（计算数学专业论文）解非线性方程的修正chebyshev迭代法.pdf

解非线性方程的修正c h e b y s h e v 迭代法 摘要 非线性问题在现代科学计算中占有相当重要的地位，由实际问题经过数学 模型化后导出的方程( 组) 往往是非线性的，因此如何更好的合理解决这些非线 性方程( 组) 在近几十年来成为一个非常热门的研究课题。本文主要研究的是解 非线性方程( 组) 的迭代法。全文共分为四章： 在第一章中，主要介绍了非线性问题与迭代法研究的背景和历史。对全文 经常用到的几个概念作了介绍。 在第二章中，主要对解非线性方程的一些常用方法的构造及其收敛性分析进 行了综述。 在第三章中，主要给出了一族新的修正c h e b y s h e v 迭代公式，该方法依赖于 一个实参数，是三阶收敛，而且是不需要计算二阶导数的，它包含一些著名的 或已有的方法。另外还将该方法推广到多维情况。最后还分别给出了一维和多 维情况下的数值实例说明了该方法的数值效果。 在第四章中，主要给出了一族新的修正c h e b y s h e v h a l l e y 公式，该方法包 含两个参数，是三阶收敛，而且是不需要计算二阶导数的。其中当适当取参数 时，还可以达到四阶收敛，另外还将该方法推广到多维情况。最后还给出了一 维情况下的数值实例说明了该方法的数值效果。 关键字：非线性方程；迭代法；收敛阶；计算效能；c h e b y s h e v 迭代法；修正 c h e b y s h e v 迭代法；c h e b y s h e v - h a l l e y 公式；修正c h e b y s h e v - h a l l e y 迭代法 4 m o d i f i c a t i o n so fc h e b y s h e vm e t h o df o rs o l v i n g n o n l i n e a re q u a t i o n a b s t r a c t n o n l i n e a rp r o b l e mp l a ya铲e a tr o l ei nm o d e ms c i e n t i f i cc o m p u t i n g d i s c i p l i n e s m a n ye q u a t i o n sd e r i v e df r o mp r a c t i c a lp r o b l e m a r e a l w a y s t h e n o n l i n e a rf o r m s s oh o wt os 0 1 v et h e s en o n l i n e a rp r o b l e ma p p r o p r i a t e l yb e c o m e m o r ea n dm o r eh o ti nr e s e a r c hd i s c i p l i n e s t h em a i nc o n t e n to ft h ea r t i c l ei s c o n s t r u c t i n gi t e r a t i v em e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n s t h ew h o l ea r t i c l e c o n t a i n so ff o u r eh a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fn o n l i n e a rp r o b l e ma n d i t e r a t i v em e t h o d 誊a r ep r e s e n t e d t h ec o n c e p tw h i c ho c c u ri nm a n yp l a c e so ft h e a r t i c l ei si n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，g o m ec l a s s i c a l i t e r a t i v em e t h o d sa r e p r e s e n t e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，af a m i l yo fo n e - p o i n tf o r m u l a sf o rs o l v i n gs y s t e m so f n o n l i n e a re q u a t i o n sa r ep r e s e n t e db yi n t r o d u c i n gap a r a m e t e ri n t ot h ec h e b y s h e v i t e r a t i v ef 0 舰u l aa n dt h e i rc o n v e r g e n to r d e ra r ef - 0 u n dt ob ea tl e a s tt h r e ea n dt h e y o n l yre ；q u i r et h ee v a l u a t i o no fo n eo r d e rd e r i v a t i v e ，a n dt h em e t h o d sc o n t a n ts o m e c l a s s i c a li t e r a t i v em e t h o d sa n ds o m em e t h o d sg i v e nb yo t h e r s ，a tl a s tt h eg i v e n m e t h o d sa r ee x t e n d e dt on - d i m e n s i o n a lc a s ea n ds o m ee x 锄p l e sa u r e g i v e nt o d e m o n s t r a t et h e i r e f f i c i e n c y a n d p e r f o r m a n c e i no n e - d i m e n s i o n a la n d n d i m e n s i o n a l i nt h el a s tc h a p t e r ，b a s e do nt h ec h e b y s h e v - h a l l e yi t e r a t i v ef o r m u l a ，af a m i l y o fm u l t i p o i n ti t e r a t i v em e t h o d sb a s e do nt w op a r a m e t e r sf o rs ol v i n gn o n l i n e a r e q u a t i o ni so b t a i n e d ，i t sc o n v e r g e n to r d e ri sf b u n dt ob ea tl e a s tt h r e ea n dc a nr e a c h f 0 u ru n d e rs o m ec o n d i t i o n sa n di t o n l yr e q u i r e st h e e v a l u a t i o no fo n eo r d e r d e r i v a t i v e ，i ta l s oc a nb e e x t e n d e dt on d i m e n s i o n a lc a s e ， a t l a s t ，n u m e r i c a l e x a n l p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t ei t sa d v a n t a g e si n o n e - d i m e n s i o n a l k e y w o r d s ： n o n l i n e a re q u a t i o n s ；i t e r a t i v em e t h o d ( f a m i l y ) ；o r d e ro fc o n v e r g e n c e ； e f f ；c h e b y s h e vm e t h o d ；m o d i f i c a t i o n so fc h e b y s h e vm e t h o d ；c h e b y s h - e v - h a i l e ym e t h o d ；m o d i f i c a t i o n so fc h e b y s h e v - h a l i e ym e t h o d 表格清单 图1 1牛顿迭代法3 表3 1方程( 口) 的数值实验结果1 7 表3 2方程( 6 ) 的数值实验结果1 8 表3 3 方程组( c ) 的数值结果- 1 8 表4 1方程( 们的数值实验结果2 3 表4 2 方程( p ) 的数值实验结果2 4 表4 3 方程( 厂) 的数值实验结果2 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得 金胆王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签字：诱签字日期：2 。知年争月叫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金匿王些太堂 有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权一金目墨王些太堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：p 寺、小，重 签字日期：2 和年年月2 f 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 3 导师签名： 签字日期：矽f 。年华月叫日 电话： 邮编： 致谢 时光飞逝，转瞬我的硕士生活即将结束。回顾这三年的研究生生活，往事历历在 目。在老师和同学们的帮助下，我顺利度过了我的三年研究生生活，同时，在学习和 为人处事方面，取得了不少的进步。这三年的生活，将是我人生中的宝贵财富，在此， 我要向所有帮助过我的人们致以最诚挚的谢意! 值此论文完成之际，我要向我的导师唐烁教授致以最衷心的感谢! 他不仅学识渊 博，治学态度严谨，更有着博大的胸怀，在做学问，做人和生活上都给予了我很大的 帮助。三年里，他不断的鼓励给了我信心，在他的亲切的指导下，我顺利地完成了论 文的写作，并在此过程中受益匪浅，深刻体会到了学习的乐趣。 在学习期间和论文的撰写过程中，还受到了其他老师的关心、支持和帮助。他们 的教学思想、教学作风和高尚的品德都给我留下了深刻的印象，同时也是我学习的楷 模，我在此衷心的感谢他们! 另外还要感谢3 5 班全体同学，无论是在完成论文期间，还是在平常的研究生学习 过程中，他们都给予了我许多无私的帮助，让我在良好的氛围下完成自己的学习还 有可爱的室友们在日常学习生活中，给我提供了许多方便和帮助。 还要感谢评阅，评议硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢他们 在白忙中给予的批评指正及宝贵意见。 最后，要感谢我的父母及所有帮助我的亲人这么多年来在物质和精神上对我的全 力支持和鼓励。正是有了他们的无私帮助和奉献，我才能在研究生阶段全身心地投入 到学习之中。 千言万语道不完对您们的感激之情，谨以此文献给您们，愿一起分享所有的喜悦 与快乐1 6 作者：陈小惠 2 0 1 0 年3 月 第一章绪论 1 1 非线性方程的数值解的研究背景及现状 非线性方程求根是一个古老的问题，也是一个非常重要的研究课题，在科 学研究或工程技术领域中，常常会遇到许多实际问题的数学模型，例如非线性 力学问题，电路问题，经济和非线性规划问题等等，它们最终都归结为非线性 方程( 组) ： 厂( x ) = 0 ，x r ”( 1 1 ) 的求解问题。那么到底如何去求解这些非线性方程( 组) 呢? 这是我们所要研究 的重点。如果厂i ( x ) 是比较简单的函数，人们通常用数学分析方法求其解析解， 例如、一元二次方程： 戤2 + 缸+ c ：o 在判别式6 2 4 口c 0 时可以求出根的解析式。 但是，数学分析方法在求解方程的根时有很大的局限性，远远不是一切方 程都有解析解。从理论上来讲高于4 次的方程是不存在由方程系数确定的根的解 析表示。因此现代工程领域或者科研过程中所遇到的大多数方程，数学分析方 法通常是无能为力的。不过从实际应用上来讲，大多数情况下都不要求得到方 程的真实解，而只满足于获得根的近似值，当然这个近似解与真实解之间的误 差应当被控制在具体的问题所能容忍的范围内。基于这个事实，很多数值工作 者都致力于研究求解非线性方程的有效算法，特别是计算机问世之后，函数方 程求根的数值解法，得到了迅速的发展和应用。 几个世纪以来，许多工程技术人员，还有许多纯粹数学家都对非线性方程 的数值解法做了不同角度的研究。在创立微积分的十七世纪，n e t o n 和h a l l e y 分别发明了用这种新的数学工具解方程的，现在普遍以他们的名字命名的迭代 法；在微积分技巧蓬勃发展的十八世纪，e u l e r 和l a g r a n g e 分别找到的一个表示 方程解的无穷级数，由e u l e r 级数或l a g r a n g e 级数的部分和可以形成成员众多的 迭代族；在开始注重分析严密性的十九世纪，c a u c h y 建立了优级数技巧，这个 技巧不断地被以后的事实证明对于研究方程近似接序列的收敛性是卓有成效 的。在分析严密性完成的年代，0 s t r o w s k i 对n e w t o n 迭代的收敛性问题规定了一 个合理的提法和令人满意的解决：在软分析成熟的年代，k a n t o r o v i e h 把n e w t o n 迭代和0 s t r o w s k i 的结果推广到b a n a c h 空间，使得许多用硬分析去做非常棘手的 有关问题被轻松地从推论中得到解决；到了拓扑学和大范围分析占主流地位的 现代，s m a l e 从研究整体n e w t o n 法入手开创着他的连续复杂性理论，达到了从初 值点本身的信息来完全刻划n e w t o n 迭代的收敛性的目的。后来王兴华等人将 s m a l e 的计算复杂性理论进一步发展，弱化了s m a l e 提出的点估计的收敛性条件 并对于半局部行为提出了普适常数。 1 2 迭代法的相关概念及其进展 迭代法是求解非线性方程最有效、最便利的方法。在下面我们着重介绍一 下迭代法的概念【1 1 。 迭代法就是从给定的一个或几个初始近似值( 以后简称初始值) 出发，按 照某种方法产生一个序列 x o ，x l ，x 2 ，x ，x r + l ，x 七，x 七+ l ， 称为迭代序列，使得此序列收敛于方程厂( x ) = 0 的一个根x ，即 ： 婴吒2 x ， 这样，当尼充分大的时侯，取作为x 的一个近似值。 对于一种解法，为了考察它的有效性，一般都要讨论它的收敛性和收敛速 度，即考虑什么样的条件下构造的序列是收敛的，以及序列中的近似值是按什 么样的误差下降速度来逼近真解的。迭代过程的收敛条件，一般与方程的性态 ( 函数厂( x ) 在解附近的性质，零点的分布状态等) 以及初值的近似度有关，下 面给出种衡量收敛速度的标准一收敛阶数。 定义1 1 1 1 设序列玩) 收敛到口，记= 黾一口，若存在实数p 及非零常数 i 口i c o ，使舰譬秽= c ，则称序列 黾 是p 阶收敛的，c 称为渐近误差系数。 i - 七i 定义1 2 【2 】我们如下定义计算效能e f f e f f ：q 其中，g 是迭代法的收敛阶，d 是每步迭代所需关于函数信息的计算。 众所周知，牛顿迭代法( n e w t o n sm e t h o d ) 又称为牛顿一拉夫逊方法 ( n e w t o n r a p h s o nm e t h o d ) 【3 】 1 一篇 ( 12 是牛顿在1 7 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解非线性方程( 1 1 ) 的 方法。方法可通过使用函数厂( x ) 的泰勒级数的前面几项来寻找方程( 1 1 ) 的根。 其优点是迭代函数简洁，所以广泛应用于计算机编程。其迭代序列 墨) 在方程 ( 1 1 ) 的单根附近具有平方收敛，计算效能e f f = 2 1 4 1 4 。而且该法还可以 用来求方程的重根、复根。 牛顿法具有明显的几何意义。由( 1 2 ) 可知，妖+ 。是点( 吒，厂( 矗) ) 处y = 厂( x ) 的 切线 夕= 厂( 讫) + 厂( 最) ( z 一磁) 与x 轴的交点的横坐标。也就是说，新的近似值旅+ ，是用代替曲线y = 厂( x ) 的切 线与x 轴相交得到的。继续取点( 吒小厂( 稚+ ，) ) ，再作切线与x 轴相交，又可得 2 黾+ 2 ，。只要初值充分靠近x + 时，这个序列便会很快收敛于x + ，见图1 1 。 图1 1 牛顿迭代法 正因为牛顿法是用切线方程的零点近似代替曲线y = 厂( z ) 的零点，所以牛顿 法也称为切线法。 虽然牛顿法是个非常有效的求解非线性方程( 1 1 ) 的方法，但是在某些情况 下，它的缺点也是很明显的。比如说，在迭代公式( 1 2 ) 中，作为分母的厂( 矗) 不能趋向于零，否则迭代序列 ) 可能会发散。如果对多维情况来讲，牛顿法 的求导逆运算可能非常复杂，甚至是无意义的。所以几百年来，数学工作者们 从来没有停止对新型或高阶收敛迭代法的研究。 当然，迭代法的研究离不开迭代法的推导方法，迭代法的推导方法是多种 多样的。例如n e w t o n 法可以由下面几个导出途径得到。 方法一、作泰勒级数展开并取线性部分 记工是方程厂( z ) = o 的根，于是 o ：厂( x + ) = 厂( 吒) + ( 讫) ( x 一诈) + 厂”( + 秒( x 一黾) ) 尘- 寻垒匕， z 将右边的二次项去掉，即得 厂( 稚) + 厂( 吒) ( x 一黾) o 令黾+ ，满足 厂( 故) + 厂t ( 以) ( + l 一) = 0 即得牛顿法。 方法二、重节点反插值 可以把方程厂( x ) = 0 的根看作函数y = 厂( x ) 所表示的曲线与x 轴的交点。函数 y = 厂( x ) 有反函数x = 缈( y ) ，求根x + 即为求妒( o ) 。在故处有函数值以= ( ) 即吒= 妒( 儿) 。将妒( 0 ) 在此处作重节点插值，即得 伊( 0 ) = 缈( 儿) + 伊( 儿) ( 0 一雎) + 妒( 儿，败，o ) ( 0 一致) 2 由数学分析可知伊( 儿) = 去，则 x 砘+ 志( _ 八) + 认0 ) 八2 令 一怒 即此得牛顿公式( 1 2 ) 。 还有一些其他的方法如运用n e w t o n l e i b n i z 公式和n e w t o n c o t s 求积公 式同样可以推导出迭代公式。在众多的迭代法推导方法中，还有一个重要途径 是通过几何途径或者结合使用多步法的技巧来得到迭代法的。例如经典的 e u l e r 【2 1 ，可以看成是抛物线 y ：( 稚) + - ( 吒) 一稚) + 警巫 一黾) ：与x 轴交点作为下一步迭代值 粕一南怒， 弘，= 等铲 h a l l e y 法【2 】，可以看成是双曲线y 一厂( ) 一厂( ) 一) 一弓篆彗 一讫) 2 ( y 一厂( 坼) ) = o 与x 轴交点作为下一步迭代值 一南怒， c h e b y s h e v 法【2 】，可以看成是抛物线一丢专 一魂) 2 + y 一厂( 吒) 一厂( 稚) 一& ) = o 与x 轴交点作为下一步迭代值 一( 1 + 丢她) ) 器， 以上方法都是三阶收敛的，在迭代公式中均需计算厂、厂、厂”在讫点处的值， 所以e f f = ；1 4 4 2 。 四阶收敛的o s t r o w s k i 法【4 1 ，可看作是牛顿法和推广割线法的组合 一 厂( 缸)八稚) t 吃一万赢褊 z t 一怒 在o s t r o w s k i 法中，需计算函数厂在耳和气及导数厂在讫的值，所以计算效能 e f f ：4 3 1 5 8 7 。 在最近十几年中，对牛顿法的改进更是数不胜数。我们这里仅列举几个比 妨萤兽的方法。例如文献5 提出的算术平均牛顿法 4 一揣， 一惫， 文献 7 提出的调和平均牛顿法 z 一掣擀， 一顽悉， 稚“= 一 厂2 ( 砭) 文献 1 0 在对牛顿定理厂( x ) = 厂( ) + 厂o 利用辛普森求积 式进行近似导出的变形牛顿法 + 12 一 厂( 矗) 以上的修正牛顿法都是三阶收敛的，计算效能e f f = v 3 1 4 4 2 。，其原理也是 利用了几何构造法和多步法的结合。 其它的如文献 儿一1 2 利用几何法构造的迭代法( 族) ；文献 1 3 利用数值积 分公式构造的迭代法；文献 1 4 利用a d o m i a n 级数法构造的迭代法及相关成果； 文献 1 5 2 4 利用多步或者修正迭代项等技巧来加速迭代收敛速度等等，均在各 自的工作中提出了许多有效的迭代方法或进行了非常有意义的收敛性分析及相 关工作，为解非线性方程( 组) 作出了自己的贡献。 l 。3 本文主要工作 在第一章，主要介绍了非线性问题与迭代法研究的背景和历史。对全文经常 用到的几个概念作了介绍。 在第二章，主要介绍了解非线性方程的一些常用方法的构造及其收敛性分 析。 在第三章，主要给出了一族新的不需要计算二阶导数修正c h e b y s h e v 迭代格 式，该方法依赖于一个实参数，是三阶收敛，而且是不需要计算二阶导数的， 它包含一些著名的或已有的方法。另外还将该方法推广到多维情况。最后还分 别给出了一维和多维情况下的数值实例说明了该方法的数值效果。 在第四章，主要给出了一族新的不需要计算二阶导数修正 c h e b y s h e v h a l l e y 格式，该方法包含两个参数，是三阶收敛，而且是不需要计 算二阶导数的。其中当适当取参数时，还可以达到四阶收敛，另外还将该方法 推广到多维情况并给出了一维情况下的数值实例说明了该方法的数值效果。最 后介绍了其他的修正c h e b y s h e v h a l l e y 公式及其基本思想。 6 第二章求解非线性方程的一些常用方法 求解非线性方程的迭代解法是多种多样的，这里我们就介绍一下常用的一 些迭代方法及其收敛性 2 1 二分法( t h eb i s e c t i o nm e t h o d ) 1 1 二分法是求解方程厂( x ) = o 的一种直观而又简单的迭代法，它是建立在介值 定理的理论基础之上的。设函数厂( x ) 在区间【口，6 】上连续，且厂( 口) 厂( 6 ) 0 ，根据 介值定理有，方程厂( z ) = 0 在区间【口，6 至少有一个根。令【口，6 】- 【口1 ，6 1 】，设西，是 区间【q ，6 1 的中点：五= 鱼。如果迭代停止准则为厂( 五) s ，其中占为给定的 精度( 很小的量) ，则而是方程厂( x ) = o 的一个近似根。如果厂( 而) 占，且 厂( 而) ( 6 1 ) o ，则区间 口1 ，而】内至少有方程厂( x ) = o 的一个根，记呸= q ， 6 2 = 而：因此，可以继续将区间 锡，6 2 】对分，即将【五，岛】或 q ，而】对分，得到中点： 恐= 华，即屯= 华或屯= 华。 如此继续下去，可以得到序列： 而，而，毛， 当区间中点的函数值的绝对值小于精度s 或区间小于某一精度g 时，终止 此过程。最后区间的中点可以作为方程厂( x ) = o 的一个近似根。 容易看出，区间对分法产生的序列而，恐，吒，必收敛于方程厂( x ) = o 的一 个根x + ，因此它是大范围收敛的并有误差估计式 。1 k x i ( 6 一口) ( 2 1 ) 。 二 从此误差估计式看出，近似解的误差下降速度较慢但此方法比较简单，且 安全可靠。在实际应用中，二分法可用来求根的初始近似值，以供其它对初始 值要求严格的迭代法使用。需要注意的是此方法只能求单实根，而不能求复根 或偶数重根。 2 2 不动点迭代法( f i x e d p o i n ti t e r a t i o n ) 1 1 将方程( x ) = 0 化为一个同解的方程 x = 缈( x ) 然后取根的初始值近似值，用迭代格式 ；妒( k 1 ) ，后= l ，2 ， ( 2 2 ) ( 2 3 ) 产生一个序列 以) ，这一类迭代方法称为不动点迭代或简单迭代法，或 p i c a r d 迭代，伊( x ) 又称为迭代函数。显然，如果矿( x ) 连续，序列 稚) 收敛 7 于方程根x ，则x 必满足方程( 2 2 ) ，由于方程( 2 2 ) 和方程厂( x ) = 0 等价， 所以x 就是方程厂( x ) = o 的解。 不动点迭代有下面的收敛定理及误差估计。 定理2 1 【1 1 设任意实迭代函数妒( x ) 在有限区间陋，6 】上满足下列条件： 1 ) 9 ( x ) 口，6 】，v x 口，6 】； 2 ) 存在l i p s c h i t z 正常数三 2 ) 次连续可导，x + 是方程厂( x ) = 0 的单根，则当 充分靠近x 时，n e w t o n 法收敛，且收敛阶数至少为2 。 对方程厂( x ) = 0 有重根时，n e w t o n 法有下面的局部收敛定理。 定理2 4 【1 1 设函数厂( x ) 是足够阶连续可导，x + 是方程厂( x ) = 0 的，( 2 ) 重根， 则当充分靠近x + 时，n e w t o n 法收敛，且仅仅为线性收敛。 2 3 2 重根时n e w t o n 法的改进 如果x 是方程厂( x ) = o 的，( 2 ) 重根时，为了提高迭代法的收敛速度，考虑 如下： 令函数矽( x ) = 手罴，因为厂( x ) = o x ) ，办( x ) ，其中办( x + ) o ，所以 矽( x ) ： ! 兰二互：2 垒! 兰2 砌( 砷+ ( z x 。) 向( x ) 显然，有磊石了i = 吾。， 所以x 是方程( x ) = 。的单根于是对函 数矽( x ) 使用n e w t o n 迭代法，得到 一怒一而糟券雨 即 伊( x ) = x 一了书1 耋 ( 2 5 ) 这就得到了利用n e w t o n 法处理重根的迭代函数。 如果迭代函数缈( 石) 具有需要的连续性条件，那么无论重根数量为多少，这个 方法至少是二阶收敛的。 如果已知方程厂( x ) = o 根的重数为，那么将n e w t o n 法改为 2 怒“_ 0 ，1 ，2 ， ( 2 6 ) 则迭代函数为 贴一_ ，器， ( 2 7 ) 易知够仅+ ) = o ，故迭代公式( 2 6 ) 至少为二阶收敛的。 2 4 弦截法( s e c a n tm e t h o d ) u 牛顿法是很有效的方法，但是它在求魄+ 。时要求提供导数值厂( 稚) ，当函数 ( x ) 比较复杂的时，提供它的导数值往往是比较困难的，于是就有了弦截法。 设，+ l 是厂( x ) = 0 的近似根，以魂，磁+ l 为节点构造一次插值多项式 p l ( x ) = 厂( ) + 厂 稚，一。】o 一