（应用数学专业论文）二维非一致双曲映射的poincare回复.pdf

二维非一致双曲映射的p o i n c a r 6 回复 中文摘要 二维非一致双曲映射的p o i n c a r f i 回复 中文摘要 本文主要研究二维非一致双曲映射的p o i n c a r g 回复的定量性质。主 要研究两种具体的映射l o r e n z 映射及l a u w e r i e r 映射的p o i n c a r 回复性 质。主要内容如下： 在第二章中，我们首先考虑了由l o v e n z 方程通过p - c ) i n c a r 4 截面得到 的一类 0 ，1 】2 上的l o r e n z 映射的p o i n c a r 回复的性质我们首先证明了对 于熵大于零的测度，几乎所有的点的回复率等于测度的h a u s d o r f f 维数， 这样我们就把p o i n c a r 6 回复性质与l y a p u n o v 指数和熵联系起来了 在第三章中，我们讨论了l a u w e r i e r 映射的p o i n c a r 6 回复的性质我 们主要研究l a u w e r i e r 映射的一个s b r 测度的回复性质，证明了对于该 s b r 测度几乎所有的点的上回复率等于该点的上点维数，下回复率等于 该点的下点维数这样我们就把s b r 测度p o i n c a r 4 回复的性质，和点维数 联系起来了。 关键词：l o r e n z 映射；l a u w e r i e r 映射；p o i n c a r 6 回复；l y a p u n o v 指 数；浏度熵 作者：郑冬梅 指导教师：曹永罗 = 维非一致双曲映射的p o i n c a r d 回复 a b s t r a c t p o i n c a r dr e c u r r e n c eo ft w o d i m e n s i o n a l n o n u n i f o r m l yh y p e r b o l i ct r a n s f o r m a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h eq u a n t i t a t i v eb e h a v i o ro fp o i n e a r dr e c u r r e n c e o ft w o d i m e n s i o n a ln o n u n i f o r m l y t h em a i nc o n t e n ta sf o l l o w s ： i nc h a p t e y2 ，w ef i r s ts t u d yt h eq u a n t i t a t i v eb e h a v i o ro fp o i n c a r 6r e c u r r e n c e t h e o r e mf o rac l a s so f t r a n s f o r m a t i o n so l l o ，1 只w h i c hi n c l u d e st r a n s f o r m a t i o n s o b t a i n e db yap o i n c a r 6s e c t i o no ft h el o r e n ze q u a t i o n ，w es h o wt h a tt h er e c u r r e n c e r a t et oe a c hp o i n tc o i n c i d ea l m o s te v e r y w h e r ew i t ht h eh a n s d o r f fd i m e n s i o no ft h e m e a s u r ew i t hp o s i t i v ee n t r o p y w ed e v e l o pt h er e s u l t sa b o u tr e l a t i o n s h i p sb e t w e e n p o i n c a r dr e c u r r e n c e ，l y a p u n o ve x p o n e n ta n de n t r o p y i nc h a p t e r3 , w es t u d yt h eq u a n t i t a t i v eb e h a v i o ro f p o i n c a r dr e c u r r e n c et h e o r e m f o rl a u w e r i e rt r a n s f o r m a t i o n w es h o wt h a tt h eu p p e r - r e c u r r e n c er a t et oe a c h p o i n tc o i n c i d ea l m o s te v e r y w h e r ew i t ht h eu p p e r - p o i n t w i s ed i m e n s i o na n dt h el o w e r r e c u r r e n c er a t et oe a c hp o i n tc o i n c i d ea l m o s te v e r y w h e r ew i t ht h el o w e r - p o i n t w i s e d i m e n s i o n w ed e v e l o pt h er e s u l ta b o u tr e l a t i o n s h i pb e t w e e np o i n c a r dr e c u r r e n c e a n dp o i n t w i s ed i m e n s i o n k e y w o r d s l o r e n zt r a n s f o r m a t i o n ，l a n w e r i e rt r a n s f o r m a t i o n ，p o i n c a r dr e c u r r e n c e ， l y a p u n o ve x p o n e n ta n de n t r o p y i i w r i t t e nb yz h e n gd o n g m e i s u p e r v i s e db yp r o f c a oy o n g l u o y7 8 1 2 8 2 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：拯生撞日期：竺丛生虽墨旦 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：差畦生蕴e l 期：趔竺堑塑苎旦 导师签名：日期：亟兰少 二维非一致双曲映射的p o i n e a r 回复 第一章引言 第一章引言 p o i n c a 一回复定理是动力系统理论的一个重要的基本结论 p o i n c a r 6 回复定理： 2 4 j 设( x ，1 3 ，m ) 是概率空间，t ：x _ x 是x 上的保 测映射。e b 且m ( e ) 0 ，则e 中几乎所以的点在t 的正的迭代映射 下无限次返回到e 中。( i e 存在fce 并且m ( f ) = m ( e ) s t 对任意的 z f 都可以找到一个自然数列n - n ： 0 ：d ( f “( z ) ，。j r ) 若z 的正向轨迹不返回到z 的附近时，我们令丁r ( z ) = o o 。我们也定义点 z 的上回复率和下回复率： r 3 ( x ) = 1 1 凹掣， 缸) _ l t 哿p 等 r uj u k 这两个量是对点茹的轨道返回到该点任意一个充分小的邻域的比率的估 计测度p 在点z 处的上点维数和下点维数的定义为： d 。( “= l i m i n f l o g , u 矿( b ( x , r ) ) ， 嘶) - l t p r - - ，0 掣一j u g r b a r r e i r a 和s a u s s o l 在【3 】中证明了上下回复率和上下点维数之间的关系 结论如下： 定理1 1 ：若f 是( x ，b ，上的保测的变换，则对弘一口 。x _ r t ( x ) d 。( z ) ，r ( z ) d u ( z ) 由w h i t n e y 嵌入定理可知，当x 是有限维光滑流形的子集时，上面的结 论任然成立 b o s h e r n t i z a n 在f 8 】中证明了 定理1 2 ：如果口一维h a u s d o r f f 测度m a 在x 上盯一有限( i e x = u 玉，i = 0 ，1 ，满足v i ，m 。( 托) o o ) ，且t 是x 上的保测变换，则对p a e z x l i n m - + i 。n f f n l a d ( t 8 z ，。) 】 o ； 3 二维非一致双曲映射的p o i n c a r 回复第一章引言 ( 3 ) 1 1 如t 一“uj i c a “i l v l l ，u e “( z ) ，n 0 定义1 2 ：p 是x 上的概率测度，妒：x _ 十r 是连续映射，我们称肛是妒的 平衡态测度，如果 r ) ( 妒) = k ( 丁) + 妒口啦， j 其中p ( 妒) 是l p 的拓扑压，札( 丁) 是丁关于测度p 的熵。 我们称肛是遍历测度，如果t “x = x 则p ( a ) = 0 ，o rp ( x a ) = 0 。下面 的结论是l b a r r e i r a 和b s a u s s o l 在【3 建立的。 定理1 5 ：设r 是c - + a 微分同胚，x 是紧的双曲集，如果测度是一个 h o l d e r 连续函数遍历的平衡态测度，则对肛一a e 。x 有 l i mt l o g v , ( x ) ：1 i m 堕筚业生 根据b a r r e i r a ，p e s i n 和s c h m e l i n g 2 】，对p a e x 极限 l i m ! ! ! 枣曼虹卫 7 + o l o g r 存在。定理1 5 的假设条件下，r ( $ ) = 詹( z ) 几乎处处成立我们还可以 说，定理1 5 证明了当r 充分小时 i n f k 0 ：f k x b ( x ，r ) ) 一1 , ( b ( x ，r ) ) 也就是说，z 的轨道返回到占( z ，r ) 的时间大约等于i 肛( z ，r ) j 因为p 是遍历测度，根据k a c 引理有： 厶，) 叶( 旷) 舡( p ) = 1 其中 _ ( v ，。) = i n f k 0 ：t b ，r ) ) 这意味着，返回到b ( x ，r ) 的平均时间等于1 p ( 。，r ) ) 因而，定理1 5 可 以看作k a c 引理的局部形式我们还会发现，定理1 5 将两个不同特性的 量联系起来特别的，左边是只依赖微分同胚的量，而右边是只依赖测度 的量 4 二维非一致双曲映射的p o h m a r 回复 第一章引言 对于排斥子，b a r r e i r a ，s a u s s o l 在【4 中也得到了相关的结论。 定义13 ：设丁：m - 是光滑流形上的可微映射紧的丁不变的集 xc ”称为是7 1 的排斥子，如果存在常值c 0 及卢 1 使得对任意的 n o ，xex 和 e 瓦m 有 也丁“”f2 够“ 由微分动力系统可知，双曲基本集具有乘积结构，下面我们可以看到 双曲基本集的回复也具有乘积结构 设t ：m _ m 是cz 微分同胚，xcm 是紧的双曲集。这里我们假 设x 是局部最大的，也就是说存在开邻域u 3 x 使得x = n 。t n u 。我 们考虑3 7 x 关于e ( 充分小) 的局部稳定流形和局部不稳定流形： ? ( z ) = 口m ：d ( j p 。，j r “) o ) v ? ( z ) = y m ：d ( 丁”茹，2 ”) 0 s t 对任意的z ，y x ，当d ( x ，y ) 6 时w ( 茁) n w ( 9 ) 包含且只包含一点 因此，我们可以定义如下的映射： 【，1 ： ( z ，y ) xxx ：d ( z ，y ) sd ) - m ， z ，y 】= 1 ，? ( z ) np ( ) 对每个p 6 定义。x 的稳定和不稳定流形上的返回时间： ( z ，p ) = i n f n 0 ：d ( t x ，z ) p ，d 。( 扛，t - n z 】，z ) 0 ：d ( t ”z ，。) p ，d 。( i t “z ，。 ，z ) o 都存在集合ycx 满足u ( y ) u ( x ) 一6s t 对任意的。y 当r 充分小时 一丽秽锯高丽圹4 定理1 7 ：对于拓扑混合的c t 一微分同胚的局部极大紧双曲集x ，如果测度 p 是一个h o l d e r 连续函数的支撵在x 上的平衡态测度，则对p a e 。x 存在p ( ? ) 0s t 对0 0s t 当 0 r r ( x ，n e ) 时 ， 0 ：( i n + l ，i n + k ) = ( i l ，“) ) ， ) = i n f n 0 ：( g n - k ，_ z - n - 1 ) = ( 幽，i 1 ) ) ， 仅) = i n f n 0 ：( i n - k ，i n + k ) = ( i - k ，“) ) 由上面的两个定理可知，对卢一a , e u ，给定e 0 ，当k 充分大时 e - 船s 寸( u ) 霄( u ) n ( u ) e 艇 总的来说，到目前为止对于p o i n e a r 回复的研究还是主要集中在符号 空间，双曲不变集以及排斥子上 在这篇文章中我们主要讨论了两个非一致双曲映射的p o i n c a r 回复性 质在文章的第二章我们考虑著名的二维l o r e n z 映射众所周知，l o r e n z 方程： 士= 一盯2 + a y = 一盘z + 憎一y ， j = x y b z 7 二维非一致双曲映射的p o i n c a r 6 回复 第一章引言 具有混沌性的微分方程利用p o i n c a r 6 截面，我们就可以得到一个( 0 ，1j 。 上离散的时间动力系统，并称之为l o r e n z 映射。 我们都知道l o r e n z 映射具有奇性，并且它与映射f ( 。，y ) 具有相同的 定量性质。这里f ( z ，y ) = ( r ( z ) ，口( z ，) ) ，其中对每个z 0 ，1 】，9 ( z ，y ) ： f o ，1 】_ 【o ，1 】是压缩的，t ：【0 ，1 】一f o ，1 】是具有两个单调区间的分段严格 递增。对于熵非零的遍历测度，我们也得到了它的回复率与熵，l y a p u n o v 指数以及维数之间的关系。 第三章我们讨论了l a u w e r i e r 映射的s b r 测度的p o i n c a r 6 回复性质。 我们也得到了它的回复率与点维数之间的关系 8 二维非一致双曲映射的p o i a c a r 6 回复 第二章l o r e n z 映射的p o i n c a r 回复 第二章l o r e n z 映射的p o i n c a r 6 回复 2 1 基本概念 首先我们要给出l o r e n z 映射更一般的定义。 定义2 ，l ( 【1 5 ) ：映射f ：【0 ，1 1 2 ( 0 ，1 ) 称为一个二维l o r e n z 映射，若 f ( z ，y ) = ( r ( z ) ，g ( x ，) ) 满足： ( 1 ) t ：1 0 ，1 】 【0 ，1 】是分段单调的，即存在c t 0 ，1 并且0 = 内 c n = 1 使得tk 。，) 是连续的且严格单调，其中0si n 。 ( 2 ) 9 - ) ：f 0 ，1 】_ ( 0 ，1 ) 在p x 【0 ，1 1 上是c 1 的，其中p = 【0 ，1 u 岂q 。 进一步我们假设s u po g o yi ：= 0 ( 3 ) f ( ( q ，c i + 1 ) 0 ，1 】) n f ( c j ，c j + 1 ) 1 0 ，l 】) = 0 ，其中i ，j 互不相同且 0 i ，j 0 ：p 限( x ) ) n 耳( x ) 町 口 二维非致双曲映射的p o i n c a r 6 回复 第二章l o r e n z 映射的p o i n e a r 回复 - ( x ) ：= m i n n 0 ：f “( x ) b ，( x ) ) 其中r ( b r ( x ) ) 是集合耳( x ) 的可能返回的最小时间，- ( x ) 是x 的正向轨迹 第一次返回日( x ) 的时间设x = n 。，of 8 1 1 e 易见f 是x 上的双射。 我们设z j = v 坠一f 。z = n 墨一ff 1 z 0 ：互e z ) ，且z = z o ，i f = z 。 这三个集族均为x 的分解。对于给定的x x 我们将分解z “，z ，及k 中 包含x 唯一元素分别记为玩t ( x ) ，五( x ) ，和 f x ) 。 定义2 。3 ：若对于任意的x y x ，存在n 0 使得磊，。( x ) n 磊，。( y ) = 0 ， 我们称z 是二维l o r e n z 映射的双边生成分解。 注【2 2 】：若v 是【0 ，l 】上的生成分解，那么z 一定是【0 ，1 z 上的双边生成分 解 定义2 4 1 2 2 1 ：若m 是 0 ，1 j 或f 0 ，l j 2 上的概率测度，p 是由有限或可数个互 不相交的开集组成的集族，m ( 乩。p p ) = 1 ，我们称p 为m 一分解 定义2 5 ：对映射，：f 0 ，l 】。r 及p 0 我们定义，的p 一变差为 v 一1 ”( ”= s u p i ，+ ，) 一，( 也) n l = 】 这里的上界是取遍所有有限的有序点列0 $ 。 z 。 0 使得当知 2 ，z l ，瓢x ，v a l 6 i a 2 6 2 0 ：f ( x ) z n ，o ( x ) 也( x ，z ) = i n f k 0 ：f f f x ) z o ，。( x ) ) 对于z 是有限分解的情况，o r n s t e i n 和w e i s s 得到如下的结论： 引理2 2 ： 1 s 】设p 是1 0 ，1 2 上的一个f 一不变概率测度如果z 是有限分 解并且( f 1z ) 0 ，则对p n e x o ，1 2 ( 1 ) j i 骢掣：h u ( f , z )n _ + o o 佗 ( 2 ) l i m 幽挲塑：h g ( f , z ) 、n - - 0 6 们 引理2 2 并没有告诉我们，当z 是可数分解时结论是否正确在下面 的定理中，我们将证明，当z 是可数分解时引理2 2 中的结论仍然成立 定理2 3 ：设p 是【0 ，1 】2 上的一个f 一不变概率测度如果z 是可数分解， 并且 口( f 1 z ) 0 ，贝0 弘一口e x 【0 ，1 】2 ( 1 ) j 1 恐l o g l k ( x , z ) ：札( 只z ) ， n _ + 竹 ( 2 ) l i m 掣：h u ( f , z ) 、t 1 - - 0 0 礼 证明：我们首先证明公式( 1 ) 成立不失一般性，我们设z = 蜀，而，) 设z ( ) = 互，历，孙“霸) ，其中氨= u 墨 r 五因此z ( ) 是一个 有限分解，且易见z ( 1 _ z ( - z ( 。+ 1 ， z ( 。 z ) ，取c o 使得“( f i z ) 0p n 一1 ( n 罂o t 一p ) 上的双射，则 肛( d ) 兰e x p ( - c n ) 设= z z 。：g z ) e x p ( 一c 0 竹) ) ，则8 e x p ( c o n ) ，其中1 表 示中元素的个数因而 肛( x ：x f 0 ，1 】2 ，心( x ，z ) e x p ( c n ) ) = 肛( x ：x ( uz ) ，k ( x ，z ) e x p ( c n ) ) z 片n + p ( x ：x 0 ，l 】2 ( uz ) ，心( x ，z ) e x p ( m ) ) ) z e h s4 j o e ) c p ( 一饥) 十肛( 【o ，1 1 2 ( uz ) ) z n se x p ( c o c ) n + p ( 【o ，l j 2 ( uz ) ) z e k n 】2 二维非一致双益映射的p o i n c a r 6 固复第二章l g t e f t z 映射的p o i n c a r 6 回复 由s h a n n o n m c m i l l a n b r e i m a n 定理，我们知道当n _ 0 0 时 p ( 【o ，1 2 ( uz ) ) 叶0 z e 片。 因为伽 e x p ( c n ) ) _ 0 这就意味着对p a e x 0 ，1 】2 l i m s u p l o g l ：l a ( x , z ) c n _ + 一n 由于对任意的c h u ( f z ) 上面的不等式总是成立的，从而对p o e x 【0 ，1 】2 l i m s u p l o g p “_ ( x , z ) k z ) ， n _ + o on 因此对弘一8 ，e 。x f 0 ，1 2 ， l i m l o ，g ，i t ( x , z ) ：h u ( f , z ) n - 4 o o 竹 结论( 2 ) 的证明与( 1 ) 的证明类似由于札，z ) = 札( f z ) ，只需要 对f 一1 应用s h a n n o n - m c m i l l a n b r e i m a n 定理，我们就可以完成( 2 ) 的证明 设 ，m ( x ，z ) = i n f k 0 ：f ( x ) 磊m ( x ) ) 命题2 4 ：设肛是【o ，l 】2 上的一个f 一不变概率测度如果z 是一个有限 或可数的分解，且札( f z ) 0 ，则对卢一a , e x 【0 ，l 】2 ， l i r a l o g r _ r , , m ( x 一, z ) ：h u ( f , z ) n ，m _ + o 。 扎十m 证明：由z 。的定义，可知p 磊，。( x ) = 疡，n 十m ( f ”x ) 令t = 凡，m ( ) c ，z ) ， 因此p ( x ) 磊。( x ) ，且p ( f 。x ) p z n ，。( x ) = 蜀, n - l - m ( p x ) 也就是说 f t ( p ( x ) ) z 0 , n q - r n ( p x ) 根据定义，可以得到 屯+ m ( p x ，z ) t = k ，。( x ，z ) 1 3 二维菲一致双曲映射的p o i n c a r 6 回复 第二章l o r e n z 映射的p o l n c a “回复 另一方面，我们知道f ”磊+ 删( f 一“x ) = 磊。( x ) 如果y f o ，i 严，满足 f ”( y ) = x ，那么有f “磊+ 卿( y ) = 乙，。( x ) 令r = 心+ 。( y ，z ) ，则f l ，( y ) 磊+ 。，o ( y ) ，因而f 。( x ) = f ”( y ) f ”磊- i - m , o ( y ) = 磊，。( x ) 。我们能得到 ，m ( x ，z ) t = r 。+ m ( y ，z ) 利用引理2 2 和定理2 3 ，就得到对p 一0 e x f 0 ，1 】2 ， 。譬基挈：( 只z ) n m o 。0n + m 7 2 3l o r e n z 映射的p o i n c a r 回复 由【0 ，1 】2 上的遍历的f 一不变概率测度肛，我们可以定义一个l o ，1 1 上的测度p ，使得对任意b o r d 集a 0 ，1 j ，加( a ) = p ( n 一1 a ) 。那么如 是 o ，1 】上的遍历的丁一不变概率测度，并且札( f ) = 。( 刃 命题2 5 ：( f 2 2 ) 设f 是二维l o r e n z 映射，肛是【0 1 l 】2 上的一个遍历的f 一 不变概率测度且k ( f ) 0 并且对某个p 0 ，i i t l 是p 一有界变差， 剐对任意的 0 ，存在f o ，1 j 的加一分解u ，u 是分解v 的加细，并且 满足对所有的u u s u pf 妒( x ) 一妒( y ) f 0 ：f 。( x ) 。( x ) ) 由定义，我们知道k ，。( x ) w 。( x ) 磊，。( x ) 。因而 心，。( x ，z ) s ，。( x ，y ) s 心，。( x ，y ) 又因为分解z 是生成分解，分解y 是分解z 的加细，所以有h u ( f 1 z ) = ( 只y ) = “( f ) 对分解z 和分解y ，由命题2 4 我们得到对p n e x o ，1 2 。1 7 i l m - - k 0 0 警n = w ) ，+ m lim警=hu(f)。ttl-400 札+ m 因而对芦一a e x f o ，1 j 2 lim警=hu(f)fljytl-，dd 竹+ m 我们将区间a 的边界记为a a ，定义 磁( x ) = f n y d x ) l ； = d i s t ( i x ，加k ( x ) ) ； 科( x ) = i ( x ) n 。； d ，( x ) = d i s t ( x ，o ( s t ( x ) n 叫l i x ) 命题2 6 ：( 2 2 d 设f 是二维l o r e n z 映射，p 是f 0 ，1 】2 上的一个遍历的f 一不变概率测度且( f ) 0 。假设分解v 是生成分解，f 妒d g z o o ， 0 0 都存在正的 常值c - ，c 2 ，c 3 ，正整数岛和集合a 。满足u ( a 。) = 1 ，使得对任意的 1 5 二维非一致双曲映射的p o i n c a r 6 回复第二章w e n 。映射的p o i n e , a r 目复 x 以一2 ( 1 ) 妒d p e 一 l i t r a 。i n f i 11 。g d ：( x ) l i r a 。s 。u p 一莓1l o g d ：( x ) 妒d 肛+ e ， ( 2 ) c d # 一l i m 。i n f i ll 。g ( x ) 1 1 罂p - l o g 雄( x ) 妒d “+ e 1 ( 3 ) j i m - 7 1l o g 研( x ) = c f d t z ， p + o o lj ( 4 ) 觊一1 0 9 群( x ) 2 妒犁， ( 5 ) 女熄一南j o g , ( y l 舡) ) 2 ( ，) ， ( 6 ) 当k 七o ，并且女，z 使得c 1 聊( x ) r 时，b r ( x ) c 。( x ) 关于二维l o r e n z 映射的p o i n c a r 6 回复，我们得到了下面的结论即下 面的定理2 7 ，定理2 9 定理2 7 给出了l o r e n z 映射的p o i n c a r 回复与 l y a p u n o v 指数之间的关系。定理2 , 9 给出了l o r e n z 映射的p o i n c a r 6 回复与 测度熵及l y a p u n o v 指数之间的关系 定理2 7 ：设f 是二维l o r e n z 映射，p 是【0 ，1 】2 上的一个遍历的f 一不变概 率测度且札( f ) 0 假设分解v 是生成分解，l p 咖 o 。，0 0 由命题2 6 知，存在一个集合a 且卢( a 。) = 1 ，使得对 任意的x a 。，存在k 0 ，l 0 满足当女k ，t 时 一 ! j 一一， l o g 嚷( x ) 2 ，妒舡” 一l 、l 一， l o g c s 硝( x ) 二。几口咖、 由于v 是生成分解，则( 喉( x ) ) 0 是递减的 由于9 在每个竖直方向是压缩的，则( 砰( x ) ) l 0 也是递减 因而对任意小的r 0 都存在确定的k ( r ) 和z ( r ) 使得 嚷，) + l ( x ) sr 1 因此对肛一口e x a 。，我们有 t 哮r 等志志一 令b = n 。2 。a ，贝0 肛( b ) = 1 且对肛一。，e x b ， t 哮r 掣o g r 志，p a , a + 志 r _ o ijj 妒d 口 推论2 8 ：在定理2 7 的假设下，若另外t 是分段m a r k o v 扩张的。则 l i m r - c o 等= 志+ 志 一l o g rj 妒d “j 妒d p 证明：不失一般性，我们设r 是拓扑混合的对任意的e 0 都存在满 足命题2 5 的分解u 如果分解v 是关于t 的m 酊k o v 分解，则易见当 1 7 二维非一致双曲映射的p o i n c a r 6 回复第二章l o r e n z 映射的p o i n c a r 6 回复 p 取得充分大时，分解u ：= v ，= v 盘t “z 是分解u 的加细。因此分解 u 也同样具有命题2 5 的性质此外，u = v ，仍然是m a r k o v 分解设 y = 1 u 7 ，由于9 ( ”) ：【0 ，1 】- ( 0 ，1 ) 对每个茁f 0 ，1 】都是压缩的，则y 是 f 0 ，l 】2 上的m a r k o v 分解，因此它具有s p e c i f i c a t i o n 性质由引理2 1 知，对 弘一a , e x f 0 ，1 2 l i ms u p 删 0 假设分解v 是生成分篇，妒如 0 0 ， 0 0 由命题2 6 知，存在一个集合a 且_ ( a 。) = 1 ，使得对 任意的x a 。，存在k 0 ，l 0 满足当k ，l l 时 k 1 一l o g d f ( x ) 之而 一l o g v a 矸( x ) 兰丽一， l o g e 2 d i ( x ) s 丽+ 1 一l o g e l d ( x ) s 丽+ 由于v 是生成分解，则( ( x ) ) t o 是递减的由于g 在每个竖直方向是压 缩的，则( 砰( x ) ) l o 也是递减因而对任意小的r 0 都存在确定的( r ) 和 z ( r ) 使得 嚷，) + 1 ( ) 【) sr 0 也是递减对任意的r 0 我们可以 取充分大的k i ( r ) ，f ，( r ) 使得 c 2 d 蚤( r 】( x ) r c 2 d 暑( ，) 一l ( x ) c l d , ( ，) ( x ) 0 假设分解v 是生成分解，p 咖 o o ，0 f c d # 0 ， 1 1 t i 是p 一有界变差的，则对p a e x 【0 ，l 】2 l i m n 尝：d i m h ( p ) r 0 一1 0 9 r 证明；以叱( x ) 记为测度卢在点x 【0 ，1 2 的局部维数t s t e i n b e r g e r 在【2 2 证明了对弘一口息x 【0 ，l 】2 有 叱( x ) _ ( f ) ( 志+ 志) 再由l s y o u n g 在f 2 5 j 的结果，我们有对弘一们x 【0 ，i 2 ， d i m h ( # ) = 叱( x ) 由定理2 9 ，我们立即就能得到，对卢一a e x 【0 ，1 1 2 ， 1 吨粤：d i m h ( p ) r o 1 0 9 r 、 二维非一致双曲映射的p o i a c a r 回复第三章l a u w e r i e r 映射的p o i n c a r 回复 第三章l a u w e r i e r 映射的p o i n c a r 6 回复 在这章中，我们主要讨论l a u w e r i e r 映射的p o i n c a r d 回复性质。我们 首先给出一些基本定义和结论。 l a u w e r i e r 映射定义为：t ( x ，y ) = ( h ( z ，) ，f ( ) ) ：0 ，l j 2 _ 【0 ，l j 2 ，其中 h ( x ，y ) = b x ( 1 2 y ) + y ，0 b 0 ：扩( 9 ) ，) 。令 z a ( k ) ：= 0 ； z x ( k l i ，k ) ：= a ( k 1 ) i - i ng 一( ”1 ) ( k ) 由定义即有： 1 ) a (