（应用数学专业论文）牛顿迭代法的改进格式及其收敛阶.pdf

摘要 牛顿迭代法的改进格式及其收敛阶 摘要 牛顿法是求解非线性方程删= o 的一种非常重要的方法，本文 主要讨论了牛顿法的变形迭代格式。 全文共分为4 个部分，第一章介绍了牛顿法的一些相关的知识 背景。 第二章基于以下恒等式 厂( 口) 一厂( ) = f 厂( f ) 出， 在等距节点和不等距节点的情形下分别利用n e 叭o n c o t e s 公式和 g a u s s l e g e n d r e 公式构造牛顿迭代法的变形格式，并证明了这两种迭 代格式的收敛阶都是3 第二章的研究结果对利用数值积分公式构造 变形牛顿迭代格式给出了一个终结性的结论。 第三章研究b a n a c h 空间中非线性算子方程八力= 0 的近似求解问 题。首先，把实函数数值积分的梯形公式推广到非线性泛函的b o c h n e r 积分中来，得到b o c h n e r 积分的梯形公式： 互f ( 工) 出吾( 一) ( ，( ) + f ( 吒) ) 三= + f ( 一) 10 f 1 ) 然后，利用这一公式来构造牛顿迭代法的变形格式， f 儿= 一f ( 吒) 一1 f ( 吒) 【+ l = 一2 ( f ( ) + f ( 儿) ) - 1 ，( ) 从而得到梯形牛顿法，并在弱条件的口一判据下借助于优函数技巧证 北京化工大学硕士学位论文 明了它的收敛性。 第四章讨论了一类形如 一艄 的牛顿迭代格式，证明了a 一，b = o ，萨丢裔d 时迭代格式最优，其收敛阶为3 关键词：牛顿迭代，梯形牛顿法，口一判据，优函数 i i 摘要 m o d i f i e ds c h e m eo fn e w t o n sa n d i t sc o n v e r g e n c eo r d e r a b s t r a c t n e 、矶o nm e t h o di sav e 拶i m p o r t a n tm e t h o dt os o l v et h en o n l i n e a r o p e r a t o re q u a t i o n 坟x ) = o ，t h em a i no b j e c to f t h i sp a p e ri st 0i n v e s t i g a t e m o d i f i e ds c h e m eo fn e 、t o n si t e r a t i v em e t h o d t h i sp a p e ri sm a d e u po ff o u rs e c t i o n s i ns e c t i o no n e ，s o m er e l e r v e n tm e o r e l n sa b o u t n e 、玑o nm e t h o da r ei n t e 印r e t e d i ns e c t i o n 俩o ，n e w t o n - c o t e sf o m l u l a a n dg a u s s l e g e n d r ef o n n u l aa r eu s e dt oc o n s t r u c tm o d i f i e ds c h e m eo f n e 、矶o n si t e r a t i v em e t h o dr e s p e c t i v e l yi nt h ec a s eo fu s i n gn u m e n c a l i n t e g r a lf o m l u l aw i t he q u i d i s t a n tn o d e sa n dn o n e q u i d i s t a n tn o d e s ，2 u l dt h e c o n v e 玛e n c e o r d e ro ft h e 懈om o d 语e ds e h e m e si s3 r h e r e f o r e ，w eg i v ea f i n a lc o n c l u s i o nf o ri t e r a t i o no fn e 、矶o n sm e t h o dc o n s t m c t e db y i n t e g r a l f o m u l a i ns e c t i o nt h r e e ，w ei n v e s t i g a t et h es o l u t i o no fn o n l i n e a ro p e r a t o r e q u a t i o nf ( x ) = oi nb a n a c hs p a c e f i r s t ，w eg e n e r a l i z et h et r a 【p e z i u m f o m l u l aa b o u tn u m e r i c a l i n t e g r a lo fr e a l 血n c t i o nt ot h eb o c h n e ri n t e g r a l o fn o n l i n e a r 如n c t i o n a ls ot h a tw eo b t a i nt h et r a p e z i u mf o r n l u l ao f i i i 北京化工大学硕士学位论文 b o c h n e ri n t e g m l f ( 工) 出三( 一毛) ( f ( ) + f ( 吒) ) = + f ( 一) lo f 1 ) t h e nw eu s et h ef o m m l at oc o n s t m c tm o d i f i e ds c h e m eo fn e 、矶o n s i t e r a t i v em e t h o ds oa st oo b t a i n 仃：l p e z i u mn e 、玑o n sm e t h o d 1 只= 一f ( ) 一1 f ( 吒) 【吒+ l = 一2 ( f ( 吒) + ，( 只) ) - 1 ，( 毛) f u t h e m l o r e ，w ep r o v e di t sc o n v e 玛e n c eu 1 1 d e r 口- c d t 甜o no fw e a k c o n d i t i o n sb ym e a n so fm 萄o r i z i n g 如n c t i o n i ns e c t i o nf o u r w ep r o v ea s c h e m eo fn e w t o n si t e r a t i v em e t h o ds u c 血a s ，矿( ) + 矽( ) k - 弘一磊僦。 i s 。p t i m a lw h e n 口= 矗，6 = 。，c = 丢篙da n d i t sc 。n v e 玛e n c e 。r d e ri s3 i 皿yw o i i s ：i t e r a c t i o no fn e v n o n sm e t h o d ，t r a p e z i u mn e 、玑o n s m e t h o d ，口一c r i t e r i o n ，m 匈o r i z i n g 血n c t i o n i v 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：j 哗 日期：兰塑l 卫一 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名：途堑堑聋 聊签名：j 掣l 第一章概述 第一章概述 在非线性方程厂( 功= o 的求解过程中，经典牛顿法是一种最实用和最重要的 方法，其迭代格式如下： 一器， 它的几何意义是，设) ，= 厂( 工) 是一条曲线，它与x 轴交点的横坐标即为方程的根， 假如已经给出一个近似根，我们用曲线在点( ，厂( 吒) ) 上的切线逼近该曲线， 令+ 。是使该切线与x 轴交点的横坐标( 如图卜1 ) 。 j j y ：舡) x 。 ，毛+ 2 + 1 r 】 一一 图卜l 以直代曲 f i g 1 - 1t bu s e 蚰胁g h t1 i n 嬲s u b s t i t u t e sf 1 0 rc u r v 豁 上述相当于用( 石) 在石= 处泰勒级数中一次项近似厂( 功，然后求线性方 程的根，即 厂( x ) 厂( 毛) + 厂( 吒) ( x 一) = 0 将它的解记为+ 。，重复这一过程则产生序列+ 。= 一手嚣，刀= 。，1 ， 北京化工大学硕士学位论文 称为牛顿法。它是局部线性化与迭代法结合产生的，是一个具有2 阶收敛的迭代 法。 近年来，有许多工作对牛顿法进行了深入的研究【l 卜【扪，这些研究的一个主要 目的是进一步提高牛顿迭代的收敛阶和收敛速度。文献 1 提出了算术平均牛顿 法，此方法具有三阶收敛性，具体迭代格式如下： 一器， = 毛一而衢 文献 2 提出了调和平均牛顿法和中点牛顿法，并证明了此两种改进牛顿迭代格 式具有三阶收敛速度，具体迭代如下： 与 一器歹【卫? 盐) 文献 3 利用函数f ( x ) 的二阶泰勒展开式导出了所谓改进牛顿法，也称为柯西牛 顿法，并证明了此方法至少三阶收敛，具体迭代格式如下： 2 吒一玩再面蠢镑旨丽 文献 6 】则在文献 2 】的基础上，结合辛普森积分法和平均值思想，提出了两个牛 顿迭代法的改进格式，辛普森牛顿法和几何平均牛顿法，并证明了他们的收敛阶 至少是3 阶收敛，具体迭代格式如下： 2 趔 土i 八 k 一器镤 第一章概述 与 一器， h - 一而蒜厂u ) + 4 厂( 生) + 厂( 稚。) 一怒， 一面蠢 目前关于牛顿迭代改进格式的研究，一个重要的研究方向是基于下面的恒等 式中积分的数值计算 ( 厂( f ) 出= 厂( 口) 一厂( ) ( 木) 这里，o 【是所要求的方程的单根。在上式中如果用下矩形公式计算左边的积分， 即 厂( f ) 出= 厂( ) ( 口一毛) = 厂( 口) 一，( 吒) 注意到厂( 口) = 0 ，从上式中解出口， 一一怒 记口为吒小则可以得到标准的牛顿迭代格式， 碥一器 于是人们猜测，如果采用精度更高的积分公式计算( 术) 中的积分，可能会得到收 敛阶更高的牛顿迭代公式。例如，利用梯形公式、中点公式、s i m p s o n 公式近似 计算( 木) 中的积分来构造新的牛顿迭代法的变形格式，从而得到梯形牛顿法( i j 、 北京化工大学硕士学位论文 中点牛顿迭代法【z 】、s i m p s o n 牛顿法【6 】并且已证明它们收敛阶均是3 。我们注 意到，目前的改进牛顿格式主要用到的数值积分公式都是精度较低的，因此，本 文第二章就基于以上思想进行推广，利用高精度多节点的n e w t o n c o t e s 公式以 及不等距节点的g a u s s l e g e n d r e 公式构造牛顿迭代法的变形格式，出乎意料的 是，利用这些高精度的数值积分公式所得到的变形牛顿迭代格式收敛阶都是3 。 因此，本文就对利用数值积分公式构造变形牛顿迭代格式给出一个终结性的结 论。 第三章中我们研究b a n a c h 空间中非线性算子方程f ( x ) = 0 的近似求解。目前， 关于b a n a c h 空间中非线性算子方程f ( x ) = o 的近似求解最重要和最常用的同样是 牛顿迭代法，其迭代格式如下： 稚l = 而一f 也) - 1 ，u ) ，l = 0 1 z 稚l2 而一，) ，幌 ，1 2u l 二 必须注意的是这里的f 不是普通函数，因此，它的改进格式的研究要困难得多。 有许多学者对此进行研究【9 - 1 8 l ，主要有两类，一是o s t r o w e k i 和k a n t o r o v i c h 【9 l ， 给出了对于判断在某个区域中取初值的n e w t o n 迭代法的收敛性，条件简洁。 k a n t o r o v i c h 最先提出的牛顿法的收敛性条件即k a n t o r o v i c h 型收敛条件，其他 迭代法的收敛性条件是由它拓展开的。 另一类是相对于判定收敛的区域条件，s m a l e 【o 】提出了点估计判据下的 n e w t o n 迭代法的收敛性，即完全用f ( x ) 在初始点的信息来判断迭代是否收敛。 令口( ，z ) = 7 ，其中 = ( ，z ) = l | f t ( z ) 1 f ( z ) 0 ， h ( 即) = 掣荆一1 掣i 击七2 2 再： s m a l e 指出存在一个大约等于0 1 3 0 7 0 7 的常数使得若口( f ，z ) ，则z 4 第一章概述 是f ( x ) 的一个逼近零点。 众所周知，k a n t o r o v i c h 提出的收敛性条件是： ( 1 ) 假设f 是由b a n a c h 空间x 的一个非空凸集q 到同型空间y 的f r e c h e t 可微算 ( 2 ) 对于点q ，假设f ( ) 1 存在，并且满足l i ，( 而) _ 1 f ( 而) 临叩 ( 3 ) f | f ，( 而) - 1 ( f ( 砷一，i ( y ) ) l 阵6 i 石一y l i ，毛j ，q 挑三 ( 5 ) 丽幽其中，：竿 自从k a n t o r o v i c h 条件提出以来，有许多数值工作者对其进行了修正，最主 要的是对条件( 3 ) 的修正，通过修正减弱k a n t o r o v i c h 条件，当然条件( 4 ) ( 5 ) 也 发生相应的变化。另外，有些其他的迭代法是从n e w t o n 迭代法的收敛条件中拓 展的，例如下面一个三阶收敛的迭代法的收敛条件： ( a ) 对于点而q ，假设，t ( ) _ 1 存在 ( b ) j if ( 而) 1 f ( 而) i 匿7 7 ，i i ，- ( 而) - 1 ，- ( ) | i 2 厂 ( c ) i | f i ( 而) 。1 ，”( 曲i i r 嘉，坛啦忙一圳 ( 1 一去) ； ( d ) 椰闱卅专，当口计罔一2 厨，函数有两个根 证明迭代法的收敛性时有两种基本的方法：优函数法和递推的方法，而优函 数方法是k a n t o r o v i c h 为了证明b a n a c h 空间中的n e w t o n 迭代法的收敛性而提出 来的。随后它被推广到证明其他迭代法的收敛性。k a n t o r o v i c h 最初用的优函数 为二次多项式 5 北京化工大学硕士学位论文 a o ) = 圭6 f 2 一f + ，7 后来也有人用它证明三次收敛的迭代法的收敛性，但是与三次多项式相比它就显 得有些欠缺，在证明二阶和三阶收敛的迭代法的收敛性时，三次多项式是比较常 用的优函数 岛( f ) = 丢户+ 三6 ，2 一r + ，7 在证明历肘毋条件下的迭代法的收敛性时，优函数变为实函数。证明1 + p 阶收 敛时，用的优函数的形式为 舭) = 南f l + l 咖 证明具有2 + p 阶收敛时，优函数的形式为 鼠o ，= 南，2 + p + 三6 ，2 一，+ 刁 有理多项式也是证明各种迭代法收敛的一种比较好的优函数，它的形式为 舭砌小岛 它是由s m a l e 提出由王兴华和韩丹夫改进的，而后被应用证明各种迭代法在 s m a l e 点估计判据下的收敛性。 第三章中我们基于如下的恒等式 厂o ) 班= ( 口) 一厂( ) 研究b a n a c h 空间中非线性算子方程f ( x ) = 0 近似求解的牛顿迭代改进格式。其思 想还是利用积分公式计算左边的积分，从而得到改进的迭代格式。但我们必须注 意，这里的积分不再是普通实函数意义下的积分，而是b a n a c h 空间中非线性泛 6 第一章概述 函的b o c h n e r 积分，所以，第三章中我们首先把实函数数值积分的梯形公式推广 到b a n a c h 空间中非线性泛函的b o c h n e r 积分中来，得到b o c h n e r 积分的梯形公 式；然后，我们利用这公式来构造牛顿迭代法的变形格式，从而得到梯形牛顿 法，并在弱条件的口一判据下借助于优函数技巧证明了它的收敛性。 第四章对一元函数的非线性方程f ( x ) = o 利用动力系统的李雅普诺夫的方 法，构造了新的“牛顿类方法，其迭代格式为： 一黜 因目前对一般的p ( 厂( ) ，厂( ) ) ，q ( 厂( ) ，厂( ) ) 讨论还很困难，所以第四章仅考 虑p 、q 均为线性形式时情形。于是得到如下的迭代格式： + i2 毛一 矽( ) + 可( ) 矿( 吒) + 瓴) ， 此格式给出了此“牛顿类”迭代格式的最优条件，即a = d ，b = o ，g = 丢笋高d ，且 此格式是3 阶收敛的。 7 第二章两种三阶收敛的变形牛顿迭代格式 第二章两种三阶收敛的变形牛顿迭代格式 2 1 收敛阶 定义2 1 7 8 1 设序列纯) ；收敛于口，若存在p 1 和常数c o ，使成立 l i m 羔! 二竺：c 一【吒一口厂 ( 2 1 ) 则称序列也) ；是p 阶收敛的，f 称为渐进误差常数。 当p = 1 时，称是线性收敛的，p = 2 是平方收敛的，p = 3 是三次收敛的。 设巳= 一口，则关系式。= 吣+ d ( 1 ) 称为误差方程，p 称为收敛阶。 定理2 1 1 1 设口是方程f ( x ) = 0 的单根，且- p 毛，h 。是求口近似解的迭代序列 的连续3 项，则收敛阶可以用下面的公式近似计算 m i ( 靠l 一口) ( 一口) i 。 l l l i ( 一口) ( 一l 一口) i r 2 2 、 2 2 迭代格式 设口是方程f ( x ) = 0 的单根，f ( x ) 是无穷次可导的。我们用m 等分m 十1 个 节点的n e 叭o n - c o t e s 公式近似计算( 木) 中的积分，则有 其中 o 厂( 毛) + ( 口一艺) q ”( 吒) ( 2 3 ) t = o = + 生玉后， c ：”) = 焉f r o 一1 ) o 一后+ 1 ) ( f 一七一1 ) o 一以) 西， j | = o ，l ，肌 从( 2 3 ) 中解出口并将之作为真实单根的近似，记为稚。，则可以得到迭代公式 北京化工大学硕士学位论文 其中 + l2 一 厂( ) 掣厂( 五) 七= o ，以= o ，1 ，2 ，( 2 4 ) 吒= + 竿七，拈0 ，1 ，2 ，聊 ( 2 4 ) 是隐式格式，具体计算时是采用下面的计算格式 一怒， jc：+-2=jt。li；!。：；l：；惫，l：=。，1，2， 荟c ：l 帕厂h + 譬的 c ：”) = 焉f f o 1 ) o 一后+ 1 ) o 一尼一1 ) ( f 一以) 出， 以上格式我们称之为格式( i ) 注：利用3 等分4 节点、5 等分6 节点、6 等分7 节点、7 等分8 节点的数 值积分公式近似计算积分来构造变形牛顿迭代格式是格式( i ) 的特殊情形，其证 明和结论在附录中给出。 下面我们给出利用g a u s s l e 鲈l d r e 公式构造的变形格式，并称之为格式( i i ) 同上，我们利用m + 1 个节点的g a u s s l e g e n d r e 公式近似计算( 木) 中的积分，则有 雕 厂( 口) 一厂( 毛) = i 厂( x ) 出 = 芋m 孚，+ 孚虬( 2 - 6 ) = 孚薹( 孚+ 警) 厶 七= o 厶厶 其中高斯点气是勒让德多项式只+ 。( f ) 的零点，4 是求积系数。从( 2 6 ) 中解出口并 将之作为真实单根的近似，记为毛+ ，则可以得到迭代公式 9 第二章两种三阶收敛的变形牛顿迭代格式 j1hl=】i；!|ifi：i：i：；：i：；：一，l=()，1，：!，。(：!7) ( 2 - 7 ) 是隐式格式，具体计算时是采用下面的计算格式 怒， 】1pl=j。iil!if。：!：i：i：；一，l=，1，：2，：，：2-53 于是，我们称( 2 8 ) 为格式( i i ) 下面我们给出格式( i ) 、( i i ) 的收敛性分析。 2 3 收敛性分析 定理2 2 设口是充分光滑函数f ( x ) ：i 尺一只的单根，i 是一开区间。若充 分接近口，则格式( i ) 的收敛阶是3 证明：设口是f ( x ) 的单根，由于f 充分光滑，将厂( ) 与( ) 在口处展开得 厂( 毛) = ( 口) 巳+ c 2 + c 3 乏+ 】。( 2 9 ) 厂( _ ) = 厂( 口) 1 + 2 巳巳+ 3 乞e + 4 巳+ 】( 2 - 1 0 ) 其中乞= 毛吧。= 篇，j = l ，2 ，3 ，于是有 怒2 巳+ 2 ( z 训艺堋札( 2 - 1 1 ) 对格式( i ) 中的巯。我们有 由( 2 - 1 2 ) 我们有： 乙+ 。= 口+ c 2 一2 ( 之一乞) 之+ d ( ) ( 2 1 2 ) l o 北京化工大学硕士学位论文 吒+ 三吐二益七一口：( 1 一生) 巳+ 生c 2 一丝( t c 3 ) 之+ d ( ) ，七：o ，l ，聊 m聊m 聊 粉( 吒+ 三d 尼) ，尼= o ，1 ，m 在口处展开有。 ，竹 八+ 孕轳八酬l 啦( 1 一知+ ( 等z 也( 1 一扣z肌 m肌历 一( 等州_ c 3 ) 咆岛( 去一争之+ d ( 棚聊mm 于是， 姜q m 毛+ 警护八州姜q 叶2 乞( 薹q - 去薹巳 也z 去静3 乞c 鼢m 去鼢嘉鼢懈，之陋 代( “) x 去静忆6 c 2 c 3 ( 去薹后 鼢忙城坝嘲 而由c o t e s 系数的性质可知， q 帕= 1 t ：o 去静帖三心州， 嘉鼢彬= 三 将( 2 - 1 4 ) 代入到( 2 - 1 3 ) 得 薹掣厂( + 警七) = 厂( 酬1 + c 2 巳+ ( z + c 3 ) - ( 2 之一3 c 2 c 3 ) + d ( 机 于是 h - 一丽麓 丢掣厂( + 竿 ：x 一 ! 竺! 刍鱼重鱼互= ! “ 厂( 口) 1 + c 2 巳+ ( 蠢+ c 3 ) 一( 2 乏一3 c 2 c 3 ) 露+ d ( ) 】 = 吒_ 巳一乏彰+ d ( ) 】 第二章两种三阶收敛的变形牛顿迭代格式 将( 2 一1 5 ) 两边同时减去口得 吒+ 。一口= 一口一 巳一之+ d ( ) 】( 2 1 6 ) 即 巳+ 。= 巳一【巳一艺露+ d ( ) ) = z + d ( ) ( 2 - 1 7 ) 由此可知格式( i ) 的收敛阶是3 定理2 3 设口是充分光滑函数( 功：j r 专尺的单根，i 是一开区间。若而充 分接近口，则格式( i i ) 的收敛阶是3 证明：设口是f ( x ) 的单根，由于f 充分光滑，将厂( 吒) 与厂( 毛) 在口处展开得 厂( ) = 厂( 口) 巳+ c 2 z + c 3 露+ 】 厂( ) = 厂( 口) 【1 + 2 c 2 巳+ 3 c 3 + 4 c 4 露+ 】 其中，气寸= 篇，j ：1 ， 于是有 善拱：气一吃+ 2 ( 乏一6 ) 之+ d ( z ) ， 厂。( 吒) “ 一 州 y “哪” 对格式( i i ) 中的z 肿。我们有 由( 2 - 1 2 ) 我们有 z 肿。= 口+ 呸z 一2 ( 之一岛) 之+ d ( ) 竿气+ 华一口= 扣悦+ 扣佻- ( 1 ( 之训圳) 尼= 0 ，1 ，加 将厂( 三学+ 五学) ，七= o ，l ，z 在口处展开有： 1 2 北京化工大学硕士学位论文 于是 八孕气+ 竽m ( 酬( 1 训州g ( 1 + 扣训2 ) 露 弋2 乞( 1 + ) ( 乏一巳) 一三乞巳( 1 一) ) + o ( ) 】 芝4 厂( 竿+ 丑譬立) = 厂位) 兰4 + ( 芝4 一芝4 气) 乞乞 七= o zz 七= o七= o七；o + ( 乏( 4 + 4 气) + 三c 3 ( 4 2 4 气+ 4 ) ) z t = ot=o。rt = oi = o| i = o 历历一历册 一( 2 c 2 ( 蠢一c 3 ) ( 4 一4 气) 一詈c 2 c 3 ( 4 一4 ) ) 之+ d ( ) 】 又由高斯点与其对应系数之间的关系知： 4 = 2 卸 4 = o 七= o 芝4 ：詈 七= 0 ) 将( 2 1 9 ) 代入到( 2 18 ) 中得： 薹4 厂( 孕气+ 竽) - 2 厂( 酬l + c 2 “+ c 3 ) - ( 2 之_ 3 c 2 巳) 删) 】 于是 一丽一 4 ( 纽气+ 纽) ：r 一 三：! 竺! 【刍鱼笠鱼生= ! 2 厂( 口) 1 + 巳+ ( 乏+ 巳) 一( 2 乏一3 c 2 c 3 ) 露+ d ( ) 】 = 一 巳一z 蠢+ d ( ) 】 将( 2 2 0 ) 两边同时减去口得： 毛+ 一口= 一口一 巳一z + d ( 已：) 】( 2 1 6 ) 第二章两种三阶收敛的变形牛顿迭代格式 即 + 。= 乞一【乞一z 艺+ o ( ”】= z e + d ( ) ( 2 1 7 ) 由此可知格式( i i ) 的收敛阶是3 1 4 第三章求解非线性算子方程的梯形牛顿法 第三章求解非线性算子方程的梯形牛顿法 3 1b o c h n e r 积分的梯形公式 3 1 1 定义 设( q ，b ，) 是一个有限侧度空间，x 为b a n a c h 空间。 定义3 1 ( 1 9 ) 设f ：q 专x ，如果存在t x ，乓召，后= 1 ，2 ，以并且对任 意的f _ ，en 弓= 矽，使得f ( x ) = 以缸( 护协q ，其中施表示乓的特征函数， 则称f 为简单函数。 定义3 2 ( 1 9 ) 设f ：q 专x ，如果存在一列简单函数 疋) 使得在q 上几乎处 处有! i m l l 只( 曲一，( 力0 = o ，则称f 是强可测函数。 定义3 3 ( 1 9 ) ( 1 ) 设，：q 专x 为简单函数，则f 的b o c h n e r 积分定义为 ，( f ) d ( f ) = ( e r 、e ) ，v e b ( 3 1 ) ( 2 ) 如果f ：q x 是强可测函数，简单函数列 e ) 几乎处处强收敛于f ，则f 的b o c h n e r 积分定义为 ，( f ) d ( f ) 2 1 受e o ) d ( f ) ，v e b ( 3 2 ) 3 1 2 梯形公式的截断误差 定义3 4 ( 1 9 ) 设x 是赋范线性空间，u 是x 中的开集，：u 专x ，而u ， x 如果极限叩( - 蛳些止掣存在，则称胛( 而为f 在而处沿方向 j i l 的弱微分或g 五t e a u x 意义下的g 微分，简称为弱微分或g 微分，如果f 在j c 0 处 沿任何方向j i l x ，胛( ， ) 都存在，则称f 在而处弱可微或g 可微 定义3 5 ( 1 9 ) 设x 是实赋范线性空间，u 是j 中的开集，f ：u 专x 如果存 在有界线性算子r 召( x ) ，使得当j i l x ，而+ j i l u ，办专。时，有 ，( 而+ j j i ) 一，( 而) = 刀l + d ( | 五1 1 ) ， 1 5 北京化工大学硕士学位论文 则称，在而处是f r 6 c h e t 可微，而且称刀l 为，在而处的f r 6 c h e t 微分，记作 妲( 而，磊) 这时称f 为罗在而处的f 导算子，记作猡瓴) 或，瓴) 如果罗在上 每一点都f 可微，就称f 在u 上f 可微称f ：u _ 曰( x ，y ) 为，的f 导映射 命题3 1 若，在点x 的f r 6 c h e t 微分存在，则它在点x 的t e a u x 微分也存在， 并且二者相等( 证明祥见 2 0 ) 定理3 1 用于近似计算被积函数是二阶f r 6 c h e t 可微算子尸的b o c h n e r 积分 ，( f ) = ，o ) 出= f ，( 毛+ f ( 一吒) ) ( 一毛) d f ，三= 玩+ f ( 一) io 5f 1 的梯形公式为 ，( f ) = f ( 石) 出三( 一乇) ( ，( ) + f ( ) ) = q ( f ) ( 3 3 ) 定义截断误差为积分精确值与数值计算公式的差，即r ( ，) = ，( f ) 一q ( f ) ，则 r ( f ) l | = | | 舻) 一q ( ，) 忙劫p ( 珊一圳，孝小( 3 - 4 ) 证明：r ( ，) ：，( ，) 一q ( f ) ：正f ( 石) 出一圭( f ( ) + ，( ) ) ( 一吒) r ( ，) = ，( ，) 一q ( f ) 2 上f ( 石) 出一吉( f ( ) + ，( ) ) ( 一吒) = f f ( 吒+ f ( 一) ) ( 一吒) j f 一昙f ( f ( 毛) + f ( ) ) ( 一) d f2 上f ( 吒+ f ( 一) ) ( 一吒) j f 一寺上( f ( 毛) + f ( ) ) ( 一) d f = 三f ( 【f ( + r ( 口。一毛”书( ) 卜【f ( 口。) 一f ( + 7 ( 一毛”】) ( 口。一矗) d f 由h a l l n - b a i l a c h 定理，存在石x ，忙0 = 1 使得 忙( f ) l i = z 俾( f ) ) = ，( 三f ( f ( + f ( 一毛) ) 书( ) ) 一( f ( ) 一，( + r ( 一) ) ) ( 一) d f ) = 三f r ( f ( + f ( 一) ) f ( ) ) 一( f ( ) 一，( + f ( 一毛) ) ) ( 一吒) ) d f 三f f i ，( + r ( 一) ) 币( 吒) ) 一( f ( ) 一f ( 毛+ f ( 口。一) ) ) 】( 一) ) l i d f 1 6 第三章求解非线性算子方程的梯形牛顿法 由弱微分的中值公式司知，存在五，乞使得上式 = 专勘脚( 毛+ 巧( 一) ) f ( 一) 一 【肿( + ( f + 吃( 1 一f ) ) ( ) ) ( 1 一f ) ( 一吒) 】( 一) 0 d f 再次应用中值公式可知，存在弓使得上式 = 与n d 2 f ( + 乃( ( q + 吃一1 ) 一乞) ( 一) ) ( 一) 2o | l 一吒0 0f ( 1 一f ) i ld f 由中值定理知，存在孝厶使得上式 = 告l i d 2 f ( 善) ”l i 一毛l | 3f i i f ( 1 一f ) i i d f = 去i ld 2 ，( 孝) ”i l 一 1 1 3 由命题3 1 ，不难得知 忙( f ) | f = f | ，( f ) 一q ( f ) i f 判，。( 孝) l f f | 一| 1 3 忱f ( 1 一r 矽f = 剖，( 珧恢一n 其中f 证毕 3 2 主要结果 设x 是实的或复的b a n a c h 空间，dcx 为凸区域，f ：d x 为一个非线性 算子，是f r 毛c h e t 可微，其f r 6 c h e t 导算子记为f ，f 是区域d 上的正定算子。 我们注意到，在非线性算子b o c h n e r 积分意义下，有如下的恒等式， 上f = c ，阮+ 哦飞飞访= 嗽) 一盹h 。 三= 玩+ 页一) i o f 1 ) 其中，是f ( x ) = 0 的解。如果我们能找到一种方法把等式( 3 5 ) 左边的积分进 北京化工大学硕士学位论文 行离散计算处理，并且这种计算精度较高，那我们是可以得到收敛阶更高的变形 牛顿迭代。于是，我们利用b o c h n e r 积分梯形公式( 3 3 ) 计算恒等式( 3 5 ) 左 边积分，得 互，毛心一毛心) + 砥) 】讹) 一眠) 注意到哦) = o ，可得 一2 旷( ) + ，魄汀1 只咤) ( 3 匈 上式中右边可以作为对方程解的一个近似，从而得到梯形牛顿迭代法： = 一2 ( j ) + 砥) r i 风吆) 。( 3 忉 注意到迭代格式中含有一个未知的点，对此，我们可以用标准的牛顿迭代对点进 行一次迭代，得到的点在带入( 3 7 ) ，从而得到完整的梯形牛顿迭代格式如下： 乜麓毒譬( 嘣( 3 锄【毛+ l = 毛一2 ( ，。( 毛) + ，。( 咒) ) - 1 ，( 吒) 为保证导算子的可逆，我们引进一个条件，dcx 为凸区域，v x d ，( x ) 是一 个严格正算子。这个条件的几何意义是明显的，在实数r 中，其意义就是函数的 导数严格大于零，函数严格增，因此，如果有解，必唯一，而牛顿迭代也收敛。 引理3 1 在( 3 8 ) 中，f 。( 毛) ，f ( ) ，。) 均可逆，则f ( ) + f ( 只) 也可逆。 证明：，( 吒) ，f ( 儿) 严格正，则f ( ) + f ( 只) 严格正，显然可逆。 定理3 - 1 若i if ( 而) 一- ，( 而) i 阵 ( 3 9 ) 圭f ( 而) _ 1 f ( 而) l i 7( 3 - 1 。) 第三章求解非线性算子方程的梯形牛顿法 且 扣妒俐南 ，比b ( 而，( 卜) 1 7 ) ( 3 - 1 1 ) 口= 办3 2 芝( 3 12 ) 则和只收敛于f ( 功= o 在x 曰( 而，( 1 一彪) 1 y ) 的唯一解x ，工曰( ，f ) 而且 胂= 坐学 ( 1 + 扣 ( 1 一扣( 3 书) 4 ，22 引理3 2 在( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 下有： i i 扣栌训阵雨杀丽 ，协b ( 而，( 1 一) 1 厂) 。( 3 - 1 4 ) 证明：因为f ( ) 一1 f 。( z ) = f ( 而) 一1 ，。( 而) + r f ( 而) 一1 ，。( 而+ f 一而) ) ( 工一而v f 所以由假设知 f ( 而) f ( 的i i 2 y + f i f 器d f = 石南 证毕。 引理3 3 设 m m 小岛，o ， ( 3 - 1 5 ) ( 3 1 3 ) 中的f 是j i l ( f ) = 0 的最小正零点。用( 3 8 ) 应用在 ( f ) 上，分别用乙，：l 表示 吒，以，= o 贝0 0 = 岛 乙 ，；l 乙+ i f 。，一2 j l ( f 。) + ( ) o ，甩= 1 ，2 ，( 3 1 6 ) 1 9 北京化工大学硕士学位论文 且 舰乙2 舰2f + ( 3 _ 1 7 ) 证明：将( 3 8 ) 应用在j l l o ) 上，我们得到 = 乞一j j l ( 乙) - 1j l l ( 乙) ( 3 1 8 ) 乞+ l = 乞一2 ( j i l ( 乞) + ( ，：1 ) ) - 1 | j l ( 毛) ( 3 1 9 ) 乇= 0 ，万= 0 ，1 ，2 ， 因堋垆即+ 禹胚r ( f ) 一筹，蹴- 1 以北嘶帅 为减函数。且一2 。，所以，k ( 厶) 在 0 ，门中是单调 递增的，于是气+ 。 o ：= k ( 0 + 。) 。川僻m 中是单调递增 的，气+ l j j l ( 气+ 1 ) ，因此， 第三章求解非线性算子方程的梯形牛顿法 气+ ：一气+ 。= ( j j l ( 气) 一 ( j l l ( 气+ 。) + ( + ) ) ) _ 1 ) j l l ( + 。) o ，即气+ ： 吒+ 因此，序列以) 饥) 单调递增并收敛。由迭代( 3 一1 8 ) ( 3 一1 9 ) 可得 l i m 0 = l i m = f 月 引理3 4 ：对任意的石b ( 而，( 1 一彪) 1 ，) ，f ( 功1 存在，且 ，( z ) 。1 f ( 而) l 峰一志( 3 - 2 。) 证明：对任意的x b ( 而，( 1 一心) 1 力，由引理2 及 ，一，( 而) 一1 f ( 工) = 一，( ) 一1 ( ，( 砷一，( 而) ) = 一f f ( 而) 一1 ，( + f o 一) ) ( x 一而) d f 我们有 ，一f ( 而) 1 f ( 石) i l f 石三黼d f = i f 朽一 因此，由b a n a e h 引理知，( 石) _ 存在，且 if ( 而) - 1 f ( 功i 阵 1 = 一一 l l 。( 忪一而i i ) 证毕 定理3 1 的证明： 一( 南一t ) 下面先证当刀o 时， ：g 二刎兰二叠噬 1 4 厂l l x 一而i i + 2 厂2l i 石一1 1 2 ( f ) i | 躬一毛l i ，：，一乙， ( 豇) | j + 。一儿i i 乙+ 。一，：l 成立。 当，z = 0 时，( i ) 和( ii ) 式显然成立。假设对某个n ，( i ) 和( ii ) 式成立，则： 2 l 北京化工大学硕士学位论文 + t 一而i 峰乞+ 。 广( 卜) 形f ( 毛+ ) 一1 得以确立。又 f ( + 。) = f ( + 。) 一f ( 儿) 一f 。( 以) ( + 。一) = f ( 1 一r ) ，。( 以+ f ( + 一只) ) ( + 。一以) 2 d f + 三ff o t ( 1 一f ) f 。( 毛+ ( 三+ 仃( 1 一f ) ) ( 儿一吒) ) ( 以一) 3 d 仃打 由弓i 理3 2 一一弓l 理3 4 知 而 i | y 州一毛+ ，临| i 尸( + 。) ，( 而) ”l i ，( 而) - 1 ，( + ，) i | 五南 r ( 一f 刁f i 芦丌了 兰笔 膏兰；赫j f + 丢f。7(1一fif_歹可j_二二_膏兰；号善三专乏_：i丽矗仃df) i 南t f i 爹薏芝夥d f + 三ff j 芝虹玉匣坐生d 仃d f ， 4 南南( 1 一y 乙一y ( 一乙) ( + 仃( 1 一f ) ) ) 4 弋 o 0 8 5 8 o 1 2 8 7 0 1 6 0 80 1 7 0 9 n = 01 1 1 8 81 2 3 2 21 4 2 1 11 6 2 2 7 n = 1o 0 0 9 8o 0 4 3 70 1 5 5 20 3 2 8 5 n =