（交通运输工程专业论文）车辆动荷载与沥青路面不平整耦合作用研究.pdf

摘要 摘要 路面平整度在自然因素及行车荷载的作用下，特别是在行车动荷载的作用下 将出现衰减，即路面平整度变差。汽车行驶在不平整的路面上，车轮将对路面产 生附加的动荷载，这种动荷载将加速路砸平整度的衰减，而路面平整度的变差又 将使得车轮对路面产生的附加动荷载增加。因此路面不平整度与汽车动荷载之间 存在耦合作用。 本文根据高速公路路面平整度的实测结果，建立了路面的不平整模型，以正 弦曲线模拟路面表面。以载重车为例，建立了四自由度的车辆振动模型。以上述 模型为基础分析了在不同路面模型( 波长、振幅不同) 上车辆以不同速度行驶， 左右车轮所受到的激励不同时的车辆动荷载。分析了不同条件下车辆动荷载沿路 线纵向的分布。发现在给定波长时，动荷载与振幅成正比，在路面波长接近车辆 自振频率下的波长时，最大动荷载迅速增加。左右车轮激励不同步在一般波长情 况下使动荷载系数增大，但左右车轮激励同步将在路面的激励角频率等于车辆系 统的固有角频率时使得共振作用的影响更明显，在共振时会产生更大的动荷载。 本文的分析结果指出，在路面上行驶的车辆对路面可能产生很大的动荷载。最大 动荷载系数可达到2 以上。 按照壳牌永久变形预估理论计算了在动荷载作用下路面的永久变形，从而分 析了路面平整度的变化，并与实测结果进行了对比。结果指出，本文的分析结果 与路段的实测结果有较好的一致性，说明本文对动荷载的分析及路面平整度的变 化计算是较为可靠的。 本文首次以考虑汽车侧倾因素的4 自由度车辆振动模型分析行驶车辆的动荷 载，使得分析精度大为提高。首次建立了路面平整度。动荷载与路面平整度变化 之间的相关关系，并对路面平整度的变化做出了预估。 关于路面不平整程度与荷载之间关系的研究成果，不仅有学术理论价值，而 且有一定的应用前景，将对沥青路面使用性能的评价方法及沥青路面的维修养护、 技术开发提供一定的技术支持。 关键词：车辆路面平整度动荷载耦合作用路面平整度预估 摘要 a b s t r a c t u n d e rn a t u r a lf a c t o ma n dv e h i c l el o a d i n g , e s p e c i a l l yv e h i c l e sl o a d i n g s ，h i g h w a yp a v e m e n t e v c f l n e s sw i l la t t e n u a t e , i e ，p a v e m e n te v e r m e s sb e c o m ew o r s e a sv e h i c l em o v e so f fr o u g h n e s s p a v e m e n t , w h e e lw i l lp m d u e c ea d d i t i o n a lm o b i l el o a dt op a v e m e n lw h i c hw i l ls p e e du pd e t e r i o r a t i o n o fp a v e m e n te v e n n e s s a n dt h ed e t e r i o r a t i o nw i l lm a k ew h e e i i n c m a s ot h ea d d m o n a lm o b i l e1 0 a dt o p a v e m e n t t h e m f o m ，t h e r ei s ac o u p l ef u n c t i o nb e t w e e np a v e m e n te v e n n e s sa n dv e h i e l em o b i l e 】o a d a c c o r d i n gt ot h ea c t u a lm e a s u r e m e n tr e s u l to fh i g h w a yp a v e m e n te v e n n e s s ，t h i sp a p e rs e t s a u i l e v e n n e s sm o d e lo fp a v e m e n tw h i c hi m i t a t ep a v e m e n ts n r f a c eb y 曲gs i n ec u r v e ，a n ds e t sa v e h i c l ev i b r a t i o nm o d e lo ff o u r - d e g r e eo ff r e e d o mb yt a k i n gt h em e d i u m - s i z e dl o a dt r n c ka sa l l e x a m p l e o nt h eb a s eo fa b o v e m e n t i o n e dm o d e l s ，t h ep r o j e c ta n a l y z e sl e f tw h e e la n dr i g h to n e w h e nv e h i c l ew h e e l sa r en o ti m p e l l e da tt h es a m et i m es u f f e r e dv e h i c l em o b i l el o a dw h e nv e h i c l e s f f a v e li nad i f f e r e n ts p e e do nt h ed i f f e r e n tp a v e m e n tm o d e l ( w a v el e n g t h , a m p l i t u d ea 糟d i f f e r e n t ) ； a n a l y z e sv e h i c l em o b i l el o a d sd i s t r i b u t i o na l o n gl o n g i t u d i n a lr o u t eu n d e rd i f f e r e n t c o n d i t i o n s d i s c o v e r i n gt h a tm o b i l el o a di si nd i r e c tp r o p o r t i o nt oa m p l i t u d ew h e nw a v el e n g t hi sr e a m 甄t h e m a x i m u mm o b i l el o a dr a p i d l yi n c r e a s e sw h e np a v e m e n tw a v el e n g t hi sc l o s et ot h ew a v el e n g t ho f v e h i c l ea u t o m a t i cv i b r a t i n gf r e q u e n c y t h a tl e f tw h e e la n dr i g h to n ei m p a l l a dn o ti nt h es y n c h r o n i s m i n a k e sm o b i l el o a dc o e 伍c i e n ti n c r e mu n d e rt h ec o f f n n o nw a v el e n 尊hc o n d i t i o nb u ti nt h e s y n c h r o n i s mm a k e si n f l u e n c eo fr e s o n a n c ef u n c t i o nm o r eo b v i o u sw h e ni m p e l l i n ga n g e lf r e q u e n c y o fp a v e m e n ti se q u a lt od e f i n i t ea n g e lf r e q u e n c yo fv e h i c l e ，p r o d u c i n gg r e a t e rm o b i l el o a do l lt h e r e s o n e n c g t h ea n a l y s i sr e s u l to ft h i sr c s e a x c hd 0 - 眦o u tt h a tv e h i c l et r a v e l i n go nt h ep a v e m e n t p r o d u c e sp m b a b t yv e r yg r e a tm o b i l el o a dt ot h ep a v e m e n t t h a tm a x i r o u mm o b i l el o a dc o e f f i c i e m m a y b e o v e r 2s h o w s n m x h n 嗽m o b i l e l o a d i s o v e r 2 t i m e s 协t h e v e h i c l e d e a d l o a d b a s e do nt h es h e l lp e r m a n e n td e f o r m a t i o np m - a p p r 划t h e o r y , t h i sp a p e rc a l c u l a t e sp a v e m e n t s p e r m a n e n td e f o r m a t i o nu n d e rt h em o b i l el o a d , t h e na n a l y z e st h ee v e n n e s sv a r i a t i o no fh i g h w a y p a v e m e n t , a n dm a k e sac o n t r a s tt ot h ea c t u a ln l e a s t n er e s u l tt h ea n a l y s i sr e s u l tp o i n t so u t , t h a tt h e p a p e r sa n a l y s i sr e s u l th a saf a i r l yg o o dc o n s i s t e n tw i t ht h ea c m a lm e a s u r er e s u l t ，a n ds h o wt h e p a p e r sa n a l y s i st om o b i l el o a da n dc a l c u l a t i o nt ot h ep a v e m e n te v e n n e s sv a r i a t i o na r ef a i r l yr e l i a b l e t h i sp a p e rf i r e f l ya n a l y z e sm o b i l el o a do f u a v e l i n gv e h i c l eb yu s i n gav e h i c l ev i b r a t i o nm o d e lo f f o u r - d e g r e eo f f r e e d o mc o n s i d e r i n gv e h i c l er o l lf a c t o r , a n dm a k e sa n a l y s i sp r e c i s i o nl a r g e l yi m p r o v e f i r s t l ys e t t i n gai n t e r r e l a t i o nb e t w e e np a v e m e n te v e o n e s s , m o b i l el o a da n dp a v e m e n te v e n n e s s v a r i a t i o n ，a n dm a k i n gap r e d i c t i o nt ot h ep a v e m e n te v e m l e s sv a r i a t i o n t h ba c h i e v e m e n t so f r e l a t i o n s h i pb e t w e e np a v e m e n te v e a n e s sa n dm o b i l el o a dh a v et h e o r yv a l u e a n dc e r t a l n l yp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e t h er e s e a r c ha c h i e v e m e n t sp r o v i d et e c h n i c a ia s s i s t a n c ef o rt h e a p p r e c i a t i o no f a s p h a l tp a v e m e n tu s i n gp e r f o r m a n e k e yw o r d s ：v e h i c l e ，p a v e m e n tc v e i l n e ：s s ，m o b i l el o a d , c o u p l i n ga f f e c t i o n , p a v e m e n t e v e p n c s sp r e d i c t i o n 重庆交通学院学位论文原创性声明 本人郑重声明：所里交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中己经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名 、韶限 日期：o f 年f d 月，日 重庆交通学院学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权重庆交通学院可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在j 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于。 不保密彭 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名： 嘞依 指导教师签名：? 巧锄 日期：g 年j a 月3日 日期：哕年膳月；m 第一章概述 第一章概述 1 1 引言 汽车的出现不过一百多年，但发展却极为迅速。汽车的迅猛发展极大地推动 了交通和道路的发展，交通从机动车辆和非机动车辆共用一条道路的混合交通， 逐步发展到现在的高速公路。从我国大陆第一条高速公路沪嘉高速公路 1 9 8 8 年建成通车，高等级公路的发展直线增长，“七五”期间仅建成了沈大高速公 路等5 2 2 公里；“八五”期间建成了京津塘、济青、成渝高速公路等1 6 1 9 公里， 年均建成高速公路达3 2 4 公里；“九五”期间年建成高速公路达1 5 0 0 多公里，到 2 0 0 4 年高速公路已经接近2 8 0 0 0 公里。按国家目标是到2 0 2 0 年建成8 0 0 0 0 公里高 速公路。 相应地，伴随着快捷、舒适通道的高速公路广泛地建成通车，公路交通事业 也得到了蓬勃发展。目前，公路货运量超过了铁路货运燕，成为货运主要运输方 式；而公路客运几乎占总量的9 0 。随着公路运输量的增加，世界各国轴载质量 的限值和汽车总质量限值都有所提高，国际运输联合会于7 0 年代将单轴双轮的轴 载质量限值从1 0 t 提高到1 3t ；双联的轴载质量限值提高到2 1t ；汽车总质量提高 到4 5t 。我国交通部2 0 0 0 年2 月所颁布的超限运输车辆行驶公路管理规定也 对车辆轴载质量有新的规定：单轴单轮组载质量6t ；单轴双轮组载质量1 0t ：双 联轴双轮组载质量1 8t 。 1 1 1 行车环境 交通领域涵盖了路、海、空的各种运载工具，而不同的运载工具的运行环境 也不尽相同，飞行器的运行介质是空气；水面船舶的主要运行介质是水；车辆的 运行环境则是地面。 路面不平整使车辆在行驶中产生行驶阻力和振动，行驶阻力消耗车辆的功率 并且影响车辆动力系统和传动系统的寿命。车辆在行驶过程中施加于路面的荷载 不等同于静载，而是不断变化的荷载，即动载。不平整路面对车辆产生的冲击振 动，直接影响车辆的平顺性、乘坐舒适性以及悬挂系统的可靠性和寿命。同时阻 力和振动也对车速和操纵稳定性产生影响。目前我国高等级路面的极限轴载是1 0 t ， 但由于动载的存在，使得路面实际承受的轴载远大于此值，根据a a s h t o 试验得 到的四次方法则，重型车辆的动载同时又大大加速了路面的破坏，所以，路面不 平整是影响车辆运行环境的主要因素。 为了改善车辆的行驶质量，人们从车辆和道路两方面进行工作。一方面进行 车辆动力性、操纵稳定性、燃油经济性等方面的研究“另一方面从大道、驿道一 直发展到今天的高速公路，道路工程为提高车辆行驶质量，做出了不懈的努力和 第一章概述 2 巨大贡献。 1 1 2 路面平整度对车辆运行的影响 公路交通费用组成 “运输是生产过程在流通领域的继续”，而路面平整度将影响到产品的成本。 因此无论从宏观经济或微观经济的角度分析，路面的平整度都是重要的。图1 一l 为发达国家的公路交通费用的组成分析【i 】，表明交通基础设施建设费不超过1 5 ， 巨额的公路建设投资，将通过运输成本的降低，产生数以倍计的直接经济效益和 社会效益。从宏观经济分析，建设以高速公路为主骨架的干线公路网，通过时间 的节约、能源消耗的降低、轮胎与车辆等物资利用率的提高、事故损失的减少， 实现高效率是全社会有限资源合理、有效分配的必然。从微观经济分析，通过运 输费用的减少，产品成本下降，市场竞争力提高。如今有无高速公路已成为考察 投资环境的必要条件。 养护费 豳l l 发达国家的公路交通费用的组成 路面平整度的作用 道路对车辆运营费用的影响取决于道路的线型( 坡度和曲率) 与路面的平整 性( 平整度) 。图l 一2 给出一个实例。根据黑龙江省哈尔滨一大庆高等级公路交 通的发展，分析了坡度、曲率、平整度三大道路要素对通车第一年的车辆营运费 用的影响，同时预测了对设计年限末期第二十年车辆营运费用的影响。由图可知： 平整度对车辆营运费用的影响如此显著，一方面提高零件维修等费用明显地反映 出不平整造成车辆振动、使零件与车辆损坏的费用猛增，远远超过了油耗；另一 方面，影响费用的另一因素速度，它是平整度的隐函数。 第一章概述 豳1 - 2 路面平整度指数对车辆营运赘用的影响 ( 哈尔滨一大庆高等级公路) 由于平整度的重要影响，寻找路面平整度和车辆荷载之间的关系，是我们目 前需要分析的首要任务。 1 2 国内外研究状况及发展趋势 作为世界上经济科技实力最雄厚、公路交通与航空运输最发达的国家美国从 1 9 8 7 年开始，投资1 5 亿美元用于开发“战略公路研究计划”s t r a t e g i ch i g h r e s e a r c hp r o g r a m ，简称s h r p 计划，该计划于1 9 9 3 年结束后，国会又追加投资7 亿美元用于路面长期性能观测，其中相当大的一部分用于路面动力学研究，他们 对当代繁重交通作用下地面结构的设计方法必将以动力学为基础有着非常深刻和 长远的构思。 欧洲共同体也在日益抓紧这方面的研究，如英国剑桥大学工程学系在这方面 颇有建树。地面结构的动力学响应分析近年来也成为学术界十分重视的课题。从 国际上最负盛誉的权威刊物( j o u r n a lo f a p p l i e dm e c h a n i c s 以及a s m e ( 美国机械 工程师协会) 、a s c e ( 美国土木工程师协会) 的各种国际刊物上发表的论文就可 以看出，该领域已成为最活跃的热门领域脚【3 】。 在研究某种地面结构的动力响应时，作用的车辆荷载般地被认为是大小位 置均不随时间变化的恒载，而实际上这种简化只是理想的特殊荷载，没有真正涉 及真实荷载作用。真正的车辆荷载不仅是大小随时间变化而且是空间位置也随着 时间变化的随机荷载，这种随机荷载自然引起车辆的随机振动。而对车辆荷载的 研究也很少，只是汽车部门在研究减振和提商车辆行驶舒适性及疲劳寿命问题等 方面稍有触及。近些年来，国外的许多研究机构，尤其是一些实力雄厚的大型汽 车制造公司，如美国的福特公司、通用公司、日本的丰田公司等，都在路面不平 第一章概述4 整度对汽车振动的影响方面展开深入细致的研究，以期为完善汽车设计、减少车 辆振动和提高行车舒适性方面提供理论和试验依据。我国的清华大学、哈尔滨工 业大学、吉林工业大学以及长春第一汽车制造厂等单位也在车辆振动方面作了大 量的理论分析和试验测试工作。 在纵观国内外一些成果可知，汽车制造部门着重研究车辆振动模型；如k e v i n n 等的车辆振动模型。公路交通部门只注重研究汽车静载作用下的公路结构的响应， 在考虑汽车动荷载作用时所建的模型与实际荷载作用有较大的差距。而实际上车 与路的产生和发展来源于一个共同的要求，那就是交通和行路的要求，体现和运 作该共性的工程构件就是轮胎和地面。虽然我国的钟阳、王哲人( 1 9 9 2 ) 把汽车分 别简化为二自由度和五自由度体系，初步分析了车辆荷载与行车速度的关系网；东 南大学的黄晓明1 6 】、孙璐 7 1 等在上述模型上利用随机理论作了分析。但在建立车辆 振动模型时都忽略了轮胎阻尼的影响，考虑的是刚性轮胎。与汽车轮胎有较大的 差别。 从现有的研究成果可以看出，各个国家研究人员在各自的研究方面都取得了 各自的研究成果，但在如何把车辆振动模型( 与实际车辆振动相近) 与路面相作 用之间的结合应用方面还没有取得突破，在动荷载与路面不平整程度的耦合作用 研究方面还是空白。因此如何把行驶的车辆振动模型与路面结构之问的相互作用 结合，考虑车辆动荷载作用及其对路面的破坏作用，这将成为下一个重点研究方 向。今后的发展趋势必将沿着这一方面进行，在研究理论取得突破性发展时，在 路面设计理论中将以动力荷载作为设计标准，从而把实际荷载作用与路面之间的 响应纳入设计体系，根本解决目前设计理论中静荷载设计理论无法解决的路面使 用过程中的早期破坏及缺陷闷题。 1 。3 研究意义 中国是一个发展中国家，目前大多数公路平均行车时速只有3 0 公里，行驶速 度低，严重制约着经济建设和社会发展。车速上不去的主要原因有两个方面。一 是路面质量不好( 路面窄、平整度差、平交多等) ，二是混合交通( 机动车与非机 动车混行、机动车自身也不分车道地双向混行) ，实质就是公路等级太低。如果中 国公路长期处于这种现状，中国的经济、社会效益及发展将严重受损。今后，随 着经济的不断发展，公路运输量和交通量会曰益增长，汽车载重能力也将随之不 断增大，这些均会使中国大部分地区的公路运输尽早摆脱这种不适应的局面和困 境。从根本上扭转“滞后”状态。规划建设高等级公路是国外发展现代化交通运 输的成功经验。发达国家公路网建设和发展的经验告诉我们，高等级公路是任何 一种其他交通运输方式而无法取代的一种现代化交通运输手段，它在各种运输方 式的激烈竞争中，日益发挥着巨大的作用，其地位亦越来越高。 第一章概述 沥青路面是公路上目前最主要的路面结构形式。由于它有较好的弹性和韧性， 无接缝，平整度好，噪音低，行车舒适，耐磨，施工周期短，维修方便等特点， 所以，世界各国高等级和次高级路面铺装中沥青路面占有的比重达7 0 8 0 ，并且 仍将保持这种趋势。 作为快捷、舒适通道的高速公路，随着其广泛地建成通车、交通量的不断增 长及车辆的渠化行驶。使得永久交形成为高等级公路沥青路面的一种主要损坏形 式，永久变形危及行车安全，大大降低了高等级道路的使用性能，同时它的维修 养护较其它路面病害形式更为困难。调查表明：由于永久变形引起的路面损坏所 占的比例有越来越大的趋势，7 0 年代美国a a s h t o 发起的在各州所进行的路面 损坏调查表明，在州际的主要公路上，由于永久变形所导致的路面损坏约占3 0 ， 8 0 年代日本由于永久变形引起的路面损坏高达8 2 ，因此永久变形已经成为当今 沥青路面的三大损坏形式之一一疲劳、永久变形、低温开裂之冠的世界性问题 【8 】【9 】。 在我国，永久变形问题以前并未引起足够的重视，主要是由于我国以前道路 中沥青路面较薄，交通量较小，多为混合交通而未形成渠化，在永久变形形成以 前开裂问题已经十分突出，但是“八五”以来，随着我国高等级公路的迅速发展， 交通量成倍增长，渠化交通的形成以及城市道路和高等级公路的沥青路面层的增 厚，车辙、推移、拥包等路面永久变形问题日趋严重。 在高等级公路中，路面平整度对路面的使用性能有非常重要的影响，我国交 通部部颁标准公路工程质量评定标准j t j 0 7 l 9 8 ，对高等级道路的平整度以标 准差( 盯) 表示，要求仃 画 整一般仅是各个广义坐标的函数，它在平衡位置g ，一一q 。= 0 附近的泰勒 砸t 展开式可写成： 第二章车辆荷载振动理论 景2 景) + 莩高( 壶 o 毋+ 式中下标0 表示括号内的量取吼一- _ q 。= o 时的值。考虑到动能表示式只需 保留二阶小量，故式中的卺与 只需保留其泰勒级数中的常数项忠 辨旷莩- i i ) 。i 寺) o - c 。一， 写成矩阵形式，有； e = 去q 1 m 鱼 式中n 为广义速度列阵，m = 【珊。】为系统的质量矩阵。由式( 3 一i ) 可见，质 量矩阵为对称阵。 在常约束情形下，系统的势能仅是广义坐标的函数，即有： e v = 乜( q ) 它在平衡位置附近的泰勒展开式为： 驴乓( o ) + ；吼+ 三军毅矧。纠，+ 考虑到在系统平衡位置处，有： ( 豢 。一o ，玎 且不失一般性，可取： e 。( o ) = 0 故在占。的泰勒展开式中略去二阶以上的小量后。可得： 其中： 将势能写成矩阵形式，有： ( 3 2 ) t 慧 吼 l i w 、_ 一 q 罂强扣 l 一2 = d 2 = 。 玩 第二章车辆荷载振动理论 其中q 为广义坐标列阵，k = k 。】为系统的刚度矩阵。由式( 2 2 ) 可见，刚 度矩阵也是对称阵。 对于系统的阻尼，在线性模型下可由瑞利耗能函数日表示为： 坟= 昙口，口。 且有c 。= c 。，将也写成矩阵形式，有： 日= 昙【l c q 式中c = k 。】为阻尼矩阵，且假设c 也是对称阵。 将上述b 、e p 与日代入拉格朗日方程： 矾d1 8 瓦e k - 等+ 誓+ 等叼， 可得： 白。孽。+ 尊。+ k 吼) = q ，= l ，捍 或写成矩阵形式，有： 均+ 嘶+ 绚= q 式中 厶c 与足分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵，丽q 为广义扰力列阵。 由此可见，一个阼自由度线性系统的微振动微分方程一般可表示为一个联立的二阶 微分方程。 2 2 定常强迫振动的复数解法与频率响应函数 求解线性阻尼系数在谐和激励作用下的强迫振动时，采用复数形式比三角函 数形式更为方便。 当系统作用有余弦扰力f 0c o s o l 时，用表示系统的位移，得运动微分方程 为： 开端+ d l + 帆= 矗c o s o ) t ( 2 - 3 ) 当系统作用有正弦扰力f os i n c o t 时，用而表示系统的位移，得运动微分方程 为： 第二章车辆荷载振动理论 矾2 + c 圣2 + h 2 = r 血耐 ( 2 4 ) 对式( 2 4 ) 两端乘以- ，= 一1 ，再将它与式( 2 3 ) 相加，得： 埘g l + 扇) + c 0 。+ 豇2 ) + 七g ，+ 豇2 ) = r s 耐+ ，s i n 耐) ( 2 5 ) 利用欧拉表示式： p 妒= c o s o + j s i n 8 并引入复变量工，： 5 而4 - 豇2 ( 2 6 ) 方程( 2 5 ) 可写成复数形式： ，戚。+ d 。+ 盂k = f o e 耐 ( 2 7 ) 方程( 2 6 ) 右端代表复谐和扰力。我们寻求的是具有同样形式的定常复谐和 响应，故可将x ，表示为： x 。= x w e “ ( 2 8 ) 其中x 。为复数振幅，它取决于国的取值。由于复谐和函数求导数有着极为简 单的规则，即有： 乏! 翁x ； 伢。， j f c = 一国2 口。“j 故从方程( 2 7 ) 很容易求得复谐和响应t ，而由式( 2 6 ) 可见，x 。的实部r e k ) 就等于系统对余弦扰力的定常响应毛，而k 的虚部h n g 。) 就等于系统对正弦扰力 的定常响应x ，。 2 3 荷载振动模态分析理论 荷载振动模态分析有两种求解理论，其分别为实模态分析和复模态分析， 2 3 1 荷载振动实模态分析理论 ( 1 ) 无阻尼情形 首先考虑无阻尼多自由度线性系统，它的运动微分方程可表示为： 撒+ k x = f ( f ) 它的自由振动微分方程可表示为： 攒+ k x = 0 ( 2 1 0 ) 它的解可设为： 工= x s i n ( p t + 缈) ( 2 1 1 ) 第二章车辆荷载振动理论 其中卫为振幅列阵，p 为圆频率，p 为初相位，它们都是待定的量，将上式代 入自由振动微分方程( 2 1 0 ) ，可得： f x p 2 m x = 0 ( 2 1 2 ) 这一方程具有非零解的条件是： k p 2 m i = 0 ( 2 1 3 ) 它称为系统的特征方程。由此可确定p 2 的以个正实根p ? ，并按 p 。p 。排列，i = 1 , 2 ，珂。p 。称为系统的固有频率。将各个不同的p 。逐一代入式 ( 2 1 2 ) ，可得下列主振型方程： 一p 2 m 】石。= o , i = 1 , 2 , - 一，n( 2 一1 4 ) 由此在不计任意倍数差别的意义下，可由下式确定n 个实矢量z ，称为系 统的主振型( 也称为特征矢量) 由下式 z ，= x ，s i n ( p t t + 伊) ，f = 1 , 2 ， 表示的运动称为系统的主振动( 也称系统的固有振动) 。可见无阻尼线性系统 的主振动都是谐振动。每个主振动有其固有的频率p ，在每个主振动中，各个位 移分量振幅的大小与相位由主振型x ，确定。在这种情形下，系统的特征矢量都是 实矢量，故也称实模态，这时同号的各个位移分量的运动是同相的，异号的各个 位移分量的运动是相互反相的。 主振型的一个重要性质是正交性，这种正交性表现为关于质量矩阵与刚度矩 阵的加权正交性，即当i j 时，有： x m x ，= o ，x l k x j = 0 ( 2 - - 1 5 ) 事实上，j ，与x ，分别为系统的第i 个与第歹个主振型，因而有： k x ，= p ；删f ，k x ，= p ；j 垭r ，( 2 - - 1 6 ) 将( 2 - - 1 6 ) 的第一式转置，再乘以z ，：对( 2 - - 1 6 ) 的第二式前乘以x 7 ， 然后两者相减，可得： ( p ；一p ；) x 5 脚。= 0 ( 2 - - 1 7 ) 考虑到a 不等于p ，于是式( 2 1 5 ) 中的第一式得以证明；同理可证明其 第二式成立。 注意到当i = ，时，不论z 7 似，取何有限值，式( 2 - - 1 7 ) 恒成立，因而可取： 第二章车辆荷载振动理论 m ，= x m r ，k ，= x t r , ( 2 1 8 ) 其中m ，称为模态质量，墨称为模态刚度：且有： p ；= 鲁 引入实模态矩阵4 ， a = 瞄以】 则上述结果可写成矩阵形式： 4 7 埘= d i a g m , ，a 7 k a = d i a g k 。】 系统的主振型通常只确定到包含个任意常数乘子，因而可以选取归一化振 型如下：即选取这样的置，使式( 2 - - 1 8 ) 中各个m 。都等于l ，而这时各个x ，就 等于p ；。 上述主振型的正交性非常重要，根据它可以通过实模态变换来使系统公式( 2 3 ) 解耦，引入如下实模态变换： x = a y ( 2 1 9 ) 不妨假设4 中各个主振型均已归一化，对方程( 2 1 0 ) 前乘于爿7 ，并用上述实 模态变换代入，可得： a 7 勉妙+ 4 7 k a y = a 7 f ( t ) ( 2 2 0 ) 由上述正交性，即得： j j + d a g p 2 y = 彳7 f ( t ) ( 2 1 2 1 ) 其中4 7 f ( t ) 称为广义激励( 也称为模态激励) 列阵，记为： g ( f ) = 【q i ( 0 】= a 7 f ( t ) 于是式( 2 2 1 ) 也可写成标量形式： _ j ) 4 - p ? y 。= 口。( f ) ，i = l ，行 ( 2 - - 2 2 ) 可见，系统已经解耦了。各个y ，称为模态坐标，而由方程( 2 2 2 ) 确定的y 。( o 称为模态响应。由式( 2 1 9 ) ，系统的物理坐标响应x 可表示为模态y 的线性变换。 ( 2 ) 经典阻尼情形 再来看经典阻尼的情形，设线性阻尼系统的运动微分方程可表示为： 第二章车辆荷载振动理论 攒+ c 量+ k x = ，( ，) ( 2 2 3 ) 它与方程( 2 1 0 ) 相比，只是增加了一个线性阻尼项，其中c 是阻尼矩阵， 能否利用上述实模态变换来使系统( 2 2 3 ) 解耦，关键在于阻尼矩阵c 在上述实模 态变换下能否化为对角阵，如果有： a 7 c a = d i a g q 】= d i a g 2 m , ( i p , 】 那么系统( 2 2 3 ) 就可以化为： ，+ d 妇 2 p 。】多+ 勰 p 力j ，= a 7 ，o ) ( 2 - - 2 4 ) 于是系统( 2 2 3 ) 已经解耦成功。从而上述线性阻尼系统的响应问题就可以转 化为疗个独立的阻尼谐振子的响应问题。 可以证明：阻尼矩阵c 可借实模态变换为对角阵的充要条件为： c m k = m “c ( 2 2 5 ) 与之等价的条件( 假设置与c 正定) 为； m k c ；c k 一1 m 或m c k = k c 。m 满足条件式( 2 2 5 ) 或其等价条件的阻尼，称为经典阻尼。总而言之，凡是无 阻尼的或具有经典阻尼的以个自由度系统总可以通过实模态分析，将系统的响应化 为一个独立的1 自由度系统的模态响应问题，从而使河题大为简化。 2 3 2 荷载振动复模态分析理论 由于质量、阻尼、剐度矩阵都为对称矩阵，所以下面就对称系统的响应问题 介绍复模态分析理论，现在来考虑非经典阻尼的情形，一般的一个自由度相形阻尼 系统的运动微分方程总可以表示为： 槭+ 矗+ 舡= ，o ) ( 2 2 6 ) 式中m 、c 、k 分别为系统的质量、阻尼、刚度矩阵，而且它们都是起x ，l 阶实 对称阵，且m 为正定矩阵，c 不满足可对角化条件( 2 2 4 ) ：工是位移列阵，( f ) 是 激励列阵。 对应于系统的自由运动有； m + c y c + 叔= 0( 2 2 7 ) 这时系统的自由运动可设为： x = x + j( 2 2 8 ) 其中z 可表示为； j = g e “ ( 2 2 9 ) 第二章车辆荷载振动理论 式中u 与九均为待定的量，将上述z 代入方程( 2 2 7 ) ，可得： 【刀m + 缸+ 七弘+ 【矛拼+ - 石c + k p = 0 ( 2 - - 3 0 ) 上式左端第一项为对应于x 所得的结果，如果这一项等于零，即： 【磐刀2 + 量c + 蠹】芦= 0 ( 2 3 1 ) 则式( 2 3 0 ) 自然满足，因而只需要考察上式就可以了。x 常称为方程( 2 - - 2 7 ) 的特征解，p 与 分别为待定的特征矢量与特征值，方程( 2 3 1 ) 有非零 解的充要条件是： f a 2 m + a c + k = o ( 2 3 2 ) 这就是线性阻尼系统的特征方程。由此可确定2 行个特征值以，= l ，2 以。和 无阻尼系统的特征方程情形不同，这时的a ，可以是实的，也可以是复的。当阻尼 矩阵正定时，所有特征值具有负实部，对应于系统衰减的固有运动。当阻尼属于 亚临界情形时，所有特征值都是复的，且共轭成对地出现，而每一对共轭复特征 值对应于系统中一个具有特定频率与减振幅的衰减固有振动。 对应于任意一个特征值丑，记与之相应的特征矢曩为以，姆它们代入方程( 2 - - 3 1 ) ，可得： 【a 2 m + 4 c + 七】，= 0 ，r = 1 ，一，2 聆 ( 2 3 3 ) 由此，在不计任意复数倍差别的意义下，对应于每一个矗，可确定一个复特 征矢量，称为复模态或复主振型。 当系统的各个特征值都不相同时，系统的2 一个特征解可表示为： x ，= ，e 掣，= 1 ，2 n 由系统的2 n 个复特征矢量z ，可构成一个耳x 2 n 阶复模态矩阵弘： = 【1 2 。】聃2 。 可是我们不能用它来直接对系统( 2 2 6 ) 进行解耦，因为对于口，不存在像 实模态矩阵4 那样的关于射与鬈的加权正交性，这个困难可以解决如下：引入状 态变量，将方程( 2 2 6 ) 改写成： m y + 缈= f ( o ( 2 3 4 ) 删丑) 叶了： m c 1，j ) ” 问h p b = 一一 y 膨 中其 第二章车辆荷载振动理论 由m 、c 、k 都是对称矩阵的假设，不难看到，这时肘与k 也是对称阵。 考察系统( 2 - - 3 4 ) 的自由运动时，有： 膨+ k y = 0 ( 2 - - 3 5 ) 考虑到方程( 2 - - 3 5 ) 与( 2 - - 2 7 ) 描述的是同一个系统的自由运动，所以它 们应有同样的特征值与相当的特征解，即方程( 2 - - 3 5 ) 的特征解e 可表示为： r = 鼢例 所以系统( 2 - - 3 5 ) 中与特征值4 对应的特征矢量u ，可表示为： q = m 不难证明( 2 - - 3 5 ) 的特征矢量u ，具有关于m 与盖的加权正交性。即当，s 时有： u ：k u ，= 0 u ：删r = 0 事实上有方程( 2 - - 3 5 ) 对应于4 与t 分别有： a ，删r 七k u ，= 0 以m u ，+ k u ，= 0 对上式第一式前乘以醒；将第二式转置后，再乘以u ，；分别得： & u m u ，+ u r k u ，= 0 a s u m u r + u ：k u ，= 0 ( 2 - - 3 6 ) 上述两式中第一式减第二式可得： ( 以一矗) 啦m u ，= 0 ( 2 - - 3 7 ) 可见当，j 时，由于 丑，故有：晖m u ，= 0 ，s 由式( 2 - - 3 6 ) 随之可得： u s x u = 0 ，r s 系统( 2 - - 3 5 ) 的复特征矢量关于m 与置的加权正交性由此得证。 当r = s 时，不论u , m u ，取何有限值，式( 2 - - 3 7 ) 恒满足，故可以记： 第二章车辆荷载振动理论 1 9 u i m u ，= m ，u f k u ，= 七， 由式( 2 3 6 ) 可知有： k ，= 一4 珊， 孵，与七r 分别称为第r 个模态质量参数与模态刚度参数，它们一般为复数，而 且对于共轭的特征矢量，相应的参数也是共轭的，由u ，与m 的定义不难推得： m ，= 又2 以m + c 弘， ( 2 3 8 ) 由2 稃个u ，可以构成系统( 2 - - 3 5 ) 的2 n x 2 n 阶复模态矩阵u ： u 婀一吲= 阴 其中 为系统的特征值矩阵，其为： 五= d i a g , z r 】，= 1 ，2 珂 根据上述复特征矢量的正交性，借助于如下复模态变换： y=uz(2-39) 其中z 为复模态响应列阵，其为： z = k z 2 。r 可以对系统( 2 - - 3 4 ) 进行解耦，对式( 2 - - 3 4 ) 前乘以u 7 ，可得： u 7 凇+ u 7 k u z = u 7 f o ) 即有：d i a g m ，弦+ d i a g k ，】z = 7 ( t ) 或写成： l 一七= d i a g m ；1 7 f ( t ) ( 2 - - 4 0 ) 或写成标量形式有：、 j ，一五三，= m i l 7 ，( f ) ，r = 1 ，2 ( 2 - - 4 1 ) 这样借助于状态变量以及复模态变换( 2 3 9 ) ，系统( 2 3 4 ) 最终可以转化 为2 聍个已解耦的一阶复模态响应方程( 2 - - 4 1 ) ，也就是说非经典阻尼情形下的n 自由度线性系统的响应问题，总可以通过复模态分析，转化为2 订个独立的一阶系 统的复模态响应问题。 2 3 3 系统动力晌应的一般公式 多自由度线性阻尼系统的响应闽题，总可以通过实模态或复模态分析，归结 第二章车辆荷载振动理论 为若干个单自由度系统或一阶系统的模态响应问题。下面分别就初始激励、复谐 和激励以及任意形式的激励，给出系统响应的一般公式。 ( 1 ) 非对称系统经典阻尼情形 a 自由振动 设系统的初始条件为： z ( o ) = x o ，童( 0 ) = ，r = 0 从而有： y ( o ) ：耳； ，z ( o ) ；u 一1 y ( o ) l z o j 考虑到： v r m u = 如g k ：】 由此得： u 。= 懈k r j ，7 m 因而有： 邢，= 嗽k ：) _ 三震 或写成： 硝o ) = 暑阢眠+ 眦；慨l ，- 1 ，勘 这时，系统的复模态自由振动微分方程可写为： j ，一4 z ，= o ，= 1 ，2 一 它对应于上述初始条件z ，( o ) 的解为： 轳。雠掣寺k 臌