（应用数学专业论文）几类随机非线性系统的动力学分析.pdf

几类随机非线性系统的动力学分析 摘要 现实的物理系统大都是非线性的，需要引入非线性微分方程描述系统的状态变化 非线性微分方程往往无法直接求解，定性的方法，如l y a p u n o v 方法，在研究其动力学 行为方面起到重要作用真实的物理系统都要受到自身或外部环境随机波动的影响考 虑随机噪声的作用，比较合理的办法是引入随机微分方程表示物理系统，这就需要应用 随机分析的理论和方法基因调控网络、神经动力系统、l u r e 系统等都是重要的非线 性系统，有广阔的应用背景研究这些非线性系统在随机噪声环境中的稳定性、鲁棒稳 定性、同步控制等问题无疑有重要的理论和应用价值 本文基于l y a p u n o v 泛函方法，随机分析方法、矩阵理论，不等式技巧，对由随机 微分方程所描述的几类非线性系统的动力学问题进行深入系统的研究主要包括以下内 容， ( 1 ) 研究了一类基因网络微分方程模型的鲁棒稳定性问题首先，当网络系统的参 数具有不确定性时，运用l y a p u n o v 方法和不等式技巧导出了系统鲁棒稳定性的充分条 件其次，对基因调控网络系统引入马尔科夫跳跃参数，运用随机分析方法和矩阵不等 式给出了切换系统的鲁棒稳定性准则 ( 2 ) 考虑了两个随机系统的日。控制问题第一个系统是具有分布时滞的随机系 统，系统中包含不确定参数，随机噪声是线性的，干扰输入范数有界通过设计一个同 时包含状态反馈和延时反馈的控制器，使系统在无干扰输入的情况下达到镇定考虑干 扰输入的影响，当适当的线性矩阵不等式条件满足时，系统在反馈控制下鲁棒稳定并且 实现给定的日矗指标对于具有马尔科夫跳跃参数延时神经网络系统，通过设计一个无 记忆状态反馈控制器，类似地实现了切换系统的镇定和日矗控制目标 ( 3 ) 讨论了两个复杂系统的同步控制问题一个是混沌l u r e 系统的脉冲控制问题， 延时反馈控制中包含无法消除的脉冲干扰信号应用l y a p u n o v 方法、数学归纳法，m o o n 不等式首先得到了一个时滞依赖的同步准则，然后应用 扛矩阵理论给出了一个时滞无 关的同步准则最后把时滞依赖的同步控制方法扩展到了随机情形另一个问题是关于 两个耦合复杂网络的自适应同步问题，通过设计一个适当的自适应控制法则使得两个 具有不同耦合结构的复杂网络可以达到n s 渐近同步随机型l a s a l l e 不变原理在证明 n s 渐近同步的过程中起到关键作用数值模拟验证了所导出的理论结果的正确性 ( 4 ) 研究了几类神经网络的随机稳定性问题首先，应用适用于随机微分方程的 r a z u m i k h i n 型定理研究了c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络的p 阶矩指数稳定( p 2 ) 和1 阶 矩指数稳定并给出稳定性准则然后讨论了一个具有无界时滞的b a m 神经网络模型的 a 8 指数稳定问题，主要证明工具是半鞅收敛定理最后研究具有混合时滞的递归神经 网络的马尔科夫切换问题和时滞b a m 神经网络马尔科夫切换问题应用l y a p u n o v 方 法、广义i t 6 公式、矩阵不等式等方法技巧，导出了切换神经网络系统在均方意义下全 局指数稳定的判别准则稳定性准则均以线性矩阵不等式的形式给出，易于求解数值 例子检验了所给出的稳定性准则的有效性 关键词：随机微分方程，i t 6 公式，马尔科夫跳跃参数，神经网络，基因网络，l u r e 系统，复杂网络，稳定性，同步，反馈控制，如控制，时滞，脉冲，不确定参数， l y a p u n o v 泛函，m 矩阵，线性矩阵不等式 d y n a m i c a la n a l y s i sf o rs e v e r a lc l a s s e so fs t o c h a s t i c n o n l i n e a rs y s t e m s a b s t r a c t i h ee v o l u t i o n so fm a n yr e a lw o r l dp h y s i c a ls y s t e m 8a r en o n l i n e a r w h i c hc a nb ed e s c r i b e d b yi n t r o d u c i n gn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s hm 0 6 tc 踟，n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n d o e sn o th a v eac l o u d - f o r ms o l u t i o n t h e r e f o r e ，i ti sh e l p f u lt ou s eq u a l i t a t i v em e t h o d s ，s u c h 鹪l y a p u n o vm e t h o d ，i ns t u d y i n gt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro fn o n l i n e a rs y s t e m s i np r a c t i c e ， p h y s i c a ls y s t e mi su s u a l l yi n f l u e n ce db yc i r e u m s t m a e ef l u c t u a t i o n so rn o i s ec o m i n gf r o mi t s e l f t a k i n gn o i s ei n t oa c c o u n t ，i ti ss u i t a b l et oc o n s t r u c ts t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 8f o rp h y s i c a l i 咖e l n f l t h e r e f o r e ，t h e o r yf o r8 t o e l a a s t i ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n rp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei n s t u d y i n gt h e s es y s t e m s g e n e t i cr e g u l a t o r yn e t w o r k s ，n e u r a ln e t w o r k s ，l u r es y s t e m sa r e i m p o r t a n tn o n l i n e a rs y s t e mw h i c hh a v eb r o a d 印p l i c a t i o n si nv a r i o u sd i s c i p l i n e s i th a sg r e a t s i g n i t i e a n e ei nt h e o r ya n da p p l i c a t i o nt os t u d yd y n s m i e sp r o b l e m s s u c h 够s t a b i l i t y , r o b u s t s t a b i l i t y , s y n c h r o n i z a t i o n ，丑矗co n t r o la n d8 0o i l ，f o rt h e s en o n l i n e a rs y s t e m sw i t hs t o c h a s t i c n o i s ep e r t u r b a t i o n s b a s e do nl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，s t o c h a s t i ca n a l y s i s ，m a t r i xt h e o r y , a n dc o m b i n i n gw i t hs o m ei n e q u a l i t yt e e l m i q u e s ，i nt h i sp a p e r ，t h ed y n a m i c sp r o b l e m s 棚e i n t e m i v e l ys t u d i e df o rs e v e r a ln o n l i n e a rs y s t e m sw h i c h 戤d e s c r i b e db ys t o e h a s t i ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h em a i nc o n t e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea b s t r a c t e d 鹪f o l l o w s ： ( 1 ) t h er o b u s ts t a b i l i t yp r o b l e m sf o rac l a s so fg e n e t i cn e t w o r k sa r ed i s c u s s e d 、矾t ht h e a s s u m p t i o nt h a tt h ep a r a m e t e r so fs y s t e mh a v eu n c e r t a i n t i e s ，f l o r a e8 u f l i e i e n tc o n d i t i o n sf o r t h er o b u s ts t a b i l i 哆o ft h eg e n e t i cn e t w o r k8 1 8d e r i v e db yu s i n gt h el y a p u n o vm e t h o d sm a d f l o l n l ji n e q u a l i t yt e c h n i q u e s t h e n ，8 0 m em a r k o v i a nj u m p i n gp a r a m e t e r sl t , i ei n t r o d u c e dt ot h e g e n e t i cs y s t e m a n dt h er o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i a 戤e s t a b l i s h e df o rt h es w i t c h i n gs y s t e mb y c o n d u c t i n gs o m es t o c h a s t i ca n a l y s i s ( 2 ) t h e 日矗c o n t r o ls c h e m e sf o rt w oc l 嬲s 馏o fs t o c h a s t i cs y s t e m sa r ec o n s i d e r e d 锄地f i r s t s y s t e mi sas t o c h a s t i cs y s t e mw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y s ，i nw h i c ht h es y s t e mp a r a m e t e r sh a v e t m c e r t a i n t i e s t h es t o c h a s t i cn o i s e sa r el i n e a rt ot h es y s t e ms t a t e 8a n dt h ed i s t u r b a n c ei n p u t s a r ei nn o r mb o u n d e d ac o n t r o l l e ri n v o l v e ds t a t ef e e d b a c ka n dc l e l a yf e e d b a c ki sd e s i g n e d j i i t os t a b i l i z et h es y s t e m ，a n dt h eg i v e n p e r f o r m a n c ei sa c h i e v e dw h e ns o m el i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t yc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d t h es e c o n dd a s so fs y s t e m si sd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s y s t e m t h es t a b i l i z a t i o na n d 如c o n t r o lp r o b l e m sa r ea l s oi n v e s t i g a t e df o rt h ed y n a m i c a l n e u r a ln e t w o r kw h e nt h ej u m p i n gp a r a m e t e r sa r eg e n e r a t e df r o mah o m o g e n o u sm a r k o vc h a i n ( 3 ) t h es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o li s s u e sa r es t u d i e df o rt w oc l a s s e so fc o m p l e xs y s t e m s 1 i 1 地f i r s ts y s t e mi 8ac h a o t i cl u r es y s t e ma b o u tw h i c ht h e9 1 0 b a le x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o n p r o b l e mi sr e s e a r c h e d t h ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e db a s e do nt h ed e l a y e df e e d b a c ks i g n a lo ft h e s y s t e m sw h i c hc o m p a n i e sw i t hs o m ei m p u l s ed i s t u r b a n c e s ad e l a y - d e p e n d e n ts y n c h r o n i z a t i o n c r i t e r i o ni se s t a b l i s h e db ye m p l o y i n gm o o n si n e q u a l i t y , t h el y a p u n o vm e t h o da n dm a t h e n m t - i c a li n d u c t i o nt e c h n i q u e a n o t h e rs y n c h r o n i z a t i o nc r i t e r i o nf o rt h el u r ec h a o t i cs y s t e m si s d e r i v e db a s e do nm m a t r i xt h e o r y b e s i d e s ，t h ea d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o ns c h e m eb e t w e e nt w o c o m p l e xn e t w o r k sw i t hn o n i d e n t i c a lt o p o l o g i c a ls t r u c t u r e si si n v e s t i g a t e d b yd e s i g n i n ge f f e c - t i v ea d a p t i v ec o n t r o l l e r s t h es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w oc o m p l e xn e t w o r k si sa c h i e v e d t h e s t o c h a s t i c - v e r s i o nl a s a l l ei n v a r i a n c ep r i n c i p l ep l a y st h ek e yr o l ei np r o v i n gt h es y n c h r o n i z a t i o n b e t w e e nt w oc o m p l e xn e t w o r k s ( 4 ) s t o c h a s t i cs t a b i l i t yp r o b l e m sf o rs e v e r a lc l a s s e so fn e u r a ln e t w o r k sa r ei n v e s t i g a t e d f i r s t l y , t h ep t he x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fac l a s so fc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k si ss t u d i e d b ye m p l o y i n gt h er a z u m i k h i n - t y p et h e o r e m t h e n ，t h ea l m o s ts u r e ( n 8 ) e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y c r i t e r i o ni so b t a i n e df o rac l a s so fs t o c h a s t i cb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s t r i b u t e dt i m ed e l a y s b yu s i n gt h es e m i - m a r t i n g a l ec o n v e r g e n c et h e o r e m a tl a s t ，t h es t a b i l i t yi s s u e sf o rac l a s so f r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hm i x e dt i m ed e l a y sa n dm a r k o v i a nj u m p i n gp a r a m e t e r sa n df o r ac l a s so fd e l a y e db a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hm a r k o v i a nj u m p i n gp a r a m e t e r sa r ei n t e n s i v e l y d i s c u s s e d b ya s s u m i n gt h a tt h ej u m p i n gp a r a m e t e r sa r eg e n e r a t e df r o mah o m o g e n o u sm a r k o v c h a i n ，a n du t i l i z i n gt h eg e n e r a l i z e di t 6 sf o r m u l aa n ds o m ei n e q u a l i t yt e c h n i q u e s ，t h es t a b i l i t y c r i t e r i aa r ed e r i v e da n de x p r e s s e di nt h ef o r mo fl m i s w h i c hc a nb ec h e c k e db ym a t l a bt o o l b o x e a s i l y s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ea l s op r e s e n t e dt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e d r e s u l t s k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i t 5 8f o m u l a , m a r k o v i a nj u m p i n gp a l a m e t e r ，n e u r a ln e t w o r k ，g e n e t i cr e g u l a t o r yn e t w o r k ，l u r es y s t e m ，c o m p l e xn e t w o r k ，s t a b i l i t y , s y n c h r o n i z a t i o n ，f e e d - b a c kc o n t r o l ，如c o n t r o l ，t i m ed e l a y , i m p u l s e ，u n c e r t a i np a r a m e t e r ， l y a p u n o vf u n c t i o n a l ，m - m a t r i x ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) v 符号及注记 实数域； n 维的e u c l i d e a n 空间； 表示在集合q 上的l e b e s g u e 可测函数空间； 概率测度； 数学期望； 几乎必然； 概率空间； 定义于【一l0 】上且在舻取值的函数空间； 定义于卜l0 】上且在r 竹取值的有界随机过程空间； 五可测p 次可积c ( 【_ _ 0 1 ； ) 值随机过程空间； n 维b r o w n 运动； 向量，z = ( z 1 ，x 2 ，x n ) t ，毛r ，i = 1 ，2 ，n ； 向量z 的e u c l i d e a n 范数，h = 、，乞t z ； 向量函数x 在q 上的范数，i i x i l 2 = 【厶i i x i l 2 如】j 1 ； 函数妒的范数，定义为s u p k o ( 0 ) i ：一r 0 o ) ； 矩阵a 的逆矩阵； 矩阵a 的转置； 单位矩阵； n xn 维单位矩阵； 矩阵a 的最大特征值； 矩阵a 的最小特征值； 矩阵a 的范数， i a i i = d x x ( a r a ) ； p 为对称( 半) 正定矩阵； p 为对称( 半) 负定矩阵； a b 为对称( 半) 正定矩阵； 定义于随机微分方程的扩散算子； 注记：矩阵的维数，在没有特别说明的情况下，满足代数运算 r舻咐觚棚州叫z矾一j厶删锄渊 ， 生； ； ； ， i 喇 l一一 r舻荆咐觚z一j厶洲删删咖 诜棚棚棚 k k 沪p 似 舻卜卜卜屹 o o b 烈咏蹦 d 耿d 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 研究生签名。至整里日期，研究生签名。圭丝至日期， o 。 0 ，使得v t 0 p ( x ( t ，善) 耳) 1 一，比风( 1 2 6 ) 则称方程以2 剀的零解随机稳定 俐设方程以2 剀的零解随机稳定若v r 0 ，v ( 0 ，1 ) ，那 0 ，使得 p ( r , mx ( t ，f ) = 0 ) 1 一e ，k b a ，比b a( 1 2 7 ) 一0 0 3 4 东南大学博士学位论文 则称方程一2 剀的零解随机渐近稳定若 p ( 里巴卫( t ，f ) = 0 ) 1 一，比b 6 ，比( 【一l 0 1 ；r n ) ( 1 2 8 ) _ u 则称方程以2 剀的零解全局随机渐近稳定 例若k l o ( 卜l0 1 ； ) ，有 1 u m s u p ti ni z ( t ，) i 0 若比l o ( 【- l 0 】；r n ) ，有 1 l i r as u p ； n e l = ( t ，毒) | p t 1 0 ( 1 2 1 2 ) ，t 1 则方程口2 剀的零解p 阶矩指数稳定 定理1 2 2 是泛函微分方程稳定性定理的一个推广，但是这个定理需要建立一个 l y a p u n o v 泛函，并且条件( 1 2 1 2 ) 与f , g 无关难以验证，应用起来并不方便所以m a o 2 4 建立了如下r a z u m i k h i n 型的稳定性定理，可以通过选取适当l y a p u n o v 函数建立随机泛 函微分方程( 1 2 2 ) 的稳定性定理 对于v g 1 ，2 ( 【一m - , ) r n ；r + ) ，对系统( 2 1 4 ) 定义算子c y y ( t ，纠= k ( t ，咖( o ) ) + 圪( t ，咖( o ) ) ，( ，t ) 卤r ( 妒，) k 。( t ，咖( o ) ) 9 ( 妒，t ) 】， ( 1 2 1 3 - f 云t r a c e t21 3 ) 囟1 ( 妒，) 吃z ( t ，咖( 0 ) ) 9 ( 妒，t ) j ，() 这里k ( t ，z ) = a v ( t ，z ) 珧，( t ，z ) = ( o 曲v ( t ，z ) ( a 眈a ) ) n n ，k ( t ，z ) = ( a v ( t ，= ) a - x ， o v ( t ，z ) 锄，w ( t ，z ) ) 第一章绪论 定理1 2 3 ( ：l , a z u n f i k h i n 型定理【2 4 ) 对于系统一幺剀，假设，9 满足l i p s c h i t z 条件和线性增长条件设a ，p ，c l ，0 2 都是正实数， 口 1 假设存在函数v ( t ，z ) c 1 ，2 ( f 一下，0 0 ) r ”；) 使得 并且对所有t 芝0 ， c 1 1 - 1 p v ( t ，z ) c 2 i z i p ，v0 ，z ) 【_ l 0 0 ) r n ； e c v ( t ，咖) 一旭y ( t ，妒( o ) ) 成立，如果咖= ( p ) ：一r 一o ，( 【l0 】；r n ) 满足条件 e y ( ( t + 口，口) ) q e v ( t ，咖( o ) ) ，v 下口s0 则对所有嚷( 【一r 0 】；舯) ， e t ) l p 罢e 俐p e 叫，v t o 其中- y = m i n a ，l o g ( q ) 1 下面的半鞅收敛定理可用于证明随机微分方程的n 指数稳定性 定理1 2 4 ( 半鞅收敛定理【2 5 1 ) 设a ( t ) 和u ( t ) 是两个t 0 上的连续自适应增过 程，满足a ( o ) = u ( o ) = 0 口矗设m ( t ) 是一个连续实值局部鞅，且m ( o ) = 0 口 令f 是 一个非负而可测随机变量定义 x ( t ) = + a ( t ) 一u ( t ) + m ( t ) ，f o rt 0 如果x ( t ) 非负，则 熙a ( t ) ，c 舰x ( t ) o o ) n 舰u ( t ) ) ，n s 其中bcdn 表明p ( bn 俨) = 0 特别地，如果舰a ( t ) o on s ，则对几乎所有 u n 1 i mx ( t ) o oa n d h mu ( t ) 0 0 ， $ - - 4 0 0t - - - 0 0 也就是说x ( t ) 和u ( t ) 都收敛到有限的随机变量 5 6东南大学博士学位论文 随机微分方程稳定性理论的研究已经有了相当长的历史，出版的研究文章或者专 著非常丰富，相关的稳定性结果可以参考【1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 】 l y a p u n o v 稳定性理论的个重要推广是l a s a l l e 不变原理，运用不变原理可以给出 系统的极限集的位置对于随机系统，m a o 在一系列工作中把l a s a l l e 不变原理作了相 应的推广，给出了适用于随机微分方程的l a s a l l e 不变原理 2 7 ，2 8 ，2 9 ，删 对于延时随机微分方程( 1 2 3 ) ，m a o 【2 8 】给出如下结果： 定理1 2 5 假定，9 满足局部l i p s c h i t z 条件和线性增长条件如果存在函数v ( 了2 t 1 ( r n r ；r + ) ，y l 1 ( r + ；r + ) 以及”1 ，w 2 g ( r ”；r + ) 使得 c y ( t ，z ，可)- r ( t ) 一t o l ( x ) + t l j 2 (