（应用数学专业论文）变分法及其在非线性微分差分方程（组）中的应用.pdf

摘要 数学、物理学、化学、生态学及经济学等学科产生的非线性微分差分问题， 正日益引起人们的重视目前，已有许多学者对非线性微分差分问题解的存在性 与多重性利用不同的方法进行了深入和广泛的研究，这些方法主要有变分法、拓 扑度法、单调迭代法与k a p l a n - y o r k e 耦合系统法等 本文主要利用变分法，分别研究了有乔区域和全空间上拟线性椭圆型方程 组、二维空间上半线性椭圆型方程( 组) 和二阶非线性差分方程( 组) 问题的解 与多重解的存在性，具体内容如下： 1 建立了一个抽象的紧性定理，然后借此定理证明了对应予一类拟线性椭圆型 方程组的泛函在比b o c c a r d o 和d e f i g u e i r e d o ( 2 0 0 2 ) 的条件更弱的条件下 满足( c ) 条件，并利用山路引理证明了这类拟线性椭圆型方程组非平凡解的存 在性，最后举出两个例子验证了文中所给条件的确比b o c c a r d o 和 d e f i g u e i r e d o ( 2 0 0 2 ) 的条件弱 2 讨论了在有界区域上一类含参数拟线性椭圆型方程组的n e h a r i 流形。并利用 n e h a r i 流形的性质证明了该方程组存在非平凡解，且利用p i e o n e 恒等式，证 明了解的不存在性，从而得到了其整体分支结论 3 讨论了在全空间上拟线性椭圆型方程组的非平凡解的存在性首先，利用上 一下解方法考虑了一类含参数的拟线性椭圆型方程组，应用山路引理得到了 该方程组存在非负上解，再利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明了其非平凡 非负解的存在性：其次，研究了全空间上一类共振椭圆型方程组非平凡解 的存在性，利用一种变形的山路引理，在一定条件下证明了该方程组非平凡 解的存在性，所获结论改进了已有文献中相关结果 4 在二维空间上考虑了半线性椭圆型方程( 组) 解的存在性首先，讨论了r 2 中 一类带不定权且含临界位势的二阶椭圆型方程的特征值问题，并借此特征值 问题的第一特征值性质。利用山路引理及t r u d i n g e r - m o s e r 不等式，证明了 r 2 中一类带不定权且含临界位势的非线性椭圆型方程非平凡解的存在性： 其次，利用广义环绕定理，t r u d i n g e r - m o s e r 不等式及集中列紧原理，得到了 r 2 上一类具有强不定部分的半线性椭圆型方程组在非线性项分别为次临界 增长和临界增长情形下非平凡解的存在性 5 利用r i c c e f i 建立的三临界点定理，证明了一类含参数二阶差分方程在某些 新的条件下至少存在三个解；随后，利用临界点理论中的极小极大原理和环 绕定理，讨论了一类二阶超线性差分方程组多重解的存在性 6 给出了变分法在物理学中的两个应用首先，讨论了非线性光学中的二次谐 波产生的耦合方程组，利用变分法证明了耦合方程组非平凡解的存在性，然 后进行了数值模拟，实验结果表明文中方法比经典的非线性光学中的方法有 较大的改进，这对优化光倍频器件的设计将有所帮助；其次，将一类二阶半 线性椭圆型方程组转化为一个变分问题，然后利用变分法和 t r u d i n g e r - 一m o s e r 不等式证明了其解的存在性；并得到了该变分问题的解与 其对偶问题的解之间的关系该二阶半线性椭圆型方程组来源于一介质外包 围一层蛋白质的电势分布问题的数学模型 关键词：临界点理论 存在性多重解分支 非线性椭圆型方程( 组) t m d i n g e r - m o s e r 不等式 差分方程( 组) 解的 应用 m a n y n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a ia n dd i f f e r e n c ep r o b l e m sr e s u l t i n gf r o mm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g ya n de c o n o m i c sa n ds oo nh a v ei n c r e a s i n g l yb r o u g h t p e o p l e sa r e n t i o n n o w , t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n f o rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ep r o b l e m sh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y b yv a r i o u s m e t h o d si n c l u d i n gv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，t o p o l o g yd e g r e em e t h o d , m o n o t o n ei t e r a t i v e m e t h o da n dk a p l a n - y o r k ec o u p l e ds y s t 锄m e t h o d s t h ea i mo ft h i sp a p e ri st os t u dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o na n dm u l t i p l yr e s u l t sf o r q u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e mi nb o u n d e dd o m a i na n dt h ew h o l es p a c e ，s e m i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o ni nt w od i m e n s i o ns p a c e ，s e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o nb y v a r i a t i o n a lm e t h o d s t h em a i nr e s u l t sa r el i s t e di nt h ef o l l o w i n g ： 1 a na b s 仃a c tc o m p a c t n e s st h e o r e mi sp r o v e d , a n dt h e n u n d e rw e a kb o c c a r d oa n d d e f i g u e i r e d o ( 2 0 0 2 ) c o n d i t i o n , u s i n ga b o v ec o m p a c t n e s st h e o r e mw ep r o v et h a tt h e f u n c t i o n a lc o r r e s p o n d i n gt oac l a s so fq u a s i l i n e a rs y s t e mo fe l l i p t i ce q u a t i o n ss a t i s f i e s f c lc o n d i t i o n a f t e rt h a tt h ee x i s t e n c eo fan o n t r i v a ls o l u t i o nf o rt h ee l l i p t i cs y s t e mi s p r o v e db ym e a n so fm o u n t a i n - p a s sl e m m a a tl a s t w ep r e s e n tt w oe x a m p l e st o i l l u s t r a t et h a to u rc o n d i t i o ni sw e a k e r 也a nb o c c a r d oa n dd e f i g u e i r e d o ( 2 0 0 2 ) c o n d i t i o nr e a l l y 2 t h en e h a r im a n i f o l df o rac l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m si n v o l v h a ga p a i ro f g ) - l a p l a c i a no p e r a t o r sa n dap a r a m e t e ri ss t u d i e d w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fa n o n n e g a t i v en o n s e m i t r i v i a ls o l u t i o nf o rt h es y s t e m sb yd i s c u s s i n gp r o p e r t yo ft h e n e h a r im a n i f o l d ，a n ds o9 1 0 b a lb i f u r c a t i o nr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h a n k st op i c o n e s i d e n t i t y ，w ea l s op r o v ean o n e x i s t e n c er e s u l t 3 t h ee x i s t e n c eo f w e a ks o l u t i o nf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e mi nt h ew h o l es p a c e i ss t u d i e d f i r s t l y , b yu s i n gs u b - s o l u t i o na n ds u p e r - s o l u t i o nm e t h o d s ac l a s so f q u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m si n v o l v i n gap a r a m e t e ri nr “i sc o n s i d e r e d t h ee x i s t e n c e o fan o n n e g a 垃v es u p e r - s o l u t i o ni so b t a i n e db ym o u n t a i n p a s sl e m m a a n dt h e n t h a n k st ol e r a y s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m w ep r o v e 也ee x i s t e n c eo fi t ss o l u t i o n s e c o n d l y , t h ep r o b l e mo fac l a s so fr e s o n a n tq u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m si nr “i s i n v e s t i g a t e d ，t h ee x i s t e n c eo fan o n t r i v i a is o l u t i o nf o rt h ee l l i p t i cs y s t e m si so b t a i n e d u n d e rs o m ec o n d i t i o n sb yav a r i a n to f t h em o u n t a i np a s sl e m m a o u rr e s u l t si r e p r o v e 也er e l a t e dr e s u l t si nt h e1 i t e m t n r e 4 t h es e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e mi nt w od i m e n s i o ns p a c ei sd i s e u s s e d f i r s t l y , t h e e i g e n v a l u ep r o b l e mo fac l a s so f s e c o n do r d e re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hc r i t i c a lp o t e n t i a l a n di n d e f i n i t e w e i g h t s i sc o n s i d e r e d t h e n ，u s i n gc r i t i c a l p o i n tt h e o r y , t r u d i n g e r - m o s e ri n e q u a l i t ya n dt h ep r o p e r t i e so ft h ef i r s te i g e n v a l u e ，w ep r o v et h e e x i s t e n c eo fan o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rac l a s so f n o n l i n e a re l l i t ) t i cw i t hc r i t i c a lp o t e n t i a l a n di n d e f i n i t ew e i g h t si nr 2 s e c o n d l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c eo f n o n t r i v i a ls o l u t i o n s f o rac l a s so fs u b c r i t i c a la n dc r i t i c a le l l i p t i cs y s t e m sw i t hi n d e f i n i t ep a r ti nr 2b y u s i n g a g e n e r a l i z e d l i n k i n gt h e o r e m ，t r u d i n g e r - m o s e r i n e q u a l i t y a n d c o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e 5 t h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e ew e a ks o l u t i o n sf o rd i s c r e t eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m i se s t a b l i s h e db yu s i n gat h r e ec r i t i c a lp o i n tt h e o r e mi n t r o d u c e db yr i c c e r i a c o m p l e t en o v e la s s u m p t i o ni sp r e s e n t e d t h e n ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft w o n o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rac l a s so fs e c o n do r d e rs u p e r l i n e a rd i f f e r e n c es y s t e m sw i t ht h e h e l po f m i n i m a xp r i n c i p l ea n dl i n k i n gt h e o r e mi nc r i t i c a lp o i n tt h e o r y , 6 t w oa p p l i c a t i o n si np h y s i c sa r eg i v e n f i r s t l y , ac o u p l e dd i f f e r e n t i a ls y s t e m c o m i n gf r o ms e c o n dh a r m o n i cw a v e si sd i s c u s s e d t h en o n t r i v i a ls o l u t i o n so ft h e c o u p l e dd i f f e r e n t i a ls y s t e ma r cp r o v e db yv a r i a t i o n a lm e t h o d s t h en u m e r c i a l s i m u l a t i o nh a sb e e nc a r r i e do u t ，a n dt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h i sm e t h o d h a sb e e ni m p r o v e ds i g n i f i c a n t l yc o m p a r i n gw i t ht h et r a d i t i o n a lo n ei nn o n l i n e a r o p t i c s s e c o n d l y ，as e c o n do r d e rs y s t e mo f s e m i t i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，w h i c hc o m e sf r o ma m a t h e m a t i c sm o d e lo ft h ee l e c t r i cp o t 钮t i a ld i s t r i b u t i o no fam e d i as u r r o u n d e dw i t h t h ep r o t e i n i st r a n s f o r m e di n t oav a r i a t i o n a lp r o b l e m ，t h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o no f i ti s p r o v e db yu s i n gv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n dt m d m g e r - - m o s e ri n e q u a l i t y , a n dt h e r e l a t i o nb e t w e e nt h es o l u t i o n so fv a r i a t i o n a lp r o b l e ma n dt h es o l u t i o n so fi t sd u a l p r o b l e mi so b t a i n e d k e y w o r d s ：c r i t i c a lp o i n tt h e o r yn o n l i n e a re l l i p t i cd i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c e e q u a t i o n e x i s t e n c e o fs o l u t i o n m u l t i p l y r e s u l t sb i f u r c a t i o n t r u d i n g e r - 一- m o s e ri n e q u a l i t ya p p l i c a t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得 西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并 表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任 本人签名，童国杰日期。堕奎盟兰皇旦 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件。允许查阅和借阅论文；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名t 导师签名t 多巫 到三塑 日期，堕! 宣竺! 日期 伽 第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题的引入 1 6 8 7 年，n e w t o n 在巨著自然哲学的数学原理研究在轴向以常速度运动 雨使运动阻力最小的旋转曲面必须具有的形状时，提出了历史上第一个变分问题 随后，b e r n o u l l i 于1 6 9 6 年在教师学报上提出了著名的最速降线问题而常被 人认为是变分法的发明者到了1 8 世纪，e u l e r , l a g r a n g e 等人的工作，逐渐形成 了一个解决数学、物理、科技、工程问题的数学分支一变分法 变分法有着极为丰富的源泉由于自然界所研究的一切物质运动规律都遵从 “变分原理”，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程是它的e u l e r 方程，因 此，求这些e u l e r 方程的解便化归为求对应泛函的临界点 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点( 一类特殊的临界点) 通过研究泛函的极值点求解微分方程，可以上溯到十九世纪末p o i n e a r e ( 1 8 8 7 ) 及 h i l b e r t ( 1 8 9 8 ) 等人的工作由这些工作所产生的极小化序列方法，连同意大利数 学家t o n e l l i 引进的泛函下半连续性的概念，延续到今天，仍是研究泛函极值问 题的主要手段 符合“变分原理”( 或称为具有变分结构) 的微分方程满足一定条件的解是 其对应泛函的临界点，但未必是极值点，如何讨论这种临界点的存在性及其个 数? 1 9 7 3 年，a m b r o s e t t i 与r a b i n o w i t z 在文 1 中给出了著名的山路引理 ( m o u n t a i np a s sl e m m a ) 并成功地处理了有界域上次临界增长的超线性椭圆型 方程的解及多解问题1 9 7 8 年，r a b i n o w i t z 将山路引理推广到环绕形式，给出了 著名的环绕定理( 参见 2 ，3 ) ，之后，b e n c i 与r a b i n o w i t z 4 ，张恭庆 5 ，6 ，7 ，8 ， 田刚 9 ，倪维明 1 0 ，李工宝与周焕松【1 1 ，1 2 ，周焕松 1 3 ，1 4 ，陈志辉和沈尧 天 1 5 。k r y s z e w s k i 与s z u l k i n 1 6 ，李工宝与s z u l k i n 1 7 等许多学者讨论了山路 引理和环绕定理的各种变化形式。山路引理及各静山路引理的建立，特别是在非 线性微分方程各种问题的应用中取得了许多很有意义的新结果，吸引了不少数学 家从事非线性微分方程变分法的研究，从而使非线性微分方程变分法及其应用的 研究在近4 0 多年中取得了重要的进展 对于临界增长或无界域上的非线性椭圆问题，由于它们大量出现在几何、物 理等问题中，一直受到人们的重视1 9 8 3 年，b r e z i s 和n i r e n b e r g 在文 1 8 中利 用无p s 条件山路引理讨论了有界域上临界增长半线性椭圆型方程正解的存在 性8 0 年代中期，法国的l i o n s 在文 1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 中提出了著名的集中紧性原 理，并应用此原理处理了无界域上次临界增长半线性椭圆型方程非平凡解的存在 性，随后，1 9 8 8 年，朱熹平在文 2 3 中应用此原理证明了有界域上临界增长拟 线性椭圆型方程存在正解从此，无p & 条件山路引理与集中紧性原理成了处理 临界增长或无界域上的非线性椭圆问题的有力工具近年来，国内外许多学者在 这方面做了大量的工作，取得了丰富的成果。 一2西安电子科技大学博士论文：变分法及其在非线性微分差分方程( 组) 中的应用 与单个非线性椭圆型方程相比，具有变分形式的非线性椭圆型方程组因其带 有耦合项而显得更为困难d ef i g u e i r e d o 与m i t i d i e r 在文 2 4 中研究了有界域上 一类半线性散度形椭圆型方程组非平凡解的存在性2 0 0 2 年，b o c c a r d o 与d e f i g u e i r e d o 在文 2 5 中研究了有界域上一类拟线性椭圆型方程组分别在类次线 性、类超线性、共振情形下存在解及非平凡解对于临界增长或无界域上非线性 椭圆型方程组问题，a l v e s ，m o m i sf i l h o ，s o u t o 在文 2 s 中讨论了有界域上一类含 临界s o b o l e v 指标半线性椭圆型方程组非平凡解的存在性，v e l i n 在文 2 7 中则 讨论了有界域上一类含临界s o b o l e v 指标拟线性椭圆型方程组非平凡解的存在性， d j e l l i t ，t a s 在文 2 8 中讨论了全空间上一类拟线性椭圆型方程组在超线性情形下 存在非平凡解 由于物理中连续介质的平衡问题( 见文 2 9 ) 需要利用一类变分退化椭圆型 方程来描述，c a l d i r o l i 与m u s i n a 在文 3 0 ，3 1 中建立了一种加权s o b o l e v 空间的 嵌入定理并借此利用变分法证明了这类变分退化椭圆型方程解的存在性随后， z o g r a p h o p o u l o s 在 3 2 中将其推广到方程组的情形 在微分几何中。两个r i e m a m n 度量逐点保形问题可化为二维空间上的一类非 线性椭圆问题( 见文 7 ) 因此，二维空间上的非线性椭圆问题得到了极大的关 注a d i m u r t h i 与y a d a v i 3 3 ，d ef i g u e i r e d o ，m i y a g a k i 与r u f 3 4 ，沈尧天，姚仰新与 陈志辉 3 5 讨论了r 2 中非线性椭圆型方程在次临界和临界情形下解及多重解的 一系列结果特别是，最近，d ef i u e r i r e d o ，d o0 与r 时在文 3 6 中利用环绕定理 和g a k e r i n 逼近方法研究了胄：中一类耦合半线性椭圆型方程组非平凡解的存在 性 近年来，非线性差分方程已广泛应用予研究计算机科学、经济学、神经网络、 生态学及控制论等学科出现的离散模型关于差分方程定性性质的研究成果已出 现于大量的文献中( 参见 3 7 ，3 8 ，3 9 ) 这些研究涵盖了差分方程的许多分支， 如稳定性、吸引性、振动性与边值问题等但关于差分方程周期解的研究相对较 少，其主要原因是缺少必要的技巧与方法2 0 0 3 年，郭志明与庾建设在文 4 0 中 应用临界点理论发展了一种新的方法。研究了一类二阶超线性差分方程周期解与 次调和解的存在性2 0 0 4 年，a g m v a l ，p e r e r a 与o r e g a n 在文 4 1 中利用变分法 讨论了一类二阶奇性与非奇性差分方程多重正解的存在性 正如我们所述，近四十年来，非线性微分差分方程( 组) 的变分方法取得了重 要的进展特别是，近二十年，现代非线性分析中的临界点理论的迅速发展，为研 究非线性微分差分方程( 组) 提供了强有力的工具，另一方面，现代科学技术出现 的大量现象都可化归为非线性微分差分方程( 组) 来研究和讨论因此，时至今日， 非线性微分差分方程( 组) 的变分法仍是一个非常活跃和重要的研究方向 1 2 极小极大原理 微分差分方程( 组) 中的变分法是把微分方程( 组) 和差分方程( 组) 问题 化归为其对应泛函的临界点( 即化为变分问题) 以证明其解的存在性及解的个数 讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是i o r s e 理论与极小极大理 论( m i n i m a xt h e o r y ) 关于m o r s e 理论方面的工作可参阅著名数学家m i l n o r 4 2 、 b o t t 4 3 与张恭庆教授的专著 7 ，8 第一章绪论 极小极大原理是寻求泛函i | 盎界点和确定泛函临界值非常有效的方法它的理 论基础是形变引理，即若函数在两个不同水平集之间没有临界点，那么在一定条 件下，其中一个水平集便可以形变收缩到另一个去由形变引理不难得出临界点 存在的极小极大原理 设石为一个b a n a c h 空间，j c 1 ( 工，r 1 ) ，称j 在x 上满足p 矗条件”，如果 对于任意的 x 。) cz ，若l ( x 。) 有界且，。( x 。) 一o ( m 斗m ) ，则 r ， 存在收敛的子 列 极小极大原理【7 1 设x 为一个b a n a c h 空间，a 是z 的子集族，e c l ( x ，r 1 ) 令 c2 i p n 。f m a x i ( x ) 如果( 1 ) c 是一个有穷数； ( 2 ) 存在占 0 ，使得对任何连续映射刁：x - 9 x 满足叩i l 一。= i d i 。，以及任 何f a ，都有r ( f ) a ； ( 3 ) i 满足p 5 条件 则c 为，的临界值 极小极大原理并没有给出极小极大值的具体构造方法，而只是提供一种构造 极小极大值的基本原则，这种原则主要体现在子集族a 的选择之中，它要求子集 族a 关于形变映射玎是不变的在应用到具体的泛函时，往往涉及到在相应映射 族下不变集族的构造1 9 7 3 年，a m b r o s e t t i 与r a b i n o w i t z 在文 i 中给出了一个 具体形式的极小极大原理，即著名的山路引理( m o u n t a i n p a s s l e m i n a ) 山路引理1 1 设石为一个b a n a c h 空间，i c 1 ( x ，r 1 ) 且在z 上满足p g 条 件，( 0 ) = 0 ，若 ( i ) 存在p o 使得j l a b ，c o ) 口 0 ； ( i i ) 存在e x b p ( 0 ) 使得j ( e ) 0 令r 是z 中联接0 与e 的道路的集合，即 f = g c ( 【o ，1 】，x ) l g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = e ) ， 则，至少存在一个临界值c 口，且 。2 瓣，嚣描，m ) _ 山路引理形象地说明，从盒地中心出发到盆地外部，必有一条道路从周围山脉的 最低点越过，这个最低点就是一个临界点尽管山路引理证明是简单的，但这引 一4西安电子科技大学博士论文：变分法及其在非线性微分差分方程( 组) 中的应用 理非常有用，在有界区域上的超线性椭圆边值问题( 4 4 ) 、超线性波方程周期 解问题( 4 5 ) 以及h a m i l t o n 组的周期轨道问题( 4 6 ，4 7 ) 的研究中，起了很大 的作用，取得了很有意义的新结果1 9 7 8 年，b e n e i 与r a b i n o w i t z 利用拓扑学中的 环绕( l i n k i n g ) 概念来构造极小极大原理中相应映射族下不变集族 设x 为一个b a n a c h 空间，q c x 是其中的一个有边的闭b a n a c h 流形，具 有边界o q 又设s 是z 中的一个闭子集 称a q 与s 是环绕的，是指 ( 1 ) a q n s = 0 ； ( 2 ) 对任意连续映射：q 叶j 满足i 阳= i d l 阳，都有( q ) n s a 环绕定理设x 为一个b a n a c h 空间，q c x 是其中的一个有边的闭 b a n a c h 流形，具有边界a q 又设s 是j 中的一个闭子集，a q 与s 是环绕的，再 设1 c ( z ，r 1 ) 满足 ( 1 ) s u p l ( x ) 盯，使得 s 。；u m p ，( x ) a ， i 。a s f ，( x ) 卢； j e a 口 ( 3 ) ，在厂1 【口，+ ) 上满足p s 条件； 则，必有一个临界值c 在应用山路引理和环绕定理时，泛函，满足，j 条件( 紧性条件) 是很关键 的，但对于有些问题：如强共振问题，其对应泛函并不满足p o 条件为减弱p j 条件，c e r a m i 4 8 ，b a r t o l o ，b e n c i ，f o r t u n a t o 4 9 提出下列条件： ( c ) 称泛函满足( c ) 条件，是指： ( 1 ) 教一黜解卜沛强收敛矾 ( 2 ) 存在常数c ，r o 使得扩( 力黔1 1 - c ，当l l x l i r 另外，b r e z i s ，c o r o n 与n i r e n b e r g 5 0 ，s t r u w e 5 1 ，张恭庆 6 ，7 也有推广，s 条件 的考虑2 0 0 0 年，r i c c e r i 在文【5 2 】中提出了一个不需要验证，占条件( 紧性条件) 的新的极小极大原理，即如下三临界点定理 三临界点定理m 1 设x 为一可分的自反实b a n a c h 空间( 范数) ，西：x r 第一章绪论 是一连续g a t e a u x 可微且序列弱下半连续的泛函，其g a t e a u x 导算子0 1 在f ( z 的对偶空间) 上有连续可逆算子，t p ：x - - y r 为一连续g a t e a u x 可微泛函，且 g a t e a u x 导算子是全连续的如果 i ) 对于a 0 ，脚( o ( “) + 舢( “) ) = 佃； i i ) 存在d e r ，l o ，j 满足中( ) o ，使得对于a e a ，方程 西。( “) + 五甲。( “) = 0 至少存在三个解且其在j 中的范数小于p b o n a r m o 5 3 ，5 4 ，b o n a n n o 与l i v r e a 5 5 将三临界点定理应用于两点边值问题， 常微分方程问题，半线性和拟线性椭圆边值问题，得到了解的多重性的结论 极小极大原理、山路引理、环绕定理及三临界点定理是临界点理论的熏要内 容，也是本文研究非线性微分差分方程( 组) 的主要工具 1 3 非线性变分椭圆型方程组 近几十年来，在生物学、生态学、燃烧理论、人口动态学等方面出现的大量 问题能够利用非线性椭圆型方程组来描述，因而引起许多数学工作者的极大兴趣 ( 见文 5 6 ，5 7 ) 例如在生物学中，为了研究器官形成中的活化因素和抑制因素， 人们研究了有界域上如下半线性椭圆方程组 f a u = f ( x ，“) + 西 j一v ：。一。， 【 “= o ，v = o ， i l lq i nq ， o na q 其中q cr ”( 3 ) 是有界区域，占是实参数 由于非线性椭圆型方程组的复杂性和多样性，使得这类问题研究的难度较 大2 0 0 2 年，b o c c a r d o 与d ef i g u e i r e d o 在文 2 5 中研究了一类拟线性变分椭圆型 方程组 假设 ( p ) 一，“= 一d f v l v u l 9 2 v u ) = f a x ，”，v ) ， 一。v = 一a , v 1 w 1 4 v v ) = l ( x ，“，v ) ， “= 0 ，v = 0 ， i nq i nq o n 一6 西安电子科技大学博士论文：变分法及其在非线性微分差分方程( 组) 中的应用 ( ，1 ) f c 1 且满足 限( 圳，) 1 - c o + i 。p - i l - i 叫枷) ，k ( 圳，v ) l c ( i + i ，r 1 + 彬盯叫) ， 这里c 为正常数，p = ；兰，g 一_ 而n q ： ( ，2 ) f ( x ，0 ，o ) = f a x ，0 ，o ) = e ( 石，0 ，o ) ，v xe 西； ( ，3 ) f ( x ，“，v ) c ( 1 + l u 7 + l v l 。) ，这里c 为正常数，r p ，s q ； 利用极小化方法 5 6 ，山路引理 1 及变形山路引理 4 9 讨论了条件( f 3 ) 在下列 三种不同情形下 ( i ) ， p ，s q ( 类次线性) ； ( i i ) p r p ，q s q ( 类超线性) ； ( i ) ，= p , s = 盯( 共振型) 问题( d 解及非平凡解的存在性，大大综合、统一和推广了f e l m e r , m a n a s e v i c h 与d et h e l i n 5 8 ，c o s t a 与m a g a l h a e s 5 9 ，6 0 ，b o c c a r d o ，f l e c k i n g e r , 与d et h e l i n 6 1 】 中的结果对于含参数的非线性变分椭圆型方程组，解的存在性及分支结果是一 个内容十分丰富的领域2 0 0 3 年，d r a b e k , s t a v r a k a k i s 与z o g r a p h o p o u l o s 在文 6 2 中讨论了如下含参数的方程组 ( p ) 。 一2 砌( 州“+ 肋( 刮“n i o + l u4 。丽4 x ) 一产椰坩v 圳刮“i “i v h + 万篇 u = 0 ，v = 0 ， 其中q c r ”( 3 ) 为一光滑有界区域假设 ( 日) 1 p n , 1 g ，a o ，声o 且满足旦丛+ 曼旦：1 ，o ，6 o 且满 p鼋 足j p y + 1 ，g o ； ( y 3 ) 6 ( 砷为一不恒等于0 的非负光滑函数，6 ( x ) p ( 固n r ( 固，其中 旷万百髫丽； ( y 4 ) ( x ) 为一变号的光滑函数，( 功p ( 卿n r ( 哟，其中 旷万百髫丽丽； 此外，4 x ) 还- 满足如下重要条件 其中( “。，v 。) 是特征值问题 弘娜，i ”1 ”“d x 五，使得对于任意a ( ，z ) ， 问题( p ) 。存在两个非负非平凡解 定理1 3 2 t 6 2 1 假设上述条件成立，则当a = 时，问题( p ) 。存在一个非负非 平凡解 定理1 3 1 与定理1 3 2 改进和推广了d r a b e k 与h u a n g 6 3 ，s t a v r a k a k i s 与 z o g r a p h o p o u l o s 6 4 的结论在有界区域上研究非线性变分椭圆型方程组问题， 当非线性项满足次临界增长时，s o b o l e v 嵌入的紧性使得能证明对应的泛函满足 p s 条件( 紧性条件) 如果在全空间上讨论非线性变分椭圆型方程组，对应的 s o b o l e v 嵌入失去紧性而使问题的讨论变得更加复杂和困难对于某些问题，可 一8 西安电子科技大学博士论文：变分法及其在非线性微分差分方程( 组) 中的应用 以通过适当缩小所考虑的空间，如选取由球对称函数所组成的s o b o l e v 空间，使 相应的s o b o l e v 嵌入重新获得紧性，如s t r a u s s 6 5 ，b e r e s t i c k y 与l i o n s 6 6 ，但这种 方法可行的前提是所考虑的问题具有某种对称性1 9 9 4 年，c o s t a 6 7 在研究了一 类全空间上半线性椭圆型方程组问题 f 一“+ a ( x ) u = e ( x ，”，v ) ， l a v + 6 (