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孙霞：关于h 一矩阵的g s a o r 多重分裂方法的收敛性 中文摘要 在对自然科学和社会科学中许多实际问题进行数值模拟时，人们最终将这些问题归结 为求解一个或一些大型稀疏矩阵线性方程组，比如在结构设计、数值天气预报的计算、石 油勘探等，常利用常微分或者偏微分方程作为数学模型，然而这些计算领域往往是高维的、 大范围的，其形态可能很不规则，给计算带来很大困难 随着并行计算机的出现，1 9 8 5 年o l e a r y 和w h i t e 提出并行多重分裂迭代解法 1 】此 后，该迭代法被许多研究者广泛使用在过去几十年中，基于此多重分裂迭代法，很多学 者又提出了一些新的多重分裂迭代算法去求解大型线性方程组，并着重研究了这些迭代方 法在系数矩阵为h 一矩阵、m 一矩阵以及对称正定矩阵等条件下的收敛性( 参见文【2 - 1 1 】) ，还 有部分学者研究了系数矩阵是奇异矩阵条件下多重分裂迭代方法的半收敛以及收敛性( 参 见文 1 2 1 6 ) 本文在非奇异线性方程组的条件下，给出了一种新的并行多重分裂迭代算法( g s a o r 方法) ，并主要研究在系数矩阵为h 一矩阵、m 一矩阵的条件下该方法的收敛性本文结构安 排如下： 在第一部分中，简要介绍近些年来求解大型线性方程组的并行多重分裂迭代方法的发 展情况 在第二部分中，我们给出了本文所要用到的一些基本矩阵定义、几种基本矩阵分裂、 引理等，阐述了多重分裂迭代方法的定义以及g s a o r 多重分裂方法的定义，并给出多重 分裂和松弛多重分裂的两种算法 第三部分是本文的主要部分之一，给出了在本文多重分裂方法的两种算法下，且系数 矩阵为h 一矩阵、m 一矩阵时的收敛性定理，并通过数值算例验证了该多重分裂迭代方法的 正确性 第四部分是本文的主要部分之二，将g s a o r 多重分裂迭代方法中的参数特殊化，可 简化为s s o r 迭代方法，在此基础上，对系数矩阵a 迸两步多重分裂，分为a = m n ( 外 分裂) ，m = d c ，一c f ，( 内分裂) ，并对内分裂进行s s o r 迭代方法，讨论了系数矩阵为 h 一矩阵、m 一矩阵的条件下的收敛性定理，并通过数值算例验证了该方法的正确性 第五部分是小结与展望，对本文做了总结并对并行多重分裂迭代方法的前景进行展 望 扬州大学硕士论文 关键词：收敛性，g s a o r 多重分裂迭代方法，两步多重分裂迭代方法，h 一矩阵，m 一矩阵 2 一 孙霞：关于h 一矩阵的g s a o r 多重分裂方法的收敛性 a b s t r a c t 3 一 w h e nu n d e r g o i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o nt om a n yp r a c t i c a lp r o b l e m si nn a t u r a l s c i e n c ea n ds o c i a ls c i e n c e ，p e o p l ew i l le v e n t u a l l ya t t r i b u t et h e s ep r o b l e m st oo n e o rs o m e l a r g es p a r s e m a t r i xo fl i n e a r e q u a t i o n s ，s u c h a ss t r u c t u r a l d e s i g n a t i o n ，c a l c u l a t i o n i nn u m e r i c a lw e a t h e r f o r e c a s t i n g a n d p e t r o l e u m e x p l o r a t i o n ，e t c t h e y a r ea l w a y su s e dt ou s ed i f f e r e n t i a lo rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a st h em a t h e m a t i c a lm o d e l ，h o w e v e r , t h e s ec o m p u t i n gf i e l da r e h i g n d i m e n s i o na n dw i d e - r a n g e ，t h e s ep a t t e n sm a yp r o b a b l yi r r e g u l a r , w h i c h b r i n gm a n yd i f f i c u l t i e st ot h ec a l c u l a t i o n w i t ht h ep a r a l l e lm u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o df o rs o l v i n gt h el a r g el i n e a r s y s t e mo fe q u a t i o n sw a si n t r o d u c e db yo l e a r ya n dw h i t ei n 19 8 5 1 f r o mt h e n o n ，t h i si t e r a t i v em e t h o dh a sb e e nf u r t h e rs t u d i e db yp l e n t yo fs c h o l a r s i nt h ep a s t f e wy e a r s ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v ed e v e l o p e dt h em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i o n sf o r s o l v i n gt h el a r g e rs p a r s el i n e a rs y s t e m s b u tt h ea t t e n t i o nw a sm a in l yp a i dt ot h e h m a t r i x 、m m a t r i xa n dt h es y m m e t r i cp o s i t i v em a t r i x ( s e e 2 - 1l 】) ，a n do n l yaf e w a t t e n t i o nw a ss t u d i e do nt h ec o n v e r g e n c e ，s e m i c o n v e r g e n c eo ft h ep a r a l l e l m u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o d f o rs o l v i n gt h es i n g u l a rl i n e a rs y s t e m ( s e e 12 16 】) i nt h i sp a p e r , w ef u r t h e rs t u d i e dan e wp a r a l l e lm u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o d f o rs o l v i n gt h el a r g el i n e a rs y s t e m ( g s a o rm e t h o d ) ，a n dt h ea t t e n t i o nw a s m a i n l yp a i dt ot h em e t h o d sc o n v e r g e n c e u n d e rt h eh m a t r i x 、m m a t r i xc o n d i t i o n t h ea r r a n g e m e n to ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s 扬州大学硕士论文 4 一 i nc h a p t e r1 ，t h ed e v e l o p m e n to ft h em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o df o rs o l v i n g t h el i n e a rs y s t e mi nt h ep a s tf e w y e a r si ss i m p l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o d 、 g s a o rm e t h o d ，a n ds o m eb a s i cd e f i n i t i o n s ，l e m m a sa n ds oo na r er e v i e w e d ，a n d w ep r e s e n tt w om e t h o d s ，w h a ta r et h em u l t i s p l i t t i n gk e r a t i o na l g o r i t h ma n dt h e r e l a x e dm u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i o na l g o r i t h m c h a p t e r3i so n eo ft h em a i nc o n c l u s i o ni nt h i sp a p e r w ei n v e s t i g a t et h en e w m u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v e m e t h o df o rt h en o n s i n g u l a rl i n e a re q u a t i o n ss y s t e m ，i n w h i c ht h ee f f i c i e n tm a t r i xa r et h eh - m a t r i x 、m - m a t r i x w ea l s ov e r i f yt h ev a l i d n e s s o ft h em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o dt h r o u g ht h en u m e r i c a le x a m p l e s i nc h a p t e r4i st h eo t h e rm a i nc o n c l u s i o ni nt h i sp a p e r ，w es h o ww h e nt h e s p e c i a lp a r a m e t e r sa r eg i v e n ，t h en e wi t e r a t i v em e t h o di ss i m p l i f i e dt ot h ess o r m e t h o d a tt h es a m et i m e ，w em a k et h et w o s t a g em u l t i s p l i t t i n gf o rt h ec o e f f i c i e n t m a t r i xa ，a n dt a k ea = m - na st h eo u t e rs p l i a i n gp l u s m = d 一巴一ga st h e i n n e rs p l i r i n g ，w h i c hu s i n gt h es s o rm e t h o di nt h ei n n e ro n e ，a n dd i s c u s st h e c o n v e r g e n c et h e o r e mf o rs o l v i n gt h el i n e a rs y s t e mw h o s ec o e f f i c i e n tm a t r i xa r e h m a t r i x 、m - m a t r i x w ea l s o g i v e n u m e r i c a l e x a m p l e s t ov a l i d a t et h e m u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o d c h a p t e r5i sas u m m a r ya n do u t l o o k i ts u m m a r i z e st h ep a p e ra n dm a k e st h e o u t l o o ko nt h em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o df o rt h ef u t u r e k e yw o r d s ：c o n v e r g e n c e ，g s a o rm u l t i s p l i t t i n gm e t h o d ，t w o s t a g em u l t i s p l i t t i n g m e t h o d ，h - m a t r i x ，m m a t r i x 孙霞：关于h 一矩阵的g s a o r 多重分裂方法的收敛性 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 4 1 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果。对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：孙翟 i 签字日期：伊l 口年，月，6 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到 o ， 0 p ( b ) ，则称矩阵4 为m 一矩阵 定义2 1 3 记h = ( k i ) ，对于任意矩阵彳，都有h o ；设彳= ( ) c ，如果么的比 较矩阵( 彳) = ( ) 是m 一矩阵，则称彳为日一矩阵，这里= i i ，= - - a q i ( i c j ) 定义2 1 4 对于任意矩阵彳= ( ) r 默 ，b = ( 6 ：f ) 尺删，都有 a b i 0 ，并且存在实数口 0 ，使得a x a x ， 那么p ( 4 ) 口 引理2 4 2 1 设彳r 是片一矩阵，那么彳是非奇异的，并且i 彳一i ( 彳) 引理2 4 3 【冽设a r ，b r 脚是m 一矩阵，如果a b ，那么a 一1 b 引理2 4 4 2 3 1 设彳尺是日一矩阵，并且彳= d b ，d = d i a g ( a ) ，那么p ( d 一1 b ) 1 ， 并且有d 是非奇异 引理2 4 5 2 4 2 甜对于任意的两个矩阵彳r 删，曰r 脚，如果川口，那么 p ( 彳) p ( b ) 孙霞：关于h 一矩阵的g s a o r 多重分裂方法的收敛性 9 一 引理2 4 6 1 2 6 2 刀设a 一1 0 ，a = m n 为正则分裂，m = b c 为弱正则分裂，则算法 收敛 引理2 4 7 【2 7 2 8 1 如果a 是h 一矩阵，并且彳= m 一，m = b c 都是日一相容分裂，则算 法收敛 2 5 算法 算法1 ：多重分裂迭代算法 任意给出一个初始向量 对扛1 ，2 ，直到收敛 对k = 1 ，2 ，z m k y k2n k x i + b 选取一个合适的参数，在算法l 的基础上，我们可以得到下面的松弛多重分裂算法 算法2 ：松弛多重分裂迭代算法 任意给出一个初始向量 对f - 1 ，2 ，直到收敛 对k = 1 ，2 ， mk y 户n 一l + b 薯= 巨n + 0 - p ) x , 一。 儿瓦 ，胤 = 葺 扬州大学硕士论文 3g s a o r 迭代方法的收敛性 3 1 多重分裂算法的收敛性定理 1 0 由算法1 的迭代过程以及g s a o r 多重分裂迭代方法的定义( 定义2 3 1 ) ，我们可以得 到算法1 的迭代表达式k l = 日( 口，q ) 五+ 尸( 口，f 1 ) b ，i = 1 ，2 ，其中h ( 口，q ) 如定义2 3 1 给出 定理3 , 1 1 设a r 是h 一矩阵，设a = ，一丘一以= i - b ( 1 k z ) ，厶为严格下三角矩阵， 以为一般矩阵，且( j ，厶，饥，巨) ( 尼= l ，2 ，) 为矩阵ag s a o r 方法的多重分裂，令 ( 彳) = ，一i 厶i i 以i ，k = l ，2 ， 则对于任意的初始向量而，有 ( 1 ) 当。口1 ，。 q 南时，由算法l 得到的序列 收敛于( 1 1 ) 的解，其中 p = p ( i b i ) ( 2 )当l 口 罢卫，o c o ， 1 时，由算法1 得到的序列 稚) 收敛于( 1 1 ) 的解，其中 己o p = p ( i b l ) 证明：为了证明对于任意的初始向量x o ，g s a o r 多重分裂方法收敛于a x = b 的精确解， 只需证明p ( h ( a ，q ) ) 0 ( i = 1 ，2 ，甩) ，i - g g z l k 是h 一矩阵，设c = j 一破以，可知 = ，一破i 乩l 是矩阵( c ) 的j 下则分裂 令缈= m a x 皑) ，因为i 乩i - i b i ，由引理2 4 5 可知p ( 1 玑i ) sp ( i b i ) 1 由于口 l ， q 南，其中p 叫m 易知彩 古，得到 p ( 口q i 以i ) p ( d q l b i ) p ( 口彩i b f ) = 口够p - 1 0 ，由h 一矩阵的定义可知，一破以是h 一矩阵 由引理2 4 2 ，我们得到 同时可以得到， 令 其中 l ( ，一姒) 一1 i = ( ，一破i 厶n ( ，一啦巩) 一1 - ( x - 破u o 一= ( ，一勰l 以旷 ( ，一r o l l , i ) ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( ，一m i 玑| ) - l ， ( 3 3 ) 鬈( 么) = ( 聊) 。1 肿 置( 彳) = ( 膨) 。1 心 矸= j 一弛，斫= j q + ( 1 一口) q 厶+ q u ， m ；= i 一口q u k ，n ：= i 一+ ( 1 - a ) f 2 u k + d l k ， 首先证明( 1 ) ，先考虑当0 q o 又由式子( 3 1 2 ) ，可以得到 窆毛罡( 么) 露( 4 ) x = x 一窆巨i ( ，一勰i 厶i ) 一+ ( ，一啦i i ) 一l q ( 么) x k = l七= l l 一 一窆巨( 一r o l l , i ) 。1q ( 么) ( ，一r e l y i ) 1q ( 彳) x ， 由x = ( 彳) - 1q 一1 p ，可以得到q ( 彳) x = 口， 所以上式可以化为 圭邑罡( 彳) 露( 彳) x = x - 圭最f ( ，一勰i 厶| ) - l + ( ，一触i | ) - i p k * l 七；l lj ， 一巨( ，一锄i 厶1 ) 1q ( 彳) ( ，一锄i | ) - ip x 一圭邑( ，一勰l 厶i ) - l + ( ，一啦i 乩1 ) 1 p 七l l kj 0 ，所以可以得到巨罡( 彳) 露( 彳h o ，再由引理2 4 1 ， 那么 k = l 存在实数0 ，其中0 0 1 ，使得 x 一窆毛i ( ，一破l 厶| ) _ l + ( j 一勰阢i ) - li p 觎 k = i kj ， 从式子( 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) ，容易得到最罡( 彳) 露( 么) x 阮，我们可以证明得到 ( 3 1 4 ) 孙霞：关于h 一矩阵的g s a o r 多重分裂方法的收敛性 p(圭色驰蟓彳，卜1k*l ， l 色罡( 彳) 露似) l 口 ， 1 3 因为日 ，q ) = e 置( 彳) 笃( 彳) ，由定义2 1 4 和式子( 3 8 ) 、( 3 9 ) 、( 3 1 0 ) 、( 3 1 1 ) ，我们可 ， 以得到 i h ( c e ，q ) i & 昱( 彳) 露( 彳) ， 再由引 理 2 4 5 ，容易得到 七= l 印( 加) ) p ( 圭k = l 巨驰蟓彳) ) l ，因此p ( 肌) 1 再考虑l _ c o j r ，。口1 的情形，令国= m a ) ( 略 ，f = 1 ，2 ，刀 由条件可以得到 令 从而得到 i ，一q + ( 1 一口) g 峨+ q 巩i ( 一1 ) ，+ ( 1 一口) 缈i 厶i + 国i 以l ， ( 3 1 5 ) i ，一q + ( 1 一口) q + q 厶l ( 缈一1 ) ，+ ( 1 一口) 缈i 以l + 国l 厶l ， ( 3 1 6 ) 露( 彳) = ( ，一口缈厶) 。1 ( 彩一1 ) ，+ ( 1 一口) 国f 厶i + 功i i ， 罡( 彳) = ( ，一口缈阢) 。1 ( 国一1 ) ，+ ( 1 一口) 国i 巩l + 彩l 厶i ， 童( 彳) = ( ，一口国i 厶i ) 。1 ( 国一1 ) ，+ ( 1 一口) 国l 厶l + , o l v , i = ( ，一口缈l 厶1 ) - l ( ，一口缈厶) + ( 缈一2 ) 1 + , o l l 1 + o 。l u i = ，一( 一口国i 厶1 ) - l ( 2 一缈) ，一国嘲 0 ，我们考虑矩阵 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 扬州大学硕士论文 尾= 俐+ 占p r 口，p = ( 1 ，l ，1 ) r ”， 明显可以知道，巨是一个非负不可约矩阵，f 1 3p e r r o i l - - f r 0 6 p ，z 螂定理，我们司以知警存 在一个i l ? 的n 量矗r ”使得 毽= p ( 尾) 屯，其中p ( 反) = 以， 因为p - - - p ( n ) i ，又由于谱半径的连续性，对于足够小的占，我们可以得到国一1 + c o p , l 从式子( 3 1 9 ) 、( 3 2 0 ) ，可以得到 露( 彳) 艺 ，一( ，一伽厶) 以 ( 2 一) ，一国i b i ) 卜 ( 2 一缈) ，一功伽) t ( 国一1 ) ，+ 彩闭 ( 缈一1 ) ，+ 啦 = ( 彩一1 ) + 咀 _ ， ( 3 2 1 ) 同理可以得到窟( 彳) 矗 ( 缈一1 ) + 红恢 所以 i圭k-ie 即) 即) 礁k = i 巨蜘) 陋彳) l i e 罡( 么) 置( 爿) l l 巨置( 彳) i l 置( 彳) l ilil 巨立( 么) 露( a ) ， ( 3 2 2 ) 由式子( 3 2 2 ) ，所以可以得到 i 圭e 置( 彳) 露( 彳) l k i 圭巨趁( 彳) l i 置( 彳) l k i k = lii k z ll 巨定( 彳) 宣( 么) k ( 仞一1 ) + 峨 2 以， ( 3 2 3 ) 从引理2 4 1 ， 我们可以得到p ( 1 日( a ，q ) j ) 1 因为1 日( 口，q ) 怿h ( 口，q ) ，由引理2 4 5 ， 我们可以得到p ( 日( 口，q ) ) 1 孙霞：关于h 一矩阵的g s a o r 多重分裂方法的收敛性 再次证明( 2 ) ，当l 口 等，。 锡 1 时， 首先我们可以证明 l 研i ，一q + ( 口一1 ) q 吲+ q 1 l ， i n 2 k i - f 2 + ( a 一1 ) q 刚+ q m 吖i ，一q + ( 口一1 ) q l 厶i + q i l = ，一口q l 厶i q ( ，一i b i ) + 2 ( 口一1 ) q l 厶i = j r 一勰一q ，一例一2 ( 口一1 ) i 厶i ， ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 从向日j 以得剑 i 置i ( ，一破i 厶i ) 。1 ，一砸i 厶i q ，一l b l _ 2 ( 口一1 ) l 厶i ) = i - ( i 一破i 厶1 ) - 1q i - 1 8 1 2 ( 口一1 ) i 厶口 ，一q ，一例一2 ( 口一1 ) i 厶口 = ，一q + q 口b i + 2 ( 口一1 ) l 厶i ，一q + q 口b i + 2 ( 口一1 ) i b 口 = ，一q + ( 2 口一1 ) q i b i ， ( 3 2 7 ) 同理可以得到障i ，一q + ( 2 口一1 ) q 例 现在我们考虑矩阵 巨= 例+ 占e7 p ，e - - 0 ，l ，1 ) r ”， 由p e r r o n - f r o b e n i u s 定理，我们可以知道存在一个正向量k r ”使得 最t = p ( 毽) k ，其中p ( 色) = 成， 因为1 口 芝予，所以可以得到( 2 口一1 ) p 1 ，由谱半径的连续性，对于足够小的s ，我们 可以得到( 2 口一1 ) 以 l ， 所以 l 露( 4 ) k j q + ( 2 口一1 ) q 伽t j q + ( 2 口一1 ) 咝 扬州大学硕士论文 - i - 1 ( 2 a - 1 ) p 。 f 2 x ， 同样，我们可以得到旧( 彳) i k ，所以得到 由引理2 4 1 ，得到 l k = l 巨置( 彳) 露( 彳) i 矗 ， l 巨置( 彳) 露( 彳) l 矗 ， il p 唯巨醐) 即) | 1 ，i 七= li 即p ( 1 日( 口，q ) i ) l ，所以p ( 日( 口，q ) ) 1 ( 3 2 9 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 推论3 1 2 设彳r 脚是m 一矩阵，设彳= i - z k 一= i - b ( 1 k z ) ，厶为严格下三角矩阵， 以n - n n n ，且( ，厶，以，巨) ( 七= 1 ，2 ，) 为矩阵a 的g s a o r 方法的多重分裂，则 对于任意的初始向量，有 ( 1 ) 当。口1 ，。 q 南时，由算法l 得到的序列 讫) 收敛于( 1 1 ) 的解，其p = p ( b ) ； ( 2 ) 当l 口 等，o q l 的 情形下夕( 日( 口，国) ) 1 也是成立的 3 3 松弛多重分裂算法的收敛性定理 通过选取合适的参数，我们可以得到g s a o r 松弛多重分裂迭代算法去求解线性方 程组a x = b ，根据算法2 ，我们得到该算法的迭代表达式如下： 毛+ 。= 日( 口，q ，) 薯+ 尸( 口，q ，f 1 ) b ， 其中 h ( c r ，q ，) = 乓e ( 彳) 骘( 4 ) + ( 1 一) ，= 日( 口，q ) + ( 1 一) ， ( 3 3 1 ) 尸( 口，q ，) = p ( 口，q ) 定理3 3 1 设a r “”是h 一矩阵，设a = ，一厶一玑= i - b ( 1 k ，) ，厶为，哐格下三角矩阵， 为一般矩阵，且( ，厶，e ) ( k = l ，2 ，z ) 为矩阵a 的g s a o r 方法的多重分裂，令 ( 彳) = ，一i 厶i 1 l ，k = l ，2 ， 则对于任意的初始向量r ”，有 扬州大学硕士论文 ( 1 ) 当。口1 ，。 哆 1 ，。 i 时，由算法2 得到的序列 ) 收敛于( 1 1 ) 的解， 其中厂= p ( ( 1 一哆) ，+ q i 占i ) ( 2 ) 当。口1 ，1 q 南，。 再时，由算法2 得到的序列 吒) 收敛于( 1 1 ) 的 解，其中r = m a x ( r o t - 1 ) + r o m p ，p = p ( i b l ) ( 3 ) 当o q l ，1 口 毛警，o 1 时，由算法2 得到的序列 收敛于( 1 1 ) f l 勺解， z p 中p = p ( i b i ) 证明：因为0 哆 # 二，可以得到，一口鸣和，一勰都是h 一矩阵，所以我们可以得到 l + p i ( i - 碱) 。1 i ( ，j 砒k ) - i - - ( ，一锄， i ( i - 触) 叫l ( ，一硼以) = ( 1 - 破i 旷 ( 1 ) 因为0 皑 1 ，在定理4 1 的证明过程中，我们可以得到 嚣( 彳) = ，一( ，一破l 厶旷q ( 彳) = ，一( 一勰i 厶1 ) _ l q ( ，一 ，一q ( ，一i b i ) = i - q + f 2 b l ，一q + g 峨，( 3 3 2 ) 同样的可以得到置( 彳) ，一q + 哦，因此可以得到 i i， i e 置( 么) 鬈( 彳) 怿疋罡( 彳磁( a ) ， ( 3 3 3 ) i k = li k = l 由式子( 3 3 1 ) 、( 3 3 2 ) ，我们可以得到 i ( 口，q ，) i l 色置( 彳) 譬( 彳) | + l l 一l i ，l l k = ll 0 使得 b 8 x c = p e x s ，p 8 = p ( i b i + e e l e 、， 由于谱半径的连续性，我们可以知道以 l ，由式子( 3 3 2 ) ，可以得到 嚣( 彳) t ( j q + q 吃) = ，一( 1 一岛) q t ， 由引理2 4 1 ，我们可以得到p ( ，一q + 啦) 1 ，由式子( 3 3 4 ) l h ( a ，q ，) i _ l l - , a 1 + p p 2 ( ，一q + q 尾) k = 1 l 一| + 励2 ( ，一q + 咝) k ， ( 3 3 5 ) 由于。 i ， p ( ，一q + q 暖) 1 ，我们可以得到p ( i 何( 口，q ，) i ) l ，因为 p ( h ( z z ，q ，) ) p ( 1 日( 口，q ，) 1 ) ，所以得到p ( 日( 口，q ，) ) 1 ( 2 ) 令缈= m a x q ) ，因为1 哆 南，由定理3 1 1 的证明，我们可以得到 置( 么) = ( ，一黝l 厶i ) 一 ( 国一1 ) ，+ ( 1 一口) 彩l 厶i + 国1 i = 一( ，一口功l 厶i ) 1 ( 2 一缈) ，一国伽 ，一 ( 2 一国) ，一国i b 口 = ( 国一1 ) ，+ 缈i b i ( 缈一1 ) ，+ 国境， ( 3 3 6 ) 同理可以得到是( a ) ( 缈一i ) i + c o b , ，由式子( 3 3 6 ) ，可以得到 i l ， l 色盛( 彳) 西( 彳) 1 s e 童( 彳垴( 彳) i 七= i七= l 圭邑 ( 缈一1 ) 1 + 国眈 2 扬州大学硕士论文 = ( 彩一1 ) ，+ 缈眈 2 矗 = ( 缈一1 ) ，+ c o p , 2 ， 由式子( 3 3 7 ) ，得到 i h ( 口，q ，) i k l e 置( 么) 骘( 么) l t + 1 1 一1 l ，l i k = ll p e ( o 一1 ) i + c o p , 2 + l p l x ， 因为s 为任意小的实数并且大于零，1 q 南，所以得到0 - 1 + 崛 1 又因为 。 寺，刁= m a x c o j - 1 + c o ，p ，我们可以得到 ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 雕( 国一1 ) i + c o p , 2 + i x 一l l ， 所以i ( 口，q ) i ， 由引理2 4 1 ， 可以得到p ( 1 日( 口，q ，) 1 ) 1 ， 由于 l h ( 口，q ，) i 日( 口，q ，p ) ，因此p ( 日( 口，q ，) ) 1 ( 3 ) 由定理3 1 1 的证明，可以得到 i 西( 彳) l ，一q + ( 2 口一1 ) q i b i ， ( 3 3 9 ) 同理可以证的i 盛( 彳) i ，一q + ( 2 口一1 ) q 吲 因为l 口 o ，而由式子( 3 3 9 ) ，我们得到 i l f ( a ) l x , ，一q + ( 2 口一1 ) q 伽 i - n + ( 2 a - 1 ) d b 。i x , = ，一q + ( 2 口一1 ) 色q = 矗一 1 一( 2 口一1 ) 取 k ，( 3 4 0 ) 同理可以得到心( 彳) l t 1 园y oo f l l ，可以得到 i h ( 口，q ，) 1 - - - b i h ( , z ，q ) i + o - p ) x 。 孙霞：关于h 一矩阵的g s a o r 多重分裂方法的收敛性 = 隆k = l 最避( 州( 彳) 卜( 1 卅li ，( 3 4 1 ) 由引理2 4 1 ，得到p ( 1 h ( 口，q ，) i ) l ，由于1 日( 口，q ，) 怿h ( 口，q ，) ，所以可以得到 p ( 圩( 口，q ，) ) 1 推论3 3 2 设a r “”是m 矩阵，设a = ，一厶一吼= i - b ( i 七，) ，厶为严格下三角矩阵， 阢为一般矩阵，且( ，厶，巨) ( k = 1 ，2 ，) 为矩阵a 的g s a o r 方法的多重分裂，则