（应用数学专业论文）基于经验模式分解的信号处理方法研究.pdf

河南大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 1 9 9 8 年，n o r d e ne h u a n g 为了有效地分解非线性非平稳信号，首先提 出了经验模式分解希尔伯特谱( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n h i l b e r t s p e c t r u m ，e m d h s ) 的概念，从而使瞬时频率有了确切的物理意义。众所 周知，小波和f o u r i e r 变换都是将信号先在一簇基函数上进行展开，然后 对信号进行分析。虽然f o u r i e r 变换能够在频域内得到非常高的分辨率， 但是在时域内却失去了多分辩能力。而小波虽然能在时域和频域内同时具 有较好的分辨率，但是却由于频率空间的范围越来越小，代表比较高级别 的细节分量的小波也越来越少，这样往往对于分析的结果来说是很不利 的。而基于e m d 的方法仅依据数据本身的信息进行分解，与小波分析相 比不但具有小波分析的全部优点，而且在分辨率上能消除小波分析的模糊 和不清晰，还能准确的反映出原信号的物理特征。 本文开展的主要研究工作如下： 1 、论文首先阐述了e m d 时频分析方法，给出了其与传统时频方法的 比较，分析了h i l b e r t h u a n g 时频谱( h h t 谱) 的物理意义。其后又归纳总 结了e m d 算法的性能，列出了其中的关键问题，并结合一维的e m d 算 法给出了二维的e m d 分析算法。 2 、建立了基于小波与卡尔曼滤波混合预报的边界问题的新方法。针 对前面提到的e m d 中的关键问题，分析了已存在方法中的不足，研究了 解决边缘效应影响的新方法。新方法从数据延拓的角度，利用卡尔曼滤波 所具有的实时性和递归性，以及小波变换的多尺度分析特征，将两者有机 的结合起来解决边界问题。 3 、开展了基于第二代小波去噪的e m d 边缘问题方法研究。从噪声对 边界问题的影响入手，引入了去噪性能比较好的第二代小波，通过对比去 除噪声后的e m d 分解和去噪前的e m d 分解相比较，分析了噪声在e m d 分解中的影响，从而从另一个方面来解决边缘效应的问题。 4 、利用数学原理并结合仿真实验，对上述新方法的性能进行了验证， 迸一步验证上述方法在提高e m d 分解精度进而改善时频分析性能的有效 第1 i 页河南大学硕士研究生学位论文 性。 关键词：e m d 分解；边缘效应；小波和卡尔曼滤波混合预报；第二代小 波去噪 河南大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 a bs t r a c t e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n h i l b e r ts p e c t r u m ( e m d h s ) w a sf i r s t p r o p o s e db yne h u a n gi n19 9 8 ，w h i c hc a nd e c o m p o s et h en o n l i n e a ra n d n o n s t a t i o n a r ys i g n a l s ，t h e ng i v e s ab e t t e r u n d e r s t a n d i n go ft h ep h y s i c s b e h i n dt h es i g n a l s a si sw e l lk n o w n ，b o t hw a v e l e t sa n df o u r i e r s p e c t r a l a n a l y s i se x p a n ds i g n a l si n t oas e to fb a s i sf u n c t i o n sw h i c ha r ed e f i n e db yt h e u n d e r l y i n gm e t h o d f o u r i e rt r a n s f o r mc a no b t a i nab e t t e rr e s o l u t i o ni nt h e f r e q u e n c yd o m a i n ，b u tn o ti nt h et i m ed o m a i n w a v e l e t sc a no b t a i nab e t t e r r e s o l u t i o n s i m u l t a n e o u s l y i nt h et i m ea n d f r e q u e n c yd o m a i n s ；b u t d i m i n i s h i n gf r e q u e n c y d o m i n a n tr a n g ew i l l r e s u l ti nt h ed e c r e a s e o ft h e w a v e l e t so fh i g h - l e v e ld e t a i lc o m p o n e n t s i ti s d i s a d v a n t a g e o u st oa n a l y s i s r e s u l t s e m di sb a s e do nt h e l o c a l c h a r a c t e r i s t i c ，t i m es c a l eo ft h e d a t a c o m p a r e dw i t hw a v e l e t s ，e m dh a sa l la d v a n t a g e so fw a v e l e t s ，d i s p e l st h e i r f u z z i n e s sa n du n c l e a r n e s s ，s oc a na c c u r a t e l yr e f l e c t sp h y s i c sc h a r a c t e r i s t i c s o f t h ep r i m i t i v es i g n a l s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t sa r ea sf o l ! o w s ： 1 t h ed i s s e r t a t i o nf i r s tr e v i e w st h ee m dt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s m e t h o d ，c o m p a r e st h ee m dw i t hs o m et r a d i t i o n a lt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s m e t h o d s ， a n d g i v e s t h e p h y s i c s c h a r a c t e r i s t i c so f h i l b e r t h u a n g t i m e r e q u e n c ys p e c t r u m ( h h t ) s u b s e q u e n t l y ，t h ep r o p e r t i e so fe m da r e s u m m a r i z e d ，a n dt h ep i v o t a lp r o b l e m sa r ep r e s e n t e di nt h ee m da l g o r i t h m f i n a l l y ，i nt e r m so ft h e1 de m da l g o r i t h m ，t h e2 - de m dm e t h o di sg i v e n 2 i no r d e rt os o l v et h ep r i m a r yp r o b l e m si nt h ef o r m e rs e c t i o n ，t h e d e f i c i e n c yo ft h ek o n w nm e t h o di sa n a l y z e d ，t h e nan e wm e t h o do fe m de d g e p r o b l e mb a s e do nw a v e l e t - k a l m a nf i l t e r i n gh y b r i df o r e c a s ti sp r o p o s e d t h e n e wm e t h o dm a k e su s eo ft h er e a l - t i m ea n dr e c u r s i v ep r o p e r t i e so fk a l m a n f i l t e r i n ga n dm u l t i s c a l e 。a n a l y s i sp r o p e r t i e so ft h ew a v e l e t s ，a n dc o m b i n e s t h e mt os o l v ee d g ep r o b l e mb yd a t ae x t e n s i o n 第1 v 页河南大学硕士研究生学位论文 3 d u et ot h ei n f l u e n c eo fn o i s ei ne d g ep r o b l e m ，t h es e c o n dg e n e r a t i o n w a v e l e t sa r ei n t r o d u c e di nt h ed e s s e r t a t i o n ，w h i c hh a v ep o w e r f u ld e n o i s e c h a r a c t e r i s t i c a f t e rc o m p a r i n gt h en o i s ee m dw i t ht h ed e n o i s ee m d ，a n d a n a l y z i n gt h ei n f l u e n c eo fn o i s eo nt h ee m d ，t h ee d g ep r o b l e mc a nb e s o l v e db yt h es e c o n dg e n e r a t i o nw a v e l e t sd e n o i s et e c h n i q u e 4 t h e p e r f o r m a n c e o ft h en e wm e t h o dh a sb e e nt e s t e d b yb o t h m a t h e m a t i c a lt h e o r ya n ds i m u l a t i o n s f u r t h e r m o r e ，i ti sc l e a r t h a tt h en e w m e t h o dc a ng r e a t l yi m p r o v et h ep r e c i s i o no fe m da n dt h ep e r f o r m a n c eo f t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s k e yw o r d s ：e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ；e d g ep r o b l e m ；w a v e l e t k a l m a n f i l t e r i n gh y b r i df o r e c a s t ；t h es e c o n dg e n e r a t i o nw a v e l e td e n o i s e 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成粟，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名：塑噎 学位论文指导教师签 2 。尹们臼 河南大学硕士研究生学位论文第1 页 第l 章绪论 1 1 数字信号处理的意义 数字信号处理是起源于十七和十八世纪数学的一个学科，自2 0 世纪6 0 年代以来，随着计算机和信息学科的飞速发展，数字信号处理( d i g i t a ls i g n a l p r o c e s s i n g ，d s p ) 技术应运而生并迅速发展，现在已经形成一门独立的学科 体系。简单地说，数字信号处理是利用计算机或专业处理设备，以数值计算 的方法对信号进行采集、变换、综合、估值与识别等加工处理，借以达到提 取信息和便于应用的目的数字信号处理系统具有灵活、精确、抗干扰强、 设备尺寸小、造价低、速度快等突出优点，这些都是模拟信号处理系统所无 法比拟的。 数字信号处理这一学科主要研究用数字或符号序列表示信号和处理这 些序列，处理的目的可能是估计信号的特征参数，也可能是把信号变换成某 种更符合要求的形式。五十年代以前信号处理主要还是用模拟设备实现的， 到了五十年代出现了一些例外情况，在那些需要进行复杂信号处理的领域中 尤为明显。例如，在分析某些地球物理数据时就是如此，这种场合可以先把 数据记录在磁带上，然后在大型数字计算机上加以处理。这类问题是利用数 字计算机进行信号处理的早期例予之一。这种数字信号处理方法一般不是实 时的，例如几秒钟的数据，往往需要几分钟甚至几小时才能算完。即使是这 样，数字计算机的灵活性仍然使这一崭新的方法引起了人们的极大注意。就 在同一时期，还出现了用计算机作信号处理的另一种方法。人们常常在用模 拟硬件实现信号处理系统之前，先在数字计算机上模拟它。利用这种办法， 一个新的信号处理算法和系统，在提供研制经费和器材之前，可以先在灵活 的实验环境下进行研究另外由于高速计算机的出现促进了日益复杂巧妙的 信号处理算法的发展，同时集成电路近年来有了突飞猛进的发展有可能比较 经济地实现十分复杂的数字信号处理系统。目前简单的数字滤波器已制成集 成电路片，几乎所有的语音带宽压缩系统都倾向于全数字化，数字处理机已 成了许多现代化雷达和声纳系统不可缺少的部分。除了专用数字信号处理硬 件有所发展之外，还出现了可编程序的数字信号处理专用计算机，这种计算 第2 页湃南大学硕士研究生学饿论文 视静稳造特爰逶予解决数字信号处理阏题，它嚣蓠应魇予实对信号楚纛以及 设计，模拟专用敫字硬件。 数字信号处联在理论上所涉及的范围及其广泛。在数学领域中的微积 分、穰率统计、随祝过程、藏等代数、数值分析、遥师代数、复交函数等都 是它的基本工具，网络理论，信号与系统等均是锻的理论基础。在学料的发 震上，数字信号处理又和最德控割、遴信理论，数障诊断譬繁紧摇连，近年 来，又成为人工餐能、模式识鄹、神经阉络等新兴学科的理论基础之，其 算法的实现( 无论是硬件还熄软件) 又和计算机学科及微电予计数密不w 分。 因此，霹戳说，傣号处理是识经典戆爨论钵系( 麴数学、系统) 终为爨基熬 理论基础，同时叉使自己成为一系列新兴学科的瑷论基础。 数字信号处理的重要性仍在不断撮高，毫无停滞的迹象。伴随着通信技 拳、急子技拳及每 冀规熬飞运发震，数掌售号处瓒理论逛在不叛熬丰褰簿完 善，备种新的算滋、新的理念正在不断推出在过去2 0 多苹中，平稳信号 的高阶统计量分析、非平稳倍号的联合时频分析，信号的多抽样率分析，小 渡交换及独立分爨癸辑、经验模式分鳃分辑等裁鹣信号薤瑾瀵论蠡取褥了长 足的进展。日前，以d s p 稿片为核心，加上相威的软件及备种档次的开发 设备，数字信号处理正在形成一个具有较大潜力的产业与市场，几乎所有的 工程技零领域藜簧涉及萤号瓣蘧。这骜嫠号蔻嚣魄戆、磁瓣、爨藏戆、熬豹、 声的、光的及生物医学的等备个方向。因此可以说，信号处溅几乎涉及所有 的工稷技术领域【。 农霹戳蔟冤懿未来，这一学释蒋寒瓣发震霹撬魄骥君夯缫黪发震避疆更 加引人注目。 l 。2 论文麓璎究誊景 由信号的统计特性可以把信号分为平稳信号和非平稳信号，通常把备阶 统计量怠时阐无荚的售号称为平稳信譬，两把菜阶统计量随时间改变耐改变 酌信譬称为非平稔信号。诸鲡正弦波裁楚平稳信芍，丽鑫相荧函数或功率谱 密度随时间变化的信号则是媳型的非平稳信号。传统的统计信号处理育兰个 主要基本缓设：线性、嘉斯瞧釉平稳性，瑟现找嚣警稳信号处理捌以嚣线性、 菲商斯僬和菲平稳毪作为分轿与处理对象。菲平稳信号的分析与处理京实际 河南大学硕士研究生学位论文第3 页 生活中也占有重要地位，已广泛用于雷达、通信、自动控制、地震勘探及生 物工程等许多工程领域。实际中的许多信号都是非平稳的，但长期以来受这 方面理论的限制，通常只好将这些非平稳信号近似为平稳信号来处理，其处 理结果也必然存在一定的缺陷。非平稳信号的分析与处理时信息科学与技术 总多学科重点发展与应用的新兴技术之一，它在物理、生物医学、地球屋里 等众多学科引起广泛的研究与用兴趣。 1 9 9 8 年，n o r d e ne h u a n g 为了有效地分解非线性非平稳信号，首先提 出了经验模式分解希尔低特谱( e m p i r i c a lm o d ed e e o m p o s i t i o n h i l b e r t s p e c t r u m ，e m d h s ) 的概念，从而使瞬时频率有了确切的物理意义。众所周 知，小波和f o u r i e r 变换都是将信号在一簇基函数上展开。虽然f o u r i e r 变换 能够在频域内得到非常高的分辨率，但是在时域内却失去了分辩能力。小波 虽然能在时域和频域内同时具有较高的分辨率，但是由于频率空间的范围越 来越小，代表比较高级别的细节分量的小波也越来越少。即每次小波变换后 变换点的数目就减少一倍，这样对于分析的结果很不利而基于e m d 的方 法仅依据数据本身的信息进行分解，与小波分析相比不但具有小波分析的全 部优点，而且在分辨率上能消除小波分析的模糊和不清晰，还能准确的反映 出原信号的物理特征由于e m d 方法比w a v e l e t 方法以及现存其他所有信 号处理方法都有更强的局地特性，因此在处理强间歇性信号时，e m d 方法 是目前最好的一种。 短数据序列的处理在实际应用中往往是不可回避的问题，在线性框架下 基于e m d 分解的h i l b e r t 谱与w a v e l e t 谱具有相同的表观特性，但是h i l b e r t 谱在时域和频域内的分辨率都远远高于w a v e l e t 谱，依此得到的分析结果能 够准确地反映出系统原有的物理特性。能够准确地处理非常短的数据序列是 e m d 分解以及与之相关的h i l b e r t 变换的另外一个优点。虽然其它信号处理 方法也能够处理短数据序列，但效果均不理想。在非线性框架下，对信号 e m d 分解后得到的基本模式分量( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，i m f ) 进行h i l b e r t 变换，得到的三维谱能够准确地反映出系统的非线性变化特性，这是以往各 种信号处理方法所不能比拟的【】。 综上所述，开展关于e m d 研究是具有重要的理论意义和较广泛的工程 第4 页河南大学硕士研究生学位论文 应用前景。 1 3 国内外研究现状分析 自1 9 9 8 年h u a n g m 提出这种新的信号处理方法以来，已经引起了越来越 多学者的注意，大家在对这种处理方法给予肯定的同时，也开始着手研究 e m d 方法中存在的问题。e m d 是一种经验的方法，所以一直缺少数学模型， 建立e m d 方法的数学模型是大家现在研究的热门问题，但是这方面的研究 至今没有什么进展，2 0 0 6 年的国家自然科学基金数学类的重点基金中就有 关于这方面的项目。e m d 中另外一个比较重要的问题就是边界的处理。由 于在分解的过程中使用了样条插补，而样条函数在数据的两端会出现发散现 象，并且这种发散的结果会随着这个过程不断的进行向内的“污染”，从而使 得分析的结果严重失真。h u a n g 在其介绍e m d 方法的文章中虽然提到了根 据特征波对原信号的数据序列进行延拓的方法，但是没有给出确定合适的特 征波的具体方法。实际上，他们的方法已经向美国宇航局( n a s a ) 申请了 专利【4 】。由此可以看出数据延拓方法的在e m d 分解中的作用。也正因为如 此，当遇到处理短数据序列的问题时人们不得不花钱购买h u a n g 的e m d 分 析软件，否则e m d 分解方法将变得毫无作用。邓拥军【6 1 中采用的是基于神 经网络的方法对短时信号进行处理，但是神经网络的方法缺乏自适应性。对 于不同的信号，往往需要选择不同类型的神经网络算法，因此这种方法不具 有通用性。黄大吉等m 】提出用镜像闭合延拓来处理边界问题，但是其处理的 是对称性较好的信号，如果原始波形不存在很好的对称性，这种方法就无法 适应延拓的需要。 此外，在e m d 的具体应用中，也会有新的闯题出现，a n n al i n d e r h e d 在文 2 0 1 将经验模式分解用到了图像处理中，在图像分析中的e m d 极值 点选择的问题也是一个难点。 1 4 论文结构 本论文的内容安排如下： 第二章首先回顾了传统的时频分析方法，探讨了e m d 方法的基本原理 河南大学硕士研究生学位论文第5 页 以及相关的知识，最后论述了基于e m d 方法的h i l b e r t 变换的相关知识，这 些为后面的内容做好了理论铺垫。 第三章主要是对e m d 这种新方法的一些性能的归纳总结，然后探讨了 e m d 分解中的几个关键问题，以及e m d 的二维扩展，这其中的一些讨论到 的问题将在后面的章节中给出具体的解决方案。 第四章将信号的小波变换系数描述为卡尔曼滤波( k a l m a nf i l t e r i n g ，k f ) 方法的状态变量，进而将k f 和小波分析相结合，提出了既具有实时性和递 归性又具有多尺度分析能力的小波一卡尔曼滤波混合估计与预报方法 ( w k h e f a ) ，通过这种方法来进行边界的延拓，能有效的解决e m d 的边 界问题。另外，从噪声的角度而言，利用了去噪性较好的第二代小波去噪， 然后对信号进行e m d 分解，通过实验证明，这样也能有效的解决边界效应 带来的影响，从另一个角度来解决边界效应的问题。 最后，对论文的工作进行总结和展望。 本章小节 本章首先给出了数字信号处理的概述，介绍了论文的研究背景，以及经 验模式分解的国内外研究现状，最后对本论文的工作做了介绍，给出了论文 的结构安排。 第6 页河南大学硕士研究生学位论文 第2 章基于e m d 方法的时频分析和h i l b e r t 变换 2 1 传统的非平稳信号的时频分析方法 2 1 1 短时f o u r i e r 分析方法 对于平稳的数据序列，最常用的处理方法是f o u r i e r 变换。f o u r i e r 分析 是1 9 世纪2 0 年代法国数学家f o u r i e r 提出的一种经典时频分析理论，它是 以纯数学和应用数学为基础建立起来的一门学科，在科学与技术的众多领域 中发挥着十分重要的作用。自f o u r i e r 变换首次公布至今，它一直是信号处 理领域中应用最广泛的一种分析手段。但f o u r i e r 变换只是一种纯频域的分 析方法，它在频域的定位性是完全准确的，而在时域无任何定位性或分辨能 力，也就是说f o u r i e r 变换所反映的是整个信号在全部时间下的整体频率特 征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息。而且对f o u r i e r 谱的分析也 存在一些限制条件：( 1 ) 系统必须是限制的，( 2 ) 数据必须具有严格的周期 性或者说是平稳的，否则所得到的谱将没有太多的意义。与之相反的是，当 一个函数用万函数展开时，它在时域内的定位是完全准确的，而在频域内失 去了分辨能力，即艿函数分析所反映的是信号在全部频域上的整体时域特 征，且不能提供任何频率段所对应的时间信息。 在实际应用中，几乎所有的信号都是非平稳的( 如声学信号，海浪波面 信号，地震波信号等) ，它们的频域特征都随时间而变化，因此是一种时变 信号。对于这类时变信号的分析，通常需要提取某一时间段( 或瞬间) 的频域 信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于f o u r i e r 分析和万 分析之间的，并具有一定时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号，一直 是信号处理领域长期以来努力的目标1 4 。 1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名的o a b o r 变换 i l l ，之后又迸一步发展成为短时 f o u r i e r 变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r l n ，s t f t ) ，也称加窗f o u r i e r 变换9 1 。 短时f o u r i e r 变换是研究非平稳信号最广泛使用的一种方法。它的基本思想 是把信号划分为许多小的时间间隔，用f o u r i e r 分析每一个时间间隔，以便 确定哪个时间间隔中存在的频率。这些频谱的总体就表示了频谱在时间上是 河南大学硕士研究生学位论文第7 页 怎样变化的【7 l 。换而言之，它是基于加时间窗的f o u r i e r 谱分析，通过在时间 轴上连续滑动窗口，可以得到一个时频分布。 给定一个时间宽度很短的窗函数g ( o ，令窗口滑动，则信号j ( f ) 的短时 f o u r i e r 变化( s t f t ) 定义为： s t r r ( t ，功= ip ( f ) g ( f - t ) e - 朋d t ( 2 - 1 ) 式中代表了复数共轭。正是窗函数g ( 0 的时间移位和频率移位使短时 f o u r i e r 变换具有了局部特性，它既是时间的函数，又是频率的函数。对于 一定的时刻t ，s t f t ( t ，国) 可视为该时刻的“局部频谱”。定义式( 2 - 1 ) 表明，信 号s ( ，) 在时间t 的s t f t 就是信号乘上一个以t 为中心的“分析窗”g ( f 一力所 作的f o u r i e r 变换。由于信号j 0 1 ) 乘一个相当短的窗函数g + ( f 一力等价于取出 信号在“分析时间”t 附近的f o u r i e r 变换，即“局部频谱”i t 7 】。 目前，s t f t 变换已在许多领域获得了广泛应用。但由于s t f t 的定义 决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，这对于 分析时变信号来讲是不利的。高频信号一般持续的时间很短，而低频信号持 续时间较长，因此，我们期望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号则 采用大时间窗进行分析。在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同s t f t 的固定时间窗( 窗不随频率变化) 的特征是相矛盾的，这就限制了s t f t 的应 用范围和应用效果。 2 1 2w i g n e r v i | l e 分布 进行时频分析的基本目的就是确定一种时频分析函数，使其能够确定在 时间t 及频率f 处信号的那部分能量，在短时f o u r i e r 变换的基础上，可以加 以改进，得到理想的分析方法。有别于上述的短时f o u r i e r 变换，c o h e n 类 双线性表示的实质就是将信号的能量分布于视频平面内，其中w i g n e r v i l l e 分布就是一种最基本的双线性表示形式，这种分布最初是由w i g n e r 在量子 力学中提出的c ， l 。w i g n e r v i l l e 分布有时又被称为h e i s e n b e r g 小波，根据其 定义，它是中心协方差函数的f o u r i e r 变换。对任何时间序列x ( f ) ，定义其 中心协方差为 第8 页河南大学硕士研究生学位论文 c c ( f ，t ) = x ( f 一寺) z + o + 去) ( 2 - 2 ) w i g n e r - v i l l e 分布则被定义为 矿( 工f ) = re ( f ，t ) e - # d r( 2 3 ) ( 2 - 2 ) 中x ( t ) 出现两次，所以称其为双线性变换，式中不含任何的窗函数， 因为避免了短时f o u r i e r 变换时间分辨率和频率分辨率相互牵制的矛盾，它 的时间带宽积达到了h e i s e n b e r g 测不准原理给出的下界。由于这一优点 以及这种分布的许多良好性质，它被广泛地研究并在实际工程中得到大量地 应用。下面介绍w i g n e r 分布地性质： ( 1 ) 实函数 v + o ，) = v ( t ，力( 2 4 ) 利用这一性质，在计算w i g n e r 分布时，可以改进算法而减少一般地工 作量。 ( 2 ) 边缘特性 w i g n e r 分布满足边缘分布，对于特定时刻，如果我们将信号各频率分量 所占地能量“片”累加起来，就应得到此信号地瞬时功率，同样地道理得到特 定频率下的能量总和。 ( 3 ) 有限支撑特性 ( 4 ) 条件矩 将时间固定来求这一时刻的瞬时频率，称为一阶条件矩 ，：i i ：- r ( t , f 一) f d f ( 2 - 5 ) f = i 一 ( 1 y ( f ，力矽 ，为此时的瞬时频率，我们可以利用上式进行信号的瞬时频率估计，从 这一角度看，瞬时频率可以解释为对给定时刻所有频率分量的平均。 ( 5 ) 能量瞬时频率集中 时频分布的能量集中在其瞬时频率周围，特别实对频率调制或者幅度调 制很小的信号。在多数情况下，w i g n e r 分布的结果都与想象的一致，尤其对 单个线性调频( l i n e a rf r e q u e n c ym o d u l a t i o n ，l f m ) 信号，可以得到令人 满意的结果。如：单分量l f m 信号z ( f ) = 巧2 万( 厶f + = 1 删2 ) 的w i g n e r v i l l e 分 河南大学硕士研究生学位论文第9 页 布为 矿以d = 研厂一u ；+ 甜) 】( 2 - 6 ) 可以看出，单分量l f m 信号的w i g n e r v i l l e 分布为沿直线，= f o + 甜分布的 冲激线谱，即分布的幅度集中出现在表示信号的瞬时频率变换的直线上。因 此，从最佳展现l f m 信号的频率调制率这一意义上讲，w i g n e r - v i l l e 分布具 有理想的视频聚集性。 ( 6 ) 正负性 由于w i g r t e r v i l l e 分布是信号能量的时间频率分布理论上讲w ，力应 当在所有的时间和频率上都是正的，因为它代表着一定的时间和频率单元在 总能量上所占的一份，但是实际上并非如此，在w i g n e r v i l l e 分布中有负值 存在。因为v ( t ，力是 r a t ，力= j ( f + r ) s + o f )( 2 - 7 ) 的f o u r i e r 变换，我们可以保证它始终是实值，但不一定能保证它的非负性。 对于这一点，到现在还没人可以解释，通过例子可以清楚的看到正值往往包 含了和我们想法一致的时频结构。 ( 7 ) 解析信号与w i g n e r - v i l l e 分布 在实际应用中，我们通常先将信号进行h i l b e r t 变换，得到其解析信号， 再进行时频分析，这是因为离散w i g n e r 分布为 v ( n ，d = 2 l s ( n + t ) s ( n - k ) e 1 彬 ( 2 8 ) 由上式可知，信号在频域上的分布是以采样频率一半，即z 2 为周期的， 对于实信号，为了避免混叠，其采样必须满足 z 2 9 ) 其中厶为信号的最高频率。而对于解析信号来讲，它的频谱只存在正频 率，因为采用n y q u i s t 频率进行采样时，不会产生混叠，这样可将采样频率 降低一倍，除此之外，采用解析信号还有一下好处： a 信号的瞬时频率是其相位的导数，这仅当信号是解析信号的时候才成 立： b 在消除负频率的同时，其交叉项也被抑制了。 第1 0 页河南大学硕士研究生学位论文 ( 8 ) 交叉项分析 虽然w i g n e r v i l l e 分布对单分量l f m 信号具有较好的时频聚集性，但 对于多分量的信号，交叉项会产生“虚假”信号。交叉项是二次型或者双线性 时频分布的固有结果，它们来自多分量信号中不同信号分量之间的交叉项作 用。 假设一个信号由两个分量构成 s = q + j 2 ( r )( 2 一l o ) 其w i g n e r 分布为 矿( f ，力= 巧z 似力+ ( f ，力+ o ，门+ ( r ，力( 2 1 1 ) 其中 -11 1 2 ( t ，力2j 二s l o + 吉7 ) s 2 ( f + 寺r ) 8 ( 一j 2 罔f r ) a f( 2 _ 1 2 ) 将其称为互w i g n e r 分布( c r o s sw i g n e rd i s t r i b u t i o n ) 。由( 2 1 1 ) 可p a 看出，两 个信号的w i g n e r 分布除了个子w i g n e r 分布之和外，还要加上两个信号的互 w i g n e r 分布。这些互w i g n e r 分布是信号分布的干扰，我们称它们为交叉项 ( c r o s s t e r m s ) ，它们是由非线性引起的。还可以看出互w i g n e r 分布是复的， 而( f ，力+ ( f ，力却是实的。 w i g n e r - v i l l e 分布是一种重要的时频分布的时频分布，在许多研究领域 内，该方法都得到了很好的应用效果。w i g n e r - v i l l e 分布属于二次时频分析， 具有许多重要的数学性质，如能量集聚性、有界性等，它克服了短时f o u r i e r 分析的部分缺点，具有较高的分辨率。由于w i g n e r 变换的双线性特性，在 分布中引入交叉项，这影响了w i g n e r 分布的直观表示，而且使得从分布中 提起有用信息的过程变得复杂。自项和交叉项会有多种组合形式，同时交叉 项可能出现在自项的位置，使得自项分布受到干扰。这些都是我们在实际应 用中要避免的，例如在基于时频分布的瞬时频率估计中，它的原理就是对能 量集中的峰值进行估计来确定频率的变化，若有交叉项的出现将会影响我们 得到正确的峰值估计量 1 9 1 ，阻碍了其进一步的应用。同时，由w i g n e r v i l l e 分布的定义式( 2 3 ) 知，它仍是以f o u r i e r 变换为基础的，因而也不能完全克 服f o u r i e r 分析非平稳信号的不足之处。 河南大学硕士研究生学位论文第1 1 页 2 1 3 小波分析方法 小波( w a v e l e t ) 分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的一个新兴的数学分 支。它的基本思想是建立一种能够随所分析信号尺度变化的窗函数，换句话 讲，小波变换是一种变窗f o u r i e r 变换。 小波的概念是1 9 8 4 年法国工程师m o r l e t 在分析地质数据时首先提出 的。m o r l e t 发现加窗f o u r i e r 变换难以满足分析如地震波等非平稳信号的要 求，考虑创建一个函数引入了“小波”的概念，虽然其根据经验建立的反演公 式未得到数学家们的认可，但成为小波研究的起点。此后对小波的研究加入 一个快速发展阶段，8 0 年代中期，m e y e r 构造出第一个光滑的小波基，并和 m a l l a t 合作将计算机视觉领域的多分辨率分析思想引入小波分析，m a l l a t 还 研究了小波离散化的情形，提出了快速小波算法一m a l l a t 算法，并成功应用 于图像的分解和重构。m a l l a t 算法的作用和地位相当于f o u r i e r 分析中的 f f t ，使小波分析走向应用。此后不久，d a u b e e h i e s 构造了具有紧支集的正 交小波基，并给出了构造正交小波基的一般方法，结束了此前单纯依靠数学 技巧构造的历史。这样，小波分析的系统理论初步建立m 9 1 6 。 连续小波变换 对于函数( f ) r ( r ) 满足 iy ( f ) 出= 0( 2 一1 3 ) 表明y 与整个横轴所围面积的代数和是零，因此y o ) 的图形应是在横轴上 下波动的“小波”，我们称其为基本小波或母小波。 连续小波变换定义为 ： ，( r ) 爿堂1 防，口0 ( 2 - 1 4 ) w t ( a , b ) ( 2 - 1 4 2 【，( r ) y 【气产j 防，口 或用内积形式记作 吁b b ) = ( ，v o j ) ( 2 - 1 5 ) 其中。( f ) 是由母小波y ( ，) 通过伸缩参数a 和平移参数6 而生成，即 眦) 2 丽i 柠) ( 2 旧 第1 2 页河南大学硕士研究生学位论文 连续小波具有以下重要性质： 性质2 1 ( 线性性) 一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换 之和。 性质2 2 ( 平移不变性) 若，( f ) 付阡一( 口，b ) ，则 f ( t f ) 七阡7 l ( 口，b f )( 2 - 1 7 ) 性质2 3 ( 伸缩共变性) 若厂( f ) h 玎7 l ( 口，b ) ，则 1 f ( c t ) 付喝( c 口，c ，c 0( 2 - 1 8 ) 吖c 性质2 4 ( 自相似性) 对应于不同伸缩参数a 和不同平移参数b 的连续小 波变换之间是自相似的。 性质2 5 ( 冗余性) 连续小波变换中存在信息表述的冗余度。 连续小波变换是信号f ( x ) 的一种表示，伸缩参数4 和平移参数b 取遍整 个实轴。连续小波变换往往应用于理论分析和研究方面，在解决实际问题并 且需要利用计算机实现时，常常需要对连续小波变换的伸缩参数口和平移参 数b 进行二进离散化，即当式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 中的口= 2 ，b = 砉，_ ，k z ， 二 这样就可得到离散小波变换。 离散小波交换 函数，o ) l 2 ( g ) ，厶o ) c r 俾) 是厂( r ) 在上的一个投影，则二进 离散小波变换可表示为 2 厂( r ) “厶o ) = 九，( r ) i = l 2 4 2 d = c 九- l , s ( o + 1 圳( r ) 河南大学硕士研究生学位论文第1 3 页 。242 ，4 = r 4 丸五j ( f ) + 2 。，( r ) + 矽。1 。，o ) l - l f l i l - l = t 九，+ 砰。，( f ) + d ( f ) + + 。n ，山( f ) i-i，11 i - !f d 2 j f _ 12 ， = c 九，( ，) + 彰，( f ) ( 2 1 9 ) 其中，c j 为最粗尺度上的尺度系数，它表示函数在尺度l 上的平滑信息；d 为尺度，的小波系数，它表示函数在尺度_ ，上的细节信息；并且有 c ? = ( f ，矿，j ( 2 - 2 0 ) = ( 2 2 1 ) 尺度间平滑信息和细节信息之间的关系可由离散小波分解和重构算法 来表示，即式( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 4 ) 矽4 = y 一。c ：( 2 - 2 2 ) 矿= g 。嘲 ( 2 2 3 ) c = g 。一：麓。1 + ，如。c 】 ( 2 2 4 ) 由于离散小波变换是线性变换，下面我们给出它的矩阵形式。根据式 ( 2 1 9 ) ，可将最细尺度m _ k l 拘r 度函数丸。o ) 唯一表示为 2 f ，一12 1 缸( f ) = 甜：九，+ 以缈埘( r ) ( 2 - 2 5 ) m - i l _ i 若记 矽= 【硝“盘材乞。】r ( 2 - 2 6 ) 影= 【叫- 吆以：，】r ( 2 2 7 ) 这里，j = 厶，m - 1 再记 第1 4 页河南大学硕士研究生学位论文 形= 砭? 群 丽一“ 霄一1 i = 1 , 2 ，2 ”( 2 - 2 8 ) 则离散小波变换的算子形式为 矿= 暇形 ，j ，= 2 ”( 2 - 2 9 ) 且满足 矿7 形= i( 2 - 3 0 ) 小波分析是在f o u r i e r 分析的基础上发展起来的，但与f o u r i e r 分析相比 存在极大的不同。从微观上看，小波变换与f o u r i e r 变换的根本区别是由小 波和正弦波的不同局部化性质产生的。从宏观上看，f o u r i e r 分析是整体域 分析，用单独的时域或频域表示信号的特征；而小波分析是局部化时频分析， 它用时域和频域的联合表示信号的特征。作为时频分析方法，小波分析比 f o u r i e r 分析有着许多本质性的进步。它能够从信号中提取许多有用的信息， 是各种信号处理方法如时频分析、多尺度分析和子带编码的统一处理框架， 它的快速算法为分析和解决实际问题带来极大的方便。尽管w a v e l e t 变换在 众多研究领域己经取得巨大的成功，但是从本质上讲，w a v e l e t 变换仍然是 一种线性变换，不能用于处理非线性问题。另外，w a v e l e t 变换