（应用数学专业论文）非线性耦合动态网络的指数同步性分析.pdf

摘要 同步稳定性分析一直是动态网络理论研究的重点很多研究人员在线性耦合 的动态网络系统上做出了很多的努力，并取得了大量的结果本文在这基础上研 究了更为普遍的非线性耦合动态网络的同步稳定性，相应地得到了一些稳定性条 件先前得到的线性耦合的动态网络的同步稳定性结论可以作为推论得到整篇 文章的结构如下： 第一章，主要是做一些准备性的工作内容包括：模型的介绍、一些必要的定 义与引理和已知结果综述 第二章，主要是做本文主要结论的证明，分别给出了非线性耦合网络系统的局 部和全局同步稳定性的条件，并给出了一些推论最后，给出了两个数值模拟的例 子来说明本章中得到的结论 关键字：动态网络，同步空间，同步空间的稳定性，非线性耦合 a b s t r a c t r e c e n t l y ，s y n c h r o n i z a t i o no fd y n a m i c a ln e t w o r k sh a sr e c e i v e dm u c ha t t e n t i o n i nt h i sp a p e r , e x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o no fn o n l i n e a rc o u p l e dd y n a m i c a ln e t w o r k si s d i s c u s s e d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rb o t hl o c a la n dg l o b a le x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o n a r eg i v e n t h e s ec o n d i t i o n si n d i c a t et h a tt h el e f ta n dr i g h te i g e n v e c t o r sc o r r e s p o n d i n g t oe i g e n v a l u ez e r oo ft h ec o u p l i n gm a t r i xp l a yk e yr o l e si nt h es t a b i l i t ya n a l y s i so ft h e s y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d t h i sp a p e ri so r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n gw a y ： i nc h a p t e r1 ，s o m ep r e m i l i n a r i e s ，i n c l u d i n gs e v e r a ld e f i n i t i o n s ，h y p o t h e s e sa n dl e m m a sa r eg i v e n a n dm a i nt h e o r e m so fp r e v i o u sp a p e ra r ei n t r o d u c e dh e r e i nc h a p t e r2 ，l o c a la n dg l o b a ls t a b i l i t i e so f s y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l do f t h en o n l i n e a r c o u p l e dd y n a m i c a ln e t w o r k sa r ed i s c u s s e d t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nt h i sc h a p t e r t w os i m u l a t i o n sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h et h e o r e t i c a lr e s u l t so b t a i n e di nt h et h i s c h a p t e r k e yw o r d s ：d y n a m i c a ln e t w o r k s ，s y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d ，s t a b i l i t yo fs y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d ，n o n l i n e a rc o u p l i n g 1 1 前言 许多自然界的和人造的系统，如神经元系统，万维网，食物链，高压输电网等等， 都能抽象成用图来表示在这样一个图中，每个节点代表系统中的个元素，而边 代表节点之间的连接关系这种图都可以叫做复杂网络图由于它的较广的应用 性，如在生物领域、信号处理和人工智能等领域都有非常多的应用，对复杂网络 的研究已经引起了许多领域( 如生物、数学及物理等等) 的科学家的关注 同步稳定性研究是复杂网络系统中研究的一个重要部分大多数讨论耦合网 络系统的同步稳定性问题时都是假设耦合是线性的，但在实际中，更普遍的情况 是耦合是非线性的，这就使得对非线性耦合网络的研究成了一个非常重要的并且 很有意义的问题受到研究线性耦合网络的方法的启发，本文研究了非线性网络 系统的同步稳定性 本文的主要内容包括以下两章：第一章，主要是做一些准备性的工作包括三 方面的内容：模型的介绍、一些必要的定义与引理和已知结果综述第二章，主要 是做本文主要结论的证明，分别给出了非线性耦合网络系统的局部和全局同步稳 定性的条件，并给出了一些推论在本章第三节，会有两个数值模拟的例子来说明 本章中得到的结论最后，对本文的结论做了一下总结 第一章预备内容 1 1 模型的介绍 线性耦合动态网络模型是一个比较常见的模型它的动态行为主要由两部分 机制构成：每个节点内部的动态行为以及和其它节点的连接引起的动态行为大 多数线性耦合的动态网络系统模型可以用下面的微分方程来描述： j一4，4、l 专半= ，( ( t ) ，t ) + eea i y f ( x ( t ) 一, t i ( t ) ) ( 1 1 ) “ j = l ，扣 这里一( t ) = 陋i ( 巩，z ：( f ) 】7 r “，e 是耦合强度耦台矩阵a = ( a 。) r ”一般是l a p l a c i a n 矩阵，即a = k - 1 b ，其中b = ( b l y ) r “。”，如果节点i 和j 有连接，那么6 玎= = 1 ；否则，= = 0 _ 6 “= = b t j 是节点i 的连 接个数，且k = d i a g k 一，。 在【1 ，2 ，3 中，作者研究了耦合振子和混沌系统的复杂的动态行为在 4 中， 作者研究了线性耦合网络系统的同步性在现实中，也出现了很多同步现象如 在【2 】2 中，作者观察了萤火虫同时发光的现象，并提出了一个简单的数学模型，这 个模型由一些性质相同的激发振子组成激发振子之间的耦合是跳动的，也就是 说，当一个振子激发的时候，它把其它的振子或者向上提高一定高度，或者使其它 的振子也激发( 取两者中小的值) 得出的主要结论就是，对几乎所有的初始条件， 系统会达到个状态使所有的振子都能同步激发从数学上解释和证明了萤火虫 同时发光现象在理论领域，关于同步的定义又很多，例如相位同步、延时同步和 几乎同步等等在这篇文章中，我们考虑的是完全同步，从数学上讲，可以用下面 的定义：如果一个耦合的系统的m 个子系统 4 = ( 。1 ，z “，t ) ，i = 1 ，2 ，m 满足。l i m 。| | ( t ) 一( 圳= 0 ，对所有的i ，j = 1 ，2 ，m 成立，那么就说这个耦 合系统是同步的，简称同步 第一章预备内容 大多数研究耦合网络模型系统动态行为的祸合项是线性的然而，在实际中， 我们常常不能直接观察到耦合项( t ) 的值取而代之，我们能够得到矿( t ) 的某 个函数g ( x 4 ( t ) ) = g l ( z i ( t ) ) ，- ，鼽( z i ( t ) ) 】1 的数值这就要求我们用9 ( 矿( ) ) 来 同步原来单独的系统也就是说，耦合项是非线性的因此，研究非线性耦合的动 态网络系统从理论和应用上来说都是必不可少的步骤 本文主要研究的就是这样一种网络模型，它可以用下面的微分方程来描述： 掣：m m t ) + 曼。订r 0 ( x j ( t ) ) 一9 ( ( t ) ) ) ) i ：1 ，2 ，m ( 1 2 ) “ j = l ，j 判 、7 令。= 一g那么这些微分方程可以重新写成： j = l ，j o j z ，4 、 m 竺世= 4 ( t ) ，t ) + ( 蚍= l ，m( 1 3 ) ”, 4 f 。 f ( xa i j f g ( x i 2j=l 这里x i ( t ) = 瞄( t ) ，z ：( t ) 】1 r ”是第i 个节点的状态变量，t 0 ，+ 。) 是一个连续的时间过程，f ，g ：r “ 0 ，+ o 。) 一形是连续映射，g ( 一( t ) ) = 【g l ( z ( t ) ) ，鲂( z i ( t ) ) 】t 矩阵a = ( o 。j ) r ”是一个零行和的连接矩 阵且如果i j ，则有a 。，0 ，它表示非线性耦合动态网络系统的拓扑结构 1 1 = d i a g y 1 ，7 2 ，) 且m 0 ，i = l ，2 ，n 是内部连接 显然，当g ( 一( t ) ) = x j ( t ) ，即动态网络模型的耦合项是是线性的时候，耦合网 络模型( 1 3 ) 就是耦合网络系统( 1 ，2 ) 也就是说，线性耦合网络是我们这篇文章中 研究的一个特例，对于本文中得到的结论，同样适用于线性耦合网络模型的这点 我们在后面的叙述中也会提到 1 2 定义与引理 定义2 如果存在6 0 使对任意的i | 一( o ) 一x j ( o ) l i 5 ，t ，j = 1 ，2 ，m ，存 在e 0 ，t 0 和m 0 ，不等式 2 同为义定 ， m21 = j 0一 = o n rz m zz = z ，【 j j s 间义空定步 第一章预备内容 对所有的t t ， ，j ：1 ，2 ，m 都成立那么称同步空间5 关于系统“动是 局部指数稳定的，也就是说，耦合系统“习是局部指数同步的 此外，如果存在e 0 ，t 0 和m q 对系统“影的每个解矿( t ) ，i = 1 ，2 ，m 不等式 忖( t ) 一一( 圳m e “ ( 15 ) 对所有的t t ，t ，j ：1 ，2 ，m 都成立那么称同步空间5 关于系统一砂是全 局指数稳定的，也就是说，耦合系统“习是全局指数同步的 定义3假设a = ( o 玎) r “如果 。q20 ，i j ，n ，= 一e ，。订，i 2 1 ，2 ，。，m j j = l ，j 手4 2 a 有一个1 重特征值0 ，除此之外其它的特征值的实部都是负的 那么我们就说a a 1 定义4 假设a = ( n 。) r “。”如果 ，。玎2 。”2o ，i j ， 。t l = 一j ：1 ，j i a 订，i 21 , 2 , - - - , m 2 a 不可约 那么我们就说a a 2 定义5假设a = ( o 。) r 如果 n 玎2 21 或o ，i j ， 一j 妄t 江1 ，2 ， ” 2 a 不可约 那么我们就说a a 3 显然a 3ca 2ca 1 3 第一章预备内容 定义6 函数类q u a d ( a ，p ) ? 令p = d i a g p 一，孙) 是一个正定对角矩 阵，a = d i a g a 1 ，。) 是一个对角矩阵q u a d ( a ，p 1 代表这样的一个函 数类y ( x ，t ) ：r “( 0 ，+ ) 一印满足 ( z 一) 7 p ，( z ，t ) ，( ，t ) 】一陋一胡 e ( x - y ) t ( z g ) 对某个e 0 ，所有的z ，ye r “和t 0 成立 接下来的两个引理说明了对应于a 的0 特征值的左特征向量和右特征向量的 性质，它们在研究耦合系统( 1 3 ) 时起了很重要的作用 为了证明下面的引理，我们先要介绍一下m 一矩阵的定义及其等价条件 定义7 假设c = ( ) er ”。”是一个矩阵，且c ”0 ，i ，j = 1 ，n ，i j 如 果c 的所有的顺序主子式都是正的，则称c 是m 一矩阵 如果c 是m 矩阵，那么以下几条命题等价 1 c 的转置c t 也是m 一矩阵 2 c 的所有特征值的实部都是正的 3 存在个向量= 晤1 ，岛j 7 ，且矗 0 ，i = l ，n ，使得，g 0 ，或 者e 0 4 存在一个正定对角阵p 使得c p + p 7 c 也是正定矩阵 5 对于任意的对角阵p = d i a g p 1 ，r 1 ，q = d i a g q 小，q 。 ，其中只 0 ，q l 0 ，i = 1 ，n ，则p c q 是m 一矩阵 由g e r s c h g o r i n 定理( 见 3 0 】) 和p e r t o nf r o b e n i u s 定理( 见【3 1 ) ，我们可以得 到以下结果 引理1 如果a a 2 ，那么一下2 条命题成立j ，a 有个l 重特征值0 ，且特征向量f 1 ，l ，i j 7 2 如果a 是a 的一个特征值且a 0 ，那么a 0 ，i = l ，2 ，m ( b ) a 可约兰且仅当对于某些i ，6 = 0 在这种情况下，对中的元 素作适当的重新排列后，我们可以假设，= 【矗，钉】，这里鼻= 膳i ，已，一，岛 7 肥对于所有的i = 1 ，p j 矗 0 ，且岛= 靠+ 1 ，岛+ 2 - - ，岛】7 兄”1 对于所有的p + l jsm ，6 = 0 这样，a 就能重 新改写成i a l la 1 2 j ，这里a l l r ，p 不可约且a 1 2 ：0 ， l 以2 1 a 2 2 证明： 因为a a 1 ，显然，【1 ，1 ，1 1 7 是a 的右特征向量 因为a 的特征值0 是1 重的，所以a 的秩是m 一1 ，a 中有一个( 7 t t , 一 r1 1 ) ( m 1 ) 的非奇异矩阵不失一般性，我们假设月= j ：“ ”i ，其 z ：t 2 1t t 2 2 中a 。2 r ( m - i ) 。忡。) 是非奇异的构造非奇异矩阵a = j ：等”l ，令是线 性方程f 7 a = ( 1 ，0 ，0 ，0 ) 的唯一解 令f = 陆，矗】7 = 6 ，门】t ，这里f = 嗡，1 r 一1 我们将证明所 有的6 o ，t = 1 ，m 由7 a = - ，厂r 】ij 囊a ：1 ：i = ( 1 ，o ，o ，o ) 可知 矗= 0 ，= 一( a 丢) 1 a 1 2 7 因为a a 1 ，所以a 五是非奇异m 一矩阵，这就说明一( a 乏) 。的所有元素都是 非负的此外，由于a 1 2 的元素也都是非负的，因此，所有的已0 ，i = l ，m 由于a a 1 ，a 的第一列的元素是其他列的个线性组合于是，有，a = o 这 就说明f 是对应于a 的0 特征值的左特征向量 如果特征向量具有形式7 = 尊，0 1 ，这里“= l ，已，岛j 印， 其中所有的6 0 ，i = 1 ，2 ，p ，1 psm 一1 把矩阵a 写成矩阵块形 5 第一章预备内容 式a = 盒。1 。1 三。1 。2 ，这里a - ，彤”由v a = 0 , 我们得到 a 1 = 0 ，矗a ，2 = 0 如果a 1 2 0 ，那么一a 1 1 是非奇异m 一矩阵于是有，鼻= 0 ，这与假设所有 的鼻 0 矛盾因此，a 1 2 = 0 反之，如果a 是可约矩阵，不失一般性，可假设a 写成矩阵块形式a = a a 2 1 ；a 0 2 27 ，这里a ，舻”，l p m i 令，= 7 ，p 7j 由，4 = 0 可知 由于a 2 2 是非奇异的，我们有f 2 1 ：0 ，且f a i i = 0 引理2 得证 令a = s j s “是a 的j o r d a n 分解，这里，= d i a g d l ，丑) 是一个对角 矩阵块由引理2 ，可设a i = 0 ，则 是一个1 1 矩阵( 数) 容易知道s 的第 一列是对应于a 的0 特征值的右特征向量 1 ，- 一，1 7 ，而 5 | _ 1 的第一行= f ，2 ，矗】7 是对应于0 特征值的左特征向量假设曼矗：1 k = l 在引理2 的基础上，我们定义同步空间s 的横向子空间c 定义8 c ： z = 陋1 ，一，z m ：x i r n ，i ：1 ，m ，曼矗z k ：o ) 接下来，我们还要定义 i ( t ) = 缸z 。( t ) ，5 x ( t ) = x i ( t ) 一i ( t ) x ( t ) = 陋( f ) ，e ( t ) l ，5 x ( t ) = z ( t ) 一x ( t ) 从几何上来说，我们可以把任意的z ( ) 分解成x ( t ) = k ( t ) + 妇( t ) ，这里k ( t ) 5 5 x ( t ) c 我们可以通过5 x ( t ) 收敛于0 来证明耦合系统( 1 3 ) 的同步性 6 o 0 = | | 孔 盟 a a t t 2 2 +4 t l 第一章预备内容 1 3 已知结果综述 由于动态网络模型在生物领域、信号处理和人工智能等许多领域都有非常多 的应用，因此，研究网络模型的动态行为是必不可少的一步 为了更好的理解耦合动态网络模型，我们先介绍几种常见的耦合( 连接) 结构 1 全连接网络( g l o b a lc o u p l i n gn e t w o r k s ) 在全连接网络中，每对节点之间都会有连接因此，耦合矩阵a ，。可以写成 下面的形式： a 9 c = ( m 1 ) 11 1 一( m 1 ) 1 显然，矩阵a 。有一个1 重的的特征值0 ，其他的特征值都是一m 所以，这 种连接结构有非常强的同步能力 2 最近连接网络( n e a r e s t n e i g h b o rc o u p l i n gn e t w o r k s ) 最近连接网络就是一个环状结构，每个节点和它最近的两个节点连接耦合 矩阵a 。可以写成下面的形式： a n c = 它的特征值为a o = o 和 一2 10 12l 012 o1 00 0o ： 1 2 a 。：一4 s i n 2 ( 竺) i = 1 ，m 一1 m 3 星状连接网络( s t a r - l i k ec o u p l i n gn e t w o r k s ) 如果网络中所有的节点都连接到一个中心节点去，那么我们就称这种网络 7 l一 ，( 第一章预备内容 连接结构是星状连接显然，耦合矩阵a 。可以写成下面的形式 a 。= ( m 一1 ) 1l 1 l一10 - 0 101 - 0 它的特征值为a l = 0 ，a 。= 一m ，和= 1 ，j = 2 ，3 ，m 一1 4 小世界网络( s m a l l 。w o r l dn e t w o r k s ) 为了对从规则网络到随机网络的转变过程作一个描述，w a t t s 和s t r o g a t z 在 5 中提出了一个有趣的模型，这个模型就是现在被称为小世界网络的模型原 来的小世界网络是这样描述的，考虑一个1 维的由m 个节点组成的环状系 统，每个节点只跟它最近的2 个节点连接，对每个连接以概率p ”重新连 接”这里的”重新连接”指的是把一条边的一端固定，另一端连接到系统中 随机选取的一个点同时要求两个不同的节点最多只能连一条边，且不能有 自连接这样就有可能把系统分成几个相互独立的簇为了解决这个问题， n e w m a n 和w a t t s 在 6 中对小世界网络的构造稍微做了变化，在以概率p 在 任意一对节点之间增加边的同时，没有去除原来的边同样地，不能有重复 的边和自连接关于小世界网络的介绍可以见 7 ，8 ，9 ，关于小世界网络系统 的同步性研究可以见 1 3 ，2 0 ，1 0 】对于一个小世界网络，有3 个参数：m ，k ，p 因此，耦合矩阵a s 和它的最大非零特征值a 2 由m ，p 决定 5 无尺度网络( s c a l e f r e en e t w o r k s ) 还有一个广泛使用的网络就是无尺度网络，它有一种遵循幂指数的度分布 这种网络在【2 8 ，2 9 中提出网络中节点的度为k 的概率p ( k ) 具有幂指数形 式，即p ( k ) 一k - ，这里7 是一个正实数关于无尺度网路的同步性研究 可以参见 1 2 ，1 4 稳定性分析是研究网络模型中非常重要的一部分，在这方面的工作也取得了 很多的成果 8 第一章预备内容 很多研究人员研究了线性耦合网络的同步性在 1 1 中，作者定义了一个任意 两个节点之间的距离和同步空间根据这个距离，作者提出了一个研究完全规则 耦合的网络系统的全局收敛性的方法在 1 2 ，1 3 中，作者研究了小世界网络和自 由度网络的同步性关于动态网络的应用，可以参见 1 7 ，1 8 在研究非线性耦合网络的同步性也有很多成果在 1 9 中，作者考察了下面的 系统 这里o - 是耦合强度，g 是可对角化的行和为零的禺合矩阵是m 维向量，日是 一个砂一r ”的映射作者研究了同步状态的局部稳定性，先把耦合系统在同 步状态t 1 = z 2 一= z 附近线性化，得到变量方程 黾= d f + 口m d 日 6 ，i = 1 ，2 ，一，n( i 6 ) 其中df d h 分别是f 和日在同步状态的j a c o b i a n 矩阵，m 是耦合矩阵g = ( g i j ) 的第i 个特征值作者把式子( 1 7 ) 称为主稳定等式( m a s t e rs t a b i l i t ye q u a t i o n ) 相应地，计算下面式子的最大f l o q u e t 或者l y a p u n o v 指数a 。 0 ，e 0 和r 0 ，苎矗( h f + h f ) r ，使得 耋矗 ( 札m g + 慨h ( k i + h i ) + 薹( t ) ( 咖n ( u ；) u j + s i g n ( 嘲t 。) 0 使得 ( p ( d ( t ) + a k f 9 7 ( 圣) ) ) 5 一e 鼠，= 2 ，3 ，一，m ( 2 1 0 ) 这里d ( t ) = ( d 订( t ) ) r “。“代表七6 妇”矩阵d f ( 2 ( t ) ，t ) ，h 5 = ( 驴+ 日) 2 ， 驴是日的h e r m i t e 共轭，且日；p 。”是单位阵，那么同步平面s 对于耦合系 统门3 j 是局部指数稳定的 证明令z ( t ) = u ( t ) + j u ( t ) 是系统( 2 7 ) 的解，这里u ( t ) = ( u 1 ( t ) ，u 。( t ) ) 7 u ( t ) = ( v l ( t ) ， 。( t ) ) 1 r “我们有 d u ( t ) d t d v ( t ) d 亡 = ( d ( t ) + 。t r g 强) ) u ( t ) 一凤n ( t ) = ( 础) + 蚶9 协) ) 吣) + 凤州t ) 令y ( z ( t ) ) = i 苎= 1 已( 1 u ( t ) i + i v ( t ) 1 ) 对y ( z ( t ) ) 进行微分，我们得到 型掣= 耋泐沁帆翩瑚姒卅j 妻= l 喇吲嘲m + 壹6 。t g 。( 地( t ) ) f n 。m g ：( 黾( t ) ) 吨o ) + 壹d i e ( t ) ( t ) + p 。m 9 ：( 毛( t ) ) 毗( t ) 矗i ( a k m g ：( 磊o ) ) + l 卢k l m 9 ：( i 。( t ) ) ) ( 1 t “( t ) l + i 饥o ) 1 ) + 妻d 村() + () i 4 = 1 、 +sign(sign(ui(t)ui(t) s i g n ( v , ( t ) ) v 3 ( t ) 1 。 第二章主定理 矗1 ( a k m g ) + i z k b t c h ) ( 1 u d t ) l + i 地0 ) i ) i = 1 o + 妻( s 咖( 训删+) ) + d ”( s i 9 n ( o ) ) 吩( t ) +) ) l 54 一= e 1 矗( i u 。l + ， s i g n ( v i ( t ) ) v j ( t i v t l ) i = l 同理，令( z ( t ) ) = j z ( t ) p z ( t ) 对( z ( t ) ) 微分，我们得到 生! j ；笋盟= ； z + 。) p ( 。( t ) + x k f g ( 孟) ) z ( t ) + z + u ) ( 。( t ) + a * k f g ( 孟) ) p z ( t ) = z w ) p ( 哪) + a k f g ( 训k f ) 一e z + ( t ) 名( t ) 因此，推论1 是l y a p u n o v 定理和定理1 的直接结果 注1 当耦合项是线性的时候，即当9 ( 一( t ) ) = 护( t ) ，j = 1 ，m 时，条件口矽，口缈 r 2 j o j 可分别简化为 掣= 阱( 獬卅埘以哦自铊3 ，z ( 2 ，1 1 ) 耋& 卜m 仲i ( 卅h 忖量 7 s 酬 吨) & i ( a k m + 1 p k 仉) ( 1 t “1 + 1 地i ) + s n ( u t ) 吨 ) i i = 。 f = l uj+sign(dij(t)(ig i 9 n ( )vjl 1 0 ，k = 1 ，n 如果 o t l 旦m b + j k l e 0 ， j = 1 ，- - ，n( 2 1 4 ) 这罩 f 等e m _ 譬 那么同步空间5 对于耦合网络系统“到来说是全局指数稳定的 注2 显然如果连接矩阵是l a p l a c i a n 矩阵定理2 就能应用了 1 5 第二章主定理 注3 这里我们要求玑( “) 是单调上升的直观上，我t r i m 以从微分方程“到中看 出，实际上后面加的非线性耦合项g ( x ) 是促使x i ( t ) 向x j ( t ) 靠近，从而达到同步 性当x j ( t ) ( t ) 时，只有g ( 一( t ) ) g ( x ( t ) ) 才能使x i ( t ) 变大，向x j ( t ) 靠近 当x j ( t ) x i ( t ) 时，同样要求g ( x ) 单调上升才能达到同步性 证明从等式( 2 1 ) ，( 注意到此时，6 = 箐，n = 勺，i = 1 ，m ) ，我们可以 j = l 得到 d s x 4 ( t ) d 亡 定义l y a p u n o v 函数 。k 万k l 他m t ) y ( 如) ：；量惋d x i t ( t ) p s x ( t ) p s x ( t )y ( 如) = 去惋d ( t ) “t = 1 由于曼惋5 x z ( t ) ：0 和，( z ，t ) q u a d ( a ，p ) 我们有 m 呻r m 1 k i s x 刊( t ) p l ，( 圣( t ) ，t ) 一& ，( ( t ) ，t ) l = 0 i 一1 o = 1 o 惋5 x i t ( t ) p f ，( 矿( t ) ，t ) 一，( 孟( t ) ，t ) l 一占z ( t ) l 一e 惋5 x i t ( t ) s x i ( t ) 因此，微分v ( s z ) 即可可到 丁d v ( s z ) = 蕃蹦飞) p d s x - - i f f t ( t ) = t c i s x 4 1 ( t ) p l ，( x i ( t ) ，t ) 一，( 2 ( t ) ，t ) + a i j f g ( x ( t ) ) + ，( 牙( ) ，t ) i = 1 o j = l 一6 ，( ( t ) ，t ) i i = 1 o mm rm 1 一e 托d 。( t ) s x ( t ) + 托6 ( t ) p i a s x ( t ) + a l j f g ( x ( t ) ) i 由分解a = 一k 一1 m t m 和j 。；( t ) 一d ( t ) = z ：( t ) 一( t ) ，可得 1 6 q 一 9 卢 m 坶 p 幻 t 妇k m 第二章主定理 ：( 6 。- 1 - ( t ) ，6 。- ( t ) ，6 。m 7 ( t ) ) ( k a 。p r ) i9 ( 。j ( 。) g ( 。响) = 一。占z 。t 。，巧z 。t 。，6 z m t 。，。 矿t a 彳。p r ，f ； ： 2 ；1 g 西( t ) ) = 一p k t k ( d z ( t ) k = l j xi = 1 nm 一1 = 一p k ? k b i j ( x ：( t ) 如t ( t ) ) ( 乳 ：( f ) ) 一g k ( ( t ) ) ) 矗( t ) ) ( 鲰( z ：( t ) ) 一鲰( ( t ) ) ) 如 ( t ) ) 2 ：刮耐飞，胪飞小咖) ( ：5 x k t ) ) = 立掰。( t ) p a l j f s x ( t ) 这里k r o n e c k e r 乘积。定义为 a ob = a b a 2 l b a 1 2 b a 2 2 b a l m b a 2 m b a 。1 ba 。2 b a m 。b 它使一个m n f t g ，z 的矩阵，其中a = ( a 订) r ”一，b = ( 疡，) r “ 因此。 d v 五( 厂s x ) 一。妻脚，( 啪以t ) + 萎脚x i t ( t ) 尸 蹦( t ) + 垡量。可i 6 一( t ) o i = l i = l 。 j = l 。 s 一2 e j 罴+ 蚤n 彬氟飞) k k a + a k 膨以) 1 7 厂暝 一 0壤 6 一汹 他风 。随 盟 一 一 i k 如 一汹 协 讥m 。 吨 = 第二章主定理 = 磕羡黑+ 酗n 飞烛k b + a k k ) 慨 这里如k ( t ) = 如l ( ) ，d z ? ( t ) 1 t 由于i 曼= 1 愧6 z i ( t ) = o ，= l ，n ，所以，每 个d 氟( t ) c ，k = 1 ，n 由d 的定义，我们知道亏的列岛，0 k l 形成了 子空间c 的一组基，且每个撕k ( t ) 可以改写成撕( t ) = 6 t k ，其中t k r ” 因此 7 p t b + e 叫喊= 巧伊o c y t b + & k 卜n 。 且 掣纠e 器 出 一 m t m 巩 推论2假设以是对称矩降如果 0 7 ( 鲫k a + k e m ) d 0 ， = 1 ，一，n( 2 1 5 ) 。= 一，一。? j 1 一。 那么同步空间s 对于耦合网络系统“圳来说是全局指数稳定的 推论3假设a 是对称矩降a l = 0 a 2 sh 如果 垡h a 2 + s0 ，k = 1 ，忍( 2 1 6 ) 那么同步空间s 对于耦合网络系统“圳来说是全局指数稳定的 在这种情况下，条件r 2 ，髟等价于鲥k a ，+ k 0 ，k = 1 ，n ，j = 2 ，m 注4 当耦合项是线性的时候，即当g ( ( t ) ) = ( t ) ，j = 1 ，m 时，条件口卅可 分别简化为 ，a 2 + k 0 ，k = 1 ，一，n( 2 1 7 ) 这个条件与口刁中定理2 推论的条件是一样的，所以本文得到的结论可以作为 文章口刁的结论的一个推广 第二章主定理 注5 在心7 ，中，作者研究线性耦合网络的同步的全局稳定性的时候给出的充分条 件是 o t i 三( a + j e m ) lo 0 ， j = 1 ，一，n( 2 1 8 ) 其中三= d i a g l ，知) ，这里 l ，m 】t 是对应于耦台矩阵a 的0 特征值的 左特征向量矩阵0 为 。：且一且? ：1 一血 l 靠知知j 这个条件和本文研究非线性耦合网络同步全局稳定性得到的条件口1 4 ) 十分相 似，但是从两个证明的过程比较中我们可以看出不能直接由线性耦合的条件推出 非线性耦合时的条件，主要困难是在对耦合矩阵a 的处理换句话说，我们的困 难在于对d i ( t ) a g ( x j ( t ) ) 的估计当耦合项是线性的时候，即g ( x ) = z 的 时候，这一项是比较容易估计的但是当耦合项g ( x ) 是非线性的时候，直接估计 就比较难了在这里，我们先是假设耦合矩阵a 可以分解成a = k _ 1 b ，再通过 矩阵b 的特殊性质把b 分解成日= 一m t m ，这个分解在整个证明过程中起到 了非常重要的作甩通过矩阵m 的特殊结构，我们把非线性耦合项g ( x ) 转变成 线性项z 来估计，从而解决了直接对g ( x ) 进行估计的困难再把矩阵m 重新写 成b 的形式整个证明过程中体现了对矩阵运算的一些技巧，这也是本文较文 章口刁的创新之处 2 3 数值模拟 在这一节中，我们给出了两个直观的数值例子来验证前面一节中得到的结论， 这两个系统本身都是混沌的( 见 3 3 】) 1 c h u a 电路 l o c h u a 构造的c h u a 电路是第一个真正能够用物理手段实现的混沌系统我 们把混沌的c h u a 电路看作动态网络系统中的节点一个单一的c h u a 电路的动 1 9 第二章主定理 力学方程为： = 卜x l ，+ 荔x 2 - 警f ( 。) ) 亿切 这里 f ( x 1 ) = t 1 0 x 1 + 言( m l m o ) ( i z l + l i i x l 一1 1 ) 其中，m o 0 ，m 1 0 如果系统中的参数取值为p = 1 00 ，q = 1 4 8 7 ，m o = 一o6 8 ，m 1 = 一1 2 7 ，那 么单一的c j u a 电路( 2 1 9 ) 就有一个混沌吸引子，初值为( o 1 ，o4 ，0 8 ) 的f i g 2 1 f i g u r e2 1 ：c h u a 电路( 2 1 9 ) 的吸引子 我们考虑6 个节点的非线性耦合 盼r i i 豸i 髦岛 旧镰”k 。亿z 。， - 2 0 2345 6 、 i 240020 这里连接矩阵a = ii ：- 6 二：”小旧拙州 l 520092 i 6 0 0 02 8 易知o l = 1 第二章主定理 取尸= d i a g 矗，1 ，矗) ，= e e ，则有0 7 ( a + e b ) 5 0 ，l m i ( 线性矩阵不等 式) ( 2 1 5 ) 满足由定理2 ，同步空间5 对于耦合网络系统( 2 2 0 ) 来说是全局指数 稳定的对于一( t ) ，我们取( o 1 ，0 4 ，o 8 ) ，( 0 5 ，一2 ，o 5 ) ，( 9 ，4 ，一3 ) ，( 1 ，1 ，1 ) ，( 一1 ，o 2 ，0 3 ) 和( 5 ，3 ，7 ) 作为初值耦合系统的同步变化过程可以用f 培2 2 来描述f i g 2 2 显 示的是6 条轨道间的距离，计算公式为 e r r ( t ) = 广百一 、i 忖( t ) x ( t ) 1 1 2 、i ，j = 1 f i g u r e2 2 ：耦合c h u a 系统( 2 2 0 ) 中z 1 ( ) ，i = l ，6 之间的距离 2 r o s s l e r 系统 0 e r o s s l e r 构造了几个简单但具有混沌行为的非线性方程组，其中最有代表 性的是他在1 9 7 6 年提出的如下方程组： ( ( 。茗掣。) ：， 其中，参数a = 6 = 0 2 ，而参数c 常取下列数值之一： 2 ，2 3 ，3 5 ，4 7 ，5 0 ，5 7 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 我们在此取c = 5 7 ，得到如f i g 2 3 的r o s s l e r 吸引子 第二章主定理 f i g u r e2 3 ：r o s s t e r 系统f 2 2 1 ) 的吸引子 我们把混沌的r o s s l e r 系统看作动态网络系统中的节点，考虑3 个节点的非线性 耦合： = ( z 茗絮。旧9 ( x 0 ) ，e 亿z z ， ，- 5 2 3 、 这里连接矩阵a = f 2 20 i ，g ( s ) = 2 s + s i n s 1 5 0 15 易知旦= 1 对于a ，我们有分解a = k b ，其中 k = ( 1 。) ，b = ( 亨孙 取p = d i a g l ，1 ，击) ，= e 3 ，则有口7 ( b + k ) 亏0 ，l m i ( 线性矩阵不等 式) ( 2 1 4 ) 满足由定理2 ，同步空间5 对于耦合网络系统( 2 2 2 ) 来说是全局指数 稳定的对于矿( t ) ，我们取( 1 ，l ，o 4 ) ，( 5 ，一1 ，一2 ) 和( 9 ，一5 ，4 ) 作为初值耦合系 统的同步变化过程嗍j f i g 2 4 来描述f i g 2 4 显示的是6 条轨道间的距离，计算 e r r ( t ) 一 第二章主定理 f i g u r e2 4 ：耦合r o s s l e r 系统( 2 2 2 ) 0 0 2 4 ( t ) ，i = l ，2 ，3 之间的距离 s 2 4 结论 在这篇文章中，我们讨论了非线性耦合动态网络系统的指数同步性给出了局 部和全局指数同步的充分条件从本文定理得证明中，我们可以看到对应于耦合 矩阵a 的0 特征值的左特征向量和右特征向量在研究非线性耦合网络系统的同 步稳定性的时候起了很重要的作用在本章最后一节，我们还给出了两个数值模 拟的例子来验证本文中得到的理论结果 2 3 参考文献 1 l m p e c o r aa n dtl c a r r o l l ，“s y n c h r o n i z a t i o ni nc h a o t i cs y s t e m s ”，p h y s r e v l e t t ，6 4 (