（应用数学专业论文）周期性cohengrossberg神经网络非负周期解的存在及稳定性.pdf

摘要 本文在不假设扩大函数为严格正的有界函数的前提下，研究了周期 性c o h e n - g r o s s b e r g ；冲经网络的特性。通过使用一种直接的方法得出了使全 局渐进稳定的非负周期解存在的充分条件。同时，本文的结论不依赖于扩大函 数及外界输入，且所需条件容易满足。 c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络最早提出于1 9 8 3 年( c o h e na n dg r o s s b e r g 【1 】) ，之 后被广泛研究并成功的应用于信号处理、模式识别等领域。c o h e n g r o s s b e r g $ 经网络是从生物学的物种竞争模型中演变而来，而在这类模型中，筑( t ) 通常代 表物种i 的数量，因此其取值应当是非负的。而在物种竞争的过程中，物种i 可 能灭绝，在这种情况下鼠( t ) 将逐渐趋于o ，而其扩大函数通常依赖于甄( t ) ，并且 随观f t ) 趋于o 而逐渐趋于o 。因此c o h e n 及g r o s s b e r g 在首次提出这一模型时并没 有假设扩大函数为严格正的有界函数，并且讨论了模型解为正的情况。然而， 以往的研究出于简化的考虑，往往假设扩大函数为严格正的有界函数，并且其 结论往往严重依赖于这一假设，因此，如果缺少这一假设，其结论是无法成立 的。本文通过使用一种直接的方法，在不假设扩大函数为严格正的有界函数的 前提下，讨论了周期性c o h e n - g r o s s b e r g ：冲经网络非负周期解的性质。 根据本文的结论，在选择不同的外界输入的情况下，模型的行为呈现出不 同的变化，其中某些变量可能趋于周期的情况( 物种处于较稳定的状态) ，而其 他变量可能趋于0 ( 物种灭绝) ，本文将举例说明。 关键字：c o h e n - g r o s s b e r g ，非负周期，全局稳定 中图分类号：o2 9 n a b s t r a c t w i t h o u ta s 8 u r n i n gs t r i c tp o s i t i v i t ya n db o u n d e d n e s so ft h ea m p l i f i c a t i o nf u n c - t i o n s ，t h ed y n a m i c so fp e r i o d i cc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sa l es t u d i e d b y a p p l y i n gad i r e c tm e t h o d ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sg u a r a n t e e i n gt h ee x i s t e n c ea n d g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn o n n e g a t i v ep e r i o d i cs o l u t i o na r ed e r i v e d 。a l s ot h e c r i t e r i o nd o e sn o td e p e n do nt h ea m p l i f i c a t i o nf u n c t i o n so rt h ee x t e r n a li n p u t s ， a n di sr a t h e rw e a k c o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s ，w h i c hw a sf i r s tp r o p o s e di n1 9 8 3 ( c o h e n a n dg r o s s b e r g 【1 1 ) ，h a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e da n ds u c c e s s f u l l ya p p l i e dt os i g h a lp r o c e s s i n g ，p a t t e r nr e c o g n i t i o n ，e t c t h i sm o d e lo r i g i n a t e df r o mc o m p e t i t i o n m o d e lo fb i o l o g i c a ls p e c i e s ，w h e r e 瓤( ) r e p r e s e n t st h ea m o u n to ft h es p e c i e st ，i m - p l y i n g 蕊( t ) s h o u l db ep o s i t j v e b e c a u s ei nt h ec o m p e t i t i o np r o c e s s ，s o m es p e c i e s 矗螽td i s t i n c t ，w h i c h 接e a 鞋st h a t 蕊棼m i g h tc o n v e r g et o08 sl o n ga st _ o o ， t h e r e f o r e ，i nt h eo r i g i n a lp a p e ro fc o h e na n dg r o s s b e r g ( 1 9 8 3 ) ，w h e np r o p o s i n g t h em o d e l ，t h e yd i dn o ta s s u m es t r i c tp o s i t i v i t ya n db o u n d e d n e s so ft h ea m p h f i c a - t i o nf u n c t i o n sa n dd i s c u s s e dt h et r 氇j e c t o r yi nt h ef i r s to r t h a n t 。h o w e v e r ，p r e v i o u s p a p e r sa l w a y sm a k et h ea s s u m p t i o nt h a tt h ea m p l i f i c a t i o nf u n c t i o n sa r es t r i c t l y p o s i t i v ea n db o u n d e d ，a n dt h e i r 瑚u l t sd e p e n dh e a v i l yo ni t t h e r e f o r e ，w i t h o u t t h ea s s u m p t i o n 。t h e i rr e s u l t sa l ei n v a l i d b ya p p l y i n gad i r e c tm e t h o d ，a n dw i t h o u ta s s u m i n gs t r i c tp o s i t i v i t ya n db o u n d e d n e 韶o ft h ea m p l i f i c a t i o nf u n c t i o n s ，t h e n o n n e g a t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so fp e r i o d i cc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sa r e i n v e s t i g a t e d a l s o ，w es h o wt h a tb yc h o o s i n gd i f f e r e n te x t e r n a li n p u t s ，t h es y s t e ms h o w s v a r i o u sd y n a m i c a lb e h a v i o r s s o m ev a r i a b l e s ( s p e c i e s ) c o n v e r g et op e r i o d i ct r a - j e c t o r i e s ( w h i c hm e a n st h e ya l ei ns t a b l ec o n d i t i o n s ) ，o t h e r sw i l lc o n v e r g et oz e r o ( w h i c hm e a n ss o m es p e c i e sw i l ld i s t i n c t ) s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa l eg i v e nt o v e r i f yt h i s ， k e y w o r d s ：c o h e n - g r o s s b e r g ，n o n n e g a t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n ，g l o b a ls t a b i l i t y 1 1 1 论文独创性声明 本论文是我个人猩学师指导下避行的研究工作及取褥瀚研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构融经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和掰做的贡献均已在论文中作了明确的声明 潞表示了落意。 作者蕊粥：兰掐避 论文使用授权声明 日期：j 里呈z 篁蔓f 本人完全了解氨旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 遴交论文的复印件，允许论文被查阅和储阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，胃戮采蔫影窝、缮爨鬣萁它菱裁手段髹存论文。保密熬论文在瑟蜜嚣遵守憩 髋定。 作者签名：习随进 导师签名：翻期。 皇皇旦z ：量：熹 第一章绪论 享枣经霹终赣域骚究豹鸳景工终始予1 9 毽纪寒窝2 0 鳌纪裙。它漂予物 理学、心理学和神经生联学的跨学科研究，主要代袭人物有h e r m a nv o n h e l m h o l t s ，e r n s tm a c h 和i v a np a v l o v 。这些早期研究主要还是着黧于有关学 习、褫甏孝霎条释菠袈等一般理论，劳没有包含鸯荚棒经元工作戆数学模墼。 现代对神经网络的研究可以追溯g u 2 0 世纪4 0 年代w a r r e nm e c u l l o c h 和w a l t e rp i t t s 的工作。他们从璞论土证骥了人工神经网络可以计算任俺 算数和逻辑函数。通常认为他们静工辛篝是神经阏络领域研究工作的开始。 在m c c u l l o c h 和p i t t s 之后，d o n a l dh e b b 指出，经典的条件反射( 由p a v l o v 发 瑷 是囊攀令穆经元戆牲囊零l 起款。穗捷窭了生貔襁经元熬一穆学习裁翎。 人工神经网络第一个实际应用出现在2 0 世纪5 0 年代后期，f r a n kr o s e n - b l a t t 掇出了感知机网络的联想学习规则。r o s e n b a t t 和他的同事构造了一个感知 祝耀终，并公舜演示了它谶行模式谖鞠的髓力。这次早裁鹣成功亏 越了许多入 对神缀网络的兴趣。不幸的是，后来研究表明熬本的感知机网络只能解决有限 静且类麓题。 同时，b e r n a r dw i d r o w 和t e dh o f f g 入了一个新的学习算法用于训练自适成 线形亭审经网络。谨在结构军n 功能上类似于r o s e n b l a t t 的感知机。w i d r o w - h o f f 举 霹鬟爱今耱然农使溺。 但是，r o s e n b l a t t 和w i d r o w 的网络都有同样的局限性。这 些局限性在m a r 、r i nm i n s k y 和s y m o u rp a p e r t 的书中有广泛豹论 述。r o s e n b l a t t 和w i d r o w 也十分清楚这些局限後，并提融了一些薪的丽络采 克服遮魑局限性。但是他们没能成功找到训练更加复杂网络的学习算法。 谗多久受到m i n s k y 和p a p e r t 麟淘，相信享孛经嬲终懿磁究已经惫入了廷胡 同。同时由于当时没有功能强大的数字计算机来支持各项试验，从而导致许多 研究煮纷纷离开这一研究领域。神经网络的研究就这样停滞了十多年。 帮傻知瑟，程2 0 毽纪7 弹代，辩学家 f j 仍然在该筷域开旋了译多耋要酶z 作。1 9 7 2 年t e u v ok o h o n e n 和j a m e sa n d e r s o n 分别独立提出了能够完成记忆的新 型季孛经嬲络。这时期，s t e p h e ng r o s s b e r g 在爨组织网终方面的研究也十分溪 第一章绪论 2 跃。 狂6 0 年代，由于缺乏新思想和用于实验的黼性能计算机，曾一度动摇了人 瘀对秘经惩终懿疆究兴趣。舅7 8 0 每代，夔罄今入毋雾糗耪工费始诗算辘力瓣 急剧增强和广泛应用，以及不断引入新的概念，克服了摆在神经网络研究面前 的障碍，人们对神经网络的研究热情空前高涨。 c o h e n - g r o s s b e r g 神经两络正是寇这一辩籁( m s 3 年) n h c o h e n 和g r o s s b e r g 蘸 位科学家提出的。这一模型是从生物学的物种竞争模型中演变而来。它得到丁 不断的推广及广泛的研究，已成功的被应用予信号处理、模式识剐等诸多领 域。 对系统稳定性的分析题模型能够在实际中_ 嗷用的重耍基础之一。在现有的 诲多文整孛，对c o h e n - g r o s s b e r g 模登瓣谬 究集巾予分辑平蟹点熬稳定性，这藏 要求逡接权和控制参数为常数。例如，文献 2 】灏【9 】中给出了平衡点的存在性畈 及渐进稳定、全局稳定性的条件。 = i 酲年来，对于周期性c o h e n g r o s s b e r g 神经瓣络盼研究方兴未艾，出现7 许 多这方面的文献，例如参考文献i i o l 麓i 2 3 。由于平衡点实际上是周期解的一种 耱殊携撼，对于髑麓解戆掰究较乎簿点更为营造，因此瞧臻兵有意义。 然而，这些文献普遍假设扩大丽数为严格磁的有界函数，并且其结论往徒 严重依赖于这一假设，因而如果缺少这一假设，其结论是无法成立的。事实 土，e 馥e 珏- g r o s 8 b e r g 季牵经蹭络是袄生凌学静蘩秘竞争模羹孛演交纛采，磊在这 类模型中，飘( t ) 通常代表物种i 的数量，因此其取值应当悬非负的。而在物种竟 争的过程中，物声申l 可能灭绝，在这种情况下敏汹将逐渐趋于o ，丽其扩大函数 通常依赖于瓤( 啦并且随就( t ) 趋于o 蕊逐渐趋予0 。扩大爵数为严格缆的有弄豳 数这一假设也排除了许多有意义的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络模型，例如被广泛 采用载晒k & f 、b l 诧r 8 模型，它是c o h e n - g r o s s b e r g 孝孛经网络豹一晕孛特铡，箕扩大 函数取为a ( x ) = 髫，便不满足这一假设。因此讨论不假设扩大函数为严格正的膏 界函数情况下，c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络的性质是必要且很有意义的。同时现 有瓣分耩稳定毪翡方法，大多蓄先缝合己氧兹些理论谖缓乎餐点熬存在佳， 然后爵利用l y a p t m o v 录i 数和一些特殊不等式证明稳定性，这就需要对模型中的 激发豳数做出有界性等限制，缩小了模型的适用范围。丽本文则通道构造辅助 函数的方法直接褥出了周期性h e m g r o s s b e 疆享串经瞬络稚受周霸解存在及全两 渐进稳定的充分条件。 弱孵寿戆文献讨论7 受免复杂躬章粪况，帮聚髑载解妨存在缝以及稳定蛙斡 条件。例如参考文献 2 4 】至 2 8 1 ，但他们同样未能突破扩大函数为严格正的有界 函数这假设。 第一章绪论 3 本文第二部分奔绍所需静预备知识，蓠先提出了一稃广义静c o h m g r o s s b e r g 神经网络，随厝给出了文章所需的几个定义及假设。第三部分讨 论了捌期牲c o h e n - g r o s s b e r g 狰经霹终非囊周联艇戆存在镶以及全局稳定性。遴 过发鼹f 2 9 1 、f 3 0 、f 3 1 q b 的艨想，本文使用一种赢接的方法得出了周期性c o h e n - g r o s 8 b e 赡神经网络非负周期解存在及全局渐进稳定的充分条件。第四部分给出 7 死秘旋够傈谖黪受周蘩瓣熬存在及念嚣海透稳定熬竞分条磐。蓑纛罄分逶_ i 熏 举例，验证了本文的结论，并且讨论了在选择不同的外界输入的情况下，该模 型的行为可呈现出不同的变化，其中慕些变量可能趋于周期的情况( 物种处于较 稳定鹃状态) ，两蒺毽变量露簸趋予0 ( 物释灭绝) 。 第二章预备知识 2 羔广义i c o k 珈g r o s s b 黻g 襻经瓣络 本文讨论以下广义c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络 掣= 刮蜊) k 水) ) 窭郇) 咖如) ) l，茹l 一嘉z 以颤卜煽砾如) + 联茚j n ，1 其中，就( t ) 表示神经元e 在时间t 的状态变量，m ( z ) 为扩大函 数。e l l c ( t ) g s ( x ，( 渤代裘了各变爨之闻的棚互耦合佟用，由予信号传递 往往静时滞，孙l 铲j ( x j ( t s ) ) 瓯x 蜉豫s ) 代袭延迟的作群e 五( ) 袭示外部的 输入。 磊娩# ，s ) 梵疑疑s g 冬t i e l j e s 簸l 发，瀵足囊i ，j = 1 ，2 ，嚣以及t o 时，如k t j ( t + “，s ) = 也k i j ( t ，s ) ，即以弼，( t ，s ) 对于时间t 魑以u 为周期的。同时 存在测度d k ，满足对于任何，恐，( s ) l l d 砥，( s ) j ，j i d k , j ( s ) i 0 ，f o r8 ( 一o 。，o 】，i = 1 ，2 ，n ，( 2 i 2 ) 其中，啦g ( 一0 0 ，叫。 系统( 2 1 1 ) 可以代表一火类c o h e n g r o s s b e r g 神经网络。例如令以噩j ( t ，8 ) 一 4 第二章预备知识5 白( ) d 和一琊( 1 ) ) 幽，剿系统( 2 1 1 ) 纯为变对瑟瑟迟懿国h e 静g f o 嚣b e 弼襻经网络 掣一吲删陋妒蜘j = 1 姚 一耋啪胤zj(t-nj(t)1m 卜吐z ， ( 2 | 坞)j =j 如果令以鲍，( t ，8 ) = 奶( t ) 觑j ( 8 ) d 8 ，则系统( 2 1 1 ) 化为带分布延迟的c o h e n ， g r o s s b e r g 捌络 掣= 劬舢，陋啪一喜础讹， 一喜螂，小叫酬州j ， i = 1 ，2 ，嚣， ( 2 1 。4 ) 以上两种系统都是以往文献中经常研究的系统。 第二章预备知识 6 2 2 定义及假设 这节孛将灸缨本文辩爨的定义及簸瑷。 定义2 1 ，o 。卜范数：i l u ( t ) l l f ，* 5 _ i = l m 如a x 。陌1 u ( t ) i ，其中毒 o ，i 1 ，2 ，一，挖。 定义2 2r 0 一 z = l ，2 ，) r 舻，如0 ，i = 1 ，2 ，礼。 定义2 。3 如聚对于初始状态( 2 1 2 ) ，系统( 2 1 。1 ) 的解茁( t ) ，其轨线z ( t ) ； ( z l ( t ) ，( t ) ) ? 劈于所霄t o 以施= l ，2 ，n 满足敬( f ) 0 ，懿 称z ( t ) 在r ：上全局非负；避一步，如果对于t o 以及l 一1 ，2 ，n ，鼠( t ) 0 ，则鼹善( t ) 在曝上是全局藏镑。 在雄文中，将在“贮上全局”的简记为“全局”的。 鬏皲2 。1 虫l i p ( g ) ，轰l i p ( a ) ， = 1 ，2 ，n ，英孛舀 0 ，最 0 。l i p ( g ) 表, - 紊, l i p s c h i t z 常数为g 0 的l i p s c h i t z 函数。 锻设2 。2 坟( ) 是连续函数且对于 一l ，2 ，一，站，满足 b j u ) - b ( v ) m 0 也一掣 由于( 茚及( t ) 为连续濑数，因此它们均为肖界函数。记 岛= s # u r p i ，( 瑚 0 。 2 ) 毪( ) _ 2 ：如果，) a i ，并且砖于话意 0 ，菇煮一+ 。对辑 有i = 1 ，2 ，礼成立。 举例说明，妇祟旗( ) 具寿a i ( p ) = 矿的形式，其中a 0 ，则) a ，。如 果口1 ，贝1 8 ( ) 2 。 可以看至u l o t k a - v o l t e r r a 模型满足这样假设，因此可用本文的结论予以讨 论。瑟以往豹文簸营遗霰设0 0 霹一。 o 对f f - t 0 或立+ 诚明在初始祭件满足( 2 1 2 ) 式的前提下，假如存在某个t o 0 以及指标i o ， 使缛。话( t o ) = 0 。剿出于8 ( ) 囊2 ，霹褥劐 一! 如i 啪。啪壹吲嘞( 删) 9 。 lj = l 1 一；zf j ( z j ( 卜s ) ) 眠酊o ) + 卜 一f 蒜= 一z 蚓高= 一 洛蛾， 交予( ) 在1 0 ，翻上戆连续经，( 3 ，1 ，l ；式缮左边应警是有限瓣，瑟缀 据( 3 1 1 ) 式，它又是无限的，因此( 3 1 1 ) 式不w 能成立。因此可以得到对于 所有t o 以及i 一1 ，2 ，札，( t ) o 成立。这意味蔫对于所商的t 0 以 及i ；1 ，2 ，靠，茹i f 昏 0 或立。正觞瓣存在缝缮 歪。 下面证明周期性c o h e n g r o s s b e r g $ 十经网络( 2 1 ，1 ) 的t f 解为有界的条件。 零l 蠼3 2 知暴持f ，) ，屯，蒡昱毒农常数鑫 0 ，i = l ，2 ，嚣，使缮对于鼹 有i = 1 ，2 ，扎以及o t 0 ，使德 可得到 删n 观卜扣列盼骞髟白口d , k i j ( t , s ， 嗡+ 妻酬阮+ 喜玛每f ，郴。j 一乍& + 1 矧鼢+ 玛每f ， 一露 o = l j = l ” i d , k a ts ) l 令掰( 棼；? 参| | 茹( s 城毒* 。显然，掰怒菲减熬，劳盈l 茹( 潲 f ，。 m ( t ) 。记 肚m a x t i b i ( o ) | + 田| + ；吲以o + 聂防( o x z1 4 k , j ( 文砖嗲j = lj 端1 。” ， - v 涯膨( ) m a x m ( 0 ) ，羔矽赡。 对于任意的# o 0 ，考虑下面两种情况： 1 ) 缀如| | 拓) 8 籀时 0 ，使褥在嚣闻汹，t o 十 上，f i z ( t ) u “，。 0 ，使褥在小区 闻涵，t o + 6 1 ) 上尉f o ) 是菲增静。否确，簸鲡m ( t o ) 0 ，掰鼢= 肘( o ) 成立；假如m ( o ) h i ，则对于任意的t 0 ，m ( t ) 驯口成崴。则对于 任意的t 0 ，可以褥到彤( # ) m a x m ( o ) ，s - s , ，因此。是有界舱正解的 有界镶得证。 | i 一。 兰兰兰斐塾塑塑笙塑墅垄丝墨堡垒堡卫 h w w _ _ _ _ _ h 一一 3 2 非受周期解的存在及全局稳定住 以下将绘出系统( 2 ，1 ，1 ) 嚣象周期解豹存在及念局澎进稳定性的充分条件。 怒理3 1 如漱8 ( ) a 2 ，假设任何系统( 2 ，1 1 ) 的正解燕有界的。如果存在常 数毫 0 ，g ：l ，2 ，n ，使鼹砖于任何l = 1 ，2 ，n 以及o t & 对于系统( 2 1 1 ) 的某一个正解( t ) ，令她( t ) = 盈( 亡+ u ) 一戤( t ) ，饥( t ) 2 篾煮耋0 i 菇裔篙茹0 裂蒜囊了且就是全局正的鼠是有界的，因此e 篙“；南d p 存在a 根据积分甲僵疋埋 可得饥( 毋= 赤和 0 + u ) 就( 力) 一葛b 地( # ) ，其中 m i n x ，( ，1 o + “) ，越拽x 瓤( 荀，筑( + 甜) 】。由于当茹 o 孵岛( 譬) 0 ， 因忿萝拜玩( 羚蒜 鲥9 n ( 撕( t ) ) 。 自直接计冀w 瑷得到 第三章非负周期解的存在性及稳定性 1 1 1 ；掣l 一上垫盟l 五百磊而t f ；。+ 。一五丽 言? 。 一i ( + u ) ) + c j ( t + o j ) g j ( z ，( t + u ) ) n + j 端l n + 揣l p ff j ( , j ( t + 。一s ) ) 磁翰( 亡+ ，s ) 一五p + u ) 一 j 0 删燃) ) + 赛和硝叫隅辑萨 卜* 魏( 鼢( 亡) ) 磊( 锈 - ( b d z ；( + 叫) ) 一k ( z i ( t ) ) + a ，( t ) ( m ( 。j + “) ) 一g a z a t ) ) ) + 薹厂( 黼川m ( f ) 脯m 删 则 知碳= 嘲喇 喇哪删m 渤l + 壹j = l 碘黼蛹删) 定义 ”渊吲喇撼磁瑚) n , o o ( 卅+ 萎上j j l u j ( ) l l d k i 加 h十 踯) 。萎泓( 纠+ i 鑫鬈z 口蛐 如) t=,j=l 。” )tdpldk,1 = 一 警 岛 屿 协 磅z 文 蓬芦舭趟 i + p 母 p 懈 秘 w 一 一 第三耄非负周期解的存在性及稳定性 1 2 瀣系统( 2 1 1 ) 的轨线。对三( ) 求簿得 掣= 娄磊知黔壹鑫乃盼喇黝酬一n ”s ) l l d k 0 ( 蚓 萎卟吲( t ”十薹b 驻) i g m “i + 薹上矧如。叫1 d 翰s m j 十i壹乃m”瞰圳d(s)l-”瞰ts)d翰(s)c,j=l f o = 萎l 一鲕+ 善阵渤海g 卜| + 毛z l u t ( t 叫) l l 矗k j 茚l ；ll j 霉l j l j = l + 妻白最0 。强酬酬一妻白最石。一) l l d k l u , ( t s ) l l d k j 和x + 白最i 雠嬲琢( s ) | 一白最i 一例 i , j = l o u “，= l 。 =善卜+icj,(圳硒+j=l白最z|d蚝扣卜“j 扛：ll= l 。 j 一缕忡) 一州驯i - ( 3 拟) 由于二( ) 0 ，对于( 3 2 4 ) 式的两边瓢o 至。积分可得 f ”壹凰天i 醐) + 。， 滔2 t 5 ) z 善凰天醐) 针。， 泓5 ) 摄搬珏 渤的定义，( 3 2 印式为 薹小( m + m l 扒+ 。o 由e a u 吱l y 准则，z 0 + 牲u ) 当n 一。是在厶1 【o ，u 】上收敛。由于茁( t ) 是有界 的，因此啦扛；( # ) ) ，i = 1 ，2 ，n 也是有界的，报据系统( 2 1 ，1 ) 的形式，可 融f ) 的导数是蠢莽的，因诧z 0 ) 是一致连续静。因琵序确 茹p + 抛，) ) 一致存秀 且等度连续。则内a r 西l 小a 8 c o u 定理，存在子序列 。( t + n “) ) 在瓞中任意紧集上 是牧敛的，记这一扳双为 。可知矿也是 嚣( + 孤，) 在1 ，。l 上黪扳袋， 即 ， h m | i z ( + 划) 一矿( t ) l t d t = 0 再一，o 则有。( # 十僦，) 在l o ，翻上一致的趋予矿亡) 。类戗旗，有茗p + 咒“j ) 在r 褥任何紧集 上一致的趋于矿( t ) 。 第三章非负周期解的存在性及稳定性 1 3 下证矿( 吉) 是系统( 2 1 1 ) 的戮甜为弼期静菲负溺麓解。鬣然，。( 磅为正籍懿极 限，因此是非负的。由于 o + ( 舌十u ) = b mz ( t + ( n 十1 ) 。) = l l l nz ( t + 佗u ) = 矿( 辞， n o 。 n 一 爨此矿( 母是疆。为周期的蚕数。 程系统( 2 1 1 ) 中以。( 舌+ m u ) 代替。( 芒) ，并令席一0 0 ，可得到 掣= 吲母) 陋固) 一妻琊) 喇渤) l4 = 一1 喜一啄删蚓如m 拗卜埘， 因此z + ( t ) 是系统( 2 1 1 ) 的一个解。 令t = t l + 删，其孛0 t l 0 = 1 ，2 ，托，使得 砖于辑骞妁l = 1 ，2 ，托以及o t 0 i = 1 ，2 ，行，使得 对于任意 = l ，2 ，n 以及0 t u ，以下两组爿：等式中任意一组成立： 一咖+ 善岛吲q + 善白b z 陋畅( 酬 0l = 1 ，2 ，使得霹予 任意的i = 1 ，2 ，几，成立 b嚣 一蠡m 十c f c ；i g , + 白成f 略i 0 ，磊 0 i = 1 ，2 ， 对于任意的i = 1 ，2 ，n ，成立 一g 乍+ j = l 白啄f 儇+ j = l 白足z f 磅t ( s ) f 蕊 o ， 砖存农f 2 。l 。4 ) 秘默甜为周期辩燕期解，势显宅是套局澎遘稳定鳞。 馆，使德 ( 4 0 3 ) 第五章应用及算例 簌不簸设扩大遨数舞罗掺歪戆丞数，劳黑锻设辑( 国一0 静嬉况，零文掰 研究的系统与以往文献中研究的系统裔很大的隧掰。注意列，o 永远魑系统的 个平衡点。在这种情况下，系统的正解的趋势可能有许多种情况。系统的解裔 霉麓每令变量都憝手正懿瘸麓函数，袋者每个交燕帮趋予0 ，毽霹簸浆些交量将 趋于戚的周期函数，而另些变量则趋于0 。 下蕊将讨论这孝申情况。本文磐遴避具俸的铡子说明，在施加不嬲豹外部输 入盼情况下，弼络可以趋予不同的情瑰。这对予研究菜壁特定的阎题是十分程 意义的。例如生物学的物种竞争，反映了在不同的外部条件下，相间的物种及 兹戆条 睾，氇将嚣致不霹戆结果墨残。繇毒携穆可毙全鄂灭绝，凌这秘壤瑗 下，解的所有变嶷均趋于0 ；也可能物种将能够和平共处并达到稳定的状态，谯 这种情况下，解的所有变爨均趋于正的周期函数；也可能某些物种将在竞争中 取褥饶势，霖箕稳耱种蘩被灭绝，在这释侮凌下，磐懿慕a 令变量戆予正数躅 期函数，而其余的变量将趋于0 。 考虑如下有3 个神经元的系统 掣= 一k l ( t ) 2 + t a n h ( x 1 ( t ) ) 】 ( 6 + s i n t ) x 1 ( t ) 一( 1 + c o st ) a r c t a n ( z 2 ( t 一7 r ) ) + l 十s i n t ) 8 聪o a 鑫( 勋筘一砖) + 五) ! ! 攀翌= 一陋2 ( t ) 2 + t a n h ( x 2 ( ) ) 】 ( 7 + c o s t ) 嚣2 ( t ) + ( 1 + c o s t ) a x c t a n ( x l 一丌) ) - ( 2 + s mt ) a r c t a n ( x 3 ( t 一硝) ) + 毛( ) 堡等等= 一陋3 ( t ) 2 + t a n h ( x 3 ( 印) 】 ( 8 + s i n t ) z 3 ( 砖一( 1 + s j n t ) a r c t a n ( x l o 一7 r ) ) + ( 2 十c o s t ) a r c 凭a n ( z 2 ( t 一丌) ) + 厶( t ) ) f 5 , 0 1 ) 注意到系统( 5 。0 1 ) 的扩火函数黢j # 严搭正的，又非有界照数，因此以往的文 献对予该系统均不适用，德容易得到系统( 5 0 1 ) 满足定理3 1 的条件。下面将谎 明在施加不同的外界输入，( t ) = ( ，l ( t ) ，止( ) ，厶( # ) ) 丁的情况下，可以令系统的解 1 6 第五辩应用及簿例 1 7 按照不阿的方式戆子菜个周期解。 以下第一节讨论系统的正解趋予正周期解豹情形；第= 节讨论累统的正解 戆嫠分分量趋予蒸周襄丞数纛其余分熬趋予8 懿滋合 毒形；筹三蒂亭雩谂系统熬燕 解趋于。的情形。 第五章应用及弊例 1 8 5 1正解趋子正周期解的情形 l 毂i ( t ) = ( 一1 一越珏，一2 - c o s t ，一l + 2 s i n t ) r ，在这秘 露提下，系缆( 5 0 1 ) 的 正解的所有分量均趋于正的髑期解。 图5 1系统( 5 0 ，1 ) 的解收敛弓：正周期解 图5 1 给出了系统( 5 ，0 1 ) 在初贻条件币( 8 ) = ( 妒l ( 珐也( s ) ，也( s ) ) r 一 ( 0 9 ，0 4 ，o 7 5 ) 丁，8 ( 一 ，o - f ，正解的收敛情况。其中，以黑色代表第一个 神经元的袄态交爨，驻红畿代表第二个棒经元躯获态变爨，瑷蓝色代表第三个 神经觅的状态变髓。在这情况下，解的所有分量分别趋于某个聪的周期函 数。 假如该系统代表生物物种的竞争，在这种情况下，物种之间激终相互平 衡，达到共同生存的稳定状况。 戳下将谎裙该蔺襄解的稳定性。 第五耄应用及算例 1 9 潜5 2不嚣秘值条绛下耱经元l 瓣毂敛| 耱提 图5 2 说明了旌选取不同的初始使的情况下，第一个神经元的收敛情况。可 敬看到不蜀懿裙始值最终将趋于露一个两鬻函数。 以下图5 3 以及图5 4 分别说明了在选取不同的初始值的情况下，第二个和第 三令孝争经元的收敛清嚣。簿软爨到蓦第一令秘经元鞠冠的络论。 图5 3不f 暂钌值条件下神经鼐2 的收敛情况 第五颦应用及葬例 2 0 溺5 4不瓣蘩藿条孛 下毒孛经露3 鳇载鼓悸嚣 从圈中可以麓到，系统5 0 1 在不问的初始状态下的解的各个分爨最终都嚣 鑫趋予箍襻煞届麓函数，谈葫了该嗣赣解是全蜀稳定懿， 第五澈应用及簿例 2 1 5 2 混合情形 5 。2 1 摹形l 取，( t ) = ( 一1 一s i n t ，l c o s t ，5 十2 s i n t ) 7 ，在这种情况下，系统( 5 0 1 ) 的磁 解的一个分量褥越予正戆周期辫，露其余两个分基将趋予o 。 图5 5 混合情况l ：系统( 5 _ 0 1 ) 解的收敛 强5 5 绘出? 系统洚0 i j 在裰娥条孝 零( s ) = 也( s ) ，如( s ) ，豳s ) ) ? 一 ( 0 9 ，0 4 ，0 7 5 ) t ，8 ( - - t r ，0 l 下，正解的收敛情况。其中，以黑色代表第一个 神经元的状态变爨，以红识代表第二个神经元的状态变量，以蓝色代表第三个 神经元翡状态交豢。可敬纛到，第一个神经元懿狡态交薰趋子一个溅的周鞭蕊 数，而第二以及第三个神经元的状态变量趋于0 。 鬏魏该系统投表生物掳耪熬竞争，在这静馕况下，最终袁豹物黪生存了下 来并达刭较为稳鼹的状态，简其他的物种则遭受灭绝。 以下将说明该解的稳定性。 第五藏应用及算例 2 2 鬻5 6 不遐秘篷冬 孛下襻经元1 懿羧敛毒淀 图5 6 说明了猩选取不同的初始值的情况下，第一个神经元的收敛情况。可 懿看翻不霹黪裙戆氇最终穆缝子霹一个爝麓丞数。 以下图5 7 以及图5 8 分别说明了农选取不同的初始值的情况下，第= 个和第 三个季串经元的收敛壤况。可以豸缛与第一个神经遐相同的结论。 豳5 7不丽初值条件下神经元2 的收敛僚况 第五章应用及髯例 2 3 强5 8 不嚣耪蓬条磐下襻经嚣3 斡牧敛薅况 从豳中可以稽到，系统5 0 1 在不同的初始状态下的解的各个分爨最终都备 蠡趋予弱样静灞麓透数或熬予0 ，谖鞫了该周麓解是全禺稳定静。 与上一节比较，虽然两种情况下收敛的方式不同，假全局稳定性不会受到 影响。因此，虽然收敛的方舞：不同，绲存在及龛局稳定悭靛结论是不受扩大溺 数及外部输入影响的。 第五辫应用及箅例 2 4 5 2 2 情形2 取，( 砖= ( 一1 一s i n t ，一2 一c o s t ，2 s i n t ) t ，在这种情况下，系统( 5 0 1 ) 的正解 静两个分量将趋予正懿两翳群，纛其余懿分量将趋于0 。 图5 9 混合情况2 ；系统( 5 0 1 ) 解的收敛 圈5 9 给出了系统( 5 0 1 ) 在初始条侔圣( s ) = ( 毋- ( s ) ，锄( s ) ，幽( s ) ) 丁= ( 0 9 ，0 4 ，o 7 5 ) 了1 ，8 ( 一丌，o - f ，解的收敛情况。其中，以黑色代袭第一个神 经元豹捩态变量，叛红色代袭第二令襻经元懿状态变量，渡蓝色代袭第三令耪 经元的状态变量。可以看到，第一神经元以及第二个的状态变量趋于正的周期 函数，丽第三个享串经元的状态变量趋子0 。 第五章应用及簿例 2 5 5 3 正解趋于0 的情形 取f 渤= 一s i n t ，一c o s $ ，2 s i n t ) 丁，在这耱攮凝下，系绞( 5 0 1 ) 熬燕鳞的所农 分量均趋于o 。 图5 1 0系统( 5 0 1 ) 的解收敛于o 图5 1 0 给出了系统( 5 0 1 ) 在初始条件垂( 8 ) = ( 妒l ( 8 ) ，如( s ) ，如( 8 ) ) r 一 ( 0 9 ，0 。4 ，o 7 5 ) t ，8 ( 一j r ，o j t ，解的收敛情况。其中，以黑色代袋第一个神 经元鳃状态变量，班红色代表第二个丰串经元酶获态变量，疆蓝色代裘第三个亭枣 经元的状态变量。在这一情况下，解的所有分量均趋于0 。 骰妇该系统健袭生物狻_ 静静竞争，在这秘情提下，物秘最终将垒熬趋予灭 绝。 第五章应用及算例 2 6 5 4 结论 本文讨论了周期性c 0 h e n g r o 踊b e r g 神经网络的正周期解的性质，通过使用 一种直接的方法，本文得到了保证非负周期解存在及全局稳定的充分条件。与 以往的文献不同，本文没有假设扩大函数的有界及严格正。同时本文得到的条 件不依赖于扩大函数及外部输入，且容易满足。 通过实际的例子，本文验证了结论的正确及有效性。同时说明了外部输入 对于系统的稳定的周期解的影响，在不同的外部输入下，同样的系统也将导致 不同的收敛方式。 注意到平衡点实际上是周期解的一种特殊形式，因此本文的结论同样可以 用于讨论平衡点的问题。 参考文献 f 1 ；c o h e n ，m 。a ，a n dg r o s s b e r g ，s ，a b s o l u 钝s t a b i l i t ya n dg l o b a lp a t t e r n f o r m a t i o na n dp a r a l l e lm e m o r ys t o r a g eb yc o m p e t i t i v en e u r a ln e t w o r k s i j l i e e et r a n s s y s t m a nc y b e r n b 1 3 ( 1 9 8 3 ) 8 1 5 - 8 2 1 【2 】c h e nt ，r o n gl ，r o b u s tg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fc o h e n - g r o s s b e r g n e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m ed e l a y s j ，i e e et r a n s a c t i o n so i ln e u r a ln e t - w o r k s ，2 0 0 4 ，v o l ，1 5 ，n o 1 ：2 0 3 - 2 0 6 【3 】z h a n gj , s u d ay ，k o m i n ei - i ，g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fc o h e n - g r o s s b e r g n e u r a ln e t w o r k s 硒磕v a r i a b l ed e l a y s j ，p h y s i c sl e