（应用数学专业论文）变分理论及其在二阶哈密顿系统中的应用.pdf

东南大学学位论文独创性声明 i l l l l ti l t l l l l l l l t l lt 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 q ! y 17 5 3 9 6 7 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 研究生签名：蠲 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理。 研究生签名：斑导师签名：啦同期：则 摘要 本文主要利用变分理论中的谱分解定理、环绕定理、广义山路引理等，在一定条件 下讨论了二阶哈密顿系统的周期解及同宿轨的存在性和多解性。文章主要分三部分：第 一部分是绪论：第二部分为带阻尼哈密顿系统周期解的存在性及多解性；第三部分是关 于环绕定理及谱分解在带阻尼哈密顿系统中的应用。 在第一部分中，主要介绍了与变分有关的基础知识、基本理论及基本方法，内容包括 极小作用原理、极小极大原理、环绕、算子的谱等，为下面问题的研究做好铺垫。 第二部分，在适当的条件下，研究了一类二阶哈密顿系统周期解的存在性，采用的主 要方法为极小作用原理及极小极大方法。在这一部分中，首先介绍了哈密顿系统周期解 与某个泛函临界点之间的关系，然后给出本文研究的结果，即在次二次等条件下，证明了 所研究系统周期解的存在性，最后给出所研究问题的相关结论及推广形式。 在第三部分中，我们主要研究环绕及谱分解在所研究系统中应用。在系统相应的泛 函为强不定的情况下，利用广义环绕理论及其推论分别在超二次及渐近线性条件下，得 到了带阻尼二阶哈密顿系统同宿轨的存在性。其理论依据是谱分解、广义环绕定理以及 强不定问题的一些最新临界点理论。 关键词：变分方法；二阶哈密顿系统；周期解；同宿轨；极小作用原理；极小极大方 法；谱分解；环绕 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o rt h es e c o n d - o r d e rh a m i l t o - n i a ns y s t e m su n d e rs o m ec e r t a i nc o n d i t i o n sb yu s i n gt h es p e c t r a lt h e o r y , t h eg e n e r a l i z e dm o u n t a i np a s s l e m m a l i n k i n gt h e o r e ma n ds oo n t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r ti si n t r o d u c t i o n t h es e c o n dp a r ti n c l u d e st h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h es e c o n d - o r d e rh a m u - t o n i a ns y s t e m sw i t ho b s t a c l ei t e m t h et h i r dp a r ti so nt h ea p p l i c a t i o n so fl i n k i n gt h e o r e ma n ds p e c t r a l d e c o m p o s i t i o nf o rt h ea b o v eh a m i l t o n i a ns y s t e m s i nt h ef i r s tp a r t ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r ya n db a s i cm e t h o d sw h i c hi n c l u d et h el e a s t a c t i o np r i n c i p l e ，t h em i n i m a xt h e o r e m ，t h eg e n e r a l i z e dl i n k i n gt h e o r e ma n dt h es p e c t r u mo fs e l f a d j o i n t o p e r a t o r s i nt h es e c o n dp a r t ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h eh a m i l t o n i a n s y s t e m sw i t ho b s t a c l ei t e mu n d e rs o m es u i t a b l ec o n d i t i o n s t h em a i nm e t h o d sw h i c hw eu s ef o rt h i sp a r t a r et h el e a s ta c t i o np r i n c i p l ea n dt h em i n i m a xm e t h o d f i r s tw ei n t r o d u c et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e p e r i o d i cs o l u t i o n so fh a m i l t o n i a ns y s t e m sa n dt h ec r i t i c a lp o i n t so fs o m ef u n c t i o n a l s t h e nw ep r o v e t h e e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n su n d e rt h es u b q u a d r a t i cc o n d i t i o na n ds oo n f i n a l l yw e g i v es o m er e l e v a n tr e s u l t sa n dm o r eg e n e r a l i z e dc o n c l u s i o n s i nt h et h i r dp a r t ，w em a i n l ys t u d yt h ea p p l i c a t i o n so fl i n k i n gt h e o r e ma n dt h es p e c t r a ld e c o m p o 。 s i t i o n b yu s i n gag e n e r a l i z e dl i n k i n gt h e o r yf o rs t r o n g l yi n d e f i n i t ef u n c t i o n a l s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c e o fh o m o c l i n i co r b i t sf o rb o t ht h es u p e r - q u a d r a t i cc a s ea n dt h ea s y m p t o t i c a l l yl i n e a ro n e i nt h i sp a r t ， o u ra r g u m e n t sa r eb a s e do ns p e c i a lt h e o r ya n dt h er e c e n ti n f o r m a t i o no ns t r o n g l yi n d e f i n i t ev a r i a t i o n a l p r o b l e m s k e y - w o r d s ：v a r i a t i o n a lm e t h o d s ；s e c o n dh a m i l t o n i a ns y s t e m ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；h o m o c l i n i co r b i t s ；t h el e a s ta c t i o np r i n c i p l e ；m i n i m a xm e t h o d s ；s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n ；l i n k i n g 目录 第一章绪论 1 1 前言 1 2 极小作用原理及其产生背景 1 3 极小极大作用原理 1 4 算子的谱 1 5 一些基本概念及基本理论 第二章带阻尼哈密顿系统周期解的存在性及多解性 2 1 引言 2 2 带阻尼二阶哈密顿系统周期解的存在性 2 2 1 引言及主要结果 2 2 2 主要定理证明 2 3 另一类哈密顿系统周期解的存在性及多解性 2 3 1 引言及主要结果 2 3 2 主要定理证明 2 3 3 主要结果推广。 第三章带阻尼哈密顿系统同宿轨的存在性 3 1 引言。 3 2 超线性条件下同宿轨的存在性 3 2 1引言及主要结果。 3 2 2 主要定理证明。 3 3 渐进线性条件下同宿轨的存在性。 3 3 1 引言及主要结果 3 3 2 主要定理证明 参考文献 附录一硕士期间撰写的论文 附录二致谢 l l 2 3 4 5 9 9 0 o o 3 4 6 9 1 l 4 4 5 l l 2 6 9 o l 2 3 4 5 9 9 m m m 坞h m 均 殂俎斛斟巧虬孔勉 靳 抄 驰 第一章绪论 1 1 前言 变分法是十七世纪末开始发展起来的，是为研究泛函的极值问题而产生的。它在现 代理论科学与技术科学中有着广泛的应用，已成为求解数学物理问题和最优控制问题的 一个十分重要的方法。 变分理论最简单最基本的问题是讨论极值和条件极值。例如，微分几何中的等周问 题、测地线问题、捷线问题等。其中等周问题由古希腊人提出，可以说是变分理论的先 祖，而后，1 6 9 6 年约翰伯努力( j o h a n n b e r n o u l l i ) 挑战性的提出了最速降线问题，这个问 题是变分法进一步发展的一个标志。在1 7 3 3 年克莱罗发表了变分法的首篇论文论极大 极小的某些问题，1 7 4 4 年欧拉发表的寻找具有某种极大极小性质的曲线的技巧，这 两篇文章标志着变分法这门学科的诞生。它不仅推动了经典数学的发展，还孕育了新的 学科，例如实分析、偏微分方程、几何变分、几何测度、变分不等式等；特别地，它是数学 学科近代后起新秀一泛函分析的重要组成部分。它的发展与力学、物理学等其它自然科学 的发展密切相关，并相互促进。物理学中，拉格朗同用最小作用原理成功地描述了流体动 力学的规律；在十九世纪早期，p o i s s o n ，c a u c h y 等，用变分法解决了许多弹性力学理论问 题；h a m i l t o n 在1 8 2 4 年到1 8 3 2 年间，建立了光学的数学理论，此后，他从最小作用原理出发 得到了更普遍的原理，在其它数学物理分支中求得相似的变分原理，这不仅推动了变分 法的进一步发展，而且也推动了微分方程迸一步的研究。在1 9 2 8 1 9 3 4 年间，m m o r s e 与刘 斯切尔尼克等，分别提出了两种联系紧流形上函数临界点的性态与流形自身拓扑的理论， 这两个理论已成功的应用到变分学的测地线问题中去。上世纪六十年代，p a l a i s ，s s m a l e 将m o r s e 理论等推广到无穷维空间中，这些为变分法广泛应用到分析学上作了必要准备。 近来，变分理论又有了重大进展，1 9 7 3 年由a a m b r o s e t t i 及p h r a b i n o w i t z 提出了山路引 理，引出了一系列极小极大原理，这些原理可以处理既无上界又无下界的泛函变分问题， 为超线性椭圆型方程边值问题等的研究提供了有效工具。 变分理论与最优化、凸分析等密切相关，其在近代科学技术中的应用愈来愈广，尤其 对无穷维空间微分学起着根本的作用，因此，今后其对非线性分析问题将会有更大的发 展。本文主要采用变分原理中的极小作用原理及极小极大方法研究了一类二阶哈密顿系 统周期解的存在性；特别地，对系统相应泛函为强不定的情况下，我们利用广义环绕定 理、谱分解定理及其推论分别在在超线性及渐近线性条件下证明了带阻尼哈密顿系统同 宿轨的存在性： 东南大学硕士学位论文 2 1 2 极小作用原理及其产生背景 各种变分问题的最后求解都可以归结为解欧拉方程的边值问题。然而，只有在一些 特殊情况下，欧拉方程- a 能求出解析解。大多数情况下，欧拉方程的解析解无法求出。因 此需要另寻其它的求解方法，其中极小作用原理就是最早被采用的方法。我们知道，紧 集上的连续函数必下方有界且能达到下确界，这是数学分析中的结论。由于有限维赋范 线性空问上的有界闭集是紧的，因此在有限维赋范空间的有界闭集上定义的连续泛函一 定达到极值。然而对无限维赋范线性空间来说，情况就要复杂得多。主要原因在于无穷 维空间缺乏紧性，所以有限维空间中关于连续泛函成立的许多重要结论不能直接推广到 无穷维线性空间。而近来我们所讨论的映射很多都定义在无穷维空问中，这就需要我们 在适当的条件下把有限维空间上的结果推广到无穷维空间。在拓扑学中，同一空间上可 以定义不同的拓扑，这些拓扑可以导出很多不同的连续性。因此在研究和处理定义在无 穷维空间中的问题时，我们可以通过选择适当的拓扑及相应的连续性来弥补其缺乏紧性 的问题。因为自反b a n a c h 空间中有界弱闭集是弱紧的，有界闭凸集是弱闭的，所以通过 引入弱连续的定义，就可以解决自反b a n a c h 空间有界弱闭集上的泛函极值问题。而对于 全空间上或全空间上某个无界集上的极值问题，仅仅要求泛函具有弱连续性显然是不够 的。为此，可以对泛函增加另一个条件一一强制性条件来保证泛函极值存在。 利用极小作用原理来判断一个泛函是否存在极值，在不同的研究背景下需要不同的条 件。比如实直线上一个有下界的连续实函数妒不一定存在最小值，这可以从指数函数的例 子中看出来。对于连续函数妒来说，其任意一个极小化序n t u 小存在实数“使得妒( “) = i n f q o 的充分条件是慨 有子列收敛到“。如果没有对妒适当的连续假设，那么这个条件就不是 充分的。例如定义函数妒，妒= l 工10 o ) ，妒( o ) = 1 ，虽然它的每一个极小化序列都收敛 n o ，但却取不到下确界0 。为了使得妒( “) = i n f q o 我们必须加强条件使得类似于 ! i 堡k + 。i n f o ( u k ) 妒( “) 的不等式成立。实际上这只需要下半连续就可以做到。 极小作用原理设x 为自反空间，f ：x r 为下半弱连续泛函。若，有一个极小化序 列，$ j j f 在x 上达到极小值。 推论设x 为自反空间，kcx 为闭凸集，f ：x _ r 为下半弱连续泛函，若( 口) k 有界； 或者( 易) ，在x 上是强制的。n a x o k 使得八x o ) = i n k r 八曲 3 理的思想最早可追溯到上世纪二三十年代，由m o r s e 和l j u s t e r n i k ，s c h n i r e l m a n n 各自从不同 的角度建立。这两个理论的共同点是通过研究水平集的拓扑性质来判定临界点的存在性。 近几十年来，人们以超线性椭圆型边值问题、椭圆型共振问题等为背景得到了一系列极 小极大理论。其中，最重要的是山路引理及其推广。山路引理和围绕这一引理的各种变 形与推广可以看做是极小极大原理的一种具体化，在实际应用中比较方便。山路引理以 环绕为出发点，可以看做最原始的环绕形式。但由环绕出发得到的结果要更为广泛些。 极小极大原理设x 为b a n a c h 空间，了为x 的子集族，fec 1 仪r ) 令 c = i n fs u p 厂( 工) ，了工f 。 如果： ( 1 ) ：c 是一个有穷数； ( 2 ) ：j 印 0 ，使得对任何连续映射，7 ：x _ x 满足叩k 如= i dk 即，以及任何f 箩，都 有，7 ( f ) 丁； ( 3 ) ：f 在广1 ( c 一8 0 ，c + e o ) 上满足( p s ) 条件。 则c 是，的临界点。 下面介绍几个具体的极小极大定理，以备后文应用。 广义山路引理设e 为b a n a c h 空间，并且e = x ov 其中d i m x 0 ，使得fl a b , , n x o g ； ( f 2 ) 存在p o b inx 及r p 使得，若q = ( b rn ”oi r e10 ， 尺l ，则，l a q s 骞 则厂有一个临界点c a 鞍点定理设x 为b a n a c h 空间，并且x = x + or 其中d i m x 一 ，设厂c 1 ( 墨r ) ， _ e l s u p s 二f i n f x + f ，其中s 二= l u x - ：l hl = e 1 令 廓= “r ：lui - - - r l ； m = g c ( 曰三，】0 ：g ( j ) = s ，j s 二 东南大学硕士学位论文 4 定义 萨g i e n m fm ，。a xf ( g ( 吼 若，满足( p s ) 。条件，则c 是厂的一个临界值。 注当满足更弱的条件：( c k 条件时，上面鞍点定理仍成立。 定义1 321 设x 为b a n a c h 空间，q ，q o ，s 是x 的闭子集，q ocq ，称( q ，q o ) 与s 环绕， 是指 ( 1 ) q ons = o ； ( 2 ) 对任何连续映射妒：q _ x 满足妒l e o = i di q o ，都有妒( q ) ns o 定理1 3 2 2 设x 为b a n a c h 空间，q ，q o ，s 是x 的闭子集，q ocq ，并且( q 。q o ) 与s 构成 环绕，再设厂c 1 r ) 满足： ( 1 ) s u p 蚝q 八神 0 ，e 厶0 ，其中厶= ( 凡一s ，a o + s ) 注若a 为x 上的自伴算子，则有 ( 1 ) 畎a ) cr ； ( 2 ) 存在唯一谱族( r ，3 ，e ) 使得a = f x , t d e a ，d ( a ) = x x i c 1 2 di ie a x1 1 2 0 使得陋一叽c + 卅c ( c l ，c 2 ) 及y u 妒一1 【c 一仉c + o r ，hu1 1 r 有妒7 ( “) i i “口 注( c ) c 条件是比( p s ) 条件弱的紧性条件，形变引理是在( p s ) 条件下提出的，但通 过变形，形变引理在比较弱的( c ) c 条件下也成立，所以相应的鞍点定理中的( p s ) 条件也 可以用( c ) 。条件来代替。 1 5 4 一些基本理论 定理1 541 设q 为上的有界开集，则 特别地，有 其中 记 w 却( q ) q 瞄p ( 哟q q l q c f 2 ) ， k p 1 q n p 口， 即( q ) ，k p = ，1 q o o ， c 用 口( 囝，0 口k - m 一等，0 ，咒k 一万n m + 1 胪( q ) ， 妇 i v , 1 q 矿, v 万p ， ( q ) ，幻= 1 q o o ， c m ( q ) ，0 口 七一m 一万n ，0 ，n k 一万n m + 1 h 1 ( r ) ql q ( r ) h 1 ( r ) ql q c r ) 2 p o ，且g 【2 ，2 + ) ，对e = h 1 ( ) 的任意有界序y u i u ，若 当n _ 时，$ u p y e r vk ，r ) i l qd x - 0 ，则当日 p 2 。时，在汐( r ) 上有，- 0 ， 其中日( ) ，厂) = “e ：i iu yi i 0 ，a 为反对称常矩阵。 f ：【o ，列r - 满足下面的条件： ( a ) f ( f ，力对每个x r 关于t 可测，对几乎处处的t 【o ，川关于工连续可微；并且存 在a c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( 0 ，t ；r + ) ，使得 i ，( ，曲i + iv f ( t ，工) i a ( ixi ) 6 ( d 对所有的石及几乎处处的t 【o ，丁】成立。 令 研：= h ：【o ，丁】一r l “是绝对连续的，“( o ) = “( 丁) ，并且矗l 2 ( o ，丁；r ) ， 定义其上范数 怕州r f ) 1 2 出+ r d 1 2d t ) 啦， 易证在上述定义范数下研为h i l b e r t 空间。 令 妒( “) = 三j ：7 i 豇( f ) 1 2d t - 乏1j ：r ( a 比，办) 巩一j ：r f ( r ，h ) d r ， ( 2 1 2 ) 则求系统( 2 1 1 ) 的周期解问题转化为求泛函妒在砩上的临界点问题。 由a 为反对称常矩阵，及f 满足条件( a ) ，贝j j ( 2 1 2 ) 中的泛函在砩上连续可微，并且是 弱下半连续的。 注系统( 2 1 1 ) 在物理上称为阻尼强迫振动。这类问题主要出现在力学系统与电学系 统，像力学系统中在外力作用下的弹簧振动问题，以及电学系统中的电振荡等。对于弹簧 振动问题，在一定初始条件下，物体将在平衡位置附近振动，为了分析能使物体产生振 动的条件，计算物体的位移与时间的关系以及振动的周期与频率，共振现象产生的条件 等，我们就必须研究系统( 2 1 1 ) 的解的存在性及其解的性质。同样地，由力学系统与电学 系统的相似性，使得它们可以用同一个数学模型及理论来研究。 针对这类物理现象本章及第三章将研究带阻尼二阶哈密顿系统解的存在性。 9 东南大学硕士学位论文 2 2 带阻尼二阶哈密顿系统周期解的存在性 2 2 1 引言及主要结果 本节研究系统( 2 1 1 ) ，即带阻尼哈二阶密顿系统在一定条件下的周期解的存在性。下面给 出本章的主要定理。 定义2 2 1 1 假设f ：【o ，t x r l v _ r ，若存在0 0 ，g ( f ) l 1 ( 0 ，丁；r + ) ，使得，当l 工i m 时，iv f l ( f ，曲i g ( f ) 对几乎处处的t 【0 ，丁】成立； ( f f ) 存在常数c 0 及0 口 1 ，使得对v x ，y r n ，有lv f 2 ( x ) 一v f 2 ( y ) i ci 工一yl a ； ( i i i ) 当izl _ o o 时，cf ( t ，x ) d t - 一 则问题( 2 1 1 ) 至少有一个周期解。 注：存在满足定理2 2 1 3 的f ，例如，设f ( t ，工) = f l ( f ，曲+ f 2 ( x ) ，石r 其中， f 届( f ) l n ( e + ixi ) ， x 0 ， 眦加1 届( f ) ， 其它情况 i 局( f ) ， 冥它情况 f o ( o l 1 ( o ，丁) ，r f o ( t ) 0 对对几乎处处的t 【o ，丁】成立；f 2 ( x ) = 一i 石1 3 2 2 2 2 主要定理证明 引理2 2 2 1 由条件( a ) 可得，( 2 1 2 ) 中定义的妒在砩上连续可微，并且i 口- j 题( 2 1 1 ) 的 周期解对应于上述泛函在腓上的临界点。且由a 为反对称常矩阵，对y u ，v 珥有 一一 r 丁 ( 妒7 ( “) ，1 ，) = f ( 如( 力，k t ) ) d t + i ( a u ，v ( t ) ) d t j ( v f ( t ，h ) ，v ( t ) ) d t j 0j oj o 引理2 2 2 2 ：【l o 】假设f 满足条件( a ) ，且当i 工i - l , 0 0 时，f ( t ，功_ + o o ，对几乎处处 的t 【0 ，t 】一致成立。则存在f 3 f t ) l 1 ( o ，丁) ，及次可加函数g ( 工) c ( r ，r ) ，即对v 工，y r n ，g + 力g ( z ) + g f y ) ，使得对所有的石r 及几乎处处的t “o ，r 】有f ( t ，曲g ( 曲+ 觑f ) ， 其中当i 工i - 时，g ( x ) - + ；并且对y x r s ，有g ( x ) - ixi + 4 1 0 东南大学硕士学位论文 引理2 2 2 3 假设f 满足条件( a ) 及次二次条件，即存在0 0 ，对v n n ， 满足i9 ( ) l sc ，i ( ) l c ，由参考文献【l 】中性质4 1 知，我们只要证明( 露n l 有界即可。 由条件( a ) 及次二次条件可得，对v x r 有，一j i l ( f ) + ( v f ( t ，曲，曲p f ( t ，力对对几乎处处 的f 0 ，列成立，其d ( j h ( t ) = ( 2 + m ) a o b ( t ) 0 ，a o = m a x i 工| ( 2 刊r 胁一卜m o a o p 2 及忍( f ) 1 ( o ，t ；r + ) ，则f f ( r ，u n ( t ) ) d t c 由上述不等式，对v n ， = 三r 阳一r 脚撕舢一1j ：o r ( a 蚴珈 三( 1 - , a l l l z 丌) ；一c 由 妒( ) 有界及oai i 筝，则有l i “i l ； - c 从而s o b o l e v 不等式，y n n 有c 由引理2 2 2 2 及上述不等式，对v ，l n 有 c r 脚础眦 r g 胁+ r 肿) 出 小洲t 一卜剥，+ r 觥 上r g ( ) d ，一( 1 l | f i h 。+ 4 ) + j ：r 觑，) d f 由g 为强制的，口l 1 ( 0 ，丁) ，则溉l 有界，从而由1 中性质4 1 可得妒满足f p s 1 条件。 引理2 2 2 5 假设g c 1 ( r n ，r ) 为凸函数，则对y x ，y r n ，有g ( 曲g ( y ) + ( v g ，x y ) 定理2 212 的证明：设辟= l u 砩l f i = o ，则砩= 辟，hd i mr 一 东南大学硕士学位论文 ( b ) v u r n ，当u1 1 - - o o 时，妒( m ) 一一 首先证明条件( 口) 成立。 由引理2 2 2 3 及s o b o l e v 不等式，对v u 研，有下面不等式成立， 咖，= 打郇) 1 2 扎三r 川加r 脚础 珂f ) 1 2 扯1 1f o t ( a 础一上2 啪( f ) ( ( 岩m 渺 扣i 和训巴嚣j = w 一印小彬r 导( 1 一i ial l 去) 睦- ci i 办吃- c 由o p 1 2 ， 1 2 ，卢 0 ，及整数七0 使得对vizl ，及几乎 处处的t 【0 ，t 】有 一掣w 2 2 即，功一即o ) 一筚伊2 其中w = 筝，则问题( 2 3 1 ) 至少在砩有3 个不同的解。 注令 ，。( f z ) ：善一三w 2 l 工1 2 ， lzi l ， if 【2 + s i n ( 2 7 rix1 2 ) i n ( 1 + i 工1 2 ) ，i 石i i f0 ， ixl i ， 以“加 - , t c o s ( 2 1 rix1 2 ) - ss i n ( 2 7 rix1 2 ) , 1 1 5 东南大学硕士学位论文 其中a = ；w 2 + 2 t i n 2 ，p = f 阢2 + 等，则f = f 1 + 既c l ( 0 ，r ；r ) 满足定理2 。3 1 5 的条件，但 不满足文献【9 】中定理7 ，及文献【1 0 】中推论5 。 2 3 2 主要定理证明 定义2 3 2 1设g ：r _ r ，称g 为( a ，t j ) 次凸的，若存在a ，弘 0 ，使得对任意 的工，y r ，有g ( a + ) ，) ) 弘( g ( 曲+ g ( ) ，) ) 成立；如果g 为( 1 ，y ) 次凸的，则称g 为y - 次 可加的；若g 为1 一次可加的，则称g 为次可加的。 引理2 322 ：假设，满足条件( a ) ，且当i 工i _ o o 时，f ( t ，曲一一，对对几乎处处 的f 【o ，丁】一致成立。则存都( f ) l 1 ( 0 ，丁) ，及g ( 工) c ( r ，r ) ，使得对所有的x 则及几 乎处处的r 【o ，州有f ( f ，劝g ( 曲+ 觑0 ，其中对v 工，y 则，g ( x + y ) g ( 曲+ g f y ) ，当ixl o o 时，g ( 工) - + 一o o ，并且对v 工，有一l 工i - 2 g ( 曲0 证明因为当lxi o o 时，( ，神一一o o ，对几乎