（应用数学专业论文）伪概自守函数及在发展方程中的应用.pdf

摘要 本文主要讨论了伪概自守函数和相关函数的基本性质及其在发展方 程中的应用。全文共分五章。 第一章介绍了本文的研究背景和主要工作。 第二章是预备知识，主要介绍了概周期函数、概自守函数、渐近概周 期函数、渐近概自守函数、伪概周期函数、伪概自守函数等的概念和基本 性质此外，我们还介绍了岛半群和c o s i n e 算子函数的一些定义和相关 性质。 第三章主要研究了概自守函数和伪概自守函数的基本性质。这些性质 为研究自守函数在发展方程中的进一步应用奠定了基础。 3 1 主要研究了概自守函数和具有零平均值的函数的一些基本性质。 3 2 中我们主要讨论了在l i p s c h i t z 连续性假设下，函数，( 厶z ) 与z ( ) 复合后保持伪概自守性质不变的条件，并获得了关于伪概自守函数的复 合定理 3 3 讨论了伪概自守函数的分解的唯一性，同时证明了其在范数 i i 厂| i = s u p | | 夕 ) | | + i i 矽 ) i j t r 下的完备性。 3 4 讨论了广义的伪概自守函数，即此时其扰动项并不是有界连续函 数的情形 第四章主要研究了伪概自守函数在线性发展方程 珏( 亡) = a 乱 ) + ， ) ， r 和半线性发展方程 u 7 ) = a u ( 亡) + ，( 亡，缸 ) ) ， 芒r 中的应用。我们分别针对线性算子a 生成指数稳定的g 半群和生成紧的 g 半群情形，进行了研究，给出了这两类发展方程的伪概自守的温和解 的存在性定理，并在某些情形下得到了解的唯一性。 我们在第五章研究了具有指数增长的渐近概周期函数的性质及在一 阶微分方程和非完全二阶算子微分方程中的应用。 中国科学技术大学博士学位论文 关键词：概周期函数，概自守函数，伪概自守函数，线性发展方程， 半线性发展方程，温和解 a b s t r a c t p r o p e r t i e so fp s e u d o 出l o s ta u t o m o r p l l i cf u n c t i o n s 锄dr e l a t e d o n e sa 舱d 诲 c u s s e di nt h i st h e s i s a p p l i c a t i o n so ft h e s ep r o p e r t i e st oe v o l u t i o ne q u a t l o 瑚a u r e a l s o p r e s e n t e d t h i st h e s i sc o n s i s t 8o ff h c h a p t e r s - c h a 枇e r1p r e s e n t st h er e s e a r c hb a c l 【g r o u n da n dm a i n r e s u l t so ft h i st h e s i s c h a p t e r2i sa b o u tp r e l i m i n & i e so ft h i st h e s i s 。d e 铀i t i o n sa n d b a s i cp r o p e m e s o fa 1 i i l o s tp e r i o 击c ，a l n l o s ta u t o m o r p h i c ，嘲l ，n l p t o t i c “ya h o s tp e r i o d i c ，嘲瑚p t 晦 i c a l l ya l m o s ta u t o m o r p 札c ，p s e u ( 1 0a l m o s tp e r i o d i ca n dp s e u d oa l m o s ta m o m o r p h i c f u n c t i o n sa r es t a t e d m o r e o v e r ，d e f l n i t i o i l so fc os e i i l i g r o u p sa n dc o s i n eo p e r a t o r f 1 1 n c t i o 璐a r er e 、幻i e w e d c h a p t e r3i sc o n c e r n e dw i t hb a s i cp r o p e r t 油o f a _ h n o s ta u t o m o r p h i cf h n c t i o n s a n dp s e u d oa h n o s ta u t o m o r p h i cf u i l c t i o 璐，w h i c hi s ab a s i sf o re x p l o r i n gf u r t h e r a p p l i c a t i o i l so ft h e s e ： m c t i o n st oe v o l u t i o ne q u a t i o n s i ns e c t i o n3 1 ，8 0 m eb a s i cp r o p e r t i e so fa l i n o s ta u t o m o r p h i cf u n c t i o i l sa n d f u n c - t i o n sw j t h0m e a n 、氇l u ea r ei n v e s t i g a t e d i ns e c t i o n3 2 ，r es t u d yt h ec o m p o s i t i o no fp s e u d o 矾m o s ta u t o m o r p h i cf u n c t i o i l s ，( 亡，z ) a n dz ( 亡) u i l d e rl i p s c h i t ze o n 出t i o n s i ns e c t i o n3 3 ，w es h o wt h e 血q u e n e s so fd e c o m p o s i t i o no fp s e u d oa h n o s ta u 协 l o r p l l i c 缸n e t i o n s ，a n dt h e np r o v et h a t ab a n a c hs p a c eu i l d e rt h en o r m 刘= p s e u d oa l m o s ta u t o m o r p h j cf u n c t i o n sf o r m s e c t i o n3 4i sm a i n l ya b o u tg e n e r a l i z e dp s e u d oa l l o s ta u t o m o r p m cf i m c t i o i l s ， w h o s ee o r r e c t i v et e r 麟a r en o tb o u n d e da n dc o n t i n u o u s c h a p t e r4s t u d i e st h ea p p l i c a t i o n so fp s e u d oa l m o s ta u t o m o r p l l i c c t i o l l s t 0 l i n e a re v 0 1 u t i o ne q u a 土i o n s ) = a u ) + ，( t ) ， t r ， a n ds e m i h n e 缸e v o l u t i o ne q u a t i o n s u 7 ) = a 仳( ) + ，( 芒，钍 ) ) ， 亡r 1 u ，l + “p9 印强 s t 中国科学技术大学博士学位论文 f b rt h ec a s eo fa g e n e r a t i n ga ne ) 币o n e n t i a l l ys t a b l egs e 蛳g r o u pa n dt h ec a s eo f a g e n e r a t i n gac o m p t 岛s e 觚g r o u p ，r e s p e c t i v e l y ，w ee s t a b l i s hn e w e ) 【i s t e n c ea n d u n i q u e n e s st h e o r e i n sf o rm i l dp s e u d oa l i n o s ta u t o m o r p l l i cs 0 1 u t i o l l st ot h e s ee v 0 1 u t i o n e q u a t i o n s i nc h 印t e r5 ，w ei n v e s t i g a t ee x p o n e n t i a u ya s y m p t o t i c a u ya l m o s tp e r i o d i ef u n c t i o 璐 a p p h c a t i o n st of l r s to r d e ra n di n c o m p l e t es e c o n do r d e re v o l u t i o ne q u a t i o n s a r e 击s c u s s e d k e y o r d s ：a l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n ，a h n o s ta u t o m o r p l l i cf u n c t i o n ，p s e u d o4 m o s ta u t o m o r p b j c 胁c t i o n ，u n e a u re v o l u t i o ne q u a t i o n ，s e m i u n e a re 、r 0 1 u t i o ne q u a t i o n ， m j 】ds o l l 】t i o n l v 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：塑堡 砷年占月 日 第一章引言 本章主要介绍与本文所研究的问题有关的背景知识，这些问题的研究 现状，一些已知的结果以及我们的主要工作。 在本节中，我们主要介绍概周期函数、伪概周期函数和概自守函数的 起源、发展和应用以及关于这方面我们所做的一些工作。 在自然科学和社会科学中，周期现象是一种常见的随时间变化的方 式。周而复始的循环现象，日复一日的重复，回到原点的开始都是周期性 的表现。例如，在天体力学中，行星的公转与自传，机械振动中的各种振 动，信号系统中无线电波的传输，生态学系统中种群的增长与发展，此外 在经济学领域以及工程技术中出现的许多实际问题中都存在周期现象。 但是严格的周期性是一种理想的状态，是我们简化后的模型。行星的运动 不可能是规则的圆形或椭圆性，甚至它可能受到其它星体的影响；弹簧的 振动可能存在阻尼；无线电波的传输可能受到干扰；种群的增长可能受到 人为的破坏等等。这样，周期性将不再能够严格的保持。在这些情况下， 概周期、概自守将更能够反映上述现象随时间的变化规律。概周期、概自 守是脱胎于周期，但是又更接近现实生活和自然界的规律。有了这些工 具，我们可以推断出日食和月食的准确日期，可以在有干扰的情况下将信 号传输出去，可以预测生物群落的发展便于进行有效的保护而且在 理论上，全体周期函数在任何范数下都构不成b a n a c h 空间，而概周期函 数在上确界范数下则构成b a n a 血空间。这也说明概周期函数比周期函数 的应用将更加的广泛，讨论方程的概周期解更具有现实意义。 概周期函数的概念首先由丹麦数学家h b o h r 在1 9 2 5 1 9 2 6 年间提出， 在二三十年代得到进一步发展1 9 3 3 年由s b o c h n e r 建立了b a n a u c h 空间上 的向量值概周期函数理论概周期函数是拥有某种结构性质的连续函数， 是周期函数的一般化，经过s b o c h n e r 、a b e s i c 嘶t 出、j v o nn e u m 8 n n 等人 的努力，概周期函数理论得到了长足的发展。随后，数学工作者们又进一步 发展了概周期函数理论，一方面是概周期型函数的广泛研究，另一方面是 概周期函数理论在相应学科中得到了更多的应用。1 9 3 3 年，s b o c h n e r 定义 并且研究了取值在b a n a c h 空间上的概周期函数。1 9 3 4 年，j v 0 n u m a j l n 利用s b o c h n e r 的结果建立了群论上的概周期函数1 9 4 1 年， m f r e c h e t 中国科学技术大学博士学位论文 第一章引言 定义了渐近概周期函数。渐近概周期函数在特殊的情况下就是概周期函 数，是概周期函数概念的一般化。渐近概周期函数在遍历理论和微分方程 的定性理论中都有很重要的应用。这些工作参考 1 2 ，1 3 ，1 4 ，9 ，6 4 ，2 7 ，2 8 】 本世纪5 0 7 0 年代国内外对微分方程概周期解的研究有了较大的发 展，概周期函数理论和常微分方程，稳定性理论，动力系统以及偏微分 方程的联系更加紧密。1 9 6 8 年，c c o r d u n e a n u 发表了a 1 m o s tp e r i o d i c n n c t i o n s ，全面地阐述了概周期函数理论及它与其他领域( 如群论、 微分方程等) 的联系。越来越多的数学工作者对概周期函数理论产生了 浓厚的兴趣，关于概周期函数理论的专著也不断涌现。如1 9 7 4 年出版的 a m f i n k 的专著a l m 傩tp e r i o d i cd i 髓r e n t i a le q u a t i o n s 对概周期微分方 程理论也作了概括性总结。 近年来，肖体俊教授、梁进教授以及c j k b a t 饥y h i n o ，n v m i n h ， t n a i t o ，g m n g u 6 r 6 k a t a 等许多专家对b a n a c h 空间上的发展方程的概周 期性质进行了广泛而深入的研究，得出了一系列重要成果。例如可以参见 肖体俊教授和梁进教授的工作 8 3 ，8 1 ，8 2 】及y h i n o 等人的专著 4 9 】在【6 5 】 中，n g u 自6 k a t a 教授还研究了局部凸空间上的概周期函数。 把概周期函数推广到更加广泛的函数类，这是自然科学研究重的需 要，这使得我们能够研究更广泛的问题，能够得到更加接近现实实际情况 的结果。v v s t e p a n 0 、，去掉b o l l r 概周期函数定义中函数连续性的假设， 并对此进行了一系列研究，后来h w d y 、a s b e s i c o v i t c h 、a s k o v 姐k o 等人继续在这方面进行了研究w s t e p a n 0 、，在文章【7 3 】把概周期函数推 广到l e b e s g u e 可积函数空间上，h w 匆l 在文章 8 0 】中，a b e s i c 嘶t c h 在 文章【9 ，1 0 ，1 1 】中也对概周期函数进行了推广这分别就是所称的s t e p a n o v 概周期函数，w 色l y 概周期函数，b e s i c 嘶t c h 概周期函数。在文献【9 ，5 1 中 对这三种概周期函数都有所阐述，近几年还发展了在微分方程方面的应 用。在1 9 9 4 年，c 。z h a n g 8 7 】提出了伪概周期函数的概念伪概周期函 数是概周期函数的一种横向的推广伪概周期函数实际上是概周期函数 的一种扰动现象，它是由渐近概周期函数发展而来的渐近概周期，顾名 思义，就是当时间尺度充分大的时候，函数满足的就是概周期性质，在 数学上的具体表现就是一个概周期函数与一个在无穷远点收敛到零的函 数的和伪概周期推广了这个扰动现象，用一个具有零平均值的函数代 2 中国科学技术大学博士学位论文 第一章引言 替这是在实际应用中就是扰动虽然在任何具体的时刻可能会存在，但是 整体上这种扰动的平均效果是可以忽略的根据具有零平均值函数的性 质我们可以进一步得到，这种扰动在整个时间尺度上振幅大于一定程度 的时间段与整个时间段的比是趋近于。的。2 0 0 8 年，t d i a g a n a 出版了 p s e u d oa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n si nb a n a c hs p a c e s 一书，详细介绍了伪概 周期函数的应用关于伪概周期函数的工作，可以参考【5 ，2 ，2 4 ，8 ，3 0 ，3 1 ，8 7 ，5 3 】 以及这些文章中的参考文献。伪概周期函数有着进一步的延拓，例如在文 章 1 ，3 5 ，3 6 】中，作者提出了具有权重的伪概周期函数的概念，并将其应用 到实际问题中 接下来，我们介绍概周期函数的一个推广一概自守函数在一篇关 于微分几何的文章【1 2 1 中，s b o e h n e r 引入了概自守函数。他首先获得了 概周期函数的一个等价定义，然后得到这一定义一个非常有趣的推广他 的定义是：假设，是一个连续函数，如果对于任意的序列( ) ，存在一个 子序列( 如) 和一个函数9 ，使得 ，( + 拓) ) 一致地收敛到夕，就称，是概周 期的。现在推广到概自守函数是非常自然的：假设，是一个连续函数，如 果对于任意的序列( 砭) ，存在一个子序列( 拓) 和一个函数9 ，使得 ，( t + 如) _ 夕( t ) 和9 ( t 一如) _ ，( ) ， 就称，是概自守的。这种定义与概周期函数的一个本质的区别在于概自 守函数并不一定是一致连续的s b o c h n e r 在接下来的文章【1 4 】中，首先 给出了一个定义在整数集和概自守但是非概周期的函数： 妒( n ) = s i g n u m ( c o s2 7 r n 咿) ，一o 。 o 使得：每一个长度为f ( ) 的区间j 上都至少包含一个数7 - 满足： 0 ，( t + 7 ) 一，( 酬 o 使得r 上任何长度为 f 的子区间均与y 所交非空，那么称y 为r 上的相对稠密集。 假设函数，：r x ，对任意的e o ，如果存在7 - r 使得 | i ，( t + 7 i ) 一，( 圳 o ，p ( 厂，s ) 是r 上的一个相对稠密集，那么称，是一个概周期函 数。 在定义2 1 2 中，f ( ) 即是r 上的一个相对稠密集合。通过定义我们容 易知道一个周期为t 的连续的周期函数一定是概周期函数， n t ：n z ) 即是它的一周期并且是r 上的一个相对稠密集合。 下面给出概周期函数的一些基本性质。这些性质读者可以参考g m n g u 6 r 6 1 ( a t a 专著 6 7 ，6 5 】 命题2 1 4 对于概周期函数，下列结论成立： ( 1 ) 设，：rhx 是一个连续函数，则，a p ( x ) 当且仅当对于任意的实 数列( s n ，总能够找到子列 s m ) 使得 ，( t + ) ) 在r 上一致收敛 ( 2 ) 若，a 尸( x ) ，则，一致连续且冗，= ，( t ) ：r 是列紧集，从而， 是有界函数，即a p ( x ) cb c ( r ，x ) ( 3 ) 假设， 夕a p ( x ) ，a 是任意的实数，则函数，士夕，a ，均是概周期函 数 8 中国科学技术大学博士学位论文 第二章预备知识 2 2 概自守函数 ( 4 ) ，( ) ：= ，( 一t ) 是概周期函数 ( 5 ) 厶( ) ：= ，( f + a ) 是概周期函数 ( 6 ) 4 p ( x ) 是b c ( r ，x ) 的一个闭子空间，从而a p ( x ) 在上确界范数下成 为一个b n 佗口c 危空间 下面介绍一致概周期函数，这类函数在b a n a c h 空间x 的任意一个有 界子集k 上的关于的概周期函数。 定义2 1 5 设kcx 是一个有界子集，并且，：r k _ x 是一个连续函 数。若对于任意的g o ，都存在f ( ) o 使得：每一个长度为f ( ) 的区间 j 都至少存在一个数7 满足 j i ，( t + 下，z ) 一，( ，z ) f i o 称为紧半群，如果对于每个t o ，线性 算子丁( ) 均是一个紧算子 命题2 4 5 g 半群 丁( z ) ) t 0 是一个紧半群，那么当t o 时，丁( t ) 在算 子范数下是连续的 下面介绍c o s i n e 半群的定义及基本性质。 1 4 中国科学技术大学博士学位论文 第二章预备知识2 4 算子半群的基本知识 定义2 4 6 口。凡n 砒x 空间上的连续线性算子族 c ( ) t o 称为强连续c d s i 佗e 算予函数，如果其满足下面三条性质： ( 1 ) c ( 0 ) = ， ( 2 ) 2 c ( ) c ( 5 ) = c ( s + t ) + c ( 1 5 一纠)( ，s o ) ， ( 3 ) 躲c ( ) z = z 对v z x ， 强连续e o s i n e 算子函数 c ( t ) k o 的生成元a 定义为： a z = 。望器云 c ( t ) z 一叫， z d ( a ) ， 一0 + 一 这里d ( a ) 定义为上述极限存在的所有z x 组成的集合。通过定义我们 可以得到存在常数“， o 使得 e 刊c ( t ) ；t o ) 是等度连续的。如果定义 c ( t ) = c ( 一t ) ， 亡 o ，存在一个与g 有关的相对稠密集p ( ，t ) 满足 | i ，( t + s ) 一，( 圳l o 我们首先声明：存在常数z o 使得 任意长度为z 的区间上包含一点s 满足0 ，( t + s ) 一，( ) i i o ，存在一个长为z 的区 间，满足， 0 ，( t + s ) 一，( 圳s ，对任意的s j r 选取s 1 r ，从而存在一个长度大于2 | s l | 的区间( n 1 ，6 1 ) ，即6 l 一口 2 | s l | 满 足 l i ，( + s ) 一，( 圳g ，对任意的s ( 口l ，6 1 ) 17 中国科学技术大学博士学位论文 第三章概自守函数和伪概自守函数的基本性质 3 1 概自守函数的性质 选取s 2 ：旦芸，则s 2 一s 1 ( 6 1 ) 进而有 i i ，( + s 2 一s 1 ) 一，( 亡) l i 下一步，考虑另一个长度大于2 ( i s l i + i s 2 | ) 的区间( o 。，6 2 ) 满足 i i ，( t + s ) 一，( 圳e ，对任意的s ( 口2 ，6 2 ) 选取s 。：旦芸，则有s 3 一s 。，s 3 一s 。( 6 2 ) ，从而有 l i ，( t + s 3 一s i ) 一， ) i i ，t = l ，2 继续进行上面的步骤，我们可以选取一列实数 s n ) 满足 i i ，( t + s m s n ) 一，( t ) i | e( 3 1 1 ) 对任意的m ，n n 且m 扎成立 另一方面，由，( t ) 的概自守性质，我们可以选取 s n ) 的一个子列 ) 使得 1 i m1 i m ，( + 7 - m 一) = ，( t ) 这和不等式( 3 1 1 ) 产生了矛盾，从而假设不成立，声明正确。 选取所有满足条件的点s 构成一个集合p ( ，t ) 显然，p ( ，) 是r 上的 一个相对稠密集。 口 定理3 1 6 假设，( t ) ：rhx 是一个一致连续的概自守函数如果，( t ) 还 满足 一 熙刍厅他) | i 如- 0 那么，三0 证明反证法。假设结论不成立，即有厂( t ) o 不失一般性，我们可以假 设i l ，( o ) o = 入 o 选取s = 鲁 o 利用定理3 1 5 的结论，我们可以找到r 上的一个相对稠密集合p ( ) 满足 叭s ) 一，( o ) 0 叭o ) i | - ：荨 1r 中国科学技术大学博士学位论文 第三章概自守函数和伪概自守函数的基本性质 3 1 概自守函数的性质 由相对稠密集的定义可知，存在z o 使得 s p ( ) n 陋，口+ f 】d任给o 皂 从而每个长度为f 的区间 口，口+ l 】上存在一个点s 满足l i ，( s ) o 莩 再由，( ) 的一致连续性，我们可以选取一个充分小的6 o 使得6 芸，对任意的( s 一正s + 6 ) ， 从而对于任何8 r ， z 口+ 2 | l ，( 盯) l l d 盯名，口+ f j n 。一正。+ i | ，( 盯) l i d 盯萼 对任何固定的正数丁，存在一个正正数礼使得m t ( 扎+ 1 ) z 通过下 面的计算，有 刍厅加川打志厅加川打 志兰，。忪 恭一2 ( 礼+ 1 ) f 最终我们得到， 舰刍厅弛) l l 打恕揣= 箸， 这显然与熙刍( 口) j | 咖= 。产生了矛盾 口 注记3 1 7 注意到r 上的连续函数，如果它是收敛于零的，或者是概周 期的，那么，在r 上是一致连续的从而由定理7 j 6 可以很快得到下面 的结论； ( i ) 收敛于零的概自守函数只能够是零函数 中国科学技术大学博士学位论文 第三章概自守函数和伪概自守函数的基本性质3 1 概自守函数的性质 ( i i ) 具有零平均值的概周期函数只能够是零函数 通过这两条结论，我们可以知道，渐近概自守函数和伪概周期函数的分解 都是唯一的因为假设渐近概自守函数，存在两种不同的分解方式，即 ，= g l + 1 = 夕2 + 也，这里夕1 ，眈是概自守函数，毋1 ，2 是收敛到零的连续函 数。那么可以得到，9 1 一夕2 = l 一也既是概自守函数，又是收敛到零的一 致连续函数，从而由上述推论可知，夕1 一伪= 砂1 一也= o ，从而渐近概自守 函数的分解是唯一的对于伪概周期函数利用上述推论有相同的结果 3 1 3 零平均值函数的性质 定理3 1 8 假设，是一个有界连续函数，即，b c ( r ，x ) 那么，具有零 平均值当且仅当对任意g o ，有 慧寺m e s ( 地s ( 川= o ， 这里m e s ( ) 表示眈6 e s 9 乱e 测度并且 珏。( ，) ：= t 【一l 卅：i i ，( t ) i l 芝s 证明“必要性”：参考l ih o n g 鼍等的文章 5 3 】假设结论不成立，那么存 在e 。 o 使得当t _ + o 。时有寺m e s ( 地印( 川不收敛于o ，也就是说存在 6 o 使得对于任何自然数n 有瓦 n 满足 杰m e s ( 慨，e 。( 埘占 于是通过计算，可以得到， 去昏m 川出= 去l m 川出+ 正。忖恤) 去厶忖慨 杰m e s ( 纯阳( 川e 。 o 正 这与r 刍( 圳陋= 。矛盾，必要性得证 中国科学技术大学博士学位论文 第三章概自守函数和伪概自守函数的基本性质 3 1 概自守函数的性质 c c 充分性，。由定理的假设条件可以知道m l m 并且对任给 o ，存 在死 o 使得对于r 死，有 寺m e s ( 地e ( 朋 2 并且七趋近于+ o 。时，积分 门凇加 于是有， 圻酢凇= 去酎“m 驯蹴一o 对于任何r 1 ，假设丁的整数部分为鸭当丁趋近于正无穷时有： 。刍仁m 驯出珂+ 1 驯出 收敛到零这就说明当 2 时，函数妒( ) 是具有零平均值的连续函数。 但是我们可以看出咖( ) 并不是r 上的有界连续函数 当= 2 时， 一俳凇一候， 从而当? 叶时有刍仁m 圳出收敛到锯 中国科学技术大学博士学位论文 第三章概自守函数和伪概自守函数的基本性质3 2 伪概自守函数的复合定理 当0 o ，存在常数6 o 使得由z ，y k 和忪一引l m i z n 一i 可见，函数，( ，z ) 在区间【- 1 ，l 】并不满足l 咖s c 筋纪条件。 因此，引理，2 6 比定理只2 5 有着更广泛的应用。 定理3 2 8 假设，( t ，z ) = 9 ( t ，z ) + ( 亡，z ) 是一个渐近概自守函数，其中 夕( t ，z ) a a ( r + x ，x ) ，( 亡z ) g ( r + x ，x ) ，并且9 ( t ，z ) 在任何有界集合 kcx 上关于r 是一致连续的，那么由z ( t ) a a a ( r + ，x ) 可以得到 ，( ，z ( ) ) a a a ( 旷，x ) 证明根据定理的条件，记z ( t ) = 口( t ) + p ( t ) ，此处a ( t ) a a ( r x ) ，p ( ) g ( r + ，x ) 通过恒等变换可以知道： 厂( t ，z ( t ) ) = 夕( 亡，q ( t ) ) + ，( t ，z ( ) ) 一夕( t ，q ( t ) ) = 夕( ，口( t ) ) + 夕( t ，z ( ) ) 一9 ( ，q ( z ) ) + 痧( t ，z ( 亡) ) 通过定理3 2 6 我们可以得到9 ( 厶a ( t ) ) 关于t 是概自守函数。 另一方面，9 ( ，z ) 的一致连续性蕴含着对于任意的 o ，存在常数 6 o 使得如果z ( t ) ，q ( t ) k 并且忙( t ) 一q ( 刚 o 满足 忙( t ) 一a ( 洲= 归( 圳 z 于是我们可以得到： 3 i m 似t ，z ( ) ) 一夕( 屯q ( ) ) 0 = o 进而由( t ，z ) 岛( r + 置x ) 可以得到j i m 忪( 厶z ( t ) ) | l = o 这就证明了 孽( 亡，z ( t ) ) 一9 ( ，q ) ) + 砂(