（应用数学专业论文）几类迭代函数方程解的连续性、凹凸性、解析性与稳定性.pdf

几类迭代函数方程解的连续性、凹凸性、 解析性与稳定性 应用数学专业 研究生徐冰指导教师张伟年 迭代是自然界乃至人类生活中的一种普遍现象迭代方程就是以迭代为基 本运算形式的方程漫长的历史沉淀使迭代方程成为与微分方程、差分方程、积 分方程及动力系统紧密相关的现代数学分支，在实验科学和工程科学研究中起 着重要的作用。在本文的绪言中介绍了几类迭代函数方程，并对与之相关的一 些基本结果作了一个简要介绍。 第二章研究了两类迭代方程连续解的存在性。本章首先讨论了与逐段常时 滞泛函微分方程不变曲线有关的一类迭代函数方程的连续解的存在唯一性和连 续依赖性，不但弱化了已有结果的g 1 光滑性的条件，还讨论了连续解的对称 性，并根据对称性将一些结果推进到高维本章还讨论了线性型迭代方程的递 减解与非单调解的存在唯一性及连续依赖性，并将相关结果推广到拟线性型迭 代方程。 第三章研究了线性型迭代方程的拟凸解、拟凹解、凸解及凹解的存在性。 凸性是函数的最重要的性质之一。曾经有人讨论了凸迭代根和凹迭代根的存在 性，但对更一般的方程线性型迭代方程的解的凹凸性尚无结果。本章在连 续函数构成的紧凸集上构造一个连续自映射算子，利用均差理论和不动点理论 证明了线性型迭代方程的盟凸解的存在唯一性及连续依赖性 第四章研究了迭代方程的解析解已有的许多关于迭代方程的解析解结果 都是运用优级数法得到的，并要求一个作为未知函数在其不动点处的线性部分 的特征值的常数。不在单位圆周上或者n 在单位圆周上但满足d i o p h a n t i n e 条 件本章同样使用优级数法讨论一类带时滞的迭代微分方程解析解的存在性。 突破了已有工作的d i o p h a n t i n e 条件限制，讨论了常数n 在单位圆周上但又不 满足d i o p h a n t i n e 条件的情形。此外，- 本章还使用s c h a u d e r 不动点定理，通过 建立辅助方程，研究了变系数的线性型迭代方程解析解的存在性。 第五章研究了单变量的函数方程的h y e r s u l a m 稳定性。本章在综述单变量 的函数方程h y e r s u l a m 稳定性的有关结果的基础上，简化了有关广义r 一函数 方程在三种意义下的h y e r s u l a m 稳定性的条件并给出了一些不同于经典r 一函 数方程的例子。进而还研究了一类非线性型迭代方程的h y e r s u l a m 稳定性，证 明了在这类非线性型迭代方程的近似解附近存在唯一的真解。 关键词：迭代，函数方程，凸函数，解析性，h y e r s u l a m 稳定。 c o n t i n u i t y , c o n v e x i t y , a n a l y t i c i t ya n ds t a b i l i t y o fs o l u t i o n sf o r s o m ei t e r a t i v e 重 h n c t i o n a le q u a t i o n s m a j o r ：a p p l i e d m a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：x ub i n g s u p e r v i s o r ：z h a n gw e i n i a n i t e r a t i o ni sa ne x t e n s i v ep h e n o m e n o ni nn a t u r ea n dh u m a nl i r e i t e r a t i v e e q u a t i o n sa r et h o s ee q u a t i o n sw h i c hi n v o l v ei t e r a t i o n 勰ab a s i co p e r a t i o n i n r e c e n ty e a r s ，i t e r a t i v ee q u a t i o n sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei ne x p e r i m e n t a ls c i e n c e s a n d e n g i n e e r i n g sa n dc l o s e l yl i n kw i t hd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ， i n t e g r a le q u a t i o n sa n dd y n a m i c a ls y s t e m s s o m ek i n d so fi t e r a t i v ef u n c t i o n a l e q u a t i o n st o g e t h e rw i t hs o m eb a s i cr e s u l t sa r ei n t r o d u c e di nc h a p t e r1 c h a p t e r2i sd e v o t e dt oe x i s t e n c eo fc o n t i n u o u ss o h t i o 瑚o f s o m ei t e r a t i v e e q u a t i o n s e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo fc os o l u t i o n sf o r a ni t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o nr e l a t e dt oi n v a r i a n tc u r v e 目o ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t sa r eg i v e nu n d e rw e a k e rc o n d i t i o n st h a nt h a tk n o w nr e s u l t so fc 1 s o l u t i o n s s y m m e t r yi sa l s oc o n s i d e r e ds o t h a ts o m eo b t a i n e dr e s u l t sa r eg e n e r a l i z e dt o 掣m o r e o v e r ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo f d e c r e a s i n g s o l u t i o n sa n dn o n - m o n o t o n i cs o l u t i o n sf o ral i n e a ri t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o na r ed i s c u s s e d s o m e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t sa r eg e n e r a l i z e dt oaq u a s i l i n e a ri t e r a t i v ee q u a t i o n i nc h a p t e r 3 ，e x i s t e n c eo fq u a s i c o n v e x ，q u a s i c o n c a v e ，c o n v e xa n dc o n c a v e s o l u t i o n so fal i n e a ri t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o na r es t u d i e d a l t h o u g hs o m e r e s u l t so nc o n v e xa n dc o n c a v ei t e r a t i v er o o t sa r e k n o w n ，t h e r ea r en or e s u l t s a b o u t c o n v e x i t yf o rm o r eg e n e r a li t e r a t i v ee q u a t i o n s i nt h i sc h a p t e r ，c o n v e x i t yo f b o t hi n c r e a s i n gs o l u t i o n sa n d d e c r e a s i n gs o l u t i o n si si n v e s t i g a t e db yt h ed i v i d e d d i f f e r e n c et h e o r ya n d 矗x e dp o i n tt h e o r y i nc h a p t e r 4 ，e x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n so f s o i n ei t e r a t i v ee q u a t i o n sa r e s t u d i e d a sw ek n o w ，m a n yr e s u l t so na n a l y t i cs o l u t i o n so fi t e r a t i v ee q u a t i o n s a r eo b t a i n e db yc o n s t r u c t i n gam a j o r a n ts e r i e s f o rt e c h n i c a lr e a s o n s ，i np r e v i o u sw o r k sa ni n d e t e r m i n a t ec o n s t a n tn a st h ee i g e n v a l u eo ft h e1 i n e a r i z a t i o no f u n k n o w nf u n c t i o na ti t sf i x e dp o i n t ，i sr e q u i r e dt ob eo f ft h eu n i tc i r c l eo rl i e o nt h ec i r c l ew i t ht h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n i nt h i sc h a p t e r ，e x i s t e n c eo fa n n - l y t i cs o l u t i o n s o fa ni t e r a t i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hs t a t e - d e p e n d e n td e l a y si s s t u d i e db yu s i n gas i m i l a rm e t h o d ，w eb r e a k t h r o u g ht h er e s t r i c t i o no ft h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o na n ds t u d yt h ec a s et h a tt h ec o n s t a n tn i sau n i t yr o o t ，w h i c h o f f e n d st h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n m o r e o v e r ，e x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n sf o r al i n e a ri t e r a t i v ee q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t si s g i v e nb yr e d u c i n gt oa n a u x i l i a r ye q u a t i o na n du s i n gs c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m i nc h a p t e r5 ，h y e r s u l a ms t a b i l i t yo ff u n c t i o n a le q u a t i o n si n s i n g l ev a r i a b l ei ss t u d i e d w es u m m a r i z es o m ek n o w nr e s u l t so nh y e r s u l a ms t a b i l i t yo f f u n c t i o n a le q u a t i o n si ns i n g l ev a r i a b l e ，s i m p l i f yc o n d i t i o n si nt h r e es e n s e sf o rt h e g e n e r a l i z e dg a m m a f u n c t i o n a le q u a t i o n f u r t h e r m o r e ，w ed i s c u s sh y e r s u l a m s t a b i l i t yo f an o n l i n e a ri t e r a t i v ee q u a t i o na n dp r o v ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n sn e a ri t sa p p r o x i m a t es o l u t i o n s k e y w o r d s ：i t e r a t i o n ，f u n c t i o n a le q u a t i o n ，c o n v e xf u n c t i o n ，a n a l y t i c i t y h y e r s - u l a ms t a b i l i t y 致谢 v5 6 9 2 5 二 本文是在导师张伟年教授的悉心指导下完成的。三年多 来，是他始终不渝的关怀、鼓励、教诲和帮助，使作者得以顺 利完成学业。他高尚的9 币德、严谨的学风和在动力系统方面 深邃的洞察给予作者深刻的启迪和影响，使作者终身受益。 在此，作者向导师表示深深的敬意和感谢! 作者衷心感谢司建国教授的关心、指导和帮助。 感谢所有关心、支持和帮助我顺利完成学业的老师、同 学和朋友。也感谢我的家人多年来对我的理解和支持。 第一章绪言 迭代就是同一运算或操作的多次重复。乘法可看作加法的迭代，乘方也可 以理解为乘法的迭代。我们熟悉的等差数列和等比数列显然也是迭代产生的。 迭代是自然界和人类生活中的普遍现象x 一射线的透射可看作射线衰减 率的迭代。流体渗流、传热、生物体的生长、人口预测等过程也都包含了迭代现 象在计算机科学研究中，由于计算机的飞速发展，迭代运算便于在计算机上 实现的优点凸现出来，各种各样的计算问题，在计算机上都可应用迭代程序求 解。在数学中，一切递推关系都是迭代微分方程解的p i c a r d 逼近就是一个迭 代过程我们还可以对微分方程的解曲线通过时间1 映射化为迭代来进行研 究，事实上微分方程的许多定性问题都可以化为拓扑空闽上的连续映射的迭代 来处理我们也常常通过讨论相空间上p o i n c a r d 映射的迭代，来分析向量场的 周期性和混沌性。通过对迭代的研究，我们可以预测系统在未来的状态和发展 趋势。有时通过迭代我们也可以追溯系统在过去的运动过程因此，研究迭代的 规律非常重要。 1 1 迭代与迭代方程 定义设，：x x 是集合x 到自身的一个映射，记 ，o ( z ) = x ，”( 。) = ，o ，“一1 ( g ) ， 其中n 为正整数，称p ( 。) 为，( z ) 的n 次迭代 与微分算子相比，迭代算子更加复杂，因为微分是线性运算而迭代是一种非 线性运算线性函数迭代后具有保线性的特征，非线性函数迭代后不仅其n 次 迭代的函数十分复杂，而且当礼- - o o 时的极限行为还会出现许多意想不到的 事情，非线性函数的复杂性常常通过迭代而被放大了【3 0 ，7 5 ，9 1 ，1 3 钉。 关于迭代，有如下三个基本问题 第2 页第一章绪言 1 n 次迭代，“( z ) 的计算或估计及其极限的收敛性。这里，极限的收敛性 是要研究动力系统轨道o r b y ( z ) = p ( z ) ：n = 0 ，1 ，2 ，的长期行为，如叫一极 限集等。 2 确定，使之第n 次迭代是一个已知映射，。即求解函数方程广( z ) = f ( z ) ，忱x ，这里，称为f 的一个n 次迭代根 3 将f 的离散动力系统嵌入流，相当于要找出一个x 上的连续流( t ，z ) ， 使得f = 咖( 1 ，z ) 。 人们从直觉上首先要关心第一个问题。尤其是在科学实验中人们非常关心 运动的终极状态，即运动轨道的极限状态，因为终极状态往往是稳定、长效且 可观测的。另一方面，人们也关心运动的详细过程。事实上，当人们通过研究离 散动力系统而对整数次迭代有了深刻认识后，总希望迸一步了解在整数之间所 能发生的事情，想知道迭代能否是分数次的甚至是任意实数次的，这就是所谓 迭代根和嵌入流的问题。此外，人们还关心稳定性问题，包括轨道o r b t ( x ) = ，( z ) ：扎= 0 ，l ，2 ，对初始点的依赖性、迭代根，和嵌入的流庐对已知映射f 的依糗陛、甚至整个系统轨道拓扑结构对f 的依赖性。事实上，在实际问题中， 数据难免有偏差，系统可能受其它参数的影响。 关于映射迭代的研究，至少可追溯到一百多年以前e s c h r s d e r0 0 1 、n h a b e l “、c b a b b a g e 2 7 j 等数学家的工作。由于迭代运算与代数运算的迥然 不同，研究工作艰难曲折。到了近代，在物理学、化学、天文学、力学等学科的 推动下，非线性动力系统的研究成为世界范围内的学术热点并不断作出重大发 现，如关于周期性的s h a r k o v s k y 序、关于分岔的f e i g e n b a u m 现象、关于运动 复杂性的s m a l e 马蹄等等。这些工作促进了现代迭代理论的发展，而且影响深 远。 有了一种运算就自然会有一种方程问题的出现。有了映射的迭代，以迭代 为基本运算形式的方程就称为迭代函数方程，或简称为迭代方程。一个n 次迭 代方程的基本形式是 g ( ，( 茹) ，2 ( z ) ，“( z ) ) = f ( $ ) 。( 1 1 1 ) 1 1 迭代与迭代方程第3 页 当g 是线性函数时方程( 1 1 1 ) 成为 a l f ( z ) + a 2 ，2 ( z ) + - - + a 。，“( z ) = f ) ， 称为线性型迭代方程迭代根问题 ，“( z ) = f ( z ) ， 就是其特殊情形如果方程( 1 1 2 ) 中f ( z ) = - , x o x ，方程成为 a o 石+ h i f ( z ) + a 2 ，2 ) + + a 。，” ) = 0 ， 称为齐次线性型迭代方程 迭代方程作为现实世界中抽象出来的一种十分重要的模型，具有广泛的现 实和应用背景。事实上，研究动力系统不变流形的典型方法( p e r r o n 和b o g o l i - u b o v 方法) 归根到底是把问题化成一个迭代方程例如，简单地考虑一平面映 射t ：( z ，y ) _ ( y ，( x ，) ) ，其不变曲线y = h ( z ) 必定满足方程 ( 九( 。) ) = f ( z ， ( 。) ) 4 5 ，8 5 , 1 1 1 】此外，研究倍周期分岔【2 1 删涉及的f e i g e n b a u m 方程 f ( x ) = 一，( ，( 一a z ) ) a 就是一个迭代方程。动力系统理论中的迭代根问题就是 一个几次线性型迭代方程的特殊形式。在动力系统许多方面的研究如保守微分 同胚的横截同宿点f 3 1 】、规范形问题【1 2 】等都要涉及讨论迭代方程。 同微分方程不同，迭代方程乃至齐次线性型迭代方程的解结构十分复杂， 至今仍无常微分方程那样完整的特征理论，一个简单的原因是微分是线性运算 而迭代是一种非线性运算事实上，一个线性的常微分方程 a 。口”( z ) + a 。一1 2 ) ”一1 l ( x ) + - + a l 口，( z ) = f ( z ) 的两个解的差别仅仅是其对应齐次方程的一个解，而这个解可以表示成若干特 征解的线性组合但线性型迭代方程( 1 1 2 ) 的解则没有这种性质 对迭代方程的研究首先是从迭代根开始的关于迭代根的研究至少可以上 溯到百年以前的n h a b e l ”，甚至更早的c b a b b a g e 朔多年以来迭代根问 题一直引起许多数学家的注意1 9 5 0 年r i s a a c s 4 3 在一篇精辟的论文中完成 了一个奠基性的工作，给出了抽象集上自映射的迭代根存在的充要条件关于 砧 动 1 1 1 0 q q 第4 页第一章绪言 复变函数迭代根的研究，在g k o e n i g s 6 0 的局部结果的基础上， lk n e s e r t ”j 做出了整函数e 。的二次迭代根的全局结果，之后r e r i c e i ”，9 7 , 9 8 1 等人做了 进一步的工作关于实变函数方面的相应工作，首先要提到u t ，b s d e w a d t 1 3 1 和m k j r f o r t 船j ，这是属于单实变元的。多实变函数方面结果较少。近年 来波兰的学派在函数方程和迭代根方面的研究是卓有成效的，特别是在单实变 的情形有m k u c z m a 的专著【6 1 】和其它论文可参考【6 2 ，“，删但单实变的迭代 根的研究，一般限于单调连续函数，非单调情形只讨论了个别特例。针对这一情 形，张景中、杨路在1 9 8 3 年讨论了逐段单调函数的迭代根【”。随后，张伟年 1 4 4 j 和蒋星耀 4 8j 分别讨论了迭代根的局部的c 1 和c 光滑性，进而，张伟年 “6 】讨论了迭代根的全局的c 1 光滑性。此外，m c z d u n 1 3 4 】麦结华 7 1 】、 何连法和牛东晓【39 j 研究了圆周上的迭代根问题。 齐次线性型迭代方程( 1 1 4 ) 可以写成 ，”( 。) = a n - i f “一1 ( 。) + a n - 2 f “一2 ( 。) + + o o z ( 1 ，1 5 ) 许多函数方程都可化成方程( 1 1 5 ) 的形式例如方程f ( 2 x 一，( 。) m ) = m x 就 可以化成 2 ( z ) = 2 h ( x ) 一z ，只要令9 ( 。) = ，( 功m ，危( 甸= g - 1 ( z ) 。方程 ( 1 1 5 ) 还与差分方程x k + n = a n - 1 。女蜘一l + + a l x k + 1 + a 0 x k 有关，而且还是 迭代根问题最直接的推广。因此方程( 1 1 5 ) 十分重要，并被广泛研究【8 4 ，9 。 具体地说，对n = 2 的情形，j d h o m b r e s 【2 4 j 在1 9 7 7 年就讨论过方程f 1 1 5 ) 的一种特殊形式 ，2 ( 。) = a ( x ) + ( 1 一a ) z ，。r ( 1 1 6 ) 1 9 9 7 年， j m a t k o w s k i 和张伟年i ”j 用特征理论研究了方程( 1 1 5 ) 的许多性 质，麦结华【”j 则进一步给出了方程( 1 1 5 ) 的通解。对一般的n ，a m u k h e r j e a h 和j s r a t t i 【8 2 ，8 3 | 、j m a t k o w s k i 【硼、j s r a t t i 和y 。f l i n 【9 5 】研究了方 程( 1 1 5 ) 在一些特殊情形的实连续解随后，w j a r c z y k1 4 6 - 4 “、j t a b o r 和 j t a b o rl l l s j 、j m a t k o w s k i 和张伟年【7 9 等人做了进一步的工作。特别地，杨 地莲和张伟年 1 3 2 1 深入研究了方程( 1 1 5 ) 在多种情形下的特征解。 更一般的线性型迭代方程( 1 1 2 ) 亦称为多项式型迭代方程。就像函数论研究 p a t f 对多项式的青睐一样，这类迭代方程也深受重视f l l ，7 4 ，1 3 8 , 1 3 9 , 1 4 1 , 1 4 3 , 1 蜊 1 2 解的若干性质第5 页 1 9 8 3 年赵立人1 1 5 0 j 用级数逼近法证明了方程( 1 1 2 ) 当n = 2 时连续解的存在 性。为了进一步得到方程( 1 1 2 ) 关于一般的n 的结果，1 9 8 6 年张伟年通过构 造包含迭代的连续算子，应用不动点定理证明了方程( 1 1 2 ) 的c o 解 h 2 】和c 1 解 1 4 5 的存在性。随后，司建国研究了方程( 1 1 2 ) 的c 2 解【1 0 2 1 和局部解析解 m 3 ，1 0 8 l 的存在性进而，张伟年【1 4 7 】i , - t 论y 方程( 1 1 2 ) 的对称解，并利用对称 性将一些结果推进到r 上之后，m k u l c z y c k i 和j t a b o r 6 7 1 讨论了更一 般情形下方程( 1 1 2 ) 在r 上的结果 迭代方程( 1 1 1 ) 是一类更广泛的迭代方程显然，当g 为线性，即 g ( y l ，y 2 ，y n ) = 坠l 九玑时，方程( 1 1 1 ) 即为方程( 1 1 2 ) 对一般的g ，司 建国讨论了方程( 1 1 1 ) 的c o 解【1 叫和c 1 解1 1 0 5 1 。进而，他和张伟年【1 1 0 】共 同研究了方程( 1 1 1 ) 的c 2 解。 此外，张伟年和j b a k e r1 1 4 s 、司建国和王馨平1 1 0 9 】分别研究了所谓的变 系数线性型迭代方程 a l ( z ) ，( 。) + a 2 ( 石) ，2 ( 茹) + + a 。( z ) ，”( 。) = f ( $ ) ，( 1 t 7 ) 的c o 解和c 1 解方程( 1 1 7 ) 是比方程( 1 1 1 ) 更广泛的迭代方程 g ( 为，扛) ，2 ) ，”扛) ) = o ( e 1 8 ) 的一种特殊情形2 0 0 0 年麦结华和刘新和1 7 3 】讨论了方程( 1 1 8 ) 的c m 解。 漫长的历史沉淀使迭代方程形成了一个独特的理论体系【2 1 3 14 i5 , 3 3 , 6 1 , 6 4 | ， 成为与微分方程、差分方程和动力系统紧密相关的现代数学分支，在实验科学 和工程科学研究中起着越来越重要的作用 1 2 解的若干性质 对于线性型迭代方程 a l ，( z ) + a 2 ，2 ( 。) + + a 。，”( 茁) = f ( 。) ，卫，= i ，6 】，( 1 2 1 ) 第6 页第一章绪言 已有的关于实连续解的存在唯一性、连续依赖性及光滑性的结果均是针对递增 解讨论的。对于递增解，其迭代序列 ，( 。) ；k = 0 ，1 ， 一定是递增的。并且， 如果假定方程( 1 2 1 ) 的所有系数非负，则方程( 1 2 1 ) 左边的线性组合仍是递增 的。但对于递减解，即使方程( 1 2 1 ) 的所有系数依然非负，方程( 1 2 1 ) 左边的 组合仍然可能不是递减的。这是因为一个反向同胚的递减函数，：i _ f 在，上 无论，( 。) 茁还是，( z ) 0 为常数且e 依赖于d ，则称方程( 1 3 1 ) 具有h y e r s u l a m 稳 定性。如果对任意满足不等式 i e - ( 妒s ) ( z ) 一易( 妒。) ( z ) l 妒( z )( 1 3 。4 ) 5 1 3 解的稳定性第9 页 的近似解，方程( 1 3 1 ) 都存在解妒满足 i 妒( 茁) 一p ，( z ) i 圣( z ) ，( 1 3 5 ) 其中妒( z ) ，圣( z ) 为给定函数且圣( 。) 依赖于妒( 石) ，则称方程( 1 3 1 ) 具有广义 h y e r s u l a m - r a s s i a s 稳定性如果对任意满足不等式 f 器e 2 揣一- b z ， 。q j( ) ( z )i 。” ” 的近似解，方程( 1 3 1 ) 都存在解妒满足 吣) 器郅( 。) ( 1 3 7 ) 其中妒( 石) ，a ( z ) ，卢( z ) 为给定函数且d ( 。) ，卢( z ) 依赖于妒( z ) ，则称方程( 1 3 1 ) 具有g e r 意义下的稳定性 1 9 4 0 年，s m u l a m n “j 首先针对柯西方程fc x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 提出 了这种稳定性概念，1 9 4 1 年d h h y e r s1 4 0 j 证明了该方程具有h y e r s - u l a m 稳 定性。随后，这种h y e r s u l a m 稳定性问题被广泛研究f 1 5 3 4 3 6 ，9 3 t9 4 1 。具体地 说，c b o r e l l ii l 钏研究了h o s s z f i s 函数方程的h y e r s - u l a m 稳定性，r g e r 和 p s e m r l 3 7 j 对指效方程，k w j u n ，g h k i m 和y w l e e 4 0 】对r 函数方 程和卢一函数方程，k n i k o d e m 【8 7 】对p e x i d e r 方程，l s z 6 k e l y h i d i 【1 17 】对正 弦和余弦函数方程分别讨论了相应的h y e r s - u l a m 稳定性问题 h y e r s u l a m 稳定性作为函数方程研究中的重要问题之一，也被应用于微分 、 6f 方程，尽管相应的结果较少( 参见【8 0 】和【8 1 】) 。考虑微分方程 业d x = m ，妒( 霉) ) ， ( 1 3 8 ) 方程( 1 3 8 ) 的h y e r s - u l a m 稳定性意味着t 若是方程( 1 3 8 ) 一个j 一近似 解，即若i 4 ：妒一f ( x ，( 。) ) l 6 , v x ，则方程( 1 3 8 ) 存在解i p 使得 j 妒( 。) 一( z ) ，其中s 0 只依赖手d h y e r s u l a m 稳定是一个与鲁棒 稳定有关但弱于鲁棒稳定的概念后者关心方程( 1 3 8 ) 在某给定解l p 附近的行 为不失一般性，假设解妒兰0 且f ( x ，0 ) 兰0 方程( 1 3 8 ) 的解妒兰0 称为是 第1 0 页第一章绪言 鲁棒稳定的，如果对任意小的 0 ，存在常数5 1 ( e ) 0 ，5 2 ( e ) 0 ，使得对满 足蚓 6 1 的连续函数g ( z ，y ) 及满足1 y o i 5 2 的初值y o ，扰动方程 d d y 嚣= ，( 正，) + g ( z ，g ) ( 1 3 9 ) 的解y ( x ，x o ，y o ) 都满足( 卫，x o ，y o ) l ，v x 兰x o 。 对于微分方程，通常讨论两种稳定性：对初值的稳定性和对参数的稳定性。 l y a p u n o v 稳定作为常微分方程基本的稳定性概念，它是针对初值的一种稳定 性；方程的两个初值接近的解在足够的时间之后充分靠近。h y e r s u l a m 稳定可 看作针对参数的一种稳定性：给微分方程充分小的扰动，其对应的解变化将很 小。 关于函数方程的h y e r s ，u l a m 稳定性，有两个不同的研究领域：单变量函数 方程和多变量函数方程。大量的稳定性定理是针对多变量函数方程的因此相继 有一些关于多变量函数方程的h y e r s u l a m 稳定性的综述；d h h y e r s 4 l j 发表 了关于等距的稳定性的综述，随后他与t h m r a s s i a s1 4 2 】合作发表了关于同胚 的稳定性的综述，进而，g l f o r t i 3 4 j 发表了多变量函数方程的h y e r s u l a m 稳定性的综述，其间概括了发表于1 9 8 0 1 9 9 5 年的大量相关文章中的结果。相对 于多变量，以前的单变量函数方程稳定性方面的结果很少，故相应的综述尚未发 现。但随着近年来对单变量函数研究的逐步深入，相应结果越来越多。为了促进 对单变量函数方程的h y e r s u l a m 稳定性方面的研究，本文第五章在综述单变量 的函数方程的h y e r s u l a m 稳定性的有关结果的基础上，简化了有关广义r 函 数方程在三种意义下的h y e r s u l a m 稳定性的条件并给出了一些不同于经典r 一 函数方程的例子，并且，通过应用非线性函数方程的稳定性方面的结果，证明了 b s t t c h e r s 方程的h y e r s - u l a m 稳定性，进而还研究了一类非线性型迭代方程的 h y e r s u l a m 稳定性，证明了在这类非线性型迭代方程的近似解附近存在唯一的 真解。 全文共分五章。第一章介绍几类迭代方程，并对与之相关的一些基本结果 作一个简要介绍。第二章研究迭代方程的实连续解的存在性。第三章研究迭代 方程的拟凸解、拟凹解、凸解及凹解的存在性。第四章讨论迭代微分方程与变系 数迭代方程的解析解。第五章研究单变量的函数方程的h y e r s u l a m 稳定性。 第二章实连续解 本章首先研究一类包含已知函数与未知函数复合的二次非线性型迭代方程 的实连续解的存在性【1 3 1 】，进而讨论一般凡次的线性型迭代方程的递减的连续 解【1 2 9 】及非单调的连续解【1 49 1 ，最后将结果推广到拟线性型迭代方程 1 4 0 2 1与不变曲线有关的迭代方程的连续解 迭代方程 ，( ，( z ) ) = 2 f ( z ) - - x - - ；( g ( m ) ) + 9 ( z ) ) ，协r ， ( 2 1 1 ) 来自于一个平面映射的不变曲线问题。 1 连续解的存在性 令c 言( r ) = ，：r _ r i ，连续且s u p 。r l ，( z ) i + o o 。显然，e ( r ) 关于范数i i i = s u p 。ri ，( z ) l 是一个b a n a c h 空间，其中f ( x ) 四( r ) 定义 7 ( m ，j 七；，) = c 害( r ) ll h ( y ) 一 ( 。) i m l y x l ， h ( 2 y x ) 一2 h ( y ) + 九( z ) f k ( y 一。) 2 ，y r ， i h ( 2 y 一。) 一2 h ( y ) + ( 茁) i k ( y z ) 2 ，o ，y ，2 y 一茁j _ ，( 2 1 2 ) 其中m ，k ，k 是非负常数且k k ，i 是r 上的闭区间 定理2 1 1 设连续函数g ：r _ + r 满足 口( 。) = 一2 x + 九( z ) ，v x r ，( 2 1 3 ) 其中h 咒( 尬，k i ，k l ；i ) 如果存在非负常数m 2 ，鲍，k 2 满足 2 蟛+ ( m i 一6 ) + m 1 0 ， ( 2 1 4 ) 第1 2 页第二章实连续解 ( 2 孵+ 2 m 2 + 尬) 犯+ 啦j f l 6 - ( 2 一k 。1 ( 2 啦+ 2 m 2 + m 1 ) k 2 + 蠼k 1 k l 一6 k 2 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 及 r ：= ；( 2 + 2 + 晒) 1 ， ( 2 1 7 ) 则方程偿，纠在咒( m 2 ，k 2 ，k 2 ；i ) 中存在唯一解，。 条件( 2 1 7 ) 显然弱于在文献 8 5 】中要求的条件 ；m 雠 2 + 2 m 2 + + 2 m 2 k 2 + m 2 k “+ 蝎) 0 时k 2 就可以取成大于0 的数，这 时w ( 如，k 2 ，k 2 ；i ) 中的函数一定是非线性的。事实上，任何形如，( z ) = a x + b 的函数，都有f ( 2 y x ) 一2 f ( v ) + ，( z ) = 0 ，妇，y r 。 定理2 1 1 的证明构造映射t ：饨( 如，k 2 ，k 2 ；i ) 一c 言( r ) ，使得 t f ( z ) = ；，( ，( 。) ) + ；( ( ，( z ) ) + 危( z ) ) ，v ，州( ，。；，) ，( 2 1 8 ) 由( 2 1 4 ) ， i t f ( 口) 一t f ( 。) i s ；i f ( f ( ) ) 一，( ，( 茁) ) i + ；i ( ，( 口) ) 一 ( ，( 。) ) l + ：1 h ( 可) 一h ( z ) i 茎尹1 。+ ；舰+ ；m 1 ) y - x a 如i 一茁1 ，v 。，r ( 2 1 9 ) 并且， i f ( f ( 2 y 一茁) ) 一2 f ( f ( v ) ) + ，( ，( z ) ) i j f ( f ( 2 v z ) ) 一2 f ( f ( v ) ) + f ( 2 f ( y ) 一f ( 2 y o ) ) f 2 1 与不变曲线有关的运代方程的连续解第1 3 页 + i ，( ，( z ) ) 一f ( 2 f ( y ) 一f ( 2 y z ) ) i k 2 ( f ( 2 y 一。) 一，( y ) ) 2 + m 七l f ( x ) 一2 f ( y ) + f ( 2 y z ) i 如 霹( 一。) 2 + m 2 k ：( y 一石) 2 = 矗j ( a 埒+ 如) ( 一z ) 2 ，v x ，r ( 2 1 1 0 ) 类似地， i h ( f ( 2 y 一口) ) 一2 h ( f ( y ) ) + _ i ( ，( 王) ) l ( k 1 露+ k j 矗) ( 一工) 2 ，比，掣r ( 2 1 1 1 ) 由( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 1 ) 和( 2 1 5 ) ，我们有 t f ( 2 y 一。) 一2 t f ( y ) + t f ( x ) l = 1 ；( f f f ( 2 可一z ) ) 一2 f ( f ( y ) ) + ，( ，( 霉) ) ) + ；( ( ，( 2 一z ) ) 一2 h ( f ( y ) ) - 4 - ( ，( z ) ) ) + i ( 危( 2 一z ) 一2 ( ) + ( z ) ) i ( 百1 似2 + ) + ；( 甄啦+ k 2 m 1 ) “1 k 1 ) ( 一z ) 2 = ；( ( 2 孵+ 2 + m z ) k 2 + ( 霹+ 1 ) k 1 ) 缅一z ) 2 k 2 i y z f ，铷，y r ( 2 1 1 2 ) 另一方面，由( 2 1 6 ) i t f ( 2 y x ) 一2 t f ( y ) + t ，( ) = j ；( f ( f ( 2 y z ) ) 一2 ，( ，( y ) ) ) + ，( ，( 岔) ) ) + ；( ( ，( 2 一卫) ) 一2 h ( f ( y ) ) + ( ，( 茹) ) ) + i ( ( 2 一卫) 一2 h ( y ) 4 - ( z ) ) l ( ；七z 百1 n 。l 恍2 + 尬) 一；( 两局+ 哪x ) ) ( y - x ) 2 岛( y 一石) 2 妇，y ，2 y z i ( 2 1 1 3 ) 易见映射t 把咒( 如，鲍，女2 ；j ) 映入自身进雨，v ，g “( 毛，鲍，如；，) ， 科一t g l t s 抄。，_ 9 。删+ 扣。，一h 。9 | | 第1 4 页第二章实连续解