（应用数学专业论文）z2k上的二次剩余码.pdf

摘要 内容摘要：许多经典的非线性码如n o r d s t r o m - r o b i n s o n 码，k e r d o e k 码， p r e p a r a t a 码，g o e t h a l s 码及d e l s a r t e - g o e t h a l s 码，有很好的纠错能力，这 些码可以通过g r a y 映射，映成五上的线性码，从而激发了人们 对五及磊上的循环码的广泛研究二次剩余码是一类由幂等生成 元定义的循环码，二元二次剩余码相对于码长有很大的极小距离，译 码比较简单虽然在一些相关文献资料中，已经得到么，磊上的循环码 和二次剩余码的一些性质，但对于一般环磊- 上的二次剩余码的相关结 果尚未在文献中发现，主要困难在于增加了参数k 本文主要贡献在于 定义了勿上的二次剩余码，证明了它的存在性，从而证明了它与域上 的二次剩余码有类似的性质，并给出了一个重要的自同构群，推广了文 献中已有的关于磊和磊上的二次剩余码的一些结果 首先，通过对一个同余方程组的解的判断，确定了之t 上的二次剩余 码只有4 个，并且利用它们之间满足的关系式证明了它们与域上的二 次剩余码有类似的性质 其次，根据二次剩余码的性质，证明了相同码长的二次剩余码的扩 展码彼此等价，给出了它们的一个重要的自同构群 关键词：磊t 上的循环码，乞t 上的二次剩余码，二次剩余码的自同构 群 a b s tr a c t c o n t e n t ：m a n yt y p i c a ln o n l i n e a rb i n a r yc o d e s ，s u c ha sn o r d s t r o m - r o b i n s o n ，k e r d o c k ，p r e p a r a t a ，g o e t h a l sa n dd e l s a r t e - g o e t h a l s ，h a v ee x - c e u e n te r r o r c o r r e c t i n gc a p a b i l i t i e s t h e s ec o d e sc a nb em a p p e di n t o l i n e a rc o d e so v e rz 4b yg r a ym a p ，w h i c hg e n e r a t e sal o to fw o r ko nz 4 一 c y c l i cc o d e s q u a d r a t i cr e s i d u e ( q r ) c o d e sa r eac l a s so fc y c l i cc o d e s w e l ld e f i n e db yt h e i ri d e m p o t e n tg e n e r a t o r s ，a n dt h ei n i n i i n u i nd i s - t a n c e so fb i n a r yq rc o d e sa r eq u i t eh i g hf o rt h ec o d e s l e n g t h ，a n d d e c o d i n gi sc o m p a r a t i v e l ye a s y a l t h o u g hs o m ep r o p e r t i e so fc y c l i c c o d e sa n dq rc o d e so v e rz 4o r 磊a r es t u 击e di ns o m er e f e r e n c el i t e r a ， t u r e s ，q rc o d e so v e rg e n e r a lr i n g 孙h a v en o tb e e nm e n t i o n e dm a i n l y b e c a u s eo fa d d i n go fap a r a m e t e r 七i nt h i sp a p e r ，w ed e f i n eq rc o d e s o v e r 乞女，a n ds h o wt h ee x i s t e n c eo f 磊 一q rc o d e s t h e nw es h o wt h a t t h e yh a v em a n yg o o dp r o p e r t i e sw h i c ha r ea n a l o g o u si nm a n yr e s p e c t s t op r o p e r t i e so fq rc o d e so v e raf i e l d ，a n dg e ta l li m p o r t a n ta u t o m o r o p h i s mg r o u po fe x t e n d e dq rc o d e s ，a n dg e n e r a l i z es o m er e s u l t sc o n t a i n e di nt h er e f e r e n c el i t e r a t u r e sa b o u tq rc o d e so v e rz 4a n dz 8 f i r s t l y , b yj u d g i n gt h es o l u t i o no fc o n g r u e n c ee q u a t i o n s ，w es h o w t h e r ea r eo n l y4 易k q rc o d e s ，a n dm a k i n gu s eo ft h e i rr e l a t i o n s h i p ，w e a l s os h o wt h a tt h e yh a v ep r o p e r t i e sa n a l o g o u st ot h o s eo fq rc o d e s o v e raf i e l d s e c o n d l y , a c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t i e so fq rc o d e s ，i ti ss h o w nt h a t t h ee x t e n d e dq rc o d e sw i t ht h es a m el e n g t ha r ee q u i v a l e n tw i t he a c h o t h e r ，a n da ni m p o r t a n ta u t o m o r p h i s mg r o u pi sg i v e n k e yw o r d s ：c y c l i cc o d e so v e rz 2 ，q u a d r a t i cr e s i d u ec o d e so v e rz 2 ，a u t o m o r p h i s m g r o u po fq u a d r a t i cr e s i d u ec o d e s 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 声始 f 日期：炒矛1 3 - 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名： 尹墩 i 指导教师签名：捌 日 期：渤宕王；o z 2 * 上的二次剩余码 1引言 汤后上的二次剩余码 许多经典的非线性码如n o r d s t r o m - r o b i n s o n 码，k e r d o c k 码，p r e p a r a t a 码，g o t h , s 码 及d e l s a r t e - g o e t h a l s 码，有很好的纠错能力，在相同的极小距离条件下，它们比任 何已知的线性码包含更多的码字h a m m o u s 在文【1 1 中证明了这些非线性码可以通 过g r a y 映射映成五上的线性码，从而激发了人们对五上的循环码的广泛研究二 次剩余码是一类特殊的循环码，能被它们的幂等生成元合理定义，并且我们知道， 许多中等大小的二次剩余码，相对于码长，有很大的极小重量因此。一些编码学家 也开始探讨环上的二次剩余码p l e s s 和q i a n 在文 2 中给出了五上的循环码及其 对偶码生成多项式的情况，并以幂等生成元定义了z 止的二次剩余码，证明了他们 具有与域上的二次剩余码类似的性质m e ih u ic h i u 等人在文f 3 】中将上述结论推 广到磊，给出了二次剩余码扩展码一个重要的自同构群自然地，我们希望把二次 剩余码推广到环邑- 上但由于增加了参数七，在蜀，磊上的涉及系数运算证明的性 质已不再容易，并且环上二次剩余码幂等元的存在性也成为首要问题本文证明了 在环磊- 上，由幂等元定义的二次剩余码存在，且只有4 个，并证明了相应的性质，给 出了一个重要的自同构群 本文的结构安排如下：第三部分通过讨论一个与幂等生成元等价的同余方程 组的解的情况，确定易t 上只有4 个二次剩余码，并且利用它们之间满足的关系式 证明了它们与域上的二次剩余码类似的性质；第四部分继续研究这些二次剩余码 的扩展码，给出了它们的一个重要的自同构群 本文的符号及记法可参见f 4 1 f 5 1 1 墨茎占盟三达型叁塑 2预备知识 二次剩余码也称q r 码，是一类重要的循环码在较短的码长和信息率r 1 2 的情况下，它比一般的循环码有更大的最小距离，且译码比较简单，在实际中用 得较普遍环上的二次剩余码具有很多与域上的二次剩余码类似的性质，并且通 过g r a y 映射与许多经典的非线性码建立联系 2 1 域上的二次剩余码 定义2 1 若对某一素数p ，存在有一个整数x ，使下式成立 z 2 三i ( m o d p ) 则称i 是模p 的二次剩余；否则称为枷的非二次剩余 定理2 1 若p 是奇素数，则在l 至p 一1 的所有整数中，有0 一1 ) 2 个是模p 的 二次剩余，有一1 ) 2 个是模p 的非二次剩余 证明 这只要证明满足1 2 ，2 2 ，( 一1 ) 2 ) 2 的模p - - j ! ：k 剩余的每一个均不 相同即可用反证法若对一个i j ，i 1 ，i ，j 函一1 ) 2 有相同的二次剩余： i 2 三j 2 ( r o o d ；1 i 2 - j 2 = ( i + 歹) ( t j ) 三o ( m o d p ) 由于p 是素数，模p 的剩余类是一个域，域中无零因子，所以，由上式可得 i + 歹三0 或t j o ( m o d p ) 由于t l ，j 冬( p 一1 ) 2 ，故i + j o ，所以只有 i 一歹兰o ( m o d p ) 即i 三j ( m o d p ) ，又因为i ，j 0 1 ) 2 ，所以这意味着i = 歹，与假设i 歹相 矛盾因此，满足1 2 ，2 2 ，( 0 1 ) 2 ) 2 的模p 二次剩余中的每一个均不同，这说明 在1 ，2 ，p 中只有0 一1 ) 2 个不同的二次剩余，其余的0 1 ) 2 个为非二次剩余 模p 的二次剩余有以下性质： ( 1 ) 两个二次剩余的积，或两个非二次剩余的积仍是二次剩余一个二次剩余 与另一个非二次剩余之积是非二次剩余 2 ( 2 ) 若p = 8 m ：i ：l ，贝1 1 2 是枷的二次剩余若p = 4 m + 1 ，贝j - i 兰( p - t ) ( m o d p ) 是 模p 的二次剩余；若p = 4 m 一1 ，则一1 是模p 的非二次剩余 g f ( 口) 上码长为素数p 的二次剩余码，其中g 是模p 的二次剩余，且为素数对于 二进制q r 码来说，q = 2 ，因而由性质( 2 ) 可知，码长为p = 8 m4 - 1 的形式 令q 表示s i p 的二次剩余集合， r 表示模p 的非二次剩余集合 矿一1 在扩域g f ( 的阶根为口，口，舻，妒，扩= 1 都是矿一1 的方程 的根所以我们有, p m ) p 矿一1 = ( z 一1 ) ( z 一口) ( z 一口2 ) ( z 一扩一1 ) = ( 。一1 ) q ( x ) n ( x ) 式中 g ( z ) = i i ( z o ) t q 礼( z ) = i i ( z 一) j e n 是系数在g f ( 口) 上的多项式 定义2 2由下列多项式 g ( z ) ，( x 一1 ) 口( z ) ，佗( z ) ，( z 一1 ) 凡( z ) 生成的码，称为g f ( g ) 上的二次剩余码 2 2 环易* 上的循环码 如果一个易- 上的佗元向量组成的集合是况* 一模，则它叫做邑- 上的码 下面定理是关于忍t 上的循环码的基本定理，证明可参照 3 】 定理2 2 令c 是长为奇数n 的磊* 上的循环码如果存在( 夕) = l 且c = ( ，) ， 则c 在易t 旧( 矿一1 ) 上有幂等生成元，并且是唯一的 定理2 3 如果易。上的循环码c 的幂等生成元为e ( z ) ，t u g 上的幂等生成元 为1 一e ( x 一1 1 定理2 4 如果磊* 循环码g ，q 以e 1 ，e 2 为幂等生成元，则anq 以e l e 2 为幂 等生成元，c 1 + 岛以e 1 + e 2 一e l e 2 为幂等生成元 3 3 z 2 七上- 次剩余码 当p 三+ l ( m o d 8 ) ，q 勘的二次剩余的集合，勘的非二次剩余的集合， 令e 1 = ，e 2 = x i 在二元的时候，令h = 1 + e 1 + e 2 ( 长为p 的全为1 的向 量) ，是易( 扩一1 ) 中的幂等元而在磊- 上，h 2 = ( 1 + e 1 + e 2 ) = h + 学危+ 孚九= p h 定理3 1 在邑t 上存在，使 为幂等元 证明 当p = 8 r 一1 时，令7 = 2 七一1 u + 2 k - 3 仇+ o ，其中u ，m ，a z 2 k ，a 2 k - s h 2 = ( 8 r 一1 ) h = ( 8 a 一1 ) h 令8 a 一1 = 衍谚砖为8 0 1 的素数分解由 于2f8 a 一1 ，故乃2 ( j = 1 ，2 ，佗) 从而( 2 七，p 7 ) = 1 ，此时2 2 亡兰一1 ( m o 却7 ) 有 唯一解( 6 】p 1 5 7 定理1 ) 再由孙子定理知同余方程组 i2 k t 三一1 ( m o d 衍) j2 七t 三- l ( m o d p ；2 ) 1 i2 k t 兰一1 ( m o d 砖) 有唯一解兰t 0 ( m o d 霸i 砖p 鲁) 兰t o ( m o d ( s a - 1 ) ) 故2 知t o 三一l ( m o d p i l 砖砖) 三 - l ( m o d ( 8 a 一1 ) ) 故8 口一1l2 k t o + 1 于是在磊- 中存在，使( 8 a 一1 ) = 1 此 时( ) 2 = 镌九2 = 镌( s a 一1 ) h = ，故 是幂等元 当p = 8 r + 1 时，令r = 2 k - 1 u + 2 k - 3 m + a ，u ，m ，o 定义如上，h 2 = ( 8 r + 1 ) h = ( 8 n + 1 ) h 令8 口+ 1 = 计磨旃为8 0 + 1 的素数分解同理可得上述同余方程组 有唯一解t 兰t o ( m o d ( s a 一1 ) ) 在z t 中存在7 口，使( s a + 1 ) = 1 则( 九) 2 = ， 故危是幂等元 在z 4 ，磊中，二次剩余码是以z e l + y e 2 + z ( x ，y ，名历( 或磊) ，z 3 ，) 形式的 多项式为幂等生成元生成的码下面讨论在易。上，这种幂等元的存在性 引理3 1 【3 1 p = 8 r 一1 时，e = 2 r e l + 2 r e 2 一e 1 ，= 2 r e l + 2 r e 2 一e 2 ；p = 8 r + l 时，e ；= 2 r e l + 2 r e 2 一e l + 4 r ，e ；= 2 r e l + 2 r e 2 一e 2 + 4 r 当p = 8 r l 且7 = 2 k - 1 u + 2 k - 3 m + q 时，e 1 九= 学九= ( 4 r 1 ) 危= ( 2 七一1 m + 2 a 一1 ) h ，又e 1 = e l ( 1 + e 1 + e 2 ) = e 1 + e + e l e 2 ，则e l e 2 = 2 奄一1 m + 4 a 一 1 + ( 2 七一2 m + 2 0 一1 ) ( e 1 + e 2 ) 当p = 8 r + 1 且r = 2 k - i u + 2 七一3 m + o 时，e l h = 4 r h = ( 2 k - 1 m + 4 a ) h ，则e l e 2 = ( 2 1 , - 2 m + 2 a ) ( e 1 + 9 2 ) 引理3 2 1 6 同余方程厂( z ) 兰o ( m o d p 2 + 1 ) 的每个解可由同余方程f ( x ) 兰 o ( m o d ) 的一个解相应得出如果z 兰c ( m o ) 是第二个同余方程的一个解，则 当p 十，( c ) 时，存在w z ，使z 兰c + w p 。( m o d p f + 1 ) 为由这个解得出的第一个同余 方程的唯一一个解 4 3 1易。上长为p 三一l ( m o d 8 ) i 的l - 次剩余码 本小节总是假挪：8 r 一1 ，r = 2 k l u + 2 七一m + a ，其中u ，m ，a 磊k ，n 2 七一3 定理3 2 存在u e l + u e 2 + w ( u ，v ，伽z 2 k ，u v ) 形式n n n n 证明如果存在 l i e l + r e 2 + w ( u ，口，w v e 2 + 伽) 2 = 让e 1 + r e 2 + 叫于是在磊k 中有 磊t ，u u ) 形式的幂等元，则( 让e 1 4 - ( 2 口一1 ) u 2 十2 a v 2 + ( 4 a 一2 ) u v + 2 u w + 2 k - 2 m ( u 2 + v 2 ) 一2 知- l m u v = 让( 1 ) 2 a u 2 + ( 2 0 一1 ) u 2 + ( 乱一2 ) u v + 2 v w + 2 k - 2 m ( u 2 + u 2 ) 一2 k - 1 m u o = 秽 w 2 + ( 8 a 一2 ) u v = w 容易看出，如果( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 组成的联立方程组在邑- 中有解也，秒，叫，n u e l + r e 2 + 叫就是幂等元 下面讨论由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 组成的联立方程组在邑- 中的解 将( 1 ) 一( 2 ) 得一t 2 + 口2 + 2 w ( u 一移) = u 一影，即 ( 乱一秒) ( 2 叫一仳一口一1 ) = 0 由假设让一u o 如果存在七 t 1 使u u = 2 1 2 ，2 w 一1 工一u 一1 = f 2 2 七一，其 中( f 1 ，2 ) = 1 ，( 2 2 ，2 ) = 1 ，则让= 口+ 1 1 2 。，2 w 一2 v 一1 1 2 。一f 2 2 k 一。= 1 ，矛盾因此必 须有 将( 4 ) 带入( 1 ) 得到 2 w = 让+ u + 1 2 a u 2 + 2 a v 2 + ( 4 a 一1 ) u v + 2 一2 m ( t 上2 + u 2 ) 一2 k - 1 m u v = 0 由( u + u ) 2 = i t 2 + 1 1 2 + 2 u v ，知 ( 2 a + 2 七一2 m ) ( 缸+ u ) 2 = 伽 方程组( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 与方程组( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 同解 此时将( 3 ) ( 4 ) 代入( 8 口一2 ) ( 5 ) 中，得到 5 ( 5 ) ( 8 a 一1 ) 2 w 2 一( 8 a 一1 ) 2 w + 4 a ( 4 a 一1 ) 一2 k - 1 m = 0( 6 ) 即 【( 8 a 一1 ) 加一4 0 ( 8 口一1 ) w 一( 4 a 一1 ) 一2 k - i m = 0 由定理2 1 证明过程知( 8 a 一1 ) = 1 ，得解为枷1 = ( 2 k - 1 m + 4 口一1 ) ，w 2 = ( 2 k - 1 仇+ 她) 易知w l w 2 ( m o d 2 七) 下面证明方程( 6 ) 只有这2 个解令，( 伽) = ( 8 a 一1 ) 2 w 2 一 ( 8 口一1 ) 2 w + 4 a ( 4 a 一1 ) 一2 七一1 m ，则，7 ( 伽) = 2 ( 8 w 一1 ) 2 w 一( 8 a 一1 ) 而，( 加) 兰 ( 8 口一1 ) 2 w 2 一( 8 口一1 ) w 三0 ( m o d 2 ) 至多有2 个解又v c ，2 十，7 ( c ) = 2 ( 8 a 一1 ) 2 一 ( 8 口一1 ) ( 由2t8 口一1 ) ，所以由引理2 2 ，f 3 f ( w ) 三o ( m o d 2 2 ) 的解z 兰c ( m o d 2 ) 仅能 得出同余方程，) 三o ( m o d 2 z + 1 ) 的一个解，从而，( 叫) 三o ( m o d 2 ) 至多2 个解 在w l = ( 2 k - 1 m + 4 a 一1 ) 时，( 3 ) ( 5 ) 式分别为 伽；+ ( 8 a 一2 ) u v = 1 1 ) 1 ( 2 口+ 2 k - 2 m ) ( 心+ 口) 2 = u v 并且由( 4 ) 式，让+ 移= 2 w l 一1 = ( 8 a 一2 ) 一( 8 a 一1 ) = 一 ( 8 口一2 ) ( 2 a + 2 k - 2 m ) ( 让+ ) 2 = ( 8 a 一2 ) ( 2 a + 2 k - 2 m ) ( 一) 2 = ( 8 a 一2 ) y 口 ( 2 口+ 2 k - 2 m ) = 2 叫1 ( 2 a + 2 k - 2 m ) = w 1 ( 2 七一1 m + 4 n ) 7 0 = w 1 w 2 亓i w l - - w = 叫1 ( 1 - - w 1 ) = w l ( s a - - 1 ) 7 口一( 2 k - 1 m + 4 a 一1 ) 】= w 1 ( 2 一1 m + 4 0 ) = w l w 2 故由( 4 ) ( 5 ) 成立，可推出( 3 ) 成立。所以在w = w 1 时，( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 组成的方程组变 为 j u + v = 一 m l ( 2 a + 2 k - 2 m ) - ) , a 2 = 缸t ， 卜7 消去 得( 2 a + 2 k - 2 m ) , ) , 2 = 让( 一一u ) ，即扎2 + 乱+ ( 2 口+ 2 k - 2 m ) 镌= 0 令f ( u ) = u 2 - 4 - 钍+ ( 2 d + 2 k - 2 m ) 镌，厂7u ) = 2 u + ，f ( u ) 三札2 + u 三 u ( u + ) ( m o d 2 ) ，由可逆知，f ( u ) 三o ( m o d 2 ) f 拘解为让( 2 ) 三o ( m o d 2 ) 和u ；2 1 兰 l ( m o d 2 ) 而2 十，7 ( 札( 2 ) ) = 2 u ( 2 ) + ，且2 十，7 ( 仳：2 ) ) = 2 让；2 ) + ，从而由引理2 2 ，存 在，联2 ) ，u ( 4 ) ，u 4 ) ，使u 三u ( 4 ) ( r o o d 4 ) 兰u ( 2 ) + 2 y ( 2 ) ( m o d 4 ) 和u 三u ：4 ) ( m o d 4 ) 三 + 2 y i 2 ) ( m o d 4 ) 为，( u ) 三o ( m o d 4 ) 的仅有的2 个解因为乱( 2 ) 让；2 1 ( r o o d 2 ) ，故u ( 4 ) 乱；4 ) ( r o o d 2 ) ，从而u ( 4 ) 缸；4 ) ( m o d 4 ) 依次下去，z 1 0 厂( 钍) 三o ( m o d 2 1 ) 的解为u 三 乱( 2 一1 ) ( r o o d 2 扣1 ) 和t 正三t 正：2 - 一1 ) ( m o d 2 n 1 ) 而2f ，7 ( 让( 2 k 一1 ) ) = 2 u ( 2 k 一1 ) + ，且2 十 6 ，7 ( t 正；2 ) ) = 2 u ：2 i 一。) + ，从而由引理2 2 ，存在y ( 2 - 一t ) ，耖 2 一t ) ，u 1 ，u i ，使乱兰u l ( m o d 2 七) 兰 u ( 2 h - 1 ) + 2 y ( 2 h - 1 ) ( r o o d 2 七) 和缸兰钆：( r o o d 2 七) 兰u ；2 1 + 2 扣1 y ：2 ) ( r o o d 2 七) 为，( 也) 三 o ( m o d 2 七) 的仅有的2 个解，且1 u j ( m o d 2 扣1 ) ，从而u l u j ( m o d 2 ) 砀中， 怒三姜：箍：翟：麓三暑两式蹴挪- 一 u 1 ) ( u 1 + 嵋+ ) = 0 因为u l 让i ，且如果存在k 亡1 使让1 一u ：= 1 2 2 。，u l + 乱；+ = 1 2 2 枉成立，其中( z l ，2 ) = l ，( f 2 ，2 ) = 1 , 贝u 2 u i + z 1 2 。- - 1 2 2 扣。= 一，但可 逆，2 十7 口，矛盾所以必有礼1 + u ；= 一7 0 ，故可令v 1 = 钆； 从而( i ) 只有两组解( u 1 ，v 1 ) ，( 秒1 ，u 1 ) 于是方程组( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 有两组解( u 1 ，v i ) ，( v l ，u 1 ) ， 这说明方程组( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 有两组解( u 1 ，v 1 ) ，( v 1 ，缸1 ) ，因此乱1 e 1 + v l e 2 + w l 和v l e l + 让1 e 2 + 叫1 是幂等元同理易证，当w = w 2 时由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 组成的联立方程组有解， 存在唯一的 1 2 ，v 2 使u 2 e i + v 2 e # + w 2 ( i ，j = 1 ，2 ，i 歹) 是幂等元 定理3 3 ( 缸l + ) e t - 4 - ( 钞l4 - ) e j + w 2 也是幂等元 证明 只须征让1 + ， 1 + ，w 2 = 彬1 + 满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 式 。 将它们代入( 1 ) 中，由于u 1 ，秽1 ，w 1 已是( i ) 的解，整理后得 ( 8 口一2 ) ( u l + 1 ) 4 - y o + 2 w 1 = 而( 8 a 一2 ) ( u l + v 1 ) + 2 叫l = ( 8 口一2 ) ( 一7 0 ) + ( 8 n 一2 ) = 0 从而u 1 + ，u 1 + ，w 2 满足( 1 ) 式 ( 2 ) ( 3 ) 式的情况整理后与( 1 ) 相同 由唯一性可令1 1 , 2 = 钍l + ，v 2 = v l - 4 - 定义3 1令q l = ( 乱1 e 1 + v i e 2 + w 1 ) ，q ：= ( v l e l + u l e 2 + w 1 ) ，q 2 = ( u 2 e l + v 2 e 24 - 蚍) ，砚= ( v 2 e 1 + u 2 e 2 + w 2 ) ，这四个循环码叫做易t 纠( 矿一1 ) 上的二次 剩余码 定理3 4 q 1n ) = 0 1 ，且研n ( ) = 【o ) 证明 q 1 或q j 的幂等生成元为让1 e t + v z e i + w a ， 是幂等元，则q 1 n ( ) 或q i n ( 九) 的幂等生成元为两者之积即 ( t t l 岛+ v l 勺+ 叫1 ) ( 岛+ 勺+ ) = u z e ；+ v z e ；+ ( u 1 + u 1 ) 锡勺+ ( u 1 + 伽1 ) e i + ( 口1 + 叫1 ) 勺+ 伽1 = u 1 【2 扣2 m ( e i + e # ) + ( 2 a - 1 ) e i + 2 a e # 】+ v 1 2 k - 2 m ( e t + 白) + ( 2 口一1 ) 勺+ 2 0 色】+ ( u 1 + u 1 y o ) 2 七一1 m + 4 a - l + ( 2 k - 2 m + 2 a - 1 ) ( 自+ 勺) 】+ ( u 1 + 叫1 ) e l + ( 1 + 叫1 ) 勺+ 叫1 = ( 乱一1 ) ( 让l + 1 ) + 伽1 + 2 k - i m ( 珏1 + 移1 ) 7 口】( 岛4 - 勺+ 1 ) = ( 2 k - 1 m + 4 口一1 ) ( u l4 - v 1 ) + 叫1 】( e iq - 勺+ 1 ) = 【( 2 1 m + 缸一1 ) ( 一) 4 - ( 2 k - i m + 4 0 一1 ) ( e t4 - 勺+ 1 ) = 0 再由定理1 3 易知q 2 = q 14 - ( 九) ，q ；= q i + ( 九) 定理3 5q 2n 锡= ( h ) ，q 2 + q ；= 局= 磊tm ( 妒一1 ) 7 证明 ( u 2 既+ v 2 e j + w 2 ) ( v 2 e i + u 2 e j + 耽) = u 2 v 2 e ；+ u ：v 2 e ；+ ( 让；+ 遁) e i e j + ( 啦伽2 + 也t l j 2 ) e t + ( u 2 1 v 2 + v 2 w 2 ) e # + ”；= 【( 4 a - - 1 ) u 2 v 2 + ( 2 a - 1 ) ( u ；+ u ；) + ( 让2 + 2 ) 叫2 + 2 k - i 研m 2 2 + 2 k - 2 m ( u ；+ 谚) ( e 十勺) + ( 2 k - 1 m + 4 a 一1 ) ( 札；+ 疃) + 叫； ( 4 a 一1 ) u e v 2 + ( 2 a 一1 ) ( u ；+ 谚) + ( 缸2 + v 2 ) w 2 + 2 k - i m u 2 v 2 + 2 k - 2 m ( u ；+ 谚) = ( 2 a 一1 ) ( u 2 + v 2 ) 2 + t 2 v 2 + ( 1 1 2 + v 2 ) w 2 + 2 奄一1 竹 t u 2 u 2 。+ 2 k - 2 m ( u 2 + v 2 ) 2 2 u 2 v 2 ( 由( u 2 + 耽) 2 = 让；+ 遁+ 2 u 2 v 2 ) = ( 2 b 2 m + 2 a 一1 ) ( 2 + v 2 ) 2 + ( 2 a + 2 k 一2 m ) ( 札2 + 晚) 2 + ( 7 2 2 + 晚) 她( 由( 5 ) 式) = ( 2 k - i m + 4 a 1 ) ( u 2 + 忱) 2 + ( a 2 + v 2 ) w 2 = ( 坳+ u 2 ) ( 2 七一2 仇+ 4 a 一1 ) ( 2 + 口2 ) + w 2 】 = 【( 2 七一2 m + 4 a 一1 ) + ( 2 k - - 2 m + 4 口) 7 0 】( 由u 2 + v 2 = 2 w 2 1 = 2 ( 2 k 一2 m + 4 0 ) 一( 8 口一1 ) = ) = ( 8 0 一1 ) = ( 2 k - i m + 4 a 一1 ) ( 遁+ 谴) + 谚= ( 2 k - i m + 4 a 一1 ) 【( 她+ 也) 2 2 u 2 u 2 + 叫；= ( 2 k - i m + 4 n 一1 ) 【l 一2 ( 2 a + 2 七一2 m ) 】( u 2 + v 2 ) 2 + t j ；( 由( 5 ) 式) = ( 2 k - i m + 4 口一1 ) ( 1 4 n 一2 知_ 2 m ) 镌+ 加；= 一( 2 七m + 4 a 一1 ) 2 镌+ ( 2 七一1 m + 4 a ) 2 镌= ( 8 a 一1 ) 镌= q 2 + 锑的幂等生成元为札2 e 1 + 忱e 2 + 她+ 钞2 e 1 + 坳e 2 + 她一( 7 0 e l + e 2 + ) = ( u 2 + v 2 7 0 ) ( e 1 + e 2 ) + 2 w 2 7 0 = 1 q 2 + q ；= ( 1 ) = 岛= z 缸【z 】( 矿一1 ) 定理3 6 q 士= q 1 ，q = q i 证明 令e ) = u 2 e i + v 2 e j + w 2 f h 于p = 8 r 一1 ，一1 n ，故e 一1 ) = 也岛+ 忱勺+ w 2 由定理1 2 知，q 士的幂等生成元为1 一e ( z 一1 ) = 一v 2 e t 一耽勺+ 1 一t t j 2 因 为u i + v = = u l + u 1 + = 一+ = 0 ，所以一v 2 = u 1 而u 2 + 1 = u 1 + + 口1 = 0 ，所 以一t 2 = v 1 又伽1 + 毗= ( 2 七一1 m + 4 a - 1 ) + ( 2 k - 1 m + 4 口) = ( 8 a 一1 ) = 1 ，所 以1 一w 2 = w 1 因此1 一e ( x _ 1 ) = 让1 色+ v l 勺+ 伽1 令：zha i ( m o d p ) ，q g f ) 当口n 时，e 1 = e 2 ，e 2 = e l ：因 l h 5 # a ( q i ) = q ：，p a ( q 2 ) = q ：，故q 1 与q i ，q 2 与q ：分别等价 由于7 0 了竽，( 九) = ( 危) ，i ( 7 0 ) i = 2 。因为lq ：+ q ；i = 髂刿豺，所以iq ：i = 1 锐i = ( 2 k ) 宁 又iq 2i = iq 1 + ( 危) i = iq ti i ( 九) i ，1q ，l = ( 2 七) 孚故iq ij = iq ，i = ( 2 七) 孚 综上，当p = 8 r 一1 时，乞t ( 妒一1 ) 上的q r 码具有如下性质： ( a ) q ，与饼等价，q 2 与q ：等价； ( b ) q 2n q ；= ( 危) ，q 2 + q ；= 局= 乞- 陋】( z p 一1 ) ； ( c ) lq 2j = ( 2 ) 牛= iq ：l ； ( d ) q 2 = q 1 + ( ，7 么 ) ，q ：= q i + ( ) ； 8 ( e ) iq ，i = ( 2 七) 孚= iq il ； ( f ) q 1 ，q i 自正交，且q 士= q z ，q = 饼 3 2 邑t 上长为p 三l ( m o d 8 ) 的- 次剩余码 本小节总是假勘= 8 r + 1 ，= 2 k - l w + 2 扣3 m + a ，其中u ，m ，a 邑 ，a 2 枉3 定理3 7 存在u e l + v e 2 + w ( u ，v ，w 易k ，缸勘) 形式的幂等元 证明如果存在仳1 + r e 2 + 伽( u ，u ，w 磊t ，u u ) 形式的幂等元测( 缸e 1 + 口e 2 + 叫) 2 = t e l + 口e 2 + w 于是在磊 中有 ( 2 a 一1 ) t 正2 + 2 a v 2 + 4 a u v + 2 u w + 2 k - 2 m ( u 2 + u 2 ) 一2 k - l m u v = u ( 1 ) 2 a u 2 + ( 2 a 一1 ) v 2 + 4 a u v + 2 v w + 2 k - 2 m ( u 2 + u 2 ) 一2 k - 1 m u v = 钞 4 a u 2 + 4 a v 2 + 伽2 + 2 七一1 m ( 铲+ u 2 ) = i 3 ( 2 ) ( 3 ) 容易看出，如果( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 组成的联立方程组在磊- 中有解u ，移，伽，则让e 1 + y e 2 + w 就是幂等元 下面讨论由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 组成的联立方程组在邑t 中的解 将( 1 ) 一( 2 ) 得 ( 1 , 一口) ( 2 一缸一秽一1 ) = 0 得到 将( 4 ) 代入( 1 ) 得 2 w = t + v + 1 2 a u 2 + 2 a v 2 + ( 4 a + 1 ) u v + 2 - 2 m ( u 2 + u 2 ) 一2 k - l m u v = 0 由( t 正+ 口) 2 = t 正2 + u 2 + 2 u v ，知 将( 3 ) 整理得 ( 2 a + 2 七一2 m ) ( u + ) 2 = 一缸口 ( 4 a + 2 k 一1 m ) ( u + u ) 2 + 叫2 一w = 8 a u v 9 ( 4 ) 方程组( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 与方程组( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 同解 将( 4 ) ( 5 ) 代入( 6 ) 得到( 8 0 + 1 ) 2 w 2 一( 8 口+ 1 ) 2 w + 4 a ( 4 a + 1 ) + 2 k - i m = 0 即 【( 8 n + 1 ) w 一4 a ( s a + 1 ) w 一( 4 a + 1 ) 】+ 2 k - i m = 0 解得伽1 = ( 2 七一1 m + 4 口) ，w 2 = ( 2 k - 1 m + 4 a + 1 ) ( 由( 8 n + 1 ) = 1 ) ，且只有 这2 个解 在叫l = ( 2 k - - 1 m + 4 口) 时，( 5 ) ( 6 ) 式分别为 ( 2 n + 2 k - 2 m ) ( u + 移) 2 = 一u u ( 4 0 + 2 ：- l m ) ( u + u ) 2 + w ；一伽1 = 8 a u v 并且由( 4 ) 式，钍+ u = 2 w 1 1 = 2 ( 2 七一1 m + 4 0 ) 一( 8 a + 1 ) = 一 ( 4 a + 2 七一1 m ) ( 缸+ ) 2 - 8 a u v = ( 4 a + 2 知一1 仇) ( u + u ) 2 + 8 0 ( 2 口+ 2 七一2 m ) ( u + u ) 2 = ( 4 口+ 2 七一1 仇+ 1 6 a 2 ) ( 让+ u ) 2 = ( 2 k - i m + 4 a ) ( 2 七一1 m + 4 a + 1 ) ( 一7 0 ) 2 = w 1 w 2 i 1 1 i w l - - w = 叫1 ( 1 一w 1 ) = w 1 【1 一( 2 k - l m + 4 a ) 】= w 1 ( 2 七一1 m + 4 a + 1 ) = w l w 2 故由( 4 ) ( 5 ) 成立，可推出( 6 ) 成立所以在伽= w 1 时，( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 组成的方程组变 为 ( 2 口埘u + _ 2 m v - - - - ) 镌- - ： ( i ) 消去铷得( 2 0 + 2 k - 2 m ) 镌= - u ( 一一u ) ，即札2 + u 一( 2 a + 2 k - 2 m ) 镌= 0 令( u ) = i t 2 + u 一( 2 a + 2 k - 2 m ) 镌，( u ) = 2 u + ，f ( u ) 三u 2 + 缸三 t ( 让+ ) ( m o d 2 ) ，由可逆知，( 缸) 兰o ( m o d 2 ) 的解为乱( 2 ) 兰o ( m o d 2 ) 和缸，2 、兰 l ( m o d 2 ) 而2f ，7 ( u ( 2 ) ) = 2 u ( 2 ) + ，且2f ，7 ( u ；2 ) ) = 2 u ；2 ) + ，从而由引理2 2 ，存 在，u ( 4 ) ，缸使钆三u ( 4 ) ( r o o d 4 ) 三u ( 2 ) + 2 y ( 2 ) ( m o d 4 ) 和u 兰让；4 ) ( m o d 4 ) 三 2 ) + 2 y 1 2 ) ( m o d 4 ) 为f ( u ) 三o ( m o d 4 ) 的仅有2 个解因为u ( 2 ) 让；2 1 ( r o o d 2 ) ，故乱( 4 ) t ：4 ) (