（应用数学专业论文）垂直方向存在耗散、准静力平衡、绝热的boussinesq方程广义初、边值问题适定性研究.pdf

上海大学硕士学位论文 t h ep o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a n 曲a iu n i v e f s i d , 摘要 b o u s s i n e s q 方程或b o u s s i n e s q 近似在流体力学、大气动力学、海洋学都有着 广泛的应用的，其在超平面 r = 0 ) r 4 上的c a u c h y 问题的适定与否在理论研究 和实际应用上都有着至关重要的作用。然而关于b o u s s i n e s q 方程的初值问题 c ( 1 ) 的适定性无论在国内还是在国外都少有重要的结论。 裘国永在b o u s s i n e s q 方程组解的存在唯一性和f o u r i e r 谱方法的误差估计 研究了b o u s s i n e s q 方程组。本文将用以拓扑学和e h r e s m m m 空间为基础的分层理 论在c 。( 1 ) 函数类中对b o u s s i n e s q 方程进行分析。 本文研究的是一类简化的b o u s s i n e s q 方程，研究这个方程的主要目的，是检 验当在z 方向存在耗散，并且是准静力平衡和在绝热的条件下，此方程的稳定 性和各种主要初、边值问题的适定性。这不仅对研究大气运动的数学模型有着理 论与实际意义，而且对大气动力学中的偏微分方程的稳定性及初、边值问题适定 性的研究有着重要的参考价值。 对于这一类二阶拟线性方程，我们将其作为二阶e h r e s m a n n 空间，2 ( r 4 ，r 5 ) 的子集，在不同阶数的e h r e s m a n n 空间之间建立起一种投影和映射关系，由此得 到所论方程的准本方程，在此基础上求出本方程。在确定本方程的过程中，可以 反映出方程的0 一简单性。然后通过典则分层，给出方程的初、边值问题的局部 的解空间构造。从而，系列人们关心的问题，如初值问题适定的充要条件；存 在c 。( t 1 ) 形式解的必要条件等等，将得到解决。 本文得到了简化的b o u s s i n e s q 方程以下的结果： ( 1 ) 求出了所论方程的准本方程，本方程； ( 2 ) 得到所论方程稳定性的结论； ( 3 ) 得到所论方程初值问题的解空间构造； ( 4 ) 对适定的问题，给出所论方程的解析解的计算方法，并给出了例证； ( 5 ) 对若干不适定的问题，给出了方程的形式解； f 6 ) 给出存在c 2 ( k 1 ) 形式解的必要条件。 关键词：b o u s s i n e s q 方程；分层理论；适定性；形式解 上海大学硕士学位论文 t h e p o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i l y _ 一一 a b s t r a c t b o u s s i n e s qe q u a t i o n s o r b o u s s i n e s qa p p r o x i n m t ea r ev e r yi m p o r t a n to fl l u i d m e c h a n i c sa n da t m o s p h e r i cm o t i o na n do c e a n i c s ，e s p e c i a l l yw h a ti s w h e t n e ri t s p o s e d u c s s o f c a u c h yp r o b l e m s o n h y p e rp l a n e 和= 0 ) 尺4 b w - c ( k 1 ) p o s e d n e s s o fi n i t i a l q u e s t i o n s o n b o u s s i n e s qe q u a t i o n sh a sn o t 虬l y i m p o r t a n t c o n c l u s i o n sb yn o w q i ug u o y a n g ，i nt h ep a p e ro f ( ( e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f b o u s s i n e s qs ) 5 e l i lo f e q u a t i o n sa n d e l t o re s t i m a t eo ff o u r i e rs p e c t r a lm e t h o d ) ) o f f e r sad i s c u s s i o no ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el o c a lp e r i o d i cg e n e r a l i e d s o l u t i o n t h ep a p e ra n a l y s e db o u s s i n e s qe q u a t i o n so fa l lk i n d so fc ( 七1 ) w i t h s t r a t i f i c a t i o nt h e o r yb a s e do n t o p o l o g y a n de h r e s m a n n s p a c e h e r ew e s t u d yt h es e c o n d o r d e rq u a s i l i n e a re q u a t i o n w es t u d yt h e s ee q u a t i o n st o c h e c kw h e t h e rt h e e q u a t i o nw h i c ht h e r e i s d i s s i p a f i o na tt h ezd i r e c t i o n a l l ij s q u a s t i c s t a t i ce q u i l i b r a t i o na n da d i a b a t i ci s s t a b i l i z a t i o no ri t ss o m em o s t l yi n i t i a j q u e s t i o n si sw e l l p o s e d 耵l ea i m n o to n l yi sv e r ys i g n i f i c a n c et ot h em a t h e m a t i c a l m o d e lo f a t m o s p h e r i cm o t i o nb u t a l s oc a no f f e rr e f e r e n c et ot h eo t h e rp d e o f 口j l n k d l p r o b l e m a b o u tt h es t u d yo f w e l l - n e s s w em a k et h ee q u a t i o nt ob et h es u b s e to fs e c o n d - o r d e re l l r e s m a n ns p a c e w cs e t u pt h er e l a t i o n s h i p o fm a p p i n ga n dp r o j e c t i n gi na l lk i n d so fo r d e re t l r e s m a r m s p a c e s ow e c a l lc o n c l u d et h ee q u a t i o ni so - s i m p l ea f t e rs e r i e ss t e p s t h en e x ts t e pw e j u d g ew h a ti st h el o c a ls o l u t i o ns p a c eo f t h e e q u a t i o no f t h ei n i t i a l q u e s t i o n a n db o u n d a r yv a l h e t h u sw e s e t t l eas e r i e so ft h ep r o b l e mf o re x a m p l et h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fi n i t i a lq u e s t i o nw e l l p o s s a n dt h en e c e s s a r y c o n d i t i o no f ( t 1 ) s o l u t i o ne x i s t e n c e a f t e ra g r e a t o f c a l c u l a t i o n ，w eg e tt h e s er e s u l t s ： ( 1 ) s e e kt h eg r a d u eo f b o u s s i n e s qe q u a t i o n ( 2 ) d r a w t h ec o n c l u s i o no f b o u s s i n e s qe q u t i o n b e i n g s t a b i l i z a t i o n ( 3 ) s e tu p t h es o l u t i o ns p a c e ( 4 ) o f f e rt h em e t h o da n dt h ep r o g r a m m et og e t s o l u t i o na b o u tw e l l p o s e di n i t i a l p r o b l e m ( 5 ) o f f e rs o m e f o r m a ls o l u t i o n sa b o u ts o m ek i n d so f i l l p o s e di n i t i a lp r o b l e m s ( 6 ) p r e s e n t t h en e c e s s a r yc o n d i t i o no fc 2 ( 女1 ) f o r m a ls o l u t i o ne x i s t e n c e k e yw o r d s ：b o u s s i n e s qe q u a t i o n s ；s t r a t i f i c a t i o nt h e o r y ； p o s e d n e s s ； f o r m a ls o l u t i o n s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：叠圣如期星q q 生生垒月 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：叠芏搏导师签名：左二鱼一一日期2 q q 垒生垒旦 上海大学硕士学位论文 t h e p o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i t y 第一章前言 众所周知，b o u s s i n e s q 方程或b o u s s i n e s q 近似在流体力学、大气动力学、海 洋学都是有着很广泛的应用的。马艳、吴洁晶在暴雨发生的不稳定条件的试验 中研究了一组满足b o u s s i n e s q 近似的二维线性非粘滞流体方程对1 9 9 6 年6 月2 9 日0 2 时发生在我国东部的一次降水过程进行了诊断分析，得出了下列特征：西南 低空急流是降水得以产生所需水汽的载体；对流层下部深厚不稳定层结是时流性 降水所必须的热力层结条件；该地区对流层下部满足r 。 f ( ，6 h 后该地区惯 性重力波不稳定增长。在充足水汽条件下，该地区发生暴雨。张永刚、李玉成在 应用b o u s s i n e s q 方程对航道开挖所造成水深变化对波浪传播所产生的异常波 况的数值研究应用b o u s s i n e s q 方程采用有限差分法建立了非线性数值波浪模 式，并应用该模式对由航道开挖所造成水深变化对波浪传播产生的异常现象迸行 了数值模拟研究，得到了异常波浪局部增大现象是由于入射波与航道夹角过小， 使波浪无法折射入航道，而在航道两侧反射叠加的结果；裘国永在 b o u s s i n e s q 方程组解的存在唯一性和f o u r i e r 谱方法的误差估计引入f o u r i e r 谱方法逼近柬 解决b o u s s i n e s q 方程组周期初值问题广义解问题在给出了f o u r i e r 谱方法逼近解 的估计后，利用紧致性原理得到了b o u s s i n e s q 方程组周期初值问题广义解，绗出了 f o u r i c r 谱方法的误差估计 本论文将通过利用分层理论，讨论一类简化的b o u s s i n e s q 方程，确定其初值 问题的局部解的解空间构造，证明了它是一个稳定方程，并在解析条件下，肘遁定 的初值问题给出其准确解的计算方法与公式而且，对其不适定的问题进行系统深 入的讨论 本学位论文的内容共分五章 第一章：前言 第二章：分层理论简介 第三章：一类简化的b o u s s i n e s q 方程广义初边值问题适定性研究 第四章：计算实例 第五章：方程的局部解析解的计算公式 分层理论( t h e r i ed es t r a t i f i c a t i o n ) 是近二十年来形成的一种为求解非线性偏 微分方程的全新的理论这种理论将方程的求解问题转换成了有关的拓扑学问题 同时，它又提供了完整而具体的求解方法与步骤在某些基本但又是非常广泛意义 的假设下使得我们可以判定所论方程的c a u c h y 问题以及各种边值问题、混台i 亩 题的适定性。这种理论与方法，并不限定方程的类型，也不指望扩大函数类以求 得某些结果，在适定的情形下，我们将得到问题的准确解，因而不但为非线性偏 微分方程的数值计算提供了严格的理论的根据，更重要的是提供了完整的计算公 式。 上海大学硕：b 学位论文 t h e p o s t g r a d u a t e t h e s i so f s h a n g h a i u n i v e r s i t y 第二章分层理论简介 2 1 定义和基本定理 对本论文所涉及的定义和基本定理作简单介绍，符号请参见附录一。 定义1设v ，z 是两个c 。微分流形。称 j ( 矿，z ) = u z 。( y ，z ) “u ) e v x z 是y 到z 的k 阶e h r e s m a n n 空间。特别地，( 矿，z ) = v x z ，并约定j 。1 ( v ，z ) = v 。 定义2 对于f = ( ，l ) ：r ”_ r ”是一个c 。对应，使得 虬( x ) = ，( x ) = “ 巧。圳c x ，= 石i 导；( x ) = 彰。川，i 五i t 而( t “，p l ，群，彰- ，群。) 是，f ( x ) 的局部坐标。 定义3对于x o v ，扩z 和以p 为源、“o 为终结的k 阶无穷小j e t ，州 j ( 矿，z ) 的一个元素为 定义 叩= ( 妒，“。，d ，p j l ，如一，群 ) e d 。( y ，z ) ， 口；( 叩) = ( z 。，“0 p l ，p ：啪，即r aj ) 那么，( 叩) j ”( 矿，z ) 是一个以x o 为源、“o 为终结的阶无穷小j e t 。称口：，勺 ( 矿，z ) 到，”( y ，z ) 的典则对应或典则投影。 定义4 设d i m v = 月d i m z = m e h r e s m a n n 空间，( y ，z ) 具有一个微分理想子代数，它由j ( y ，z ) = r “的圳下 p f a f f 形式( 局部) 生成： 口7 = 幽一钙，i = 1 ，2 ，m ； j = l ( 2l a ) 上海大学硕士学位论文 t h e p o s t g r a d u a t et h e s i so f s h m l g h a iu n i v e r s i t y 衫- 2 蟛一( 吒z 凼”+ 砖z 吨) ， i = l ，2 ，m ； 五f 七一1 将其记为( l z ) ，称为( 矿，z ) 的c a r t a n e h r e s m a n n 理想子代数 定义5 设】= 是置的一个子链： ( 2 1 b ) 】_ = ：一k l 耳一l 一寸k 鱼l 【1 其中k 五g k ：五k ，如果有i m g 。= k 一，( k 0 ) ，则称子链r 是饱和的设 r 咒是置的子链，将，= 中的最大的饱和子链s ( ，= ) 称为j 二的饱和。也就是醴， 如果z e 并且z 是饱和的，那么，有z s ( ，= ) 。 定义6 设y ，z 是两个c 。微分流形d ，“( y ，z ) 是j k ( 矿，z ) 的子集，称 的饱和为d 的本方程，记为d ， n ：斗磷斗q l _ 一d 0 jd - i d 的饱和记为( d ) 。，因此 d = ( 现) 4 ( 2 2 ) 显然有以下包含关系： 日ed f j 。( 矿，z ) ( 2 3 ) d 称为d 的，阶本方程。当，= 时，有 战d e ，“( y ，z ) ( 2 q ) 定义7 设矿，z 是两个c 。微分流形，子集d 量j “( v ，z ) 。如果存在j e 整数三，使得 ( + c ) = ( 吸+ t ) ：， ( 2 5 ) ( 戈m - ) 。( 。1 ) ：， ( ! 6 ) 就称子集d 是三一简单。当l = 0 时，即n = 联，称d 是简单的。 定义8 ( 关于典则分层) 对纤维空间力，。：骂。( d ) 一彤，。( d ) 分层如下： 上海大学硕士学位论文 t h e p o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i t y 而 日 ( d ) = u 见( d ) 彬，。( d ) = u s 似q ( d ) 或：e q ( d ) 寸：( d ) 是局部平凡的纤维丛空间，其纤维的维数等于g 。于是 其中 彬( 矿，z ) = 彬，。( d ) u 巧t ( d ) ， 巧。( d ) = ( y ，z ) 一形，t ( d ) ( 2 7 a j f 2 7 b ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 叫做d 的第“，k ) 阶“陷阱”，称 p t ，+ = u 以：岛 ( d ) = u 磁( d ) 一u 吼( d ) = 彤t ( d ) ( 2 - 1 0 ) 4qq 是d 的第( ，t ) 阶典则分层。 定义9 设矿，z 是两个微分流形，d i m v = 月2 ，d j 如( 矿，z ) 是一个也阶 偏微分方程组。并假设d = u d f ( ，= 一l ，0 ，1 ，2 ，) 已被确定： f n 1 ：岛( d ) 斗彬，l ( 矿，z ) 已分层： 彬。( 矿，z ) = ，。( d ) u t 4 k ( d ) = ( u 兕( d ) ) u 巧。t ( d ) g 设d i m x = f ，y = j ( 矿，z ) ，则对每个 醒 ( d ) j ( d ) 量g ，( r j 。( y ，z ) ) 存在唯一的偏微分方程组 e ( 吼( d ) ) j ( x ，j ( y ，z ) ) 使得c 。浸入rx 斗，( 矿，z ) 是e ( s q ( d ) ) f i t j f 稗- ，并且，的诱导 尹x q ( t d 2 ( v ，z ) ) 满足i m 尹s & ( d ) e ( s q ( d ) ) 称作s 似q ( d ) 的末方程e 上海大学硕士学位论文 t h e p o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i t y 譬女( d ) g ? ( r j ( y ，z ) ) 一一，j 。( y ，z ) 形。( 矿，z ) 的末方程记为 e ( 形。 ( 矿，z ) ) ( ，1 ( x ，j ( 矿，z ) ) ) 设，v ，z 是三个c 。微分流形， d i m v = 行2 ，d i m z = 一1 ， d l ，“( 矿，z ) 是一个阶偏微分方程。我们以e ( x ，矿) 代表由z 到v 的c 。嵌入构 成的拓扑空间( 具有c 。拓扑) ，并以 l ( ，矿) p ( x ，矿) x p ( ，j o - i ( v ，z ) ) ( 2 1 1 ) 代表乘积拓扑空间p ( ，v ) x p ( z ，j k - i ( 矿，z ) ) 的子空间，它由满足以下条件的一对 c ”l o i n ( o r ，y ) p ( x ，矿) p ( x ，l ，b 一1 ( 矿，z ”组成： 1 ) 口量。y = 盯 ( 2 1 2 a ) 2 ) ，珂= o ，v 玎ek i ( 矿，z ) l ( v ，z ) 是j ，z ) 的c a r t a n - e h r c s m a n n 理想子代数a ( 2 1 2 b ) 3 ) y ( 妫p k i ( 2 1 2 c ) 这里a ! l = j 。( y ，z ) 寸矿代表典则对应，q 一。是d 的七一1 阶本方程。 定义1 0 称( 盯，) l ( ，d ) 为d 的c a u c h y 问题的解在盯( ) v 上的一组 初始条件( 简称初始条件) 。 对应于( 盯，y ) 的c a u c h y 问题的解是一个从盯( ) 的某个领域q 到z 的 c ”对应“，“：眈。z ，并满足条件 i m j , “至d ，( ，“一2 1 ) 。c r = y ( 2 1 3 ) ：海大学坝士学位论文 t h e p o s t g r a d u a t e f h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i t y 以& ( 盯，y ) 代表d 的对应于( 盯，y ) 的c 。解的集合，并以比( ，d ) c ( z ，d ) 代表使得瓯( 吒，) 非空的那些( 盯，y ) ，即 c ( ，d ) = ( 盯，y ) l ( ，d ) l - s 二( 仃，y ) o ( 2 i 4 ) 定义1 l 设( 盯，y ) l ( ，d ) 。如果( 盯，y ) 是c ( ，d ) 的内点，即 ( o - ，y ) ( ，d ) ，则称初始条件( 盯，y ) 是适定的，也就是说由它所定义的c a u c h y 问题是适定的。 基本定理设( 盯，) l ( 。，d ) 对应于( 盯，) 的c a u c h y 问题是适定的充分必 要条件是 i m f 至岫一i ( d ) ( 2 。1 5 ) 2 2 用分层理论求解偏微分方程组的步骤 1 以e h r e s m a n n 空i 司的局部坐标改写方程； 2 丰艮据定义，确定其准本方程剧的表达式： 3 求出叫的饱和条件，并由此确定本方程d ： 口= u d f ，( k l ，0 ，1 ，2 ) 4 根据定义，构造v 到z 的s 典则系统日，。( y ，z ) ，彬j ( y ，z ) 历，t ( y ，z ) g ? ( 了v ( 矿，z ) 。，( ，z ) j “1 ( y ，z ) ) 彬，女( 矿，z ) = i m p k 。( r 。z ) g ? ( ( y ，z ) ) 然后，构造d 的s 典则系统： 岛，t ( d ) 2e ，t ( 矿，z ) n ( g ? ( 7 b ) ，( ，b + t ) 彬。( d ) = p 。( 骂。( d ) ) ， 这里p 代表第一投影： e ；( r j ( y ，z ) 。，”。z ) i ，。+ ( y ，z ) ) g ? ( ( 矿，z ) ) 5 对n ，；：e ( d ) r 峨。 ( 矿，z ) 分层： 彤* ( y ，z ) = 彬t ( d ) u 巧t ( d ) 上海大学硕士学位论文 t h ep o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i t y 并由此求出横截层s 。t 。( d ) 非空的条件； 6 借助于标准单形，将相应的广义初值问题的适定性条件给予描述 7 根据譬。( 功的条件，求出所论方程的局部解析解； 8 给出了所论方程局部解的解空间构造。 23 形式解与存在形式解的必要条件 许多偏微分方程组的初、边值问题适定性研究之所以重要，是因为它们构成 了相关学科的理论基础，比如，流体力学中的l a n d u l i f e c h i t z 方程( 郎无粘、不 可压流体方程组) 、混合流体方程组以及大气动力学中的若干模式等等。由于这 些方程组的实际背景它们的初、边值问题的适定性往往是不容置疑的，留下来 要做的好像只是解的形式而已。但事实上并非如此，在古典方程中，为了求得热 传导方程在口= 0 上初值问题的解，是用f o u r i e r 方法完成的。但所求得的解严 格浇来只是原来问题在极限意义下的一种近似。用分层理论的术语来说，对于在 r = 0 上所设置的初始条件 ，y ) 中y 的诱导对应尹，有 i m p ；至( 嵋l ( r 2 , r ) 一s i l ( d ) 一巧1 ( d ) ) 即在 f = o ) 上，热传导方程d ：粤一盯2 罢：( x ，f ) 的c a u c h y 问题不存在 o i ( 珥 c 。( 2 ) 稳定解。再比如，流体力学中的l a n d a u - l i f c h i t z 方程( 这是一个含有5 个未知函数二阶拟线性偏微分方程组) ，它在超平面口= 0 r 4 上的c a u c h y 问 题，也不存在c f k 2 ) 稳定解。 因此要完整地分析个偏微分方程组，就不能只对某些特定的定解问题进行 讨论。本小节介绍分层理论的应用，讨论不适定问题存在形式解的条件与方法。 对于那些有实际应用背景的方程，它们的某些初、边值问题适定性以及形式解的 存在与计算，具有重要的理论与实际意义。因为它们给出了为什么必须修正方程 的理论根据以及如何修正的基本方法。 对于本论文所讨论的问题由本章第一节己知，如果d 的f ”一1 ，k o 一1 1 阶横截 层非空吐( d ) 彩，并j t i mp 7 0 彰吐( d ) ，则得到的解就是方程d 定解问 题的稳定的解析解。除此之外，对于给定的( 吼，t o ) ，还有以下的几种可能： 1 吐k 一，( d ) 。，但是i m 死( - l , k o - 1 ( y ，z ) 一s , , - l , k o - ，( d ) - t o - t , k o - i ( d ) ) 上海大学硕士学位论文 t h e p o s t g r a d u a t e t h e s i so f s h a n g h a i u n i v e r s i t y 即i m 冗s l l k o l ( d ) 。 这时，如果还能求出嵌入序列轨 ，i 1 ，使得( 3 f 2 ) 成立，则根据一，也 可求出一组幂级数形式上满足方程( 组) ，但其收敛性质不明。这就是相对于 ( ，) 的一组形式解。 2 或- l ，( d ) = o - 则只可能存在形式解。 以下谈谈关于形式解的问题。 首先，d 的典则分层具有如下性质，对于自然对应g = g 。卜。 g ：呒小( y ，z ) 斗k - l ( 矿，z ) 如果小一。( d ) a ，则恒有 g _ 1 ( - i , k - i ( d ) ) 彰- l ( d ) 对于鼯。一，( d ) ，则有 g - 1 ( s 刍卜i ( d ) ) s t 踞”( d ) u k - l ， ( d ) 现在假设对于给定的初始条件( ，t o ) l ( 。，d ) ，并且 i m 元e 鼹l , , t 。- i ( d ) 如果存在截口 ：a 。哼碌( d ) l ， 则可定义 = 磊。， n = 磊。：a 。，( y ，z ) ； 同时y ，满足 a 璺一l 。n = y o ，口皇。y l = c r o ，i m y l d k 。 如果i m 矗s ：，k ( d ) ( 注意g 一1 ( 鼯。 一。( d ) 互鼯。，h ( 研u 瓦吐k ( 仞) ，并且存在截 口 ：a h 专职( d ) l ， 上海大学硕士学位论文 t h ep o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a h g h a iu n i v e r s i t y 可定义2 2 = a 。， 扎= a 。吵l ：。一t ，岛十1 ( y ，z ) 且y ：满足 砖“。托= ，础“。如= 吼，i m y ：+ 因此，我们可将上述过程得以继续的条件归结如下： 如果对( c r o ，一) ( f o ) ，成立以下条件： ( 1 ) i m 只s h q 岛一l ( d ) ， ( 2 ) 存在截口 弭a 一- + 罐t 时“( d ) i k 。， 则可定义 + l = 孱。：a 川寸j 岛+ ( 矿，z ) ， 并且 + ，满足 赡釜。一+ ，= 一! 越”。h “= ， i l l l + l 哦十f ，h n 鼯l ， 0 + 。( d ) 这些对应之间的关系如下图所示： 而由序列 y 3 就可以得到所论方程d 的形式解。 上海大学硕士学位论文 t h ep o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i t y 因此，可将上述过程得以继续的条件归结如下：如果对( q ，以) ( f 2 0 ) 成立以下条 件 ( f ) i m 只s h q + l ( d ) ( i i ) 存在b 仁) 的截口， 虻：s b ，蚝+ l ( d ) 呻碌1 + i ( d ) 则可定义 + i = 矗。只：a 。一l + ，屯 ( 矿，z ) i m j 7 + l 距i , k o + i ( d ) ， 则以+ ，满足以下条件： 吐“。一+ = o r o ， 庀l 珂= o ，v 巧气+ ，( 矿，z ) 于是有以下定理： k a + j + i i 。n “= 以 r i m 只+ i s ：i ，k + ( d ) 定理2 , 1 设d j o ( v ，z ) 是一个阶( c 。或c 。) 偏微分方程组，( 吼，扎) 是d 的一组初始条件( c 。或c 。) ，并且 i m 无量s 。q l , k o - 1 ( d ) 那么，存在相对于( ，t o ) 的形式解的必要条件是，存在( c 。或c 。) 嵌入序列 饥) ( i 1 ) 以：a 斗j k o + , - 1 ( y ，z ) 使得对任何i 1 ，有 础“一。以= 畦三一。一= 口乏：是。y ，= 扎一， 珂= o ，v 口k 。l ( y ，z ) i t n n 战+ l i m 只s l i + l ( d ) 1 0 上海大学硕士学位论文 t h e p o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a h g h a iu n i v e r s i t y 根据定理2 1 ，求得饥) 。，则d 的以幂级数表达的形式解即被完全确定。 参考文献 】 s h i hw e i - h u i ，s o l u t i o n sa n a l y t i q u e s d e q u e l q u e se q u a t i o n s a u xd e r i v e s p a r t i a l l l e se n m 6 c a n i q u e d e sf l u i d s p a r i s ：h e r m a n n 19 9 2 【2 】d t r o f m a n l w i l s o n ，s i n g u l a r i t i e s o f m a p s a n d a p p l i a f i o n s t od i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 【m i ，h e r m a n n ，p a r t i s ，t 9 9 7 【3 】s h i hw e i s h u ，u n em e t h o d ee l e m e n t a i r ep o u rp e t u d ed e se q u a t i o na u xd e r i v 6 e s p a r t i e l l e s m ，d i a g r a m m e s1 6 ，p a r i s ，1 9 8 6 【4 】施惟慧、陈达段、何幼桦。分层理论与非线性偏微分方程基 i i f m ，上海大学 出版社，2 0 0 1 5 】施惟慧、沈臻，偏微分方程组的形式解和投影极限，应用数学和力学，2 0 0 3 ， 2 4 ( 1 1 ) 上海大学硕士学位论文 t h c p o s t g r a d u a t e t h e s i so f s h a n g h a i u n i v e r s i t y 第三章垂直方向存在耗散、准静力平衡、 绝热的b o u s s i n e s q 方程广义初、边值问题适 定性研究 解空间构造的分析与描述是研究非线性偏微分方程最重要的问题。有了这种 构造的分析与描述对于特定的初、边值问题可以立刻判定其适定性。 运用分层理论，我们得到了一类简化的b o u s s i n e s q 的方程几个广义初值问题 的适定性问题，得到了若干初值问题适定的充要条件和存在c ( 七1 ) 形式解的必 要条件。 31 方程原型 一类简化的b o u s s i n e s q 方程的原型是： d d o ：0 出 丝+ 堡+ 丝：0 缸砂出 + k , o 矿2 u 十t 窘 ( 3 1 ) 其中自变量( x ，_ ) ，z ，r ) r 4 ，未知函数( ”，v ，w ，p ，口) r 5 ，“、v 、w 分别为风速 在x 、z 方向的分量，p 为位温，p 为大气压力，其中df 、t 、g 为大于零的 常数，p 为密度，厂为c o r i o l i s 力，k v 为耗散系数，g 为重力加速度， 其中熹= 詈+ “昙+ v 旦a y + w 昙 ( 3 1 ) 即为垂直方向存在耗散、准静力平衡、绝热的b o u s s i n e s q 方程，记 为d 。我们将假设v = r 4 ，z = r 4x r ：，代表方程( 3 1 ) 。 卉 危 g 彤 母 噌 印一良印一砂印一瑟 一pp一户 一 一 一 幽一出咖一西咖一出 上海大学碗：匕学位论文 t h ep o s t g r a d u a t e t h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i t y 3 2 改写方程 首先，将方程组d 看作e h r e s s m a n n 空间，2 ( 矿，z ) 的子集d ，2 ( 矿，z ) 。下面用 2 ( v ，z ) 的局部坐标，将d 改写如下： 记 ( x ，y ，z ，f ) = ( x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) r 4 = v 设 ( “，v ，w ，p ，毋) = ( “i ，“2 ， ) ，b t d ，l f 5 ) r 5 = z 卢= ( 0 ，“，办) ，2 ( 矿，z ) 则方程组改写为 i = i ，2 , - - 5 ；，k = l ，2 ，3 ，4 ；j 兰k ：p ：+ “，p ：+ “2 见i + “3 b t + i 1 p 卜# 2 - k , p ! ，2 0 五：西+ p 卜“2 茸+ 屿茸+ 一1p ：4 + f u 。一t 五= 0 六：儿3 + “l p ；+ “2 p i + u 3 p 3 3 + 一1 见4 + g = 0 ( 3 f 2 ) ：p ：+ t h p ? + “2 p ；+ “3 p ；= 0 六：p ? + p ：+ 露= 0 将d 左侧依次记为彳，厶，工，工，正，于是b o u s s i n e s q 方程d 即可看成对应 厂：j 2 ( y ，z ) 。，f = ( z ，五，五，五，五) 的零点集合： d = 厂。( o j = y ( ， ，正，工，以) j 2 ( 矿，z ) 为讨论方程组( 3 2 ) ，我们将依次解决以下阎题： ( 1 ) d 的准本方程叫，并证明它与本方程d 重合，即 ( 2 ) 确定 d = d e ( v ，z ) ，吐( v ，z ) 1 3 上海大学硕士学位论文 t h ep o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i t y 和 e - l , k - i ( d ) ，k 4 k l ( d ) ； ( 3 ) 分层 见“：e - i , k - i ( d ) _ “( 矿，z ) 并求得各层彰。( d ) 的末方程； ( 4 ) 决定d 的解空间构造。 3 3d 的本方程e 定理4 1d 的本方程d 与它的准本方程以重合。即 d l = 删 证明先计算叫。根据定义 i i i l 蠢，( d ) = y = r 4 i i i l 2 ( d ) = ，o ( y ，z ) = v x z ， i m 彳( d ) = v ( a ，工，z ) 因此，对于，= 一l ，0 ，i ，2 ， 厶( i m z 。( d ) ) = 厶( i m 簖( d ) ) = ，( 矿，z ) 于是有 然后 磋。= v 联= j o ( 矿，z ) = v x z 纠= n 厶( i m 露( d ) ) = 厶( i m 口? ( d ) ) 2 v ( a ，正，六) 一l 鱼s 2 ( 3 3 a ) r 3 3 b ) f 3 3 c ) 嘎= n 厶( i m 砰( d ) ) = 厶( i m 口? ( d ) ) n d i e s 2 = v ( a ，五，e ，( z ) ，五，五，五) ，j = l ，2 ，3 ，4 ；i = 3 ，4 ，5 ( 3 4 ) 对于五3 ，有 d ：= y ( 气。：( 五) ，。( ) ，气铀( z ) ，z ，五，q ( 乃) ，) ，一一2 ：1 ，2 ，3 ，4 ；f 如兰t 一2 ；k = l ，2 ；j = 3 ，4 ，5 ； ( 3 5 ) 1 4 上海大学硕士学位论文 t h ep o s t g r a d u a t et h e s i so f s h a n g h a iu n i v e r s i t y 这里，勺( 厂) = e i ( 勺( 力) 这样就完全确定了叫= 以下证明 即对任何k 0 ，有 由于 u 纠( ，= 一1 ，0 ，1 ，2 ) d + = ( 纠) 4 = 叫 口k ( 叫) = q d 二，= v ，q = d o ( y ，z ) ，纠= 矿( 五，工，五) 因此，对于k = o ，1 有 诉k 一，( q ) = 联一。 当k = 2 时，呸d 2 ( 矿，z ) 由( 3 4 ) 式给出 即 q = v ( a ，正，q ( ) ， ，正，正) i = 1 ，2 ，3 ，4 ；，= 3 ，4 ，5 ； 石：p j + “- p + “z 五+ 坞砖+ 去彳一扣：一吒站= o 五：一+ “，p ? + “：露+ 地见2 + j 1p ：4 + 乃- 一k 砖= o q ( 五) ：元+ t 露+ 最+ 吨露+ 吉以+ 中3 j = o q ( 工) ：p j + “l 西+ “2 最+ “3 p j + 0 4 。，= 0 q ( 五) ：p ：，+ p ：+ 虎= 0 工：一+ “p ? + u 2 p 3 2 + 岣矗+ 去蠢+ g 。o ：p i + “l 卉+ “：p ；+ “，硝= 0 正：p ：+ p ；+ 庆= 0 f 3 6