（应用数学专业论文）亚式期权定价的偏微分方程方法和概率方法.pdf

摘要 y7 8 0 3 1 5 在近五位诺贝尔经济学奖获得者的模型c a p m 和a p t 的基础上，复杂的数 学工具进入到金融领域。1 9 7 3 年是具有非凡意义的一年，b l a c k a n s c h o l e s 发表了 获得1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖的期权定价的文章，同年芝加哥证券交易所开始期 权交易。这引发了金融学术上最根本性的创新，和华尔街的革命，其变革的核 心是资产定价，包括期权定价和利率模型。 亚式期权是路径依赖的复杂期权，它的价值依赖于标的资产在一定时期内 的平均值。因为首先在日本东京引进，故得名亚式期权。学术上第一次讨论亚 式期权是b o y l ea n de m a n u e l ( 1 9 8 0 ) 。v o r s t ( 1 9 9 6 ) 做了研究亚式期权的综述。 本文首先叙述了亚式期权定价的偏微分方程方法和概率方法，其中已知 的p d e 方法主要是j i a n g ( 2 0 0 3 ) 的结果。我们考虑了更实际的条件，即在随机利 率下亚式期权的定价。特别地，首先利用h o - l e e 随机利率模型，利用偏微分方 程方法给出了定价模型，利用概率方法给出了浮动和固定价格亚式期权的闭形 式的解。通过引进新的形式和不等式，我们独立的给出了浮动和固定价格亚式 期权的统一的解。最后得出相应的看涨看跌平价公式。 关键词：亚式期权，h o - l e e 随机利率模型 a b s t r a c t o nt h eb a s i so fn e a r l yf i v en o b e lp r i z ew i n n e r s w o r k s u c ha sc a p ma n d a p t ，v e r yt e c h n i c a lm a t h e m a t i c a lt o o l sc o m ei n t ot h ef i e l do ff i n a n c i a lw o r l d 1 9 7 3i sav e r ym e a n i n g f u ly e a r ，b l a c ka n ds c h o l e sp u b l i s h e dt h e i rp a p e ro fo p t i o n p r i c i n gw h i c hw o nt h en o b e lp r i z e ，a tt h es a g n ey e a r ，c h i c a g os t o c ke x c h a n g e o p e n st h eo p t i o nt r a d e t h e s es t a r t e dt h em o s ti m p o r t a n ti n n o v a t i o n a n dt h e r e v o l u t i o no fw a l ls t r e e tt h ee s s e n c eo ft h er e v o l u t i o ni sa s s e tp r i c i n g ，i n c l u d i n g o p t i o np r i c i n ga n di n t e r e s tr a t em o d e l l i n g a s i a no p t i o n sa r ep a t h - d e p e n d e n te x o t i co p t i o n s ，t h e i rv a l u e sd e p e n do n t h ea v e r a g ev a l u eo ft h eo r i g i n a la s s e t si nt h ep e r i o d sa sf i r s ti n t r o d u c e di n t o k y o ，j a p a n ，t h e yg o tt h en a l n eo fa s i a no p t i o n s t h ef i r s tp a p e rt od i s c u s s a s i a no p t i o n sa c a d e m i c a l l yi sb o y l ea n de m o a m e l ( 1 9 8 0 ) v o r s t ( 1 9 9 6 1h a da r e v i e wo fr e s e a r c hr e s u l t so fa s i a no p t i o n s w ef i r s ts h o wt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm e t h o da n dt h ep r o b a b i l i t y m e t h o dt op r i c ea s i a no p t i o n s t h ep d em e t h o dw h i c hi sk n o w ni sm a l n l yf r o n l j i a n g ( 2 0 0 3 ) w ea r ei n t e r e s t e di nt h em o r er e a l i s t i cc o n d i t i o n ，w h i c hi st h ep r i c i n g f o r m u l af o rg e o m e t r i ca s i a no p t i o n su n d e rs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e s s p e c i f i c a l l y , w ef i r s t l yu s et h eh o - l e em o d e lo fi n s t a n t a n e o u si n t e r e s tr a t e w ea s ep d e m e t h o dt og i v et h ep r i c i n gm o d e l ，a n du s ep r o b a b i l i t ym e t h o dt og i v eac l o s e d f o r ms o l u t i o no ff l o a t i n ga n df i x e ds t r i k ea s i a no p t i o n s t h r o u g hi n t r o d u c i n ga n c vf o r ma n da ni n e q u a l i t y , w ei n d e p e n d e n t l yg i v eau n i f o r ms o l u t i o no ff l o a t i n g a n df i x e ds t r i k ea s i a no p t i o n sa tl a s t ，w eg i v et h ec o r r e s p o n d i n g c a l l p u tp a r i t y k e y w o r d s ：a s i a no p t i o n s ，h o - l e es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t em o d e l 目录 0 1 前言 亚式期权在o t c 市场上非常流行，m i l e v s k ya n dp o s n e r ( 1 9 9 8 ) 提到亚式期 权的交易总额达5 0 亿到1 0 0 亿美金之间。亚式期权如此流行有几个原因。第一， 当做长期决策时，投资者更关心这一时期内的平均价格，这使得亚式期权成为 最自然的风险管理工具。其次，亚式期权的价值基本上低于标准期权，因为平 均价格的波动率低于价格的波动率。第三个原因在于，大的市场参与者有可能 在某个特定时间操纵某个商品的价格，但是要操纵一段时间内的平均价格就比 较难。 由于非常流行，亚式期权的精确定价是个重要的并且很实际的问 题，但是困难在于它是路径依赖的。亚式期权在某个时问点的价格是标 的资产在该时刻价格和标的资产到该时刻的平均价格的函数。对于算术 亚式期权，寻求显式表达式的任务显得异常困难，因为对数正态随机变 量的算术平均的分布不是显式的。曾有几种不同的方法先后提出。第一 种利用几何平均的分布来近似算术平均：j a r r o wa n dr u d d ( 1 9 8 2 1 ，t m n b u l l a n dw a k e m a n ( 1 9 9 1 ) ，l e v y ( 1 9 9 2 ) ，z h a n g ( 1 9 9 6 ) 。第二类利用m o n t ec a r l o 模 拟：k e m n aa n d v o r s t ( 1 9 9 0 1 ，b o y l e ，b r o a d i e a n dc l a s s e r m a n ( 1 9 9 7 ) ，p u ，m a d a n a n dw a n g ( 1 9 9 8 ) 。第三类利用偏微分方程数值解：r o g e r sa n ds h i ( 1 9 9 5 ) 。对于 几何亚式期权，可以得到其闭形式的解，关键在于对数正态随机变量的几何平 均仍然是对数正态分布的。z h a n g ( 1 9 9 6 ) 利用泰勒展开，从几何亚式期权得到算 术亚式期权的一个近似。 第一章偏微分方程方法 1 1 模型的准备 亚式期权到期目的收益依赖于有效期内标的资产的平均价格。用表示 股票价格，以表示路径变量。算术平均是以= s ，d ：- ，几何平均是五一 e x p ( 露i n s ，d v ) 。 到期日的收益有两种，以看涨期权为例，分别是固定敲定价格( 山一k ) + 和 浮动敲定价格( 一以) + 。 下面建立亚式期权的定价模型。此部分偏微分方程的方法主要是j i a n g ( 2 0 0 3 ) 的 结果。 设亚式期权定价是 v = y ( & ，以，t ) 做投资组合 = y ( s t ，以，t ) 一a s 选取，使得在( t ，t + a t ) 是无风险的，即 d h = r i i d t r ( v a s ) d t 利用i t o 公式，有 d i i = d y a d s = ( 瓦o v + j 1 2 2 0 a 2 剖v 出+ 丽o v 槲+ 丽o v d j 一d s = ( 罾+ ；一2 s 2 丽0 2 v + 丽o v 面d j ) 砒+ ( 丽o v 一) d s 取 一a y “一8 s 所以定价公式为 瓦o v + 丽o v 面d j 础+ - - ；o 6 z6 z 器+ r s 等一r v = 0否f + 百了面础+ 2 否万+ s 否可一 2 第一章偏微分方程方法 3 在算术平均情况下， 泸弧s ，打 一djr：兰(&一以)dtt 、一w 在几何平均情况下， 以= 吲抬删r ) 警圳坠半) 所以我们得到算术平均亚式期权的定价模型，即存定解区域 o s o o ，0 茎 j 。，0 t 丁 上求解定解问题： 差+ 竿筹+ ；一2 s 2 警+ r s 丽8 v r y = 。 ， 终值条件为：对于固定敲定价格的看涨期权， v ( s ，z t ) = ( d k ) + 对于固定敲定价格的看跌期权， v ( s ，正t ) = ( 一j ) + 对于浮动敲定价格的看涨期权， v ( s ，工t ) = ( s j ) + 对于浮动敲定价格的看跌期权， v ( s ，以t ) = ( ，一s ) + 几何亚式期权的定价模型，即在定解区域 o s 0 0 ，0 j 。，0 t t ) 上求解定解问题： 型+jtlns-inj丽ov+；一2s2翥+rs丽ovot r v = o ( 1 2 ) 十广石了+ 互盯j 否万+ 7 。否互一r v = u 【1 纠 第一章偏微分方程方法4 终值条件为：对于固定敲定价格的看涨期权 v ( s ，z t ) = ( j k ) + 对于固定敲定价格的看跌期权， v ( s ，z t ) = ( 一，) + 对于浮动敲定价格的看涨期权， v ( s ，z t ) = ( s 一，) + 对于浮动敲定价格的看跌期权， v ( s ，z t ) = ( j s ) + 上述方程都是包括三个变量的超抛物方程。下面引进适当的组合白变量，把他 们化为一维问题。但只有几何平均亚式期权的定价可以得到显式表达式。以下 我们只讨论看涨期权的情形，看跌期权的定价可由最后的看涨一看跌平价公式可 得。 1 2模型简化与定价公式 f a )固定敲定价格的算术平均亚式期权： 令 f ：t k - t j 、 s 矿：婴 。 在此变量替换下，有 a y s ，o uo u ，j 、， 否f 2 亍l 百f + 否丁( 一j ) j c o v s a u ，t 、 8 jt8 js 。 0 y矿 丽2j ；+ a 2 v2o u ，t j t k 、s o s 22 亍瓦( 百r 一) + 亍 ) 2 2 s ( t j - ) 。t k )竽销 濮爱 第一章偏微分方程方法5 代入到( 1 1 ) ，得到 瓦o u 岬1 弩器一 ( ( 7 2j - r 灿1 甏 以及终值条件： u l 。：r = ；y 。：r = ；( c ，一) + 一( 一。+ 这就转化为存区域 r ，0 t t ) 求解一维抛物方程的c a u c h y 问题。 ( b )浮动敲定价格的算术平均亚式期权： 令 s = 善 v = s u 在此变量替换下，有 豢叫一o u + a u 。j ) o t j 1 a t 。 口 o o v 一+ 塑 o j 一。a 菇= us o 淡u 、- t j 0s 2 )s菠、 一0 2 v q 塑r 型、2 o s 2 一“砸2 、s 2 代入到( 1 1 ) ，得到 瓦o u + 1 两0 2 u 邓叫) 罢= 。瓦+ 芦。砸一( 1 7 ) 瓦2 o 以及终值条件： 矿恼= i 1 v 恼= ( 1 一面t j ) + ia = t = ( 1 一事) + 这就转化为在区域代r ，0 t t ) 求解。 ( c )固定敲定价格的几何平均亚式期权定价公式： 令 ：t l n j + ( t 鬲- 一t ) i n s 第一章偏微分方程方法6 v = u 【 ，t ) 在此变量替换下，有 差= 瓦o u + 瓦o u ( 丁l n j 一下l n s ) 疣优。次、丁t 7 一o v o j 一筹( 南)8 e 、t j 丽o v = 瓦o u ( 了t - 丁t )丽2 瓦l 了丁j 0 2 vt t o u ，t t 、2 0 2 u o s 2 i 歹页+ ( i r ) 硒 代f 1 至l j ( 1 2 1 ，得到 面o u 印12 ( 竿) 2 筹+ ( r 一轫竿) 器训= 。 以及终值条件： 矿l ：? = v l - r = ( ，一) + l 亡= t = ( e x p ( ( ) 一r ) + 这就转化为在区域 r ，0st r 求解c a u c h y f j j 。令 w = u e x p ( z ( t ) ) 町= + o ( t ) r = 7 ( ) 代入得到 州嘧) o w + 缸竿) 2 0 钟2 w + 【( r - 1 固( 竿州纠筹_ ( r 堋渺= 。 取 ( r 一飘竿) 州= o r + 卢似) = 0 7 巾) 一一( 旱) 2 以及终值条件： o f 丁) = z ( t ) = ，y f 丁) = 0 第一章偏微分方程方法7 解之得到 a ( ) ：而1 ( r 一；一z ) 口一t ) 。 z ( t ) = 7 ( 丁一t ) ，y ( f ) = 矛1 、t 一) 3 所以定解问题转化为热传导方程的c a u c h y 问题： 其解为p o i s s o n 公式 o w12 a 2 w 百一互旷丽3 o 彤0 ) = ( e x p ( q ) 一) + 嘶，r ) = 志仁山卜k ) + e x p ( 一譬油 回到原变量，得 其中 y ( s 正) = ( ，s 丁一) 士e z p 妒+ ；) ( 丁一t ) n ( j j k n ( d 2 ) 五：坐1 j t 鼍s t - i 等掣 画= 五一矛v t - t f = ( r - i 1 口2 ) 百t - t 矛：掣 v 3 7 f d ) 浮动敲定价格的几何平均亚式期权定价公式： 今 茹= f n s t l n j + f t t ) l n s y 。二i 鬲。 v = u ( x ，y ，t ) 第一章偏微分方程方法 8 在此变量替换下，有 筹+ 扫竿) 2 丽0 2 u ( t 。- t ) 0 2 u ，+ ；一2 面0 2 u + ( r 一新( 竿) 筹+ o 。u 删= 。瓦+ 百。( - 亍一) 百万+ 4 o z c ，+ j 4 否歹+ ( r 一互。) 【( fj 万+ 一”u2 o 或 瓦o u + 互1 2 ( 丁t - t 面o + 。2 u + ( r 一互1 r ) t 。- t ) 。o i + 未】u r u = 。 以及终值条件： u i b t = ( e x p ( x ) 一e 印( ) ) + ；v o ( x ，y ) 这就转化为在区域 ( z ，y ) r 2 ，0 t t ) 求解c a u c l y 问题。 f o u r i e r 变换来 求解此c a u c h y 问题。令 弧q ，) ：厂。厂u ( 砌，) e 印眦酬捌 对原方程两边做f o u r i e r 变换，从而得到秒作为t 的函数适合的常微分方程，f ，叩作 为参数： 譬一缸竽州) 2 ( r 7 1 。) ( 竿州肛肌。 对初始条件做f o u r i e r 变换，得 u ( t ) = ( f ，q ) 解上述常微分方程初值问题，得 d ( ，q ，t ) = 玩( f ，q ) e 印【( d 1 2 + 2 d 2 口+ d 3 叩2 ) + i ( d 4 + d 5 q ) 一d 6 其中， d l = ；口2 ( t t ) 如可12 掣 第一章偏微分方程方法 如= ；盯。警 d 。= ( r 一；盯z ) ( t 一) 虹r - 匆掣 d 6 = r ( t t ) 再对解求逆变换，得 r 。r 。 矿扛，9 ，) = ( o ，p ) g ( 。一。，一3 ) d c * d 3 其中 、 砜( 血，p ) = ( e x p ( a ) 一e 3 妒( 卢) ) + c ( x ，y ) = 赤仁计( d 1 2 + 2 d 2 ”骈( 蝌锄川6 e 州球m 别蛐 为了计算此式，对积分换元 f ：去( + 日) 、一以石“ ”：导( 一日) ”2 丽k 一训 计算 嗽2 + 2 蜥+ 如q 2 = 扣+ 日) 2 + ( 一日) 2 + 丽2 d 2 铲( ；一搠 - ( 1 + 志) p + ( 1 一志阡 m = 丽1 唧( 圳涮_ ( 1 + 丽d 2 ) _ 2 州d 何4 + x + d 删5 + 。y 培f d 第一章偏微分方程方法 1 0 仁唧f - ( - 一志肌2z 。, 面d 4 + x 一岩懒 = 丽。x p 丽( - d o ) 计簪筹一等等j 代回原变量，得最终表达式 v ( s ，t ) = s k z p 一r ( t t ) l n ( 一9 2 ) 一l ，亭s 2 争e 印( 9 0 ) ( 一9 1 ) 】 其中 册_ ( r 印1 。) 譬；a z 簪 ( r + 新t 2 _ t 2 ) + ：a 2 t t a _ t 3 1 3 看涨一看跌平价公式 f a )固定敲定价格算术平均亚式期权的看涨一看跌平价公式： 设e ( s ，z t ) 与p ( s ，z t ) 分别为亚式看涨和看跌期权的价格，令 w ( s ，z t ) = c ( s ，z f ) 一p ( s ， t ) 那么在区域 o s o ( 3 ，0 j o ( 3 ，0 t t ) 一k w 满足 警+ 孚箬+ 二；g x s 2 等+ r s 箬一r = 。 。， 百+ 丁丽+ 2丽+ r s 丽一r w = o ( 1 却 w 7 l 口t = ( j 一) + 一( k j ) + = j k 与第二节f a ) 取同样的变量替换，得 以及终值条件 瓦o u + 扩1 2 硒0 2 uw + r ) 器 矿( ：t ) = ( 一) 笙二童堡垡坌互堡查鲨旦 设u ( ，丁) = o ( t ) f + b ( 亡) 代入，比较系数得 6 ，( ) 一o ( f ) h - b ( t ) 0 2 = 0 ( t ) = - 1 ，b ( t ) = 0 解得 a ( t ) = 一e x p 一r ( f f ) 1 6 ( t ) = 未蛔 一r ( t 一) 卜e x p o - 2 ( t 一。) 代回原变量，可得 c ( s ，j ，t ) 一p ( s ，t ，t ) = ；a ( ) + 6 ( t ) ：【；l ，一斋硒一k j e 井咿_ f ) 】啊矗斋唧【以丁_ 叫1 f b 、浮动敲定价格算术平均亚式期权的看涨一看跌平价公式： 设e ( s ，zt ) - 与p ( s ，一) 分别为亚式看涨和看跌期权的价格，令 w ( s ，z t ) = c ( s ，z t ) 一p ( s ，j ，t ) 那么在区域f o s 。，0 j 。，0 t r ) 上满足( 1 3 ) 以及终值条件 w i b t = ( s j ) + 一( l ，一s ) + = s j 与第二节f b ) 取同样的变量替换，得 面l ) u 耳12 2 砸o z u _ ( 1 叫) 豢= o百f + 互。石f 1 1 7 t ) 刁虿。” 以及终值条件： u i e r = ( 1 一未) 设u ( ，丁) = 。( ) + b ( t ) 代入，比较系数得 n ，( ) 一r a ( t ) = 0 第一章偏微分方程方法1 2 解得 代回原变量，可得 6 ，( f ) 一n ( t ) = 0 。( 丁) = 一喜，6 ( t ) = 1 t ( t o ) 】 - ) 】+ l c ( s ，z t ) 一p ( s ，z t ) = s 。( ) + b ( t ) = ( 一；t ，+ 昙) e 叩h ( ? 叫】+ ( 1 一去) s ( c )固定敲定价格几何平均亚式期权的看涨一看跌平价公式： 设e ( s ，正t ) 与p ( s ，zt ) 分别为亚式看涨和看跌期权的价格，令 w ( s ，正t ) 一c ( s ，以t ) 一p ( s ，z t ) 那么在区域 o s o 。，0 j 。，0st 丁 上满足： t i n s - l n j 丽o w 印12 s 2 器筹一广刁了+ 互盯“6 。丽+ ”j 否可一 i 矿j b t = ( j k ) + 一( k l ，) 一= j k r w = 0 ( 1 4 ) 与第二节( c ) 取同样的变量替换，得 瓦o u + 扩1 ( 竿) 2 两0 2 u + ( r 7 12 ) ( 竿) 筹训：。瓦+ 尹丁) 砸+ ( 7 ) ( 丁瓦一r u 。o 以及终值条件： u i , ：t = ( e 印( f ) 一k ) 设( f ，t ) 一a ( t ) e x p ( ) + b ( t ) 代入，比较系数得 。俅) + 扣丁f - t ) n ( 2 讣( r 一却( 竿) ) 一州牡o 6 沁) 一r b ( t ) = 0 o ( t ) = 1 ，b ( t ) = 一k 扣m 一 印 归。铲 n = 幻 第一章偏微分方程方法 1 3 解得 ) = 唰咖( 丁t - t ) 2 + 学( 竿) - r j 代回原变量，可得 b ( t ) = 一k e x p 一r ( t t ) c ( s ，z t ) 一p ( s ，z t ) = n ( ) e z p ( f ) + b ( t ) 斗卯叫 扣丁t - t ) 2 + 学( 竿 s 孚卅e 计咿叫 ( d )浮动敲定价格几何平均亚式期权的看涨一看跌平价公式： 设c ( s ，正t ) 与p ( s ，z t ) 分别为亚式看涨和看跌期权的价格，令 w t s ，z t ) = c ( s ，z t ) 一p ( s ，z t ) 那么在区域 o s 0 ( 3 ，0 j c o ，0 tst 上满足( 1 4 ) 以及终值条件 h 7 i k t 一( s j ) + 一( j s ) + = s j 与第二节( d ) 取同样的变量替换，得 百o w 哆1 2 c 孚，2 第c 竿，啬+ ；a 2 警竹2 竿，等+ 警卜w = o 以及终值条件： f e t = ( e x p ( x ) 一e 印( ) ) 设矿( ，t ) = a ( t ) e x p ( x ) + 6 ( t ) e z p ( ) 代入，比较系数得 。也) = 0 ) + 轨竿) 2 吣r 一知竿) 6 ( 旷r 6 ( 牡。 a ( t ) = l ，b ( t ) = 1 第一章偏微分方程方法1 4 解得 6 ( ) e 印 + 生掣叫r 叫1 代同原变量，可得 c ( s ，上t ) 一p ( s ：zt ) = a ( t ) e x p ( x ) 十6 ( ) e z p ( ) s - j r s t - t 唧 驾 掣一，( r 一) 2 丁 r 。 第二章概率方法 2 1 概率方法推导 股票价格遵从几何布朗运动，即d = ( r 班+ o - d w ) ，那么可推得f n 鼠也是 正态随机过程。即 1 n s t n ( 1 n s o4 - ( r 一；口2 ) 口以) 几何平均是打= e z p ( 亭譬l n s t d t ) ，其中亭j 孑f n s m 是正态分布随机变量。概率 推导由t i l l r n b u l l 在1 9 9 1 年做出。下面求其期望与方差。 豇= e 【妄z t 抽& a t = 李z 7 e i f n & 】a t = ；z 7 口n 岛+ ( r 一；a 2 ) t d t = i n s j + ( r 一；a 2 ) 吾 = 矿n r 弓z 7f n & 矧= j = 1 i e 3 o ti n 出一f o r e f n 鼠吲 2 = 扣n 蜘蜗”7 1 2 m 嘲2 一去e z 7z 7 口n 一l n 岛+ ( r 一互i 一2 ) “】口n s f n 岛+ ( r 一互1 a 2 ) q d u d n i n s t 也是布朗运动，故 i n s t l n s o + ( r i 1 口2 ) ) 也是布朗运动，且有f n 一 l n s o + p 一；一2 ) t n ( o 口以) 令 帆= f 砜一f n 岛竹一；矿) u n ( o ，一面) m = f n & 一f n 岛+ ( r 一； 一n ( o ，一以) 两者均值g n o ，协方差为 e 【f n 鼠一f 礼岛+ ( r 一百1 矿2 ) 词 f 礼s t 一打z 岛+ ( r 一百1 口2 ) t 0 2 m i n ( ，t ) 篁三童矍垩查鲨里 孑= 去j ( 1 产咖踟础 = 凳z 7 t z 。“如+ ，t t d “，出 = 丢触12 州t 叫皿= 扣 由无套利原理，亚式期权( 以固定敲定价格为例) 公平价格为 v ( j , k ，t ) = e 印( 一盯) e ( 了一k ) + = e 印( 一r t ) 厶o o ( z 一) 力( 。) 如 r 其中n ( z ) 表示j 的密度函数。令口= l n x ，则有 f ( z 吲舯= ( 唰沪m 咖) ) e 州肭 沿，。，和，舟 1 分布甬辑分别为日。，f u l 和f ，f ) ，则有 日。j ( g ) = p ( 1 n j ) = p ( j e z p ( f ) ) = 乃( e 印( ) ) 所以 五。j ( ) = ，f 岛j ( ) = j j ( e 。中( f ) ) = ( e z p ( g ) ) e j e p ( ) 所以，j ( e z p ( ) ) e x p ( y ) 是t n j = ff n 班的密度函数。而 f n j = 圭z 7 n s t 疵一( 面，) 所以 所以 腓酬训删沪熹刊玉薏竽1 0 - vw o u f ( z 吲胁肛晨( e 咖) 卅去矧掣舻卜厶 上扛一k ) 扛) 出2 。( e 印o ) 一脚瓦舞8 印【j 铲1 由5 厶一厶 耻酬去唧 掣】d i f = 唧( 乒+ 抄( 坐) 第二章概率方法 1 7 厶：( 旦二坐) o - 此处n ( x ) 表示标准正态分布的累计概率分布函数。 所以 f ( z 卅胁肛唰皿+ ( 掣卜k n ( 半) 将面，于的表达式代入， x - k ) f j ( x ) d x = s o e x p 和譬铲譬铲， 所以 y ( zk ，t ) 一e x p ( 一r t ) z ( j 一) + = e x p (，丁t ) ( z k ) f j ( x ) d x k = 岛e 叩f _ 吾( r + 百0 - 2 ) | ( d 1 ) 一k e 印( 一r 了1 ) ( d 2 ) 虻蝗i 坠鱼 a 、吾 d 2 ：盟；冬二鱼 a 、吾 第一童中的结巢取t ：0 时刻萁解与此方法本质r 县相同的。 第三章h o - l e e 随机利率模型下的定价 考虑加上一个更9 实际的条件是很有意思的一个问题，即利率不是确定的， 而是随机的。第三部分我们将假设利率遵从h o - l e e 随机摸型的条件下，得到几 何亚式期权的闭形式的解。 3 1 偏微分方程模型 考虑一个证券市场，包含一个风险资产s ( t ) 和一个瞬时利率为r ( t ) 的无风 险资产，见h a r r i s 0 n 和k r e p s ( 1 9 7 9 ) ，h a r r i s o n , l 1 p l i s k a ( 1 9 8 1 ) 。风险资产s ( ) 定义 在概率空问( n ，r ，尸) ，r 表示由s ( t ) 生成的f i l t r a t i o a 我们假没存在一个等价 鞅测度q ，即完备的和无套利市场。我们假设利率服从h o - l e e 随机模型 d r ( t ) = e ( t ) d t + a l d b y ( t )( 3 1 ) 股票价格服从 筹= r ( t ) d t + a 2 d b 2 ( 3 2 ) e ( t ) 为g 1 函数，依赖于时间以口l ，口2 为常数；b ( t ) = ( b 1 ( ) ，岛( t ) ) ，t 0 为标 准二维布朗运动。 亚式期权到期日的收益依赖于有效期内标的资产的平均价格。用& 表示 股票价格，以表示路径变量。算术平均是五= 片鼻打，几何平均是五= e 印( l n s ，d t ) 。 到期日的收益有两种，以看涨期权为例，分别是固定敲定价格( 正一k ) + 和 浮动敲定价格( & 一正) + 。 下面建立随机利率下亚式期权的定价模型。 设亚式期权定价是 v = y ( & ，以，r t ，t ) 做投资组合 i i = y ( s ，五，n ，t ) 一a s 第三章1 4 0 l e e 随机利率模型下的定价 1 9 选取，使得1 1 在( t ，t + t ) 是无风险的，即 d h = r i i d t = r f y a $ ) d t 利用i t o 公式，碉 d h = d v a d s = ( 豢+ ；以s 2 蒜+ 扫。两o e v 膨+ 筹d s + 万o v 村+ o 撕v e r 一d s = ( 面o v + 互1 一罗丽o a v + j 1 一；豢+ 筹等+ 丽o v 面d r 础+ ( 筹一 取 = 筹 所以定价公式为 瓦o v + 丽o v 面d j 出+ 百o v e 出+ 扛s 2 丽c 9 2 v + 12 萨0 2 v + r s 筹一r y = 。 存算术甲均情况下， 泸媳s t 打 坚：!(s一。)dtt 、。， 在几何平均情况下， 以= e 印( 甜蜊r ) 警刊坠) 所以我们得到算术平均亚式期权的定价模型即在定解区域 o s c o ，0 。， o 。0 t 。0 0 t t le 求解定解问题： 罾+ 竿舅+ 警e 出+ 扫s 2 面0 2 v + 扫豢+ r s 等一r y = 。 终值条件为：对于固定敲定价格的看涨期权， v ( s ，工t ) = ( j k ) + 第三章h o l e e 随机利率模型下的定价 对于固定敲定价格的看跌期权， v ( s ，z t ) = ( k 一| ，) + 对于浮动敲定价格的看涨期权， v ( s ，只t ) = ( s 一，) + 对于浮动敲定价格的看跌期权， v ( s ，一t ) = ( j s ) + 几何亚式期权的定价模型，即在定解区域 o s o 。，0sj l n 面k 2 一岛 w h e n 尬= 0 ， 下( ，( s ，丁) 一 ( s ，t ) ) d b t ( s ) + z 7 ( g ( s ，t ) 一观) d 岛( s ) i n 鬻+ a q j l a ；( t 一) 这两个不等式可以综合为一个不等式： z 7 ( ，( s ，t ) 一凰 ( s ，t ) ) d b 。( s ) + ，7 ( 9 ( s ，丁) 一k ，观) d b 。( s ) l n 丝学一互1 k t 谚( r 一。+ g t q 所以，我们有 = ，7 佃一 ，) + 几s ，) - - k l o 2 d t k l h ( st ) ) d b l ( s t k l a 2 ) d b 2 ( s j t ) 二 ( ，( s ，) 一，) + ( g ( s ，) j t l i l 半一；虬一；( t t ) + k - e z q ) 所以， 点 ) = 硒球x o ( 1 t l n 跏) d u z t 巾) d u ) i d i f , ) 一k 1 e ( e x p ( 一t r ( “) 也) s ( t ) 场l r ) 一e ( 唧( 一tt ( “) 托) 而j 疋) 第三章h o l e e 随机利率模型下的定价 让 肛删e ( p e f tl 咧蜘u 一，t 巾) d u ) i d f t ) i rf i t 凰e x p ( c 2 一a ) e ( e x p ( ( ，( s ，t ) 一h ( s ，t ) ) d b ，( s ) + 9 ( s ，t ) c t b 2 ( s ) ) j td t “，7 ( ，( s ，t ) 一k ， ( s ，刁) d b l ( s ) + ，t ( g ( s ，丁) 一k ，一。) d b 2 ( s ) l n 竺半一；k ，a ；( t 一) 十k ，g 。一c t ) 1 只) f tf t u - 2 上( ，( s ，丁) ( s ，丁) ) d b - ( s ) + 上9 ( s ，t ) d b 2 ( s ) 巩= ，7 ( ，( s ，t ) 一。 ( s ，t ) ) d b 。( s ) + 7 ( 9 ( s ，t ) 一k ，观) d b 。( s ) 口葫= 【( ，0 ，t ) 一 ( s ，r ) ) 2 + 9 ( s ，t ) 2 d s t ，t 0 - 如2 = 【( ，( s ，丁) 一k 1 ( s ，7 1 ) ) 2 + ( 9 ( s ，丁) 一k 1 口。) 2 】d s j t 则容易看出巩一n ( o ，口鼠) ，u 2 一n ( o ，2 ) ， ，t c o v ( u l ，u 2 ) = ( ，( s ，t ) 一九( s ，丁) ) ( ，( s ，t ) 一k i h ( s 丁) ) + 9 ( s ，丁) b ( 8 ，r ) 一k ，盯。) d s j t 利用引理2 ，a = 0 ，d = 0 ，c = ( y u 。，b = 。巩，我们有 删唧( 一n 等) 概篆 l n 等掣- - n 1 - 们2 叫憾g ，吲 = e x p ( q e + ；7 【( ，( 蜩) 叫蜩) ) 2 吲s ，卵胁 r ( ( ，( s ，刁一 0 ，t ) ) ( ，0 ，t ) 一k l h ( s ，丁) ) + 口0 ，丁) ( 9 ( s ，t ) 一k 。g 2 ) d s d t l n 半+ 2 1 k 。遽( t t ) 一k 1 c t + 】 第三章h o l e e 随机利率模型下的定价 【( ，( s ，t ) 一k l h ( s ，t ) ) 2 + ( g ( s ，t ) 一，观) 2 】d s ) ) 利用同样的步骤，计算如，1 3 ，2 ：k ，s ( t ) ( ! t ? ! ! ：兰窒三竺燮三i 丝! 堡竺三! ! 三竺! 鱼垦) 正1 ( ，( s ，t ) 一k - h ( s ，t ) ) 2 + 0 ( s ，t ) 一k ：j 2 d s 厶= p ( - c i + 珂吣，t ) 2 d s ) 俐r a ，t ) 2h ( s ，t ) f ( s ，t ) d s l n 半+ ；k l 盯；( t t ) 一k - c 1 + 岛、 、上1 ( ，( s ，t ) 一k l h ( s ，丁) ) 2 + ( 9 ( s ，t ) 一矗l 叻) 2 d s 定理2 ( 看涨看跌平价公式) 在假设( 3 1 ) 和( 32 ) 下， e e x p ( 一r ( u ) d u ) ( k 1 曲+ k 2 一打) + 1 r 】一 e e x p ( 一r (