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关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 中文摘要 中文摘要 本文考虑具有s p e c i f i c a t i o n 性质的拓扑动力系统，t ) ，s p e c i f i c a t i o n 性质是指一种特别的跟踪性质在这种系统里，从b i r k h o r f f 遍历定理的角度对可加势 函数的不规则集的复杂性已经有了很好的研究，比如关于不规则集上的熵、压已经有 了很多有趣的结果在本文里，对具有s p e c i f i c a t i o n 性质的拓扑动力系统及几乎 可加势函数，我们定义了几乎可加拓扑压，又从次可加遍历定理的角度，定义了几乎可 加势函数的不规则集然后，我们证明了这个不规则集或者为空集或者在这个不规则 集上的几乎可加拓扑压等于整个空间上的几乎可加拓扑压这个结果推广了t h o m p s o n 关于可加情形下的一个结果我们借助系统的s p e c i f i c a t i o n 性质，层层跟踪压的 定义中的分离集，使用一列单调递减的紧集的交得出一些“好”的点，组成分形，然 后通过定义恰当的测度，利用压的分布定理给出了一个证明 关键词： 变分原理，拓扑压，几乎可加，多重分形分析 作者t 张利波 指导教师。曹永罗( 教授) t h e t o p o l o g i c a lp r e s s u r eo nt h ei r r e g u l a rs e tf o ra l m o s ta d d i t i v ep o t e n t i a l sa b s t r a c t t h et o p o l o g i c a lp r e s s u r eo nt h ei r r e g u l a rs e t f o ra l m o s ta d d i t i v ep o t e n t i a l s a b s t r a c t l e t ( x ，t ) b eat o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m ( t d sf o rs h o r t ) i nt h es e n s et h a txi sa c o m p a c tm e t r i cs p a c ew i t ht h em e t r i cda n dt ：x _ xi sac o n t i n u o u sm a p i nt h i s p a p e r ，w ec o n s i d e rat d sw i t ht h es p e c i f i c a t i o np r o p e r t y , a n das e q u e n c eo fa l m o s ta d d i t i v e c o n t i n u o u sf u n c t i o n s ，w ed e f i n et h ei r r e g u l a rs e tf o ri t ( i nt h es e n s eo fs u b - a d d i t i v ee r g o d i c t h e o r e m ) a n ds h o wt h a tt h i si r r e g u l a rs e ti s e i t h e re m p t yo rc a r r i e sf u l la l m o s ta d d i t i v e t o p o l o g i c a lp r e s s u r e w ea d o p tt h o m p s o n sm e t h o d so ft h ec o n s t r u c t i o no ft h ef r a c t a la n d t h eg o o dm e a s u r e s ，u s i n gt h ed i s t r i b u t i o no ft h et o p o l o g i c a lp r e s s u r et op r o v et h ed e s i r e d r e s u l t s k e y w o r d s ：v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，t o p o l o g i c a lp r e s s u r e ，a l m o s ta d d i t i v e ，m u l t i f r a z t a la n a l y s i s i i w r i t t e nb yz h a n gl i b o s u p e r v i s e db yp r o f c a oy o n g l u o 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 针冗生签名：弛i 虚曰 期： 三21 2 ：竺：! 刍l 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名： 期：2 ：里22 ：苎= _ 7 牛 期： 望华。弘 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压第一章引言 第一章引言 设( x ，t ) 为一个拓扑动力系统，本文所考虑的拓扑动力系统是指x 是一个赋予了 度量d 的紧致度量空间，t ：x _ x 为一个连续映射对于一个连续函数f ：x _ r ， 定义，的不规则集如下： 巧：= _ 【xex ：。l i r a - 1 i o ( t i x ) 不存在) t i 它实际上是空间中不满足b i r k h o r f f 遍历定理的点所构成的集合从而x 可以做如下 分解： x = u x f , aux f n r 其中辑：a 表示l i m o 。丽1 仁n - 0 1f ( t i x ) 存在并且等于a 的那些点组成的集合类似地， 我们可以定义任意函数列的不规则集例如设，：= 【厶) 为定义在x 上的连续函数列， 它的不规则集定义如下： 再：= zex ：n 1 i r a i n f n ( z ) 不存在) 一样地，我们也可以将整个空间分解： x = u x y , 口ux “y a r 在这篇文章中，我们所考虑的是几乎可加势函数，即芦= 厶) n 1 满足： 厶+ m ) 一，n ( z ) 一，竹；( 2 吼0 ) ) l 铬，v n ，m n ，v x x ， 其中c 为常数 b a r r e i r a 2 】2 和m u m m e r t 【6 】6 分别独立地研究了紧致度量空间上的 几乎可加势函数的热力学形式，得到了在势函数具有慢变条件下的变分原理，同时研 究了平衡态和g i b b s 测度的存在性问题但是他们没有涉及不规则集的讨论不规则 集最早由p e s i n 和p i t s k e l 7 】提出并进行了研究，他们证明了关于两个符号的b e r n o u l l i 系统里，不规则集上的拓扑熵等于全空间上的拓扑熵b a r r e i r a 和s c h m e l i n g 1 1 也对 不规则集做了研究，他们得到了共形排斥子上的一般h s l d e r 连续函数的不规则集要 么为空集，要么不规则集上的拓扑熵等于整个排斥子上的拓扑熵利用b o w e n 关于非 紧集上拓扑熵的定义，对于具有s p e c i f i c a t i o n 性质的拓扑动力系统，t a k e n s 和 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第一章引言 v e r b i t s k i y 9 ，1 0 】得到了关于多重分形分析的很多有趣的结果，但他们没有考虑不规则 集的复杂性e r c a i 、k u p p e r 和l i n 证明了在具有s p e c i f i c a t i o n 性质的拓扑动力 系统里，在势函数是可加的情形下，不规则集要么为空集，要么不规则集上的拓扑熵 等于整个空间上的拓扑熵，详细情况见文献【5 】最近t h o m p s o n 【11 】对他们的结果进 行了推广，在势函数是可加的情形下，证明了不规则集要么为空集，要么不规则集上 的拓扑压等于全空间上的拓扑压本文的目的是将t h o m p s o n 的结果进行推广，详细 地说，就是将可加势函数的不规则集推广为几乎可加势函数的不规则集，在势函数具 有慢变的条件下，也得到了类似的结果，即不规则集要么为空集，要么不规则集上的 几乎可加拓扑压等于整个空间上的几乎可加拓扑压这里几乎可加势函数具有慢变的 性质是指几乎可加势函数芦= 厶，满足条件。 本文共分成四部分，在这部分我们还将给出一些基本概念和记号；第二部分是预备知 识，给出一些本文所需要的基本定理和相关结论；第三部分陈述本文的主要结论；第四 部分是主要定理的证明下面我们给出几个基本记号和概念设n 0 ，对任意的z ，y x ，我们定义空间x 上的新距离嘲( z ，y ) ：= m a x d ( t ( x ) ，t ( y ) ) ：i = 0 ，l ，n 一1 ) ； 在度量厶下以z 为中心，e 为半径的球记为晶( z ，e ) ：= 耖x ：厶( z ，y ) 0 我们称一个集合e z 为z 的( 佗，e ) 一生成 集，如果它满足对每个z z ，都存在z e 使得厶( z ，z ) 称个集合f 冬z 是 z 的一个( n ，) 一分离集，如果对每对z ，y f ，均有d n ( z ，y ) e 定义1 2 称一个连续变换t ：x _ x 具有s p e c i f i c a t i o n 性质，如果它满足下面的 条件：对任意e 0 ，存在一个整数仇= m ( e ) 使得对任意的区间组 乃：= 【吩，b 1cn b = 1 ，2 ，后) ，只要满足对每个j = 1 ，2 ，k 一1 ，有+ l b 仇( e ) ，则对x 中任 意的z 1 ，z 2 ，孤，都存在z x 使得 d ( p + 口j ( 茁) ，p ( ) ) 0 ，存在个整数m = m ( e ) 使得对任意的区间组 易：= 【叼，】cni 歹= l ，2 ，k 】，只要满足对每个歹= 1 ，2 ，k 一 1 ，有吩+ 1 _ 仇( ) ，则对x 中任意的x l ，x 2 ，矾，都存在z x 7 使得 d ( t p + a j ( z ) ，p ( ) ) 0 ，我们称 f ：= ( 观，e ) ) i 为z 的一个覆盖，如果z u ( x i ，e ) 对覆盖r ：= 氐( 观，e ) ) i ， 我们记他( r ) = r a i n n 设a f r ，芦= ，n ) n 1 是一列满足( 1 1 ) 的几乎可加势函 数，定义。 q ( z ，a ，r ，一： m ( z ，a f ，e ，n ，一： 2 吼z re x p ( 一q 咐蚝最氏( z ) ) b n t ( z t ，) r 西竹正。 = i 譬f q ( z ，口，r ，一 这里的下确界是让r 取遍满足佗( r ) n 的覆盖然后我们定义压如下： m ( z ，q ，e ，一：= ，l i m m ( z ，a ，e ，n ，芦) v _ + + o o 忍( 只e ) ：= i n f a ：m ( z ，q ，e ，厂) = o ) = s u p a ：m ( z ，口，e ，芦) = + 。o ) 尸z ( 芦) ：= l i 觋尸z ( 厂，e ) e u 3 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第一章引言 根据【2 ，6 j 或者【8 】，上面所有的定义均是合理的类似与b a r r e i r a 和m u m m e r t 的做 法，我们称吃( 芦) 为厂在集合z 上的几乎可加拓扑压，简称拓扑压 4 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第二章预备知识 第二章预备知识 在这一部分，我们将给出一些有用的结论首先，我们给出条件( 1 1 ) 一个等价刻 引理2 1 设芦= ( ) n - - 1 - ：0 0 1 是x 上的几乎可加势函数，则 。l i 。m ul n i m 。+ s u 。p 善s u x pv，：sbu。p(z，。)12三掣：。 当且仅当 证为了简化书写，我们先做些记号 c ( 歹，e ) = l i m s u p s 1 因为对任意的 0 ，有g 伊，e ) 冗( 厂，e ) ，所以充分性是显然的下面只需证明必要 性假设l i r a oc ( y ，e ) = o ，则对，y 0 ，有e o 0 ，使得对任意的e e o ，我们有 l n i r a s u psup似supzex掣 0 ，使得对任意的仡n ，都有 s u p 。，s u p z 6 x、掣 n z 6 x 翟，z e b n ( z ，e ) n 由一致连续性，我们可以找到充分小的e 1 0 ，它满足。如果对i = 1 ，2 ，n 一1 ， e e 1 ，均有 因此，存在= r a i n c o ，c 1 ) ，使得对每个e p ，- - 去加一c c d # 注2 2 因为圣是几乎可加的，所以存在常数，使得对每个n ， l i n 下面的引理对不规则集盛进行了等价刻画，它说明不规则集非空是比较自然的现 象 引理2 2 如果t ：x _ x 具有s p e c i f i c a t i o n 性质，圣= 【如，是1 为x 上的几乎 可加势函数且满足( 1 1 ) ，那么下列等价： ( 口) 贾西非空； ( 6 ) 暑九不点点收敛于常数； ( c ) i n f p 朋t ( x ) 西+ ( p ) s u p p i t ( x ) 圣+ ( p ) ； ( d ) i n f _ i i 晦( x ) 西+ ( p ) 0 和一列 整数他七一+ o o 及x k x ，它们满足 1 i 去加- ( z 七) 一圣+ ( p 1 ) i o 令魄：= 丽1 讧n k o - 1 而( z 。) 由朋( x ) 的紧性知道存在概率测度 魄) 的子列收敛于一个 t 一不变的测度，不妨设为p 2 不失一般性，我们设l i m k 。+ o o = 肛2 下面我们证明 圣+ ( p 2 ) 圣( p 1 ) ， 由此可以立即得到我们想要证明的结果事实上，固定正整数m ，存在唯一的0 z m 一1 满足n 七= q m + z 因为 饥+ ) 是次可加的，所以，对歹= 1 ，2 ，m 一1 ，我 们有 如。( z 七) + 岛5 咖( z 七) + 劬+ 饥( p z 七) + + ( t ( 口一2 ) m t i c k ) + 岛+ + l j ( t ( q 一1 ) m t j x k ) + 按歹从0 到m 一1 加起来，得。 ，m 一1q - 2 ( 钆) + 岛三m j f = of i = o ( t i m t j x k ) + 】 + 去m 嘉- 1 鼢( + + 小j ( t ( q - 1 ) m 一+ 饰】 记= m a x i ：1 ，棚一1m a x x e x 咖( z ) ，则 如。( 钆) + 岛 因此 ( 哪+ f ) 一1 ，(qm+1)-11 磊三吩( 矿+ 卜- 兰i = ( z 口- 1 ：) m ( 一+ 岛】+ 2 ( 岛+ ) ( q m + 1 ) - i1 去( z 七) + 国j + 4 ( 岛+ ) h m s u p 氅毕剑i m s u p 去。善以拟m ， = - i m 七s 。u p1 ；+ c v d z 一, k = 去+ c 雪l d l z 2 7 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第二章预备知识 所以 - t k - o o p 掣= u i l ls l l p 学枷+ c 圣 d p 2 n k七_ o 。佗七- ，m 。 由m 的任意性，知： l i m s u p 掣概r 寺+ 岛卅( 七_ n 七m 。o 。，m 。” 另一方面，由 加一岛 超可加性，同理可得： l i m i n f 掣冲( 因此 。l i m 毪掣：圣t ( p 2 ) 七_ 孔七 。 故圣+ ( p 1 ) 圣+ ( p 2 ) ，命题得证( d ) 兮( n ) 是后面引理4 8 的直接推论 口 8 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第三章主要结果 第三章主要结果 在这一章中，我们给出本文的一些重要命题和主要结果，推广了t h o m p s o n 的关于 可加情形的结果但我们暂时不给出主要结果的证明，其详细证明在下一章给出 定理3 1 设( x ，d ) 是紧致度量空间，t ：x _ x 是具有s p e c i f i c a t i o n 性质的连续 变换假设圣：= 【九) n - 。- ：0 0 1 是x 上的满足( 1 1 ) 的几乎可加势函数且： p 群( x ) 圣+ ( p ) 0 ，存在两个遍 历测度p 1 ，p 2 m t ( x ) 满足： ( 1 ) h m + ，+ ) c 一，y ，i = l ，2 ( 2 ) 圣+ ( p 1 ) 西木( u 2 ) ，这里圣+ ( 地) ：= l i m o 。元1 ，厶咖 ，i = l ，2 那么 ( 厂) c - 进一步，如果c = 取( ，) ，例如x ，- x ，则 ( 芦) = p x ( y ) 要证明这个定理，我们需要压的分布定理，陈述如下。 命题3 1 设t ：x _ x 是连续变换，芦= 厶) 是x 上的满足( 1 1 ) 的几乎可加势函 数，z x 是任意的一个b o r e l 子集假设存在两个数e 0 和8 0 满足下面的条 件：存在一列b o r e l 概率测度 胀) 及其个弱宰极限点p 满足矿( z ) 0 ，并且对每个 充分大的佗和每个与z 相交非空的球昂( z ，e ) 都有 l i ms u p # t o ( b n ( z ，e ) ) ke x p - n s + 厶( z ) ) ： 七 + 那么 忍( 芦，) s 证对任意一个z 的覆盖r ：= 【虽k ( 观，e ) ) 及充分大的和n n ，根据题设有： 乏： e x p - s n +s u p九( z ) ) 芝：e x p - s n i + 凡( 戤) ) 晶t 占：) e r z ( e ) b n i ( e ) e r 一s d 甄，) nz 知 k l i m s u p # k ( b 岖( x ) ) 晶t ( x i ，e ) e r ，b n t ( 瓤，e ) nz 口 十 k 一1 v ( z ) 0 故m ( z ，s ，n ，一 0 ，所以场( 厂，) s 口 除了上面的命题之外，我们还需要下面的命题在这里，我们不做证明，详情请见 文献【1 3 1 1 0 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第三章主要结果 命题3 2 设( x ，d ) 是紧致度量空间，t ：x - x 是连续变换，p 为遍历测度对 e 0 ，y ( 0 ，1 ) 及满足( 1 1 ) 的次可加势函数皿：= 讥) 格c ( x ) ，记 n p ( 皿，y e 亿) = i 乎 e x p 砂n ( z ) ” z e s 这里的下确界取遍满足p ( z ) 1 一，y 的z 的( n ，e ) 生成集，则我们有 1 + 皿+ ( p ) = 。l i 。m o l n i m + i n o o f 三n1 0 9 p ( 皿，y ，佗) 如果将下极限换做上极限，结论仍是对的 我们的研究对象是几乎可加势函数，因此，在这里稍微改变上面命题的形式，以适 合我们的需要如果皿：= 妒n ，擒是几乎可加的，即存在常数c 0 使得j 衫i m + n ( z ) 一 ( z ) 一讥( p ( z ) ) i 岛令怯( z ) ：= 饥( z ) + 吼，则皿7 ：= 识) n 1 是次可加的，并 且皿+ ( p ) = 雯坪( p ) 由此，我们可以得到下面的命题 命题3 3 设( x ，回是紧致度量空间，t ：x _ x 是连续变换，肛为遍历测度对 e 0 ，y ( 0 ，1 ) 及满足( 1 1 ) 的几乎可加势函数皿：= 饥) n - - ：0 0 1 c ( x ) ，记 n 肛( 皿，7 e n ) = 1 妒 e x p 妒n ( z ) ) ) z e s 这里的下确界取遍满足z ( z ) 2l 一7 的z 的( n ，e ) - 生成集，则我们有 1 + 霍4 ( p ) = e l 。i m u l n i m 十i n o o f 三n l o g n p ( 虫，y ，e ，r 0 如果将下极限换做上极限，结论仍是对的 到现在为止，我们列出了主要结果及其证明所需要的一些命题下一章，我们将证 明这些主要定理但是，在本章内容结束之前，我们对前面刚刚提到的一个问题给出 回答，即：当测度理论熵映射phk 上半连续时，我们可以通过定理3 3 证明定理 3 2 当然，在没有这个条件的情况下，我们将在最后给出其证明 证我们断言定理3 2 的假设能推出定理3 3 的假设下面我们证明这个断言因 为c ：= s u p 札+ 芦。( p ) ：p a 4 t ( x ，) ) ，所以存在遍历测度p 1 满足h p 。+ 芦+ ( p 1 ) c 一- y 3 又因为i n f , , m t ( x ，) 圣+ ( p ) c 一2 7 3 因为t 具有 s p e c i f i c a t i o n 性质，而且ph “上半连续，由【1 4 1 中的定理b ，存在一列遍历测 度 c 一，y 且西+ ( p 2 ) 西+ ( p 1 ) 断言获证 口 1 2 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第四章定理3 3 的证明 第四章定理3 3 的证明 在这一章中，我们的主要目的是证明定理3 3 ，然后在本章的最后给出定理3 2 的 证明方法为了达到这个目的，我们首先构造一个分形，然后定义一列满足压的分布 定理假设的嚷 ”测度，从而可以运用这个定理完成证明最后，我们对这个证明定 理3 3 的方法稍微加以改进，重复证明3 3 的过程来证明定理3 2 固定充分小的正数，y 0 由假设知道，存在两个测度p l ，p 2 使得圣( p 1 ) 西+ ( p 2 ) 因此，我们可以选择充分小的正数5 0 ，使得 i 圣+ ( p 1 ) 一圣+ ( p 2 ) i 4 5 为了叙述方便，在此，我们定义一个函数p ：n _ 1 ，2 ) 如下。 p ( k ) = 1 + k ( m o d 2 ) 由次可加遍历定理可知：存在一列严格单调下降的正数列如一0 满足5 1 1 7 由此，通过命题3 2 ，我们得到本章的第一个引 理如下。 引理4 1 对任意充分小的正数e 0 ，存在一列整数礼 ：一+ o o 和一族有限集合鼠为 圪的( 吼，4 ) 分离集满足； 地e x p n k ( c 一4 7 ) ) ， 其中m k ：= e $ 鼠e x p f n ( z ) ) 进一步， n 七可以选得使扎七m a x k ，2 m ，这里 m 知= r e ( d 2 知) 与s p e c i f i c a t i o n 性质定义1 4 中的意义一样 这个定理为我们提供了构造分形的基础和出发点下面，我们对这个引理进行严格 的证明 证由命题3 3 ，对任意充分小的及i = 1 ，2 ，有 骁罂籍去l o g 触( 芦，7 ，4 ，n ) ，+ 芦+ ( 胁) 一，y c 一2 7 令 13 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第四章定理3 3 的证明 骗( a ，厂，e ) ：= i n f 。s e x p f n ( x ) ：s 是a 的( 他，e ) - 生成集) ， p n ( a ，芦，e ) ：= s u p e 。s e x p a ( z ) ：s 为a 的( 扎，e ) 一分离集， 显然，我们有q n ( a ，兀e ) r ( a ，e ) 对每个忌，有脚( 七) ( 琉) 1 7 ，再由 脚( k ) ( ，y ，4 e ，n ) 的定义，可知：q n ( k ，歹，4 e ) 脚( ) ( ，m4 e ，n ) 记m ( k ，n ) = p ( y k ，芦，4 e ) ， 则 l n i m 。十i n f - n 1 1 。gm ( k ，佗) 妊n 蹬云1l 。gq n ( 妖，4 e ) _ l n i m 十i n f - n i1 。gn t - , p ( 七( 厂，7 ，4 e ，n ) c 一2 7 因此，存在一列n 七一+ o o 满足去l o gm ( k ，n 七) c 一研又因为m ( k ，几凫) = r 。( 磙，芦，4 e ) ， 故存在瓯为k 的( 佗知，4 ) - 分离集，满足： 去1 0 9 ( 互唧) ) 1 讯l o g 坤胁h 川7 因此 去1 0 9 慨去l 。g m ( k ，讯) 一，y c 一4 7 ， 即 m k e x p n k ( c 一4 7 ) ) 口 由假设( 1 1 ) ，我们可以选择充分小的e 使得r ( 厂，2 e ) 3 e 证 因为主主，所以存在z 帆满足i z 杰那么d n 。( 茁2 ，p ( 可1 ) ) 毒且 d n 。( z 复，弘) ) 4 e e 2 一e 2 = 3 e 引理得证 口 因为这个事实，我们可以得到不同的至产生靠中不同的点，所以有券瓯= 榉蹬 至此，我们对 仇) 的构造完成氕的构造方法与 c k 】相似，不同的地方是磊中的 点要跟踪一串从c 1 到瓯中的点我们把它的构造放到下一小节 15 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压第四章定理3 3 的证明 4 1 2 过渡集族 磊) 七n 的构造 在这一部分，我们采用与构造靠类似的方法，通过s p e c i f i c a t i o n 性质递推地构造 五 令五：= c 1 ，t 1 = c 1 我们由五递推地构造五+ 1 过程如下：设z 死，y 仇+ 1 ， 令t 七+ 1 ：= “+ m 七十1 + + 1 ，由s p e c i f i c a t i o n 性质，我们能找到一点z ：= z ( z ，y ) 使 得d t 。( z ，z ) 南并且电+ 。( y ：t t k + m k + - ( z ) ) 1 ，我们只取其中之一下面的引理说明磊中的点也是两两不 同的，但是某些点之间的d t 。一l - 距离却非常小 引理4 3 对任意的z 五以及不同的y l ，y 2 仇+ 1 ，有下面的事实。d t 。( z ( x ，y 1 ) ，z ( x ，y 2 ) ) 2 e 因此磊是( 如，2 e ) 分离集特别地，如果 z ，z 7 磊，则 瓦。( z ，嘉) n 瓦。( z ，嘉) = 口 证设p ：= z ( x ，y 1 ) ，q ：= z ( z ，y 2 ) 因为p 和q 同时跟踪z ，所以 也。( p ，g ) 唬。o ，茁) + d 。o ，g ) 刁晶+ 刁晶 3 e e 2 一e 2 = 2 e 引理获证 口 综上所述，我们有社氕= 桦c l # c 2 # o k = 甜母烈妒：舻蹬这里，我们沿用t a k e n s 和v e r b i t s k y 的术语，如果对z 磊及z 五十1 ，存在y 仇+ l ，使得z = z ( x ，耖) ，则 称z 磊+ 1 继承于z 五 到现在为止，我们已经知道：瓯是k 的( 毗，4 e ) - 分离集；靠是x 的( c 七，3 e ) - 分 离集；五是x 的( 如，2 e ) 分离集这些性质是对这三个集合的本质刻画在给出分形 的具体形式之前，我们需要两个集合的关系下面的引理解决了我们的问题 1 6 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压第四章定理3 3 的证明 引理4 4 如果z 瓦+ 1 继承于。五，则 百。( z ，毒) c 百t 。( z ，嘉) 证 任取7 b t 川( 名，毒) ，由三角不等式， 吼( z 7 ，z ) 呶+ 。( z 7 ，z ) + 吼( z ，z ) e 2 七+ e 2 + 1 1 兄d 对任意的p f ， 有p 最，其中k 1 由引理4 3 知 b t 。( z ，e 2 b 1 ) z 五互不相交，所以存在唯一的 五，使得p b t k ( ，2 七一1 ) 再由磊的性质，存在唯一的z 七一1 磊一1 和唯一的 y 知瓯满足z 七= ( 名七，矿) 因此， z 七= ( z k - 1 , 矿) = ( ( 少一，矿一1 ) ，y ) = = ( ( ( 白组) ，可蚀) ) ) ，( 盟) ，秽衄) ) 这里对j = 1 ，2 ，k ，珊 1 ，2 ，# s j ) j 是唯一的所以，我们可以定义下面的一 一映射： 名纽，p 2 2 ，丝，) h 组，丝，丝，) 事实上，p = 石( 堕，丝，丝，) ，即p 可以被唯一的表示成：里：= ( 塑，p 一2 ，丝，) 同时 有 p ) = n i n 百如( 忍蛐；e 2 扣1 ) ，其中旎q ) ：= z ( 堕，一p 2 ，堕) 至此，我们完成了分形 的构造 4 2 定理3 3 的证明 下面的引理给出了上一节中所构造的过渡集五中点的一个性质然后，我们通过一些 引理找到一列测度，并对它们进行刻画，从而说明它们满足需要，最终完成我们的证 明 引理4 5 给定z = 名0 1 ，p 2 ，m ) 五，则 ( 嚷，p 一1 + 佻钟_ 1 + f l ( z ) ) 萼， 对任意的i 2 ，3 ，七) ，1 1 ，2 ，m ，；当i = 1 时， 厶。( 嘞，t h 胁1 + n l ( z ) ) 誊 1 7 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第四章定理3 3 的证明 证 固定i 2 ，3 ，k ，z 1 ，2 ，i ) 对m l ，2 ，k 一1 ) ，记= z ( 一p l ，一p 2 ，勉) 由分形的构造过程及三角不等式，我们有： ( z t “一l 十盹+ ( 一1 ) ( 帆+ m ( z ) )d m ( t ( 2 1 ) ( 盹+ ，l ( 堕) ) ，t 缸一1 + 佻+ ( 2 1 ) ( 讹十m ( 忍) ) + 屯( z 刍，t “一1 ) ( m i + 啦 ( 堕) ) ) + 屯( t 厶一l + m t + ( 1 1 ) ( 啦十m ) ( 磊) ，t 一l + m t + o 一1 ) ( m i + m ) ( z ) ) 素+ 叱 蚀) ，t “1 十讹( 旎) ) + d m ( t t - l + 盹+ o 一1 ) ( 讹+ m ) ( 忍) ，7 如一l + 帆+ ( 卜1 ) ( 佻+ n i ) ( z ) ) 素+ 云+ d t ( 盈，z i + 1 ) + l ( z i + l ，z i + 2 ) + + 也 一l ( z k 一1 ，z ) eeeee 孬+ 虿+ 孬玎+ 季硒+ + 西 1 是收敛的，但是 本文并不需要这个事实，所以这里省略掉对这个事实的说明按照我们的整体思路， 下面对f 瓤进行验证 引理4 8 对任意的p f ，序列去咖“( p ) 发散 证由p 点的构造，圣的几乎可加性，注2 2 以及三个分离集的事实，我们可以对 下面的表达式直接进行计算估计 瓦1 也。( p ) 一西+ ( 脚( 七) ) i 去l 也。) 一曲( z ( 堕，丝，丝) ) i + 去l 也。( z ( 坦，p 2 ，丝) ) 一t k q l t t p ( k ) ) i 去i “白) 一妣( z ( 堕，一p 2 ，p a ) ) i + 瓦1 l 也。( z ( 盥，p 2 ，塑) ) 一也k - - c k ( z ( 堕，一p 2 ，丝) ) 一九( p k - - c k ( z ( 盥，一p 2 ，醴) ) ) i + 去i 也。一“( z ( 礁，一p 2 ，p a ) ) i + 去i 九。( t t k - c k 。( p l ，一p 2 ，丝) ) ) 一九。白( 砖，磁，p ) ) + 咖 ( p ，p l ，p ) ) 一“圣+ ( p 户( 七) ) i 由p b t 。( z ( 塑，丝，丝) ，e 2 七一1 ) 和r ( 圣，e ) 的定义，我们有。 l 扣。) 卅( ) i 即c 2 ) + 鲁+ 警胁。托 ”眉。蓐 + 去l 机。( t “一c 。( z ( 丑，丝，趟) ) 一九。( ! ，( p ，砖，p ) ) i + 去m 秒( 砖，p ；，彘) ) 吨圣+ ( 陬砷) i 即，e 2 - t ) + 鲁+ 警且如删蚧2 七) + 去i 九。( 可( p ，p 2 ，p ) ) 一如圣+ ( p p ( 惫) ) i 关于几乎可加势函数在不规则集上的拓扑压 第四章定理3 3 的证明 至此，我们只需要估计； 去l 也t ( ( p 2 ，砖，p ) ) 一札西+ ( ( 七) ) i 加一项，冉藏掉同一 项，我们有： 去i 也。( 秽( p ，p l ，p ) ) 一圣4 ( p 小) ) i 去l 咖c 。( ! ( p ，p l 一，p ) ) 一咖c t n t ( 可( p ，p l ，p ) ) 一九。( p k n ( y ( p ! 砖，p ) ) ) l + 麦i 也t n * ( p ，p l ，p ) ) + 如。( t c k - - n k ( 秒p ，p l ，p k ) ) ) 一如圣+ ( p p 似) ) i 鲁+ 去i 纸嘲( 秽( p ，砖，晚) ) + ( t c k - k ( 秒( p ，p l ，巍) ) ) 一妣( 堍) + 饥( z 钳一( “一亿七) 西+ ( p p t ) 一n 七圣+ ( 肛州i 鲁+ 去l 九。一n 。( 矽( p ，p ；，唬) ) 一( t k - - n k ) 圣( 邱川 + 去i 咖n t ( t c k - k ( 可( p ，砖，p ) ) ) 一* ( z ：) l + 去( ) 一n 七圣( p 剥l 鲁+ 半+ 警 + 去i 西一n t ( y ( p ，p 2 ，p ) ) 一( t k - - 佻) 圣+ ( 眠) i 所以，又只需估计。去l 九一竹。( 可( p ，p l ，p ) ) 一( 札一n 七) 圣+ ( p p * ) i ，而它可以从几乎可 加的定义、s p e c i f i c a t i o n 性质、注2 2 以及前面的引理4 5 得到良好的估计事实 上， 1 1 , 6 i o 。一n 。( 可( 前，砖，赢) ) 一( “一孔k ) 圣+ ( 鳓。) l 去l 札。一n 。 ( p ，p l ，巍” 一厍 。矗 一九。一n 七一m 。( 可0 ，砖，p ) ) 一。( t 一n 一一m - ( p ，p l ，晚) ) ) i + i 。( t c k - - n k - , n k ( 耖o ，砖，p ) ) ) i + 去l m 七圣4 ( p p 9 1 七 +