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西南大学硕士学位论文摘要 几个新的不动点迭代算子的收敛性定理 学科专业：应用数学研究方向：非线性泛函分析 指导教师：邓磊教授 研究生：刘奇飞( 1 1 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 4 1 ) 摘要 近年来，越来越多的人关注迭代序列收敛理论，在这方面也取得极大的进展本 文在证明几个新的不等式的基础上，运用其证明了几个新的迭代序列的收敛性其 本文主要从以下三个方面来讨论： 1 在完备凸度量空间内对非扩张映射引入逼近不动点的新的迭代算法，利用 非负实数序列的一个不等式，在适当假设下，证明了所引入的迭代序列收敛于非扩 张映射的不动点 2 在完备凸度量空间内对全渐近拟非扩张映射引入逼近不动点的新的迭代算 法，并证明了此算法收敛的几个充要条件 3 在b a n a c h 空间内对非自广义渐近拟非扩张映射引入逼近不动点的新的迭 代算法，并证明了此算法在一定的条件下收敛到某个公共不动点 关键词：凸度量空间；非扩张映象；全渐近拟非扩张映射；非自广义渐进拟非扩 张映射；b a n a c h 空间；不动点迭代 c o m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl e id e n g n a m e ：q i f e il i u a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，i t e r a t i v et e c h n i q u e sf o ra p p r o x i m a t i n gf i x e dp o i n t so f n o n e x p a n - s i v em a p p i n g so ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e ( t y p e ) m a p p i n g sh a v eb e e ns t u d i e d b yan u m b e ro fa u t h o r s ，u s i n gt h em a n ni t e r a t i o np r o c e s so rt h ei s h i k a w ai t e r a - t i o np r o c e s s a sam a t t e ro ff a c t ，s e v e r a ln e wi t e r a t i v es c h e m e sa r ei n t r o d u c e da n d s t u d i e di nt h i sp a p e r t h i sp a p e rw i l ld i s c u s si ti nt h ef o l l o w i n g w a y ： 。 i ns e c t i o n1 ，t h ep u r p o s ei st op r o v ean o v e li n e q u a l i t yo ns e q u e n c ea n ds o m e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so nt h es t r o n gc o n v e r g e n c eo fan e wi t e r a t i v e p r o c e s sf o rn o n e x p a u s i v em a p p i n g si nc o n v e xm e t r i cs p a c e s i ns e c t i o n2 ，i ti sp r o v e dan e w i n e q u a l i t yo ns e q u e n c ea n ds o m es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ran e wi t e r a t i v es c h e m ec o n v e r g e st ot h ef i x e dp o i n to ft h e a s y m p t o t i c a l l yq u a s i - n o n e x p a n s w em a p p i n g s i ns e c t i o n3 ，an e wi t e r a t i v es c h e m e ，v i e w e da sa ne x t e n s i o nf o ri s h i k a w ai t e r - a t i o nw i t he r r o r s ，i si n t r o d u c e da n ds t u d i e df o rn o n s e l fg e n e r a l i z e da s y m p t o t i c a l l y q u a s i - n o n e x p a n s i v em a p p i n g si nb a n a c hs p a c e s i ti sr e m a r k e dt h a tt h er e s u l t s p r e s e n t e di nt h i sp a p e ra x en e we v e nf o rn o n e x p a n s i v em a p s t h u s ，o u rr e s u l t s g e n e r a l i z ea n du n i f yt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s k e y w o r d s ：c o n v e xm e t r i cs p a c e s ；n o n e x p a n s i v em a p p i n g s ；t o t a la s y m p - t o t i c a l l yq u a s i - n o n e x p a n s i v em a p p i n g s ；n o n s e l fg e n e r a l i z e da s y m p t o t i c a l l yq u a s i n o n e x p a n s i v em a p p i n g s ；b a n a c hs p a c e s ；i t e r a t i v ea l g o r i t h m 1 1 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：吉，掺沁 签字日期：c ) 口口尸年多月萝 e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：扫蹶飞导师签名：弘e 象 签字日期： c l 。7 7 年多月8 日签字日期：矽节年多月g e t f 西南大学硕十学位论文 第l 章凸度量窄问中非扩张映象的不动点迭代 第1 章凸度量空间中非扩张映象的不动点迭代 1 1引言和预备知识 定义1 1 1 1 1 设( e ，回是一个度量空间，i = 0 ，1 】对任意的正整数n 2 ， 记e n = 、e ex e ，i n = ，l 映象w ：e nx ，n _ e 称为e l _ _ _ o - _ - 、，- _ l _ _ - _ 一、l l _ _ - l - o 、j - _ _ _ _ ， 的凸结构，如果它满足下面的条件：对任意的札，z 1 ，z 2 ，z n e ，及对任意 的q 1 ，o l 2 ，q n i ，n 扛1a i = 1 ，有 篡= x 2 麓三二芝? ：乞；，0 茎袅。锄d ( x 洲， ， id ( 叫( z 1 ，z n ；q 1 ，q 2 ，q n ) ，t 正) ：】q ii ，t 正) 、7 如果( e ，d ) 是具凸结构w 的度量空间，则( e ，d ) 称为凸度量空间，并记为( e ，d ，叫) 定义1 1 2 设( e ，d ) 是一度量空间，t ：e _ e 是一映象称z 为非扩张映象，如 果d ( t x ，t y ) d ( x ，可) 定义1 1 3 设( e ，d ，w ) 是具凸结构w ：e 3x1 3 _ e 的凸度量空间，t ：e e 是 自映象，对任意的u e ，( i = 0 ，1 ，2 ，q ，q + 1 ) 定义e 中的迭代序列 u n 藩件1 如下： 2 ( 竹，p ；诹，风) ， 扎= o ，1 ，2 ， ( 1 1 2 ) 【u n + 2= w ( u 。+ l ，z 机u n 一口，u n ；q n ，风，) ， 凡= q ，q + 1 ，q + 2 ， 、 7 这里q n 是一个固定的数字序列 q n 是o ， 风) 。o q ：o ， ) 是oc ( 0 ，1 ) 是两个满足 某些条件的实数列 如果取q = 0 ，= 0 ，则( 1 1 。2 ) 式变为 三裟篇铉， 肛o 1 ( 1 1 3 ) n = q ，g + 1 ，q + 2 ， 、 即为i s h i k a 、阮【2 】迭代 本文的目的是证明一个新的不等式，并应用此不等式证明一个新的迭代序列在 非扩张映射下收敛到某一不动点的充要条件我们的结果推广和统一了文献p 4 】 1 2主要引理 引理1 2 1 设 ) 是一个非负实序列，并满足如下条件： a n + 2 o l n a n + l + 风口n q + n n ，( 佗g ) ( 1 2 1 ) 1 其中g 是一个固定数字，序列 q n ) ， 风) ， ) 满足q ncp ，l 】( 其中p ( o ，1 】) ，且q n + 风+ 1 ，则l i ma n 存在 n + o o 证明定义序列 k ) 黯1 如下： k ) = a n ，n = 1 ，2 ，q + 1 ； 【k = m a x a n 口 口n q + 1 ，a n + l ，n = q + 2 ，q + 3 ，从( 1 2 1 ) 有 a n + 2sq 。o l + 风。俨q + o n 口。k + 风k + k k ，礼= q + 2 ，q + 3 ，一 因此 b n + 1 = m a x a n + 1 一q ，a n + 1 一q + l ，a n + 2 m a x a r t - - q ，a t l + 1 一q ，a n + 1 一q + 1 ，a t l + 1 ，a n + 2 ) m a x b , , ，o n + 2 b n ，n = q + 2 ，q + 3 ， ( 1 2 - 2 ) 故l i l f l + b n 存在 记l i m o ok ：口下面证明序列 q n ) 甚1 也收敛于n 若o = 0 ，则显然 n n ) 是l 也 收敛于a 现设o 0 ，如果序列 o 。 黯l 不收敛于o 由 k ) 是1 的定义知，对任意的n n ， 有口。 0 ，对任意的j 0 ，存在 j ，使得 + q + 1 ) ，有 a e b n a + ， ( 1 2 3 ) 于是，m ( i 2 1 ) 和( 1 2 3 ) 式，我们得到 a n q + l q t i - q - 1 a n q + p n - - q - - l a n 一2 q 一1 + 一口一l a n q 一1 o e n - - q - 1 ( o 一) + 风一q 一1 + ) + 一q 一1 ( o + 5 ) a o t n - - q - - l + ( 风一q 一1 + 一q 1 ) o 一口+ e ( 1 2 4 ) 如此继续进行下去，同样的道理，可推出 口州州 q 一欢+ ( 而1 - 0 ) ，l = 1 ，g + 1 2 西南人学硕十学位论文 1 3 主要结论 由e = 蝴，可得 。州+ t 0 ，存在x + f ( 丁) ，及n 0 ，使得当n n ，有 d ( u n ，矿) 吾 因而可得 d ( u n + m u n ) n ，有 d ( u n ，z 7 ) n + 时，我们有 d ( t x ，x ) d ( t x 7 ，t x + ) + d ( x + ，x 7 ) s2 d ( x 。，x 7 ) 2 ( d ( u n ，x + ) + d ( x ，u n ) ) 2 ( 1 3 4 ) 由e 的任意性可得d ( t x 7 ，z 7 ) = 0 ，即z 7 f ( t ) 口 4 西南大学硕士学位论文第2 章凸度量空间中伞渐近拟非扩张映象的不动点迭代 第2 章凸度量空间中全渐近拟非扩张映象的不动点迭 代 2 1 介绍及前言 设( x ，d ) 是一度量空间，e 为x 的一非空闭凸子集，t ：e _ e 是自映象 f ( t ) 为t 的不动点集假设f ( t ) 0 则映射t 被称为 ( i ) 非扩张映射，如果对所有的z ，可e ，有d ( t x ，t y ) d ( x ，可) ( i i ) 渐近非扩张映射 6 ，如果存在序y j k n ) ，使得佗_ o 。有k o 且对所有的n l ， z ，y e ，有 d ( t “x ，丁机可) ( 1 + k n ) d ( z ，可) ； ( i i i ) 渐近非扩张型映射【7 】，如果对所有的孔1 ，确 l i m s u p n 。s u p 删e ( d ( p z ，p 可) 一 d ( x ，可) ) 0 ； ( i v ) 全渐近非扩张映射 8 】，如果存在序列 k ) 和 矗 ，使得n _ o o 有k n ，矗一o ，且存 在严格增的连续泛函妒：r + 一冗+ 使得妒( o ) = 0 ，并对所有的死1 ，。，y e ，有 d ( t n x ，p y ) d ( x ，可) + k n t ( d ( x ，可) ) 十“； ( v ) 全渐近拟非扩张映射，如果存在序列 k n ) 和 矗) ，使得n _ 。o 有k ，如一o ，且存 在严格增的连续泛函妒：r + 一兄+ 使得妒( 0 ) = 0 ，并对所有的n 1 ，z e ，p f ( t ) ，有 d ( t “x ，p p ) d ( x ，p ) + k n 妒( d ，p ) ) + 以，v x e 比较上面的定义，可以看到全渐近拟非扩张映射推广了全渐近非扩张映射，渐近 非扩张型映射，渐近非扩张映射及非扩张映射因此本文的几个重要结果可以应用到 所有以上的映射类中 最近几年来，关于非扩张映射及渐近非扩张映射的m a n n 迭代或者i s h i k a w a 迭 代的不动点逼近已经被许多作者进行学习和研究而本文引入了一个新的 迭代算法，此算法是i s h i k a w a j 塞代算法【2 】的推广算法如下：设( x ，d ，) 具有凸结 构w ：x 3 1 3 _ x 的凸度量空间，e 为x 的非空闭凸子集，t ：e _ e 为自映 射则对任意的鼢e ( i = 0 ，1 ，2 ，g ) ，定义e 中的迭代序列 z 。 如下： j 2 w ( z n ，t n x n , v n ；酩，风，) ，n = o ，l ，2 ，； ( 2 1 1 ) 【z 。+ 1 = w ( z n ，丁叽一口，t n ；o t n ，风，) ，n = q ，口+ 1 ，q + 2 ， 、7 5 西南大学硕士学位论文 2 2 主要结果 其中q n 是一个固定的数 u n ， 是e 中的有界序列， q n ) ， 风) ， ，【 ， 庞】 及 ) 是【o ，l 】中的序列，且对任意的n o ，满足q n + 风+ = a n + 厦+ = 1 如果取q = 0 ，则( 2 1 1 ) 式变为带误差的i s h i k a w a 迭代【2 】 蜘 5 ( ，p ，v n ；o t n , 风，) ； ( 2 1 2 ) lz n + 1 = w ( x 竹，p ，u 。；q n ，风，) ，v n 1 、7 本文的目的是证明一个新的不等式，并应用此不等式证明一个新的迭代序 y , j ( 2 1 1 ) 在全渐近拟非扩张映射下收敛到某一不动点的充要条件其结果推广和统 一了文献( 【5 ，6 】，【9 - 1 8 ) 2 2主要结果 为了得到本文主要的结果，需要下面的引理 引理2 2 1 1 9 】设 ) 器o ，( 8 n ) n 0 0 ：o 及 竹 器。为三个非负实数序列，且满足 a n + 1 8 n a n + h n ，v n n 如果s n 1 ，。c o ：。、8 n 一1 ) + o 。且是ok 0 ，是l h n c o 及器1c n l ， 则l i ma n 存在 证明定义序y l j b n 怎1 如下： k 2 ：k 呻州，胁，蓦饶2 , - - m - , q ； 从( 2 2 1 ) ，有 o n + 1s8 h a 仃+ 2 n 口托一g + h n s , b n + i n b n + h 行( 1 + ) 6 疗+ h ，l ( n q + 1 ) 6 两南火学硕+ 学位论文 2 2 主要结果 因此 k + 1 5 m a x a n + 1 一q ，a n + 1 一q + 1 ，a n + l m a x a n q ，a n + l 一口，a n + 1 一口+ 1 ，a n ，a n + 1 m a x b 礼，a n + l ( 1 + c n ) 6 n + h n ，n = q + 1 ，q + 2 ， 由于墨1 0 ，使得对任意j 0 ，存 在n f j 满足 n 唧 0 ，则存在p ( 0 ，1 ) 及 0 使得对任意n n ，有 s 礼p ( 2 2 3 ) 令= m i n 嘴3 0 ) 由l i 吣k - 0 l i 。= 0 j 0 i m h n = 0 ， 则存在札 n 及秽( 0 ，1 ) 使得对所有n 肫，有 。一砉 k 口+ 吾， 壶 1 九n + q + 1 ) ，以致于。伽一q o 一因而 m ( 2 2 1 ) ，( 2 2 3 ) 及( 2 2 4 ) ，得到 ( z n o - - q + l 8 n o q a n o q + 2 竹0 一q a n 0 - - 2 q + k o q s 咖一口 一) + f t l 0 一口( 口+ 云) + t l o q ( 1 + a n o 一。) n 一8 n o - - q + ( 1 + 一。) 丢+ 主 a 一必+ s( 2 2 5 ) 7 两南大学硕士学位论文 2 2 主要结果 再进一步m ( 2 2 5 ) ，有 t n o - - q + 2 8 n o - q + l a t l 0 一q + 1 + i n o - - q + 1 a n o 一2 q + 1 + h , , o - q + l s n 。一q + l ( 。一日莓+ ) + l n o - q + l ( 。+ 云) + 啪一q + 1 ( 1 + c n o q + 1 ) n 一口( 艇一e ) + ( 1 + - q + 1 ) 吾+ 三 a 一口2 + p + 1 ) 如此继续进行下去，同样的道理，可推出 口“n 卅+ ( 甾) ，i = 0 ，l ， q ( 2 - 2 6 ) 由嶙及( 8 ) 式，可得 n 一欢+ ( 而1 - 0 ) 。卅喾茄州而1 - 0 i ) 2 0 一伊i 2 沪百市 = n 一生等拦1o掣)oq i ( 一 一 。 而由 0 可被省略若f n = 0 ，即为 引理2 2 1 定理2 2 1 设( x ，d ，w ) 是完备凸度量空间，e 是x 的非空闭凸子集，t ：e e 是全渐近拟非扩张映射 k ) ， 如 是两个非负实数序列满足：。k n + o o ， = o 如 + o 。且f ( t ) 是非空闭子集设 “n ) 和 】- 是e 中的两个有界序列， a n ) ， 风) ， ) ， 酩) ， 0 ， n - - - 0 0 8 0 使得对所有的a m 有妒( a ) m + a 。则对任 给的戤e ( 其中t = 0 ，1 ，2 ，q _ 及g n 是一个固定的数) ，由( 2 1 1 ) 定义的 序列 器l 强收敛到t 的一个不动点当且仅当虬i n f d ( x , , ，f ( t ) ) = 0 ，其 中d ( 盘= | ，f ( r ) ) = i n l 州研烈2 住，z ) 证明必要性显然下面仅证明充分性若l i i - + i n f d ( x ，f ( ) = o ，蛋拳是t 的 一个不动点由于 ) ， ) 是有界的，因而存在q 0 使得m a x s u p , , ld ( ，矿) ， s u p n 1 d ( u n ，矿) ) q 由假设可知，当a m 时，有妒( 入) sm * a 而当a m 时，有妒( a ) 妒( 又妒是递增函数，因而对于任意的a 0 ，可得到妒( 入) 妒( m ) + 矿a 从而对所有的n g ，可得到 及 妒( c i ( z 仕一孽，z ) ) 冬妒( 汀) + m + d ( x n 一口，2 ) ( 2 2 7 ) 妒( d ( 掣h q ，茁 ) ) 妒( 肘。) + m + d ( y n 一口，z ) ( 2 2 8 ) 根据( 2 1 1 ) ，( 2 2 7 ) 及( 2 2 8 ) 可知，对任意的几q 有 矗( 一g ，矿) = d ( 霉礼一口，2 m _ 鼋嚣n 一鼋，1 ；一口，风一鼋，一嘤) ，矿) 氐乒( 一q ，墨) + 反一口a c t 一口z n - - q ，z 4 ) + ；2 舻口d ( 钳n - - q ，z + ) 冬a n - - q 露国俺一口，矿) + 磊1 ( d ( 2 霸譬，矿) 十一口妒 ( z 竹一曩，窭4 ) ) + 矗一口) + 一嚏d ( 一g ，矿) 墨( 丘，哪+ 晟一鼋) 截1 ，嚣) + 屎1 一尊 ( 膨) + m * d ( x n q ，窖) ) + 庇一g 如1 + 一一( 一口，。) ( 1 + k 一口m 事) 武霉驴口，矿) + k 一拶( m ) + k 叫+ 一( 一勘g ) ( 2 2 9 ) 及 矗( 2 协+ 1 ，g ) = d ( z 铭，p 呻，；。，风，) ，矿) d ( ，矿) + 厥d ( p 呻矿) + d ( t ，l ，矿) d ；( ，矿) + 坂呻矿) + k 几v ( d c u - , , 矿) ) + 如】+ d ( ，霉4 ) a d ( x n ，矿) + 风b ( 貅鼋，矿) + 妒( m ) + k 驴d ( 挑口，窭4 ) + 氏】+ d ( 让n ，矿) 9 西南大学硕士学位论文 2 2 主要结果 o t n d ( x n ，z + ) + 风( 1 + k m + ) d ( 一q ，z + ) + d ( ，矿) + 风( k n q o ( m ) + 矗) o t n d ( x n ，x + ) + 风( 1 + m + ) ( 1 + 一q m + ) d ( z n q ，矿) + k q 妒( m ) + 以一q + 一g d ( 一q ，z + ) 】 + d ( ，x + ) + k 妒( m ) + 如 o t n d ( x n ，x + ) + 风( 1 + k m + ) ( 1 + 一q m + ) d ( z n 一口，x + ) + ( 1 + k m + ) k q q o ( m ) + 如一q + 一口d ( - q 矿) 】+ d ( ，x + ) + k n 妒( m ) + 以 = s n d ( x 。，矿) + z n d ( x n 一口，x + ) + h n ( 2 2 1 0 ) 其e s 竹= q n ，k = 风( 1 + k m ) ( 1 + k q m + ) 及h n = ( 1 + k n m + ) 陬一口妒( m ) + 如一q + 一口d ( v n _ q ，z + ) 】+ d ( ，z + ) + k n l i o ( m ) + 民取 fo ，s n + ks1 ； 2ts n “_ l s n “ 1 根据上面的结果，可得到 o oo o c n ( 1 + k m + ) ( 1 + 一口m + ) 一1 】= ( k 一q m 钮+ k n m 4 + k q m + ) 1 ( 1 + k n m ) 由k 的定义，有 h n = 【( 1 + k m 。) 一口妒( m ) + 矗一。+ 一g d ( _ q z + ) 】+ d ( u 竹，z + ) + 妒( m ) + 如】 n = qn 2 呵 【g 妒( m ) 一口+ g 如一q + g q 一口+ q + k 妒( m ) + 刚 0 ，存在p f ( t ) 及n 0 ，使得对任意的n n ，有 d ( x n ，p ) n 及m 0 ，有 d ( z n + m ，z n ) d ( z n + m ，p ) + d ( z n ，p ) 薹+ 丢= 因此， z n ) 是一个柯西序列y x 是完备的，因而可得 z n ) 是收敛的设l i i 。o 。z n = z 7 由e 是闭的，得到一e 下一步证明z 7 f ( t ) 由于对所有的n ，有 i d ( ，f ( t ) ) 一d ( x 。，f ( t ) ) l d ( z ，z n ) 因此，从l i i i k 。z n = 及l i m n 。d ( x n ，f ( r ) ) = 0 ，能得到d ( z 7 ，f ( t ) ) = 0 故z 7 f ( t ) 口 定理2 2 2 设( x ，d ，w ) 是一个完备凸度量空间，e 是x 的非空闭凸子集，t ：e _ e 是全渐近拟非扩张映射， k ) ， 如) 是两个非负实序列并满足墨lk n + ， 甚。矗 ，【庞) 和【) 是 o ，1 】中序列且满足 q n + 风+ = a n - 4 - 庞+ = 1 ，f 0 使得对所有久m 有妒( a ) m + a 则对任意 的x o e ，由( 2 1 2 ) 式所定义的序列 z 。) 器1 强收敛到t 的一个不动点当且仅 当l i m n 。i n fd ( x 。，f ( t ) ) = 0 ，其中d ( z n ，f ( t ) ) = i n f z f ( t ) d ( x 。，。) 定理2 2 2 可用定理2 2 1 同样的办法证明 注2 2 2 定理2 2 1 和定理2 2 2 推广和统一了文献 6 】的定理1 ；文献 1 0 】的定理1 ；文 献 1 3 】的定理1 ；文献 1 4 】的定理l ，2 ，3 ；文献 1 5 】的定理1 ，2 ；文献 17 】的定理2 6 ，2 7 及文献 1 8 】的定理1 ，3 ，4 及5 1 1 西南大学硕十学位论文第3 章在b a n a c h 窄问中的非自广义渐进拟非扩张映射的不动点迭代 第3 章在b a n a c h 空间中的非自广义渐进拟非扩张映 射的不动点迭代 3 1 介绍和前言 在这篇论文中，我们假设e 为实b a n a c h 空间，k 为e 的非空闭凸子集t 的 不动点的集合用f ( t ) 表示，且f ( t ) d 定义3 1 1 【2 7 1 映射t 被称为 ( i ) 广义渐进非扩张的，如果存在非负实数序列 k n ) 及【如) 满足 l ，k 佗_ 1 且当几_ ( 3 0 有如_ o ，则有 l l p z p l | k n i i x 一秒0 + 矗，v x ，y k ，v n 1 ( i i ) 广义渐进拟非扩张的，如果存在非负实数序列 k 及 矗) 满足 1 ，一1 且当n _ o 。时有如一0 ，则有 l i p z t p l i k n l i z p l | + 以，v z k ，v p f ( t ) ，v n 1 从定义我们可以看到广义渐进拟非扩张映射推广了广义渐进非扩张映射，渐进非 扩张型，渐进非扩张及非扩张映射 在文献【2 0 】中，c h i d u m ee ta l 引进了非自渐进非扩张映射，他是渐进非扩张自 映射的一个重要的推广，其定义如下： 定义3 1 2 【1 】设p ：e _ k 是e 到k 上的内映射非自映射t ：k _ e 称为： ( i ) 渐进非扩张的，如果存在非负实数序列 k ) 满足当礼一有k n 1 ，_ 1 ，则有 0 t ( p t ) n 一1 。一t ( p t ) n - 1 可i i k n l | z 一剪l i ，v x ，秒k ，v n 1 ( i i ) 一致l - l i p s c h i t z i a n ，如果存在常数l 0 ，使得 i i t ( p t ) n 一1 z t ( 尸t ) ”一1 y l i l i i z 一可i l ，v z ，y k ，v n 1 定义3 1 3 设p 为e _ k 非扩张内映射非自映射t ：k _ e 被称为 ( i ) 广义渐进非扩张的，如果存在非负实序列 h ) 及 矗) 满足k 1 ，_ 1 且当n _ o o 有矗一0 ，则有 i l t ( p t ) n 一1 z t ( p t ) n 一1 y l i k n l l x y l i4 - 矗，v x ，y k ，v n 1 1 2 西南大学硕士学位论文3 1 介绍和前言 ( i i ) 广义渐进拟非扩张的，如果存在非负实序列 ) 及 如 满足k l ，_ 1 及当几_ 有“一0 ，则有 t ( p t ) n 一1 z r ( p t ) n 一1 p i | k 1 l x p i i + 晶，v x k ，v p f ( t ) ，v n 1 如果t 是白映射，则p 为恒等映射，从而定义3 1 3 ( i ) ，( i i ) 分别推广了定义3 1 1 ( i ) ，( i i ) i n 2 0 ，已经学习了接下来的迭代序列： x n + 1 = p ( ( 1 一q n ) z n + a t ( p t ) n 一1 z n ) 得到在合适的条件下，该序列收敛到某一固定点t i n 2 8 】，将其推广到如下序列： j y n = p ( ( 1 一风) n 。n + 风乃( p 马) n - ：1 z n ) ；( 3 1 1 ) 【x n + 1 = p ( o q n ) z n + q n t z ( p t z ) n 一1 ) ，n 0 、 在非自渐进非扩张映射下，他们证明了在某些适当条件下序列 。n ) 收敛到五及疋 的某个公共不动点 可以看至l j i s h i l m w a 和m a n n 迭代序列都是序列( 3 1 1 ) 的特例在这篇文章中， 一个新的迭代序列被引进，它是( 3 1 1 ) 的一个推广，其被定义如下： 设为e 的非空闭凸子集，且矸，正为两个k k 的映射则对于任意 的x i k ( i = 0 ，1 ，2 ，q 且g n 是一个固定的数) ，序列 z n ) 被定义： i 鲰= p ( a 。+ 尻乃( p 疋) n - 1 z n + ) ， ix n + 1 = p ( q n z n + 届n t l ( p t l ) n - i 可。一q + ，y h u n ) ， 其中 ， 是e 中的两个有界序列， q n ， 风) ， ， 瓦 ， 反) 及 ) 为 o ，1 】中的序列，且满足对所有的n 0 有q n + 风+ = 丘n + 反+ = 1 映射乃死：k e 在k 上是满足条件( a ，) f 9 】，如果存在非减序列，： 0 ，0 0 ) 一 【0 ，。) 满足对所有的7 ( 0 ，o o ) f = f ( 互) n f ( 死) d 有，( o ) = 0 ，f ( r ) 0 ，则有 o m 抵a x 。i l x t , x i f ( d ( x ，f ) ) 在这篇论文中证明了一个新的迭代序列( 3 1 2 ) 收敛到两个非自映射的一个公 共不动点这篇文章的结果甚至在非扩张映射中都是新的因此我们的结果推广 t ( 2 0 - 2 6 】a n d 【2 8 ) d g 懈 1 3 、， 21 2，l g 1+ l g仉吼 = = 他 n 西南大学硕+ 学位论文3 2 主要结果 3 一主要结果 接下来将利用下面的引理 引理3 2 1 2 9 设e 为实的一致凸b a n a c h 空间， q n ) 为( o ，1 ) 中的序列满足0 l i m i n f n l i m s u p n 。q n 1 设 z n ) 和 为e 中的序列且对于某一 个r o 有l i m s u p n 。o ol l z 凡| l r ，l i m s u p n 。| 1 3 h | i r 及l i m s u p 。o oi i q n x 。+ ( 1 一 q n ) 掣h | i = r 则l i h k 。| i z n y i i = 0 引理3 2 2 2 4 一一、a 一o oo ， 如 罂。及( k 黯。为三个实序列且有 a n + 1st n a n + h n ，v n n 如果t n 1 ，。o 。：。、t n 一1 ) + 且墨o k 0 ，e ：l h n o o 且暑1c n 1 ， 则l i ma 。存在 证明设序歹i j b n ) 黯1 被定义为： k = 基k 呻，川，蓦麓嚣 根据( 3 2 1 ) ，可得到 a n + 1 t n a n + i n a n 一口+ h n t n 6 n + k 6 n + h n ( 1 + c n ) 6 n + h n ，( 礼q + 1 ) 因此 6 n + l = m a x a t l + l 一口，n n + 1 一g + 1 ，a n + l m a x a f i q ，a n + l q ，a n + 1 一q + l ，a ，i ，a n + l m a x b n ，a n + l s( 1 + c n ) 6 n + h n ，扎= q + 1 ，q + 2 ， 通过引理3 2 2 及墨1c n 0 ，假设 口n 】箍l 不收敛到口由于l i m n _ 6 n = a ，因而 很容易可找到 0 ，对于所有的歹 0 ，存在 j 使得 a 唧 0 ，因此存在0 ( 0 ，1 ) 及 0 ，以至于对所有的n n 有 t 礼0( 3 2 3 ) 设= m i n 嶙，3 口) 由l i m n 一k = 。，l i m n 一= o 及l i m n o 。k = o ， 存在址 n ，使得对于所有的n m 有 n 一言 咏。+ 吾，c n 云 1 h n 札+ q + 1 ) ，使得a n o q a 一因而， 从( 3 2 1 ) ，( 3 2 3 ) 及( 3 2 4 ) ，有 a r m q + l t 伽一q n 咖一q + i n o - q a ，1 0 2 q + 伽一q t n 0