（应用数学专业论文）时间序列在线性模型和非线性模型中的应用.pdf

扬州人学硕士学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 缃、每 签字日期： 0 8 年6 月z 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。 本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名： 尹 导师签名： 签字日期： 口毋年6 月日 签字日期： 窑7 喜孕 。罗年易月f 阳 ( 本页为学位论文末页。如论文为密件可不授权，但论文原创必须声明。) 严小龙时间序列在线性模型和非线性模型中的应用 三 摘要 在经典回归分析中，人们通常假设回归模型满足g a u s s m a r k o v 假设：( 1 ) 随 机误差项期望为零；( 2 ) 随机误差项具有等方差；( 3 ) 随机误差彼此不相关。但实 际问题中，回归模型很难同时满足g a u s s m a r k o v 的三个假设，人们在实际问题中 发现许多随机误差出现序列相关和方差不同的现象，因此对回归模型的相关性和 异方差检验的研究，它是处理回归问题的重要步骤，在理论和应用上都有十分重 要的意义。本文首先介绍了平稳性，引出a r m a 模型， x t = b i x t 七+ b p x t p + s t + n 芦t + + n t s c - q 其中s ，删( o ，仃2 ) ，p ，g o 是整数。讨论了a r m a 模型的参数估计及性质，然后 讨论了具有a r m a ( 1 ，1 ) 误差的线性模型的参数估计及其性质，讨论它的相关性和异 方差检验，最后介绍了双线性模型和具有b l ( 1 ，0 ，1 ，1 ) 误差的非线性模型的分析， 并通过具体的数值例子论证误差项改进的进步。 过去，人们在回归分析的研究中通常假设响应变量的期望关于模型的未知参 数是线性的，随机误差是相互独立的，随机误差服从期望为0 ，方差相同的正态分 布。但是，实际问题中严格符合上述假定的模型并不多见，他们或多或少都带有 某种程度的近似，在不少情况下，用非线性回归模型去拟合给定的数据集可能更 加符合实际。非线性回归模型现已发展成为近代回归分析的一个重要研究分支。 现实生活中，人们为了解周围的世界，经常依据时间做一系列的观测。将来 的数据通常以某种形式依赖于当前的观测值。这种相依性使得利用过去预报将来 成为可能。实际上，人们建立动态系统生成数据，利用这些数据预报将来，从而 达到更好地控制将来事件的目的，这就是时间序列。在二十世纪初，近代统计学 刚刚起步时，时间序列就是其中的一个分支，英国的u y u l e 在1 9 2 7 年创立回归 模型，俄国的e s l u t z k y 也与1 9 2 7 年创建滑动平均模型与它们的混合体。在之后 的半个世纪罩，统计学热衷于研究线性模型，时间序列也不例外。线性模型曾经 起过非常重要的作用，但众所周知，在现实世界罩事物的发展往往呈现非线性， 线性模型往往在有些情况下不尽如人意。在这种形势下，非线性时间序列呼之欲 出。2 0 世纪七十年代末和八十年代初，以a r c h 模型为典型代表的非线性时间序列 模型陆续出现，时间序列进入一个新的发展阶段。 在回归模型中，如果数据的收集和时间有关，则随机误差可能出现序列相关， 从而导致时问序列回归模型。当拟合的残差序列波动稳定或数据比较规则时，随 机序列呈现出一种线性关系，此时，用a r m a 误差序列来拟合是合适的， y 。2 f b t ，p 、) + p t 其中“彳尺捌( p ，g ) 而当拟合的残差序列波动很大或数据不规则时，随机误差 列可能呈现出非线性。这时，应用a r m a 误差序列来拟合就可能不合适。我们需要 把非线性引入线性a r m a 模型，而此时最自然的途径也许就是加入一些乘积项，即 扬州大学硕十学位论文 双线性模型。 其中“一毗( p ，g ，尸，q ) 。 y t = f q t ，p 、) + p 。 关键词：平稳性；时间序列；回归模型；b l ( 1 ，0 ，l ，1 ) ；相关性；方差齐性 2 一 严小龙时间序列在线性模型和非线性模型中的应用 a b s t r a c t 3 一 i no r d i n a 珂 r e g r e s s i o na n a l y s i s ， r a n d o me r r o r sa r ea s s u m e dt os a t i s 囟t l l e g a u s s 【m 【o vc o n d i t i o n s ：t h er a n d o me r r o r sa r em u t u a l l yi n d e p e n d e n t ，w i t hz e r om e a n a n dh o m o g e n e o u sv 撕a n c e s h o w e v e r i ns o m es i t u a t i o n s ，m o d e l sa r eh a r dt os a t i s f v t h e s ea s s u m p t i o n sa tt h es 锄et i m e ，t h a tm e a n st h er a n d o me r r o r sa r ew i t hs e r i a l c o 玎e l a t i o na n d h e t e r o s c e d a l s t i c i t y i np r a c t i c a l p m b l e m s t h er a t i o n a l i t vo ft h e s e a s s u m p t i o n sf o rr a n d o me r r o r si sd o u b t a b l e t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt o t e s tf o r c o l l r e l a t i o na j l dh e t e r o s c e d a s t i c i 毋i nr e g r e s s i o n ，w h i c hi sa ni m p o r r t a l l ts t e po fd e a l i n g w i t hr e g r e s s i o np r o b l e m sa 1 1 dp l a y sa j li m p o r t a n tr o l ei nt h e o r ya j l dp r a c t i c e i nt 1 1 i s p a p e r ，w ef i r s ti n t r o d u c et h es t a t i o n a u ，a n dr a i s e st h ea rmam o d e l s x t = b 、x t _ 、+ + b p x t p + s t + n 声l - 1 + + a t s t q ， q ( o ，仃2 ) ，p ，g o w ed i s c u s st h ee s t i m a t i o no f i tl a t e r a n dw ea l s od i s c u s si t s p r o s p e r i t i e so fp a r a m e t e r so fl i n e 甜r e g r e s s i o nm o d e l sw i t ha r m a ( 1 ，1 ) e 1 1 r o r sa n ds t u d y i t st e s tf - o rc o r r e l a t i o na n dh e t e r o s c e d a s t i c i t v a tl a s tw ed i s c u s st h en o n l i n e a rm o d e l s w i t hb l ( 1 ，o ，1 ，1 ) e r r o r sa n dt h ea d v a n c eo ft h ec h a n g eo ft h ee 1 1 r o r s i np r e v i o u sd a y s ，p e o p l eu s u a u ya s s u m e dt h a tt h em e a no f r e s p o n s ev a r i a b l e si s i i n e a rw i t ht h eu nk n o w np a r a m e t e r so ft h e m o d e l s ， a j l dt h er a l l d o me r r o r sa r e i n d e p e n d e n t t h er a n d o me r r o r so b e yt ot h en o h n a ld i s t r i b u t i o nw i t hz e r om e a na n dt h e s 锄ev 碰a n c e b u ti nr e a l l i f e ，t h em o d e l so b e yt h ea s s u m p t i o nb e f o r ea r er a r e ，t h e va r e w i t ht h ea p p r o x i m a t em o r eo rl e s e i nm o r ec o n d i t i o n s ，f i n i n gt h ed a t e sg i v e nw “ht h e n o n l i n e a rr e t u m e dm o d e l sm a yb em o r em e e t i n gt h er e a lc o n d i t i o n n o wt h en o n l i n e a r r e t u m e dm o d e l sa r eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e so ft h em o d e mr e t u m e da n a l v s i s 1 1 1 eu y u l eo fe n g l a n df o u n dt h er e t u m e dm o d e l si n19 2 7 t h ee s l u t z k yo f r u s s i aa l s o f o u n dt h en x t u r eo ft h es l i d i n ga v e r a g em o d e lw i t ht h e m i nt h eh a l fo ft h e2 0 hc e n t u i v l a t e r ，t h es t a t i s t i c sw e r ek e e no ns t u d y i n gt h el i n e a rm o d e l s ，a n ds ot i m es e r i e sd i d t h e l i n e a rm o d e l sp l a y e da 1 1i m p o r r t a n tr o l ee v e r ，b u ti ti sw e l lk n o 、v nt h a tt h ed e v e l o p m e n t o ft h i n g sa l l w a y ss h o wn o n l i n e rt r a c ki nr e a l1 i f e t h el i n e a rm o d e l sa r ea l l w a v s d i s s a t i s f e di ns o m es i t u a t i o n s i nr e a ll i f e ，i no r d e rt ou n d e r s t a n dt h ew o r l da r r a n do fu s ，p e o p l ea l l w a y sm a l ( ea s e r i e so fo b s e r v a t i o n sb a s e do nt i m e t h ed a t e sl a t e ra l l w a v sb a s e do nt h eo b s e r v a t i o n s n o ww i t hs o m ef o n i l s i tm a k e st h a tp o s s i b l et of o r e c a s tt h em t u r ew i t ht h ep a s t i n f a c t ，p e o p l ec o n s t r u c tt h ed y m a j l i cs y s t e mt og e n e r a t et h ed a t e s ，f o r e c a s tt h e 如t u r ew i t h m ed a t e s ，a n dg e tt ot h ep u 叩o s eo fc o n t r o lm et h i n g so ff u t u r eb e t t e r i t st h et i m e s s e r i e s i nt h ef i r s ty e a r so ft h e2 0 “1c e n t u r y ，w h e nt h em o d e ms t a t i s t i c sw a si nt h ee a r l y s t e p ，t h et i m e ss e r i e sw a so n eo ft h eb r a n c h e so fi t i nt h i ss i t u t i o n ，t h en o n l i e a rm o d e l s a r eu 唱e n tt oc o m eo u t i nt h el a t ey e 2 u r so f7 0 t na n dt h ee a r l y8 0 t no f2 0 t hc e n u r y ，t h e n o n l i e a rm o d e l sw i t ht h ed e s p r e s e n to fa r c hm o d e l sa p p e a r e dg r a d u a l l y ，a 1 1 dm et i m e 扬州大学硕士学位论文兰 s e r s i e ss e to nan e ws t a g eo f 。d e v e l o p m e n t i nr e g r e s s i o nm o d e l s ，i ft h ec o l l e c t i o no fd a t ai sr e l a t e dw i t ht i m e ，t l l er a l l d o m e n o r sc o u l da p p e a rt h ec o r r e l a t i o no fs e q u e n c e ，t h u si tc a u s et i m e ss e q u e n c er e g r e s s i o n m o d e l s w h e nt h eu n d u l a t i o no ft h er e s i d u a le r r o rf i t t e di sp e a c e f u lo rt h ed a t ei sr e g u l a r ， t h er a n d o ms e q u e n c ep r e s e n t sah n do fl i n e a u rr e l a t i o n s i t s 印p r o p r i a t et of i tw i t h a r m ae 1 1 r o rs e q u e n c e y ，2f ( x ，) + 鸬， “彳r 埘4 ( p ，g ) b u t ，w h e nt h eu n d u l a t i o no f t h ee r r o rs e q u e n c ef i t t e di sv e r yl a r g eo r m ed a t ei si r r e g u l 矾m er a n d o me r r o rs e q u e n c em a ya p p e a ra k i n d o fn o n l i n e a rr e l a t i o n s i tm a yb ei n 印p r o p r i a t et of i tw i t ht h ea r m ae r r o rs e q u e n c e ，a n dt h em o s tc o n v e n i e n t 、v a yn o wm a yb ea d d i n gs o m ep r o d u c ti t e m ，n a m e l yt h ed o u b l e l i n e a rm o d e l s “彳r 幽( p ，g ) t = u t ，8 、七p 1 k e y w o r d s ：s t a b i l i t ) r ； t i m es e r i e s ； r e g r e s s i o nm o d e l ； b l ( 1 ，o ，1 ，1 ) ；c o r r e l a t i o n ； h e t e r o s c e d a s t i c i 够 严小龙时间序列在线性模型和非线性模型中的应用 第1 章绪论 1 1 概述 随着现代科学技术的迅猛发展，复杂系统的分析研究日趋现实，系统分析理 论和方法在实践中得以不断充实和完善，且在实际中得到了同益广泛的应用。在 系统分析过程中，人们发现，在复杂系统中存在大量的不确定因素，或者说由于 系统分析工作的日益严谨，原本可以近似为确定性的因素不再使用近似方法，使 得在系统分析时不确定因素越来越复杂。因此，人们为了更深刻、全面、清晰地 洞察所研究的对象，并完成系统分析，常常运用概率论和数理统计方法来建立实 际系统的数学模型。回归分析是进行系统分析的重要统计推断方法。实际上，回 归分析是数理统计学中与实际问题联系最为密切，应用范围最为广泛，也是收效 最为显著的统计方法，是分析数据，寻求变量之间关系的有力工具。科学技术和 统计学的迅猛发展，以及系统工程、生物、医学、农业、林业、经济、管理、金 融、社会等领域的许多实际问题提出，有力地推动了回归分析的发展。过去，人 们在回归分析的研究中通常假设响应变量的期望关于模型的未知参数是线性的， 随机误差是相互独立的，随机误差服从期望为0 ，方差相同的正态分布。但是，实 际问题中严格符合上述假定的模型并不多见，他们或多或少都带有某种程度的近 似，在不少情况下，用非线性回归模型去拟合给定的数据集可能更加符合实际。 非线性回归模型现已发展成为近代回归分析的一个重要研究分支。特别是，在计 算机的统计软件十分发达的今天，人们借助一些统计软件，如s a s 、m a t l a b 、s p s s 、 d p s 等，可以像分析线性回归模型一样，方便地对非线性回归模型进行分析。随着 回归模型的发展，人们在实际问题中也出现许多随机误差序列相关和方差不等的 现象，因此对回归模型随机误差的对立性和方差齐性假设产生了质疑，从而展开 了回归模型相关性和异方差检验的研究。 现实生活中，人们为了解周围的世界，经常依据时间做一系列的观测。将来 的数据通常以某种形式依赖于当前的观测值。这种相依性使得利用过去预报将来 成为可能。实际上，人们建立动态系统生成数据，利用这些数据预报将来，从而 达到更好地控制将来事件的目的，这就是时间序列。在二十世纪初，近代统计学 刚刚起步时，时间序列就是其中的一个分支，英国的u y u l e 在1 9 2 7 年创立回归 模型，俄国的e s l u t z k y 也与1 9 2 7 年创建滑动平均模型与它们的混合体。在之后 的半个世纪里，统计学热衷于研究线性模型，时间序列也不例外。线性模型曾经 起过非常重要的作用，但众所周知，在现实世界旱事物的发展往往呈现非线性， 线性模型往往在有些情况下不尽如人意。在这种形势下，非线性时间序列呼之欲 出。2 0 世纪七十年代末和八十年代初，以门限自回归模型和a r c h 模型为典型代表 的非线性时间序列模型陆续出现，时间序列进入一个新的发展阶段。 最普通的线性时间序列模型类有自回归滑动平均模型( a r m a ) 组成，包括自回 归模型( a r ) 和滑动平均模型( m a ) 作为特例。a r m a 模型常用于构建线性结构，描述 延迟变量之间的线性的关系，并可用来线性预报。 阶p 1 的自回归模型模型定义为 扬州大学硕士学位论文 x t = b 、x | + + b p x t _ p + s | ， 6 一 其中q 删( o ，仃2 ) 记为五彳r ( p ) 由这个模型生成的时间序列x ，称为a r ( p ) 过程。模型( 1 1 ) 通过p 个过去值置书工一p ，以线性回归的形式表示现在的状态 置该模型由于容易实现，因此也是最普通的时间序列模型。模型( 1 1 ) 清楚地说 明了现在值和过去值之间的关系。给定初始值k f 0 - l ，舡f 0 一p ，通过某个分布比如正 态分布n ( 0 ，盯2 ) 生成的 q ) ，我们能由( 1 1 ) 递推地得到五，f 丢掉前+ 1 个 值，我们可以把 z ，f 1 ) 看作是由( 1 1 ) 定义的过程的一个实现。 阶q 1 的滑动平均过程定义为 x ，= sr + 口1 占卜l + + 口，占，一。， ( 1 2 ) 其中q 删( o ，盯2 ) 记为 置) 心( g ) m a 模型把时间序列表示成白噪声过程的 滑动平均。五和置一。之间的相关性归因于它们可能依赖于相同的q 一，。由于白噪 声过程 蜀) 是不相关的，因此m a 模型的实现比a r 模型更困难。我们之所以研究 m a 模型，归因于它有两方面优越性。首先，它为表达类似m a 相关结构的时间序列 提供了简洁的表示。其次，m a 模型在结构上比较容易处理。同a r 模型相比，m a 模型非常容易生成。生成一个白噪声过程占，( o ，仃2 ) ，按( 1 2 ) 生成即可。 a r 和m a 过程进一步构建具有更复杂动态特征的时间序列，即a r m a 过程，形 式上把a r 和m a 过程组合在一起，定义如下 置= 6 1 墨一1 + + 五一| i ，+ 岛+ q 乞一l + + q g ( 1 3 ) 其中s ，删( o ，仃z ) ，p ，g o 是整数，( p ，q ) 称为模型的阶，记 置) 爿尺刎( p ，g ) 在时间序列中，a r m a 过程是最常用的参数模型族之一，但对某些非线性现象，a r m a 不能很好地逼近。 从y u l e ( 1 9 2 7 ) 关于太阳黑子数的a r 建模的开拓性工作开始，一直到b o x 和 j e n k i n s ( 1 9 7 0 ) 关于a r m a 建模理论的成熟，线性时间序列模型得到了很大的发展， 并有广泛的实际应用。a r m a 建模长时间的持续发展说明由于其简单可行，a r m a 模 型在将来还会继续发挥巨大的作用。但线性范围外，还有很多非线性的形式。现 在对非线性时间序列的研究已经越来越深入广泛。本文中涉及到的双线性模型就 严小龙时间序列在线性模型和非线性模型中的应用二 是非线性时间序列的一种。 阶为( p ，q ，p ，q ) 的双线性模型定义为 pq | i ) q 置= 屯置一+ 乞+ 鲰b + 置一q 一。 ( 1 4 ) j = 1 k = 1 ，= 1 七= 1 其中占，一佃( o ，仃2 ) ，乃，吼和是未知参数。记为 置) 说( p ，g ，p ，9 ) 双线性 模型由g r a n g e r 和a n d e r s o n 引进。双线性模型既非一般的线性形式，有保持线性 模型的简单结构。因此一定程度上，比其他非线性时间序列模型，我们更容易处 理。 1 2 研究现状及本文工作 在经典回归分析中，人们通常假设回归模型满足g a u s s m a r k o v 假设： ( 1 ) 随机误差项期望为零； ( 2 ) 随机误差项具有等方差； ( 3 ) 随机误差彼此不相关。 在实际问题中，回归模型很难同时满足g a u s s m a r k o v 的三个假设，人们在实 际问题中发现许多随机误差出现序列相关和方差不同的现象，因此对回归模型的 相关性和异方差检验的研究，它是处理回归问题的重要步骤，在理论和应用上都 有十分重要的意义。 目前，关于时间序列回归模型，文献中已有不少研究。g a l l a n t ( 1 9 8 7 ) ，s e b e r a n dw 订d ( 1 9 8 9 ) 系统地介绍了具有a r ( q ) 误差序列的非线性回归模型，胡舒合 ( 1 9 9 9 ，2 0 0 1 ) 研究了有关估计量的相合性和渐进正态性，c o o ka n dw e i s b e r g ( 1 9 8 3 ) 研究了线性模型中关于误差的异方差检验的s c o r e 检验函数，s i m o n o f fa n d t s a i ( 1 9 9 4 ) 研究了修正的s c o r e 检验统计量，t s a i ( 1 9 8 6 ) 得到了线性模型中关于 误方差的异方差性及一阶自相关检验的s c o r e 检验函数，韦博成和胡跃清( 1 9 9 4 ) 对非线性模型的相关性和异方差检验进行了研究。 时间序列是当前统计学的热门分支，经过半个世纪的发展积累，关于线性时 间序列的理论的方法已经趋近成熟，从y u l e ( 1 9 2 7 ) 关于太阳黑子数的a r 建模的开 拓性工作开始，一直到b o x 和j e n k i n s ( 1 9 7 0 ) 关于a r m a 建模理论的成熟。之后， 时间序列的研究进入非线性的新纪元。 本文主要工作如下： ( 1 ) 本文首先介绍了平稳性，介绍了平稳性的定义，引出a r m a 模型， e = 6 1 置一l + + 6 p 置一p + q + q t l + + q q 其中s ，删( o ，仃2 ) ，p ，g o 是整数，并讨论了a r m a 模型的平稳性，因果性和 a r m a 模型有唯一平稳解的关系，并讨论了a r m a 模型的参数估计及性质： 扬州大学硕士学位论文 ( 2 ) 讨论了具有a r m a ( 1 ，1 ) 误差的线性模型 y t = p o 七p l x t + p tp t = 争p t + l 8 一 这里t = 1 ，n 其中 乞) 独立同分布，且e ( q ) = o ，e ( 砰) = 仃2 o 。，i 矽i 1 的统计推断，参数估 计及估计的性质，最后讨论了讨论了模型 y t = p o + p 、x t lj 卜+ p p - 1 x t 。p - 1 + p l “= q ，肛一旭- 1 = q 一腭一l 这里，= 2 ，3 ，刀 毛，f = o ，1 ，) 为一白噪声序列，( o ，仃2w f ) ，w f = w ( 刁，) ，z f 为 协变量，r = l ，2 ，刀，y 为一未知向量，对y 有二阶连续偏导数，且存在唯一的y 。 使得w ( z ，) = 1 ，f = 1 ，玎盯2 为未知参数，并研究了它的相关性和异方差检验 ( 4 ) 介绍了阶为( p ，q ，p ，q ) 的双线性模型， 薯：兰屯誓一，+ q + 兰吼岛一。+ 壹兰巳。_ 一，b 一。 j = j 露= i j = l 七= l 其中乞肋( o ，仃2 ) ，q ，吼和是未知参数。简单讨论了它的一些性质和具有 b l ( 1 ，o ，1 ，1 ) 误差的非线性模型的相关性和异方差检验， 乃= 厂( 誓，) + 鸬，f = l ，刀 “= q ，鸬= 6 鸬一l + 蜀+ c 鸬一l b l ，= 2 ，z 其中， q ，f = 0 ，1 ，) 为一白噪声序列， g ( o ，仃2 w ) ，m = w ( 刁，y ) ，刁为协变 量，t = 1 ，n 7 为一未知向量，w 对7 有二阶偏导数，且存在唯一的使得 w ( z r ，) = 1 ，f = 1 ，刀仃2 为未知参数，最后通过具体的数值例子论证误差项改进的 进莎。 严小龙时间序列在线性模型和非线性模型中的应用竺 第2 章自回归滑动平均模型参数估计及性质 2 1 平稳性的概念及自回归滑动平均模型的平稳性 2 1 1 平稳性 在时间序列分析中，为了研究和叙述的方便，时间序列的时间指标都是等间 距排列的，为了能更好地对我们所关心的时间序列进行预测，控制和诊断，我们 需要建立尽可能合适的统计模型，而大量时间序列的观测样本通常表现出趋势性， 季节性和随机性，或者仅表现三者之一或其二或其三。因此，可以认为每个时间 序列经过适当的函数变换，可以分解成三部分的叠加， 五= z + s + r ，r = 1 ，2 ， ( 2 1 ) 其中 互 为趋势项， s ) 为季节项， r ) 为随机项， 五) 为三者的叠加，为时间序 列。 时间序列分析期望从己知东西推出一些未知的东西。因此，有必要假定在所 讨论的范围内，存在概率分布的某一特性保持不变。在( 2 1 ) 中，由于 z ) ， s ) 可 以用非随机函数进行描述，因此对二者的预报是相对容易的，将二者分离出后， 时间序列经常表现出某种稳定的波动性，这就导致了不同类平稳性的假定。 定义2 1 时间序列 置，= o ，1 ，2 ，) ，如果对任意f ，s = o ，1 ，2 ，满足 ( 1 ) e ( 矸) 称为严平稳的，如果对任意 1 和任 意整数七，( 五，以) 和( 五咒+ 。) 有相同的分布。 平稳性，仅假定时间序列的前两阶矩是不随t 改变的。对多数涉及线性时间 序列分析的问题，平稳性的假定就足够了，因此，平稳性主要用于线性时间序列。 而在非线性时间序列分析中，存在前两阶矩有时是不够的，因此通常要求严平稳 条件。 平稳性条件在时间序列分析中起着决定性作用，许多观测的时间序列值表面 上看来是不具备平稳性的。但只要对( 2 1 ) 进行 z ) 和 s ) 的分离，则处理后的序 扬州大学硕十学位论文 列就可以看成某个平稳过程的现实，从而可以合理地建立模型。 1 0 2 1 2a r m a 模型平稳性 首先引入我们要讨论的模型，即自回归滑动平均( a r m a ) 模型，其定义为 置= 6 1 五一1 + + 置一p + q + 口l 岛一1 + + q q ( 2 2 ) 其中占，删( o ，仃2 ) ，p ，g o 是整数，( p ，q ) 称为模型的阶，记 置) 彳r 刎( p ，g ) 使用向后推移算子，模型可改写为 6 ( b ) 工= 口( b ) q ( 2 3 ) 其中b 表示向后推移算子，其定义为 b 8 置= 置扪七= 1 ，2 ， 且a ( ) 和b ( ) 为如下定义的多项式 6 ( z ) = 1 一岛z 一6 l 口z p ，口( z ) = 1 + q z + + z 9 注：对( 2 3 ) ，我们总假定a ( ) 和b ( ) 无公因子。否则，消去公因子后，等 价于一阶小于( p ，q ) 的过程。 下面我们引入a r m a 过程平稳性定理 定理2 1 如果对一切满足izl 1 的复数z ，6 ( z ) 0 ，则由( 2 3 ) 给出的过程 五，f = o ，1 ，2 ， 是平稳的。 为证明该定理，引入下面引理 引理2 1 刎 ) 模型： 墨= a q 一， = o 定义一个平稳过程。其中 q ) 一聊( o ，仃2 ) ，l 哆i j = 0 ( 2 4 ) 证明显然有心( g ) 模型的定义知，任何阶为q 的刎( g ) 过程是平稳的，对一 切t ，考虑如下定义的刎( 鸟) 模型： 严小龙时间序列在线性模型和非线性模型中的应用旦 五= 哆b 一 j = 0 由此，ezi eqi l 乃i o o 则( 2 4 ) 式右边的无穷和依概率收敛，且由于 j = 0 fqi o 。蕴涵了巧 1 和6 ( z ) = 兀( 1 一z z ) 1 s j p 由t a y l o r 展开得，对任意的izl 1 ， 由于 p 6 ( z ) = 兀( 1 一z 7 乃) = 兀 ( z z ) = c z 。 1 s j p，= l 七= 0 j = o j l ， iei 兀 1 i 乃n = 兀( 1 一z iz 一 j = oj = 1 七= 0 1 s j p 记c o ) = 巳z 。易验证，c ( z ) 6 ( z ) 三1 ，则， = o 五= c ( b ) 6 ( b ) 置+ c ( b ) 口( b ) q = d ( b ) q 其中d ( z ) = c ( z ) 口o ) = t z 7 ，且i 嘭i ，则对一切i z i 1 ，在条件6 ( z ) o 下， j = oj = o 墨) 是形如( 2 4 ) 所示的m a 过程，由定理2 1 ，从而是平稳的。 因果性是与平稳性密切相关的另一重要概念。 扬州大学硕士学位论文 定义2 3 如果对一切t ，时间序列 z ) 满足 五= 吒乞i 嘭i o ，使得1 b ( z ) 有幂级数展开式 1 6 ( z ) = 0 z = s ( z ) ，lzi 1 + s j = o 则当j0 时，有0 ( 1 + g 2 ) 7 专0 ，则存在七( 0 ，) ，对j = 0 ，1 ，2 ，有 特别地，当lzi 1 时，有 s ，i 尼( 1 + s 2 ) 一。 ie i o o ，g ( z ) 6 ( z ) 三1 j = o 由b r o c k w e l l 和d a v i s 第6 5 页命题3 1 2 ，可将算子s ( 召) 作用于式6 ( b ) 五= 口( b ) 岛 的两边，有 置= 占( b ) 口( b ) q 即 x t = 妒j s j = o 其中 ) 由( z ) = 乃= 口( z ) 6 ( z ) ，lz i 1 确定。 j = o 严小龙时间序列在线性模型和非线性模型中的应用旦 则 令 反之，若 工) 是因果a r m a ( p ，q ) 过程，则五= q 一， ) 满足l i g 目( z ) = 7 7 ( z ) = 6 ( z ) ( z ) ，iz i 1 由izi l 时，ly ( z ) i ，则当izi 1 时，6 ( z ) 0 由上定理，显然有因果性蕴涵平稳性，但反之是不真的，事实上，有如下定 理： 定理2 3a r m a 模型有唯一平稳解的充要条件是对一切1zi = 1 的复数z ，6 ( z ) o ， 且此时五= q 由 = 确定，其中，一1 i z i 1 ，使得当覆。 z o 其中 b = ( 6 ，口) ：6 ( z ) 口( z ) o ，v zl 1 )( 2 9 ) 由( 2 8 ) 对仃极大化，极大似然估计可表示为 ( 确= a r g ( 蹴( 1 。g s ( + 丁。善1 0 9 ，仃2 = s ( 6 ，口) 丁 ( 2 1 0 ) 其中 s ( 6 ，口) = ( 一一x 7 ，：，一。 由( 2 8 ) 可以看出，预白化处理避免了计算的逆，减少了计算量。 严小龙时间序列在线性模型和非线性模型中的应用旦 第3 章具有a r m a 误差的线性回归模型 3 1 序言 我们知道，经典的线性回归模型如下 ”= 屈+ 届而，+ 履x 2 + + 屏一l x p l f + q ，f = 1 ，2 ，2 ( 3 1 ) 其中，误差项满足 e ( p f ) = 0 ，哳( p ，) = 仃2 ，c d l ，( p ，p ，) = o ，f ( 3 2 ) 但是在研究实际问题时会发现某些情况下( 3 2 ) 并不完全满足。如果 c i d v ( q ，p ，) o ，f ，f ，= l ，2 ，胛 ( 3 3 ) 即对不同的观测值，随即误差之间存在某种相关性。这种相关性往往是由于观测 值之间的相关性导致的。若e ( e ，) = 0 ，则( 3 3 ) 等价于 如果只存在 e ( q ，巳) o ，f 歹，f ，= 1 ，2 ，玎 e ( q ，q + 1 ) o ，f = 1 ，2 ，甩一l 我们称为一阶自相关。一阶自相关是现实生活中最常见的一种序列相关，由于它 的简单实用，我们将以它来说明要讨论的问题。如何处理存在误差一阶自相关问 题呢? 比较常用的方法是对误差拟合一个a r ( 1 ) 模型。即在我们上一章讨