（应用数学专业论文）关于随机环境下鸟类繁衍的渐近最优策略模型.pdf

太原理工人学硕士研究生学位论文 y6 2 0 2 5 1 关于随机环境下鸟类繁衍的渐近最优策略模型 摘要 本文以随机环境分枝过程 z 。) 模拟鸟类繁衍过程中种群大 小的演变，建立了鸟类为对抗随机环境的不同状态对幼鸟成活 率的影响，通过选择确定产蛋数的概率分布玎，使当初始鸟数乙 不断增加时，自身的灭绝概率q k ( 仃) 以最快的速度趋于零的优化 决策数学模型。并在鸟类产蛋数服从泊松分布，且至少有 个 下临界状态的灭绝概率小于l 的上临界情况下，做了如下工作： 1 、详细讨论了相应策略集f i 的情况，证明了非空策略集丌 或是一个区间或是两个不重叠区间的并。 、 2 、给出了相应策略集兀非空的充分必要条件。 3 、证明了对每一个z e 兀，必存在唯一的常数以( z ) 0 ，使 得( 1 ) f ( 岛( z ) ) = 1 ，( 2 ) f ( 岛( 口) ) c o ，( 3 ) e 0 一。，( o ) ) 强扣 0 ，a n d ( 1 ) f ( o o ( 口) ) = i ，( 2 ) f ( o o ( 月) ) c o ，( 3 ) e ( 1 一九，如( o ) ) 叫“川 c 。b e s i d e s ，i f 玎4 兀，吼( 7 + ) = m a x o ( 1 ( 丌) ) t h e n t h e s t r a t e g y 盯+ i st h ea s y m p t o t i c a l l yo p t i m a ls t r a t e g yj 鄙o s i n gt h er a n d o m e n v i r o n m e n t 4 - 。 t b j sc o n c l u s i o np r o v i d e sam a t h e m a t i ce x p l a n a t i o nt ot h ep l l e n o m e n o j lt h a t e a c hb i r ds p e c i e sh a sac h a r a c t e r i s t i cf r e q u e n c yd i s t r i b u t i o no fc l u t c h s i z e si n n a t t i r e k e yw o r d s b r a n c h i n gp r o c e s s ，r a n d o me n v i r o n m e n t ， p o p u l a t i o ng r o w t h ，e x t i n c t i o np r o b a b i l i t y 太原理二| _ ：大学硕：e 研究生学位论文 一、引言 自然界中每种鸟类的产蛋数似乎都对应一个刻画其频率的概率分 布。例如一种森林野鸽的产蛋数总是2 ：而在英国牛津地区的雨燕产蛋数 不是2 就是3 ；还有一种大山雀，其产蛋数从l 到1 5 都被观察过。从 生物进化论观点看，这些鸟类产蛋数的不同分布都是由于它们长期以来 不断适应生存环境而演变的结果。为从数学上解释这种现象，需要建立 数学模型来描述鸟类逐步适应生存环境的进化过程。这就要求选择一个 适当的数量指标，并以此指标的值作为衡量进化的标准。1 9 4 7 年l a c k 首 先提出以后代平均数最大作为进化的目标【2 j 。注意到随着鸟的数目 的增加或当年景变得不好，只有少数的后代有生存下来的机会时，鸟类 的产蛋数往往有减少的趋势。若鸟类真是尽可能多地繁衍后代，则每一 种鸟类的产蛋数就应当为一个常数。所以l a c k 的标准无法解释这些在现 实世界中观察到的现象。1 9 6 4 年w y n n e e d w a r d s 提出一种新观点，认为 鸟类在长期演变过程中，自身发展了一种机制，它可随环境的变化而调 节产蛋数目去与环境抗争【3 l 。1 9 7 3 年m o u n t f o r d 认为：当有限的食物资源 相对紧缺时，鸟类不再关心是否有更多的后代，而是退而考虑 其本身的物种能否得以延续。从而提出以灭绝概率最小为进化目标， 并构作了局中一方为鸟类，另一方为随机变化的环境，鸟类以决定产：蛋 数目为策略，对抗不同环境状态对小鸟成活概率的影响的种优化决策 模型。该模型以s m i t h w i l k i n s o n 随机环境分枝过程模拟鸟类繁衍过程中 各代鸟数的变化，其中环境的状态决定鸟类的食物数量，而小鸟成活概 率与食物数量的对应关系为s i g m o i d 函数i l l 。1 9 8 0 年g r a y 放宽了 m o u n t f o r d 模型中环境：状态通过食物数量影h 自j 4 , 鸟成活概率的限制，提出 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 了一些更一般的数学模型，并发现在其数值例子中，鸟类为使其灭绝 概率最小而选择的决定产蛋数的概率分布参数，随初始鸟数的增加似 乎趋于某常数。因而猜测可能存在一种渐近最优策略，并给出了一个直 观但不严格的说明f 4 】。1 9 9 3 年g r e y 与l u 较完满地解决了独立同分布随 机环境分枝过程灭绝概率的渐近函数刻画问题1 5 1 。利用此结果，1 9 9 7 年 l u 与g r e y 从数学上严格证明了1 9 8 0 年g r e y 的猜测，并建立了鸟类繁 衍的渐近最优策略的数学模型【”。 本文在至少有一个下临界状态的灭绝概率小于l 的上临界情形下， 建立了鸟类繁衍的优化决策数学模型。尽管这个模型经过高度简化，但 它仍保留了与实际情况相似的主要结构。由此可对自然界中每种鸟类的 年产蛋数似乎都服从某一概率分布的现象给出一种数学上的解释。 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 二、预备知识 1 、分枝过程的定义及发展 分枝过程历经一个世纪的重要发展之一，是从经典分枝过程到随机 环境中的分枝过程的发展。 1 8 7 3 年，g a l t o n 和w a t s o n 在讨论英国贵族姓氏继承与谱系消 ：问题 中建立了- - l q , 新的随机过程模型，此模型的建立奠定了经典分枝过程的 基础。因此经典分枝过程常称为g a l t o n w a t s o n 过程，简记为g w 过程。 定义1g w 过程是一个取非负整数值的m a r k o v 链 互，： = o ，l ，2 z 。= ；z 。= 专 ( n = 0 , 1 ，2 ) 其中k 为某指定的正整数，眚( f = 1 , 2 ，) 是一个取非负整数值的，服从同 一概率分布律( p d l ) 或具有共同概率母函数( p g f ) 的独立随机变量序列 ( 以下简记为i i d 序列) 【7 1 。 一个g w 过程可设想为一个种群繁衍演化模型：设在丌始时刻0 有乙 个称为第0 代或“祖先”的个体，它们根据同一概率分布律或共叫的概 率母函数，相互独立而随机的繁殖若干个新个体，这些新个体的总数z 恰 是z o 个服从同慨率分布律 p ，) 或具有共同概率母函数( s ) 的州互独 立随机变量茧( k 1 , 2 ，z 。) 之和。这z 1 个新个体构成第一代并重复l 辈的 j 太原理工大学硕士研究生学位论文 演化而繁衍出乙个第2 代个体，以此规律一代代繁衍下去，不论哪一代 中的哪一个个体，其产生下一代的个体数目只取决于上述的概率分布律 ( n ) 或概率母函数( s ) ，而不受其前辈或同代的其它个体产生下一代 个体的影向。以z 。表示第”代个体的总数，则( z 。) 就是一个g w 过程。 ( 7 】 经典分枝过程中不同个体全部遵循同样的分布律而独立繁衍后代 的这种假设，与自然界中的繁衍过程大部分受个体间的相互作用以及其 它因素影响相矛盾。这使得经典分枝过程的应用受到一定的限制。随机 环境中的分枝过程正是在这种背景下产生的。 随机环境分枝过程( b r a n c h i n gp r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t s ，简 记为b p r e ) 这一概念最早由w i l k i n s o n ( 1 9 6 7 ) 与s m i t h ( 1 9 6 8 ) 提出，而后 他们于1 9 6 9 年建立了i i d ，环境中的b p r e ，因此这种过程通常称为 s m i t h w i l k i n s o nb p r e 或s wb p r e ，并在1 9 7 1 年推出了m a r k o v 环境中 的b p r e 。同年，烈 y a 与k a r l i n 建立了平稳遍历环境中的b p r e 。 定义2 设( q ，f ，j p ) 是一个概率空间，m 为取非负整数值的随机变 量的所有非平凡概率分布律的集合，即： m = p ，：，= 0 , 1 ，2 ：0 p j l ，p = 1 且咖， o 。，o p 。+ p 1 i ) 。 ，刊i = l 易见，m 是所有有界实数序列构成的b a n a c h 空间f 。的一个b o r e lj = 二 集，记b 为由按通常拓扑意义生成的b o r e lo - 一代数，设 ( ，) = ( ( - 0 ) ：n = o ，l ，2 是从( q ，f ，p ) 到( m ，b ) 的映射序列，且 4 太原理工大学硕士研究生学位沧文 p ：( 珊) m ，v 0 = 1 ，则每一个这种从q 到m 的映射f ( ) 唯一确定一 个m 中的概率母函数： 如( j ) = p ，( 97 ，( o s 1 ) j = 0 其中 n ( f ) ：，= o , 1 ，2 是相应于f ( ) 的概率分布律。这样的映射序列 f ， 称为一个随机环境，或简称为环境【8 1 。 定义3 设( z 。) 为定义在某概率空问( q ，f ，p ) 上的取非负整数 值的随机变量序列且 z 。= t ；z 。l = 孝，i 。( ”= 0 , 1 ，2 ) 其l pk 为某指定常数， 为随机环境，若对每个”，当给定所有，z 。 、 以及 彰” ( o l ) 时， 厶：= o ，l ，2 ) 为i i d 的且服从同一概率分 和律 p ，( “) 或具有共同概率母函数屯( s ) 的随机变量序列，则称( z ，) 是们值为尼的伴有随机环境 厶) 的b p r e 。 8 】 显然这样定义的b p r e ，在第7 代的个体独立繁舛2 第n + 1 代新个体 刚，不再象g w 过程一样依赖于一个不变的概率分布伴( n ) 或概率母 函数( j ) ，而是随n 的不同，依赖于由环境，的状态所决定的概率分和 律 p ，( f 。) ) 或概率母函数既( s ) 。 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 b p r e 的建立充实了现代分枝过程的理论。它具有广泛的应用前景， 可以描述类似于简化人口模型的种群繁衍、粒子裂变、核连锁反应、突 变基因存活、流行病传播以及分析排队论中队伍变化的波动现象等。 对于一个分枝过程，人们最为关心的问题是它的变化发展趋势和它 是否! 必然灭绝。记 1 3 = ：乙( 卯) = o j ”为某个正整数) ， 则集合b 表示“过程 乙) 早晚要灭绝”这一事件，称吼= p 1 3 1 z o = 女 为“祖先”数为k 时的( 无环境条件的) 灭绝概率， g 。( f ) = p b f f ( 芗) ，乙= 女 为“祖先”数为k 时的有环境条件的灭绝概率。 当b p r e 不是必然灭绝时，吼 1 ，但要确切地知道吼究竟等于多少 就涉及到吼的计算问题。在这方面，1 9 6 9 年w i l k i n s o n 在提出了关于i i d q , g g q - b p r e 灭绝概率吼的矩阵求法【9 1 。对于一般的平稳遍历环境中的 b p r e 至今尚未找到有效的计算吼的办法。而且w i l k i n s o n 的矩阵求法计 算繁琐，当k 的值较大时，几乎无法算得q 。因此，若能知道吼的渐近 行为，则可在k 较大时，以其渐近函数近似表达，从而使研究工作变得方 便可行，因此对吼的渐近行为的探讨具有特别重要的意义。g r e y 与l u 就s m i t h w i n k i n s o n 过程当q 1 时吼的渐近行为做了大量的研究。其主 要结论见下一节。 早期的研究工作主要集中在独立环境或平稳环境下的b p r e 。 j a g e r s 和l u 在2 0 0 2 年发表了一篇关于恶化随机环境下的分枝过程的文 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 章【l ，在其中提出了所谓适应盯代数结构随机环境下分枝过程的概念， 使环境更具一般性；王汉兴对依赖于人口的b p r e 也做了大量的研究 ； k o z l o v 与d i r r r i c h 分布讨论了临界b p r e 不灭绝概率随时间趋于无穷时 的渐近行为【1 2 m ；m g o n z a l e z 和m m l i i n a 对带有控制函数的控制分枝过 程进行了分类【l4 j ；f c k l e b a n e r 和s s a g i t o v 对后代数服从l “t 分布的 g a l t o n w a t s o n 的种群年龄做了些研究( j5 】：j a s o ns c h w e i n s b e r g 在2 0 0 3 年 发表了篇有关上临界g a l t o n w a t s o n 过程的联合过程的文章 l 。文f 1 8 、 1 9 是两部关于分枝过程的最基本的著作；文 2 0 是关于分枝过程的一篇 综述性的文章；【2 1 _ 2 3 是关于依赖于人【j 的随机环境分枝过程的文章； 【2 5 1 一 2 7 1 是伴有人 转移的随机环境分枝, j - m 方面的文章； 2 8 - 【3 0 是带 有驴控制分枝过程方而的文章。 2 、有关b p r e 的主要结果 ( 1 ) 、独立同分布环境中b p r e 的主要结果 s m i t h 与w i l n n s o n 利用( z ) 在i i d 环境中取一个任何有限正整数 均为瞬时状态的m a r k o v 链的性质，得到【8 | ： ( 1 ) 在i i d 环境中，当 趋于无穷时， z ，) 或灭绝或无限增大，而不 会停留在一定的规模上。即： p z 。0 或z 。斗0 0 ，0 斗c o ) _ = 1 。 ( 2 ) 对于s m i t h - w i l k i n s 。nb p r e z t z 。= ，若e l l 。g 既( 1 ) f c o 有 ( i ) e 1 。g o 且e l l 。9 0 一吒( o ) ) l c 。时，吼 o ， 即吼趋于。的渐近行 l o g * 为除相差一个取对数后比l o g k 低阶的因子外大致与k 谒相当。 对于( n ? r 确- ：融等刊o g x , , ，o k 1 。 即q 。趋于0 的渐近行为除相差一个取对数后比k 低阶的因子外大致与 对于( c ) 情况有：o l i m i n f 掣! i芈o。msup k - m _ k q k 即q ；趋于0 的渐近行为除相差一个取对数后比i 低阶的因子外大致与 8 太原理：查堂堡婴塞圭兰焦堡墨 一 ( 2 ) 、一般平稳遍历环境中b p r e 的主要结果 设 z 。 z o 是平稳遍历环境下的b p r e 。对任意的“r ，记 口+ ：m a x 徊，o ) ，a 一：m i n 一4 ，0 ) ，a t h r e y a 与k a r l i n ( 1 9 7 1 ) 8 1 利用c h u r c h 的 一个关于概率概率母函数迭代性质的定理，在e 1 0 9 - 。( 1 ) + sc 。的条件下 把上述s m i t l l 一w i l k i n s o nb p r e 中的结论( 1 ) 推广到一股的平稳遍历环境 中的b p r e ，即当n 趋于无穷时，( z ，) 或灭绝无限增大，而不会停留在 一定的规模上。就一般平稳遍历环境的b p r e ，a t h r e y a 与k a r l i n 还得 | ：以下结沦h ： ( 1 ) 当e 1 1 。g 芘( 1 ) 兰0 时，有p l q ( f 。) 2 1 ) 2 1 jg t 5 1 ( 2 ) 0 e 【1 q g 虼( 1 ) 】 o 。且e 【一。g ( 1 一吒( o ) ) 1 0 表 示，即p 为“坏年景”，e ：为“好年景”。由于环境是随机变量，设 p 鼻= e 1 ) = 1 一p ，p 专，= 9 2 ) = p 其中0 p 0 1 5 丽 。 p 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( i i ) e 一l o g o 一丸，“( o ) 0 ；满足( i ) ( i i ) ( i i i ) ) 。 初始鸟数为k 且鸟类采用策略7 条件下的灭绝概率为 吼( 7 1 - ) 兰p z 。- - 0 fz 0 = 女；万 。 据文 5 ，这里可定义鸟类对抗随机环境的渐近最优策略如下 定义1 给定上述随机环境( 厶) ，若有，+ 兀，使对v 石兀，当 k 。+ o o 时总有g 。( 口+ ) = o ( q 。( 玎) ) 或q 。协+ ) - q 。( z ) ，则称万+ 为对抗随机 环境( 的渐近最优策略。 记 n l = 防：口满足 ( i) e l o g o ；。( 1 ) 0 ； (i i) e 卜i o g ( 1 一丸 ，( 0 ) 】 e 2 0 ，0 0 ，其中 c ：i 弋i 二冬：i o 。并b r i ，非空时是一个区问。 ( 1 一p ) ( 1 8 ”1 ) + p ( 1 一口2 ) 汪叫：注意到e 。 e 2 0 ，厄论f 。取p i 或p ! ，总有 从而叭屯一，( 啦e “荟箭( 1 - - c - 6 月n ) ke ”荟箭n 刮。 开0 。秆 故( i i ) e 卜l o g o 一丸，。( o ) ) 0 都成立。由此知 f i l = 玎：h ( e i ，p 2 ，p ，丌) 0 。 进一步，对任意同定的p 。 e ： 0 ，0 p p 2 0 时，h2 由一个区削组成 ( 2 ) 0 b ： p 0 ，、所以对 v 万 0 ，者b 有g ( 万，g 。) o ) 知当x 固定叫，g ( 以x ) 关于厅为上凸函数，且在玎2 f 处达到最 大值 g ( 万l ，x ) = 鲁三。注意到g ( 。，x ) = g ( + c 。，x ) = 。， 可失 i7 i2 为非空集的充分必要条件是：g ( 死。：) 在丌= i 三二_ 处达到的最 大酗专，班等 1 ，棚耶1 0 9 ( 1 。并且糊酬隆 z = 雨1 删嗽值；( 专，印= 等“眦l 1 0 9 ( 1 时，f i ：由一个区i t j 组成。当g ( u ，p ) 在厅= _ i 处达到的最大值 1 一已 g ( _ 三i ，。) ：兰兰 1 ，即p 1 ，即8 - 0 时th ( e l ，g2 ，p ，j r ) = 0 关于有 两个相异的解0 p 2 0 时，g w c ，p 2 ) = 1 关于z 有两个相异的解0 l i 6 ，恰使得兀2 = ( 以，6 ) r 。当0 e 2 。l i o g ( 1 + _ 1 ) 时，g ( a ，e i ) = 1 利g ( u ，p ：) = 1 关于g - 都有两个相异的解。设它们分别为 1 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 0 s ，和0 a b ，则总有0 a s g ： 0 时，h 为非空集的充分必要条件 是 ( p ，e 2 , p ，c ) 0 ，并且( “，v ) n ( a ，6 ) 非空，其中c ，“，v ，a ，b 0 定义如前。 ( 2 ) 当0 e 2 0 定义如前。 记，( 臼) 兰e ( e 巩山8 站“1 1 ) ，r ) ! , j - h 定理2 对每一个, r e 兀，必存在唯一的常数0 0 ( a - ) 0 ， 使得 ( 1 ) f ( 瓯( 丌) ) = 1 ，( 2 ) ，( 岛( 丌) ) 。， ( 3 ) e o 一九南( o ) ) 一州4 0 0 。 、 证明：( i ) 易见f ( e ) 是关于护的下凸函数。出尸f 氕= p 2 = p ， p f 1 = e t ) = 1 - p ，有f ( 疗) = ( 1 - p ) e 8 一o g 川1 ”+ p e 9 一l 。鲑。z 1 。注意至0 刘v n - 兀，总有 o g ( 1 ) 0 2 0 太原理工人学硕士研究生学位论文 故知，7 ( 目) = 。的根为目= i i i i i ：i 蒜1 。8 i ；p _ = j l 巧o g i 而e l , 0 ) 。a 由f ( 0 ) 的下凸性知f ( o ) 在0 + 0 处达到最小值。再注意到 f ( o ) = l ，f ( + c o ) = + 。o 以及f ( 目) 的连续性，易见对每个2 7 g l ，都存在唯 一的o u ( n ) 0 使得f ( o o ( z ) 、= 1 。 r 2 ) i f ( 目) = ( 1 一p ) ( ( 石( 1 一p 叫一) 十p ) 一l o g n ) e 。l 一。) + e l i o g # + p ( ( 万( 1 一e 。z ) + e 2 ) 一l o g n ) e 9 “，”1 一。”) + e z ) - l o g g l 即知f ( 瓯( j r ) ) o 。 ( 3 ) “i 命题2 的证明知0 1 一九。( o ) 0 ，故有哥l 一九，。( o ) ) 氓 0 ，使得 f ( o o ) = 1 ，f ( 岛) ( 3 0 ，e ( 1 一噍。( o ) ) 一。 0 以及l i ms u p k ”q = 0 ( v o 0 ，都有吼忉+ ) 墨c k 一“，因此 再由c 0 的任意性， 。熙鬻等。 即有l i m 生堕! ：o 。# 。吼( z ) 定理3 若刀兀使得岛防+ ) 2 学 醵( 万) ) ，则对v 口n ，当七斗+ o o 时 总有 g t ( 疗+ ) = o ( q 女( 石) ) 或q t ( 石+ ) - q i ( 丌) 。 即丌为对抗随机环境( ，) 的渐近最优策略。 证明： 若岛( 石) 岛( 石) ，则由引理2 ，有吼( 石+ ) = o ( q 。( 口) ) 。 太原理工大学硕士研究生学位论文 若岛) = 0 0 ( 石) 由引理l 有，。l i m j 努_ 1 。故有 o g q ( 牙) l o g k h l 计和l o g q 女( 万) l o g k 一巩4 + ( 七 + c 。) 。 由岛( 丌) = 岛( 口4 ) ，有l o g q 女( ，r ) l o g q ( 丌) ( 女斗+ g 。) 。再由罗必达法则， 易得q 女( 7 + ) 吼( 7 - ) ( t 斗o o ) 。# 注：假如鸟类的产蛋数服从泊松分布，并以灭绝概率趋于零的速度最 快为最优，上述数学模型可观明若鸟类通过长期进化，最后选择了渐近 最优策略z + 来对抗随机环境，则其产蛋数应服从参数为石+ 的泊松分布。 这就对自然界中每一种吗类的产蛋数似乎都埘应个刻画其频率的概率 分布的现象给出了一科r 数学上的解释。 4 、数值举例 ( 1 ) 、策略集丌为一个区间的数值举例 设环境为 ，其可能取值是e = 0 4 ，e ，= 0 1 ，且 p f ，= 0 4 ) = p 厶= o 1 】= 0 5 。 由 九，矗= 刀州彳“m 1 有 太原理工大学硕士研究生学位论文 e l o g # 7 ，( 1 ) = l o g z 一 ( 1 一p ) ( 厅( 1 一p 叫1 ) + 已1 ) + p ( 丌( 1 一口叫2 ) + e 2 ) = l o g z 一【( 1 0 5 ) x ( 厅( i c - 0 4 ) + 0 4 ) + 0 5 ( 石( 1 一p o l o g q - 一0 2 1 2 5 z o 2 5 幽酶面的讨论，知 又 同强i 由 有 n ，= 丌：l o g z - 一o 2 1 2 5 z o 2 5 o ) 。 彤。( 1 ) = 玎e 一附。”= 石p 州2 ”删 鼓。( 1 ) 1 营2 z - f ? 一。3 2 9 7 枷4 1 0 ( 3 ) 故得n2 = 玎：l o g z 一0 3 2 9 7 z 一0 4 0 ) 。 ( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 的求解，都需要解形如 l o g x + 似+ b = 0 的方程。由牛顿选代法，可计算出兀、兀：的近似范围分别为 2 4 太原理j ：大学硕士研究生学位论文 兀1 = 厅：1 9 4 万 9 3 4 ，1 1 2 = 7 ：1 2 4 7 t 3 68 3 ) 。 所以策略集i - i = n n r i 2 = ( 7 ：19 4 7 9 3 4 ) 。 f ( 曰) 兰e ( p 8 山哦- ( 1 ) ) ) = ( 1 一p ) e 8 山哦一1 + p e 。巾8 以魁1 ：0 5 e ( 1 0 9 o3 2 9 7 4 一o4 ) 。+ o 5 c - ( 1 。g 。一5 2 “0 1 ) 8 给定i 时，可利用牛顿迭代法算出f ( o ) = 1 大于0 的根。 经计算知，当= 3 2 9 时，0 0 ( j 2 - ) 取到n = 口：1 9 4 形 9 3 4 ) 上的最 大值1 9 7 。故这时的渐近最优策略为口+ = 3 2 9 。 ( 2 ) 、策略集兀为两个区问的数值举例 设随机环境 厶) 善的两个状态分别为q = 0 3 ，。! = 0 1 ，且 以f 。= o 3 = 0 2tp g2o 1 1 = 0 8 。同样由前面的结论- h 7 求得： 丌l = r r ：1 3 7 7 r 2 3 6 1 ) 兀2 = 丌：1 2 4 丌 2 7 1 或5 2 8 z - 3 6 8 3 ) 。 从而策略集为 兀= r i l n 兀2 = 7 ：1 3 7 丌 2 7 1 ) u 石：5 2 8 0 ，设鸟的策略 n c ( o ，+ c o ) ，当鸟采取某个策略，兀时，无论哪一代的哪只乌，其产 蛋数都服从参数为丌的泊松分布，当在策略集丌满足： ( i ) e l o g ；4 ( 1 ) 0 ；( i i ) e 卜l o g o 一丸，“( o ) + c o ：( i i i ) l o g 彤h ( 1 ) l ， 时，即过程为具有下临界环境状态且灭绝概率小于1 的上临界随机环境 分枝过程。在1 ：5 8 条件下，从策略集兀中选取渐近最优策略，使得当初 始鸟数足够大时，灭绝概率趋于0 达到最快。 今后设想：考虑以下三种更一般的环境中渐近最优策略的选取 f 1 ) 环境状态- j 增加到两个以上； 、 ( 2 ) 鸟类的产蛋数为其它的分布； ( 3 ) 把i id 环境推厂到一般的随机环境，如平稳遍历环境。 2 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 参考文献 1 】m o u n f f o r d ，m d ，t h es i g n i f i c a n c e o fc l u t c h s i z e t h em a t h e m a t i c a t h e o r yo ft h ed y n a m i c so fb i o l o g i c a lp o p u l a t i o n s ，e d i t e db yb a r l e t t ，m s & h i o m s ，r w ，1 9 7 3 ，3 1 5 - 3 2 3 2 】l a c k ，d ( 1 9 4 7 ) ，t h es i g n i f i c a n c eo f c l u t c h s i z e i b i s8 7 ，3 0 2 3 5 2 3 】w y n n e e d w a r d s ，v c ( 19 6 4 ) ，s i g n i f i c a n c eo fc l u t c h s i z ei ns w i f ta n d g r o u s e n a t u r e 2 0 3 ，9 9 f 4 1g r e y , d r ，m i n i m i z a t i o no fe x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e si nr e p r o d u c i n g p o p u l a t i o n s ，t h e o r p o p u l ，b i 0 1 ，19 8 0 ，18 ，4 3 0 4 3 3 【5 g r e y , d r ，l uz h u n w e i ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fe x t i n c t i o n p r o b a b i l i t yi nt h es m i t h w i l k i n s o nb r a n c h i n gp r o c e s s ，a d v a p p l ， p r o b ，19 9 3 ，2 5 ，2 6 3 2 8 9 6 l uz h u n w e i ，g r e yd r ，an o t eo na s y m p t o t i cm i n i m i z a t i o n o f e x t i n c t i o np r o b a b i l i t yi n r e p r o d u c i n gp o p u l a t i o n s ，p r o c e e d i n g so ft h e i a s t e df n t e m a t i o n a lc o n f e f e n c e m o d e l i n g s i m u l a t i o na n d o p t i m i z a t i o n ( m s o 9 7 ) a u g u s t11 1 3 ，19 9 7 一s i n g a p o r e ，3 5 3 - 3 5 4 7 js m i t h ，w l ，w i i k i n s o n ，w e ，o nb r a n c h i n gp r o c e s s e si nr a n d o m e n v i r o m l l e n t s ，a n n m a t h s t a t i s t ，( 4 0 ) 19 6 9 ，( 814 8 2 7 ) 【8 ja t h r e y a ，k b & k a r l i n ，s ，o nb r a n c h i n gp r o c e s s e sw i t hr a n d o m e n v i r o n m e n t s ：ie x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e s ，a n n m a t h s t a t i s t ，19 7 1 ，4 2 ， 1 4 9 9 1 5 2 0 9 】w i l k i n s o n ，w e ，o nc a l c u l a t i n ge x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rb r a n c h i n g p r o c e s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n t s ，j a p p l p r o b ，19 6 9 ，6 ，4 7 8 4 9 2 【10 】p e t e rj a g e r s ，l uz h u n w e i ，b r a n c h i n gp r o c e s s e sw i t hd e t e r i o r a t i n gr a n d o m e n v i r o n m e n t s ，j a p p l p r o b 2 0 0 2 ，3 9 ，3 9 5 4 0l 11 】w a n g ，h ，e x t i n c t i o no fp o p u l a t i o n s i z e d e p e n d e n tb r a n c h i n gp r o c e s s e s 太原理工大学硕士研究生学位论文 i nr a n d o me n v i r o n m e n t s ，j a p p l p r o b ，1 9 9 9 ，3 6 ，1 4 6 1 5 4 12 k o z l o v , m v 2 ，o nt h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro ft h ep r o b a b i l i t yo f n o n e x t i n c t i o nf o rc r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n t ， t h e o r yp r o b ，a p p l ，19 7 6 ，21 ，7 91 - 8 0 4 13 】d i t t r i c h ，p ，ac r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t ，t h e o l p r o b a p p l ，1 9 9 0 ，3 5 ，5 6 0 5 6 3 1 4 m g o l l z a l e z ，m m l i i n a ，o nt h ec l a s so fc o n t r o l l e db r a n c h i n gp r o c e s s e s w i t hr a n d o mc o n t r o lf u n c t i o n s ，j a p p l p r o b ，2 0 0 2 ，3 9 ，8 0 4 8 1 5 15 k l e b a n e r f c ，s a g i t o vs ，t h ea g eo f ag a l t o n w a t s o np o p u l a t i 0 9w i t ha g e o m e t r i co f f s p r i n gd i s t r i b u t i o n j a p p l p r o b ，2 0 0 2 ，3 9 ，816 8 2 8 16 】j a s o ns c h w e i n s b e r g ，c o a l e s c e n tp r o c e s s e so b t a i n e df r o ms u p e r c r i t i c a l g a l t o n w a t s o np r o c e s s e s ，s t o c h a s t i cp r o c e s s e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ， 、 2 0 0 3 ，1 0 6 ，1 0 7 1 3 9 17 】a t h r e y a ，k b ，k a r l i n ，s o nb r m l c h i n gp r o c e s s e s w i t hr a n d o m e n v i r o n m e n t s ：i il i m i tt h e o r e m s ，a n n m a t h s t a t i s t ，19 71 ，4 2 ， 1 8 4 3 1 8 5 8 18 _ lh a r r i s ，t e t h et