（应用数学专业论文）区间值模糊集的贴近度及其应用.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第t 页 毫曼曼曼鼍曼曼量曼曼曼毫曼皇曼曼曼量曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼量曼曼曼曼曼鼍曼鼍曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼量曼鼍i oi noi mom m 鼍曼曼曼舅舅曼曼曼葛 摘要 自1 9 6 5 年美国c a l i f o r n i a 大学l a z a d e h 提出模糊集论以来，经过几十年的发展， 模糊集理论及其应用研究取得了长足的进步。 由于客观世界的复杂性，以及人们认识世界的能力不足和测量工具的误差，人们 经常会碰到信息不完备和不确定的情形，这时我们所得到的表征事物行为特征的数据 往往是一些范围或是一些区间数。针对这种情况人们建立了区间值模糊集，它是z a d e h 模糊集的一种推广形式。目前，国内外一些学者对区间值模糊集的基础理论作了较深 入的研究，并取得了一定的研究成果。在应用上，该模糊集也渗透到决策分析、模式 识别、智能信息处理等领域。 本文主要研究区间值模糊集的贴近度及其应用的问题。首先介绍了区间值和区间 值模糊集的定义及其基本性质；其次根据区间值模糊集的贴近度的两种定义给出了几 种常用的贴近度公式；然后考虑到各属性权重对评判的结果的重大影响，文中总结和 归纳了属性值为区间值的属性权重的常用求法，并给出了几种新的求权重的方法；最 后介绍了区间值模糊集的贴近度在模式识别及综合评判中的应用，并分别以实例进行 说明。这样使得区间值模糊集的有关基本理论及其应用更完善。 关键词：区间值模糊集；贴近度；权重；模式识别；综合评判 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t s i n c e19 6 5 p r o f e s s o rl a z a d e hp u tf o r w a r df u z z yt h e o r y , t h ef u z z yt h e o r ya sw e l la s i t sa p p l i c a t i o nh a su n d e r g o n es u b s t a n t i a ld e v e l o p m e n t b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo ft h eo b j e c t i v ew o r l d t h es h o r t a g eo fa b i l i t yi np e o p l e s c o g n i t i o n s ，a n dp o t e n t i a le r r o rm a r g i n so fm e a s u r et h et o o l s ，p e o p l eu s u a l l yr u ni n t ot h e i n c o m p l e t ea n du n c e r t a i ni n f o r m a t i o n ，t h e nw eg e tt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fb e h a v i o u r a l c h a r a c t e r i s t i c so ft h i n g sa n do f t e ni ti sas c o p eo ri n t e r v a ln u m b e r i nv i e w o ft h i ss i t u a t i o n , p e o p l eb u i l ti n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t s ，i ti sa ne x t e n s i o no fz a d e h sf u z z ys e t s r e c e n t l y ， m a n yr e s e a r c h e r sh a v ed i s c u s s e dt h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo ft h ei n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s a n dh a v eo b t a i n e dl o t so fm e a n i n g f u lr e s u l t s i na p p l i c a t i o n ，i n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t sh a v e b e e na p p l i e dt ol o t so ff i e l d ss u c ha s ：d e c i s i o n m a k i n ga n a l y s i s ，p a t t e r nr e c o g n i t i o n ，h a n d l i n g i n t e l l i g e n c ei n f o r m a t i o na n ds oo n i nt h i sp a p e r , w ew i l ls t u d yt h es i m i l a r i t ym e a s u r eo fi n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t sa n di t s a p p l i c a t i o np r o b l e m f i r s tw er e v i e wt h ed e f i n i t i o na n db a s i cp r o p e r t i e so fi n t e r v a l - v a l u e d a n di n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t s s e c o n da c c o r d i n gt ot w od e f i n i t i o no ft h es i m i l a r i t ym e a s u r e o ft h ei n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t sa n dg i v es e v e r a lk i n d so fc o m m o ns i m i l a r i t ym e a s u r e a n d t h e nc o n s i d e r i n gt h ew e i g h t so fa t t r i b u t e sh a v et h eg r e a ti n f l u e n c et ot h er e s u l t so f e v a l u a t i o ni nt h ei n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s ，t h i sp a p e rs u m m a r i z e dt h ec o m m o nt y p e so f m e t h o d sf o rw e i g h ta n dg i v e ss e v e r a lk i n d so fn e wm e t h o d sf o rw e i g h t ，f i n a li n t r o d u c e d s i m i l a r i t ym e a s u r eh a sb e e na p p l i e dt ol o t so ft h ep a t t e r nr e c o g n i t i o na n dc o m p r e h e n s i v e e v a l u a t i o n ，a n dw i t hp r a c t i c a le x a m p l e s t h i sm a k e st h eb a s i ct h e o r ya n da p p l i c a t i o no ft h e i n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t sm o r ep e r f e c t k e yw o r d s ：i n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t s ；s i m i l a r i t ym e a s u r e ；w e i g h t ；p a t t e r nr e c o g n i t i o n ； c o m p r e h e n s i v ee v a l u a t i o n 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密留，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“扩) 学位论文作者签名：教冶茨 日期：c 驴痧6 2 庐 1 阑 够 力 p r 、_ 肛 名 夕 签 乳 稳 期 i y 1 】 剃 日 导指 西南交通大学硕士学位论文主要工作( 贡献) 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下： ( 1 ) 根据区间值模糊集的贴近度的两种定义形式给出相应的几种常用的贴近度公 式。 ( 2 ) 归纳和总结了属性值为区间值的属性权重的常用求法，并给出了几种新的求 权重的方法。 ( 3 ) 介绍区间值模糊集的贴近度在模式识别及综合评判中的应用。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明。 本人完全了解违反上述声明所引起的一切法律责任将由本人承担。 学位论文作者签名：款店碴 日期：咖加莎2 锣 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1研究背景和现状 1 1 1 研究背景 1 9 6 5 年，美国加利福尼亚大学著名控制论专家扎德( l a z a d e h ) 发表了一 篇论文模糊集合川，它标志着模糊数学的诞生。从此以后模糊数学的研 究获得了迅速的发展。到目前已成为现代数学的一个具有广泛应用的学科领 域。随着模糊集的理论的发展，人们把它与经典数学的各个分支相结合起来， 从而产生了诸如模糊测度与积分、模糊代数学、模糊群【2 】等新的数学分支。 模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、 模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物 学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究 成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新 一代计算机的研制有密切的联系。 但是由于在许多领域中，尤其是在决策、评价过程中，人们很难确定一个 对象的点值隶属度，此时由于信息的不完全，我们得到的表征事物行为特征的 数据往往不是一些确切的数，而是一些范围或者一些区间数。所以人们对所需 要的决策属性往往采用区间值来表示，在这种情况下，1 9 7 5 年由g o r z a f c z a n y 【3 】 和t u r k s e n 【4 】首先提出了区间值模糊集理论，它是普通模糊集的推广，应用这 一理论判断、推理所产生的结果能更好的符合实际情况。因此，引起了各国学 者的广泛兴趣，经过他们的共同努力。现在不但相应于普通模糊集的许多相关 基础性质及理论在区间值模糊集中得到了广泛的研究，并取得一定成果：如区 间值模糊集的概念、基本运算、分解定理及表现定理等的提出。而且在应用方 面：基于区间值模糊集的模糊聚类5 1 【6 1 、模糊综合评价7 】【8 1 、决策分析9 1 、模 糊推理【l0 】等方法被广泛地应用于智能信息、经济管理、环境科学、医学、文体 等各个领域】，并取得了较好的效果。同时，该理论还在医学、化学、材料学、 地理学、管理科学和金融学等其他学科得到了成功地应用。本文将主要对区间 值模糊集的有关贴近度的基本理论和应用作进一步的研究，具体来说：就是根 据区间值模糊集的贴近度的两种定义【1 2 】【1 3 】形式给出相应的几种常见的贴近度 公式；然后建立用贴近度进行模式识别和综合评判的模型并用于实例。 1 1 2研究现状 自19 8 3 年b g o r z a f c z a n y 从实际问题出发，提出了区间值模糊集( 简称 i v r s ) 以来。并把它运用于近似推理、信息传输及控制器等领域3 5 1 6 3 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 b t u r k s e n 研究了n o r m a lf o r m 上的区间值模糊集，并用在生产规划及近似推 理问题7 1 。二十多年来，这一理论获得了异常迅速的发展，现在对于区间值 模糊集不但在理论系统日趋完善，而且在应用上也成功地应用到多个领域。 ( 1 ) 在区间值模糊集的理论发展方面 自从区间值模糊集的定义提出后，与普通模糊集的许多相关基础性质及理 论在区间值模糊集中也得到了广泛的研究。王贵君( w a n g g ) 等提出了区间值 模糊数【1 8 】【”】的定义，并且定义了区间值模糊数间的加、减、乘、除等运算， 并对定义的运算的合理性进行了讨论；类似于模糊集的并、交、补运算及其运 算性质在区间值模糊集中都有相应的形式；类似于模糊集力一截集概念，孟广 武教授在文献 2 0 中引进了区间值l f u z z y 及它的l 矗，以卜截集，后来发现 了这种截集定义的缺陷，在文献 2 1 的又重新定义区间值模糊集的i 丑，乃卜 截集，并详细地讨论了它的基本性质，为建立区间值模糊集的基本理论打下了 基础。分解定理、表现定理、扩张定理等内容在区间值模糊集中都得到了相应 推广，如曾文艺、李洪兴等给出了区间值模糊集合的分解定理2 2 区间值模 糊集合的表现定理2 3 3 2 4 3 和区间值模糊集的扩展定理2 钉。更进一步，本文将 在已有的区间值模糊集的贴近度的定义的基础上，进一步补充和完善该贴近度 理论。 ( 2 ) 在区间值模糊集的应用发展方面 在区间值模糊集的模式识别方面，张兴芳、齐玉霞在文献 2 6 给出了区 间值模糊集的隶属原则；在区间值模糊集的模糊聚类方面，张兴芳与孟广武给 出了区间值模糊集的聚类分析5 3 6 3 在区间值模糊集的模糊决策方面王洪英、 曾文艺等人给出了一级、二级区间值模糊的综合评判模型哺引并用于试卷的 评分等方面；在区间值模糊集的模糊控制方面吴望明提出了区间值模糊推理 1 0 。到目前为止，区间值模糊集在许多领域都得较好的应用1 1 。本文主要介 绍区间值模糊集的贴近度在模式识别及综合评判中的应用。 ( 3 ) 在区间值模糊集与其它理论相结合方面 在国内外的有关对区间值模糊集的研究除了对其自身的基本理论及相关 应用研究外，他们还把区间值模糊集与其它理论结合起来进行研究。例如：秦 孝艳把区间值模糊集引入矩阵中给出了区间值f u z z y 矩阵的定义和基本定理 眩 2 8 3 ；还有人们把区间值模糊集和粗糙集、概率论等结合起来形成相关的区 间值模糊粗糙集理论2 9 3 3 0 3 和区间值模糊概率理论基础。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 2 本文研究的目标和内容 本文在有关区间值模糊集的基本理论基础上，进一步完善区间值模糊集的 贴近度理论，并利用贴近度进行模式识别和综合评判。具体研究内容包括如下 两个方面： ( 1 ) 贴近度的基本理论研究 依据区间值模糊集的贴近度的两种定义，给出了相应定义下的几种常用的 贴近度公式。 ( 2 ) 贴近度的应用研究 本文对区间值模糊集的贴近度的应用研究主要从两方面入手：一方面是利 用区间值模糊集的贴近度进行模糊模式识别；另一方面利用区间值模糊集的贴 近度进行综合评判。 另外，由于各属性( 因素) 的权重对评判的最终结果起到了举足轻重的作 用，因而在文中归纳和总结了属性值为区间值的属性权重的常用求法，并给出 几种求权重的新方法。 对于以上内容本文各章节的组织结构如下： 第l 章为绪论，主要介绍本文的研究背景、国内外研究现状以及本文的研 究内容和组织结构等。 第2 章为本文的基础内容，主要研究区间值模糊集的贴近度的有关理论， 以便为下一章的贴近度的应用做准备。具体来说：首先在已有研究成果的基础 上对相关知识内容进行了拓展，即根据已有的区间值模糊集的贴近度的两种定 义给出相应的几种常用的贴近度公式； 第3 章为本文的重点内容，介绍区间值模糊集的贴近度在模式识别和综合 评判中的应用。由于各属性的权重对决策的最终结果起到非常重要的作用，所 以在本章的开头，先介绍了属性值为区间值的属性权重的常用求法，并给出了 几种新的求权重的方法。 最后，对全文进行总结，并对进一步工作进行展望。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 曼i i_ i i 一一；i 皇曼皇曼皇曼鼍曼皇量 2 1 预备知识 第2 章区间值模糊集的贴近度 本节主要介绍区间值和区间值模糊集的概念及其基本性质，为后面的有关 研究做准备。 2 1 1 区i 司值的足义及冥基本性质 把单位闭区间【o ，1 】记为i 。称i 上的闭区间口= 口一，口+ ( o 口一口+ 1 ) 为区间 值，并且记i 上的全体闭区间为【i 】i 。 把i 上的一些逻辑运算，按照扩展原理，可以扩展到 i 上，从而可以得到 区间值的有关运算。 定义2 1 【2 1 】对口，j ，f t ，规定 了，= s u p a t ：f 丁) ；鲈r = i n f 口r ：f 丁) 。 定义2 2 心1 对于la , - ，口，i 【，】，te 丁规定 善h 小l 乒，y 0 d “ 2 l 铲_ ，j 口_ ，口玎= e l - a ：，1 一口小 我们知道对于任意的两个确定的实数，我们只仅仅需要用大于，小于和 等于就可以把它们进行排序；但是对于任意的两个区间值，它们的之间的主要 关系就成了包含，相交或不相交等，那么如何把他们进行排序? 国内外许多学 者进行了大量的研究，从而取得了多种排序方法：3 13 眦3 等，本文采用下列排序 方法： 定义2 3 噶3 设口- e 口一，口+ ，b = e b - , b + ，且口，b 【，】，则： ( 1 ) 口大于等于b 记为口b 当且仅当口一b 一，口+ b + ； ( 2 ) 口等于b 记为口= b 当且仅当a 一= b 一，n + = b + ： ( 3 ) 口大于b 记为口 b 当且仅当a b ，口b ； ( 4 ) 口拟大于b 记为口 - b 当且仅当b 一 0 是实数， 定义 m 郇) = 卜怯靴飞) 廿槲+ m 小州圳p 肛 那么l 肘( a ，b ) 是区间值模糊集彳与b 的贴近度，称为区间值模糊集的明可夫斯 基( m i n k o w s k i ) 贴近度。 证明：( 1 ) 若a ( x i ) = 0 , 0 】，则a c ( 蕾) = 【1 1 】( i = l ，, - - - , ，1 ) ， 于是 l 村( 么，么。) = ，一 三【喜( f 。一厂十i 。一l p ) ) i = 1 一l = 0 ， 同理可得：若彳( t ) - 1 ，1 】，则a c ( ) = o ，0 ( i = 1 ，2 ，甩) ，那么1 m ( a , a 。) - o ； ( 2 ) 若a = b ，贝0 彳一( x ；) = b x i ) a + ( x ；) = b + ( z i ) ( i = 1 ，2 ，n ) ， 那么 州伽) 小怯靴飞) 。( 圳，w i ( 小州t ) 唧 = 1 0 = 1 ： ( 3 ) n 。m ( a ，b ) = n i 肘( b ，4 ) 显然成立； ( 4 ) a b c a 一( 五) b 一( 鼍) sc 一( 蕾) ，a + ( 五) b + ( 薯) c + ( 誓) ( i = l ，2 ，z ) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 于是 i 彳+ ( 誓) 一c + ( ) i p - i a + ( 薯) 一b + ( 五) i p 和i 彳一( 五) 一c 一( ) i p - i a 一( j c f ) 一b 一( 薯) r ， 那么 喜( 誓) f ( t ) 卜i 彳+ ( 薯) ( j c f i p ) 割彳一( ) 坷( 玉) | p + i 彳+ ( 五) ( 薯i p ) ， 所以 叫邸) - 1 - 怯势飞) - c - ( 五) 忡飞) _ c + ( 五) 哪 外怯知飞) 廿( 薯i p 删i ( 小州圳p ) p = m 吖( a ，b ) ， 同理可得l 村( a ，c ) l 吖( b ，c ) 。 因此可知l 肼( 么，b ) 是区间值模糊集a 与b 的贴近度。 当定理2 2 中的p 取1 时，可以得到文献 1 2 中的一种贴近度公式： 如果a ，be w ( x ) ，当x = 毛，x 2 ，x n ) 为有限集时，定义 l 胃( 彳，占) 斗去善( 而) 廿( 薯) m i ( 誓) ( 班 那z , l h ( a ，b ) 是区间值模糊集a 与b 的贴近度，称为区间值模糊集的海明 ( h a m m i n g ) 贴近度。 当定理2 2 中的p 取2 时，我们也可以得到下列结论： 推论2 2 1 如果a ，b e 伊( x ) ，当x = 葺，而，毛) 为有限集时，定义 叫伽) 小怯沙飞) 廿( j c f ) m i 飞) 坷( 誓) 听， 那么n i ( a ，b ) 是区间值模糊集a 与b 的贴近度，称为区间值模糊集的欧几里德 ( e u c l i d ) 贴近度。 在定理2 2 中，我们得到了离散型区间值模糊集的明可夫斯基贴近度公式， 下面我们把明可夫斯基贴近度引入到连续的闭区间上，从而可以得到相应的连 续型区间值模糊集的明可夫斯基贴近度公式： 定理2 3 设论域x 为闭区间 口，b 】，当么，b 伊( 以，6 】) ，x e 口，b 】，p 0 是 实数，假定彳一( z ) ，彳+ ( z ) ，b 一( x ) 与b + ( 工) 在区间 口，b 内为连续函数。定义 伽) 小 赤胪巧l p + ) 忡 - ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 那z , 州( 4 ，b ) 是区间值模糊集a 与b 的贴近度，称为区间值模糊集的明可夫斯 基( m i n k o w s k i ) 贴近度。 证明：( 1 ) 若彳( x ) - - o ，0 】，则a 。( x ) = 【1 ，1 】， 于是 嘶叫小 赤”卜l o - 圹) 出) j 同理可得：若4 ( x ) = 【1 ，1 】，则a c ( x ) - 1 0 ，0 】，那么：”( 么，4 。) = o ； ( 2 ) 若a = b ，则么一( x ) = 曰一( x ) ，a + ( x ) = 曰+ ( x ) ， 那么 ( 3 ) ：m ( a ，b ) = f m ( 4 ) a b c a 一( 工) b 一( 工 i ，l 于是 i 彳+ ( x ) - c + ( x ) i p - i a + ( 则 p ( z ) - c 一( 石) l ，+ i a + ( x ) 6 ( p ( x ) 一c 一( x ) l p + a + ( x ) 所以 ( b ，a ) 显然成立； ( x ) i p + i 么+ ( 工) 一4 + ( x ) i p ) 出) i 帆咿一 高 小叫刮p + i a + ( x ) - c 耐 外 南 小州l p + ) l p 时 = 州m ( 彳，b ) ， 同理可得州村( 彳，c ) ：m ( b ，c ) 。 因此可知州肘( 4 ，b ) 是区间值模糊集a 与b 的贴近度。 l一 ， l o 赤， ， r 、 一 卜h 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 当定理2 3 中的p 取1 时，可以得到文献 12 中的另一种贴近度： 设论域x 为闭区1 9 【a , b 】，当彳，b e f ( a ，6 】) ，x 【口，b 】，假定彳一( x ) ，a + ( x ) ， b 一( 工) 与b + ( x ) 在区间【口，b 】内为连续函数。定义 州小捌小南p ( z ) 巧( 州州x ) ( x ) 那么州，( 彳，b ) 是区间值模糊集彳与b 的贴近度，称为区间值模糊集的海明 ( h a m m i n g ) 贴近度。 当定理2 3 中的p 取2 时，可以得到下面的一个推论： 推论2 3 1 设论域x 为闭区间【口，b 】，当么，b e 伊( 口，6 ) ，x 口，b ，假定 a 一( 工) ，a + ( x ) ，b 一( x ) 与b + ( x ) 在区间 盘，b 】内为连续函数。定义 嘲伽) _ 1 - 上2 ( b - a ) 矿州m 小) 彬1 2 ) 出 2 ， 那么州e ( a ，b ) 是区间值模糊集彳与b 的贴近度，称为区间值模糊集的欧几里德 ( e u c l i d ) 贴近度。 定理2 4 如果a ，b e 旷( x ) ，当x - - x , ，恐，吒) 为有限集时，p 0 是实数， 定义 m 小小m a x 那么n 2 材( a ，b ) 是区间值模糊集a 与b 的贴近度。 证明：( 1 ) 若彳( 蕾) - - o ，0 】，则a c ( 薯) = 1 ，1 】( i = 1 ，2 ，1 ) ， 于是 m ma , a c ) 小一 防，防 = l m a x l ，1 ) 同理可得：若彳( 五) - - 1 ，1 】，则a c ( 五) = o ，0 】( i = 1 ，2 ，甩) ，那么2 盯( 么，a 。) = o ； ( 2 ) 若a = b ，则彳一( 薯) = b 一( 薯) ，a + ( 薯) = b + ( x i ) ( i = l ，2 ，聆) ， m 小矧= 一一 = 1 一m a x o ，0 ) = l ： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 ( 3 ) 2 肘( a ，b ) = 2 肘( b ，a ) 显然成立； ( 4 ) 彳b c a 一( t ) b 一( 五) c 一( x t ) ，a + ( 葺) b + ( ) c + ( t )( f = 1 ，2 ，n ) ， 于是 p ( ) 一c + ( t ) i p p ( 誓) 一b + ( 薯) j p 和p ( ) 一c 一( ) 卜卜( 五) 一b 一( 圳p ， = 2 村( a ，b ) ， 同理可得2 ( a ，c ) 2 肘( b ，c ) 。 因此可知2 肼( a ，b ) 是区间值模糊集么与b 的贴近度。 当把定理2 4 中的p 分别取为1 或2 时，可以有下列2 个推论： 推论2 4 1 如果a ，b 伊( x ) ，当x = 五，恐，) 为有限集时，定义 2 日( 爿，b ) = 一m a x 言喜卜4 一( 薯) 一b 一( 誓) l 专喜p + ( 薯) 一矿( 誓) n 那么2 ( a ，b ) 是区间值模糊集4 与b 的贴近度。 推论2 4 2 如果彳，占r r ( x ) ，当彳= 而，j c 2 ，矗) 为有限集时，定义 嘣郇，= t m a x 那么2 ( a ，b ) 是区间值模糊集彳与曰的贴近度。 定理2 5 如果么，b z r ( x ) ，当x = 五，x 2 ，毛) 为有限集时，p 0 是实数， 定义 3 ( a ，b ) = l 一 那么3 盯( 彳，b ) 是区间值模糊集a 与b 的贴近度。 证明：( 1 ) 若彳( 玉) = 【o ，0 】，则a c ( 薯) = 【1 ，i 】( f = 1 ，2 ，z ) ， 于是 3 m ( 彳，彳。= i - = l l x姒一 i ic 4 m 此 m 因 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 曼曼皇皇寰薹皇皇葛鼍鲁m m 曼m 皇曼量曼詈曼曼皇皇曼皇皇璺舅鼍曼皇曼量釜皇皇妄妄篁 = 0 ， 同理可得：若么( 薯) = 【1 ，1 】，则a c ( 蕾) = 【o ，o 】 ( i = 1 ，2 ，以) ，那么3 m ( 么，a 。) = o ； ( 2 ) 若a = b ，则彳一( 玉) = b 一( 誓) ，彳+ ( 五) = b + ( t ) ( i = 1 ，2 ，玎) ， 那么 3 肘( a ，b ) = l - = 1 ： ( 3 ) 3 盯( a ，b ) = 3 肘( b ，彳) 显然成立； ( 4 ) a b 互c 彳一( 薯) b 一( 五) c 一( 五) ，a + ( 蕾) b + ( 薯) c + ( 五) ( f = 1 ，2 ，z ) ， 于是 五) 一c + ( 薯) h 彳+ ( 丐) 一b + ( 五) 降h 五) 一c 一( 五) i p - i a 一( 五) 一b 一( 圳p ， 3 ( a ，c ) = 1 - 1 一 = 3 ( a ，b ) ， 同理可得3 肘( 彳，c ) 鸽肘( b ，c ) 。 因此可知3 m ( a ，b ) 是区间值模糊集a 与b 的贴近度。 当把定理2 5 中的p 分别取为1 或2 时，可以有下列2 个推论： 推论2 5 1 如果彳，曰w ( x ) ，当z = 五，恐，毛) 为有限集时，定义 n 3 - ( 伽) = 1 一音善一薯) 廿( 州么+ ( j c f ) 彬( 珊 那么3 圩( a ，b ) 是区间值模糊集彳与b 的贴近度。 推论2 5 2 如果么，j 6 f w ( x ) ，当x = 而，恐，毛) 为有限集时，定义 3 ( a ，b ) = 1 一 那么3 ( 4 ，b ) 是区间值模糊集么与b 的贴近度。 从上面的区间值模糊集的区间值贴近度定义可以看出： 西南交通大9 - 硕士研究生9 - 位论文 第1 3 页 上述贴近度是把把( x ) x 旷( x ) 映射到闭区间，上，此时贴近度是用一 个准确的数来描述的。当把i f ( x ) 伊( x ) 映射到 ，】上时，可以得到区间值模 糊集的贴近度的另一种形式的定义【1 ”。 定义2 7 33 令a ( a e 庐( x ) ) 的隶属函数为a x ) ，记a x ) = a 一( x ) ，a + ( 工) ， 设有映射n ：i f ( x ) 伊( x ) 一【，】，么，b i f ( x ) ，若满足下列条件： ( 1 ) v x x ，彳( x ) = p ( x ) ，( 工) 三【o ，o 】或【1 ，1 】，则有n a ，a 。) = 【o ，0 】； ( 2 ) 若a = b 则n ( a ，b ) = 1 ，1 】； ( 3 ) n ( a ，b ) = n ( b ，a ) ； ( 4 ) 若a b c ，则n ( a ，c ) n ( a ，b ) an ( b ，c ) ， 则称n ( a ，b 1 为区间值模糊集a 与b 的区间值贴近度。 为了满足应用上的需要，根据上述的贴近度的定义我们可以得到它的几种 常见的区间值贴近度公式。 定理2 6 设a ，b i f 。( x ) ，其中 伊。( x ) = 4 卜历( x ) ，善么( x ) = 1 ，1 】，会彳( x ) = o ，o 】，定义 g ( 彳，b ) = ( 彳。b ) ( 彳o b ) 。， 其中 ( 彳。b ) 2 【_ 品( 彳一( 工) 艚( x ) ) ，善( 彳+ ( x ) 矿( 工) ) j ， ( 彳o b ) 2 l 会( 彳一( x ) v 刀一( 工) ) ，会( 爿+ ( x ) v ( 工) ) j ， 那么g ( a , b ) 是区间值模糊集a - qb 的区间值贴近度，称为区间值模糊集的格 贴近度，其中( a 。b ) 与( 彳ob ) 分别为区间值模糊集a 与b 的内积与外积。 证明：( 1 ) 如果彳= 彳一( x ) ，a + ( x ) - - 0 ，o ，那么a 。- 1 ，1 】， 于是可得 g ( 彳，a 。) - ( a 。a 。) ( 彳。彳。) = 善( 。 1 ) ，品( 。 1 ) 会( 。v 1 ) ，会( 。v 1 ) c - 0 ，o 】 【l ，1 】 - 0 ，0 】， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 同理可得：若么( c ) = 【l ，1 】，则彳。( x ) = o ，0 】( i = 1 ，2 ，z ) ，那么g ( 彳，a 。) = o ，0 】： ( 2 ) 设a ：b ，则有a 一( x ) = b 一( x ) 与a + ( x ) = b + ( x ) ， 计算可得 g ( 爿，b ) = ( 彳。b ) ( 么o b ) 。 2 l 品( 么一( x ) 爿一( x ) ) ，善( 么+ ( x ) 人彳+ ( x ) ) j 人l 会( 彳一( x ) v 彳一( x ) ) ：会( 彳+ ( 工) v 彳+ ( 工) ) j = 1 ，1 1 - o ，1 - 0 】 = 【1 ，1 】， 因此g ( 彳，b ) = 1 ，1 】； ( 3 ) 显然g ( 么，b ) = 名( b ，a ) 成立； ( 4 ) a b c a 一( x ) b 一( z ) c 一( x ) ，a + ( x ) b + ( x ) c + ( x ) ， 于是，有 m ( 彳，c ) = ( 彳。c ) ( 彳o c ) 。 2 【- 善( 彳一( x ) 人c 一( x ) ) ，姜( ( x ) c + ( 工) ) j 会( 么一( x ) v c 训，会( 么+ ( x ) v c 训 c 1 善( 彳一( x ) 占一( 工) ) ，姜( 彳+ ( 工) 人b + ( x ) ) j l 会( 么一( x ) v b 一( 工) ) ，会( 彳+ ( x ) v 矿( x ) ) j = g ( 彳，b ) 。 同理可知g ( 么，c ) 以( b ，c ) 。 所以g ( 彳，c ) g ( 彳，b ) g ( 曰，c ) 成立，那么以( 彳，b ) 是区间值模糊集a 与 b 的区f b - 值贴近度。 当x = 五，x z ，) 为有限集时，_ bn 的格贴近度变为： 设彳，b ei f 。( x ) ，x = 五，x 2 ，_ ) 为有限集，且 矿。( 石) = 彳卜i v ( x ) ，曼4 ( 玉) = 1 ，】，圣彳( 五) = 。，。 ) ，定义 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 g ( 爿，b ) = ( a 。b ) ( 彳。曰) 。， 其中， 0 4o b ) = li o = l ( 彳一( 玉) b 一( t ) ) ，三( 彳+ ( t ) 人口+ ( t ) ) ， (aob)=i叉(彳一()vb一(葺)，叉(彳+(t)vb+(薯)l，li=lt = la 那么g ( 么，b ) 是区间值模糊集a 与b 的区间值贴近度，称为区f , q 值模糊集的格 贴近度，其中( 彳。b ) 与( ao b ) 分别为区间值模糊集4 与b 的内积与外积。 2 2 2 三种贴近度大小的比较 在上面的区间值模糊集的常见的贴近度公式里，贴近度u l m ( a ，b ) 、 2 村( 4 ，b ) 和3 m ( a ，b ) 的大小存在着下列关系： 定理2 7 如果a ，bew ( x ) ，当x = 五，恐，而) 为有限集时，那么 l m ( a ，b ) 2 m ( a ，b ) 3 村( a ，b ) 。 证明： 由于吲伽) 小怯割州班引誓) i 飞) ( 圳p ) ) _ 小怯扩( 小州t ) i p + 麴州小州圳p 孙 哗州小州葺嵯鼽小州薯州i 小一 辱丽辱石丽) = 2 肘( 彳，b ) ， 所以1 m ( a ，b ) 2 m ( 彳，b ) ， 又因为对弘x ，有 a - ( 誓) 廿( 誓) i p m a x p ( _ ) 廿( 鼍) 冲+ ( 薯) 彬( t ) n ， 则 出扣飞) 廿( t ) l p 出喜m a x 小州) m ) ( 薯) n ， 西南交通大学硕士研究生学位论文 第16 页 因此 0 ( j = 1 ，2 ，聊) ，= 1 。然 = 1 后根据需要评价的对象的属性值与属性值对应的中心点的加权距离的平方和 西雨交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 值最小的准则建立多目标优化函数求解w ，( - ，= 1 ，2 ，m ) 。首先求各属性值对应 的中心点，计算公式为： 一丐+ 弓 工f = 旦i 盟一 ( j = 1 ，2 ，m ) ； 然后求评判对象的属性值与属性值对应的中心点的加权距离t 的平方和 乎= 芝嵋( i 巧一习+ k 一习) ( = ，2 ，研) ； 最后建立多目标目标优化函数并求解： i i l i n 厂( 乎) = 窆i = 1 乎= 窆蚓羔闰w s 4 x , j i | + l 弓一i i ) 2 ( _ ，= 1 ，2 ，肌) s t w ，= 1 ( j = l ，2 ，m ) ， j 一j 构造l a g r a n g e 函数 三( 厂，名) = nz ，2 = 窆芝蟛( k 一+ 一i i ) 2 + 2 力f 羔一11 ， ，i = 1 ，i = 1 7 , 1i x ：i = l j = l ， 求解 羔- o ，盖- o ，d w ：d 九 得 、 j2 瓣轰 其中饬= ( 1 巧一7 , 1 + i 弓一i i ) 2 ( - ，= 1 ，2 ，朋) 。 此方法的优点它把主观的权重信息与客观权重结合起来，而且整个求解过 程思路清晰，简单明了。 3 1 3 综合权重的求法 由于主客观赋权有利有弊，人们为了充分利用专家的知识、经验及客观 的信息，使求得的权重更为准确，因而人们把主客观赋权法综合起来进行组合 赋权，现在组合赋权的方法【3 3 】【3 7 】【3 8 1 有两大类型。 假设现在已知利用第k ( k = 1 ，2 ，) 种主观赋权法求得第i ( i = 1 ，2 ，以) 种因素 的规范化权重为屹，利用第m ( m = 1 ，2 ，) 种客观赋权法求得第衍中因素的规范 化权重为，；相应的表示第k 种主观赋权法和第所种客观赋权法的重要性程 度的规范化权重分别为吼和。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 ( 1 ) 乘法合成 先利用公式w t - i - 1 n ，求得w ，然后把w 规范化得t = i ，求得第f 种 ” 厶 f 因素的组合赋权值w ：。 它适用于指标个数较多，各指标权系数分配比较均匀的情况，但由于它有 “倍增效应”，使得大的越大，小的越小，所以适用很受限制。 ( 2 ) 加法合成 这里的加法合成是指线性加法合成，利用公式心= 吼w 舡+ 心，然 七m 后把w 规范化得t = ，求得第f 种因素的组合赋权值彬。 厶 从上面的公式可以看出，这里的线性加权主要求解出表示方法权重的以 和心。 根据在求解吼和熊时按其是否利用了属性值的信息又分成了基于权向量 的求解和基于评价向量值的求解。 3 2 区间值模糊集的贴近度在模式识别中的应用 模式识别【3 列是模糊决策的基本方法之一，在一般的模糊集上进行模式识别 时需要首先确定事物的点值隶属函数，但在实际应用的时候，由于信息的不完 全，人们对所需要的决策属性往往采用区间值来表示。针对这种情况人们提出 区间值模糊集，它是普通模糊集的一种推广形式。本节就是在基于区间值模糊 集的基础上，建立了一种利用区间值模糊集的贴近度来进行模式识别的方法， 并用以一具体实例中。 3 2 1 模式识别问题的描述及进行模式识别的方法 在模式识别问题中，对于模糊集的贴近度的计算是是否能进行模式识别的 一个基础。一个具有属性值为区间值的模糊模式识别问题是说：有隶属函数用 区间值模糊集来描述的几个模糊模式和一个待识别的模式，如何去判断待识别 的模式应归为模糊模式的哪一个模式的问题。若用数学语言描述： 设有模式4 伊( x ) ( f - 1 ，2 ，z ) ，每个模糊模式由m 个特性指标来描述， 分别用而，工：，来表示；又有待识别的对象口i f ( x ) ，它也由所个特性指标 来描述。 求解：待识别的对象b 应归入已知模式4 中的哪一个模式? 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 本文要解决的问题就是建立区间值模糊集上的模式识别问题的模型并用 于实例。下面给出利用区间值模糊集的贴近度进行模式识别的方法： 首先根据经验( 或相关资料) 抽选识别对象的特性指标，并对一些原始数 据进行预处理。如使原始数据规范化或模糊属性值量化。 其次构造模糊模式4 ( i = 1 ，2 ，z ) 和待识别对象b 的隶属函数。 接着选择贴近度公式，并计算待识别对象b 与已知的模糊模式 4