 9 。 ，ji 6 对。 矿 、州 d z r i 。 p 图2 - 9 渐变型光纤的光传播原理 1 2 第2 章光纤基础理论 一般光纤相对折射率差都很小，光线和中心轴线z 的夹角也很小，即 s i n o p 。由于折射率分布具有圆对称性和沿轴线的均匀性，刀与矽和z 无关。 在这些条件下， 式( 2 5 ) 可简化为 罢( 咒笔) = 甩虿d 2 r = 石d n c 2 聊 把式( 2 3 ) 和g = 2 代入式( 2 6 ) 得到 d 2 ， 出2 2 ，一2 ， 口 ( 2 7 ) 解这个二阶微分方程，得到光线的轨迹为 ，( z ) = c is i n ( a z ) + c 2c o s ( a z ) ( 2 8 ) 式中，么= 兹口，c l 和c 2 是待定常数，由边界条件确定。设光线以岛从特定 点( z = 0 ，= ，；) 入射到光纤，并在任意点( z ，) 以0 从光纤射出。由方程( 2 8 ) 及其微分得到 c 2 = r ( z = 0 ) = ，； ( 2 9 ) c l = 三a 空d z ( z = o ) ( 2 1 。) i 、， 由图2 - 9 的入射光得到 老= 锄只咖啬nr 嘉 亿 宓i )刀i u ) 把这个近似关系代入式( 2 1 0 ) 得到 c 1 = 南c 2 = ，i ( 2 1 2 ) 把c l 和c 2 代入式( 2 8 ) 得到 r ( z ) = r ，c o s ( 止) + 焘咖( 止) ( 2 1 3 ) 由出射光线得到d r d z = t a n o 0 0 甩( ，) ，由这个近似关系和对式( 2 8 ) 1 3 第2 章光纤基础理论 9 = - a n ( r ) r _ fs i n ( a z ) + o oe o s ( a z ) ( 2 1 4 ) 取甩( ，) n ( 0 ) ，由式( 2 1 3 ) 和式( 2 1 4 ) 得到光线轨迹的普遍公式为 川一么= 乙态剖 5 ， 忙赢酊n ( 止) ( 2 j 6 ) 么 ( 0 1 、 由此可见，渐变型多模光纤的光线轨迹是传输距离z 的正弦函数，对于确定 的光纤，其幅度的大小取决于入射角o o ，其周期人= 2 n a = 2 n a 2 ，取决于 光纤的结构参数( a , a ) ，而与入射角o o 无关。这说明不同入射角相应的光线， 渐变型多模光纤具有自聚焦效应，不仅不同入射角相应的光线会聚在同一 点上，而且这些光线的时间延迟也近似相等。这是因为光线传播速度 v ( ，) = c 甩( 厂) ( c 为光速) ，入射角大的光线经历的路程较长，但大部分路程远 离中心轴线，疗( ，) 较小，传播速度较快，补偿了较长的路程。入射角小的光线 2 3 2 模式理论 在圆柱坐标系下，从麦克斯韦方程组解出的电磁场分量可以表示为 9 ： 1 4 第2 章光纤基础理论 其中么和b 是常数。 e t 一咖削等) 乩训加瑚慧“扯纠 仁 疋( 懒旗加彳等铲肛纠 一 上c c d 惮，( ，z ) = 艿：! ：詈荨三；旦垒p ( 胁一z ) z 图2 1 0 圆柱坐标系下的光纤 光纤中的电磁场分布取决于参数，、w 和。，和w 决定横向电磁场分布， 而决定纵向电磁场分布和传输特性。 当，= 0 时，电磁场被分为两类：第一类电磁场称为横磁模， 有磁场，我们记做砒口 t m 模表示为 e = 矽( ，) 疋叫古( 警+ 匀 ：卫矽( ，) 懒 e 8 = hr = hz = 0 因为在横向没 ( 2 1 9 ) 一 里三兰垄竺墨型型堡 其中口是横向电场函数，表示沿径向的幅度。 第二类电磁场称为横电模，因为在横向没有电场，记做砜，。 t e 模表示为 局= 矽( ，) 珥：一旦矽( ，) 龇 皿：j f 上睁纠 仁2 e r = e z = h 8 = 0 当1 of 对，纵向的分量巨和皿不为零。我们称之为混合模。它们又分为两类： 若丘 哎，记为h e l p 。若皿 e ，记为e h t p ，和p 为整数。 h e 和e h 模式表示为 1 0 11 e=(，)csi。ns(，-t千-11)0秒) 删，) - s i n e ( 1 = f 1 ) e ) e = 一吉( 警等) 兰：器；贺； 耻帮p ，仁c o s 黔1 黝 蚴 ili ，千 1 秒1 = 瓦p 如) l s o i o n s m e ( , 刊干- , ) l 暑。 皿吲去( 拦l “小- s o s i n e 沁( 1t - 1 ) 1 ) 秒o ) 亿2 。， 1 6 第2 章光纤基础理论 ， 、 - _ - - - -一 _- 、一一 h e l lh e 2 1 电场 磁场 t e o lt m 0 1 图2 1 1 四个低阶模式的电磁场矢量结构图 3 由边界条件和归一化频率y ，通过求解下面由麦克斯韦方程组导出的方程，我 们可以求得传播常数 端+ 南倏器+ 玉m 嘉+ 去) 盼+ 1 1 w k , ( w ) j w w 卜2 ，l 鸠( “) w 蟛( w ) j l 刀；以( w ) l “2 2 八刀i ”22 。 v 2 = u 2 + w 2 = 口2 k 2 ( 砰一) ( 2 2 3 ) 其中“和w 是 “= a 七2 砰一2 ( 2 2 4 ) w = 口2 一k 2 门； ( 2 2 5 ) 传播常数随归一化频率变化的关系，如图2 11 所示。 1 7 第2 章光纤基础理论 矿 图2 1 2 若干低阶模式归一化传播常数随归一化频率变化的曲线 3 】 对于多模光纤中传输的模式，有两种状态需要介绍。对于给定的归一化频 率y ，在给定的光纤中，只有有限个模式可以被传输，其他模式称为被截止。 表2 2 给出了一些模式的截止频率。 表2 - 2 突变型光纤和渐变型光纤中一些低阶模式的截止频率v 的值 a i o d e s v ( s i f )y ( g l f ) m o d e s v ( s i f )y ( ( j j f ) h e i i 00 日1 2 ，h 易2 7 0 1 69 6 4 5 t e r n ，t m o l ，h 岛t 2 4 0 53 5 1 8 e h 譬1 ，h e 队 7 5 8 81 1 0 3 8 e h l 2 3 8 3 25 0 6 8 e h 娩，h e 城 8 4 1 71 1 7 6 0 e h n ，h e ：n 3 8 3 25 确4 r 厶1 3 ，t m o z ，日岛3 ， 8 6 5 4 】1 4 2 4 e h 虬。he n 5 1 3 67 8 4 8 e h s l ，h e r l 8 ，7 7 11 3 9 5 9 丁e f ，2 ，t m , 2 ，h e 2 2 5 5 2 07 4 5 1 e h 嚣2 、h e 娩 9 7 6 11 3 8 3 3 e h 虬th e 5 1 6 3 8 09 9 0 4 e h 队。h e 8 1 9 9 3 61 5 9 7 2 h e m 7 0 1 69 1 5 8 利用直角坐标系替换圆柱坐标系，六个电磁场分量可以简化为四个：毛， 以，t ，皿或者t ，以，巨，见。它们被称为线性偏振模，记为珥。 1 8 第3 章基于有限差分方法的模式群解析 第3 章基于有限差分方法的模式群解析 在本章中，我们将首先介绍有限差分方法。接着引入标量波动方程，并介 绍其由来，通过利用有限差分方法求解标量波动方程，我们将获得多模光纤中 凹模式群的电场和功率分布。最后，模式群时延乙也可以通过标量波动方程的 另一个解，传播常数尾计算得出。 3 1 有限差分方法 有限差分方法( f d m ) 是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运 用。本节将主要讨论有限差分方法及其理论基础。 有限差分指的是一种形式为f ( x + 6 ) 一f ( x + 口) 的数学表达式。如果该有限差 分被b 一( 7 1 除，就得到了差分商。对于微分方程的数值解，尤其是边界值问题， 通过有限差分来得到微分的近似是有限差分方法的核心问题。 有限差分的很重要的一个应用就是数值分析，尤其针对普通微分方程和偏 微分方程的数值解的问题。其基本思想是在微分方程中，通过有限差分来逼近 微分，进而由有限差分替换微分进行运算。这个方法称为有限差分方法。 例如，我们如下微分方程，其中石【a ，b 】 1 2 1 3 ： y ”+ p ( x ) y + g ( x ) = 厂( x ) ( 3 1 ) 少( 口) = ，y ( 6 ) = s 我们对y 在h 和一h 进行泰勒展开，得到 ( 3 2 ) y ( h 办) = j ，( x ) 叫( 啪协) 等+ 3 ) ( 3 3 ) y ( x - h ) = y ( x ) 叫( 啪拶协) 等+ 3 ) 将式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 相减，得到 y ( z + 办) 一少( x 一 ) = 2 y ( x ) j l + d ( 办2 ) 1 9 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 第3 章基丁有限差分方法的模式群解析 整理后，即 州塑掣 将式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 相加，得到 y ( z + 办) 一y ( x h ) = 2 少( x ) + y ”( x ) 办2 + d ( 办4 ) 整理后，即 y ( x ) y ( x + h ) - 2 刁y ( x ) + 一y ( x - h ) 将区间陋，b 】等分，得到 a = x o x l 矗一l = b 其中，薯一毛一，= h ，记乃= y ( x j ) ，歹= 1 ，行，则有 y c 乃，= y ( x j _ + h ；三至：茎：。 这样，我们就得到微分的近似 y 饥) 鼍 y i ( 咖垃专丑 代入元微分方程，得到 垃要h 监见( 垃2 趣h ) + 仍以+ 巧 2 。ij 撕朋一 记易= p ( x j ) ，够= g ( t ) ，我们就得到线性方程 ( + 圭见厅) 咒一。+ - 2 - q j h 2 ) 乃+ ( - 一丢仍厅) 咒“= 办2 其中i = 1 ，力一1 。注意当i = 1 时，方程为 ( - 2 - q l h 2 ) y 。+ ( - 一j 1p ，) y 2 = q h 2 - ( + 三见办) 儿 当i = 刀一l 时，方程为 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 第3 章基于有限差分方法的模式群解析 ( - 一丢见一。) 蚝一：+ ( - 2 - q _ t h 2 ) y - 1 = r n - ! h 2 - - ( 一丢见一办) y 。 c 3 6 ， 对于线性问题，其结果也是线性的。对于非线性问题，可以用迭代算法( 如 g a u s s s e i d e l 算法) 得到近似解 1 4 。 3 2 标量波动方程 在给出标量波动方程前，我们首先介绍h e l m h o l t z 波动方程。因为标量波动 方程是h e l m h o l t z 波动方程的简化形式。 h e l m h o l t z 波动方程是由麦克斯韦方程组导出的，它描述了电磁波在同一介 质的传播情况。从麦克斯韦方程我们知道 1 5 v v x e = 一改徊h = 一，掣( 盯+ j a ) o o ) e( 3 1 7 ) = ( 缈2 s j c o a a ) e 利用向量恒等式，进一步化简得到 v v e = v ( v e ) 一v 2 e ( 3 1 8 ) 假定区域线性，齐次，均匀，等方向性，即v e = 0 ，得到 v v e = 一v 2 e ( 3 1 9 ) 代入式( 3 1 7 ) v 2 e 一7 2 e = 0( 3 2 0 ) 其中厂2 = 一缈2 f + 够盯。 它在任何直角坐标系中均成立。最后，我们在o r = 0 时，得到h e l m h o l t z 波 动方程 v 2 ，y ，列) 一胪嘉e ( 训，z ，f ) = 。 ( 3 2 1 ) 其中e ( x ，y ，z ，t ) ( v m ) 是电场向量。( h m ) 和占( f m ) 是介质参数。 2 1 第3 章基于有限差分方法的模式群解析 图3 1 光纤坐标系 多模光纤中，以载波频率为，沿着纤芯z 轴传播的信号在时间上是重叠 的，模式m 的电场也是重叠的，它可以表示为下式 e ( x ，y ，z ，f ) = 毛邑甲。( x ，y ) e x p j ( c o o t 一尾z ) 】 ( 3 2 2 ) 肿 其中乞是电场方向的单位向量，已( ，) ( v m ) 是电场强度的值，甲。( x ，y ) 无单 位，( r a d i a n s s ) 是角频率，尾( r a d i a n s ) 是波数。经过对h e l m h o l t z 波动方 程复杂的计算和化简，最终我们得到标量波动方程 v l v 。+ 刀2 甲。= 2 甲。 ( 3 2 3 ) 其中v j 是拉普拉斯算子，i , o ( m d i a n s m ) 是场在自由空间的波数，折射率 n = 0 o ，8 0 = 8 8 5 p f m 1 4 1 1 通过求解标量波动方程，我们就可以知道光纤中传播有哪些模式。为了识 别和区分这些模式，我们定义两个参数：j 和p 。，称为方向角模数，表示在纤 芯沿方位角绕一圈电场变化的周期数。p 是功率密度，称为径向模数，从纤芯 中心( ，= 0 ) 到纤芯与包层交界面( ，= a ) 电场变化的半周期数。 m 称为模式群数，定义为 m = ，+ 2 p - 1( 3 2 4 ) 如果由不同极性偏振模的，和p 得出了同样的m 值，我们就说这些极性偏振 模处于同一个模式群中，且它们具有相同的模式群数m 。 第3 章基于有限差分方法的模式群解析 表3 1 给出了l p 模式及其相应的模式群号。 表3 1 模式群号和l p 模 n l1 p 1 p 1 p i p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p l p 1 p i p 10l 2l1 3022l 4l23l 5032 241 6l3325l 7o423426 l 8 1433527l 9052443 6281 1 0l534 537291 i lo62544638 21 0l 1 2l63554 739 21 11 1 3 o72645648 31 021 2l 1 4173655749 3l l 21 3 l 1 5082746 658 41 031 221 41 1 6183756759 41 l31 321 5l 1 7092847668 51 04 1 2 31 4 21 6 l 1 8193857769 5l l41 331 521 7i 1 9o1 02948678 61 051 241 431 621 8l 2 011 03958779 61 151 341 531 721 9i 2 101 12l o49688 71 061 251 441 631 822 ( 1l 蚴11 231 059789 71 161 35j 541 731 922 1l 2 301 221 l41 0698 81 071 26 1 451 6 l 1 832 022 2l 2 4 11 331 151 0799 8l l71 361 551 741 932 l22 3l 2 501 321 241 16l o8 91 081 27 1 46j 651 842 032 222 - ll 3 3 模式解析 对于大多数在通信中应用的多模光纤，其折射率可以表示为 刀。 兄，： c 力， 一2 ( 三) g i ，i f 0 r 0 ) ，五是自由空间波长，( 名) 是纤芯的折射率，a 是纤芯半径，( 五) 是相对折射率差 舭) = 帮 ( 3 2 6 ) 其中伤( 兄) 是包层折射率。通常，通信中采用的多模光纤的相对折射率差a 都很 小，大约只有0 0 1 。图3 - 1 给出了不同g 的多模光纤折射率。注意到随着g 的增 第3 章基于有限差分方法的模式群解析 加，直到g 斗o o ，多模光纤从渐变型变为突变型。 鲁= 0 0 1 5 勿。心i l4 9 5 雉。1 l g = 形 1 4 9 1 4 8 5 划 图弛多模光纤不同g 的折射率 这种小的折射率差特性称为弱导，其电场的径向分布满足圆柱坐标系下的 标量波动方程 1 7 4 学弓掣+ 吉学呐一班舻o d r zrd rp8 舻 、一。h 。一“ 其中e ( r ，痧) 是电场强度，是径向长度变量，是角度变量，风是传播常数， 是自由空间的波数。 = _ 2 7 = 竺 ( 3 2 8 ) 对于模式解析，我们只需求解方程( 3 2 7 ) 就可以获得各个模式的解。在方 程( 3 2 7 ) 的众多解中，只有满足如下条件的解才是真正可以在光纤中传播的模 式。 m i n k o n ( x ，少) 】 尾 m a x k o n ( x ，y ) 】 ( 3 2 9 ) 但是，问题在于形式如方程( 3 2 7 ) 的方程用一般方法很难求解。鉴于折射 率n ( r ，允) 与角度矽无关，我们可以将e ( r ，矽) 分为两部分：径向电场分布函数 e ( ，) 和方向角电场分布函数e ( 矽) ，即 e ( r ，) = e ( ，) e ( ) ( 3 3 0 ) 第3 章基于有限差分方法的模式群解析 所以方程( 3 2 7 ) 可以表示为 了d 2 e ( r ) + 7 1 一d e ( r ) d r + ( 榭一尾一吾卜) = 。 d 2， i ” ，2j 、7 和 学驯) _ o 其中，是方向角模数。很容易得出方程( 3 3 2 ) 的解为 色( 矽) = c e x p ( 一删) 到目前为止，最主要的问题就是求解方程( 3 3 1 ) 。 3 4l p 模式的电场分布和功率分布 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 我们通过利用有限差分方法，在离散点处，对微分方程中的微分e ( ，) 进行 近似，以得到方程( 3 3 1 ) 的解 4 1 6 。 由有限差分方法，方程( 3 3 1 ) 中的一阶微分e ( ，) 可以近似为 盹) 丝立里盟 ( 3 3 4 ) r j + 1 一，；一1 同理，二阶微分e ( ，) 可以近似为 耿咖| - 盟止盟一盟丝啦 上 ( 3 3 5 ) l r i + l 一_ 一7 j 一1 j7 “l 一7 f 一1 将式( 3 3 4 ) 和式( 3 3 5 ) 代入方程( 3 3 1 ) ，得到 q 卜l e l + q 巨+ q 川互+ l = 尾2 ( a ) 巨 ( 3 3 6 ) 其中 q j = 2 刀2 ( ，；) 一了1 2 一万i 丽2 q 卜= 万历而2一丽i ( 3 2 1 c j , m2 瓦i 丽而+ 而而 第3 章基于有限差分方法的模式群解析 由此，这种近似可以看作是一种特征值问题。求解方程( 3 3 1 ) 就等价于求 解特征值( 尾( 允) ) 和特征向量( 豆) 。 。 c 豆= 孱( 五) 豆 ( 3 3 8 ) 其中矩阵c 为对角阵。主对角线元素由c i , j 构成，左副对角线元素由q 川构成， 右副对角线元素由q 川构成。 通过选择适当的步长值，4 = ，；+ ，一，；= ( a c o r e + ) 以( a c o r e ：纤芯半径； ：参与计算的包层厚度；n ：总步长数) ，矩阵c 和向量云表示为 c = q ，1q 。2 c 2 ，1c 2 ，2 0 c 3 2 o o 0o oo c 2 3 0 巳3c 3 。4 oo oo e ( ，) = o 0 o c n l j l 一2 0 置 易 岛 e 一。 e 0o oo oo c n i 一一lc n 一1 - ， 巳，一l巳， ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) 靠( ，；) 、都已知，矩阵方程( 3 3 8 ) 可以非常容易的由m a t l a b 解出。由此 我们得到传播常数以以及径向电场分布e ( r ) 。功率分布可以由下试得到 毋，( ，) = k ，( ，缉 ( 3 4 1 ) 对于给定的方向角模数，径向模数p 由特征值和特征向量决定。最终我们 得到了多模光纤中传输的l p 模式。 3 5 模式群时延 单位长度的模式群时延表达式如下 2 6 第3 章基于有限差分方法的模式群解析 f ：盟：一盟竺( 3 4 2 ) m d d 22 死c 由有限差分方法，我们得到新的模式群时延表达式 f ：一监竺一坠业二幺塑竺( 3 4 3 ) 册d 22 刀c a 22 万c 、。 由上式我们可以看出，一旦我们知道了每个模式群的传播常数尾，我们就 可以得到模式群时延。通过在特定波长元和波长2 + a 2 计算两次传播常数尾， 我们就获得了模式群时延f 。 我们假设传播常数以( 同样对于模式群时延靠) 对于每一个在同一模式群 中的凹模式都是相同的 1 8 。图3 3 给出了典型多模光纤的相对模式延迟。 图孓3 典型多模光纤的相对模式延迟 第4 章多模光纤的传输函数和频率响应 第4 章多模光纤的传输函数和频率响应 4 1 注入条件 光纤的注入条件对实现高速数据传输有很大影响。多模光纤的注入条件可 以分为两种：满注入和限模注入。满注入使用的是发