（应用数学专业论文）几类非线性方程正解的存在性定理及应用.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 几类非线性方程正解的存在性定理及应用 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它为解决当今科技领域 中出现的各种非线性问题提供了富有成效的理论工具在处理实际问题所对应 的各种非线性积分方程和微分方程中发挥不可替代的作用 测度链上微分方程边值问题正解的存在性引起了人们的重视。但大多数都 是在非奇异的情况下研究正解的存在j 陉。测度链上奇异微分方程边值问题正解 的存在性，研究的人较少，相应的文献也要少的多由于实际的需要，进一步 研究测度链上奇异非线性微分方程边值问题就具有其内在价值 二阶多点边值问题正解的存在性，已有许多人进行了研究。但大多数都要 求非线性项满足次线性或超线性的条件。本文通过相应线性问题的第一特征值 建立了其正解的存在性和多解性定理。 人们对带有凹凸性的算子作了深入研究，获得了不动点的存在性、唯一和 迭代收敛性这样好的结果。但是这些结果大多都可以化为。凹算子和一口凸 算子来处理。人们对。凸算子和一。凹算子研究的较少，究其原因a 凸算子和 一d 凹算子刻划的是超线性问题。最近文f 2 2 ，2 3 ，2 4 1 对这一类算子作了研究， 但是仅限于齐次的情形我们有必要进一步进行研究 本文利用锥理论，不动点理论，k r a s n o s e l s 嫡不动点定理，上下解等方法 研究了二阶微分方程边值问题解的存在性和多解性以及抽象空间方程问题解 的存在性，得到了一些新成果根据内容本文分为四章 本文第一章中，利用k r a s n o n e l s k i i s 不动点定理，研究了测度链上奇异 微分方程边值问题 札+ m 0 ) ，( “( 口( ) ) ) = o ，t o ，1 】 让( o ) = 0 = u ( 盯( 1 ) ) f l1 1 1 ( 1 1 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 “( o ) = o = u ( 盯( 1 ) ) 正解的存在性 主要结论： 定理1 3 1 假设( 皿) 一( 风) 成立且满足下列条件 f 1 13 ) 却。埘掣 a 。 ( 1 3 1 ) 。骧s 即掣 a l “_ + o 。 乱 1 l i ms 叩巡 a l u + 。 一 u 其中a 1 为t 的第一特征值，则边值问题( 1 1 1 ) 和( 1 13 ) 至少有一个正解 定理1 4 2 假设( 皿) 一( 凰) 成立且满足下列条件， 撬s 婶掣 a 1 l l 曲阜师范大学硕士学位论文 其中a - 为t 的第一特征值，则边值问题( 1 1 1 ) 和( 113 ) 至少有一个正解 本文第二章中，利用k r a s n o n e l s l 【i i l s 不动点定理，结合l e r a y s c h a u d e r 度，研究了二阶多点边值问题 fu ”( t ) + ，( t ， ( t ) ) = ot 0 ，1 o ) _ 。m ) ：董喇；) 协1 1 ) o ) _ o u ( 1 ) = 娜( 釉 、t = l 其中矗( o ，1 ) 满足o l f 2 f 。一2 l o 。 o ，+ o 。)( i = 1 ，2 ，m 一2 ) 且o _ 啦 h 。墨埘踩n 】篆掣 a - 定理2 4 2 如果热s 印焉豁丛岩 0 ) ，当。p 时 有f z 目 ( e ) 算子b ：b _ p 1 是线性全连续的，当z 日时有b z 目 且存在e 矸和实数e o 0 使( 32 ，1 ) 式成立 则算子a = b f 存在正不动点 定理3 4 1 设存在正数卵和g 上不恒为零的非负连续函数e ( x ) ，使得 印e ( z ) e ( 可) s ( 。，可) 墨e ( z ) ，v 。，f g 啦( z ) 在g 上非负可测， o ，i = 1 ，2 扎， 奉 生下确界e s s 伽厶g l 。( t ) o 小，塾帕 佃 ( 34 2 ) 则积分方程( 3 4 1 ) 有连续的正解 本文第四章中利用迭代求解的方法，得到了一类非线性算子方程的不动点 定理，并把它应用到抽象空间积分方程求解过程中 主要结论： 曲阜师范大学硕士学位论文 定理4 2 1 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥，u 。e d = u e l “札o ) ， a ：d _ e ，设存在有界线性正算子z ，三：e _ f 使得 一t ( z 2 一。1 ) a z 2 一a 。l l ( z 2 一z 1 ) ，( 4 2 1 ) 任意z 1 ，。2 _ d 且茁1 z 2 ，若下列条件满足 ( i )1 。o a 珏o ( i i ) ( ，+ t ) z2a = 。p ( i i i ) t l = l t 且线性算子t ，l 的谱半径满足 r ( t ) 1 ，r ( l ) + r ( t ) i 竹， 1 a l ：a 口( f + t ) ) 则a 在d 中具有唯一不动点u 4 ，并且对任何z o d 有z 。- 珏+ _ o o ) ， 这里= ( f + t ) _ 1 ( a z 。一l + t 。一1 ) ，= 1 ，2 ) ，且对任给的d ， 丽格 i 礼， a 1 ：a 口( j + t ) ) 1 存在n o ，当n n o 时，有下面的误差估计 忙。“忙删矿蚓i + 篙刊j 定理4 2 2 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥，f d = “e i “s o ) ， a ：d _ e ，设存在有界线性正算子t ，上：e - e 使得 一t ( z 2 z 1 ) sa z 2 一a z l l ( z 2 一z 1 ) 任意z l ，觋d 且。1sz 2 ，若下列条件满足 ( i )a o 茎 o v l 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i i ) ( ，+ t ) z p = z p ( i i i ) t l = 巩1 且线性算子t ，l 的谱半径满足 r ( t ) 1 ，r ( 工) + r ( t ) i 礼， j a l ：a 盯( ，+ t ) ) 则a 在d 中具有唯一不动点 + ，并且对任何z o d 有z 。 4f 佗_ 。) 这里z 。= ( ，+ 丁) 。( a z 。一l + t 。一1 ) ，( n = 1 ，2 ) ，且对任给的d ， 碉器 i 佗， i aj ：a 口( ，+ t ) ) 1 存在n o ，当佗n o 时，有下面的误差估计 忪。圳删矿训+ 篙m 。圳 推论4 2 1 若将条件( 4 2 1 ) 改为 彳( z 2 一z 1 ) a 。2 一a z l l ( z 2 一。1 ) 任意z 1 ，z 2 d 且。1s 。2 ，其中m 0 为常数，l ：e _ e 有界线性正算 子，且r ( t ) 1 则定理4 2 1 ，定理4 2 2 的结论仍然成立。 注：容易验证定理4 2 ，1 和定理4 2 2 中条件( i i i ) 满足 推论4 2 2 若将推论1 中的条件r ( t ) 1 该为j 吲l a 。 ( 1 3 - ) l i ms 乱p 趔 a l i ms 卸趔 a 1 卜 o 。 钍 w h e r e a l i s 丘r s te i g e n v a l u eo ft ，t h e b v p ( 1 1 1 ) a n db v p ( 1 1 3 ) h a ea tl e a s t o n ep o s i t i v es o l u t i o n t h e o r e m1 4 2i f ( 。h 1 ) 一( 丑j ) a n dt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh 0 1 d ， 恕。跏掣 a ， u 卜 o 。 u w h e r e 1 i sf i r s te i g e n v a l u eo ft ，t h e nb v p ( 11 1 ) a n db v p ( 1 1 3 ) h a v ea tl e a s t o n ep o s i t i v es 0 1 u t i o n i nt h es e c o n d c h a p t e r ，u s i n gk r a s n o n e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e ma n d l e r a y s c h a u d e rd e g r e e ，w es e u d i e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e c o n d o r d e rm p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s x 曲阜师范大学硕士学位论文 譬麓涔等1 w h e r e 矗( 0 ，1 ) s a 七i s f i n g0 l 6 6 。一2 l m 一2 【o ，+ 。)( 江1 ，2 ，m 一2 ) a n do 1 ； ，c ( o ，1 o ，+ o 。) ，【o ，十o 。) ) m a i nr e s u l t ： t h e o r e m2 3 1 ：i fo n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ， ( n 磐。s 叩嚣简掣 。 ( 。s 印暑为掣 a 。 t h e nb v p ( 2 1 1 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n c o r o l l a r y231 ： i fo n eo ft h ef b l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ， f ，) l i ms 钍pm a x 型：oa n dl i mm ，m i n 型：+ 。 ( ，) l i ms 弛p m a x 型：oa f l dl i m ；馆，m i n 型：+ o 。 _ + + 。o 蚝【o ，l 】 u_ + o 挺 o ，1 u t h e nb v p ( 2 1 1 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n i fw en o t e 咖( 1 ) = m o 。 ，( 亡，c ) ：o s1 ，o e 茎l ， 妒( ! ) = m 。n ，( 亡，c ) ：p ts ，7 f c 1 ) w h e r e m 一2 茎肛 vs1i sac o n s t a n t ( 2 11 ) a = ”圳s 卜= 融”班s ) _ l o b v i o u s l y ， o a t u _ + + o o 1 】 “u 斗+ 拒f o ，i u a n dt h e r ei sa 。 os a t i 丘n g 西( o ) s 盘a ，t h e nb v p ( 2 11 ) h a sa tl e a s 乞t w o d o s i t i v es o l u t i o n n e 。一2 4 2 r 却。s 叩黼掣 0 ) ， a n dw h e n 口目，w eh a v ef z 日 ( 风) b ：尸2 一p li sal i n e a ro p e r a t o r ， w h e nz 曰w eh a v e 日o 口 a n dt h e r ea r ee f ) 1 十a n dr e a ln u m b e re o os a t i s 丘n g b z e o z e ，v z p 尹( 3 2 ，1 ) ( 月j )以= b f i 8ac o m p l e t e l yc o n t i 工l u o u so p r a t o r t h e nah a ep o s i t i v ef i x e dp o i n t t h e o r e m 3 22l e teb er e a l b a n a c hs p a c e ， pi san o r m a ic o n ei n e ，a ：p p i s 一。c o n c a v ec o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p r a t o r ，( q o ) a n d s 叩 | | a 茁i i ：| j 卫j = 1 ) o 曲阜师范大学硕士学位论文 t h e nah a v ea tl e a s to n ep o s i t i v e6 x e dp o i n ti np c o r o l l a r y 3 3 1 l e t ( h i ) 蜀( i = 1 ，2 ) b eo r d e r i n gb a n a c hs p a c e ，只i sa c o n ei n 匠p li sas o l i d c o n ea n dt h em a x i m a le l e m e n ti nu n i tb a l li ne 1 ( 目2 ) f ：p 1 - p li sd e c r e a s i n gc o n t i n o u s nc o n c a v eo p e r a t o rw h e r e 陋 o ) ： a n dw h e nz 口，w eh a ef z 目， ( 珥)b ：尸2 _ p li sal i n e a rc o m p e l e t l yc o n t i n o u so p r a t o r ， w h e nz 疗，w e h a v eb z 目 a dt h e r ea r ee p ，a n dr e a lr u l m b e re o os a t i f i n g ( 3 2 1 ) t h e n a = b fh a ea tl e a s to n ep o s i t i v e 丘x e dp o i n t t h e o r e m 3 4 1 i f t h e r ei sa 即 oa n dae ( z ) ow h e r ee ( 。) i sc o n t i n o u sa 皿dn o tz e r oe v e r y s a t i s f i n g 叩e ( z ) e ( 口) s k ( 。，9 ) se ( 。) ， v z ，9 g ( 3 42 ) 啦( z ) i sn o n _ n e g a t i v em e a s u r a b l ei ng ，啦 o ，z = 1 ，2 礼，e s s e n t i a ls u b m u m e s 鲥n 厶g ：l 啦( t ) o g “司善啦 尬 + o o t h e ni n t e g r a le q u a t i o n ( 3 4 1 )h a v ec o n t i n o u sp o s i t i v es o l u t i o n i nt h ef b u r t hc h a p t e r ，b yu s i n gi t e r a t i v et e c h n i q u e ，at h e o r e mo f 矗x e dp o i n t o fn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si se 8 t a b l i s h e d a dt h e n ，t h e ya r eu s e dt o i n t e g r a le q u a 七i o n si nb a n a c hs p a c e s m a i nr e s u l t ： t h e o r e m4 2 1l e teb ear e a ib a n a c hs p a c e ，pi san o r m a lc o n ei ne ， “o e ，d = 乱f i u u o ， 曲阜师范大学硕士学位论文 a ：d e ，i ft h e r ee x i s t sab o u n d e dl i n e a rp o s i t i v eo p e r a t o rt ，l ：er _ e s u c ht h a t z ( z 2 一茁1 ) sa z 2 一a 。1sl ( z 2 一z l l( 4 21 ) e v e r yz l ，0 2 da n d 茁l z 2 ，i ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ( i )让os4 u o ( i i ) ( + t ) z 口= 。p ( i i i ) t l = 工j ta n dt h es p e c t r a ir a d i u so fi i n e a ro p e r a t e rt ，ls a t i s 丑n g r ( t ) 1 ，r ( 三) + r ( t ) 锄， i a l ：a 盯( ，+ t ) ) t h e nah a v eo n l yo n e 矗x e dp o i n tu 4i nd ，a n df b re v e r yz o dw eh a v e z n - “+ ( n - 。) ， w e h r ez 。= ( ，+ 丁) 一1 ( a 。一l + t z 。一1 ) ， ( 佗= 1 ，2 ) ，a n df o re v e r y 占， 碉怨 i n ， ：a 盯+ r ) 1 t h e r ee x i s t sn o s u c ht h a tw h e nn 扎。 矿叫j 茎删圳+ 篙。一u 。 t h e o r e m 4 2 2l e teb ear e a lb a n a c h 吕p a c e ，pi san o r m a lc o n ei ne ， o f ，d = “f f u 如 ， a ：d - e ，i ft h e r ee x i s t sab o u n d e dl i n e a rp o s i t i v eo p e r a t o r 丁，：e _ e s u c ht h a t t ( z 2 一z 1 ) sa z 2 一a z lsl ( z 2 一z 1 ) e v e r yz 1 ，z 2 da n dz 1 z 2 ，i ft h ef o u 。w i n gc o n d i t i o n sh o l d ( i )4 o o 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i i ) ( ，+ t ) z 目净z p ( i i i ) t l = i 口a n dt h es p e c t r a lr a d i u so fl i n e a to p e r a t e rt ，ls a t i s 矗n g r ( t ) 1 ，r ( l ) + r ( t ) i n ， l a l ：a 仃( ，+ t ) ) t h e nah a v eo n l yo n e 丘x e dp o i n t 掣+ ，a n df o re v e r y 茁o dw eh a v e 。n u + ( n - o o ) ， w h e r ez 。= ( ，+ 丁) 一1 ( a 卫。一l + 丁z 。一1 ) ，( 佗= 1 ，2 - ) ，a n df o re v e r yd ， 丽器等 。n ， l a l ：入仃( f + t ) 、 t h e r ee x i s t sn o s u c ht h a tw h e n 佗n o 矿州墨删矿蚓j + 篙m 。咱 c o r o l l a r y 4 2 1 w ec h a n g e( 42 1 )t o 一且z ( z 2 贯1 ) 茎4 2 2 一a z l l ( z 2 z 1 ) e v e r y z l ，z 2 da n d0 1 z 2 ，w h e r ea 彳芝o i sac o n a t a n t ，工：e e i sa b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r ，a n dr ( t ) 1 t h e nt h e o r e m4 2 1 ， t h e o r e m4 2 ：2h o l d 。 c o r o l l a r y 4 2 2i fw ec h a n g er ( ? ) 1i n1t o 吲f t t ，p ( ) = s p ( 丁? 、ct t ；称t 是左散布的，如果p ( ) 0 ，存在t 的一个邻域u 使得 】 ，( 丌( 0 ) 一，( s ) 一，( 亡j p ( t ) 一s j 茎ef 盯( t ) 一sf 】 ，( 矿( 0 ) 一，( s ) j 一，( 亡) p ( t ) 一s j 茎ef 盯( t ) 一sf 测度链上奇异微分方程正解的存在性 对所有的s u 成立 对于n 1 ，我们定义f ( t ) 的n 次一导数( ，6 ) “( t ) = ( ( ，6 ) “一1 ) ( t ) 称f 在t 上是一可导的，如果对所有f 丁，( ) 存在 显然，如果，：t 兄在t t 点连续，且t 是右散布的，则 阳= 警 如果丁= z 是整数集，则 ，( t ) = ，( t ) = ，0 + 1 ) 一，( t ) 如果t 是右稠密的，：? _ 兄在t 点可微，则 _ ，= 坚掣 本文，以下我们都假设t 是r 的闭子集，o ，1 t t 上的区间 o ，1 定义为 【o ，1 】= t t ost 1 ) 其它的t 上闭，开，半开半闭区间类似定义。 定义1 1 3 假设f ( t ) = ，( t ) ，我们定义积分 一 ，( r ) 7 - = f ( 6 ) 一f ) 本文，我们研究下列边值问题正解的存在性 u + r n ( t ) ，( u ( 口( t ) ) ) = o ， t f o ，1 u ( o ) = o = u ( 盯( 1 ) ) 札( o ) = o = u ( 盯( 1 ) ) 为了方便我们列出下列条件 ( 凰) ，c ( o ，。o ) ， o ，。) ) 2 f 1 11 1 ( 1 ，1 2 ) ( 1 1 3 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 凰) m ( t ) ： o ，口( 1 ) 卜 o ，o 。) ，在开区间上连续，在t = o 或t = 口( 1 ) 处奇异 ( 风) o 删碱s 剑掣 其中 令 ( t ，s ) o ，盯( 1 ) o ，1 s ) 掣，掣吣 f 1 1 4 1 。一他 捣) 荨= 砌胙，险掣) ，u = m 泖t 忪掣 易知 掣e a ， ( 1 31 ) l i ms 即巡 0 使得 7 ( 1 3 3 ) 测度链上奇异微分方程正解的存在性 由引理l2 2 ，知t 有一个对应于第一特征值a l = ( r ( t ) ) _ 1 的正的特征函 数 对任意咿p na b r 。，由( 1 3 3 ) 知， r ( 1 ) a 妒( t ) al g 0 ，s ) r n ( 5 ) 妒( 盯( s ) ) s = a l t 妒( t )( 1 3 4 ) j0 假设a 在p na 目。上没有不动点( 否则，结论成立) 则我们可以说 妒一a 妒“l p + ， v 妒p n a _ b ，。， “0 ( 1 3 5 ) 若不然，假设存在妒1 p n a b ，。和丁b 兰o 使得 则 妒l 一4 妒1 = 确妒4 妒1 = a 妒1 + 伯妒+ 丁0 p + 令 r 4 = s t 巾r l 妒l r 妒+ 贝0t + n o 且妒1 丁4 妒+ 又t ( p ) cp 则 a l t 妒12 下+ l t 妒+ = 下妒4 由( 1 3 4 ) 知， 妒l = a 妒l + 伯妒+ a 1 t 吼+ 罚妒+ 2r 妒+ 妒+ 这与，的定义相矛盾，因此( 1 3 5 ) 式成宴 由引理3 知不动点指数i ( a ，岛。n 只p ) = o 由( 1 3 2 ) 知，存在0 口 r 1 使得 ，( u ) 口a i 铭， v u 芝r 2 8 曲阜师范大学硕士学位论文 令 丑妒= 盯a 1 t 妒， 妒e 【o ，盯2 ( 1 ) 则五：g o ，盯2 ( 1 ) 一g o ，。2 ( 1 ) j 有界线性算子，且五( p ) cp 令 肚“班 黼删g ( 。 刚，器z m ( 8 ) m ( 州) ) s 广4 【1j 则m r z ) 则 则 咿( t ) = 弘a 妒( t ) g ，s ) 何。( s ) ，( 妒( a ( s ) ) ) s = g ( t ，s ) 仇( s ) ，( 妒( 盯( s ) ) ) s j e ( 妒) + g ( t ，s ) m ( s ) ，( 妒( 仃( s ) ) j s j 【o ，口( 1 ) 】e ( 妒】 r 口( 1 ) 盯a 1 g ( t ，s ) m ( s ) ，( 妒( a ( s ) ) ) s ，口( 1 ) + g ( t ，s ) m ( s ) ，( ( 矿( s ) ) ) s j 0 5 五妒0 ) + ft c o ，盯( 1 ) ( ，一五) 妒( f ) sm ， t o ，盯( 1 ) j 9 测度链上奇异微分方程正解的存在性 由于a l 是t 的第一特征值，o o 若不然，设石1 m 妒l p ( s ) ) s = o ，则 ，口( 1 ) 妒1 ( t ) = a 17 g ，s ) r n ( s ) 妒l ( 盯( s ) ) s j 0 s a ， f z 4 1 ”。( s ) 妒。( 一( s ) ) s = 。 因此矛盾，不妨设厝1 m ( s ) 妒1p ( s ) ) s = 1 其中 m = m n z ( g ，s ) ：t o ，口( 1 ) ，5 o ，1 】) 在e 上定义泛函 ，口( 1 1 ( u ) = 仃z ( s ) 妒1 ( 盯( s ) ) 札( s ) s v 札e j0 则有 r 一( i )r a ( 1 ) ( 丁( 扎) ) = m ( s ) 妒。( a ( s ) ) g ( s ，t ) m ( 。) “( 盯( t ) ) s j 0j 0 = z 。1 r ( t ) ”n ( s ) 妒。( 盯( s ) ) 钍( s ) s ( 1 3 8 ) 且对，讹p r f ) a ( “) 7 n f i 札仃。( s ) 妒( 盯( s ) ) s n | | 札i |( 13 9 ) j 其中 。= ”n z 4 。n 。( s ) 妒，( 盯( s ) ) s 测度链上奇异微分方程正解的存在性 由( 1 3 6 ) 式，知存在d 1 ( o ，1 ) ， r l o 当o u n 时，有，( 乱) o 当u q 时，有，( t ，u ) ( 1 + j 2 ) a l u 又o o ， 使得当o ( 1 + 如) a 1 札一c 因此对一切 0 ，有，( t ，u ) ( 1 + 如) a 1 u c 取r 2 m o z 赤，r 1 ) ，令q 2 = 锃矧： c ，矛盾 故假设不成立 由引理1 2 3 知不动点指数i ，n 2n 只p ) = o 于是o ( a ，p n ( q 2 q 1 ) ，p ) = o 一1 = 一1 0 由不动点指数的可解性，知a 在pn ( q 。酉) 中至少有一个不动点 因此边值问题( 11 1 ) ( 1 1 2 ) 至少有一个正解 1 4 ( 1 1 1 ) 和( 1 1 3 ) 正解的存在性 边值问题 一珏= o ， t o ，1 u ( o ) = o = u ( 盯( 1 ) ) 的格林函数为 啪，= s 瓤。 且具有下列性质 日( t ，s ) o ， ( t ，s ) ( o ，盯2 ( 1 ) ) ( o ，盯( 1 ) ) h ( t ，s ) 日( 盯( s ) ，s ) = 口( s ) ， ( t ，s ) o ，口2 ( 1 ) 】 o ，口( 1 ) 】 即j s ) ；即= 掣川，s ) 掣，州 0 ，1 令 一- 。珊，掣，丽一n 扣s o ，( 1 ) 】 盯( 刚 。4 。 e = ul ：m 2 ( 1 ) 叫兄，连续 ， 5 蚝隔j j j 定义b a n a c h 空间e 上的锥 1 3 测度链上奇异微分方程正解的存在性 p = e l 毪( t ) 2o ，【o ，仃2 ( 1 ) 且 暑n 链( # ) 三f 瓦珏i 拒 ! 半，口( 1 ) j 类似定理13 1 和1 32 的证明，我们有如下结论 定理l4 1 假设( 珥) ( 凰) 成立且满足下列条件， l i 砰。锄，型 a 1 “- + + 0 。 札 1 1 1 碑s 叩型 a l u + 。 札 其中a 1 为t 的第一特征值，则边值问题( 11 1 ) 和( 1 1 3 ) 至少有一个正解 定理1 42 假设( 矾) 一( 凰) 成立且满足下列条件， l i 砰。s