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摘要 具有特定性质的多小波的构造及其在图像处理中的应用 摘要 多小波是小波分析发展的新阶段，因为它能同时具有紧支、正 交、对称性、高消失矩等性质而引起人们广泛的兴趣。然而它的进 一步发展却受到两个问题的困扰：一是构造比较困难，多小波的高 通和低通滤波器之间不像单小波一样有统一的、简洁的关系式，这 使得即使构造出了多小波的尺度函数，要算出与之相对应的多小波 函数还是非常困难；二是理论上完美的多小波在实际应用中的表现 却不尽如人意，应用起来也不方便，需要有预滤波过程。 l i 锄从滤波器翻转性( f l i p p i n gf i l t e r ) 和高通湮灭特性出发，提出 4 r m f e 亡正交多小波的构造方法，从而给出一种解决以上两个问题 的方法。本文正是从l i a n 的研究成果出发，先将滤波器平移性以 及a r m f e 亡性推广到双正交系统中，然后给出这种情形下多小波的 高通和低通滤波器之间的一个简明的关系式。这个关系式使得双 正交的多尺度函数和多小波函数的构造过程最终可以由两个多项 式来决定。同时由于这个关系式中含有参数且参数的个数可以选 择，这就为多小波的构造提供很大方便和极大灵活性。特别地，对 于2 重多小波情形，文章给出了一系列具有a r m z e 亡性质的例子， 包括：滤波器为奇数长的正交a r m 2 e 亡多小波、双正交a r m 2 e 芒多小 波、b b m 4 多小波。另外，这里证明了具有4 r m 耽性质的双正交 多小波可以保证输入多项式的扰动不影响多小波分解过程的高通输 出。这个特性使这类多小波同平衡多小波一样无需预滤波，应用很 北京化工大学硕士学位论文 方便。最后，本文对所构造的a r m l e 亡系列多小波在图像处理中的 应用进行仿真实验。实验结果也表明，具有这种性质的多小波具有 良好的应用前景。 关键词：多小波，平衡性，构造，图像处理，正交双正交，4 7 仇f e 亡 性，滤波器 摘要 m u l t i 、e l e tw i t hs p e c i a lp r o p e r t i e sa n di t s a p p u c a t l o ni nl m a g ep r o c e s s l n g m u l t i w a v e l e ti sm en e wd e v e l o p l e n to fw a v e l e ta n a l y s i s i ti sv e 巧 a 缸a c t i v eb e c a u s ei tc a i lp o s s e s so n h o g o n a l i 吼s h o r ts u p p o r t ，l l i g ho r d e r o fs m o o t l l e s s ，l l i g ho r d e ro fv a i l i s l l i n gi n o m e n t s ，a n ds y m m e 啦加t i s y m m e t r ys i m u l t a n e o u s l y h o w e v e r l ef u 】n h e rd e v e l o p m e n to fm u l 吐- w a v e l e th a sc o i l f r o n t e dt 、op r o b l e l s o n ei sm a tt l l ec o n s 协l c 石o no fm u l - t i w a v e l e ti sv e 巧d i f j f i c u l t n e r ei sn ou n 怕ma n ds i i i l p l er e l a l i o n s l l i p b e t w e e n 山e1 1 i g h p a s sf i l t e r sa i l d1 0 w p a s sf i l t e r si i lm u l t i w a v e l e ta sm a ti i l s c a l e - v a l u ew a v e l e t s oi t sn o te a s yt oc o i i l p u t em u l t i w a v e l e t se v e ni fw e k n o wm ec o r r e s p o n d i n gm u l t i s c a l i n gf u n c t i o n s t h eo t h e ro n ei sm a tt 1 1 e a p p l i c a t i o no fm u l t i w a v e l e t i sn o ta sg o o da se x p e c t e d 山o u g hi th a sp e r t t t l e o 巧s u p p o r t a n d i t sa p p l i c a t i o ni si n c o n v e l l i e n tb e c a u s eo f p r e f i l t e 血g l i a nf o u n do n ew a yt ot a c h em e s ep r o b l e i n sb y i n 仃o d u c i n gam e m o d o fc o n s t l l l c t i n ga r m f e 亡o m l o g o n a lm u l t i w a v e l e t ，w h o s e 矗1 t e rm e e t s f l i p p i n gp r o p e r t ya n dm g h p a s sa n n i l l i l a t i o n t h ep a p e ri sb a s e do nl i a n si e s u l t s w - e6 r s te x t e n dt h en o t i o no fa r 7 n z e 亡a dn i p p i n gp i o p e r t yo ff i l t e r s t ob i o r t l l o g o n a ls y s t e m t h e nw ed e r i v eac o n c i s er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt 1 1 e m g h p a s sa n dl o w p a s s s 丘l t e r si nb i o r t h o g o n a ls e t t 1 1 i sr e l a t i o n s l l i pm a l s 北京化工大学硕士学位论文 i te a s yt oc o n s 缸u c tm u l t i w a v e l e tb e c 硼s e m l t i w a v e l e t s 趾d 删l l t i s c a l i n g f u n c t i o n sa r ed e c i d e do n l yb yt 、7 l ，op o l y n o i n i a l s i ta l s op r o v i d e sn m c h n e 虹b l ef b rc o n s t m c t i o nb e c a u s ei tc o n t a i n sp 删t e r s 锄dm en u m b e ro f p a r a i 】1 e t e r sc a nb ep o i n t e da sn e e d e d w i mm eh e l po f t 1 1 e s er e l a t i o n s h i p s ， w ec o n s 臼n j c tas e to fa r m f e 亡m u l t i w a v e l e t sw i t hm u l t i p l i c i t ) rr = 2 ，s u c h a so d d 1 e n g mo r m o g o n a l4 r r 川e tm u l t i w a 、，e l e t s ，b i o m l o g o n a la r 仇f e 芒 m u l t i w a v e l e t sa n db b 订am u l t i w a v e l e t s i i la d d i t i o n ，、ea l s op r o v et l l a t i n u l t i w a v e l e tw i t l la 7 m z e tp r o p e n yc a ng u a r a n t e ew a v e l e td e c o m p o s i t i o nw i mk g h p a s so u t p u tn o tb e i n ge h e c t e db yp 0 1 y n o m i a lp e r t u r b a t i o n o f 1 ei n p u t t m ss p e c i a l i 哆m a k e si tc o n v e i l i e n tf o rt h e s em u l 石w a v e l e t s t oa p p l i c a t i o n ，b e c a u s em e yn e e d n tp r e f l l t e r i n gj u s tm 汜w h a tb a l a n c e d m u l t i w a 、，e l e t sc a nd o f i n a l l y w ea p p l ym e s ee x a r n p l e st oi m a g ep r o c e s s - i i l g t h es i i i m l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tm u l t i w a v e l e tw i ma r m f e tp r o p e r 哆 h a sap r o i l l i s i n gf u t u r ei na p p l i c a t i o n k e yw o i s ：i n u l t i w a v e l e t ，b a l a n c i n g ，c o n s t m c t i o n ，i m a g ep r o c e s s i n g ， o 劬o g o n 扔i o n h o g o n a l ，a 7 仇f e 芒，丘1 t e r 符号说明 符号说明 s d b d l e 可指数为s f 的支撑为 o ，6 】 日d f 如r 指数为e 全体实数集 全体自然数集 全体整数集 全体正整数集 矩阵尸转置 范数 内积 p ( z ) 的共轭转置 ，( z ) 的傅立叶变换 ，( z ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 一竹 多项式p ( z ) 的次数 平方可积空间 厂= 【 ，2 ， 】t ： l 2 ( 只) ，i = 1 ，2 ， 2 次收敛数列全体 “c 1 ，c 2 ，c r 】t ：c = 砖) 七。1 2 ( z ) ，i = 1 ，r ) 】乙；l ：= 嘴k ；z 2 ( z ) ，蕾，j = 1 ，r ) 空间l 2 ( r ) 中的多尺度函数 空间l 2 ( 冗】中的多小波函数 2 一j 2 ( 2 歹z 一后) 2 一j 2 妒n ( 2 一z 一后) 三2 ( 冗) 空间中的闭子空间序列 r 阶单位矩阵 d 梳序列使得南= 1 ，而对角纠 o ) ，以= o = 德啪 酽一俨rz 4严咐，刑一堋删卿相杆聊叫蚪州俐以 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 ，个， 作者签名： 耄超 日期：筮：。至：兰尘 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属 北京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在三年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本 授权书。 日期：监。：缕 日期：里堡：! ：兰翌 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多小波理论的发展概况 小波分析起源于调和分析，它是傅立叶分析的最新发展，是时频分析新的 工具。它包含丰富的数学思想，推动了泛函分析和调和分析理论的发展，同时 具有广泛的应用价值，并在科学信息领域已经取得了令人瞩目的成就【l - 1 羽。 经典的小波理论在九十年代初期已经非常完善，但是在实际应用中仍然存 在许多缺陷。为解决这个问题，许多理论研究者做了一些尝试【1 蚴】在这一过 程中，尤其具有重要意义的是多小波( 或称为向量值小波) 的提出。它能同时 具有应用中所需的正交性、对称性、紧支撑性和高消失矩等良好性质( 这对经 典的小波来说是不可能的) ，因而它的出现引起了人们广泛的兴趣。 蛳最早构造了多小波渊，用来作为一些多项式的基底表达式， 它具有一定的消失矩，是l 2 ( 冗) 中的不连续函数1 9 9 4 年，q ) o i 缸啪 基于f 重多分辨分析的理论建立了多小波理论的基本框架r 2 5 】。接 着，g e r o n i m o 、h a r m n 、m 越s o p u s t 利用分形插值的方法成功地构造了具有 正交、短支集、对称反对称和二阶消失矩的著名的g 删多小波陶，这使得 多小波开始受到人们广泛地关注。1 9 9 6 年，c h l l i 和l i 皿不用分形插值的方法 重构了c m m 多小波，并且在加上h e n i l i t e 插值条件后构造了支集在【o ，2 】、【o ，3 】 上的c l 系列多小波唧。此后，有关多小波的理论研究得到蓬勃发展【2 蝴】。 然而由于多小波的滤波器组为矩阵序列，而矩阵乘法具有不可交换性，这 就使得多小波的高通和低通滤波器之间并不存在一个类似于单小波中两者之间 的简便关系式。这样即使能计算出多尺度函数，要求出相应的多小波函数还是 有困难。目前有许多文章对多小波的构造方法进行了研究【4 ”6 】：l s h e n 等人 给出了从单小波出发来构造多小波的方法【5 7 ；5 8 】；vs 骶l a 对多小波在时域和频 域上的性质深入分析后，提出用二尺度相似变换来构造多小波f 5 9 j ；pl u e d e r 则 设法将多小波的构造转化为线性方程组的求解问题【删；w l a w t o n 介绍了利用 矩阵扩充来解决多小波构造问题【6 1 1 。特别地，在2 0 0 5 年l i 觚从滤波器翻转 性出发，通过放宽对多小波的多尺度函数的对称性要求，给出多小波高通和低 通滤波器之间一个统一的、简明的关系式【6 2 】，这为多小波构造提供了极大的 北京化工大学硕士学位论文 方便。同时，由于这个关系式是含参数的，这就为多小波构造提供很大的灵活 性，也为设计多小波滤波器组提供了极为强大的工具。 为了满足实际应用对多小波滤波器性质的需要，j i a n g 基于最优时频分析 构造出o p t 多小波【6 3 】，d o n o v 缸构造出正交的样条多小波，j oy e wn 锄等为 图像压缩的需要构造出具有良好多滤波器性质( g o o di n u l t i f i l t e rp r o p e r t i e s 简记 作q 皿s ) 的多小波嗍。可是，理论上非常完美的多小波在实际的应用中出现 了问题，就像) ( i a 嘲、l e b u m 嘲等指出的：由于多小波各个尺度函数之间谱行 为( s p e c t r i mb c h a v i o r ) 的不一致性，直接利用离散多小波变换( d m ) 对 一维信号进行分析时会出现混频现象，这使得应用d 姗进行信号处理时常 常需要有一个预滤波过程【6 7 - 7 0 】，如采用插值预滤波( i i l t e 唧l a t i n gp r e f i l t e r s ) 1 6 刀、基于面积的预滤波( q u a d r a t u r e b 嬲c dp r e f i l t e r s ) 口1 1 、h 蛐1 r d a c h 预滤波 【7 2 】等方法进行处理。然而预滤波有一些缺陷：首先，它往往会破坏多小波 预先设计时具有的良好性质，如对称性会丢失，这就与引入多小波的原旨 相背；其次，预滤波器的设计和多小波关系密切，不同的多小波对应着不同 的预滤波器，应用起来很不方便；另外，预滤波的处理过程需要有预前滤波 ( p r e l i l t e 血g ) 和预后滤波( p o s t f i l t e r i n g ) 两个过程，这使计算的复杂度和计 算时间要大幅度增加。为避免预滤波，k b u m 提出了平衡( b a l 觚c e ) 的概念 嗍。这个性质使多小波在构造时每个分量的谱行为就一致。这让应用d m 处理一维信号变得容易【7 ”钔。然而，由于高阶平衡条件是非线性的，要构造高 阶平衡多小波十分困难。为此，l i 觚提出了加州酣的概念【6 2 ；7 9 】。a r m z e t 性 质不像平衡性那样要求滤波器同时具有高通湮灭和低通保持特性，而只要求滤 波器具有高通湮灭性，这样能有效避免预滤波过程又减少对多小波构造的限制 条件，使得高阶a r m 把亡多小波的应用变得很方便，构造也变得相对容易。 目前，一个非常令人感兴趣的研究课题就是根据实际问题的需要设计出具 有特定性质的多小波，从而充分发挥多小波的理论优势，规避其不足【；舭】。 另外，复数多小波、高维多小波【蚴、小波框架【8 3 _ 新】等也是近年来受到高度关 注的研究热点。随着多小波理论和应用的进一步发展和完善，它将会极大促进 科技和工程应用的各个领域的新的发展。 2 第一章绪论 1 2 小波在图像处理中的应用概述 小波在很多的领域有广泛应用，如金融领域、地球物理勘探、数值分析、 军事领域、信号分析等等。而小波在信号分析领域，尤其是在图像处理领域的 应用是非常成功的。特别值得一提的是新的国际图像压缩标准脚2 0 0 0 用小 波变换来代替d 凹变换作为基础，更是工程领域对小波分析工具实用性高度 认可i 昭】。小波在图像处理领域中的应用大体可以分为一下几个方面：图像压 缩【8 妯1 1 、图像去噪奶】、图像融合陋l 删、图像检测、图像边缘提取、图像 增强、数字水印嵌入【1 0 1 - 1 0 4 】等。限于篇幅，对这些方面作面面俱到的介绍不大 可能，因此这里仅对其在图像压缩、图像去噪领域的应用作一些简单的介绍。 图像压缩的目的是通过降低图像的冗余程度来减少显示图像所需要的数据 量【1 0 5 ；炳1 。图像压缩的方法可以分为两大类：有损压缩和无损压缩。有损压缩 充分利用了人类视觉的冗余，它允许一定程度的数据丢失，使得在满足实际应 用的效果下实现较高的压缩比。原始图像经过有损压缩后，其数据不能由压缩 数据完全地恢复出来，恢复的数据只是某种程度的近似。在对图像进行小波 变换后，对所得的小波系数进行一些向量量化的编码方法，如零树编码方法 【1 明、s p 珊t 算法f l 吲、s p e c k 算法f l 凹】等都是有损压缩的编码方法。无损压缩 则是在编码过程当中仅仅去除图像冗余而不允许信息的丢失，因此压缩的效率 不是很高，它在遥感图像和医学图像的处理中经常要用到。根据第二代小波变 换框架而得到的整数小波变换是适应无损图像压缩需要而发展出来的一种小波 变换。这种变换使得原始数据能从压缩数据中完全精确的重构出来【1 1 0 ；l l l l 图像去噪是小波变换应用比较成功的另一领域。图像由于采集过程中设备 的性能、环境状况等条件或者传输过程的限制，往往会含有一些随机噪声。 这些噪声的存在会影响图像的有效使用，因此在进行下一步的图像处理之前 必须滤去图像中的噪声。利用小波变换来消除噪声的常用方法有屏蔽去噪法 f l l 2 ：1 1 3 】、模极大值方法【l l “l l 们、阈值去噪法【1 1 7 】等。屏蔽去噪法把低分辨率下 的小波系数完全保留，对于高分辨率下的系数仅保留那些被确认为边缘附近的 点，而去除所有其他的点。这种方法能够基本去除噪声，并保留较多的边缘信 息，方法的关键是如何识别边缘。模极大值检测方法则是充分利用了随机噪声 和有效信号奇异点的l i p s c l l i t z 指数大小不一样，以及它们的l i p s c l l i t z 指数随小 北京化工大学硕士学位论文 波变换的模极大值在不同尺度下传播的行为也不一样的特性，来区分随机噪声 和有效噪声，从而滤去噪声。阈值去噪方法是具有良好统计优化特性的小波变 换去噪方法，也被称为阈值收缩方法 ，a v e l e ts b r i n k a g e ) 。它基本的思想是：图 像和随机噪声在进行小波变换后具有不同的统计特性，图像能量对应于幅值较 大的小波系数，主要集中在低频部分( l l ) ，噪声能量对应于幅值较小的小波 系数，并分散在所有的小波系数中。根据这一特点，设置一个门限，大于该门 限的小波系数被认为是有效信号部分，经过收缩后保留，小于该门限的小波系 数为噪声，予以剔除，从而达到去噪的目的。 1 3 本文的研究内容 多小波函数和多尺度函数的构造方法和它们在信号处理方面的实际应用效 果一直是人们关注的两个主要问题。构造的困难程度和实际应用的复杂性阻碍 了多小波的广泛应用。本文从“a n 提出的a r 仇z e t 概念出发，对a r m f e t 系列 多小波的构造进行了比较深入的研究，并对它们在图像处理中的应用进行仿真 实验，从而对上述的两个问题作出一种解答。 本文的第二章介绍多小波的基本理论、离散多小波变换以及在构造多小波 过程中人们经常考虑的一些性质。这些内容也是开展进一步研究的基础。 第三章回顾了“a n 提出的翻转滤波器构造方法( n i p p i n gf i l t e rc o n s t m c t i o n ) 的相关理论。着重介绍他所给出的正交情形下多小波的二尺度符号之间的关 系。这种关系为多小波高：i 酊低通滤波器的构造提供了很大的方便。然后，从这 个关系出发并结合滤波器为奇数长的a r m z e 亡正交多小波的有关限制条件，这 一部分中给出这类多小波的构造方法，并得到一些算例。 第四章给出本文主要的理论研究成果。在这一部分中，首先将a r m z e 亡性 质推广到双正交系统中，特别地，给出了2 重情形下它的具体表达式。然后， 定义双正交情形下的翻转性( f i l p p i n gp r o p e 啊) ，并讨论它的几种等价形式。接 着，通过把l i 觚所提出的滤波器构造方法应用到双正交系统中，得到该系统中 多小波的二尺度符号之间的关系。即二尺度符号p ( z ) 、q ( z ) 、p ( z ) 、q ( z ) 可 以用p ( z ) 、户( z ) 中的第一行第一列的元素只1 ( z ) 、a 1 ( z ) 来表示。这为双正交 多小波的多尺度函数和多小波函数的构造提供了极大的方便。而此时与之相 应的多小波的滤波器组中，两个低通滤波器组之间是翻转对称的，两个高通 4 第一章绪论 滤波器组之间是线性相位的。随后，利用前面得到的结果，文中给出双正交 a r m z e t 的构造算法，并利用所得的算法求得一些双正交多小波的例子。 第五章对上一章给出的双正交多小波二尺度符号之间的关系式在构造它的 多尺度函数和多小波函数中的应用进行了新的尝试。这里充分利用这个关系式 含参数与参数个数可选的特性，先指定双正交多小波需要具有的性质，再导出 多项式只1 ( z ) 、a 1 ( 名) 需要满足的条件，然后给出详细的算法。这是从另一个 角度对双正交多小波二尺度符号之间的关系式应用的灵活性和简洁性进行说 明，也为读者从自己实用的角度去设计多小波的滤波器组寻找方法提供一些有 益的借鉴。 第六章则是初步探讨具有a r 仇z e 亡性质的多小波系列在数字图像处理中的 应用。文中首先给出a f m z e t 系列多小波图像变换的统计分析结果，以了解这 类多小波变换对子图像的能量集聚效果。接着，对这一系列多小波在图像压缩 中的表现进行仿真实验，并用峰值信噪比( p s m u 来衡量经过压缩恢复后的图 像质量。最后，文章对这些多小波在图像去噪的作用也进行实验，并对实验的 结果采用多个统计指标进行分析，以全面了解它们的性能。图像处理仿真实验 的数据结果表明，具有a r m z e 性质的多小波有着良好的应用前景。 5 北京化工大学硕士学位论文 第二章多小波的理论 这一章简要地回顾一下与多小波有关的理论。首先介绍多小波的基础理论 一一r 重多分辨分析，然后给出构造多小波的多尺度函数所必须具备的若干条 件，接着介绍多小波的生成，离散多小波变换( d 及其快速算法，多小波 构造中经常考虑的性质，最后给出了一些多小波例子。这为开展进一步研究工 作提供重要的理论依据和参考。 2 1 多分辨分析和多小波 2 1 1 多分辨分析 多分辨分析的思想是由m e y c r 和m a l l a t 最早提出的，它给出构造小波的一 般方法，g 1 ) o d m a i l 将其推广到r 重多分辨分析，从而建立起多小波理论的基本 框架。 定义2 1 ：一个r 重的m r a ( 多分辨分析舢1 l t n s o l u t i o na i l a l y s i s ) 是满足下列 条件的己2 ( r ) 空间中的一系列闭子空间( k ) ： 1 ) kc + 1 ，歹z ； 2 ) n ：k = o ，屿zk 在l 2 ( r ) 中是稠密的； 3 ) ，( 2 ) 巧+ 1 ； 4 ) 存在，个函数咖1 ，也，由，使得 ( 一忌) ：1 m r ，詹z 构 成空间的一个砒e s z 基( 稳定基) 。即存在两个常数a 和b ，0 a b 0 有 = 亿10 肌1 = u 2o 阢20 肌l = = 亿lo 阢工0 o 肌1 可以得到 = 丘1o9 1 = 上2o 夕- 2o9 1 = = 上lo 夕一工o o9 1 ， 第二章多小波的理论 其中l j ，夕一j 分别是，在空间，的投影，即 其中， 正歹( z ) =0 叫a ( 2 一j z 一七) 知zi = 1 = ( ) t ( 2 一j z 一七) = ( c j ) t 西( 2 一j z ) 矗z 9 一j ( z ) =露叫讥( 2 叫z 一七) 知zl = l = ( 皆) t 矽( 2 一j z 一七) = ( d 。) t 皿( 2 一j z ) ， 知z c 1 = 【，( 舀) t ，( 分) r ，( 中) t ，】r d j = 【，( 正 ) t ，( 皆) ? ，( 盂j ) t ，1 t 因此，函数而k 可以用下面的多小波来表示 ) = ( c o ) t 垂( z ) = ( d 一1 ) t 皿( 2 1 z ) + + ( d 一工) t 皿( 2 一厶z ) + ( c 一工) t 圣( 2 一l z ) ， 其中的系数d ，d ，c 一二完全刻画了函数，在空间 肌1 ，肌2 ，肌工，亿l 上的投影。 命题2 3 ：给定一个正交的多尺度函数圣和相应的正交多小波皿，则有下面的 分解过程( d e c o 叫砷s i t i s c h e m e ) ! 一：2 ：! 一： 歹：1 ，己( 2 5 ) 1d j ：q d j + 1 j 。1 l【2 。5 ) 其中p 、q 为二尺度矩阵，具体的形式分别为下面的双无限h w 沱块矩阵 p= q= 【弓一豁k z q 划k z ， 9 北京化工大学硕士学位论文 而r 、q 七满足式子( 2 1 ) 、( 2 3 ) 。 命题2 4 ：对于一个正交的多尺度函数西和多小波皿，若其二尺度矩阵为 尹、q ，则有下面的重构算法 c 一升1 = 尹t c o + q t d o ，歹= 厶，1 ( 2 6 ) 多小波变换的塔式算法如图2 1 、图2 2 所示。 ( ) 多小渡分解算法 四峰四州i _ o 。 吣 ( b ) 多小波重构算法 图2 1 离散多小波变换过程示意图 h 昏2 l1 kp r o c e s so fd l 唧旧 ( a ) 多小波分解 儿o ) 咒加) ( b ) 多小波重构 劫) 图2 2 多小波多分辨分析结构图( ，= 2 ) f i g 2 - 2 i 飞em u l 血己s o l u t i o ns 仇l c t u r eo fm u l d w a v e l e t ，w h e r em u l t i p l i c i 锣r = 2 1 0 第二章多小波的理论 2 3 多小波的性质 2 3 1 双正交性及正交性 定义2 5 ：称两个多尺度函数圣( z ) 和毒( z ) 为双正交的，如果 蚧) 双z 一后) 如= 嘶， 七z 这时，也称毒p ) 为圣 ) 的镜像。当毒( z ) = 西( z ) 时，称垂( z ) 为正交的。同 理可以定义多小波的双正交性和正交性。 记多尺度函数毒( z ) 的二尺度方程为 面o ) = 反面( 2 z 一七) ， 七z 而与面( z ) 相应的多小波为画 ) ，其尺度方程为 面( z ) = 国七面( 2 z 一七) 崩z 定理2 1 ：双正交条件等价于 相应地，其频域形式为 最莨州 q 南国：一州 最国：一硼 仇莨州 = 晶，z ， = 晶1 ， = 0 ， = o ， p ( z ) p ( 名) + p ( 一名) p + ( 一z ) = ， q ( z ) q + ( z ) + q ( 一z ) q + ( 一z ) = ， l l ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 一1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) 北京化工大学硕士学位论文 p ( z ) q ( 名) + p ( 一z ) q + ( 一z ) = o ， q ( z ) p ( z ) + q ( 一z ) p + ( 一z ) = o ( 2 1 5 ) ( 2 一1 6 ) 同样地，多小波正交的条件只需要把上式中的户、国换成p 、q 即可以得到。 定理2 1 也被称为多小波的完全重构条件。 2 3 2 逼迸阶 定义2 6 ：称多尺度函数圣( z ) 的逼进阶为p ，如果 忧z ) 一 ，七( z ) 0 = o ( 仇哪) ， 其中，为任何p 阶可导的函数。 如果圣( z ) 具有p 阶逼进阶，那么对于光滑的函数，有 i i ，七( z ) i i = o ( m 一印) 定义2 7 ：称多小波皿 ) 的消失矩为p ，如果 矿吣) 出= 。， 蕾= ”一，r ；七= ”一，p _ 1 多小波皿p ) 具有p 阶消失矩与相应的多尺度函数圣( z ) 具有p 阶逼进阶是等 价的。关于逼进阶还有其他的等价形式，有兴趣的读者可以参考相关的文献 【3 0 ；l l 矗1 刎。 2 3 3 平衡阶 平衡性是i e b l l m 首先提出的，是用来避免预滤波过程的一个很有效的手 段。它可以防止预滤波破坏多小波的良好性质，比如正交性、紧支性、对称性 等。一个满足平衡条件的多小波系统，能使一个平稳的信号在通过滤波器分解 后，高通分量为零，而低通分量保持不变。 定义2 8 ：设口1 ，n 2 ，n r r ，称一个紧支撑向量值函数f = 1 2 第二章多小波的理论 【，1 ，2 ， 1 t l 2 ( r ) r 相对于向量( n 1 ，口2 ，口r ) 为k 阶平衡的，如果 施) ( z 咱) 。如= 施) ( z 一妒如， 其中1 j ，i 八10 1 l k 。 定理2 2 ：多小波是p 阶平衡的当且仅当存在常数伯= 1 ，n ，一1 使得圣具 有p 阶的逼进阶，并且其逼进向量( a p p r o x i m a 石o nv e c 觚) 有如下形式 其中 y ：= ( m ( 孙( 州字) ) 七 风 ) = 嚷仉一一 j = o 定理2 3 ：多小波是p 阶平衡的当且仅当下式成立 p ( ) = 嘉c ( 啦) ，凰( ) c ( 扩p ， 且 眯) = ，一e 0 ，e ；= 去( 1 ”一1 ) 平衡阶等价的其他条件可以参考文献【1 2 l 】。 2 3 4 山m 2 e t 阶 a r 仇2 现阶这个概念是由“啦提出的。加m f 祝是同预滤波、平衡一样都 能满足小波分析的自容性条件( n mo r d e rw a v e l e ta i l a l y s i sc o n s i s t e n c yr e q u m e m 简记为n 一a c ) ，即矩阵值的小波分解过程对于两个输入数据序列 动) 和 铆+ p ( 1 ) ( 其中p ( z ) 是任何最高次为n ( 或仃一1 ) ( n 1 ) 的多项式) ，有相同 的高通输出。换句话说，这一性质能够保证在正交多小波的分解过程中，输入 多项式的扰动( p o l y n o i i l i a lp e m 曲a t i o n ) 不影响高通输出。 1 3 北京化工大学硕士学位论文 设尸( z ) 、q ( z ) 分别满足式子( 2 2 ) 、( 2 _ 4 ) ，引入l a 盯e n t 多项式符号 ( l 撇n t 叫y n o 血a ls y m b 0 1 s ) 匝，凰，珥和研+ 1 ，日r + 2 ，凰，其中 满足 并且 眦) = 三p 寥 h l 洲( z ) ：【玩( z ) ，珥( z ) 】r = p ( ，) 1 ，名r 一1 广， ( 2 1 7 ) h 均，l ( z ) _ 珥+ 1 ( z ) ，凰r ( z ) r = q ( 矿) 【1 ，矿一1 】t ， ( 2 1 8 ) 九z ( r 七) ，九l ( r 后+ ，一1 ) 】t h 1 ( 七) ，l l r ( 尼) 】 1 l r + 1 ( 后) ，h 2 ，( 七) 】 则可以得到a r m f e 亡定义 = h l ( 七) ，z = 1 ，2 ，2 r = 磺， = 簖，惫z 定义2 9 ：称满足( 2 3 ) 正交多小波皿= 眇1 ，讧】t 具有几1 的a r m f e 亡阶， 如果竹是使( 2 1 8 ) 式中的高通符号h m 鲈( z ) 被( 1 一z ) n 整除的最大正整数，即 2 3 5 其他 ( 1 一z ) f l i h 蚴( z ) ( 2 1 9 ) 命题2 1 0 ：对于二重多小波( r = 2 ) 的情形，称式( 2 - 1 7 ) 中的玩( z ) 和凰( z ) 满 足翻转性( f l i p p i n gp r o p e n y ) 【6 2 1 ，如果有 凰( z ) = 严+ 1 皿( 三) ， 1 4 ( 2 2 0 ) 第二章多小波的理论 称式( 2 1 8 ) 中的风( 彳) 和风( z ) 分别满足对称性和反对称性( s y l i n e 缸ya n d 觚d s y 姗e 缸y ) ， 如果 风( z ) = z 2 + 1 凰( 三) ，凰( z ) = 一z 2 + 1 凰( 三) ( 2 - 2 1 ) 这样一来，再假设皿是1 阶平衡的，就可以得到也( 亡) = 1 ( m t ) ，妒1 ( t ) = 妒1 ( ( m + ) 2 一t ) ，如( 亡) = 一如( ( m + ) 2 一亡) 。这个性质在下面构造a r m 2 e 亡 多小波时非常得有用，具体的证明过程可参考l i 觚的文献【6 2 】。 2 4 多小波的例子 例2 4 1 ：g 删多小波，它具有良好的性质：( 1 ) 多尺度函数和多小波的 支撑区间分别是 0 ，1 】、【o ，2 】；( 2 ) 多尺度函数是对称的，多小波是构成对称反 对称对；( 3 ) 该系统具有2 阶逼进阶。其对应的滤波器系数如表2 - 1 。 表2 1g 玎多小波的滤波器组 t a m e 二lf i k 璐0 fg 卸mm u l d w a v e l e t 三d 叫m s 8 凡此e r s日i 9 伽s s 尼z t e r 8 1 5 北京化工大学硕士学位论文 图2 3 ( i h m 多小波及其多尺度函数的图像 n g 2 - 3t h em u l d a u n gf i l 吐。璐a n d 咖1 吐w a v e l e t so f ( m m 珊l l t i w a v e i e t 与之相对应的多尺度函数西( z ) 和对应的多小波皿 ) 的图像如图2 - 3 。 例2 4 2 ：0 p t 多小波，这是j i 舳g 在文献【6 3 】中提出的，这种多小波不仅是 正交、紧支撑、对称反对称的，而且还具有最优的时频分析特性，在信号处理 领域具有非常良好的表现。当其支撑长度为 o ，4 】时，与之对应的低通和高通 滤波器系数如表2 - 2 。 表2 - 2o p t 多小波的滤波器组 i 抽l e2 - 2f i l t c r s0 fc 忧m u l d w a v c l e t l o 锄p 8 8 8 f i l t e r 3h t 9 h p 8 3 3 f l t e r 3 与之相对应的多尺度函数圣( z ) 和对应的多小波皿( z ) 的图像如图2 - 4 。 图2 - 4o p t 多小波及其多尺度函数的图像 f i g 2 - 4t h em u l d s c a l i n gf u n c 石0 n s 粕dn m l d w a v c l e t s0 f0 供删d 吐w a v c l e t 例2 4 3 ：b a t 系列多小波，这是由i b n l n v e t t e r 构造的平衡多小波的 例子。这一系列多小波由于可以规避预滤波过程而受到人们广泛关注。这里只 1 6 第二章