（应用数学专业论文）关于一个二阶非线性中立时滞微分方程的非振荡解.pdf

摘要 内容摘要：这篇论文讨论了一个比较一般的二阶非线性中立时滞微分 方程 、 ( r ( t ) ( z o ) + p ( 芒) z 一r ) ) 7 + c r o ) ( z ( t ) - x ( t 一下) ) ) - i - f c t ，z ( t 一盯1 ) ，z 一c r 2 ) ，z 一) ) = g ( t ) ，t t o ， 其中r o ，a l ，o 2 ，o n 0 ，p , r c ( t o ，co ) ，r ) ，f c ( t o ，+ ) 舻，r ) ，g c ( t o ，+ o o ) ，r ) ，c 是一个常数，并且给出了这个方程非振 荡解的存在性的一些充分条件本文根据函数p ( t ) 取值范围的不同， 以五个定理的形式来阐述这些充分条件这些定理的证明主要是通 过在b a n a c h 空间x 中的一个非空有界闭凸子集s 上构造一个压缩 映射t ：s x ，以分类讨论的方法说明映射t 为子集s 上的自映 射，然后根据b a n a c h 压缩映射原理就可得到映射t 的唯一不动点 z s ，这个不动点z 就是上述方程的一个解最后列举五个例子来说 明这些结果真正推广了k u l e n o v i c 和h a d z i o m e r s p a h i c 【8 】，c h e n g 和 a n n i e 3 】，y u 和w a n g 【1 6 的相应结果，并且本文的结果省略了q 1 ( t ) 对q 2 ( t ) 的限制条件( 见正文中的条件( c ) ) 另外受能力和知识的限 制，对于函数p ( t ) 的某些取值范围，本文无法解决上述方程非振荡解 的存在性，只好以开问题的形式提出来，以便早日彻底解决上述方程 非振荡解的存在性 关键词：非振荡解，二阶中立时滞微分方程，压缩映射，上极限，下极 限 a b s tr a c t c o n t e n t ：am o r ee c u m e n i c a ls e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( r ( ) o ( t ) + p ( 芒) z ( t - r ) ) + c r o ) o ( t ) 一z 一丁) ) ) 7 + f ( t ，z ( t c r l ) ，z ( 亡一a r 2 ) ，z ( t 一) ) = g ( t ) ，t t o ， w h e r e t 0 ，y l ，砚，0 ，p ，7 c ( t 0 ，o o ) ，r ) ，f c ( ，+ ) p ，r ) ，g c ( t o ，+ o o ) ，r ) a n dc i sa c o n s t a n t ，i ss t u d i e di nt h i sp a p e r ， a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s f o rt h i se q u a t i o na r ee s t a b l i s h e da n de x p a t i a t e dt h r o u g hf i v et h e o r e m s a c c o r d i n ga st h er a n g eo fv a l u eo ff u n c t i o np ( ) t h e s et h e o r e m sa l e m a i n l yp r o o f e d 嬲f o l l o w s a tf i r s t ，c o n s t r u c tac o n t r a c t i o nm a p p i n g t ：s _ xo nan o n e m p wc l o s e dc o n v e xs u b s e tso ft h eb a n a c h s p a c ex a n di l l u m i n a t et h em a p p i n gti sa s e l f - m a p p i n go ns u b s e ts b yt h em e t h o do fc l a s s i f i e dd i s c u s s i o n a f t e r w a r d s ，m a k eu s eo fb a r n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r yt og a i na u n i q u ef i x e dp o i n tz s o fm a p p i n gza n dt h e nt h e 丘) ( e dp o i n t $ i sas o l u t i o no ft h ea b o v e e q u a t i o n i nt h el a s ts e c t i o n ，f i v ee x a m p l e sa r ep r e s e n t e d t oi l l u s t r a t e d t h a 土0 1 1 1 w o r k sa r ep r o p e rg e n e r a l i z a t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s o fk u l e n o v i ca n dh a d z i o m e r s p a h i c 【8 】，c h e n ga n da n n i e 【3 】，y ua n d w a n g 【1 6 f h r t h e r m o r e ，o u rr e s u l t so m i tt h er e s t r m t m no fq 1 ( t ) d o r a - i n a t i n gq 2 ( t ) ( s e ec o n d i t i o nc i nt h et e 】( t ) i na d d i t i o n ，b e c a u s eo ft h e l i m i to fa b i n t ya n dk n o w l e d g e ，f o rs o m er a n g eo ft h ev a l u eo ff u n c t i o n p ( t ) ，t h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o rt h ea b o v ee q u a t i o n i si n e x t r i c a b i l i t yi nt h i sp a p e r t h e r e f o r e ，i no r d e rt os o l v et h ee x - i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o rt h ea b o v ee q u a t i o nc o m p l e t e l y e 8 r l y s o m eo p e nq u e s t i o n sa r es h o w ni nt h et e x t k e yw o r d s ：n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n ，s e c o n d - o r d e rn e u t r a ld e l a yd i i - f e r e n t i a le q u a t i o n ，c o n t r a c t i o nm a p p i n g ，s u p e r m rl i m i t ，i n f e r i o rl i m i t 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过 的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中 做出了明确的声明并表示谢意 学位论文储签名毒扳字 日期溉只z 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的 论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：南埘 指导教师签名： 日期： 朝弓 础。 f - - - 句 n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o ra s e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a y d i f f e r e n ti a le q u a ti o n 1i n t r od u c ti o na n dp r e l i m i n a r i e s i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eo s c i l l a t o r ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fs o l u t i o n s f o rs e c o n d - o r d e rn e u t r a la n dn o n n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e n s t u d i e dw i d e l yb ym a n y a u t h o r s ( s e e 1 , 3 ，4 ，5 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 5 】) b u tt h en o n o s c i l l a t o r y o fs o l u t i o n sf o rs e c o n d - o r d e rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sr e c e i v e dm u c h l e s sa t t e n t i o n ，w h i c hi sm a i n l yd u et ot h et e c h n i c a ld i f f i c u l t i e sa r i s i n gi ni t sa n a l - y s i s ( s e e 【3 ，8 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 6 】) f o rf u r t h e rk n o w l e d g eo fe x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n so fn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p a yt h er e s p e c tt o 【2 , 6 ，7 】 i n1 9 9 8 ，k u l e n o v i ca n dh a d z i o m e r s p a h i c 【8 】s t u d i e dt h ef o l l o w i n gs e c o n d - o r d e rl i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f b - c i e n t s ： ( 阢) 丽a - ( z ( ) + p x ( t 下) ) + q 1 ( 亡) z 一口1 ) 一0 2 ( 0 z ( t c r 2 ) = 0 ，t t 。， w h e r e7 o ，o 1 ，c r 2 o ，p r = ( 一o o ，+ o o ) ，q 1 ，q c ( t o ，+ o o ) ，r + ) a n d r + = 【0 ，+ ) ，a n dg a v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h e e x i s t e n c e o fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o re q ( e 1 1 ) i n2 0 0 4 ，c h e n ga n da n i l i e 【3 】3e s t a b l i s h e d t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o re q ( e 1 1 ) u n d e rw e a k e rc o n d i t i o n sa n di m p r o v e dt h e w o r k so fk u l e n o v i ca n dh a d z i o m e r s p a h i c 【8 】i n2 0 0 5 ，y ua n dw a n g 【1 6 】e x t e n d e d t h er e s u l t so fk u l e n o v i ca n dh a d z i o m e r s p a h i c 8 1a n di n v e s t i g a t e dt h ee x i s t e n c e o fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gs e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ： ( 刚 ( 咧z ( ) + p ( 啪一丁) ) ) + q l ( t ) ( x ( t 一盯1 ) ) 一q 2 ( t ) g ( x ( t c r 2 ) ) = 0 ，t t o ， w h e r er 0 ，a l ，c r 2 0 ，p r o ( t o ，+ o 。) ，r ) ，q 1 ，q 2 c ( t o ，+ o o ) ，r + ) ， g c ( r ，r ) b u tt h er e s u l t si n 8 】a n d 1 6 】d e a lw i t ht h ec o n d i t i o n ( c )a q l ( t ) 一q 2 ( t ) i se v e n t u a l l yn o n n e g a t i v ef o re a c ha 0 n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n gs e c o n d - o r d e rn o n l i n - ( 毋3 ) ( r ( t ) ( z ( t ) + p ( t ) z ( 亡一7 - ) ) 7 + c r ( t ) ( z ( 亡) 一z ( t 一7 - ) ) ) w h e r e r 0 o 1 c ( ，+ o o ) ，r ) + f ( t ，z ( t 一仃1 ) ，z 一c r 2 ) ，z 一) ) = g ( t ) ，t t o ， ，o n 0 ，p r c ( t 0 ，o o ) ，r ) ，f c ( ，+ o o ) x r ，r ) ，g a n dci sa c o n s t a n t ，i si n v e s t i g a t e d ，a n dt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l o l a t o r ys o l u t i o n sf o re q ( e 1 3 ) i se s t a b l i s h e du n d e rs o m en e wc o n d i t i o n sw i t h o u t t h ec o n d i t i o n ( c ) i ns e c t i o n2 c l e a r l ye q ( 易1 ) a n de q ( e 1 2 ) a r es p e c i a lc a s e s o fe q ( 局3 ) i ns e c t i o n3 ，f i v ee x a m p l e sa r ep r o v i d e dt oi l l u s t r a t et h a to u rr e s u l t s e x t e n d , i m p r o v ea n dg e n e r a l i z ep r o p e r l yt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n 3 ，8 ，1 6 as o l u t i o no fe q ( e 1 3 ) i ss a i dt ob eo s c i l l a t o r yi fi th a sa r b i t r a r i l yl a r g ez e r o f l ， a n do t h e r w i s ei t i sc a l l e dn o n o s c i l l a t o r y l e t 让c ( t 0 一p ，+ o 。) ，r ) ，w h e r e p = m a x - y ，矾) ，w h e r e1 i n ，b eag i v e nf u n c t i o na n dy 0ag i v e nc o n - s t a n t f r o mt h em e t h o do fs t e p s ，i tf o l l o w st h a te q ( e t 3 ) h a sau n i q u es o l u t i o n z c ( o 一胁+ o 。) ，r ) i fz ( t ) + p ( t ) x ( t 一下) ，( t ) ( z ( 亡) + p ( t ) x ( t 一下) ) a n d r ( t ) 0 ( t ) + p ( t ) x ( t 一下) ) 7 + c r 0 ) ( z ( t ) 一z ( t 一7 ) ) a x ec o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e f o rt 如，x ( t ) s a t i s f i e st h ee q ( 局3 ) a n d x ( 8 ) = u ( s ) f o r 占 t o p ，t o ， ( t ) + p 0 ) z 0 一丁) ) ：确= y 0 t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w ea s s u m et h a tp = m a x t ，以) ，w h e r e1 i n ，a n dx d e n o t e st h es e to fa l lc o n t i n u o u sa n db o u n d e df u n c t i o n so n 【t o ，+ ) w i t ht h es u p s = z x ：m x ( t ) n ，t t 0 l b rn m 0 o b v i o u s l ysi san o n e m p t yc l o s e dc o n v e xs u b s e to ft h eb a n a c h s p a c ex f o rp c ( t o ，+ o o ) ，r ) ，p u t p = l i m s u pp ( t ) a n d = l 卜叶i r ai n fp (t)t, - - * 1 0 0 一 2 2t h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i u a t o r ys o l u ti o n s i nt h i ss e c t i o n ，af e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n sf o re q ( 毋3 ) a r ep r e s e n t e d t h e o r e m2 1a s s u i n et h a tt h e r ee x i tc o n s t a n t sp 0 ，cw i t hi c i t = 弑m 0 a n df u n c t i 。n s ，g ，r c ( t 0 ，+ o o ) ，r + ) a n d p c ( ，+ o o ) ，r ) s u c ht h a t一 ( 2 1 ) 愀t ) l p o 学，e v e n t 删y ， ( 2 2 ) j f ( t ，u l ，锄，) - f ( t ，秽1 ，耽，) i h ( t ) m a x u i 一忱i ：1 i n ) ， t t o ，o o ) ，他，【m 】，1 i 鸭 ( 2 3 )l f ( t ，u l ，坳，) i 口( t ) ，t t o ，o o ) ，讹【m ，】，1 i n ， 亿4 ， 心，2 z t 雨1 删啪问 r ( t ) m a x i c c t ) l ， ( t ) ，q ( t ) d t t o + p v a i lb ec h o s e n ( 2 5 ) 俐i 岛 _ l ， ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) + 尺( s ) ( g ( s ) + l g ( s ) i ) d s5 史二三型鱼二盟塑害l 二幽 + 兄( s ) ( s ) d s 1 一局一i c i r 3 d e f i n eam a p p i n gt ：s _ xb y ( t x ) ( t ) = 卫生学一p ( t m t 一7 ) 一c - 三r z ( 5 ) d 5 + 冗 ) r i f ( 3 ，x ( 8 一c r l ) ，z ( 5 一c r 2 ) ， ，x ( s 一) ) 一g ( s ) 】幽 + f r ( s ) p ( 占，x ( 3 一盯1 ) ，x ( 3 一c r 2 ) ， ，x ( 3 一) ) 一g 0 ) 】d 3 ，t z (tz)(z)，totl f o ra l lz s c l e a r l yt xi sc o n t i n u o u sf o re a c hz s i th a st ob ec o n s i d e r e d t w oc a s 笛w i t hr e s p e c tt oc c a s e1 ：c 0 f o re v e r yz sa n dt l ，i tf o l l o w sf r o m ( 2 3 ) ，( 2 5 ) a n d ( 2 6 ) t h a t ( 死) ( t ) 坐掣一p o n c 厂2 幽 一冗( s ) f + ( i f ( 8 ，z3 - - o 1 ) ，z ( 5 一c r 2 ) ，z3 - - ) ) l + i g ( s ) i ) 幽 一f 兄( s ) ( i f ( s ，z ( s c r l ) ，z ( 5 一c r 2 ) ，z3 - 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y ( t 一丁) i + i c l i x ( t r ) 一u ( t r ) l a , + ，+ r ( 5 ) i f o ，z ( ：一c r l ) ，z ( s 一观) i i 1 1 7 ( 5 一) ) 一f ( 8 ，y ( 3 一盯1 ) ，y ( s c r 2 ) ，s ，( s 一) ) l 幽 ( 芦+ 6 ) i i z u l i + i c l r l l z y 0 + 兄( s ) ( s ) 蚴 i z ( 3 一吼) 一秒( 5 一以) i ：1 i n d s + 6 ) l l x u l i + l c l r l l x u l i + i i z u l i r ( s ) h ( s ) d s = k l l z y i i ， w h e r e 七= p + 占+ i c i r + - f ：+ r ( s ) h ( s ) d s 1 t h i si m p l i e st h a t 1 1 7 k 一7 匆i | 七i i z 一秒i l ，v 童，y s h e n c eti sac o n t r a c t i o nm a p p i n go ns 。t h e r e f o r eth a sau n i q u ef i x e dp o i n t z s ，w h i c hi sa l s oap o s i t i v es o l u t i o no fe q ( 西3 ) s u p p o s et h a t0 = 0a n df u n c t i o n sh ，g ，r c ( t o ，+ ) ，r + ) a n dp o ( t o ，+ o o ) ，r ) s a t i s f y i n g ( 2 2 ) 一( 2 4 ) a n d ( 2 1 2 ) p ( t ) s0 ，e v e n t u a l l y , a n d 一1 + i c l 7 p 0 t h e ne q ( e 1 3 ) h a sa n o n o s c i u a t o r ys o l u t i o ni ns p r o o f s u p p o s et h a t 一1 + l c i r p 0 l e tr ( 0 ，一p ) b es u f f i c i e n t l ys m a l ls u c ht h a t 一1 + l c l r p 一，7 t o + ps u c ht h a t ( 2 1 3 )p 一7 p ( t ) p + 仍vt z ， c 2 1 4 ， + ：銎兰兰三罢二竺兰墨二。! 至! 二! 型二，丝 ( 2 1 5 ) n ( s ) h ( s ) d s 1 + 一叼一i c i 7 - 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