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曲阜师范大学硕士学位论文 几类非线性微分方程边值问题的正解 摘要 非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的 各种各样的自然现象而受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性边值 问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前分析数学中研 究最为活跃的领域之一其中，多点边值问题来源于应用数学的各个领域以及 物理学中的模型，具有重要的理论意义和应用价值本文利用锥理论，不动点 理论，拓扑度理论等，研究了几类非线性微分方程多点边值问题解的情况，得 到了一些新成果 根据内容本文分为以下三章： 在第一章中，我们利用s c h a u d e r 不动点定理和拓扑度理论，讨论了一类二 阶三点奇异脉冲微分方程边值问题 ( t ，z ) ，0 t 1 ， i k ( x ( t k ) ) ，七= 1 ，2 ，m ， ( i i 1 ) = 6 z ( 刀) ，0 叻 10 ，7 1 正解的存在性，其中o ：( o ，1 ) _ 【0 ，o o ) 是连续的。，并且在t = 0 ，t = 1 处可能奇 异，0 t 1 t 2 t m 1 是给定的本文的方程比【2 】中的方程更具有广泛 性，在带脉冲条件并且奇异的情形下，没有限定非线性项的超线性或次线性， 运用不动点指数得到了方程的两个正解 在第二章中，我们利用s c h a u d e r 不动点定理和拓扑度理论，研究了如下 二阶n 点微分方程非齐次边值问题正解的存在性， f 一= o ( t ) ，( t ) ，0 t 0 ( i = 1 ，2 ，n 一2 ) ，0 f 1 ， 靠一2 1 ，笔； 1 i l _ i e 归2 啪 一 一 “ ，-ii-jll_【 曲阜师范大学硕士学位论文 ( a 2 ) o ( t ) c i o ，1 】， 0 ，o o ) ) ，f ( t ) c ( o ，l 】， 0 ，o o ) ) ，a ( t ) 不恒为零 当n = 3 ，b = 0 时，就是方程( 2 1 1 ) 的形式，当e = 0 ，b = 0 时，就是方程 ( 2 1 2 ) 的形式，本文研究的方程更具有一般性，并且得到了很好的结果 在第三章中，利用锥上的不动点指数理论，我们研究了如下s t r u m - l i o u v i l l e 脉冲微分方程边值问题正解的存在性 l u = f ( t ，t ( t ) ) ， 0 t 1 ， 伽i o ) _ 触，( 0 ) - 0 ， 1 3 1 2 ) 、 l7 u ( 1 ) + 她7 i l ) = 0 ， i a u 仉砘= k ( t ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，m ， 在一定的条件下，得到了此类方程至少存在两个正解，本文的结果更具有一般 性，在一定程度上推广了【2 2 】的结果 关键词：多点边值问题；正解；不动点；锥 曲阜师范大学硕士学位论文 e x i t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，a n di tc a n e x p l a i ns e v e r a lk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p s ) f o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ei nav a r i e t yo fa r e a so fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ， p h y s i c sa n dv a r i a t i o n a lp r o b l e m so fc o n t r o lt h e o r y , i ti sa tp r e s e n to n eo ft h em o s t a c t i v ef i e l d si na n a l y s i sm a t h e m a t i c s a m o n gt h e m ，m u l t i - p o i n tb v p sc o m ef r o m al o to fb r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，a n di ti sv e r ym e a n i n g f u li n b o t hp r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a la s p e c t s t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y , f i x e dp o i n tt h e o r y , t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya n ds oo n ，t oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v es o l u t i o n st om u l t i - p o i n tb v p so fs o m ek i n d so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h er e s u l t so b t a i n e da r ee i t h e rn e wo re s s e n t i a l l yg e n e r a l i z ea n di m p r o v e t h ep r e v i o u sr e l e v a n to n e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，u s i n gt h es c h a u d e r sf i x e dp o i n ta n dt h et h e o r yo ft o p o l o g i c a l ，w e c o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o rs e c o n do r d e rt h r e e p o i n tn o n h o m o g e - n e o n sb v p f 一= a ( t ) f ( t ，z ) ，0 t 1 ， 一a z 7 b i = z k ( x ( t k ) ) ，k = 1 ，2 ，m ， ( 1 1 1 ) i - x ( o ) = 0 ，z ( 1 ) = 如( t 7 ) ，0 卸 1 ，0 ，7 1 h e r e0 t l t 2 1 口：( 0 ，1 ) o 【0 ，o o ) i sc o n t i n u o u sa n dc a nb es i n g - a l a r a tt = 0o rt = 1 u n d e rt h es i t u a t i o n s6 fi m p u l s i o na n ds i n g u l a r i t y , t h i sp a p e r w h i c hw i t h o u tt h el i m i t a t i o no fs u b l i n e a ra n ds u p e r l i n e a ri sm o r ew i d e - r a n g i n gt h a n 【2 】a n dw eg e tt w op o s i t i v es o l u t i o n so ft h ep r o b l e mb yt h et h e o r yo ff i x e di n d e x i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h es c h a u d e r s 缸e dp o i n tt h e o r e m ，w es t u d yt h ee x i t - t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so fs e c o n do r d e rn - p o i n td i f f e r e n t i a ln o n h o m o - 曲阜师范大学硕士学位论文 g e n e o n sb v p f 一矿= o ( t ) ，( u ) ，0 t 0 ( 主= 1 ，2 ，扎一2 ) ，0 1 ， 矗一2 1 ，：三； 1 ( a 2 ) a ( t ) c ( 【o ，1 】，【0 ，e o ) ) ，f ( t ) c ( 【o ，1 】，【o ，o o ) ) ，a ( t ) 0 i ti sm o r ew i d e l yt h a n ( 2 1 1 ) o r ( 2 1 2 ) ，a n dw h a tm o r e ，w eo b t a i nn e wr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，b yt h et h e o r yo ff i x e dp o i n ti n d e x ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rs t r u m - l i o u v i l l ed i f f e r e n t i a lb v p w i t hi m p u l s e 0 t 1 ， k = 1 ，2 ，m ( 3 1 2 ) w eo b t a i nt w op o s i t i v es o l u t i o n sa tl e a s tu n d e rs o m ec o n d i t i o n s t h et h e s i sp o p u - l a x i z et h er e s u l to f 2 2 】 k e y w o r d s ：m u l t i - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；f i x e d p o i n t ；c o n e u 、- ，曲 ，玑 仉水 = = “卜卜瞰 讲m = 一伽n 一一 t j 巾触乩 咄 = 一 + n 血 一 黜 似 一 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性微分方程的解及其应用， 是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所 取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对 本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：糍日期：昭易 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线性微分方程的解及其应用系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位 期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学 所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范 大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的 复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采 用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：痞扒投燕日期：昭多 导师签名：日期： 第一章二阶三点奇异脉冲微分方程边值问题的多个正解 考虑二阶三点脉冲微分方程边值问题 0 t 1 k = 1 ，2 ，m ，( 1 1 1 ) 0 5 , 1 1 ，0 叩 1 其中口：( 0 ，1 ) _ 【0 ，) 是连续的，并且在t = 0 ，t = 1 处可能奇异，0 t l t 2 凰，其中ro=击+壶t 、 正- + e o ，l 】 z z 叶o o t e o ，1 1 z 一 a z ( 玩) 霈i n f 】掣 伽，舞t 【o i n f ，l 】掣 伯，其中r o - - m i n ) 南 ( 凰) 存在p 0 ，使得在0 z p ，o t 0 ，且满足，7 圣( s ) 口( s ) 幽+ 墨1 西( “) 啦 1 ( 凰) 0 片西( s ) o ( s ) c ( s ) 幽 o o 其中，当0 6 1 时， 圣c s = 两1 跺s 1 - 5 s 7 - ”s ) 】瓮 抛， ， “破蛐 ，l l d惭铲删麓嘞 第一章二阶三点奇异脉冲微分方程边值问题的多个正解 当1 j 石1 时， 当0 6 1 时， 8 1 7 ， ，7 却 o 。仍 ( 1 l 4 ) r t 1 ， 当1 6 ，= i t i ，t 2 ，) ， k = 【z i z p ；z ( 舌) c ( t ) i l z l l ；t ，) ，蠡，p = z i z k ，i i x l i p ) ， p c ( i ，冗) = z i z c ( x ，r ) ；l ( “，“+ 1 ) c ( t k ，如+ 1 ) ；( ) = ( “) ，j ( 古砉) ， 七= 1 ，2 m ) ， p c ( x ，r ) = z l z c ( x ，冗) ；z ，t k + 1 ) c ( “，t k + 1 ) ；z ( 亡) 在t = t k 处左连 续，z ( 亡毒) 存在，k = 1 ，2 m ，忙i l 尸= m a x | l z i x 1 1 p o 其中易证耳 是e 的一个锥 2 扣d 卜咖吼 叫 卜 吖 q 从n 南 j i 8 0 ，纽。 毋屯 赫赫 一 一 屯 以 n n m m ，i-j(1【 = g 曲阜师范大学硕士学位论文 定义算子l 如下所示： 嫩) ) j ：0 1g 彬( s ，如胂s + 喜晰帕似“ 定义1 2 1 如果z ( t ) p c 7 ( ，r ) nc 2 ( ，r ) ，且满足x + s ( t ，z ) = 0 ，t i a x i t ：缸= z ( t j ) 一z 7 ( t i ) = - x k ( x ( t 七) ) ，z ( o ) = o ，z ( 1 ) 三6 z ( 叼) ，贝! j z ( 芒) 是方程( 1 1 1 ) 的解 引理1 2 1 如果z 是算子 獬) ) _ 小蝴枞舭( s ) + 丢l f f , 啪? 删) 的不动点，则z ( 亡) 是方程( 1 1 1 ) 的解，其中g ( t ，8 ) 是方程( 1 1 1 ) 的格林 函数，如下所示： t ，7 8 t 引理1 2 2 n 垂0 ) 具有以下性质c ( 亡) 圣( s ) a ( t ，s ) 圣( s ) 引理1 2 3 【掣设三：k _ k 是全连续算子，且对妇o k , ，l ( z ) z ， 则有下列结论： i ) 如果忙i i i i l x i 对比o k ；成立，则有i ( 厶b ，k ) = 0 i i ) 如果i i l x l i l i = l l 对比o k , 成立，则有t ( l ，k ) = 1 1 3定理主要结果及其证明 定理1 3 1 若条件( 日1 ) 一( 凰) 满足，则问题( 1 1 1 ) 至少有两个正解 z l ( 亡) ，z 2 ( t ) ，且满足0 i l z l | i p j | z 2 l i 3 、l ， l21 ，i 口 叩 s 一 一 一 s s 叩 s t s 一 一 一 亡 s 亡 司司 叼 趴卿 巧 “ 吖 卜 ，、 一 一 弘 叻叻札啪* 嘶也嘞 n n 0 卜 啦啦啦q 南 第一章二阶三点奇异脉冲微分方程边值问题的多全亘堡 证明首先证明l ( k ) k 由引理1 2 2 得 i l l z i i z 1 圣( s ) 。( s ) ，( s ，z ( s ) ) d s + 娄 驯i l c 蚺( s ) m s ) ) d s + 姜 西( s ) 厶( z ( 如) ) ， c ( t ) v ( s ) i k ( x ( t k ) ) = c ( 亡) 睁( s ) o ( s ) ，( s ，z ( s ) ) d s + 西( s ) 厶 ( 靠) ) 】 k = l c ( t ) l l l x l l ，亡i 所以得到l ( k ) k 下面证明l 是全连续的，定义函数，v n 2 ， a n ( 亡) i n f a ( t ) ，o ( 丢) ) ，0 t 丢， 丢 t 1 一丢， ( 1 3 1 ) ，o ( 1 一丢) ) ，1 一i 1 t 1 当n 2 时，我们定义算子l n ：k k ， 酬啪= l g 她( s 小肿s + 薹g 埘酢( 缈川- 显然，当n 2 时，由a s c o l i - a r z e l at h e o r e m 知l n 是全连续的则v x k r 有 i l n ( z ( 亡) ) 一l ( z ( 亡) ) = i g ( 亡，s ) 【口( s ) 一( s ) 】，( s ，z ( s ) ) 酬 z 砉酬0 ( s ) 一) l m 州) d s + 郧) 小，删s ) - 口水凇s - - + 0 ( n _ o o ) 因此当n _ o o 时，l n 一致收敛到l 所以己是全连续算子对v 叠， 由( 凰) 和引理1 2 2 知 4 力 敝l时m i i l z l l 圣( s ) o ( s ) m ，x ( s ) ) d s + 西( s ) 氏( z ( t 七) ) 册圣( s ) 。( s ) d s + 讯圣( 靠) = p 【叩西( s ) n ( s ) d s + 讯西( 扎) 】 ( r 。一吾) z 取尉 m 之 r ，p ) ，则在。o k g 上有 ( 刎( 扣而z 1 蚺( s ) 馋删肌喜圣( s ) 狮) ) 】 c ( 丢) ( 风一1 , 西( s ) 。( s ) d s c ( 丢) ( 岛_ 互1 ) 上1 西( s ) 。( s ) c ( s 删l d s = 硝c ( 丢) ( 凰一i if o 的) 口( s ) ) d s r 7 = 晒l 所以在z a 如上有i i l x l l ( 咱一) z ， 厶( z ) 一g ) z 取 r m i n r ，p ) ，所以在z o k r ，上有 ( l z ) ( 1 ) = 厂g ( 1 ，s ) n ( s ) 巾，z ( s ) ) d s + g ( 1 ，如) 厶( z ( “) ) ，0 k = 1 1 m c ( 1 ) 1 圣( s ) o ( s ) 馋，z ( s ) ) d s + 西( s ) 厶( z ( 训 5 第一章二阶三点童墨坠塑丝坌直鲞望笪囹堑煎垒全卫呈堡 l c ( 1 ) ( r o - e ) j o 圣( s ) 口( s ) z ( s ) d s m i n 。叫r z 1 ) 。( s ) ) 如 r 兰l ， 因此由引理1 2 3 得到i ( l ，群，k ) = 0 因为i ( l ，k r ，k ) = 0 ，i ( l ，巧，k ) = 0 ，i ( l ，k ) = 1 所以可以得到 t ( 厶妇_ p ，k ) = 一1 ，i ( 厶砗_ r ，k ) = 1 所以在区域确一p ，砗瓦， 有不动点z 2 ，z l ，且满足0 忙1 i i p i z 2 1 1 所以若条件( 矾) 一( 凰) 满 足，则问题( 1 。1 1 ) 至少有两个正解2 l ( 亡) ，。2 ( 亡) ，且满足0 忙l l i p 0 ( i = 1 ，2 ，扎一2 ) ，0 l ， 矗一2 0 ( t = 1 ，2 ，n 一2 ) ，0 毒1 ： 靠一2 1 ，芝； o ，则 让c 。，= 口 6 + z 1 c 1 一s ， c s ，d s 一 因此得到问题有( 2 2 1 ) 唯一解 豺啪刊灿 u ，= 二z 。o s ，h c s ，d s + a c 兰+ l ， 6 + f 0 1 c 1 一s ， c s ，d s n - - 2 ，6 吾小他 1 s ) 危( s ) d s i j 引理2 2 3 若u ( t ) 为( 2 1 3 ) 的解，则当0 0 ，则( 2 1 3 ) 的唯一解u ( t ) 满足t 【o i n f 。ju ( 亡) # l l 仳| | 证明因为。! 衢】乱( 亡) = 乱( 1 ) ，忆i i2 蜒s u 【。p ，。】i “( 。) l = u ( o ) ，则由乱( 亡) 在【0 ，1 】 上的凹性得到 u ( o ) 牡( 1 ) + 兰攀( o 一1 ) ，o = 1 ，2 ，n 一2 ) ， ( 1 一毛) u ( o ) - k i f i u ( 1 ) + 觑让( 已) ，( i = 1 ，2 ，礼一2 ) ， 则) _ 赫n - 2邮) + 躺 = 夏1 - 赫x - 2t - f 让( 1 ) 一面b ， 岬) 裂邶脚邮) 因此得到t i n 【o f ，1 1u ( 亡) 2p | i 乙i | 我们定义算子a ：kje ) = 一。( 一 + 。( 孑t a u ( t t s ) a ( s ) f ( u ( s ) ) d s + 1 ) f b + 厂1 ( 1 一s ) a ( s ) f ( u ( s ) ) d s 0 l j 0 一 ) = 一( 一+ o ( ：+ 1 ) l + ( 一 一 ， c 酎砒叫小胂s 引理2 2 5 上述所定义的算子a 是全连续算子，且a ( k ) ck 证明对v v ( t ) k ，令u ( t ) = a v ( t ) ，则u ( t ) 是下述边值问题的解 2 一( 亡) = 口( 亡) 仰( 。) ) ， o 亡1 ， ( 2 2 4 ) 【钍( o ) = 0 ，u ( 1 ) 一詹t t ：- - ；觑乱( 6 ) = b 由引理2 2 2 得u ( 亡) o ，且。! 器】扎( 亡) # 1 1 u i i ，所以a ( k ) c k 下证a 是全连续算子，令b 是k 的一个有界子集，则存在m 使得 ，( 让( 亡) ) m ，对于任意的乱b 都成立，因为a 在b 上是一致有界的， 所以只需证明a 在k 上是等度连续的，对任意u ( t ) b ，0 亡1 t 2 o ，o 。 # p 2 时，( u ) m u 记q 2 = f u l u e u | i 。卜z川他( s 胭一善小( 扣s 川伽( s 叫 = c ： 6 + 薹f 觑c 6 二s ) a ( s ) f ( u ( s ) ) d s + i e 重；，：已k i ( 1 - f i ) 口c s ，f c 让c s ，d s 。m 肛晚 薹r 乜c & 一s ，口c s ，如+ 薹6 砬c 1 一邑，口c s ，d s 口脚晚1 吾引卜s ( s 胁+ 吾小( 1 吨( s s j 因此得到i i a t , i i i l u l i ，让k1 7 鼬2 1 3 第二章二阶1 2 点微分方程非齐次边值问题正解的存在性 所以存在一个充分小的b 使得算子a 在kn ( 孬；砸；) 上至少有个不 动点，即问题( 2 1 3 ) 在kn ( q 2 q 1 ) 上至少有一个正解 定理2 3 2 当方程满足( 日i ) ，( 码) 时，存在一个充分小的b ，使得问题 ( 2 1 3 ) 至少存在一个正解 证明我们考虑条件l i 恐丛生= o o ，存在风 o ，m 助，使得当u p 3 时，有，心) m u 定义e 的一个开子集：q 3 = ( u l u e ，i i 乱l i 舶) ，因为 得到 a u ( o ) t 蕊乱( 。) 圳u l l = p j d 3 ，u k n0 1 3 , r , , - 2 m # p 3l l 七= 1 s = i l u l l ， r 恕c 已一s ，凸c s ，d s + 薹 ，矗 乜( 1 j o 跏d s 所以得到l i a t , i l l l u l l ，u kn 搠3 另一方面，因为 1 i m o o 冬竽= o ，贝z g 于v o 印 0 ，定义q 4 = u i t e ，i l m ) ，所以有 ， ) s o u g o l l , , i l = e o p 4 ，t z 4 ， 似蛏。( i + 1 b + z 1 ( 1 刊小) m ) d s 口( 1 + 苫1 ) 印p 4j ( 0 1 ( 1 一s ) 口( s ) d s + 。( 1 + 三) 6 ，= 譬+ 。；1 + 1 ) b _ p 2 = i i 钍i i 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 得到i i a u l i l l u l i ，仳kna q 4 所以存在一个充分小的b 使得算子4 在n ( 瓦网至少有一个不动 点，即问题( 2 1 3 ) 在kn ( q 4 q 3 ) 上至少有一个正解 定理2 3 3 若方程满足( 凰) ，( 凰) ，则当b 充分大时，问题( 2 1 3 ) 没 有正解 证明当b 充分大时， 乱( 。) 一钆( 1 ) = ( 1 一詈) z 1 ( 1 一s ) ( s ) d s 一詈6 u l l 让i i 考虑条件( 凰) ，则 任意m f 丝号垃，+ ) ，马p 0 使得，( 乱) m u ，v u p ，令b ：， 1 5 若乱( 亡) 为( 2 1 3 ) 的解，则由( o ) a b 得u ( t ) a b ，从而满足u ( t ) p ， u ( 1 ) 一1 ( 1 刊。( s ) m ( s ) ) 幽+ 0 ( 苫1 1 ) 6 + z 1 c 1 一s ，。c s ，c 钍c s ，d s n - 2 七= 1胁m 彬s 胂s 冽三 副三 + 1 ) m u ( t )陧k - - 1 硌肛咖蚺若n - 2 o & ”跏d s + 1 ) 娜i n fj u ( 1 右)7 t i o ，i ，1 以( 1 = 。( ；1 + 1 ) m i n f 】u ( t ) 而1 m ( 14 - 三) = - - - - - - - - - - = 一 肛弘1 _ 2 1 1 u 1 i ， s ) 0 蚺n - 2 k i k 序吲巾) d s l s ) o ( s ) 幽+ f 。( 1 一锄口( s ) d s | = l 。o j 矛盾所以当b 充分大时，问题( 2 1 3 ) 没有正解 定理2 3 4 当方程( 2 1 3 ) 满足( 研) ( 日2 ) 时，存在一个常数b + ，使得 方程( 2 ：1 3 ) 对任意的b 0 ，b 。) 都至少有一个正解，当b b + 时，方程 ( 2 1 3 ) 没有正解 证明设b = 删方程( 2 1 3 ) 至少有一个正解 ，由定理2 3 1 知b 非 空有界，设b = s u pb ，由定理2 3 1 和定理2 3 2 知0 b o o ，由b 。的 定义知任意b 【0 ，b + ) ，存在c b 使得b 让。( t ) ， ，。( 乱( 舌) ) = ，( u ( 舌) ) ，0 氍。( o ) ，则3b l 1 使得w ( b 1 ) = 0 ，且当 t 0 ，b 1 ) 时，q ( 亡) 0 这就意味着u ( 亡) = 0 ，即他) = c 1 ，得到 ( t ) = c l ( 亡一b x ) ，叫( o ) = 心：( ) 一c o ( t ) 1 = ( o ) = g c l ， 因为当t 【0 ，b 1 ) ，时u ( 亡) 0 ，所以c l 0 ，t ( a l ，b 1 ) ，所以( 亡) = o ，t ( a l ，b 1 ) ，u 他) = c l ，u ( 亡) = c l t + c , 2 ，因为u ( t ) 在k 1 ，b l 】上连续，所以得到 i i m ) = c l a l + c 2 = 0 ，l i m 叫 ) = c l b l + c 2 = 0 ， - + 口it-61 得到e l = c 2 = 0 ，因此u ( 亡) = 0 ，t ( a l ，b 1 ) ，矛盾，所以假设不成立 2 ) u b ( 1 ) 牡c ( 1 ) ，由u ( 1 ) 一芝； ) = b c 0 ，得到 篓：觑叫纯) 0 ，令s = m i n i w ( 专i ) o ，则可分下面三种情形讨论： i ) 叫( 右) 0 ，t o ，1 】，此时有u ( 舌) = 0 ，则 u ) = c l ，w ( t ) = c l t + c 2 ，u ( o ) = c 2 = g u ( o ) = $ c l ， 所以u ( 亡) = c 1 0 + ) ，且e l 0 ，又因c 1 c l + ) 一笔；k i c l 他+ s ) = b c ， 得 c - c l + e ，一董k = l 觑c 已+ ， = 6 一c ， c 1i ( 1 + e ) 一觑( 已+ ) i = 6 - c ， lj 1 7 第二章二阶1 2 点微分方程非齐次边值问题正解的存在性 r n - - 2n - - 2 1 c i ( 1 一矗) + ( 1 一) l = 6 一c o ， lk - - 1k = lj 因此c 1 0 ，所以 0 b - c - - - - 叫( 1 ) 一乜u ( 6 ) u ( 1 ) 一u ( 勘 亍口( 1 一s ) 一( 已一s ) r n - - 2 n - - 2 1 = a l ( 1 一铀一f ( 1 一) i l k = ak = s j r n - 2n - 2 1 dl ( 1 一) 一( 1 乜) l l k = a k = sj = 口( 1 一荨) ( 1 一k ) 0 ， 。 矛盾因此q o = d ，即( 舌) 让。( 亡) ，即u b ( t ) 是( 2 1 3 ) 的解，所以对任意 的b 【0 ，b ) ，都满足b b ，即问题( 2 1 3 ) 至少有一个正解，并且当b b 时，方程( 2 1 3 ) 没有正解 推论当方程( 2 1 3 ) 满足( 研) ( 弼) 时，存在一个常数6 。，使得方程 ( 2 1 3 ) 又堆意的b 【0 ，扩+ ) 都至少有一个正解，当b 护时，方程( 2 1 3 ) 没有正解 1 8 第三章s t r u m - l i o u v i l l e 脉；中微分方程边值问题正解的 存在性 3 1引言 脉冲微分方程理论是一个十分重要的研究领域，近几年，人们对脉冲微分 方程边值问题的研究十分活跃在【2 2 】中研究了下列形式的方程的正解的存 在性， f 一= f ( t ，u ( t ) ) ，0 t 1 ， q u ( o ) 一声u 7 ( o ) = 0 ， ( 3 1 1 ) 【 u ( 1 ) + 6 u ，( 1 ) = 0 ， 其中i = 【0 ，1 】，4 = 【0 ，+ o o ) ，c ( zx 风，r + ) ，q ，卢，7 ，5 0 ，p = 7 p + a 7 + a 5 0 ，在一定的条件下，得到了此类方程至少存在两个正解，本 文受参考文献 2 2 】的启发，得到了具有下列形式的一类方程的正解的存在性， l u = f ( t ，u ( 亡) ) ，0 t 1 ， q u ( o ) 一卢让，( o ) = o ， ( 3 1 2 ) l7 u ( 1 ) + 5 u 7 ( 1 ) = 0 ， 1 一t 7 i 拄“= 厶( u ( 如) ) ，七= 1 ，2 ，m ， 在一定的条件下，得到了此类方程至少存在两个正解，本文的结果更具有一 般性，在一定程度上推广了【2 2 】的结果 3 2预备知识和引理 首先我们定义相关空间和集合，e = c o ，1 】为全体连续函数u ：【0 ，1 】一 r 的集合，定义e 中的范数为l l = s u pl 乱( t ) l ，易知e 是一个b a n a c h t e d ，1 】 空间 尸= 让l u ( 亡) 0 ，让 o ，1 】，= 八 亡l ，t 2 ，t m ) ， 1 9 第三章s t r u m - l i o u v i t l e 脉冲微分方程边值问题正解的存在性 k = 帅p 。器。) 盯i l x l l ，饰= 仲k ，1 1 孔1 1 p ) ， p c ( ，r ) = 乱c ( i ，r ) l u i o 。，t k + 1 ) c ( t k ，t k + 1 ) ；u ( t i ) = 让( t k ) ，3u ( 亡毒) ， k = 1 ，2 m ) ， p c ( i ，r ) = 珏c ( i ，r ) l u l ( t 。，“+ 1 ) c ( t k ，t k + 1 ) ；u ( t ) 在t = t k 处左连续 ，u ( 亡j ) 存在，k = 1 ，2 m ) ，i l u f i = s u pi u ( 芒) i ，i i 仳，i l p c = s u pi u 7 ( t ) l ，l l u l l p = m a x 删u l u i i p o ，则易证p c 是b a n a c h 空间，k 是p 中的一个锥 我们知道如果x ( t ) p c 7 口，r ) nc 2 ( ，r ) ，且满足+ f ( t ，u ) = 0 ，t ，钍7 i t = t 。= 珏7 ( 右砉) 一珏( 石) = - i k ( u ( t 七) ) ，a u ( o ) 一卢( o ) = 0 ，- y u ( ：) + 6 u ”) = 0 ，则u ( t ) 是方程( 3 1 2 ) 的解且u ( t ) 可表示为 珏( 亡) = 口( s ) g ( 右，s ) f ( 8 ，z ( s ) ) 幽+ v ( t ，t k ) i k ( x ( t k ) ) ， ，0：= 其中a ( t ，s ) 是方程( 3 1 2 ) 的格林函数，如下所示： 2 韶葛裟二裂羔b 2 舢 由参考文献 2 6 】知 两翻e ( 。) e ( s ) g ( 印) e ( 亡) 虿， ( 3 2 2 ) 其中 虿= ! 壁1 2 堕2 2 p e ( s ) _ g ( 邓) = 坠趔掣 定义个算子西：k e 如下所示： ，1 m 垂( u ( 亡) ) = ( a ( t ，s ) m ，( s ) ) d s + g ( t ，“) 厶( u ( “) ) ，t j -，0= 为了方便起见我们列出本文使用的假设： (