（信号与信息处理专业论文）基于高阶累积量的系统盲均衡与盲辨识.pdf

摘要 本文主要研究了基于高阶统计量( h o s ) 的数字通信系统的盲辨识和盲均衡。 通过对子空问的分析，给出了多输入多输出( m i m o ) 系统的亩辨识和盲均衡算法。 本文首先简要的介绍了有限冲激响应系统盲均衡和盲辨识的发展过程，以及 现阶段盲均衡和盲辨识方面的研究成果，接着介绍了高阶累积量的定义、性质。 本文介绍了两个已有的算法。一个算法是关于盲均衡方面的，通过一个线性 的均衡器利用一个未知非最小相位系统的输入来恢复该系统的输出。另一个算法 是关于多输入多输出系统有限冲激响应的盲辨 = 问题。该算法利用组四阶累积 量矩阵的零空削把一个未知m 1 m o 信道的冲激响应辨识成一个常的单项矩阵。同 时，本文也介绍了该算法的一组辨识条件。对于不同的用户的信道长度一致的 m i m o 系统，该算法只需要很弱的辨识条件。本文还给出了所介绍的两个算法的 仿真结果。 本文将侧重点放在m i m o 系统的盲信道辨识和盲均衡算法研究上。在分析基 于高阶累积量的多输入多输出系统盲辨识算法的不足的基础上，提出了两种改进 算法，与原算法相比，这两种改进算法更充分的利用了高阶累积量矩阵结构的特 性，从而提高了算法的估计性能。同时给出了两种改进算法和原算法的性能仿真 图，证实了改进算法的有效性。 关键词：盲系统均衡盲系统辨识高阶累积量多输入多输出线性系统 子空间分解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fb l i n di d e n t i f i c a t i o na n db l i n de q u a l i z a t i o no fd i g i t a l c o m m u n i c a t i o ns y s t e m sb a s e do nt h eh i g h e ro r d e rs t a t i s t i c s ( h o s ) i sa d d r e s s e d b a s e d o n s u b s p a c ea n a l y s i s ，w ed e v e l o p t w o i m p r o v e da l g o r i t h m s o f m u l t i p l e - i n p u t m u l t i p l e o u t p u t ( m i m o ) s y s t e m s b l i n di d e n t i f i c a t i o na n db l i n de q u a l i z a t i o n f i r s t l y , t h i sp a p e r i n t r o d u c e st h e d e v e l o p m e n t a n dr e s e a r c hr e s u l t so fb l i n d e q u a l i z a t i o na n db l i n d i d e n t i f i c a t i o no fl i n e a r s y s t e m sw i t hf i n i t ei m p u l s er e s p o n s e t h e nw ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o na n da l g e b r a i cp r o p e r t i e so fh i g h e ro r d e rs t a t i s t i c s t h i sp a p e ri n t r o d u c e st w oa l g o r i t h m s o n ea l g o r i t h mi sa b o u tb l i n de q u a l i z a t i o n w h i c ho b s e r v et h eo u t p u to fa nu n k n o w np o s s i b l yn o n m i n i m u mp h a s el i n e a rs y s t e m f r o mw h i c ht h ea l g o r i t h mw a n tt or e c o v e ri t si n p u tu s i n ga na d j u s t a b l el i n e a rf i l t e r t h e o t h e r a l g o r i t h m i sa b o u tb l i n di d e n t i f i c a t i o no fm u l t i p l e - i n p u t m u l t i p l e o u t p u t l i n e a r s y s t e m s w i t hf i n i t ei m p u l s e r e s p o n s e t h i sa l g o r i t h m u t i l i z e st h ec o m m o n n u l l s p a c eo f a s e to ff o u r t h o r d e rc u m u l a n tm a t r i c e st oi d e n t i f ya nu n k n o w nm i m oc h a n n e li m p u l s e r e s p o n s eu pt oac o n s t a n tm o n o m i a lm a t r i x t h i sp a p e ra l s ei n t r o d u c e s as e to fn e w i d e n t i f i a b i l i t yc o n d i t i o n sf o rt h ea l g o r i t h m i ti ss h o w n t h a tf o rm i m o s y s t e m sw i t ha n e q u a lc h a n n e li m p u l s el e n g t h f o rd i f f e r e n t u s e r s ，t h ea l g o r i t h mr e q u i r e s aw e a k e r i d e n t i f i a b i l i t yc o n d i t i o n a t t h es a m et i m e ，t h i sp a p e rg i v e ss o m es i m u l a t i o ne x a m p l e st o i l l u s t r a t et h ep e r f o r m a n c eo ft h et w o a l g o r i t h m s t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ea l g o r i t h m so f m u l t i p l e i n p u tm u l t i p l e o u t p u t ( m i m o ) s y s t e m sb l i n di d e n t i f i c a t i o na n db l i n de q u a l i z a t i o n a c c o r d i n gt ot h ed i s a d v a n t a g eo f m i m i c s a l g o r i t h m ，w h i c hn o tm a k e s t h em o s to fi n h e r e n ts t r u c t u r eo fc u m u l a n tm a t r i x ， t h i sc o n t r i b u t i o n d e v e l o p t w oi m p r o v e d a l g o r i t h m sa n di m p r o v e i t s p e r f o r m a n c eo f e s t i m a t i o n c o m p u t e rs i m u l a t i o n s c a n p r o v e t h et w oi m p r o v e d a l g o r i t h m s e f f e c t i v e n e s s k e y w o r d s ：b l i n ds y s t e me q u a l i z a t i o n ；b l i n ds y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ；h i g h e ro r d e r s t a t i s t i c s ；m u l t i p l e - i n p u tm u l t i p l e - o u t p u tl i n e a rs y s t e m s ；s u b s p a c e d e c o m p o s i t i o n 创新性声明 y 6 9 5 5 9 5 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包括为获得西安电子科技大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担切相关责任。 本人签名：函丝蕴f 1 期 2t o s 1 d 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文t 作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名 导师签名 围缝盔一 2 刍叁丛 r _ 1 期2 。j 2 - b 闩期7 ，。厂d ，w 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 信道辨识与均衡是能够为统计信号处理工具与算法提供肥沃上壤的领域。在 无线通信中，信息源被映射为字符，它们在有限字符集中耿值，因而为非高斯信 号。在它们被一个或多个传感器接受之前，需要通过信道进行传输，于是会受到 码间干扰( 1 s i ) 和信道干扰的作用。码问干扰和信道干扰之所以存在，主要是由 于带限发射和接收滤波器、放大器、时延与多路传输、发射机和接收机之问的相 对运动耦合效应以及多址干扰等的作用而产生的。 随着数字技术的发展，数字信号的传输成为必要的通信手段，因而，数据通 信对传输速度和误码率高性能的要求也越来越高。在数据通信系统中，信道均衡 设备常常是用来提高传输速率和降低出于信道畸变而引起的误码的一个重要手 段。因此，对信道均衡器的研究具有重要的实际意义。同时，随着自适应技术的 发展，自适应数字均衡器也有了很大发展，目前，自适应均衡器已广泛地应用于 卫星、短波、电话线路等各种通信信道。 随着数字通信系统的发展，尤其是计算机通信网技术的发展，对均衡器提出 了进一步的要求。普通的均衡器在通信开始时期总要有一段训练期，这训练期由 发送数据端发送一组伪码，这组伪码在接收端是已知的，接收端利用已知的伪码 作为参考信号对均衡器进行训练，从而达到均衡器的收敛，然后才丌始通信，而 在些情况下是无法进行训练的，要求均衡器直接在数据流上开始工作。另外发 送训练信号会占用宝贵的信道资源。这就要求均衡器能在没有参考信号的情况下 依然能够进行均衡。 严格来蜕，盲系统辫t 是只有观测的输出数据可资利用，这指的是全盲方法。 然而，在实际中应用最多的是所谓的半盲方法。在半盲方法阜，除了接受的数据 外，还有某些辅助信息可以利用，这些辅助信息通常是以概率模型形式给出的。 在数字通信均衡中，该概率模型描述的是被发射的数据序列的统计量。通信巾的 数据序列的某些特征是可以通过发射信号的设计获取的。存本论文c ，讨论的信 道辨识和均衡基本上都是届j ：这种半盲方法。 基丁高阶累积蕈的系统肓均衡与亩辨识 1 2 盲均衡与盲辨识 竺俨占旦铲 圈1 1数字通信系统 由于对系统传输语音和数据信号能力的需求，数字通信技术在过去l o 年中快 速发展。数字通信中最感兴趣的话题就是设计一个适宜的接收机，使得该接收机 可以很好的去除由于输入信号通过未知系统传输后产生的信道畸变和附加的高斯 噪声。图1 1 给出了一个通用的数字通信系统模型，其中缈( 女) 代表需要传输的输 入信号，f ( k ) 表示由传输信道和接受滤波的复合信道，n ( ) 表示附加的高斯噪声， y ( k 、表示被噪声污染后的信号。这个数字系统的主要任务之一就是设计滤波器 g ) 来恢复输入信号( 女) 。一般的，这个滤波器是建立在只有一个通道的基础上 设计的。在这种情况下，一般假设f ( k ) 是理想的( 没有码间干扰) ，并且信道是已 知的。然而，在实际应用中，往往是处理多通道系统。在多通道系统中引起的信 道畸变是不知道的。由码问干扰( i s i ) 引起的信道畸变如果在接收端不进行相应 的补偿的话，在接收端将产生很高的误码率。对码问干扰的补偿器就是均衡器。 算法 1 ，p p 6 1 0 6 1 6 依据最小概率误差准则对输入信号采用最大似然估计来 减少码问干扰。在高斯环境下，这个算法给出了最好的均衡结果，因此设计了一 个很好的接收器。然而，随着通信信道冲激相应的长度的增加，该算法计算的复 杂度随着该长度指数增加，而且，信道的冲激相应还不是先验知识。当通信信道 冲激响应存在一个f i r 逆滤波器时，可以设计一个z f ( z e r o f o r c i n g ) 均衡器 1 ，p p 6 1 0 6 1 6 来去除码问干扰。值得注意的是，在这种情况下，系统的传输函 数还是未知的，然而，这个算法并不抑制附加噪声。还有一个可选的均衡器叫做 线性最小均方误差均衡器。这个均衡器是建立在最小均方误差准则的基础上对信 道进行估计的。这个均衡器在只有噪声信号和己知系统传输函数的前提下是一个 最优解。以上的3 个算法都是建立在接收端信道的特征、信道的频响或冲激响应 是已知的基础l 的。然而，在大多数数字通信系统中使用的均衡器，信道的特征 都是未知的。为了设计一个均衡器，丌始的时候必须传送一个已知的训练序列到 接收端柬调整均衡器的初始系数。然而，使用训练序列降低了传输系统的效率。 在其它方面，例如在多点通信网络中，希望接收机和接收信号同步，而且要求接 收机在不知道训练序列的条件下调整均衡器。在不需要训练序列的条件下调节均 衡器系数的均衡技术叫做盲均衡技术。现阶段，主要研究集中在只知道系统输如 第一章绪论3 信号的条件下的盲均衡问题。自均衡在信号处理和通信信号处理中有着广。泛的应 用。典型的例子包括基于二阶累积量( s o s ) 的单输入多输出( s i m o ) ”l 和多输入多 输出( m i t o ) 通信系统盲均衡。 在 3 ，4 ，5 ，6 等应用中，应用盲均衡的目的就是在不知道系统传递函数只知道 输出信号的条件下，恢复输入信号并且去除信号中的噪声和抑制码问干扰。现在 已经提出了许多基于二阶累积量的方法，包括子空间方法 6 ， 7 ，这些方法提高 了盲均衡的性能，并且把盲均衡扩展到解决多元输入时的盲信号处理上。众所周 知，子空问方法出于需要精确知道信号维数，当信道的长度不知道的时候，予空 间方法就不在适用了。于是，一个自适应算法：单步线性预测误差方法( s l p b s i n g l es t e pl i n e a rp r e d i c t i o ne r r o r ) 由s 1 o c ke ta 1 提出并进行了改进 8 ， 9 ， 1 0 。只要估计信道的阶数大于或等于信道真实的阶数，该算法就可以 解决信道阶数不匹配问题。这个重要特性使得该算法很好地解决了盲均衡问题。 s l p e 算法的性能依赖于信道的第一级系数，这个系数是一个组成信道冲激响应的 一级系数的向量。当这个向量太小的时候，该算法的性能就受到了限制。因此， 就限制了该算法在实际应用中的使用。于是有人提出了一个新的算法叫做多步线 性预测误差方法( m l p e m u l t is t e pl i n e a rp r e d i c t i o ne r r o r ) 来克服s l p e 算法 的不足 1 1 ， 1 2 。m l p e 算法在信道阶数不匹配的情况下是稳健的。基于m l p e 的 盲均衡算法是建立在多个信道系数的基础上的，而不是只依赖于前级系数，所以 该算法是稳健的。 出于在无线通信技术上的潜力，盲均衡技术已经成为现在讨论的热门话题。 陆续有许多基于二阶累积量的盲均衡方法的文章被发表出束，一些是关于s i m o 系 统的，还有一些是关于t i m o 系统的。最近在这方面的研究主要集中在二阶累积量 方法( s o s ) 和高阶累积量方法( h o s ) 上。典型的应用有：s o s 方法用于设计盲均衡器， h o s 方法用于用户分离或者用于设计盲源分离算法中。 在通信和信号处理应用中经常遇到多输入多输出系统有限冲激响应的盲辨识 问题。现在大多数文献给出的盲系统辨识方法要么是信道输出信号的二阶统计量 算法( s o s ) ，要么是高阶统计量( h o s ) 算法。最近主要集中在s o s 算法，因为和 l t o s 算法相比，s o s 算法只需要较少的数据抽样就能达到很好的统计t l 计。特别的， 盲系统辨识的s o s 算法依靠信道差异的可利用性。换句话说，在m i m o 系统中，输 出信号的数目必须超过源信号的数目。大多数s o s 算法要求信道传输函数是不l j j 约的，其列数少于行数，这样才能保证存在信道传输函数的逆。在减少算法的约 束条件方面，h o s 算法具有 j 显的优势，包括：在不要求倍道差异性的条件下提f i 信道的相位信息，解决模糊矩阵和变换的不确定性的能力以及对附加高斯噪声的 不敏感性等优势。一些h o s 算法是建立在统计量匹配和逆滤波的基础上的，累移 4基丁高阶累积量的系统占均衡与亩辨识 量匹配技术通常存在非线性最优化问题，即需要猜测一个很好的初始化值来避免 局部收敛问题。一些逆滤波算法利用一个m i m o 均衡器采用一个迭代过程成功的 恢复每一个动态源信号，然后根据恢复的源信号和信道的输出估计相应的子信道。 这些算法都依赖于精确收敛的m 1 m o 均衡器这个前提。随着用户数量的增加，信 道的估计性能就会受到传输误差的影响。 本文介绍了两个已有的算法，一个算法是关于盲均衡方面的，另一个是关于 盲辨识方面的，这两个算法都是建立在h o s 方法上的算法。和以往的算法相比， 基于h o s 盲均衡算法能以超指数的速度收敛于最优解，基于h o s 盲辨识算法只 需要很弱的辨识条件。关于这两个算法的洋细介绍请见本文的第三章和第四章。 另外，本文还给出了基于h o s 盲辨t ! ； 算法的两种改进算法，同时给出了基于h o s 盲均衡算法和基于h o s 盲辨识算法以及两种改进算法的仿真结果以及改进算法和 原算法的性能比较结果。 1 3 本文的主要工作和论文安排 具体的讲，本文主要分以下几章： 本文首先在第一章简要的介绍了盲均衡和盲辨识的发展过程，介绍了盲均衡 和盲辨识研究方面的概况和一些有关的算法，以及它们在信号处理和通信信号处 理中的应用。 第二章详细的介绍了高阶矩和高阶累积量的定义，高阶累积量的性质等基本 理论，说明了为什么在非高斯信号处理中不用高阶矩而要用高阶累积量作分析工 具的原因。 第三章详细的介绍了基于h o s 的盲均衡算法( 超指数算法) 1 3 1 ，并通过仿真 试验分析了该算法的性能。 第四章详细的介绍了基于h o s 的m i m o 系统盲辨识算法【1 4 】，并对该算法进 行了分析，指出了该算法的不足之处，同时也对欧算法进行了仿真试验，分析了 该算法的性能。 第丘章在第四章分析的基础上，对该算法进行了改进，从不同的角度出发， 给出了两种改进算法，分析了两种改进算法与原算法的区别，并分别对两种改进 算法进行了仿真试验，通过仿真试验比较了改进算法和原算法的性能，同时给出 了两种改进算法与原算法的性能比较图。证实了改进算法的有效性。 第章高阶祟积蛀) 第二章高阶累积量 2 1 高阶矩与高阶累积量的定义 这晕研究实数随机变量以及实数随机过程的高阶矩和高阶累积量。 ( ) 单个随机变量情况 考虑单个随机变量x ，定义其特征函数为 中( ) = r 厂o “d x = e 【e ”“】 ( 2 - 1 ) 其中f ( x ) 为随机变量x 的概率密度函数。特征函数实际上是密度函数f ( x ) 的傅 里叶变换。 x 的第二特征函数定义为 平( ) = i n 中( 珊) ( 2 - 2 ) ( 第一) 特征函数中) 也叫矩生成函数。随机变量x 的k 阶矩定义为 = e x k 】_ ，q 皿 ( 2 - 3 ) 显然m ，= 叩一e o ) 。随机变量x 的k 阶中心矩定义为 。；e 【( z 一_ ) 】；l ( x 一叼) ，( r l ( 2 - 4 ) 对于零均值的随机变量x ，k 阶中心矩与k 阶( 原点) 矩仉等价。 若仉 = 1 ，2 ，h ) 存在，则x 的特征函数中 ) 可按泰勒级数展丌： 中( 山) = 1 + 善n 百m k l ，珊) + 。( m “) ( 2 - 5 ) 而且m 。与中扣) 的k 阶导数之间有关系 ”k 。( 一j ) d k d , i , ( 。o j ) i 。2 ( 一，) 中( 。) ( 女s ，z ) ( 2 6 ) 这就是高阶矩的定义式。 同样地，x 的第二一：特征函数中沏) 电按泰勒级数展丌： 掣( m ) _ 1 n 中( m ) = k ；1 裔( 川+ d ( m ( 2 _ 7 ) - k ! 并h q 与l l ，) 的k 阶导数之问的关系为 旷7 1 k 筹l nc d ( o ) m 。 6 旗j _ 高阶累积量的系统亩均衡与亩辨识 著叫一。= c 气称为随机变量x 的阶累积量。山于c t 是用第二特征函数v 泐) 定义的，故 1 王，沏) 又叫累积量生成函数。山中( o ) = 1 及中沏) 的连续性知，存在d ，0 ，使f m c 6 时有中扣) 一0 ，故累积量f 卜成函数v ) = i n 中) 对l i c6 有意义且单值( 只考虑 对数函数的主值) 。这意味着，i n 中知) 的前n 阶导数在= 0 处存在，故c t 也存在。 ( _ _ ) 多个随机变量及随机过程情况 对于n 维随机变量( x i , x 一，x 。) ，定义其联合特征函数为 中( u 1 2 ，哆) = e e x p j ( w 】i f l + m 2 x 2 + + q ) ) 2 - 9 ) 定义其第二联合特征函数为 q j ( w i ，2 ，。) ；i n q ) ( w 1 ，! ，一，q 。)( 2 - 1 0 ) 可见，联合特征函数中 ，：，q ) 就是随机变量( x 。，z ：，x 。) 的联合概率密度函 数厂( ，x ：，x n ) 的n 维傅旱叶变换。 对式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 分别按泰勒级数展丌，则阶数r = k 。+ 七! + + t 。的联合 矩可用联合特征函数定义如下： ， 州；饼z ：k 2 。) 同样地，阶数，= k 1 + 女2 + + 吒 r 塑孥掣i 2 m ) 。衅1 a m 卜a 母l = 删 4 的联合累积量可用第二特征函数定义为 ! ：! 亟! 竺! ：! 堡! | a 耐1 胁! ! a q ：4 | 。 ( 2 1 2 ) 下面讨论随机过程的高阶累积量。 设 x ( ，1 ) 为零均值的k 阶平稳随机过程，则该过程的k 阶矩和阶累积量分别 是k - 1 个独护变元的函数。陔过程的阶矩记作m 。( r l ，一， g 。- 1 ) ，并定义为随机变 量仁 ) ，x ( n + r 。) ，- ，x 加+ 一，) 的k 阶联合矩，即 m h ( r l ，一，r 女一1 ) = m o m ( x ( n ) ，( h + t 1 ) ，一，x ( n + 【) ) ( 2 - 1 3 ) 而该过程的k 阶累积量c 。( r ，t k - 1 ) 定义为随机变靖 x ( n ) ，x ( n + ) ，- ，x + t ，) 的k 阶累积量，即 一 一 删 第：章高阶累静 蕈7 这罩，m o r n ( ) 和c u r e ( ) 分别代表呋合矩和联合累积量。 r 2 1 4 ) 2 2 高阶累积量的性质 累积量和矩之间存在f i f , j 的显式关系。 m c ( 矩一累积量) 公式是 。( ) ：( 一1 ) ( q 一1 ) ! 1 ( ，) ( 2 1 5 ) 0 铲- ”1 。 c m ( 累积量一矩) 公式是 m ，( ，) = 兀c x ( ，) ( 2 - 1 6 ) 0 铲- ”1 。 在上述二式中，型。，。代表在集合l 的所有分割范围内的求和；m x ( i ，) 是向量x 内 的各元素乘积的期望值，其中x ，出x 内指数属于i ，的所有分量组成；c ，( i ，) 则是 向量x 的子向量x ，。的累积量。以t = 3 为例，q = 1 对应于一个分割“1 ，2 ，3 ) ；q = 2 对应于有2 个子分割，共有三种可能的分割 ( 1 ) ，( 2 ，3 ) ， ( 2 ) ，( 1 ，3 ) 和 ( 3 ) ，( 1 ，2 ) ； g = 3 表示分成三个子集，只有。种可能的分割 ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 。换句话说，由式( 2 - 1 5 ) 和( 2 - 1 6 ) 得： c o l ，j 2 ，) = c u m x 1 ，z ! ，) = e x l z ! x 3 卜e x l 】e x 2 x 3 】一e l x ! 】 j l x 3 】 一e x 3 l e t x l 2 】+ e x 】e x 2 e i x 3 ( 2 1 7 ) 和 e x l x ! 玛】= c ( x 1 ，上2 ，x 3 ) + c ( x l k ( x ! ，x 3 ) + c ( x ：) c ( 工l ，工3 ) + c ( x 3 ) c ( 工t ，x ! ) + c j ) c ( 上! ) c ( 工j ) ( 2 - 1 8 ) 可以看出，对于 个非零均值的平稳随机过程，用矩表示i 阶累积量比较复杂。 如果是四阶情况这种表示变得非常复杂，以致于它包含了1 5 个( 乘积) 项之前l 。 有意思的是，如果扛( r ) 是一个零均值的平稳随机过程，则利用矩计算高阶祟 积量( 或反之) 就变得非常之简单，特别地，从m c 公式假容易证明以f 重 要关系： c 2 x ( r ) = e x q ) x ( t + r ) 】= r p ) ( 2 - 1 9 ) 8基jl 岛阶累秘 ，i 的系统n 均i l j l0r 1 _ ；! 以 c 3 x o l ，r ! ) = e x ( t ) x ( t + r 1 ) z o + t2 ) 1 ( 2 - 2 0 j c 4 ，( r 1 ，r ! ，r 3 ) = e x ( t ) x ( t + f 1 皿( f + 7 z2 ) ( f + r j ) 1 一r ( r 1j r 。( t ! 一r 3 ) 一0 ( r 2 ) 0 ( r 3 一f ) 一0 ( f 3 ) j r 。( t t f ! ) ( 2 - 2 1 ) 这就是说，对于个零均值的平稳随机过稗l i 阶累积量c 2 , ( r ) 就是x ( t ) 的自棚关： - 阶累秋量c ，( r ，f ：) 等于x o ) 的三阶矩。 f t l j i 建立累积量的儿个重要性质，它们将在以后的理论研究中经常用到。 性质l ：若五“；1 ，七) 是常数，i j - e ( i = l ，一，女) 为随机变奄，则 c “，j i ( - z l ，一，九气) = ( 兀 ) c “，”( 。，x 。) ( 2 - 2 2 ) i 一】 t k 质2 其中( i 性质3 累积量相对于其变冗是对称的，即 c l l l l l ( x 1 ，扎) = c u l l ! ( x ，) ( 2 - 2 3 ) ，i 。) 是( 1 ，k ) 的一个排列。 祟积量相对于其变元是加性的，u p 这意味着和的累积量等于累积量之和( “累积量”山此得名) 。 ， 性质4 ：若随机变量“ 与随机变量 h ) 独立，则 c b l m ( x l + _ y 1 ，一，x i + y i ) = c u m ( x l ，石i ) + c u m ( y 1 ，y ) ( 2 2 5 ) 正是这一性质给出了累积量的另一个术语一半不变( s e m i i n v a r i a n t ) 性质5 ：如果女个随机变量饥) 的个子集同其它部分独立，则 c b l t r l ( x l ，x 二，x ) 0 ( 2 - 2 6 ) 性质6 ：如果a 是。个常数，则 c l g m ( c t + x 】，x ! 性质4 反映了个撇为鼋要的币实：两个统i t 独立一随机过程之平的祟移! 量等r 再 个随机过程累积最之和。因此，如粜个非r 高斯信号存与之独童的加性高斯有色 噪i 卅f ，被观测的话，那么观测过程的高阶累积星就是原非高斯过程的高阶累积量。 然咖这结论对高阶矩不成立。岍哇质5 反应了”个重要事吱，独? 同分( l i 随机序列的累积量为d 函数。即是晚，若 t u ( 是独专同分自过程，那么： c 。( 。1 t ，r 。) = 。d ( r ，) t 6 ( r ) ，其r 。，叫做( u ( r ) 的k 阶祟干 ：齄一换句话说，自 f h 。( 一一= o 一，= 0 ) c m 晚( ) ，( u ( 一叫o ( l 它) 他。2 引 第一章高阶累积鼙9 然后，独立同分布过程如( f ) ，的联合矩却不是d 函数。在许多文献中，把满足式 ( 2 - 2 8 ) 的噪声叫做高阶白噪声，因为这种噪声的高阶谱是多维平坦的一 ：述两个 重要事实使得使用累积量作为一种算符比使用矩要容易、方便得多。加上前面提 过的事实，高斯有色噪声的高阶累积量恒等于零而其高阶矩不恒等于零，就回答 了这样一个问题为什么在非高斯信号处理中不用高阶矩而要用高阶累积量作分 析工具。 对于一个零均值的平稳过程 就 如果认为s ( 回和( 3 3 ) 式的理想值的差为扰动，经过一次操作后，扰动的宽度 变为原来的2 倍，扰动所在的位置也变为原来的2 倍，扰动的峰值变为原来的2 ， 使得原来的零谱完全消失。当任意选择p 和口，同样能得出类似的结论：即，扰 动的宽度变为原来的( p + g ) 倍。峰值被一个小于一- 1 系数乘。 下面分析一下这个算法的收敛特性。 由( 3 删和( 3 4 b ) 得： 刖制扩 由于p + q 2 ，那么： l 屯i h h h j l l l l i 卜 其中? t o ，r 6 ，氇，h 。 于是： 州) = 聂阱三盯们 蔓k 耵悯r 刚= 三肾点旷 ( 3 _ 6 ) ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) 第三章盲反卷积的超指数算法1 5 ( 聂l ：玎 9 + 9 = c 矗汀c s ，9 + 4 c s ，9 ， 继续对( 3 8 ) 和( 3 9 ) 进行上面的操作，最终得到： m d ( s 。) o ( 3 - 1 7 ) c l d m ( a t ：p ；z ：g + 1 ) 0 ( 3 - 1 8 ) 由p 3 ) 知，如果p + q 2 ，那么a t 一定是非高斯的。 2 ) 未知系统的系统函数日= 是稳定的，非最小相位的，线性时不变的滤波器， 它的逆变换日= k 1 ) 存在。 3 ) 均衡器c = ( g 是有限长度的延迟系数，此中三= 岛一厶+ l 加入有限长的均衡器后，联合系统的响应为： = 艺e l 吃一f ， 。l 写成向量形式： s 钮c ( 3 - 1 9 ) 其中： s = ( si 丑) 7 c = ( 气气气) 7 h 是工列无限行的矩阵，它的元素为： h o = 曩一，一0 0 i 0 0 ，厶j 岛 ( 3 _ 2 0 ) 在这里希望通过调整c 使得s = h c 等效予向量巧 “，对于固定的k ，占( 的第” 个元素为吒。然而，由- t - c 是有限长的，只能通过对c 的选择尽量使h c 接近 占耻) 。假设h 是已知的，那么问题就转化为求线性最小均方解， 即： 磐l l h c 一占”1 1 2 = c = ( h ”h ) 。h ”占” ；s = h c = h ( n “h ) 一1 h “艿( 3 - 2 1 ) 上式就是在最小均方意义下的最优解，此时的均方误差为： 1 8基于高阶累积量的系统盲均衡与盲辨识 e k q 一。f = 互旬等c 晶一q h 。1 2 = ( 矗一”) ( 靠一群) 五 q 一。t 。) = e b 1 2 s 艿耻f = 西 b 1 2 l h c 一占1 2 ( 3 2 2 ) 要说明的是，不管有没有训练序列，使用均衡器都不能得到比( 3 - 2 1 ) 式更好的解， 随着乞的增加，矩阵h ( h ”珏) 。h 8 越接近单位阵i ，确切的说是h ( h 8 h ) 。h 8 的 第列越接近万( n ，这种情况下。( 3 2 1 ) 式的解才接近理想解。 现在回过来看由( 3 4 8 ) 移( 3 4 b 潞出的算法，对7 ：( 3 - 4 a ) 式，强戆是通过设置c 使 得s = h c 等于下面的向量g ： g=()4(3-23) 然丽，出予均衡器熬可调范垦是有限的，歇以只能通过选择c 使褥l 形与g 鲍 范数最小，即： 7 n 挚8 珏c l 印等c = ( 珏”h ) - 1 酽g ( 3 - 2 4 a ) 同( 3 - 4 b ) 一样，对上式归一化得： c k l 弓意兰= 一c 。( 3 - 2 4 b ) 0 c 悄h m h e 将( 3 2 4 a ) 和( 3 2 4 b ) 代入。域得： s=h(h8hrh”g(3-25a) ，k 内，0 - 2 5 b ) 同样，如果h ( h ”h ) 。h 打越接近单位阵i 。那么( 3 - 2 5 a ) 和( 3 2 5 b ) 就以超指数路径接 近( 3 4 a ) 和0 - 4 b ) ，且是全局牧敛的。 由于h 和g 是未知的，所以f l j ( 3 - 2 4 a ) 和( 3 - 2 4 b ) 给出的算法仍然是不可求的。 下嚣给出科尾累积量和均衡器绘出的实际可行的算法。 一= q 。 = 札q 。 y p = e h k a ，一i = 矗，口，吨 i t r , 第二章盲反卷积的超指数算法 由性质p 1 ) 和p 2 ) 得： c “，柙( y ，。；y ：一。) = c “，以( 荨矗t 。盘卜鼻：荨向：，一，：一 2 等等6 矗：，一一一( 州吐) = c u m ( a ，；a 1 ) eh h ：一。 = c u m ( a 。；：) ( h ”h ) 。 在利用性质p 1 ) 得：c u m ( z , ：p ；：口；正。) = c u m ( z t ：p ；z 7 ：q ；z h k 一棚 ) = 矗：一c u r e ( z , ：p ；彳：q ；d ：一 ) 其中： c l j l i z ( g t ：p ；0 ：q ；a 7 一t ) = c u m ( z j ；2r ；- ，- z ，；z ：；z ：；一z t ；a t 一 ) c u m ( 手s t , a r ；s l a - t ；z s 2 ，a + t 1 if 。m d h ；a t 1 ) m ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) = ；5 s i ，j o f l啊 胛 c u m ( a p pv ；m - t ，；a 一 ；a t + 一；c _ t i )( 3 2 8 ) 由于qf = l ，2 ，是独立同分布的随机变量，那么由性质p 2 ) 得， c u m ( a ；- ；口t - i ；a + t n ；a t - 。；： ) 把( 3 - 2 9 ) 代入( 3 2 8 ) c u m ( z , ：p ；z ：g ；口：一i ) = s f ( s ：) 9 c u m ( a ，：p ；a ：q + 1 ) = g t o c u m ( a , ：p ；a ：q + 1 ) f 3 2 9 ) ( 3 - 3 0 ) 篡 一 一 。 阱 o 堋。 基于高阶累积量的系统盲均衡与盲辨识 把( 3 3 0 ) 代入( 3 - 2 7 ) 得： c z _ l m ( z 。：j ，；z ：q ；y l 一。) = c u m ( a t ：p ；a ：q + 1 ) e h ：一。g = c u r e ( a , ：p ；a ：g + 1 ) ( h “g ) 。 ( 3 3 1 ) 把( 3 2 6 ) 芹1 1 ( 3 - 3 1 ) 分别代入( 3 2 4 a ) 和( 3 2 4 b ) 得到： c ：r 一1 d( 3 3 2 a ) c n ：!c ( 3 3 2 b ) ( c ”r e 其中r 是工三的矩阵，它的元素为： 1 。i ：! ! ! 亟= ! i 肇= n 2 ：竺业童生 ( 3 3 3 ) r o n c “小( q ；口：)v a r ( a t ) 其中d 是上1 的向量，它的元素为： d 。：竺坐_ 堕掣 ( 3 3 4 ) “c l h m ( o ，：p ；a ：q + 1 ) 、 以上就是c 域超指数算法，从式中可以看出，与s 域算法相比，需要额外知 道的条件就是a t 的方差( 平均功率) ，这个算法的好处就是，只要q 是非高斯的 且满足( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 的条件就可以了，而对口f 的概率分布没有任何要求。 从( 3 2 7 ) 可以看出，还需要知道z t ，通过下式可以解决这个问题a 由p 1 ) 得； c u m ( z t ：p ；z ：g ；_ y o = c u m ( z ，；：f ；z - z ：；y ：一。) 吖堋( 盖帆崔吵一，； 。私imy _ 耋c i y _ ；山 = 圭- t , ；”。怠丧盏印瓢文一c ib 33 5 ，= 厶。厶c 厶( 一) c u m ( y ；y 。；y - ；一- y ：一；y ：。) 这样只需求出y t 的累积量就可以了，而不比在每次操作中都要计算：i 的累积量了a 第三章盲反卷积( 1 ( 1 超指数算法 3 5 3 累积量的计算 实际中并不知道精确的累积量，只能通过对观测数据的抽样值来估计累积量 所以在实际的计算中使用下面的( 3 3 6 a ) 和( 3 - 3 6 b ) 来分另4 代替(