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可数背景状态下q b d 过程的几何衰变及应用 摘要 本文研究 在可数背景 状态下， 时间离 散的 拟生灭过 程 ( q b d过程) 平稳 分布的 尾概率的渐近态。 在g i i g / 1 型马尔可夫链的平稳分布的几何尾衰变的研究基础上， 对q b d过 程平稳分布的 矩阵 几何形式的 某些表 达式 进行细化。 通过 对q b d过程某 些条件的限定，应用马尔可夫更新定理， 得出 在一定合理的条件下，当 水平趋于无 穷时的 尾概率的几何衰变。利用q b d过程转移矩阵的更新块来刻画率矩阵的a一 正 常返性。 全文包括四大部分:第一章介绍了 排队 论的发展历史、应用现状、基本知识以 及研究的方法和成果:第二章介绍了生灭过程、拟生灭过程、g u g / 1 型排队模型的 概念， 引 入本文 研究 所采用的主 要方 法; 第三章 研究了 可 数背景 状态下q b d过 程的 几何衰变，介绍了 本文的 主要定理及证明;第四章将第三章中的主要定理通过初等 方法，应用到加入最短队模型和双需求模型，得到它们尾概率呈几何衰变的结果。 关 键词: 拟生 灭过程 ( q b d过程) ; 衰 变率; g i / g / 1 型 排队: 平稳分布; 马尔可夫 可加过程;马尔可夫更新过程: 无穷背景状态;a一 正常返性; 加入最短 队模型;双需求模型 g e o me t r i c d e c a y i n a q b d p r o c e s s w i t h a c o u n t a b l e b a c k g r o u n d s t a t e a n d a p p l i c a t i o n ab s t r a c t w e c o n s i d e r a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f s t a t i o n a r y t a i l p r o b a b i l i t i e s i n t h e d i s c r e t e t i m e q u a s i - b i r t h - a n d - d e a t h p r o c e s s w i t h a c o u n t a b l e b a c k g r o u n d s t a t e s p a c e . b a s e d o n t h e r e s e a r c h o f t h e g e o m e t r i c t a i l d e c a y o f t h e s t a t i o n a ry d i s t r i b u t i o n f o r t h e g i / g / 1 t y p e m a r k o v c h a i n , s o m e e x p r e s s i o n s w a s r e f i n e d b e c a u s e o f a m a t r i x g e o m e t r i c f o r m o f t h e s t a t i o n a ry d i s t r i b u t i o n . a p p l y i n g t h e ma r k o v r e n e w a l t h e o r e m , i t i s s h o w n t h a t c e r t a i n r e a s o n a b l e c o n d i t i o n s o f t h e q b d p r o c e s s l e a d t o t h e g e o m e t r i c d e c a y o f t h e t a i l p r o b a b i l i t i e s a s t h e l e v e l g o e s t o i n f in i t y . i n p a r t i c u l a r , a - p o s i t i v it y o f t h e r a t e m a t r i x i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e r e n e w a l b l o c k s o f t r a n s it i o n m a tr i x o f t h e q b d . t h i s d i s s e rt a t i o n c o n t a i n s t h r e e p a r ts : i n c h a p t e r 1 , t h e h i s t o ry , t h e a p p l i c a t i o n o f t h e e x i s t i n g c o n d i t i o n , t h e f u n d a m e n t a l k n o w l e d g e , t h e m a i n i d e a a n d r e s u lt o f q u e u e i n g t h e o r y i s i n tr o d u c e d . i n c h a p t e r 2 , t h e n o t i o n s o f b i r t h - a n d - d e a t h p r o c e s s , q u a s i - b i r t h - a n d - d e a t h p r o c e s s , g u g / ! t y p e m o d e l a r e i n tr o d u c e d , t o g e t h e r w i t h t h e t e c h n i q u e o f t h i s d i s s e r t a t i o n . i n c h a p t e r 3 , 1 c o n s i d e r t h e g e o m e t r i c d e c a y i n a q b d p r o c e s s w i t h a c o u n t a b l e b a c k g r o u n d s t a t e . t h e m a i n t h e o re m a n d p r o o f i s i n c h a p t e r 3 . i n c h a p t e r 4 , i a p p l y t h e r e s u lt o f c h a p t e r 3 t o a d i s c r e t e t i m e j o i n i n g t h e s h o rt e s t q u e u e m o d e l , a n d a t w o - d e m a n d q u e u e m o d e l b y e l e m e n t a ry c o m p u t a t i o n s , g e t t i n g t h e re s u lt t h a t t h e y h a v e a g e o m e tr i c t a i l d e c a y . k e y w o r d s : q b d p r o c e s s; d e c a y r a t e ; g i / g / i t y p e q u e u e ; s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n ; m a r k o v a d d i t i v e p r o c e s s ; ma r k o v r e n e w a l p r o c e s s ; i n f i n i t e b a c k g r o u n d s t a t e s ; l c - p o s i t i v i t y ; j o i n i n g t h e s h o r t e s t q u e u e ;t w o - d e m a n d m o d e l 学位论文独创性声明 本人郑重声明: 1 ,坚持以 “ 求实、创新”的科学精神从事研究工作. 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果 。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢 意 。 作者签名: 日期:z i 、 工 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定， 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的电子版和纸质版; 有权将学位论文用于非直利目的的少a复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅: 有权将学位论文的内容偏入有关致据 库进行检索: 有权将学位论文的标翅和摘要汇编出版。 保密的学位论 文在解密后适用本规定。 作 。名 :杨 p 日期: 2 ws 、 1 可数背景状态下q b d过程的几何衰变及应用硕士学位论文 第一章绪论 1 . 1排队论的发展历史和应用现状 随着人类城市化和信息化进程的加快，人们会发现自己 经常陷入排队等待的烦 恼中。路途中交通阻塞，我们不得不在队伍中等待交警的疏通:超市收银台忙碌， 我们不得不在队伍中等待收银员结帐;网 络队伍阻塞， 我们不得不暂时放弃冲浪的 念头等等诸如此类。作为顾客我们不希望长时间等待下去，同时作为服务员也不希 望看到冗长的队伍。为什么会有等待现象的发生呢? 最根本的原因使提供的服务设 施不足以 满足顾客的需求。 在顾客不断到达的情况下， 如何配备服务员的多少， 如 何确定顾客的平均等待时间以 及队伍的长 度等， 这些都是排队论试图 通过严密的 数 学建模分析的问题。 排队论的历史要向前追溯到 1 9 0 2 年一 1 9 2 2 年，丹麦工程师、著名的数学家、统 计学家a g a e r k r a r u p e r l a n g ( 1 8 7 8 - 1 9 2 9 ) 在哥 本哈 根电 话公司任职期间 所完成的 一 系列关于远程通信的论文。1 9 0 9年，e r l a n g与哥本哈根电话公司的管理者 f j o h a u n s e n 相识，j o h a u n s e n 此前所发表的两片论文己 经为排队论的 产生奠定了基 础。即 在 1 9 0 7 年所发表的 等待时间与呼叫次数 ( 关于手摇电 话交换总机中 新来 呼叫的 延迟问 题) 和 1 9 0 8 年的 忙 ( 分析电 话用 户在一条或多条线 路上繁忙情况 的 频率 ) ， 尽管 其观点 此时 还没有上升为 严格数学意 义上的 新理 论， 但其中 所使用的 概率证明和应用分析方法却成为了排队论形成的前提。 正是得益于 在电 话公司 的 工作经历， e r l a n g 于1 9 0 9 年发表了 论文 概率和电 话 会话的 理论 ， 这一文章被公认为 是排队 论 诞生的 标志。 值得注意的是， e r la n g 使用 的 理论基础十八电 话呼叫的 输入流设 定为泊 松 p o i s s o n ) 分布: 到了1 9 1 7 年， e r la n g 发表了 其最具重大意义的论文 自 动电话交换中具 有重要意义的概率理论上一些问 题的解 ， 这里， 它提出输入流为泊松 p o i s s o n ) 分布 ( 基于其1 9 0 9 年论文的基础) 和服务时间服从指数分布。 其间，他还首次提出并运用了生灭的概念，形象的描述 了 对系统的 排队 过程和统计平衡下的 损失 制模型的 研究。 e r l a n g所得到的队 长的 平 稳分布和著名的损失公式已成为在电话流量理论研究中十分重要的公式。 可数背景状态下q b d过程的几何衰变及应用硕士学位论文 第一章绪论 1 . 1排队论的发展历史和应用现状 随着人类城市化和信息化进程的加快，人们会发现自己 经常陷入排队等待的烦 恼中。路途中交通阻塞，我们不得不在队伍中等待交警的疏通:超市收银台忙碌， 我们不得不在队伍中等待收银员结帐;网 络队伍阻塞， 我们不得不暂时放弃冲浪的 念头等等诸如此类。作为顾客我们不希望长时间等待下去，同时作为服务员也不希 望看到冗长的队伍。为什么会有等待现象的发生呢? 最根本的原因使提供的服务设 施不足以 满足顾客的需求。 在顾客不断到达的情况下， 如何配备服务员的多少， 如 何确定顾客的平均等待时间以 及队伍的长 度等， 这些都是排队论试图 通过严密的 数 学建模分析的问题。 排队论的历史要向前追溯到 1 9 0 2 年一 1 9 2 2 年，丹麦工程师、著名的数学家、统 计学家a g a e r k r a r u p e r l a n g ( 1 8 7 8 - 1 9 2 9 ) 在哥 本哈 根电 话公司任职期间 所完成的 一 系列关于远程通信的论文。1 9 0 9年，e r l a n g与哥本哈根电话公司的管理者 f j o h a u n s e n 相识，j o h a u n s e n 此前所发表的两片论文己 经为排队论的 产生奠定了基 础。即 在 1 9 0 7 年所发表的 等待时间与呼叫次数 ( 关于手摇电 话交换总机中 新来 呼叫的 延迟问 题) 和 1 9 0 8 年的 忙 ( 分析电 话用 户在一条或多条线 路上繁忙情况 的 频率 ) ， 尽管 其观点 此时 还没有上升为 严格数学意 义上的 新理 论， 但其中 所使用的 概率证明和应用分析方法却成为了排队论形成的前提。 正是得益于 在电 话公司 的 工作经历， e r l a n g 于1 9 0 9 年发表了 论文 概率和电 话 会话的 理论 ， 这一文章被公认为 是排队 论 诞生的 标志。 值得注意的是， e r la n g 使用 的 理论基础十八电 话呼叫的 输入流设 定为泊 松 p o i s s o n ) 分布: 到了1 9 1 7 年， e r la n g 发表了 其最具重大意义的论文 自 动电话交换中具 有重要意义的概率理论上一些问 题的解 ， 这里， 它提出输入流为泊松 p o i s s o n ) 分布 ( 基于其1 9 0 9 年论文的基础) 和服务时间服从指数分布。 其间，他还首次提出并运用了生灭的概念，形象的描述 了 对系统的 排队 过程和统计平衡下的 损失 制模型的 研究。 e r l a n g所得到的队 长的 平 稳分布和著名的损失公式已成为在电话流量理论研究中十分重要的公式。 可数背景状态下q b d过程的 几何衰变及应用硕士学位论文 e r l a n g通过对电话 流量进行的 理论 研究对 排队 论的发展产生的 重要贡献， 这 也 激励了 人们对排队问 题乐此不疲和坚持不懈的研究。 在e r l a n g 之后的另外两个非常 著名的 排队论创始人和重大贡献者是f e l i x p o l l a c z e k ( 从2 0 世纪3 0 年代到6 0 年代之 间 ) 和l a j o s t a k a c s ( 从2 0 世纪5 0 年代开始至 今 ) ， 是 排队 论研究 领域最多产的 贡献者。 由 于排队论显而易见的 重 要性， 同时 也吸引了e m i l b o r e l , d a v id k e n d e ll , a .y k h in c h in e和a n d e r y k o l m o g o r o v 等著 名学者的 眼光， 他们都在排队 论的 领域中 做出 了 十分有意义的工作。 迄 今为 止，由e r la n g 创 始的 电 话 流 量 理 论 仍 在 远 程 通 信研 究中占 有 十分 重 要 的 地 位， 并 且 成为 排队 论实 际 运用的 最好 范 例 之 一。 v a z l a v b a n e s 和r y s z a r d s y s k i 都 是世界上最著名的排队论学者。 他们为电话流量理论的发展同 样做出了 重要贡献。 在过去2 0 年中， 正是世界上工程和技术领域一大批卓有成就的人们的共同努力， 使 得排队论成为了一门顶尖的活跃学科。 同 样，在我们各自 的工作领域和在我们共同的生活现实中，排队论的应用实例 比比皆是， 随处可见，并且正在发挥着越来越重要的作用。 例如，排队论就被广泛 的 运用于交通流量的 计算及实施交通管理问 题中， 在计算交通场所的车辆通过能力， 停车场地的车辆出入情况等问题时. 都可以用排队 论建立模型进行设计。又如，在 港口及仓库规划设计工作中， 港口的泊位数， 仓库的 货位数等，都是决定港口 吞吐 量、仓库容积量的一个重要指标，而合理确定泊位数 ( 货位数)就必须用排队论的 理论和方法研究港口 ( 仓库) 相应的 运行机制， 通过建立数学模型，计算出 最佳的 数值。再如，在现代化工业生产过程中，一人多机的生产系统己 经司空见惯，那么 不同工件在不同机器上的 加工过程， 其加工时间与产出成本之间的关系，均可利用 排队论模型加以 研究。 此外，如银行的临柜服务，阅览室的科学管理等问题中， 如 何提高 服务效率 ( 使用效率) ， 降低成本， 保证服务质量， 最大限度得为更多顾客服 务等，都可以 用排队论即随机服务系统理论予以 解决。由 此可见，排队论在我们的 日 常工作和生活中发挥着巨大的不可替代的作用。 1 . 2排队系统的一般简介 排队系统是服务系统、交通运输、 通信系统等许多 领域中的问 题简化后的数学 模型。顾客按照一定的分布率到达， 然后按照特定的排队规则一次到达一定数量的 服务器为其服务。 服务器的 服务时间按照一定的分布进行且与顾客的到达相互独立。 可数背景状态下q b d过程的 几何衰变及应用硕士学位论文 e r l a n g通过对电话 流量进行的 理论 研究对 排队 论的发展产生的 重要贡献， 这 也 激励了 人们对排队问 题乐此不疲和坚持不懈的研究。 在e r l a n g 之后的另外两个非常 著名的 排队论创始人和重大贡献者是f e l i x p o l l a c z e k ( 从2 0 世纪3 0 年代到6 0 年代之 间 ) 和l a j o s t a k a c s ( 从2 0 世纪5 0 年代开始至 今 ) ， 是 排队 论研究 领域最多产的 贡献者。 由 于排队论显而易见的 重 要性， 同时 也吸引了e m i l b o r e l , d a v id k e n d e ll , a .y k h in c h in e和a n d e r y k o l m o g o r o v 等著 名学者的 眼光， 他们都在排队 论的 领域中 做出 了 十分有意义的工作。 迄 今为 止，由e r la n g 创 始的 电 话 流 量 理 论 仍 在 远 程 通 信研 究中占 有 十分 重 要 的 地 位， 并 且 成为 排队 论实 际 运用的 最好 范 例 之 一。 v a z l a v b a n e s 和r y s z a r d s y s k i 都 是世界上最著名的排队论学者。 他们为电话流量理论的发展同 样做出了 重要贡献。 在过去2 0 年中， 正是世界上工程和技术领域一大批卓有成就的人们的共同努力， 使 得排队论成为了一门顶尖的活跃学科。 同 样，在我们各自 的工作领域和在我们共同的生活现实中，排队论的应用实例 比比皆是， 随处可见，并且正在发挥着越来越重要的作用。 例如，排队论就被广泛 的 运用于交通流量的 计算及实施交通管理问 题中， 在计算交通场所的车辆通过能力， 停车场地的车辆出入情况等问题时. 都可以用排队 论建立模型进行设计。又如，在 港口及仓库规划设计工作中， 港口的泊位数， 仓库的 货位数等，都是决定港口 吞吐 量、仓库容积量的一个重要指标，而合理确定泊位数 ( 货位数)就必须用排队论的 理论和方法研究港口 ( 仓库) 相应的 运行机制， 通过建立数学模型，计算出 最佳的 数值。再如，在现代化工业生产过程中，一人多机的生产系统己 经司空见惯，那么 不同工件在不同机器上的 加工过程， 其加工时间与产出成本之间的关系，均可利用 排队论模型加以 研究。 此外，如银行的临柜服务，阅览室的科学管理等问题中， 如 何提高 服务效率 ( 使用效率) ， 降低成本， 保证服务质量， 最大限度得为更多顾客服 务等，都可以 用排队论即随机服务系统理论予以 解决。由 此可见，排队论在我们的 日 常工作和生活中发挥着巨大的不可替代的作用。 1 . 2排队系统的一般简介 排队系统是服务系统、交通运输、 通信系统等许多 领域中的问 题简化后的数学 模型。顾客按照一定的分布率到达， 然后按照特定的排队规则一次到达一定数量的 服务器为其服务。 服务器的 服务时间按照一定的分布进行且与顾客的到达相互独立。 可数背景状态下q b d过程的几何衰变及应用硕士学位论文 顾客被服务结束后离开排队系统。 排队系统的一般框图如下: 排队理论设计一个复杂系统，它包含: ( 1 ) 输入过程: 它一般是一个更新流， 称为“ 顾客流” 。 更广地， 也可以 是每次批量输 入的输入流。 ( 2 ) 服务设各 ( 服务员或服务线)的 数目 :可以 有1 个， n个或00个，它们之间彼此 独立地工作。 ( 3 ) 服务设备对于不同顾客的服务时间是独立同 分布的随机变量，它们与输入过程独 立 。 ( 4 ) 服务规则:最常见的是先来先服务 ( 记为f i f o ，即f i r s t i n f i r s t o u t ) . 沿用k e n d a l l ( 1 9 5 1 ) 采用的方法， 一个排队系统通常用符号a b/ x / y / z作为记 录的 标准，其中a代表到达间隔时间 分布的 类型， b代表服务器服务时间分布的类 型， x代表服务器个数，y代表队伍容量，z 代表排队规则。 m:表示指数分布。 乓: 表示k 阶e r la n g 分布。 g :表示一 般分布函数，再输入流中g有时也用g i 表示。 p h :表示p h分布。 常见的 排队 系统有m / m i ,m / m / n ,m / m / 0 o ,g / m / l ,m / g / 1 , g i/ g / i ( 也记 位g / g / 1 ) 1 . 3 排队论的经典研究方法和成果 从 二十 世纪e r l a n g 开 创 性地 对通讯流 进行 研究至 今， 经典的 排队 理论已 被历 代 数学家充分的发展和研究。国 外的如k e n d a l l , c o x , c o h e n , t a k a c s , k le i n r o c k , n e u t s , b r i l l ,国内的如徐光辉、孟玉柯、史 定华、 侯振挺、田 乃硕等都在排队理论 方面做出了 突出的贡献。 经典的 排队理论建立在模型满足马氏 性的 基础上， 探讨平稳状态下系统的队长 、 等待时间等统计特征量。一般来说，经典排队理论的求解方法主要有三类:一类为 k e n d a l l 提出的嵌入马氏链方法， 并被发展至马氏更新方法。 这种方法关键通过寻找 过程的再生点或马氏点， 运用马氏 链的技巧或建立更新方程来得到系统的 统计特征 量。由于该方法较多的用到模型的概率意义解释， 从而需要较多的概率论知识作为 可数背景状态下q b d过程的几何衰变及应用硕士学位论文 顾客被服务结束后离开排队系统。 排队系统的一般框图如下: 排队理论设计一个复杂系统，它包含: ( 1 ) 输入过程: 它一般是一个更新流， 称为“ 顾客流” 。 更广地， 也可以 是每次批量输 入的输入流。 ( 2 ) 服务设各 ( 服务员或服务线)的 数目 :可以 有1 个， n个或00个，它们之间彼此 独立地工作。 ( 3 ) 服务设备对于不同顾客的服务时间是独立同 分布的随机变量，它们与输入过程独 立 。 ( 4 ) 服务规则:最常见的是先来先服务 ( 记为f i f o ，即f i r s t i n f i r s t o u t ) . 沿用k e n d a l l ( 1 9 5 1 ) 采用的方法， 一个排队系统通常用符号a b/ x / y / z作为记 录的 标准，其中a代表到达间隔时间 分布的 类型， b代表服务器服务时间分布的类 型， x代表服务器个数，y代表队伍容量，z 代表排队规则。 m:表示指数分布。 乓: 表示k 阶e r la n g 分布。 g :表示一 般分布函数，再输入流中g有时也用g i 表示。 p h :表示p h分布。 常见的 排队 系统有m / m i ,m / m / n ,m / m / 0 o ,g / m / l ,m / g / 1 , g i/ g / i ( 也记 位g / g / 1 ) 1 . 3 排队论的经典研究方法和成果 从 二十 世纪e r l a n g 开 创 性地 对通讯流 进行 研究至 今， 经典的 排队 理论已 被历 代 数学家充分的发展和研究。国 外的如k e n d a l l , c o x , c o h e n , t a k a c s , k le i n r o c k , n e u t s , b r i l l ,国内的如徐光辉、孟玉柯、史 定华、 侯振挺、田 乃硕等都在排队理论 方面做出了 突出的贡献。 经典的 排队理论建立在模型满足马氏 性的 基础上， 探讨平稳状态下系统的队长 、 等待时间等统计特征量。一般来说，经典排队理论的求解方法主要有三类:一类为 k e n d a l l 提出的嵌入马氏链方法， 并被发展至马氏更新方法。 这种方法关键通过寻找 过程的再生点或马氏点， 运用马氏 链的技巧或建立更新方程来得到系统的 统计特征 量。由于该方法较多的用到模型的概率意义解释， 从而需要较多的概率论知识作为 可数背景状态下q b d过程的几何衰变及应用 硕士学位论文 基础并且比 较复杂， 具体方法精髓可参见徐光辉。 二是c o x 提出的 补充变量方法。 该方法通过增加变量，构造向量马氏过程 ( v mp ) ，从而建立密度演化方程，并求 解各种统计特征量。这种方法将随机性的排队 论问 题转化为确定性的方程求解，极 大的降低了求解过程的复杂程度， 但对方程求解的 技巧要求较高且通常仅可得到解 的 拉氏 变换( l a p la c e - t r a n s f o r m ) ， 而 且关 注的只是 过程的 状态概率而非 转移概率。 作 者以 年龄作为补充变量研究了多种排队模型的 求解方法，提出了密度演化方法，并 且证明了频度转移公式， 为求解各种排队 性能 指标提供了 依据。 第三类方法为n e u t s 教授提出的q b d过程理论， 他将生灭过程的方法加以 推广和引申， 逐渐形成了一套 可以 处理一系列相关于p h , m a p ( 马氏 到达) 及b m a p( 批马氏 到达) 分 布所构成的 排队 模型。 尤 其值得提出 的 是q b d 理论己 经形 成了 完整的 算法程序， 为 排队 论模型 的 研究提供了 较好的实证结果。其余的还有国内 侯振挺教授提出的马氏 骨架方法、 国 外b i l l 教授提出的水平穿越方法等。 半个世纪以 来经典排队理论得主要成果大致可总结如下:( 1 ) 得到了 所有单服 务排队模型在到达间隔和服务时间 相互独立条件下的稳态解。( 2 ) 对于多服务排队 系统，得到了 在服务时间 满足指数分布的稳态解。( 3 ) 优先排队模型也得到了比 较 明 确的结果， 尤其在输入流满足泊松分布以 及优先级固定的情况下。( 4 ) 排队开、 闭网络系统也得到了 部分重要结果。随着研究的深入，各种复杂但符合实际的模型 被大量研究， 例如带休假的 排队模型，拥有不耐烦顾客的 排队模型以及带有灾难的 清除排队模型等等。 可数背景状态下q b d过程的 几何衰变及应用硕士学位论文 第二章基本理论和方法 2 . 1 生灭过程 定 义2 .1假 设 有 一 系 统 ， 该 系 统 具 有 可 数 个 状 态 。 ， 1 ， 一 。 令 n ( t ) 为 系 统 在 时 刻 所 处 的 状 态 ， 。 在 任 一 时 刻 ， ， 若 系 统 处 于 状 态 i ， 则 在 ( t , 十 次 ) 内 系 统 由 状 态 i 转 移 到 状 态 i 十 1 ( o s i 0 为 一 常 数 ; 而 由 状 态 i 转 移 到 状 态 ， 一 1 ( 有 限 状 态 时 1 、 i 。 为 一 常 数 : 并 且 在 ( t , t + a t ) 内 发 生 两 次 或 两 次 以 上 转 移 的 概 率 为 。 ( a t ) 。 这 样 一 个 系 统 状 态 随 时 间 变 化 的 过 程 n (t ) 就 成 为 一 个 生 灭 过 程 。 它 的 密 度 矩 阵 q 为 : 兄 。 一 ( , + a , )兄 ， lu ，一 2 + a 2 )兄 2 斌从 q= 生 灭 过 程 的 转 移 概 率 函 数 p i,i+ i 伽) 具 有 下 述 性 质 : v i e e = 0 , 1 ， 二 今 及 充 分 小 的 a t ， 有 p i ,i+ i 恤) 一 “ a t + o 伽) 林 0 ) i ? 0 p i i - i 伽) 一 f lia t + o 仁 ， ) 执 0 , /1 o 一 。 )i _ 1 p ，.、 (a t ) 二 1 - ( a i + p i )at + o ( 4 t ) i ? 0 p i,; ( a t ) 二 o (a t )卜 - j l 2 当 生 灭 过 程 的 状 态 遍 历 时 ， 它 就 存 在 平 稳 分 布7 c i, i e e ， 有 可数背景状态下q b d过程的 几何衰变及应用硕士学位论文 第二章基本理论和方法 2 . 1 生灭过程 定 义2 .1假 设 有 一 系 统 ， 该 系 统 具 有 可 数 个 状 态 。 ， 1 ， 一 。 令 n ( t ) 为 系 统 在 时 刻 所 处 的 状 态 ， 。 在 任 一 时 刻 ， ， 若 系 统 处 于 状 态 i ， 则 在 ( t , 十 次 ) 内 系 统 由 状 态 i 转 移 到 状 态 i 十 1 ( o s i 0 为 一 常 数 ; 而 由 状 态 i 转 移 到 状 态 ， 一 1 ( 有 限 状 态 时 1 、 i 。 为 一 常 数 : 并 且 在 ( t , t + a t ) 内 发 生 两 次 或 两 次 以 上 转 移 的 概 率 为 。 ( a t ) 。 这 样 一 个 系 统 状 态 随 时 间 变 化 的 过 程 n (t ) 就 成 为 一 个 生 灭 过 程 。 它 的 密 度 矩 阵 q 为 : 兄 。 一 ( , + a , )兄 ， lu ，一 2 + a 2 )兄 2 斌从 q= 生 灭 过 程 的 转 移 概 率 函 数 p i,i+ i 伽) 具 有 下 述 性 质 : v i e e = 0 , 1 ， 二 今 及 充 分 小 的 a t ， 有 p i ,i+ i 恤) 一 “ a t + o 伽) 林 0 ) i ? 0 p i i - i 伽) 一 f lia t + o 仁 ， ) 执 0 , /1 o 一 。 )i _ 1 p ，.、 (a t ) 二 1 - ( a i + p i )at + o ( 4 t ) i ? 0 p i,; ( a t ) 二 o (a t )卜 - j l 2 当 生 灭 过 程 的 状 态 遍 历 时 ， 它 就 存 在 平 稳 分 布7 c i, i e e ， 有 可数背景状态下q b d过程的几何衰变及应用 硕士学位论文 一 认十 凡 卜+ 凡 - lt i- 1 + a + lr i+ 1 = 0 d _0 试g 0 + a ; t 1 = 0 由 此可解出)r . _凡 几凡 _ 1 从从 ” 八 凡, n = 1 , 2 , . . . 又 由 正 则 性 艺g i = 1 , 可 得 ( ，c al a n h 二 a . - , 、 一 ， 几 = 1 + 乙 l n = 1 肠尸 2 . . . 群 . 1 2 . 2拟生灭 ( q b d )过程 拟生灭过程是经典生灭过程的 最新发展，是经典生灭过程 ( 王梓坤，1 9 8 0 ) 从 一维状态空间到多维状态空间的推广。 正如生灭过程的生成元具有三对角形式一样， 拟生灭过程的生成元是分块三对角矩阵。近三十年已成为复杂随机模型分析的重要 工具。 定 义2 .2 考 虑 一 个 二 维m a r k o v 过 程 ( i ( t ) , j (t ) ) ， 如 果 其 转 移 概 率 矩 阵 具 有 形 式 ab 禹bc 凡c 厂卫lwe.weesesesl - q 则 称 其 为 拟 生 灭 ( q u a s i- b ir th -a n d - d e a th p ro c e s s ,简 称 q b d ) 过 程 。 i ( t ) e 0 ,1 ,， 二 称 作 水 平 ， i ( t ) e 扣 ，l ， ， m 称 作 位 相 。 当m_0 试g 0 + a ; t 1 = 0 由 此可解出)r . _凡 几凡 _ 1 从从 ” 八 凡, n = 1 , 2 , . . . 又 由 正 则 性 艺g i = 1 , 可 得 ( ，c al a n h 二 a . - , 、 一 ， 几 = 1 + 乙 l n = 1 肠尸 2 . . . 群 . 1 2 . 2拟生灭 ( q b d )过程 拟生灭过程是经典生灭过程的 最新发展，是经典生灭过程 ( 王梓坤，1 9 8 0 ) 从 一维状态空间到多维状态空间的推广。 正如生灭过程的生成元具有三对角形式一样， 拟生灭过程的生成元是分块三对角矩阵。近三十年已成为复杂随机模型分析的重要 工具。 定 义2 .2 考 虑 一 个 二 维m a r k o v 过 程 ( i ( t ) , j (t ) ) ， 如 果 其 转 移 概 率 矩 阵 具 有 形 式 ab 禹bc 凡c 厂卫lwe.weesesesl - q 则 称 其 为 拟 生 灭 ( q u a s i- b ir th -a n d - d e a th p ro c e s s ,简 称 q b d ) 过 程 。 i ( t ) e 0 ,1 ,， 二 称 作 水 平 ， i ( t ) e 扣 ，l ， ， m 称 作 位 相 。 当m 。， 此时， 有限 位 相q b d 过 程的 转 移 率 阵q的 所有 子 矩阵 都 是m阶 方 阵:当m = 0 o ， 此时， 无限 位 相的q b d过 程的 转移率阵q的所 有子矩阵 均为 无穷 维矩阵。 本章约定此q b d过程是 不可约， 非 周期的。由 于q为 转移率矩阵， 其主 对角 线 上的 元素 为 负 数， 其余 元 素 均为非 负， 并 且 满 足q e 二 0 ， 即 有( c + b+ a ) e = 0 , 可 数背景状态下q b d过程的 几何衰变及应用硕士学位论文 若 该 过 程 是 正 常 返 的 ， 以 ( /, j ) 表 示 过 程 ( i ( t ) , a t 的 极 限 变 量 ， 并 记 、 一 im p (i (t) = k j (t) 一 j ) 一 p q 一 k j 一 j ) 其中k _ 0 , 1 c 率 阵 r 的 份 ) 元 素 r . 的 概 率 意 义 可 解 释 如卜 过 程 从 状 态 (0 , i ) 出 发 首 次 返 回 水 平 ” 之 前 到 达 状 态 o l ) 的 平 均 次 数 。 因 此， 对于 有限 位相的q b d过 程， 当 其平稳条 件成立时， 它的 平稳分布的 水平 分布呈几何衰减，即 l i m 7r k e = r k 冲 。气e 这 里 的 ; e ( 0 ,1 ) 为 率 阵 r 的 最 大 实 、 正 的 特 征 值 对于 无限 位相的q b d过程， 衰减率 将出 现比 有限 位相的q b d过 程更加复 杂的 j清 况。我们将在下面的章节进行讨论。 对 于 离 散 的 马 氏 链 所 对 应 的 q b d 过 程 ( i n , j n ) ， 其 转 移 概 率 矩 阵 p 也 具 有 与 转 移率阵q相同的形式 可数背景状态下q b d过程的 几何衰变及应用 硕士学位论文 ab abc 丙bc 几c1 resllweeseslleseseseseseswe 一- p 只是 其所有的元素均为小 于 1 的非负数，且p e =e 。 通常情况下q b d过程是被定 义为时 间连续的， 而我们可以 应用单 值化( u n if o r m a z a t io n ) 的 方法 将时间连续的q b d 过程转化为时间离散的q b d过程。 2 . 3 g i / g / 1 型排队模型 令n为 非 负 整 数 集 ， s 。 和 s , 为 有 限 集 或 可 数 集 考 虑 一 个m a r k o v 链 ， 其 二 维 状 态 空 间 为 s = ( 0 - s o w (n 一 0 ) ) x s , ， 对 集 合 s ， 若 : 为 有 限 集 ， 则 囚令 为 s 中 元 素 的 个 数 ， 否 则 is i = 二 。 令 b , , b (n ? 1 ) , b (n :g - 1) 和 a(- a o n 司分 别 是 is . i x ls o h is . i x is ,h ls ,i x is . ii is i- is i 非 负 矩 阵 。 对 于 上 述 m a r k o v 链 ， 其 转 移 概 率 矩 阵p的元素如下给出: p ( ( o , i ), ( 0 , j ) ) 二 b o ( i , j ) i , j “ s o p (o . )， 阮) = b . (ij ) n : 1 , i e s o.j c- s , p ( ( n , i ) , ( 0 , j ) ) = b - n ( i, j ) n ? l , i 二 s i , j s o p ( (m , i l ( n , j ) = a _( j , j ) n , m ? 1 , i, j g s , 由 此对 于 is , 阶 列 向 量 e(o)*t1 和 s , l i 列 向 量 “ ， 有 b o e (o ) + 艺b ,e 一 e (, ) b _ e (p) + ，二勒,e = e ,n ? 1r=-(n-1) 可数背景状态下q b d过程的 几何衰变及应用 硕士学位论文 ab abc 丙bc 几c1 resllweeseslleseseseseseswe 一- p 只是 其所有的元素均为小 于 1 的非负数，且p e =e 。 通常情况下q b d过程是被定 义为时 间连续的， 而我们可以 应用单 值化( u n if o r m a z a t io n ) 的 方法 将时间连续的q b d 过程转化为时间离散的