（应用数学专业论文）双车动力学交通流模型的研究与数值模拟.pdf

摘要 交通问题是重大民生问题，城市交通问题是世界的难题，必须要采取多种措施，多 种方式努力缓解城市交通拥堵。解决交通堵塞的方法主要从“硬件”和“软件”方面下 手，“硬件 方面是一项长期艰巨的任务，“软件”方面在短时间内、一定条件下可望 取得一定的实效。“软件 方面就是针对交通流特性科学合理地建模，利用合理的方法 进行数值模拟，将拟合效果较好的具有可行性的模型、软件应用于实际交通流中。 本论文主要研究高阶差分格式在交通流模型上的应用。所选的交通流模型为彭光含 等学者提出的双车动力学模型，该模型考虑了双前车信息对跟驰车辆的影响，同时也克 服了现有动力学模型中普遍存在的车流特征速度大于宏观速度的问题。 本文首先对所选的交通流双车动力学模型进行方程组分析，得出该方程组为双曲型 方程组，这样就能很好地利用双曲方程的差分格式来离散求解。其次根据实际情况引入 “前瞻 效应和延迟时间算法。考虑到交通流模型常用的一阶差分格式算法存在耗散 大、精度低的问题，文中引入高阶迎风格式，并对该迎风差分格式进行修正，从而建立 了一种耗散小、精度高的迎风差分格式。最后利用m a t l a b 软件进行编制程序，对改进 前、改进后交通流模型分别利用不同的差分格式进行数值模拟、分析比较，验证了改进 后模型的可行性和有效性。 关键词：差分格式、交通流模型、前瞻效应、延迟算法 a b s t r a c t t r a f f i cp r o b l e mi sa ni m p o r t a n to n eo ft h ep e o p l e sl i v e l i h o o d c i t yt r a f f i cp r o b l e mi sa w o r l dd i f f i c u l tp r o b l e m w em u s tt a k es o m es t e p sa n dm e a s u r e st or e d u c et h ec i t yt r a f f i c c o n g e s t i o n w ec o u l ds o l v et h ep r o b l e mf r o mt h e h a r d w a r e a n dt h e s o f t w a r e a s p e c t s t h e “h a r d w a r e ”i sa l o n ga n da r d u o u st a s k i t sh o p e dt og e tt h ea c t u a l e f f o r to n “s o f t w a r e ”w i t h s h o r tt i m ea n du n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s t h e “s o f t w a r e c a ns p e c i a l l ym o d e lt r a f f i cf l o w p h e n o m e n o ns c i e n t i f i c a l l ya n dr a t i o n a l l y , a n do n e c a nm a k eg o o du s eo fn u m e r i c a lm e t h o d s t os i m u l a t ei t o n ec a nc h o o s et h em o d e l sw i t hg o o df i t t i n gp u r p o s ea n df e a s i b i l i t y , a n dp u t s t h ec h o s e nm o d e l si n t ot h ep r a c t i c a lt r a f f i cf l o w t h i sp a p e rm a i n l yr e s e a r c h e st h eu s a g eo fh i g ho r d e rd i f f e r e n c es c h e m eo nt h et r a f f i c f l o wm o d e l i n g t h es e l e c t e dt r a f f i cf l o wm o d e li st w o c a rd y n a m i c sm o d e lw h i c hw a s d e v e l o p e db ys o m er e s e a r c h e r s ，s u c ha sp e n gg u a n g h a n t h i sm o d e lt a k e si n t oc o n s i d e r a t i o n o ft h ei n f l u e n c eo ft w of r o n tc a r s i n f o r m a t i o nf o rf o l l o w i n gv e h i c l e ，w h i c ho v e r c o m e st h e e x i s t i n gp r o b l e md u r i n gs o m ed y n a m i c sm o d e l st h a tt h ec h a r a c t e rs p e e do ft h ev e h i c l ef l o wi s g r e a t e rt h a nm a c r o s c o p i cs p e e d f i r s t l y , t h ec h a r a c t e r so ft h et w o - c a rd y n a m i c st r a f f i cf l o wm o d e lw e r ea n a l y z e d i t s h y p e r b o l i c i t yw a sp r o v e ds ot h a td i f f e r e n c es c h e m e sf o rh y p e r b o l i c e q u a t i o n sc o u l db e u t i l i z e d n e x t ，o nt h eb a s i so ft h ea c t u a lc a s e ，t h e “l o o k - a h e a d e f f e c ta n dt h ed e l a yt i m e a l g o r i t h mw e r ei n t r o d u c e d b e c a u s et h ee x i s t i n gs c h e m ef o rt r a f f i cf l o wp r o b l e m si sf i r s t o r d e ra c c u r a c yw h i c hh a sb i gd i s s i p a t i o na n dl o wa c c u r a c y , h i g h e ro r d e rd i f f e r e n c es c h e m e ， i e ，m h ms c h e m ew a su s e dt on u m e r i c a l l ys i m u l a t et h eo l dt r a f f i cf l o wm o d e la n dt h en e w o n e t h en u m e r i c a lr e s u l t sw e r ea n a l y z e da n dc o m p a r e dw h i c hi l l u s t r a t e dt h ef e a s i b i l i t ya n d e f f e c t i v e n e s so ft h en e wt r a 币cf l o wm o d e l k e y w o r d s ：d i f f e r e n c es c h e m e ；t r a f f i cf l o wm o d e l ；l o o k a h e a de f f e c t ；d e l a yt i m e a l g o r i t h m 长安大学硕士毕业论文 1 1 选题背景 第一章绪论 随着改革开放的进一步深入，我国的国民经济实力不断增强，汽车工业和交通运输 业、管理业也得到了空前迅猛的发展。此时小汽车开始进入家庭，紧接着汽车保有量也 迅猛增加，人们的出行观念和时效观念也均发生了很大的变化，汽车的到来在交通上给 我们提供了很大的帮助。可有一点我们也不能忽略，那就是伴随着经济的飞速发展，城 市人口日益增多，车辆也与日俱增，城市交通拥挤现象也就越来越严重，无形当中制约 了我国的经济发展。而且，我国目前的城市化总体水平还很低，有些交通模型仍未规范 化、完善化，道路设施通行能力的分析还不够精确，缺少适合我国国情的参数、模式和 通行能力分析体系，所以还没有形成一个统一的、系统的、科学的通行能力分析方法与 标准体系，这样就导致公路建设标准过高或平行建设，以致建设资金超前投入造成巨额 经济损失。同时，我国对环形交叉口通行能力模型的研究起步也较晚，模型也未规范化、 制度化，有时对一些道路或交叉口的通行能力估计过高，使得在交通发生严重阻塞时却 得不到改建，有时是在改建后不久就投入使用，结果却依然产生严重交通阻塞，从而影 响公路运输效率，也就在经济方面造成了巨大的损失。目前，我国城市交通以低速混合 交通为主【1 】，这种混合交通普遍存在于各大中小城市，而且会继续存在较长的一段时间， 所以我们在研究交通时必须针对我国国情来建立合适的模型，研制适用的软件和合理的 数值模拟方法。 我国的城市环形交叉口进车道一般为3 车道( 左、直、右) ，环道多为两条，大多数 的环形交叉口环岛内的交织段较短，形不成交织，存在的只是穿插冲突【2 】。在我国的道 路交通中，普遍存在机动车与非机动车以及性能相差悬殊的多种机动车混行的交通流现 象，与发达国家小汽车占主导地位的交通流有明显的差异。同时我国存在城市车道较窄， 行人与自行车流量较大等原因，导致呈现出来的车速普遍偏低，而且容易出现交通拥堵， 事故频繁等现象。为了解决这一矛盾，近年来政府投入大量资金兴建地铁和高架道路。 在我国一级城市如北京、上海等地已有地铁和高架道路，在一些二级城市如西安等地正 在施工建设中，一些更小的城市还未起步，可见这是一项费时费力费钱的长期工程，总 体来说，近几年交通堵塞有所缓解，但仍存在“大动脉畅通，微血管堵塞 现象，事故 频繁。 第一章绪论 在传统交通流理论模型中，总体说来我国的道路交通流理论研究水平与国际相比还 有一定的差距，具体表现在对理论研究的投入严重不足，独立自主开发的交通流模拟系 统缺乏，结合我国交通流特点的针对性研究还不够，所以我国的研究成果在国际交通科 学界的影响有待进一步提升。我国道路交通部门正在加紧研究和开发适合我国国情的交 通流模型和相关模拟软件系统，力争使我国的交通流理论研究与国际接轨【3 l 。 在智能交通上，我国从上世纪九十年代中期开始重视智能交通系统的研究与开发， 通过引进国外先进技术和自己研发相结合的策略，在智能交通的各个研究领域取得了丰 硕的成果。在某些领域已接近于发达国家的研究水平，但是比起发达国家成熟的交通系统 体系和先进的交通技术，我国的研究仍然处于初级阶段，还有很长的路要走。 第五届中国交通高层论坛会于2 0 0 9 年1 0 月1 7 日在北京交通大学国际会议中心举 行【4 l 。论坛上提到：“在世界性的金融危机之际，我国政府应对金融海啸，采取了扩大内 需，促进经济增长的重大措施，提出了加快基础建设的政策，这对我国综合交通体系建 设与发展是一个重大机遇，但它是一项长期而艰巨的任务。 在国际上，交通流理论的研究起步较早，发展较快，交通流理论模型比我国发展的 模型成熟。1 9 5 9 年1 2 月首届国际交通流理论学术研讨会在美国密执安州底特律市举行， 成为比较系统的现代交通流理论诞生的重要标志1 5 1 。从此，交通流理论的研究进入了一 个迅速发展时期。近十年来，国际上交通流理论又有了新突破，出现了新现象，提出了新 概念，促生了交通管理监控系统的开发和应用。其中一些，如o l s i m ( 新一代的交通信息 系统) 、t r a n s i m s ( 交通模拟分析系统) ，在交通流预测、仿真等方面的突破，大大推 动了交通流理论成果应用的发展。 总而言之，交通问题是重大民生问题，城市交通问题是世界的难题，必须要采取多 种措施，多种方式努力缓解城市交通拥堵。 1 2 选题意义 交通堵塞给社会带来的负面影响不可估量，它在一定程度上成为制约经济和社会稳 定发展的“瓶颈”。目前，解决交通堵塞的方法主要是从“硬件 和“软件两方面下 手 6 1 。“硬件 方面是需要政府加强交通基础设施建设，如新建道路、地铁、立交、高 架道路等来增加交通通行能力，但这是一项长期而艰巨的任务；“软件”方面，就是针 对交通流特性科学合理地建模，利用合理的方法进行数值模拟，将拟合效果较好的具有 可行性的模型、软件应用于实际交通流中。在这两方面比较而言，还是软件方面投资较 2 长安大学硕十毕业论文 少，在短时间内、一定条件下可望取得一定的实效。 交通流理论模型广泛地说应用范围较广，可以应用于交通运输工程的许多研究领 域，如交通规划、交通控制、道路与交通工程设施设计等方面 6 1 ，它有着重要的理论价 值和应用价值。然而每个具体的交通流模型都有各自的适用条件和适用范围，而且在实 践中也存在许多严重的问题。 目前，交通堵塞问题是国内外交通流理论研究的热点问题【_ 7 1 。所以，在现有的交通 资源下，我们选择较成熟的交通流模型，利用合理的数值方法对该交通流模型进行数值 模拟，不仅可以很好地解释交通现象和解决交通问题，而且可以提高交通流的稳定性， 从而使适合的差分格式在交通流模型上的应用具有更现实的意义，更有价值，这已成为 目前交通流研究的重要课题之一【引。 1 3 本文的主要研究内容 本文在总结了国内外对交通流模型最新研究成果的基础上，针对现有交通流动力学 模型所存在的问题进行了系统的分析。本文的研究工作主要体现在以下几章。 第一章，对交通流理论模型的研究背景和研究意义、以及国内外研究状况进行了阐 述。与此同时，还将明确我们研究工作的整体结构内容。第二章，将详细叙述交通流理 论模型的发展历程，分析了交通流微观模型与宏观模型的统一，同时介绍了本人的研究 模型，以及对所选模型进行剖析、方程组类型分析、并引出“前瞻”效应和延滞时间算 法。第三章，首先叙述了交通流常用算法，即一阶有限差分格式，其次回顾了迎风差分 格式的优缺点，然后对常用一阶差分格式进行修正，最后根据该模型为双车动力学模型 这一物理意义，引入了高阶修正迎风格式。在第四章中，利用m a t l a b 编制程序，对交 通流的冲击波、消散波进行了数值模拟，对我们所选的高阶差分格式与交通流常用一阶 差分格式进行了比较；同时也对改进前、改进后模型进行了比较，并验证了改进后模型 符合实际交通流情况，从而分析出改进后模型的“前瞻 效应影响，得出改进后模型是 具有有效性和可行性的。 第二章交通流理论模型 2 1 交通流理论模型简介 第二章交通流理论模型 交通流确定性模型从研究的角度可分为宏观模型和微观模型9 , 1 0 ，宏观模型主要采 用流体动力学理论，微观模型主要采用车辆跟驰理论。 流体动力学模型一直是围绕速度一密度假设方程进行讨论的，它不存在唯一的速度 一密度关系，而且每条速度一密度曲线都有各自的适用范围，同时这类模型也考虑了时 间和空间的因素。流体动力学模型的发展经过一阶连续介质模型然后到高阶连续介质模 型1 6 】。一阶的连续介质模型包括：1 9 5 5 年英国学者l i g h t h i l l 和w h i t h a m 提出的l w 理 论【1 1 1 ，该理论虽能得到一些简单问题的解析解，但未考虑行驶过程中的加速度和惯性。 后来l i g h t h i l l 、w h i t h a m 和r i c h a r d s 提出了l w r 模型【l2 1 ，该模型具有一个连续方程， 有解析解，无论是采用特征线解法还是数值方法均简单方便，但对于真实的交通运作， 该模型的解缺少现实意义。2 0 世纪6 0 年代起，研究者纷纷转向非平衡状态下描述交通 流加速度变化的双方程模型。于是后来就开始出现了高阶连续介质模型。高阶连续介质 模型包括：1 9 7 1 年p a y n e 提出的p a y n e 模型【l3 1 ，该模型考虑了加速度与惯性，但采用了 速度一密度平衡关系，在实际应用中出现了一些问题，对于密度突然变化的交通情况其 调节过程过于缓慢。后来到1 9 7 8 年，p h i l l i p s 提出了p h i l l i p s 模型1 4 】，该模型能考虑多 车道公路上的超车因素和车道改变因素，理论基础严格，但模型中的参数异常复杂，在 实际中没有得到应用。到1 9 9 1 年，中国吴正提出了吴正模型【1 5 l ，该模型假设交通流“压 力 应正比于交通流密度，它的主要适用对象是低速混合型城市交通，但待定参数过多， 难以确定，导致在实际应用中出现困难。1 9 9 4 年，d a g a n z o 提出了d a g a n z o 模型( 元胞 传递模型) 1 6 】，该模型可以捕捉到交通流中的不连续变化现象，它的一个重要特性是假 定每一步长进入元胞的车辆数目与离开该元胞的车辆数无关，只与当前的交通条件和环 境有关，但这一假定只能在自由流和稀疏流情况下成立。1 9 9 5 年，d h e l b i n g 引用速度 方程提出了三方程模型l l7 1 ，该模型能够描述由匝道引起的各种交通状态和交通相变，不 仅能准确地解释“幽灵式交通堵塞 ( 即无缘无故的交通堵塞) 的形成，而且还能解释 “车辆堆集”现象以及同步交通等非线性动态现象，但这种现象在现实生活中无法解释， 因为“幽灵般的交通堵塞现象至今还没有发现明显的起因。到1 9 9 7 年，戴世强、冯 苏苇也提出了一个交通流模型【l 引，该模型考虑了车道变化的运动方程，能很好地演示交 4 长安大学硕+ 毕业论文 通瓶颈处的交通密度变化和“孤立波 的传播过程，但该模型涉及到的变量( 弛豫系数、 车道缩减率、车道减少产生的阻尼项等) 太多，在现实中难以实现计算机实时求解。到 1 9 9 8 年，z h a n g 提出了z h a n g 模型【1 9 1 ，该模型解决了车辆倒退现象，但它的一个致命缺 陷是：由动量方程和守恒方程得到的特征速度之一总是大于平均速度，即后车的扰动能 够影响前车的行为。可见无论哪种模型，都有各自的优缺点，各自的适用范围，都不能 完全如实地模拟真正的交通流。总体来说，流体动力学模型未考虑司机行为的影响，它 不适用于自由流和间隙流，对于超车、换道也无能为力，对于非自由流也不能完全解释 交通拥挤、走走停停、交通堵塞和车流稳定等现象。 微观模型中最早使用的是经典车辆跟弛模型2 0 1 ，该模型不会改变后车运动状态，允 许两车之间的距离为任意值，与实际不符。1 9 9 5 年提出了优化速度模型( o v m ) 1 2 1 1 ，该模 型简单被广泛应用，考虑了后车状态改变依赖于前后两车的相对速度与前后两车的距 离。1 9 9 8 年提出了广义力模型( g f m ) 【2 2 1 ，该模型考虑了两车的相对速度所引起的加速度， 也考虑到了前后车的距离、前后车速度差对于后车加速度的影响，比前两个模型准确。 2 0 0 1 年，姜锐、吴清松等提出了全速度差模型( f v d ) 【2 3 】，该模型能够成功地预测堵塞密 度下车辆启动的延迟时间和车辆启动波速度，克服了车辆倒退现象，同时考虑到前车对 后车的作用不仅与两车之间的距离有关，还与前后车的速度有关这一客观事实。 传统理论中，微观模型与宏观模型是相互独立的，建立二者统一的模型是交通流动 力分析模型的发展方向。美国通用汽车动力实验室研究组用数学的方法由微观跟驰模型 推导出宏观交通流模型，在交通流宏观与微观模型之间架起了沟通的桥梁。文献 2 4 首 次从严格理论意义上将交通流宏观模型与微观模型统一起来，为从理论上研究宏观交通 流模型奠定了基础，也为进一步研究动态交通流模型提供了有效途径。2 0 0 0 年，姜锐一 吴清松在广义力模型基础上，将微观参量转化为宏观参量，提出了姜锐一吴清松模型【2 5 l ， 解决了d a g a n z o 模型的两大缺附2 6 】，它能够较好地描述时走时停波，局部堵塞效应等交 通现象。2 0 0 8 年，彭光含等学者从跟驰理论的角度出发，考虑双前车信息对跟驰车辆的 影响，克服了现有动力学模型中普遍存在的特征速度问题，提出了双车动力学模型【8 ，2 7 j ， 该模型物理上更符合实际交通情况。 在交通工程领域，现在的工程师一般使用非常复杂的交通流模型。但是由于建模时 候设置的相关因素过多，而关键因素又不明确，效果很不理想，效率也很低。于是近年来 有些物理学家建议使用在初始控制变量上简单一些的模型。 5 第二章交通流理论模型 2 2 双车动力学模型 双车动力学模型适用的条件是： 1 ) 车辆无换道行为，可理解为单车道行驶； 2 ) 在单车道上无超车行为； 该模型的微观形式为 掣= 口 y ( 瓴+ 。) 飞荆 + a , a v m + l + ( 1 - - g m ) ( h 8 l a x m + 卢：a x m + 。) 1 刷 + a ( t ) + a v m + 。( f ) ( 2 1 ) 其中a 是司机敏感系数；a x 为前后车车距；v ( a x ) 为最佳速度，是a x m 的函数；为 前后车相对车速；允为相对速度的反应系数；口。是前车m 的干扰因子，与第m 辆车的 大小有关；屈、色分别是瓴、a x m + 。对优化速度影响所占的比例，满足届+ 岛= 1 。 微观是宏观的具体表现，采用微观一宏观关联关系： v 卅+ 。( t ) - v ( x m + lf ) ，v 肘( t ) 哼v ( ，f ) ，v m 一。( t ) 专v ( - p f ) ，y ( x ) - - 圪( p ) 11 a - - 一，九- - 一，口专刀 t ?t m 得到该模型的宏观形式为【2 7 】： f 岛+ ( j d v ) ，= o h v - ( 3 砌) c o ) q _ ( 2 叫竿 q 2 其中p 是密度，v 是速度，圪是平衡速度，c o 是d , 扰动传播速度，是所在路段的实测数 据具体路段具体给定，f 是小扰动向后传播血距离所需要的时间，丁是松弛时间，z 为 大型车所占整个车流的百分比。该模型考虑了次邻近前车的信息以及次邻近前车车辆对 交通流的影响，可以预先获得前面车辆状态信息，可以使跟驰车辆的驾驶员提前加速或 减速，避免了驾驶员频繁地改变速度，从而增强了车流的稳定性。该模型中没有大于宏 观车流运动速度的特征速度，符合实际交通流的情况，它不仅能够模拟交通流的堵塞、 疏导等实际交通现象，而且也考虑了整个路段中车型大小的比例情况。如果刀= 1 ，则整 个路段全为大型车流，此时的模型正好与姜锐一吴清松模型【2 8 1 6 长安大学硕士毕业论文 fn + ( p 1 ，) ，= o v 训叱= 竿 q 3 在形式上保持一致，而且该模型有两条特征线方程，分别为查d t = 1 ，一c o ，瓦d x = 1 ，可见 这两条特征线的特征速度不大于宏观平均速度，从而表明该车辆只受前方车辆影响，该 模型的扰动只能向后传播，解决了d a g a n z o 提出的两个主要问题：“类气体行为 和“车 辆倒退问题”【2 6 1 。该模型符合实际交通情况，不仅能够较好地处理冲击波、稀疏波现象， 而且在多车道上还可以正确地描述走走停停的非均衡交通现象。如果n = 0 5 ，则整个路 段中大型车与小型车数量相同：如果刀：0 ，则整个路段全为小型车流。 2 3 双车动力学模型方程组类型分析 首先我们可以将模型( 2 2 ) 写成如下方程组形式： 料如名3 - ，2 毗“2 一刀莓 u + f ( u ) ，= g ( u ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 州刈卟叫扣3 p 砌p 胁 刊卟k 每 对方程组( 2 4 ) 求雅克比矩阵得： 彳( u ) = 望a u = 瓠萌 8 p o v 识鲠 8 p o v = ( 三v - ( 3 砌p ) 亿6 ， 于是方程组( 2 4 ) 可重新记为： + 么( u ) 虬= g ( u ) 对方程组( 2 7 ) 求雅克比矩阵的特征值 7 ( 2 7 ) 第二章交通流理论模型 得 彳一a ，i = d e t ( 彳一九，) = r 一0 av 一( 3 _ 2 p 胛) 一aj = 。 c 2 8 ， = v ，如= v - ( 3 - 2 n ) c o 可见雅克比矩阵彳( u ) 有两个不同的实特征根，故该方程组为双曲型方程组2 9 1 。 2 4 引出“前瞻”效应和延滞时间算法 ( 2 9 ) 驾驶员在操作行驶中，由于前面路况、车况以及天气状况等对其有一定的影响，此 时驾驶员对前面状况的变化须作出快速、准确的反应。更重要的是前面某处的车流密度 直接影响着驾驶员的速度，驾驶员不得不做出一些反应，所以我们引出驾驶员行车时的 “前瞻 效应。“前瞻”效应就是认为在考虑点( x ，) 的车流速度应取决于前方某处 ( x + a x ，f ) 的车流密度值，认为驾驶员在考虑点( x ，) 的速度是由前方某点( x + 缸，t ) 的密 度一速度假设关系所确定，但不能“立即 达到，驾驶员要有一定的反应时间，我们把 这一小段时间f 就叫做延滞时间，延滞时间算法为【3 0 3 1 1 吼( + 学) 亿。， 其中p 。为交通流堵塞密度，p 为点( x + 缸，f ) 处交通流密度，为常系数，我们取气= 1 。 根据该算法，我们在空间离散的每一个单元上都能得出一个相应的延滞时间，此时延滞 时间不再是一个固定常数，它取不同的数，那么就可以反映出前面车流密度较大时，驾 驶员必须做出较快反应，前面车流密度较小时，驾驶员就有很长的时间去反应的这一客 观事实。 考虑到延滞时间，我们的“前瞻 效应为 v ( x ( o ，f + f ) = 圪( p ( x + 缸，) ) ( 2 1 1 ) 该表达式的物理意义是，时刻前方某处( x + 血) 的车流密度值改变影响到驾驶员决定速 度改变需要- d , 段时间f 。 同时认为x - i - 缸的位置应为前后两车之间某处，考虑到前后车距离可近似为三，则 8 长安人学硕士毕业论文 缸取为 缸：= k ，( o 七 1 ) p ( 2 1 2 ) 其中p 为点( x ，) 处交通流密度，k 的大小反映了驾驶员的“前瞻范围。于是，双车动 力学模型中的小扰动传播速度也不再是固定值，即 a xk 铲_ 而弼 f p ( 纠+ 等黑 ( 2 1 3 ) 因为考虑到x + 缸的位置为前后两车之间，所以点( x + 缸，) 处的交通流密度可近似 为点( x ，t ) 处的密度，即p ( x + 缸，) p ( x ，f ) ，则( 2 1 3 ) 式可变为 a xk 2 了2 瓦两面： 本论文中为变量时均按( 2 1 4 ) 式计算。 所以当c o 为固定值时，我们称( 2 4 ) 为双车动力学改进前模型。当c o 为变量时，方程 f p t + ( j d v ) ，= o _ ( 3 砌) 志扣2 叫竿 q j 5 2 5 本章小结 本章主要介绍了交通流模型理论基础，给出了交通流双车动力学模型，并详细对该 模型进行了剖析，确定该方程组为双曲型方程组，最后在该模型的基础上引出了“前瞻 效应”和延滞时间算法。本章内容为后续章节奠定了良好的理论基础。 9 第三章一维守恒型方程计算方法 第三章一维守恒型方程计算方法 求解双曲型守恒律的有限差分方法一般可分为迎风格式、中心格式和松弛格式等三 类1 3 2 1 。目前仍在广泛应用的求解双曲型守恒律的稳定性判别条件为c f l 条件。 3 1 交通流双车动力学模型常用差分格式 交通流常采用有限差分方法对该模型进行数值离散【i7 , 1 9 , 2 5 , 2 7 , 3 4 , 3 5 1 。双车动力学模型 ( 2 2 ) 中的连续方程 岛+ ( p v ) ，= o ( 3 1 ) 所采用的一阶差分格式为【1 8 ，2 5 l ： 州= + 砷； 哆一嘎。 + a 彬 j d 二。一群 ( 3 2 ) 模型( 2 2 ) 中的动力学方程 v + ( ，一( 3 2 ，z ) c o ) k ：( 2 ) v c - v ( 3 3 ) 采用一阶迎风格式【2 刀，n n ；b - n ( 3 3 ) 所对应的一阶差分格式为： 如果哆 ( 3 - 2 n ) c o 巧 v j n + l ：哆一a 哆一( 3 2 厅) 略。一哆 + ! 三二! 掣 ( 3 4 ) 如果哆( 3 2 疗) 哆+ - ：v ；一允 v ；一( 3 2 刀) 哆一哆。 + ! 三二! 掣 ( 3 5 ) 其中p j ”是在a ( x = x j ，t = t ”) 上的密度，哆是在点( x = _ ，t = t ”) 上的速度，是在点 ( x = 一，t = t ”) 上的平衡速度，它是速度与密度的桥梁，c o 是_ d 、扰动传播速度，丁是松弛 时间，玎为大型车所占整个车流的百分比，a ：坐，a f 是时间步长，缸是空间步长。 方程组( 2 2 ) 所对应的差分格式在计算过程中时间步长f 按稳定性条件选取，比较复 杂的是迎风格式( 3 4 ) 、( 3 5 ) 须准确判断风向。 1 0 3 2 高阶修正差分格式 根据模型为双前车动力学模型，说明该车辆与邻近车辆、次邻近车辆均有密切关系， 所以将格式( 3 2 ) 进行修正，得 如叫一一掣h 掣一叫 6 ， 于是，改进前模型的连续方程所对应的一阶修正差分格式为( 3 6 ) 。 在一阶修正差分格式( 3 6 ) i 拘；n t i t li - _ ，继续对模型( 2 2 ) 的第二个方程差分格式( 3 4 ) 、 ( 3 5 ) 进行高阶修正【3 6 3 7 3 8 3 9 ，4 0 , 4 1 , 4 2 。 首先在单元= _ 刈：，一川： 上构造分片线性局部重构 叽) ：哆+ 掣卟叫吣】 其中垒a为该重构的斜率，现在，也称为斜率，可以定义为：x 一， ，。 ( 3 7 ) ，2 三( 1 + ) + j 1 ( 1 一) 哆弓 q 8 ) 其中 2 哆一蠕 ( 3 9 ) 2 略- 一哆 ( 3 l o ( 3 8 ) 中国为自由参数，取值不同，该格式的精度不同。 单元= _ 刈：，t + ，： 上的中点_ 在图3 1 的坐标系中对应的点是x ：l ，、a x ，即 _ = 1 2 缸，且有_ ( _ ) = 哆 其次，_ ( x ) 在区间边界处的值，即边界外推值哆、哆，计算如下： 把币掣妒哆一三， h c 卟哆+ 掣铲哆+ 三， 蚴 第三章一维守恒型方程计算方法 接下来由 哆 t 0呶2酞 图3 1 单元l 上的局部分片线性重构示意图 影= t + 三1 石a tl v 八 _ l ) 一厂( 哆) 谬= 哆+ 互1 _ l a tr ，i _ l ) 一厂( 哆) 对t 、哆进行演化，得 影= 哆一去( 1 + c ) 够：哆+ 昙( 1 一c ) ， 其中c = ( 哆- ( 3 2 毗) 尝 模型( 2 4 ) 的第二个方程( 3 3 ) 的修正差分格式为： 寸吐臀一驯+ ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 其中该格式的通量为m u s c l h a n c o c km e t h o d 通量【3 8 】，简称为m h m 通量，即厂删 删m h m ：= 三1 ( 1 + s 忉( c ) ) 厂( 够) + 三( 1 一s 咖( c ) ) 厂( 吆。) ( 3 1 8 ) 其中 1 2 长安人学硕士毕业论文 ( 够) = 圭( 嵋+ 五1 ( 叫j _ ( 3 如) ( 哆+ 互1 呼) 0 n 9 ， 厂( 咖= 圭( 略。一三( - 卅。) 2 ( 3 嘞) ( 哆4 - 。一互1 ( t 卅。) ( 3 2 。， s i g n ( x ) 为符号函数。可见该通量为迎风形式，该差分格式为迎风差分格式。 由上述三个步骤计算通量并的方法叫m u s c l h a n c o c k 法，简称m h m 格式， 该格式中如果取【4 3 】： 1 ) c o - 1 ，o ) u ( o ，1 】，该格式为具有二阶精度的迎风差分格式。 2 ) = 0 时，该格式为具有二阶精度的中心差分格式。 3 ) 国= 丢( 2 c s 初( c ) ) 时，该格式为具有三阶精度的迎风差分格式。 综合上述算法，本文所谓的高阶方法i l p ( 3 6 ) 、( 3 1 7 ) 3 2 0 ) 3 3 高阶修正差分格式实现流程 高阶修正差分格式的基本流程见图3 2 所示。 3 4 本章小结 本章介绍了交通流模型常用有限差分格式，对双车动力学模型的离散格式进行了 详细介绍。同时给出了高阶修正差分格式的构造，并对高阶修正差分格式的流程进行 了描述。 第三章一维守恒型方程计算方法 图3 2 高阶修正差分格式流程图 1 4 长安大学硕：土二毕业论文 第四章数值模拟 本章高阶修正差分格式采用= j 1 ( 2 c - s 初( c ) ) 时的具有三阶精度的格式。通过研 究和分析各差分格式，对一阶有限差分格式与三阶修正差分格式通过m a t l a b 编制程序 进行比较，通过数值模拟证明了三阶格式比一阶格式耗散小，并对改进前、后模型进行 了比较，最后利用三阶修正差分格式对改进后模型进行剖析研究。 4 1 用改进前模型模拟交通流密度 例1 至例2 利用三阶修正差分格式( 即( 3 6 ) 、( 3 1 7 ) , - ( 3 2 0 ) ) 对双车动力学改进前模 型进行数值模拟，来研究交通流的密度变化情况，并与文献 2 7 中的一阶差分格式( 即 本文中的( 3 2 ) 、( 3 4 ) 、( 3 5 ) ) 的变化情况作对比。 例1 用双车动力学改进前模型来模拟交通流的消散波 双车动力学模型 f 岛+ ( p v ) ，= o v 一( 3 - 2 n ) 吨= ( 2 叫竿 “j 其中刀为大型车所占整个车流的百分比，c o 是扰动传播速度，屹( p ) 是平衡速度，丁是 松弛时间。 利用模型( 4 1 ) 对下列r i e m a n n 初值条件进行数值仿真 p u = o 1 8 ，p d = 0 0 4 ( 4 2 ) 其中p u 和p d 分别为上、下游车流密度。初值速度采用 屹= 圪( 成) ，屹= 圪( 办) ( 4 3 ) 其中平衡速度屹( j d ) 采用d e lc a s t i l l o 提出的平衡速度关系式2 7 2 8 删 圪c p ，= v 夕 ，一e x p 一e x p ( 毒( 告一t ) c 4 4 ， 其中是堵塞的扰动传播速度，1 ，是自由流速度，成是堵塞密度。 模型边界条件采用自由边界条件，即在边界处譬：o 和罢= 0 出o x 1 5 模拟路段2 0 o n ，等距分成1 0 0 个网格，时间步长按稳定性条件确定，根据相关实测 和参数辨识，参数分别取【2 7 】：_ = 3 0 m s ，p 。= 0 2 v e h m ( w 办为辆，朋为米，s 为秒 下同) ，t = 7 s ，= c o = 6 m s 首先我们假定交通流中没有大型车，即参数即取0 。 我们利用一阶原始差分格式( 3 2 ) 、( 3 4 ) 、( 3 5 ) ，三阶修正差分格式( 3 6 ) 、( 3 1 7 ) ( 3 2 0 ) 分别对r i e m a n n 初值条件进行数值仿真，来模拟0 5 分、1 分、1 5 分和2 分这四个时 刻的交通流情况，对模拟结果进行分析比较，如图4 1 。 图4 1 交通流中没有大型车辆，用m h m 方法在不同时刻的计算结果 其中：原始格式为文献 2 7 1 中的一阶有限差分格式，( 下图同) 。 1 6 k 安大学硕十毕业论文 从图4 1 观察到在该r i e m a n n 初始值条件下交通流产生稀疏波，一阶原始格式和 高阶修正差分格式均能在同样的时间内将集聚的交通流消散，但消散程度不同。在同样 的时间段内，高阶修正差分格式的疏导效果好于一阶原始格式的消散效果，而且随着时 间的延长，高阶修正差分格式的疏导效果明显较好，更易于交通顺畅。从而得出利用高 阶修正差分格式对双车动力学改进前模型进行消散模拟，消散快，交通顺畅，易于交通 疏导。 1 其次我们假定交通流中大型车占整个交通流的_ i ，即参数船取0 2 5 。同样利用一阶 4 原始差分格式、高阶修正差分格式分别对r i e m a n n 初值条件进行数值仿真，模拟结果如 图4 2 。 1 图4 2 交通流中大型车辆占，用m h m 方法在不同时刻的计算结果 4 1 7 第四章数值模拟 从图4 2 观察到在该r i c m a l m 初始值条件下同样产生稀疏波，也得出在同样的时间 段内，高阶修正差分格式的消散效果要好于一阶原始格式的消散效果，说明高阶修正差 分格式的疏导效果明显较好，易于交通疏导。将图4 1 与图4 2 进行比较发现，当大型 车所占比例较大时，交通集聚情况反而疏导较好，随着时间的延长，该结论越明显。 一 然后我们假定交通流中大型车占整个交通流的；，即参数 取o 5 ，同样利用一阶 4 原始差分格式、高阶修正差分格式分别对r i c m a n n 初值条件进行数值仿真，模拟结果如 图4 3 。 图4 3 交通流中大型车辆占圭，用m h m 方法在不同时刻的计算结果 1 8 长安大学硕士毕业论文 接下来我们假定交通流中大型车占整个交通流的三，即参数玎取。7 5 ，模拟结果 。 如图4 4 。 气 图4 4 交通流中大型车辆占亏，用m h m 方法在不同时刻的计算结果 最后假定整个交通流中全为大型车，即参数玎取l ，此时模拟结果见图4 5 。 从图4 1 至图4 5 观察到：在同一时间段同一，z 值的条件下，高阶修正差分格式比 阶原始差分格式消散效果好，随着时间的延长，高阶修正差分格式的疏导效果越明显 4 6 。 在同一时间段上，随着大型车所占整个路段比例l l 的变化，疏散效果也不同，如图 1 9 第【，i j 章数值模拟 图4 5 交通流中全为大型车辆，用m h m 方法在不同时刻的计算结果 t l d 忻cd e n s i t ya tt = 1 2 0 s 图4 6 在大型车所占整个路段比例不同的情况下，用m h m 方法在t = 1 2 0 s 时的计算结果 长安大学硕士毕业论文 从图4 6 观察到：随着大型车所占整个路段交通流比例玎的变化，交通疏导结果也 在变化。在同一时间段上，随着，z 增大交通疏导也越来越好，消散效果也越来越明显， 即整个路段中大型车越多，交通越好疏导。 例2 用双车动力学改进前模型来模拟交通流的冲击波 在模型( 4 1 ) fb + ( p v ) ，= o 卜( v 一( 3 - 2 n ) ) 叱= ( 2 一刀) 字 中，我们使用下列r i e m a n n 初值条件进行模拟、观察不同的离散格式对交通流冲击波的 不同处理情况。 j 成_ o 0 4 ( 4 5 ) 【p a = o 1 8 其中成表示初始条件的上游车流密度，p d 表示初始条件的下游车流密度。初始条件相 当于下游的自由流遇到障碍等情况，使得上游的自由流产生冲击波。 初始速度采用平衡速度采用( 4 4 ) 圪= v ， 1 2 时，不符合实际意义。对于一般情况下岛的 取值，目前尚未有明确的规则，需作进一步深入探讨。 本文后续内容均在条件成= o 1 8 ，p a = o 0 4 ，u f = 3 0 ，几= 0 2 下得出。 利用例3 的已知条件，在c o = 2 ，4 ，8 ，l o 时的不同情况下都用本文所指的三阶方法， 即( 3 6 ) 、( 3 1 7 卜( 3 2 0 ) 对改进前、改进后模型进行模拟分析，结果如图4 2 3 至图4 2 6 。 假定大型车占整个路段的比例分别为0 、0 5 、1 。 由图4 2 3 、图4 2 4 观察到：k = o 5 的改进后模型消散效果比c o = 2 、4 时的改进前 模型消散效果好。 此时结合图4 1 3 、图4 1 5 、图4 1 7 我们得出结论：当0 c o 6 时，k 0 5 的改进 后模型消散效果比改进前模型的好，建议在同等条件下，选取k o 5 时的改进后模型来 疏导交通流。 由图4 2 5 、图4 2 6 观察到：k = 0 9 的改进后模型消散效果比c 0 = 8 、1 0 时的改进前 模型消散效果好，同时c o = 8 、1 0 时的改进前模型消散效果总体比七= o 5 时的改进后模 型消散效果好。 此时我们得出结论：当6 c o 1 2 时，综合而言，改进前的模型消散效果也很好， 而k o 5 的改进后模型消散效果也可接受，所以改进前、后模型( k 0 5 ) 都可使用。 3 3 第四章数值模拟 t r a m cd e n s i t ya tn = o & t = 6 0 s t r a f f i cd e n s i t ya tn = o 5