第三课讲：绝对值与最值.doc

绝对值与最值对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数x的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.下面举例说明其应用.一、利用绝对值的几何意义求最短距离 2014-09-17 sunny 学数学 |a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数ab对应数轴上两点间的距离典型例题分析：例1、数轴上到原点距离是5个单位长度的点表示的数是 到原点距离是5的点有两个，原点左右各一个，分别表示5例2、数轴上到3的距离是5个单位长度的点表示的数是 答案同样有两个，分别是8和-2例3、当x取何值时，3+|x-2|有最小值，是多少？理解方法有两种：代数方法：因为|x-2|表示的是非负数，所以，最小是0，此时，x=2，整个式子的最小值是3几何方法：因为|x-2|表示的是数轴上的点x到点2的距离，只有当x=2时，距离最小是0.整个式子的最小值是3.例4、当x取何值时，|x-2|+|x+4|的值最小，最小值是多少？分析：由上面的知识可知，|x-2|+|x+4|表示的是数轴上的点x到点2和点-4的距离之和。分别用红色和蓝色的线段表示到两点的距离点2和点-4，把整个数轴分成了三个部分，当点x在这三个不同的部分时，会分别出现以下情况，1、点x在-4的左侧2、 点x在-4和2之间，此时，到2和-4的距离之和恒等于63、点x在2的右侧4、如果点x恰好在-4或者2，就会出现某一个距离是0，可以归入情况2.由以上的几种情况，可以看出，只有点x在-4和2之间时，彩色线段没有重合的部分，距离之和才最小，所以当点x在-4和2之间时，|x-2|+|x+4|最小，最小值是6.例5、求|x-2|+|x+4|+|x+1|的最小值|x-2|+|x+4|+|x+1|表示的是数轴上的点x到点2、点-4和点-1的距离之和。分别用红色和蓝色和黄色的线段表示距离点2、点-4和点-1把整个数轴分成了4个部分，分别进行研究1.点x在-4的左侧，可以看到三条彩色的线段有重合的部分 2 .点x在2的右侧3.点x在-4和-1之间4.点x在-1和2之间以上四种情况，三条彩色线段都有重叠的部分，相加的结果一定不是最小的。所以我们必须再考虑，点x在-4、-1或者2的时候，结果发现，只有当点x在点-1时，线段没有重合的部分，所以当x=-1时， |x-2|+|x+4|+|x+1的值最小，是6。绝对值可以表示数轴上两点间的距离，根据这一几何意义，我们可以求若干个距离之和的最小值。在解题的过程中，利用关键点把数轴分为几个部分，然后各个部分分别讨论，这个是关键。二利用几何方法求最值 例1 已知y=|x-2|-|x-5|,求y的最大值与最小值. 分析 此题常见的方法是根据x的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了. 解 设数轴上表示数2、5、x的点分别为A、B、C.C可在数轴上移动,那么y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C点在B点右边时,AC-BC=AB=5-2=3； 图1 当C点在A点左边时（如C1处）， AC-BC=-AB=-3； 当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，-3AC-BC3. 综上所述,y的最大值为3,最小值为-3. 例2 已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值. 图2 解 设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C，则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2），当C点在A点右边时，AC+BCAB，即y1.当C点在B点左边时（如在C1处），AC+BCAB，即y1.当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时， y=AC+BC=AB=1, 综上所述y1,y的最小值为1.通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论:如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|. 如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值. 并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围.二利用界点分段法求最值 例3.求代数式x-1+x-2+x-3的最小值 分析：根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，解：这里有三个分界点：1、2、3当时，原式（x）（）（）这时时有最小值当时，原式x（）（）这时时有最小值当时，原式x（）（） 这时没有最小值当时，原式x 这时没有最小值 综合以上几种情况，原式的最小值是2。说明：形如|x-a1|+|x-a2|+|x-an|n个绝对值的代数和其最小值的一般规律是：当n为奇数时取中间分界点即x=最小值=,当n为偶数时x+1时，最小值=，当n为偶数时取中间两个分界点x的取值或中间两个分界点之间的任意实数，即（如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值。因为有奇数个分界点，所以当x取中间界点-3时有最小值6，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|的最小值，因为 例4 已知y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|，求y的最大值。 分析：首先，对式子|2x+6|4|x+1|x-1|分段讨论后化简，然后分别求出各段中y的最大值，再加以比较可得。 解：找分界点，得x=3，1，1 x3 时，的最小值为 的最大值为 这时没有最大值当1时,y=()（）（）1 1当1时，没有最大值 综上所述：y的最大值是6课堂练习 1.已知y=|x+5|-|x-1|,求y的最大值,最小值.(答:最大值6,最小值-6) 2.已知y=|x-2|+|x-6|,求y的最小值.(