（应用数学专业论文）基于随机性的巨灾风险下保险公司盈余值的修正.pdf

摘要 i 基于随机性的巨灾风险下保险公司盈余值的修正 作者简介：郑钧，男，1973 年 8 月生，师从成都理工大学郭科教授应用数 学领域，2009 年 5 月获得应用数学硕士学位。 摘要 随5 1 2 汶川大地震发生后, 有着社会稳定器之称的保险业似乎震 动更大，巨灾保险机制缺位的尴尬局面让保险行业内外的精英们纷纷发表文章 呼吁建立巨灾保险制度，可谓仁者见仁，智者见智，绝大多数文章是从建立巨 灾保险的重要性和紧迫性角度讨论，或者从实施方法及制度角度出发。 在保险公司业务经营中，风险理论，损失分布，盈余过程，破产理论等一 直在很重要的地位，如何应对巨灾风险，很关键的是找到合理的数理基础。 本文主要目的是将多数过去研究未包含之随机破产风险以及连带的破产成 本列入考虑，来求出在巨灾风险下非寿险公司的合理盈余价值 ，因为若未将提 早破产及巨灾风险列入评价模式，可能会造成盈余价值高估，而如果忽略巨灾 风险中的系统风险成份更可能造成盈余价值大幅地高估。 我们的模式可显示过去研究可能错估的部份。文中分析还包含了在产险业 常见的不同巨灾冲击分配，以及非系统性与系统性巨灾风险的结果。在不同假 设下我们可分别得出分析解与数值解，我们分析的结果有潜力可以取代传统欧 式选择权而成为更切合实际的评价模式，为尽快建立巨灾保险制度从数理角度 打下基础。 关键词：盈余，清偿不足，巨灾，扩散过程。 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都理工大学硕士学位论文 ii catastrophic risk based on the randomness of the surplus value of the insurance company to amend about the author: zhengjun, m, health in august 1973, chengdu university of technology where he studied under professor guo ke areas of applied mathematics, in may 2009 received a masters degree in project management process works. a b s t r a c t with the 5 12 wenchuan earthquake occurred, a social stabilizer of the insurance industry seemed to shock even greater lack of catastrophe insurance mechanism so that the embarrassing situation both inside and outside the insurance industrys elite have published an article calling for the establishment of catastrophe insurance system can be described as benevolent see benevolence, the wise see wisdom, the vast majority of the article is the establishment of catastrophe insurance from the perspective of the importance and urgency of the discussion, or implementation of methods and systems from the point of view. in the insurance company account executive, the risk theory, loses the distribution, the earnings process, the bankrupt theory and so on continuously in the very important status, how should to the great disaster risk, very essential found the reasonable mathematical foundation. the this article main purpose was studies the most pasts has not contained the stochastic bankrupt risk as well as the association bankrupt cost includes the consideration, extracted under the great disaster risk produces the dangerous company the reasonable earnings value, if because has not shifted to an earlier time the bankruptcy and the great disaster risk includes the appraisal pattern, possibly could create the earnings value overestimation, but if neglected in the great disaster risk the system risk ingredient possibly to create the earnings value to overestimate largely. our pattern may demonstrate the past studied the part which possible wrong create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都 iii to estimate.in the article analyzed also contains has been producing the danger industry common different great disaster to attack the assignment, as well as non-systematic and systematic great disaster risk result.we may obtain the analysis solution and the numerical solution separately under the different supposition, we analyze the result has the potential to be possible to substitute for the traditional western-style option to become the more realistic appraisal pattern, for establishes the great disaster issurance system to build the foundation as soon as possible from the mathematical angle keywords:surplusdischargedeficiency create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得成都理工大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解成都理工大学 有关保留、 使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和 借阅。本人授权 成都理工大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者导师签名： 学位论文作者签名： 年月日 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 第 1 章 引言 1 第 1 章 引言 1.1 研究背景 随“512”汶川大地震发生后,有着“社会稳定器”之称的保险业行动异常迅 速。统计显示,截至 5 月 20 日,国内各家保险公司共为地震灾区捐款 1.93 亿元, 其中,机构捐款 1.17 亿元,员工捐款 0.76 亿元,超过 3500 万元的捐款用于中小学 重建、遗孤赡养等。 与保险业庞大的捐赠相比,灾后保险公司的赔付反倒略显单薄。国外发生巨 灾后,保险赔款可承担 30%以上的损失补偿,发达国家甚至可达 60-70%。而在我 国,年初雪灾过后,保险覆盖的损失不足 1%,而此次震灾保险覆盖的损失更是微 乎其微。据保监会统计数据显示，截至 7 月 12 日，保险业共接到地震相关保险 报案 9.6 万件，主动联系客户 14.7 万件，初步核查 23.2 万件；涉及被保险人死 亡 1.03 万人，伤残 184 人，医疗 3085 人。目前已结案 13.4 万件。7 月 29 日， 中国保监会二季度例行新闻发布会上，保监会主席助理、新闻发言人袁力透露， 汶川地震灾害已支付赔款 5.2 亿元。分析人士指出,与震灾造成的巨大损失相比, 保险业目前的已赔付款项无疑是杯水车薪,这一方面是由于灾区各项重建工作 正在恢复中,保险理赔尚未迎来高峰期。但另一方面, 而作为保险公司，尤其是 非寿险公司，现实中财产险大多把地震责任除外，除非客户额外加费才可以承 保地震险。也凸显了我国目前保险覆盖率过低、巨灾保险机制缺位的尴尬局面。 1.2 研究的意义 人类发展的历史，是一部不断与天灾和人祸抗争的历史。能否经受巨大灾 害的考验，攸关一国经济社会的稳定。2008 年对我国来说是自然灾害频仍的一 年。灾害的发生给灾区人民的生命财产造成重大损失，并加重了国家的财政负 担，令宏观调控陷入被动。虽然四川地震保险赔付结案率达到 86.4%，但保险 赔款占灾害损失的比例仍然很低，与全球平均 30%以上的水平有较大差距。据 联合国统计， 近 10 年来世界范围内 54 次最严重的自然灾害有 8 次发生在我国， 据民政部统计，1991 年2005 年的 15 年间，自然灾害造成的直接经济损失累 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都理工大学硕士学位论文 2 计为 27845 亿元，常年受灾人口达到两亿多人次，政府的累计救灾支出为 525 亿元，灾害造成的损失仅靠政府的救助是远远不能弥补的。中国应借鉴国际经 验，建立巨灾保险制度，运用市场机制，使巨灾风险通过保险的方式向国内外 市场转移分散，减轻政府负担，给予百姓更多补偿。 保险公司对地震等极端灾害不予赔偿，也是可以理解的。以地震而言，地 震具有偶发性，多年才发生一次破坏性地震，而且就某个特定区域来说，可能 性就更小，甚至是小概率事件。所以，如果不是强制，借款人就没有激励去购 买此类保险。同时，地震一旦发生，就会造成一个地区几乎所有的房屋同时毁 弃，而保险公司生存的基础却是保险事件没有上述的连带性。保险公司是靠赢 利维持的，不保房屋地震险也属正常，为地震投保，可能使保险公司倒闭。本 文探讨从非寿险公司自身出发，从非寿险的精算角度，利用概率统计方法研究 巨灾风险下的盈余价值，为保险公司最终承保巨灾风险提供数理基础。 1.3 国内外相关研究概况、水平及发展趋势 非寿险公司价值的评价模式在过去十余年来已有长足的发展，以财务理论 为出发点的评价方法也常见于许多文献， 其中最重要的可以说是选择权的应用。 利用其来求得公司价值或是保险负债价值可见于 doherty及 garven (1986) ， 及 cummins (1988 ；1991 ；2000)等。例如 cummins (1988 ；1991) 指出非寿 险公司盈余价值可视为以公司资产为标的，负债为执行价格的买权，但由于保 险负债具有随机性，所以盈余价值也可视为以非寿险公司 资产，负债为标的的 交换选择权 (two-assetsexchangeoption)，盈余即为资产减去负债的部分。 从政府对非寿险公司的监管观点来看，当非寿险公司的资产小于负债的一定比 率 （由监管机关所决定） ，则非寿险公司将被订为清偿不足(insolvency)，且监 管机关亦会禁止其继续经营。当非寿险公司发生清偿问题，盈余价值随即消失 并将剩余的资产移转与债权人，此相当于或有求偿(contingent claim)。若以选择 买权(call option)代表盈余价值，在欧式选择权模式下，清偿倒闭无形中被假设 只能发生于监管机关预设的审查日期 (audit date)。可是实际上，只要资产在流 动性上已无法支付负债，保险公司即可能提早宣告破产。因此，破产时间不但 可能早于监管机关预设的审查日期而且是随机的，欧式选择权的结果很可能高 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 第 1 章 引言 3 估了非寿险公司实际价值。此外 ，非寿险公司在面临发生清偿问题时，也可能 产生 warner (1977) 所指的破产成本，同时更使公司所有者（股东）持有的无 形价值( franchise value or charter value，见 cummins, 1995) 消失 ，同时破产成 本发生时间亦为随机。以传统财务理论角度而言，无形价值在公司价值衡量与 资本结构的决策上扮演不可忽视的角色，但是在过去以欧式选择权为主的研究 上多无考虑。换句话说 ，在破产随机发生的情况下，破产成本与无形价值的时 间价值(time value)在非寿险公司的价值评价中都不应被忽略。 由于近年来巨灾所带来的损失日趋严重，非寿险公司除了承担例行性的理 赔外，亦需面对可能巨额的巨灾损失，不易预知的巨灾风险往往是产险财务困 难的主因。巨灾衍生物之评价模式虽已常见于近年文献，但在非寿险公司价值 或负债价值的评价上的研究仍不多。 较为人熟知的研究如 cummins (1988) 对安 定基金保费研究中仿照 merton (1976) 的作法， 将非寿险公司所面临的巨灾冲击 纳入评价模式中，但其仍未考虑当巨灾冲击过大使得非寿险公司提早发生清偿 能力不足时风险的价值。此外，merton (1976)为方便求得欧式跳跃选择权的分 析解，进一步假设跳跃大小服从对数常态分配 ，但是保险常见巨灾损失分配多 数未必为对数常态，此现象在欧式评价上将有误差，但在障碍式衍生物评价上 误差更甚，影响了正确非寿险公司价值的决定。由于非连续的跳跃无法以交易 完全避险，merton (1976)假设跳跃风险可由投资人完全分散，可是保险巨灾的 冲击有时不能视为非系统风险，例如；小地理区的天然巨灾（像台湾的 921 大 地震） ；以及一些政治风险（如美国 911 事件） ，均应视为系统性风险。具系统 性风险之跳跃衍生物评价可见于一些研究（如 naik and lee, 1990 及 chang, 1995 等） ，可是尚未见于保险公司的价值评价。 1.4 本文的研究思路和技术路线 本文的研究思路是从非寿险公司自身出发，是将多数过去研究未包含之随 机破产风险以及连带的破产成本列入考量，来求出在巨灾风险下非寿险公司的 合理盈余值，因为若未将提早破产及巨灾风险列入评价模型，可能会造成盈余 价值高估，而如果忽略巨灾风险中的系统风险成分更可能造成盈余值大幅地高 估。我们的模型可显示过去研究可能错估、遗漏的部分。我们分析还包含了在 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都理工大学硕士学位论文 4 产险业常见的不同巨灾风险冲击分配，以及非系统性与系统性局灶的结果。在 不同的假设下我们可分别得出分析解与数值解，我们的分析的结果有潜力可以 取代传统欧式选择权而成为更且适合实际的评价模型。让中国保险业在国民经 济和社会发展中的作用与地位就会进一步得到认可 1.5 论文的结构安排 本论文的主体结构： 第 1 章，引言，介绍论文的研究背景，意义及国内外研究现状。 第 2 章，相关理论与模型。 第 3 章，巨灾风险下盈余值修正。 第 4 章，数值范例。 第 5 章，结论。 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 第 2 章 相关理论模型 5 第 2 章 相关理论与模型 2.1 非寿险精算的统计基础 2.1.1 非寿险的基本知识 非寿险，顾名思义不是寿险。非寿险是保险人对被保险人的财产及其有关 利益在发生保险责任范围内的灾害事故而遭受经济损失时给予补偿的一种保 险。在我国通常把非寿险称为财产保险，也就是采用了所谓广义财产保险的概 念。非寿险保险中所指的财产除了包括一切不动产、动产、固定或流动财产以 及处于生产中的有形财产之外，还包括运费、预期利润、信用以及责任等无形 财产。 所以，非寿险保险的范围很广泛，除了人身保险以外的各种保险均可归为 非寿险。 2.1.2 非寿险的数理基础 非寿险精算是以统计学为基础，其计算和分析都离不开统计学的知识，其 中概率论是一个重要的基础。保险保障的是风险，而风险的基本特征就是不确 定性。所谓不确定性，包含是否发生不确定、发生时间不确定、被损害的对象 不确定、发生的状况不确定。在统计学中我们通常用随机变量来描述风险，而 统计学中的大数法则是非寿险计算的基础。 2.2 损失分布 就保险经营而言，主要就是观察和比较损失发生的次数（也称损失频率） 、 损失金额、纯保费、赔付率的预期结果及实际结果。这些都是以对损失发生的 次数和损失金额的估计为基础。 损失与赔款（索赔）是两个完全不同的概念，发生损失时不一定发生赔款， 并且不一定赔偿全部的损失，所以赔偿次数（索赔次数）肯定小于损失次数， 赔款金额（索赔金额）也肯定小于损失金额。但是两者的本质是基本相同的， create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都理工大学硕士学位论文 6 采用的方法也是相同的。 2.2.1 损失次数 损失次数是指在某一个特定的时间内，所预期会发生保险事故的次数，通 常，我们也用损失频率来表示损失次数。损失频率的计算公式是 损失频率 保险标的的单位数 发生保险事故的次数 = 损失次数和损失频率高时，表示未来某一特定时间段中，该风险事故发生 的可能性比较高。 2.2.2 损失次数的分布 在特定期间内，例如保险期间为一年，保险标的发生保险事故的次数是一 个随机变量，这个随机变量服从某种分布，而这个分布就称为损失次数的分布， 常用的模拟损失次数的分布有： 泊松分布 泊松分布是最简单也最常用的损失次数的的分布。它是一个取非负整数的 离散型随机变量的分布，在统计学中具有十分重要的作用。它常常用来描述小 概率事件发生的次数。我们通常采用泊松分布来拟合大量同质风险的保单组合 在单位时间内的索赔次数等。泊松分布记为()p，泊松分布的分布列为： p() ! x exx x =， （x=0,1,2,.） 其中，x 是在特定期间内发生保险事故的次数，是在特定时间内发生 x 次保 险事故的概率，是参数，并且0。泊松分布的数学期望和方差都是。因 此，也表示了在特定期间内，保险事故发生的平均次数。泊松分布的矩母函 数是 () )1( = t ee etm 。 泊松分布具有下列特性： 在某一特定长度的期间内，发生保险事故的概率是相同的。 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 第 2 章 相关理论模型 7 各保险事故的发生是相互独立的。 在某个特定期间内，发生保险事故次数的期望值是已知的。 保险事故发生次数的平均值 tnp= 。其中 p 是单位样本发生保险事故的概率，n 为样本数，为单 位时间内保险事故的发生概率，t 为时间的长短。 泊松分布的参数简单，但是比较难以解释，另外，泊松分布还有一个重要 性质就是 n 个相互独立的参数为的泊松随机变量的和服从为 n的泊松分布。 这种性质我们称为泊松分布的可加性。 二项分布 二项分布描述的是 n 重伯努利试验中事件 a 成功发生 x 次的概率，所以可 以用来作为同质风险等额保单赔款次数的概率分布模型。二项分布也是一个离 散的随机变量。 二项分布随机变量 x 的分布列为 () xn xx n ppcxxp =1)( （x=0,1,2,.n） 二项分布的参数为 n 和 p,记为 b(n,p)。二项分布随机变量 x 的数学期望和 方差分别为 e(x)=np，var(x)=np(1-p)。矩母函数是 m(t)=( ppet+1 ) n 。 在实际运用中，二项分布的计算常常采用两种近似方法，一种方法是把二 项分布随机变量看做是相互独立、并服从二项分布的随机变量之和。利用中心 极限定理可以知道：当 n 充分大时， ()pnp npx 1 近似地服从标准正态分布。一 般来说，当 np 和 np(1-p)都大于 10 时，近似程度就已经不错了，另一种方法是 利用二项分布的极限分布即泊松分布来进行近似计算：当 n 充分大，而 p 又相 当小时，可令0=npq,则 () x q eppc x q xn xx n 1 ，即近似为泊松分布了。 几何分布 几何分布描述的是伯努利实验中的首次发生事件 a 之前，事件a发生 x 次 概率。几何分布的分布列为： create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都理工大学硕士学位论文 8 ()() x ppxxp=1 （x=o,1,2,.） 几何分布的参数为 p,记为 geo(p)。几何分布的数学期望和方差分别为 ( )() 2 1 , 1 p p xvar p p xe = =,矩母函数是 () ()tep p tm = 11 ，其中()pint1。 负二项分布 负二项分布描述了伯努利试验中，第 k 次发生事件 a 前，事件a发生 x 次 的概率。负二项分布常常用于灾害事故和发病情形的统计问题，在非寿险精算 中用来描述在风险不同质情况下损失发生次数的分布。负二项分布的分布列为 ()() x kx kx ppcxxp= + 1 （x=0,1,2,.） 负二项分布的参数为 k 和 p，记为 nb(k,p)，其中，k=1,2,.,0p0 参 数 为 a 和 ，记 为 pareto(a, ) 。帕 累托 分 布的数学 期望是 ( )()1 1 =a a xe 方差是 () ()() ()2 21 2 2 =a aa a xvar ， 矩母函数没有简单的表 达式。而分布函数是 () a x xf + = 1 伽马分布 伽马分布常常用来描述损失金额的分布和分析风险的异质性。伽马分布的 密度函数为 () () ()xx a xf a a = exp 1 ，x0 其中，参数 a0, 0。(a)是含参数的广义积分，也称为伽马函数。伽马 分布记为 gamma(a, )。伽马分布的数学期望是 ( ) a xe= ，方差是 ( ) 2 a xvar= 。矩母函数是 () a t tm = 1)( 。特别的，当 a=1 时，伽马分布 就是以为参数的指数分布。 2.2.5 总损失金额 总损失金额是在某一个特定期间内，保险事故发生后总共损失的数额。就 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 第 2 章 相关理论模型 11 每一个危险单位而言，总损失金额就等于每次事故损失金额之和。即 = =+= n i in xxxxs 1 21 . 其中，n 表示该保险标的在保险期限内总共发生的损失次数， i x 表示第 i 次损失金额。损失金额和损失次数的哦而是随机变量，所以这里 n 是非负整数 的离散随机变量。这里我们假定， n xxxx. 32, 1 是具有相同分布的随机变量， 并且 n, n xxxx. 32, 1 相互独立。这个模型又称为短期聚合风险模型，而作 为各独立同分布随机变量和的 s 的分布则称为复合分布。 2.2.6 总损失金额分布的数字特征 在聚合风险模型中，如果已知道 n 和 n xxxx. 32, 1 的分布函数，则可以 运用卷积公式求出 s 的分布函数。 ().( 21 xxxxpxf ns += = ()()nnpnnxxxxp n n =+ =0 21 . () ()()xfnnp ffffnnp n x on xxxx on * . = = = = 相应的 s 的密度函数为 ()() ()xfnnpxf n x n s * 0 = = 根据条件期望和条件方差的性质，我们可以得到 s 的期望和方差 ()( )( )( )( )xenexenenseese= ()( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )xvarnenvarxe xvarnexenvar nsvarensevarsvar += += += 2 根据矩母函数的定义 ()( )tsetm s exp= ，则 s 的矩母函数为 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都理工大学硕士学位论文 12 ()( )() () ()tinmm tninme tmentseetm xn x n xs = = = exp exp 2.2.7 总损失金额的分布 1、复合泊松分布 在聚合风险模型中，如果假设 n 服从泊松分布，则称总损失金额 s 服从复 合泊松分布，我们可以根据复合分布的分布函数和密度函数的公式，得到 s 的 分布函数和密度函数分别为 ()() ()()xf n e xf xf n e xf n n x n n s x n n s * 1 * 1 ! ! = = = = 我们可以根据复合分布的数学期望、方差、和矩母函数的计算公式，分别 计算出复合泊松分布的数学期望、方差和矩母函数。 复合泊松分布有一个比较特殊的性质就是复合泊松分布的和依然为复合泊 松分布。 2、复合二项分布 在聚合风险模型中， 如果假设n服从二项分布b(n,p)， 则称总损失金额s 服 从复合二项分布。在实务中，我们选择二项分布是因为损失次数 n 有上限 n。 同样，我们可以分别计算出复合二项分布的数学期望、方差和矩母函数。 ()( ) ()( )( ) ()() n xs ptpmtm xenpxnpesvar xnpese += = = 1 2 22 3、复合负二项分布 在聚合风险模型中，如果假设 n 服从负二项分布 n b ( k , p ) , 则称总损失金额 s 服从复合负二项分布。在实务中，负二项分布对实际的拟合比泊松分布根号。 这是因为服从负二项分布 n 没有上限的限制，n = 0 , 1 , 2 , ; 并且，负二项分布的 方差比数学期望大。这两个特征使得实务中更多的是使用负二项分布。同样， create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 第 2 章 相关理论模型 13 我们可以分别计算出复合负二项分布的数学期望、方差和矩母函数： () () ( ) () () ( ) () ( ) () ()() k x k s tmp p tm xe p pk xe p p ksvar xe p pk se = + = = 11 11 1 2 2 2 2 4、个体风险模型 在聚合风险模型中，s是各独立同分布随机变量的和。如果各风险是相互 独立，但并非同分布的，则风险的数目是确定的，并且在一段时间内保持不变， 即 = =+= n i in yyyys 1 21 . 该模型称为个体风险模型。其中，n 为风险发生的次数，是一个确切的数； y i是第 i 个风险的损失金额，yi相互独立，但具有 yi不同的分布。在个体风险 模型中，我们还有如下假设： 如果 y i的损失次数 ni为 0 次或者 1 次。如果 yi风险发生了，损失金额为 x i。 风险 y i的损失概率为 qi。 这些假设表示 n i服从二项分布 ni（1 ，qi）. 设损失金额 xi的数学期望为 i， 方差为 2 i ， 则风险 y i损失金额服从复合二项分布， s 为复合二项分布和。 y i 的数学期望和方差分别为 ( ) iii qye= ， ( ) 22 i )1 (y iiiii qqqvar+= 。 尽管各风险是相互独立的，但每种风险的分布是不同的。一张保单在一年 中所发生的总损失金额应该等于各风险损失金额之和。 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都理工大学硕士学位论文 14 2.3 损失分布的拟合 非寿险精算师在研究损失分布时不能主观臆断随机变量的分布及其参数， 而应该采用科学方法，在数据分析的基础上得出。拟合损失分布时主要有两种 方法可以选择，其一是分析数据并假定分布，得出参数后进行校验；其二是融 合精算师的经验或公司的特殊情况，将自身情况与实际数据结合起来用贝叶斯 估计进行拟合。在拟合总损失金额的分布时，通常采用近似的方法进行计算。 2.3.1 损失分布拟合的基本方法 随机变量的分布及其参数的选定，是通过分析数据得出来的，我们可以通 过对数据的分析得到经验分布函数。可以证明，用经验分布函数来代替未知理 论分布函数进行分布规律的研究是适当的。 1、离散型随机变量的拟合 整理数据 通过整理数据，编制索赔次数的频数和频率表。 建立经验分布函数 累计频率就是经验分布的函数值，可以直接利用这个经验分布函数计算各 区间或点的概率。 2、连续型随机变量的拟合 整理数据、分组，并绘制直方图 选择分布类型 我们可以根据光滑的频率折线图形状悬着分布类型。通常，非寿险精算中 常用的损失分布具有不对称、非负、尾部较厚的特点。我们一般选用两参数模 型。选择分布模型时可将经验数据直方图与相应图像相比较，得到较恰当的初 始选择。当然，根据经验，某一种损失通常是服从一定的分布，那么此时我们 只需要验证分布曲线的形状，然后直接进行下一步的参数估计。 估计分布参数 在数理统计中，我们通常用的参数估计方法包括分位点估计法、矩估法和 极大似然估计法。分位点估计法根据实际数据确定各分位点，然后根据所选定 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 第 2 章 相关理论模型 15 分布的密度函数计算出参数值。如果只有一个参数则选择中位数即可，如果是 两个参数则选择 1/4 和 3/4 分位数。 矩估计用样本的各阶矩作为随机变量同阶矩 的估计，然后根据所选择分布的数学特征求出参数。二极大似然估计法则是构 造了似然函数，然后求使得似然函数最大的参数值。 参数和拟合优度的校验 在得出了损失分布的参数之后，我们还应该进行假设校验。假设校验是对 随机变量的分布或参数进行假设，选择校验统计量，确定校验规则和拒绝域， 再根据观测到的数据计算校验统计量的值，从而作出接受还是拒绝原假设的判 断。假设校验包括参数校验和非参数校验。参数校验是指对随机变量分布估计 的参数进行校验，而非参数校验是对随机变量分布进行的假设校验，即拟合优 度校验。参数校验通常采用 u 校验、t 校验、f 校验等方法，拟合优度校验通 常采用 x 2 校验等方法。 如果我们的数据分布非常不均匀，我们可以采用不等距的分组方法编制经 验分布函数，然后同样绘制直方图、连线并估计损失分布。我们上诉的拟合步 骤可以普遍适用于非寿险，但在实务中还会遇到很多具体问题。例如，本文提 出的巨灾风险下的问题，损失分布的尾部常常要进行特别的考虑，用尾部期望 函数来描述。 2.3.2 贝叶斯估计 前面的方法是建立在独立的具有代表性的数据基础上，但是，实际上我们 可能很难会的足够的样本信息，或者所观测的数据不符合要求，这时，我们就 需要加入一些人为的主观判断，或者新获得的数据来对原来的推断进行修正。 贝叶斯估计就是一种能融合考虑先验信息的统计方法。在非寿险精算中，贝叶 斯估计通常用于估计损失分布、调整费率、校正保费等。估计就是一种能融合 考虑先验信息的统计方法。在非寿险精算中，贝叶斯估计通常用于估计损失分 布、调整费率、校正保费等。 1、先验分布 先验分布 ()f 是精算师根据自己的经验确定的，或者是由保险公司自身的 特殊情况所决定的。 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都理工大学硕士学位论文 16 2、确定似然函数 3、求出后验分布 根据贝叶斯估计，参数的后验分布应该与参数的先验分布和样本的似然函 数的乘积成正比，即 ( ) ( )()fxfxf 。如果先验分布与后验分布属于同一类 型的分布，则我们称之为共轭分布。 4、选择损失函数并估计参考 损失函数实际上是对参数估计值和真实值之间的误差可能带来的损失的一 种判断，是由精算师主观选择的，因此带有主观性，损失函数通常用 loss( , ) 表示。我们要寻找使平均损失最小，即损失函数的数学期望达到最小的估计值。 当我们决定了所采用的损失函数时，相应的就得到了参数 的贝叶斯估计。 2.3.3 复合分布的近似 1.正态近似 据中心极限定理，当损失次数 n 的数学期望足够大时，总损失金额 s 的分 布可以用正态分布来近似，即 () ()svar ses z = 服从标准着呢柜台分布 n（0，1） 。 所以，当 s 是复合泊松分布时，则 时， ( ) ( ) 2 xe xes z = 服从标准正态 分布 n（0，1） 。当 s 是复合二项分布时， ( ) ( )( ) 2 22 xenpxnpe xnpes z = 服从标 准 正 态 分 布n(0,1) 。 当s是 复 合 负 二 项 分 布 是 ， () ( ) () ( ) () ( ) 2 2 2 2 11 1 xe p pk xe p pk xe p pk s z + = 服从标准正态分布 n(0,1)。 2.平移伽马近似 如果知道总损失金额 s 的前三阶矩，我们就可以用更加精确的平移伽马近 似。因为总损失金额 s 通常为右偏，因此，评议伽马近似的效果更好。评议伽 马近似既是将伽马分布向左或向右平移了 0 x 个单位，比伽马分布 gamma( , ) create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 第 2 章 相关理论模型 17 多了一个参数 0 x 。 我们可以通过令 s 的一阶、二阶和三阶矩分别等于平移伽马分布的一阶、 二阶和三阶矩，从而求解方程组得到评议伽马分布 gamma( , , 0 x )的三个参 数，即 ( ) ( ) ( ) 3 3 2 0 2 ? ? ? = = += sese svar xse 则 () () () () () () () 3 2 3 3 3 2 0 2 4 2 sese svar sese svar sese svar sex = = = ? 2.4 随机模拟 随机模拟是与损失分布的拟合完全不同的方法。损失分布的拟合是根据所 观察的数据拟合一个合适的理论分布，而随机模拟则是根据已知的分布利用计 算机获得模拟数据。由于我们在许多情况下无法得到确切的数据，因此根据已 知的分布利用计算机获得模拟数据， 再对数据进行分析是一个现实有效的方法。 随机模拟也称为蒙特卡罗方法。它主要用于解决默写难以用传统解析方法 处理的问题或计算过于繁琐的问题。例如：对风险系统进行大量实测在费用和 时间上均有困难；或者由于实际风险系统的损失后果严重而不能进行实测；或 者对复杂的风险系统构造精确的解析模型有困难、解析模型不易求解；以及对 解析模型进行验证。本文中的巨灾风险，就属于损失后果严重而不能进行实测， 本文采用的也是随机模拟。 随机模拟的基本步骤是： 构造一个适当的概率模型，所求问题正好是该模型参数的有关变量；然后 create pdf with go2pdf for free, if you wish to remove this line, click here to buy virtual pdf printer 成都理工大学硕士学位论文 18 进行模拟，得到模拟数据；最后再对模拟的结果进行统计处理，得到所求问题 的解及其精度。因此根据已知的分布利用计算机获得模拟数据，再对数据进行 分析是一个现实有效的方法。 2.4.1 均匀分布随机数的模拟 一般而言，均匀分布随机数的模拟是一个基本方法，其他分布的随机模拟 都可以由均匀分布随机数产生。我们主要使用两类方法产生均匀分布随机数。 一、随机数字表法 即直接从事先人为产生的均匀随机数表格中取用。在使用随机数表时必须 保持读表方式的随机性。 二、数学方法 数学方法即利用计算机能进行算术和逻辑运算的特点，选取一个恰当的数 字递推式，在给定一组初值后，逐步求出各随机数，从而产生具有均匀总体简 单子样统计性质的随机数。 自然取中法 又称为平方取中法，即任取一个 n 位整数做初值，将该数自乘；然后取出 其乘积中间的 n 个数字成为第一个随机整数；再以第一个随机整数自乘，取出 其乘积中间的 n 个数字成为第二个随机整数；依此得到一个随机数列，把该数 列中各个数除以 n 10 就得到了0,1区间上均匀分布的随机数列。 倍积取中法 即任取一个 n 位整数 0 w 做初值，并选择另一个 n 位整数 k，将该两数相 乘；然后取出乘积中间的 n 个数字成为第一个随机整数；再将第一个随机整数 与 k 相乘，取出其乘积中间的 n 个数字成为第二个随机整数；最后把该数列中 各个数除以 n 10 就得到了0,1区间上均匀分布的随机数列。 乘同余法 乘同余法