（市政工程专业论文）城市供水系统动态建模研究.pdf

摘要 摘要 基于功率键合图理论，建立了城市给水管网的非线性状态空间方程。应用 系统矩阵增维的方法将非齐次方程化为齐次方程，避免系统矩阵的求逆。对非 线性状态方程的求解采用线性化迭代的计算方法。采用精细积分法计算线性化 后的系统，可以得到计算机精度的解，有效地解决了数值计算过程中所产生的 刚性和稳定性问题，而且具有计算速度快、占用计算资源少和编程容易的优点。 实例计算得到的稳态值同e p a n e t 软件的计算结果一致，验证了键合图建模的 正确性。同r u n g e - k u t t a 法计算结果比较说明，本方法具有明显的优点。 针对城市供水系统动态建模中的刚性和数值稳定性问题。首先应用键合图 理论得到系统的非线性状态空间方程；然后采用系统阵增维的方法将非齐次状 态空间方程转化为齐次方程，避免了矩阵求逆运算；最后利用精细积分法求解。 避免由于非标准键合图的出现而引起的繁琐的状态方程推导，减小了建模难度。 这一方法具有程序容易实现、数值计算的稳定性好、计算精度高和计算速度快 的优点。对液压先导溢流阀的计算表明本方法明显优于r u n g e - k u t t a 法。 建立具有统一形式的明满交替流控制方程，在交错网格上进行空间数值离 散。对系统方程进行预处理，物理时间导数项表示非定常流，预处理时问导数 用于数值离散后的迭代求解，目的是改善系统阵的刚性。采用系统阵增维的方 法将非齐次状态空问方程转化为齐次方程，避免了矩阵求逆运算，应用精细积 分法求解系统。算例表明预处理方法可以有效地改善明满交替流建模中的计算 精度和收敛性问题。 关键词供水系统；键合图；精细积分；增维阵； 刚性闯题；明满交替流；预处理 北京工业大学博士后出站报告 a b s t r a c t b a s e do np o w e rb o n dg r a p ht h e o r y , t h en o n l i n e a rs t a t es p a c ee q u a t i o n so f w a t e r d i s t r i b u t i o ns y s t e m sa r eb u i l tu p n o n - h o m o g e n e o u se q u a t i o n sa r ec o n v e r t e di n t o h o m o g e n e o u se q u a t i o n sb ym e 舳so fi n c r e m e n td i m e n s i o n a lm e t h o di no r d e rt o a v o i dc o m p u t i n gt h es y s t e mi n v e r s em a t r i xi np r e c i s ei n t e g r a t i o np r o c e d u r e ，1 1 1 e n o n l i n e a re q u a t i o n sa s o l v e du s i n gi t e r a t i v ea l g o r i t h ma n dt h ee x a c ts o l u t i o no i l c o m p u t e ri sa c h i e v e df o rl i n e a r i z e de q u a t i o n si ne a c hi t e r a t i o ns t e p a sar e s u l t t h e s t i f f a n dn u m e r i c a ls t a b i l i t yp r o b l e mo f t h es y s t e mi sn o ta p p e a r i n g f u r t h e r m o r e ，t h e t i m ec o n s u m i n gc a l lb es a v e dw h i l ep r o g r a m m i n gi m p l e m e n t a t i o ni se a s ya n dl i t t l e c o m p u t e rf 髓o u r c 嚣a r en e e d e d t b es t e a d yn u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t ef a v o r a b l e a g r e e m e n tw i t hn u m e r i c a lr e s u l t so fah y d r a u l i cs i m u l a t i o nc o d ee p a n e t a tl a s t n u m e r i c a le x a m p l ei n c l u d i n gc o m p a r i s o n sw i t ht h er u n g e k u t t am e t h o di sp r e s e n t e d a n dw h i c hd e m o n s t r a t e st h e 场g hp r e c i s i o na n de 臻c c n c yo f t h sm e t h o d t os o l v es t i f fp r o b l e ma n dn u m e r i c a ls t a b i l i t yp r o b l e m sa m o n gc i t yw a t e r s u p p l ys y s t e m sm o d e l i n g f i r s t l y , n o n l i n e a rs t a t es p a c ee q l l a t i o 璐a r ef o r m u l a t e db y p o w e r b o n d g r a p h t h e nn o n - h o m o g e n e o n se q u a t i o n s a r ec o n v e r t e di n t o h o m o g e n e o u se q u a t i o n sb ym e a n so fi n c r e m e n td i m e n s i o n a lm e t h o d h e n c et 1 1 毛 i n v e r s em a t r i xn e e dn o tb ec o m p u t e di nt h ei n t e g r a t i o np r o c e d u r e a tl a s t ，t h ep r e c i s e i n t e g r a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt os o l v et h eh o m o g e n e o u se q u a t i o n s a sar e s u l t ，i ti s a v o i d e dt h a tu n - s t a n d a r dh o l l dg r a p hw i l lb ea p p e a r e da n dt h es t a t es p a c ee q u a t i o n s a r eh a r dt oa t t a i n s ot h a tm o d e l i n gi se a s i e r f u r t h e r m o r e , t h es i m u l a t i o ns p e e dc a n b ei m p r o v e dw h i l ep r o g r a m m i n g i m p l e m e n t a t i o ni se a s ya n dl i t t l ec o m p u t e r r e s o u r c e sa r en e e d e d n u m e r i c a le x a m p l e sf o rp i l o tr e l i e fv a l v ei n c l u d ec o m p a r i s o n s w i t ht h er u n g e - k u t t am e t h o da n dd e m o n s t r a t et h eh i 【g hp r e c i s i o na n de f f i c i e n c yo f t h i sm e t h o d 1 1 1 eu n i f i e ds t y l eg o v e r n i n ge q u a t i o ni ss e tu pf o rm i x e df r e e - s u r f a c e - p r e s s u r e f l o w s p a t i a l n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n i s p r o c e s s e d o n s t a g g e r e dg r i d t h e p r e c o n d i t i o n i n gi si n t r o d u c e dw i t h i nad u a l t i m ef r a m e w o r kw h e r e i nt h ep h y s i c a l t i m e - d e r i v a t i v e sa r eu s e dt om a r c ht h eu n s t e a d ye q u a t i o n sa n dt h ep r e c o l l d i t i o n e d t i m e - d e r i v a t i v e sa r eu s e df o rp u r p o s e so fn u m e r i c a ld i s c r e t i z a t i o na n di t e r a t i v e s o l u t i o na n d ，t h e r e b y , i m p r o v e ss t i f fc h a r a c t e r i s t i c so fs y s t e m n o n - h o m o g e n e o u s g o v e r n i n ge q u a t i o n sa r ec o n v e r t e di n t oh o m o g e n e o u se q u a t i o n sb ym e a n so f n a b s t r a c t i n c r e m e n td i m e n s i o n a lm e t h o d t h e n , t h ep r e c i s ei n t e g r a t i o nm e t h o dc a nb eu s e da n d t h em a t r i xi n v e r s i o nn e e dn o tb ec o m p u t e di nt h ei n t e g r a t i o np r o c e d u r e a l lt h e r e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h ep r e c o n d i t i o n i n ga l g o r i t h mi m p r o v e sb o t ht h en u m e r i c a l a c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c ee f f i c i e n c y k e y w o r d sw a t e rs u p p l ys y s t e m s ，b o n dg r a p h , p r e c i s ei n t e g r a t i o n ，a u g m e n t e dm a t r i x ， s t i f f p r o b l e m s ，m i x e df l e e - s u r f a c e - p r e s s u r ef l o w , p r e c o n d i t i o n i n g m 第1 章绪论 内容提要：对城市供水系统动态建模的必要性、功率键合图在动力学系统 动态过程研究中应用的优点，以及应用精细积分法、系统阵增维法、非线性迭 代和系统矩阵双时间框架预处理来解决的系统数学建模过程中非标准键合图和 系统刚性等问题进行了综述，并提出本文的研究目的、研究内容和技术路线 1 1 城市供水系统动态建模的背景 水是人类生存和发展的生命线，是国民经济与生态环境的命脉，是实现可 持续发展的重要物质基础。随着我国经济社会的发展，水资源短缺、水污染日 益严重已成为制约国民经济可持续发展和直接影响人民健康的重要因素。水资 源短缺不仅带来严重经济损失，而且对水资源的过度开发利用还造成一系列的 生态问题。在水资源短缺的同时，严重的水污染尚未得到有效控制，更加剧了 水资源供需矛盾与水生态系统的恶化。科学、合理地开发利用水资源是实现可 持续利用、保障社会可持续发展的重要条件。 ， 国民经济和工业产业经济的迅速发展，要求我们提供足够的用水保障。面 对b 益匾乏的可利用水资源，我们必须采取节约、节省的手段对它进行保护。 因此，为解决这两个方面的供需矛盾，我们必须在保证用水量的情况下，尽量 避免造成浪费，合理地利用有限的水资源。 水资源的利用主要体现在城市的工业企业和居民的生产和生活综合用水。 城市供水系统的供水配水对水资源的利用程度产生关键性的作用。城市供水系 统的管理不当、水资源调度不合理、输配水在时问空间上的不合理等等均会造 成水资源的不充分利用，甚至是大量的浪费。对此，城市供水系统迫切需要加 强统一信息化的管理和科学合理地输配水。国家建设部制订的“供水行业2 0 0 0 年规划”中提出了两项提高( 安全、效益) 和三项降低( 电耗、药耗、漏失) 的目标，这标志着我国的供水事业已经进入了加强科学管理、提高服务质量、 提高经济效益的新时期。 城市供水系统主要由水源、水厂和输配水管网系统组成，其中供水管网是 需要进行信息化管理和科学调度分配的主要对象。采用人工管理不仅耗费巨大 北京工业大学博士后出站报告 的人力和财力，并且很难对于埋设在地下的管道及其设备进行有效的管理，也 很难达到统一化、信息化的程度，特别是对供水事故情况下更是如此。所以， 对城市供水系统建立统一、便捷的供水水力模拟模型，对于科学合理地利用水 资源、加强供水管理是十分必要的l l 州。 城市供水管网系统是一个结构复杂、规模庞大、用水随机性强、多目标运 行控制的网络系统，欲实现科学管理，必须建立管网模型，仿真管网的实际运 行工况。由于供水管网系统过于庞杂、用水随机性过强等原因，影响了城市供 水管网系统的科学管理，严重制约着城市供水事业的发展。因此有必要研究建 立城市供水管网系统动态模型的方法p j 。 1 2 城市供水系统动态建模的研究现状及存在的问题 1 2 1 城市供水系统动态建模的研究现状 随着社会信息化水平和计算机技术的发展，城市供水系统建模理论也得到 了快速发展。这主要体现在水力模型的模拟精度和真实反映度上面。发达的计 算机技术为水力模型的计算精度提供了保障，而信息技术特别是地理信息系统 g p s 的发展。又为模型对真实管网的符合程度提供了技术支持。 上世纪6 0 年代，一些发达国家开始对管网建模进行研究，开始了以计算机 作为供水系统辅助调度管理的理论研究与应用探索，c o u l b e c k 睁”、o r m s b e e 一 l “、 m a y s 1 2 , 1 3 】、j o w i t t 1 4 】、v i l a s 5 】等人广泛应用了线性规划、非线性规划、动态规 划等传统优化方法研究了优化控制问题。上世纪8 0 年代随着计算机及相应技术 的发展和遥测远传设备的应用，进入了实用化阶段。目前在美国、英国、日本、 法国等地的一些城市己基本实现了简单的供水管网系统计算机优化调度管理， 并编制了一些调度管理软件，如英国的f i n e s e l l s 及美国的o p w a d l l 6 1 等 【1 6 ，1 7 。 国内许多学者从上世纪七十年代起开始尝试供水管网系统的模拟、优化设 计及水厂水质控制等。在供水管网系统优化调度管理方面也进行了一些有益的 探索和尝试，制作了一些应用软件，但由于国内设备条件及技术手段的限制， 能在供水的可靠性及经济性方面都较成功的实例尚不多见1 1 8 , 1 9 。国内学者，如 杨钦、严煦世、赵洪宾、俞国平等，均对水力建模进行过较深入的研究【2 0 , 2 1 1 2 在应用方面，国内目前仅在个别城市只是在监测方面得到实现，真正的计算机 调控还未实现。 管网建模主要包括宏观模型、微观模型。所谓宏观模型是一种高度概化了 的管两，仅仅包含泵站、水池或者水库和连结它们的当量管道，管网的流量被 集中在这些概化的管道中，管网管道间的连接细节都被忽略了。由于计算机处 理能力的限制，最初的管网建模及其应用研究都是基于宏观模型的。与宏观模 型对应的是管网微观模型，除宏观模型中的泵站、水池或水库外。微观模型内 还包括了泵站配置、关键阀门以及一定管径范围( 通常指大于某一特定管径) 的供水管道等，是对整个供水管网结构及信息的详细反映。通过水力平差计算 即可求出特定的水泵组合情况下的整个管网的水力状态数据。 基于宏观模型的优化控制方法更大程度地依赖于所建立的管网宏观模型的 准确性，大部分宏观模型都要求管网中泵站间的相互影响较弱，以有利于建立 泵站供水参数与管网测压点压力或水池、水库水位之间的函数关系睁“1 1 。”， 而实际管网的供水泵站及水库、水池等调节设施之间的相互影响必然存在甚至 可能非常复杂，此时的管网无法满足宏观模型所赖以成立的各种假设，无法保 证管网宏观模型的计算精度，从而在此基础上的优化控制方法的有效性也就无 法保证。回归模型是快速建立管网宏观模型的较为理想方式，它最大限度地忽 略了供水系统内部之间的结构关系【2 2 1 。但由于实际的城市管网处于不断地更新 与改造过程中，管网结构的变化必然要求回归模型的更新，因此影响了宏观模 型的适用性。 基于微观模型的供水系统动态建模方法的优势在于其更强的适应性和准确 性。管网的调整都不致于引起模型的重建，但对于管网微观模型，规模的确定 是至关重要的，过于细致的模型会大大增加计算负荷。同时，相对于宏观模型， 建立在管网微观模型基础上的管网优化控制问题也是庞大而复杂的【9 。“”。 传统的非线性优化方法在求解时存在一定程度的困难和弱点。 将新兴的智能优化算法( 比如遗传算法、模拟退火算法等) 引入基于微观 模型的供水系统优化控制方法中，可以克服传统非线性优化方法在解决这类问 题时所遇到的困难【2 3 】，但是遗传算法求解时又面临着计算效率问题，对于大规 模的复杂供水系统，算法效率的下降闯题会更为突出。同时，对于这类庞大复 杂问题，解的质量和求解稳定性问题还需要进一步提高。 j ! 塞三些盔兰堡圭星些些垫生 传统的研究大都基于管网的宏观模型，虽然宏观模型建模速度快，但也存 在欠准确和适应性差的问题。在计算机的计算速度和内存限制造成的瓶颈影响 减弱的情况下，应着重研究微观模型的动态建模方法及基于其上的优化调控策 略，以提高模型的通用性。同时，针对遗传算法、模拟退火方法等新兴的智能 搜索策略在全局寻优能力和实现方面的缺陷，研究更加先进的方法。加快计算 方法的通用化进程。 通过对以上静态、动态信息的模拟，就可以开始进行水力模拟计算，即平 差。联立 ( 1 ) 连续性方程劬+ q = o 式中，q 为节点f 的流量；q u 表示与节点舛目连接的各管段流量，f ，为其起、 止节点编号。上式表示流向任一节点的流量必须等于从该节点流出的流量，以 满足节点流量平衡的条件。 ( 2 ) 压降方程q q = 西鳐 式中届，所一一管段两端节点，- ，的水压高程： 以一一管段水头损失( m ) ； 岛一一管段摩阻： 一一管段流量( 珊3 s ) ； n = 1 8 5 2 2 ，根据所采用不同的水头公式而定。 1 3 ) 水泵特性曲线方程求解。 在传统的微观模型建模方法中，水力模拟计算是整个管网建模的核心，各 个分析模块都以平差计算为基础。为提高计算速度，采用了节点编号优化、枝 状管简化、步长因子的动态调整等优化方法。 4 1 2 2 城市供水系统动态建模存在的不足 传统的微观建模方法有几个不足之处： ( 1 )没有考虑系统状态变量的动态变化过程，计算结果是系统在某一扰动 下的准动态平衡； ( 2 )传统的非线性优化方法在求解时存在一定程度的困难和弱点，解的质 量和求解稳定性问题还需要进一步提高； ( 3 )算法实现过于复杂，尤其是对环形管网，不利于计算机自动化建模的 实现； ( 4 )反映系统动态变化过程的控制方程应当是状态空间方程，而传统建模 建立的是非线性系统方程。不但求解复杂而且与现代控制理论不接轨。无法利 用现代控制理论的研究成果。现代控制理论在系统状态估计、参数辨识和最优 控制等方面都有比较成熟的方法。而且微分形式的状态方程在求解稳定性和精 度上也远远优于非线性方程组。收敛性在理论上也更有保证； ( 5 )建立在传统建模方法上的供水系统模型不利于对其进行可测性和可 观性研础硎。 1 3 研究目的和意义 1 3 1 研究目的 本文的研究有以下几个目的： ( 1 )针对在传统的城市供水系统动态建模的计算结果是系统在某一扰动 下的准动态平衡，没有考虑系统状态变量的动态变化过程这一缺点，实现真正 意义的动态建模； ( 2 )运用键合图建模方法，改变供水系统建模过于复杂的问题，简化建 模方法，增加其建模准确性，减少建模过程中错误的发生； ( 3 )传统的非线性优化方法在求解时存在一定程度的困难和弱点，通过 引入精细积分法、增维方法、非线性迭代、双时间框架系统预处理等方法得到 稳定的数值解法； 北京工业大学博士后出站报告 ( 4 ) 得到系统状态空间方程形式的控制方程，与现代控制理论接轨。 1 3 2 研究意义 本研究将一种很有前途的工程系统动态建模方法键合图方法引入城市 供水系统动态建模中，不但实现了真正意义的动态建模，而且由于所得到的系 统模型的形式是状态空间方程，可以与现代控制理论接轨。不仅发展了城市供 水系统建模理论，还可将现代控制理论的研究成果应用到城市供水系统的研究 中，对于研究供水系统的可观测性、可控性具有重要的意义。同时，精细积分 方法的研究解决了键合图建模过程中非标准键合图建模过程复杂、不易计算机 自动建模的难题。预处理理论的研究更是为时变微分方程组积分的计算稳定性 找到了一个解决途径。总之，本文对城市供水系统建模的研究为后来理论的进 一步发展提供了前提和平台，将会推动优化调度理论的发展。 在供水管网管理上的意义有以下几点： ( 1 ) 将供水管网系统输入计算机，建立起管网系统动态水力模型，可以进行 供水管网系统的动态工况分析( 供水路径、管道负荷、供水区域等) ； ( 2 ) 供水管网图文数据库的建立，方便了资料的日常管理工作以及管网的维 护工作等； ( 3 ) 供水管网现状分析系统，使得调度人员、管理人员可以定性、定量地了 解管网在不同工况下的运行情况。对于大型供水管网系统而言，这一点尤其重 要； ( 4 ) 供水管网事故处理分析系统，可以迅速地给出最优关阀方案，准确地指 出管网应该关闭的阀门，用以指导抢修、维护； ( 5 ) 实用优化改扩建系统，给出最优管径； ( 6 ) 漏失控制、水泵优化调度及水质分析等。 在深入研究更为实用的供水管网动态建模的同时，需要进一步加强供水管 网监测、通讯等系统建设，开展在线实时优化调度模型与方法的研究，以早日 实现城市供水系统的科学信息化管理，节约供水耗能，为供水行业创造巨大的 经济效益。 6 1 4 研究内容和方法 1 4 1 研究内容 本文在全面了解和总结国内外同类研究状况和水平的基础上，针对现存的 主要问题和不足，密切结合现所具备的条件及我国供水建模技术领域动态特性 实际研究的需要，从理论和实践两方面就供水系统动力学动态建模技术中的一 些关键问题、较难解决的问题进行了较为系统的研究和探索，寻求切实可行的 解决方法。为建立通用性强、具有真正意义上的动态供水系统动态模型奠定基 础。 本文研究的主要内容包括： l 、城市供水系统在动态过程中功率流程的研究。基于键合图理论分析系统 在各种因素的作用下，在动态过程中功率的流向、汇集、分配和能量转换等情 况。然后得到系统的功率键合图。按一定的规程推导出系统的动态数学模型； 2 、非标准键合图的自动建模研究。非标准键合图的自动建模中存在非标准 结点公共功率变量无法直接产生而导致的建模过程复杂、建模难度大、建模过 程中容易发生错误等阀题。研究中探索并采用精细积分方法鳃决上述问题，并 且为解决建模中的刚性问题探索一条实用而有效的解决途径； 3 、对非线性状态空间方程的精细积分法的研究。虽然精细积分对于线性状 态空间方程可以得到计算机精度的解。但是对于非线性问题，会引起计算过程 的不稳定，原因是计算过程中引入了线性化的近似，通过迭代对系统时变参数 阵进行修正，可以得到稳定的收敛解： 4 、供水系统中可能出现的明满交替流问题的研究。供水系统发生明满交替 时，系统矩阵具有严重的刚性问题，使其求解不稳定。原因是系统时变参数有 突变发生。本研究利用精细积分和系统矩阵预处理相结合的方法来解决方程的 积分问题： 5 、在本文最后，对前述研究工作进行了总结，并对有关研究工作的开展作 了设想和展望。 7 1 4 2 研究思路和方法 键合图方法在工程动力学系统动态建模中得到广泛的应用。城市供水系统 属于工程动力学系统范围。因此，本文将键合图方法应用到城市供水系统动态 建模中，得到系统的状态空间方程。为了应用精细积分法对其进行积分，采用 增维法将非齐次系统改写为齐次系统，对非时变系统阵可以得到计算机精度的 解，从而解决了系统的剐性问题。但当系统阵是时变对，计算仍然不稳定，此 时通过对系统阵进行预处理，改变系统的特征值分布，可以得到稳定的解。下 面对这些方法进行详细的介绍。 动力学系统动态建模是指通过建立动力学系统的数学模型并在计算机上计 算，用以对系统的动态特性进行研究的过程。其研究的主要内容包括系统的稳 定性和动态过渡品质两方面。所谓稳定性是指动力学系统在平衡状态下，受到 扰动后，能否很快达到新的平衡态的性质。当扰动消失后，经过足够长的时间， 系统仍能达到新的平衡态，则称系统是稳定的。反之，称系统是不稳定的。过 渡过程品质则是用来对系统动态性能的优劣进行评价，研究多在时域内进行， 主要考察系统的瞬态响应特性，包括超调量、调整时问、峰值时间等一些性能 指标，并对此作出分析，提出减少负荷冲击、提高响应速度和控制精度的改进 措施l 矧。 动力学系统动态建模研究既可以是实质上的修正和改进，其目的在于找出 个现有系统不能令人满意工作的症结所在，并给出改进系统现状的解决措施 与方案；也可以是实质上的综合，即在设计阶段对相应的规划进行检验，以保 证设计出的系统具有良好的动态性能瞄】。 动力学系统动态建模包括建立系统动态数学模型、求解数学模型及计算结 果分析等几个步骤，其中建模是其前提和基础。建立数学模型的过程是否简洁 而清晰，所建立的数学模型是否准确、恰当地体现系统的动态特性，在很大程 度上决定着系统建模是否成功。良好的建模方法可以对所研究的动力学系统以 简洁的形式进行准确描述，并可方便地使之转化为计算机所接受的数学模型形 式 状态空间分析法是一种既适用于线性系统，也适用于非线性系统，并且能 完全表征系统动态行为，刻画出系统的内部结构的动态特性分析方法。它的形 成和发展在很大程度上得力于计算机技术的发展和普及。状态空间分析法是一 种时域分析方法，其采用一组称为状态变量的系统参数来描述一个系统的状态 和特性，当系统各状态变量的初始值及输入信号被确定后，系统在任意时刻的 状态即被唯一地确定。显然，状态空闻分析法的这一特点与系统动态过渡过程 研究的基本目的和实际需要相当的吻合，特别适合于求解动力学系统的动态响 应，且这种方法又易于在计算机上实现，这无疑为研究较复杂的动力学系统的 动态特性带来了很大方便。 系统状态方程的建立，通常采用解析法和功率键合图( p o w e rb o n db r a p h ) 法。解析法是根据系统的结构和各物理量之间的相互关系，依照力学定律建立 系统的状态空间方程，其理论分析工作量大，对于比较复杂的动力学系统，往 往因为考虑不周而造成建模错误。功率键合图法是一种与状态空间分析法密切 协调、非常适用于工程系统动态特性建模的有效建模工具。利用功率键合图来 建立状态空间方程，可以先根据一些规则，将所研究系统的动态结构绘制成功 率键合图，以图示方式清晰而形象地表达系统在功率传递过程中各组成部分的 相互关系，包括其功率流程、能量分配和转换、各作用因素的影响以及功率的 构成等，从功率键合图可以方便地推导系统的状态空间方程，即使对于比较复 杂的系统，这一过程也可以有条不紊地进行。所推导出的状态方程中的状态变 量一般均是研究系统中感兴趣的、有实际意义的各物理变量。由于功率键合图 在建立系统数学模型所具有的优点，本文的研究工作就是以功率键合图技术为 基础展开的，并在以后的章节中对其做了详细的介绍。 此外，在所建立的数学模型中还包含大量的系统参数信息，有些参数，如 流量系数、管道的糙率等往往难以精确给定。因此，有时就需要采用参数辨识 技术通过数据采集系统加以确定。将上面所述的建模方法与参数辨识技术相结 合即构成了一种所谓的“灰箱”建模方法。目前，该建模方法在其他领域已经 得到应用。 功率键合图自美国的h m p a y n t e r 教授于1 9 世纪5 0 年代末提出以来【2 刀， 经过几十年的发展和完善，其基础理论已经相当成熟。因其很适合用来描述液 压系统的动态特性，所以作为一种新的建模方法，它导致了液压仿真软件的一 个重要分支即基于键合图的液压仿真软件的出现。第一个出现的采用键合图建 模技术的仿真软件是美国c r o s c n b c r g 等人于1 9 7 1 年开发的e n p o r t f 2 8 刀l ， 9 它是一个面向动力系统的通用仿真软件。但早期的e - ! n p o r t 软件需要在大容量、 大型计算机上运行，并且对非线性系统的解析存在着若干限制，影响了其推广 使用。日本油空压学会从1 9 8 3 年到1 9 9 2 年阋，研究开发了动力学系统仿真软 件b g s p l 3 0 , 3 ”，可以对机、电、液动力系统的键合图做数学模型处理、数值模拟 计算与仿真结果显示。它尤其适合于非线性机、电、液综合流体动力系统的解 析。但用户在使用b g s p 时，需要先将流体动力系统转换成键合图，并要严格 遵循b g s p 的格式制作动力系统仿真输入程序，上述缺点在一定程度上妨碍了 b g s p 的进一步推广和使用。总之，采用键合图建模方法的液压仿真软件具有 物理机理清楚，适用于多能域共存的系统，但需要用户掌握键合图方法，这对 绝大多数用户来说起点要求过高，这是影响该类软件推广使用的一个较为不利 的因素。 此外，在自动建模过程中存在的技术难点一一非标准键合图的自动建模。 大连理工大学 3 2 - 3 4 1 对此进行了深入的研究，探索并采用伪状态变量的方法，有 效地解决了非标准结点公共功率变量无法直接生成而导致建模过程复杂的问 题。通过建立伪状态变量耦合关系表及相应的判定准则，借助m a t l a b 符号工具 的符号运算功能，较好她实现了耦合伪状态变量方程组的解耦处理，从而为在 建模时避免刚性问题的产生开辟了一条实用而有效的途径。但是，首先需要判 断何处的键合图需要简化，而不致引起刚性，而且还需要复杂的解耦运算，增 加了建模的难度。再者，模型的简化处理可能对描述准确性带来影响。 因此，本文从系统状态方程积分算法上寻求解决途径。引入精细积分方法。 精细积分法1 3 司易于处理一阶常微分方程组，其实常微分方程组的理论也是以一 阶方程为其标准型的。精细积分法对时间历程的发展型方程可以求得在计算机 上的“精确解”。与精细积分法相比，以往的逐步积分都是差分类的近似，谈 不到计算机上的精确解。故在数值计算中总会面临一些数值计算困难，如稳定 性问题、刚性( s t i f f ) 问题等。这些数值问题都是因差分近似带来的。差分法采 用全量积分，故其步长取得特别小也有不利之处，舍入误差和累积误差的存在 会使其精度丧失殆尽。精细积分也有一定程度的近似，但其误差已经在计算机 浮点数表示精度以外，所以说在合理的积分步长范围内精细积分不会发生稳定 性和刚性问题的。以精细积分为基础，用变系数方程、非线性动力方程等作数 1 0 第1 章绪论 值计算，还要另外引入某种近似，使系统又会出现稳定性问题和刚性问题。本 研究采用系统状态空间方程预处理的方法，使之得到很好的解决。 在c f d 中，时间步进法已成为求解定常问题最流行的方法，它的魅力在于 只要初边值问题保持适定，人们可以自由地改变控制方程的形式，而定常解不 受影响。而在时间相关方程中，由于马赫数和雷诺数的影响，系统表现出很 强的刚性。对于e u l e r 方程( 觑= o o ) ，刚性的程度取决于特征方程的条件数 ( c h a r a c t e r i s t i cc o n d i t i o nn u m b e r ，定义为最大特征速度和最小特征速度的比 值) ，在马赫数膨- o 或者肘一l 时，条件数由于最小特征速度太小而趋于无穷 大，这使任何时间步进方法的收敛性大大降低【3 7 1 。另外，低马赫数时，标准的 离散方法不能保证计算精度。在n s 方程中，粘性耗散尺度叠加到波传播时问 尺度上，产生更强的刚性。 预处理方法处理方程的目的在于平衡方程内在的时间尺度，通过改变时间 导数，使得用数值方法求解方程时能够更有效、更准确。最一般的预处理方法 通过在方程的时间导数前乘一个正定的矩阵，从而改变了时间相关法的系统瞬 态时间特性，但是并不影响方程的定常解。至少，这一结论在分析偏微分方程 时是成立的。 许多学者尝试求解全马赫数范围内的粘性和无粘性流动。求解定常问题最 常用的方法是时间相关法，由于对瞬态信息不感兴趣，因此可以应用加速收敛 的技巧来快速得到收敛解，尽管它破坏了方程的时间精度。c h o r i n 的人工压缩 性方法被认为是对预处理方法最早的贡献【3 扪。由于不可压缩流动的连续方程没 有时间导数项，为了克服这一困难，c h o r i n 在连续方程中添加了压力导数项， 同时引入了自由的参数芦，经过这样的处理后，得到对称的双曲型方程。方程 是适定的，可以用传统的求解双曲型系统的方法一时间步进法来求解。后来， t u r k e l 拓展了这一概念【3 9 1 ，将压力导数项添加到动量方程中，并且引入一个自由 参数口，这样所得的系统不再是对称的，但可以通过改变方程的变量来达到对 称的目的。t a r k e l 的预处理矩阵只适用于低马赫数流动。c h o i 等构造了与 c h o r i n - t u r k e l 矩阵相似的适用于刚e r 方程的预处理矩阵【4 0 1 ，其研究结果表明此 类型的预处理矩阵在低马赫数计算时具有良好的收敛特性，后来他们又将其推 广至n s 方程的计算中。最早适用于全马赫数流动计算的预处理矩阵是i 圭 p e y r e t 设计的四参数预处理矩阵1 4 l j 。 后来，v a nl e e r 、l e e 和r o e 通过寻找多参数的组合，推导出适合于e u l a r 方程的最优化预处理矩阵l 4 2 ，也就是说在全马赫数范围内取尽可能低的条件数。 他们的结果表明，取得的条件数可以从一维的1 o 到三维时的 ，。一 l 1 一m i n ( m 2 ，m 4 ) 。当预处理和合适的空f - j 离散方法结合时，最优化预处理 ， 、， 矩阵能在全马赫范围内得到预期的收敛加速效果，同时可以保持低马赫数时的 求解精度。这些作者的另一个贡献在于他们运用波在流体中的传播机理和数值 分析方法，发展了一套预处理矩阵的设计方法。运用这一方法，可以把存在的 预处理矩阵加以扩展，使得它在全马赫范围内都有效。 最优化的预处理矩阵的显著特点之一在于不管是偏微分方程还是离散方程， 它都可以使e u l e r 方程具有和标量方程一样的性质。这便得方程的求解可采用显 式多步的时间推进求解，从而可以阻尼各种高频误差分量，就象在多重网格中 要求的那样。 至于适用于n s 方程的预处理矩阵，1 9 9 3 年以前并不多见，但近几年有较大 发展。c h o i 和p a n d y a 等人发展的矩阵考虑了雷诺数的影响【4 3 删。o o d f i e y 等人则 独辟蹊径，他们通过将e u l e r 预处理矩阵和离散方程的粘性无粘项的块雅可比矩 阵( b l o c k - j a c o b i ) 结合起来，从而组成- f n a v i e r - s t o k e s 方程预处理矩阵【4 5 】。 最后，p i e r c e 等人对离散的n - s 方程运用块雅可比预处理矩阵，这相当于块 雅可比松弛删。这种预处理方法可以很好地阻尼高频误差分量，但是它并不改 变系统的条件数，同时低马赫数计算时不能保证精度。 数值试验表明，上面所列出的预处理矩阵产生的波的形式都大同小异，而 收敛性却相差很大。因为波的形式只是简单地决定于行波解的特征值，这表明 预处理系统的其它一些特性( 如特征向量) 也是很重要的。预处理系统缺乏对称性 和正定性也可能成为一个问题，因为这有可能影响解的稳定性。探究最优化的 预处理矩阵可以发现，一组“健康”的特征向量是非常重要的，它们不能偏离 正交太多。如能得到完全正交的特征向量是最理想的。 一个困扰e u l e r 预处理矩阵的主要问题是在驻点区域，预处理矩阵经常变 成奇异矩阵，这主要是由于特征向量的蜕化造成的，另外也与预处理系统对流 动角敏感有关。 1 2 1 5 本章小结 本章主要阐述了本课题研究的背景、现状和存在的问题；就本课题研究的 主要内容方法进行了说明，并且给出了本课题研究思路和技术路线，强调了课 题研究的目的与意义。 第2 章动力学系统基于键合图的建模技术 内容提要：介绍了功率键合图的研究扣发展历史，并将其应用到城市供水 系统的动态建模中研究了城市供水系统中各组成元件的键合图表示。在物理 上解释了其功率流的构成、分布及其调整。最后，得到系统的动态状态空间方 程，输入变量，状态变量及输出变量。建模过程物理意义清晰，有规律可循， 减小了建模难度。 2 1 功率键合图的理论基础 功率键合图，简称键合图，是一种用来描述工程系统能量结构的图示表示 方法。它以一种向量的形式给出了复杂系统的简练描述，极大地提高了人们对 工程系统行为的洞察力。这种方法于1 9 5 9 年由美国的h m p a y n t e r 教授提出，尔 后由d c k a m o p p ，r c r o s e r n b e r g 、j u t h o m a 、p c b r e e d v e l d 和p d r a n d f i e l d 4 7 - 5 1 1 等将其逐步发展完善和推广使用，使之成为一种可统一处理多种 能量范畴工程系统的十分有效的动态建模和分析方法。目前，功率键合图方法 已在机械、热力学、生理学、化学、流体、生物学、电子及磁系统等工程技术 领域的动态分析与控制研究中得到了广泛的应用。特别是近年来，其应用领域 已经延伸到了农业、太阳能和核能系统。 功率键合图方法的核心思想是认为一个工程系统的动态过程既是其功率流 在特定的激励作用下重新分布与调整的过程，以一种统一的方法对系统各部分 功率流的构成、转换、相互间逻辑关系及物理特性等进行描述即可实现对该系 统模型的充分且完备的定义描述。这种方法为分析研究人员进行系统动态特性 分析与建立数学模型提供了极大的方便，一方面，它对功率流描述上的模块化 结构与系统本身各部分物理结构及各种动态影响因素之间具有明确而形象的一 一对应关系。便于理解其物理意义；另一方面，它与系统动态数学模型即状态 空间方程之间又存在着其他方法无法比拟的一致性，可以根据系统的功率键合 图有规律地推导出相应的数学模型。 在具体的表达方式上，键合图方法将各类工程系统所涉及到的各种物理参 量，从功率流的角度出发，统一归纳为四种系统变量：势、流、动量和变位。 1 4 同时，采用若干基本构成元素，诸如功率键、作用元、源、结点、变换器和回 转器等来表征系统基本物理特征和功率转换和守恒的基本连接方式。所定义的 系统变量和构成元素都具有特定的物理含义并由一组专门的图形或字母符号来 标识。键合图方法本身具有一套严密的描述交换规则，这些规则同各类典型物 理特性及一些普遍规律之间具有高度的协调一致性。正因如此，它为系统动态 模型的准确定义描述及据此有规律地推导状态方程提供了一条十分有效的途 径。键合图这种数值建模建立规则的特点便于计算机自动生成，因此现今已涌 现出许多基于键合图技术的自动建模软件如e n p o r t i s 2 1 、b g s p 【5 3 1 、2 0 - s i m 5 4 l 、 c a m p c , t s s 等，这些优秀软件的出现大大促进了键合图技术的推广和应用。 2 2 功率键合图的基本构成元素 在各类工程系统中，虽然构成能量的物理参量因系统的不同而具有各不相 同的表现形式，但从能量构成的角度出发，它们大致可以分为两类：一类参量 具有“力”的特征，如压力、电压、力、扭矩；而另一类参量具有“流”的特 征，如流量、电流、速度、角速度。键合图按照这种本质特征将其统一归纳为 两种系统变量：势变量啪和流变量徘) 。势变量和流变量的标量积称为功率。故 势变量和流变量又称为功率变量。此外，分别将势变量c ( t ) 和流变量坟t ) 对时间的 积分，