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冲激函数匹配法在信号与系统教学中的应用研究 文/徐斌 【摘要】信号与系统中的系统时域分析时，系统响应在0时刻具有不连续性的特点。冲激函数匹配法是0-状态（起始状态）求0+状态（初始条件）的有效方法之一。针对目前教材和教学参考书中关于冲激函数匹配法的介绍不系统，学生对该法的学习感到困难的问题。本文对冲激函数匹配法在求解系统响应时的应用进行系统研究。 关键词冲击函数；教学；信号与系统 1.引言 信号与系统课程中，时域经典方法求解线性时不变系统响应比较繁琐，很多教材淡化了该部分内容。如果不将时域求解系统响应上升到物理层面，对后面三大变换的学习和理解有困难。系统响应求解离不开系统初始状态（0-状态）到初始条件（0+状态）的跳变这一问题，而解决这一问题的最有效方法即为冲激函数匹配法。该方法是一种数学的通用解法，具有广泛应用价值。但笔者在多年教学中发现，关于冲激函匹配法的介绍都比较繁琐，逻辑分析不严谨，导致教师对该法的教和学生的学均感到困难。一些教材为了绕过这一教学障碍，淡化甚至回避这一内容，因此如何让冲激函数匹配法的教学浅显易懂在信号与系统课程教学中具有重要意义。 2.系统响应的划分和初始条件的跳变情况 2.1零输入响应 零输入响应是激励为零，起始状态单独作用时引起的响应分量。既然输入为零，那么，系统就没有冲激或者阶跃信号作用。因此，系统零输入响应rzi(t)及其各阶导数项在零时刻都不会跳变，rzi(0+)=rzi(0-)。 2.2零状态响应 零状态响应是初始状态为零，单独由激励源作用时引起的。既然起始状态为零，那么rzs(0-)=rzs(0-)=rzs(n)(0-)=0。此时，系统响应及其各阶导数在零时刻可能会发生跳变。 2.3全响应 求全响应时，系统初始状态不为零，激励源也不为零，因此系统响应在0时刻可能有跳变，但该跳变与求零状态响应时的跳变不一样，是在初始状态(不为零)的基础上跳变。 3.冲击函数配备法的数学描述 如果系统的数学模型抽象为 r(t)+2r(t)=(t)（1） 由方程可知，右端(t)不是属于r(t)就是属于2r(t)。由于讨论的是系统响应从0-状态（起始状态）求0+状态（初始条件）的跳变，因此将讨论区间定义在邻域0-,0+上。不妨假设右端(t)属于2r(t)。既然r(t)含有(t)，那么r(t)就含有(t)；但是方程右端又没有(t)，为了平衡r(t)中的(t)，r(t)中应该含有负的(t)，这样r(t)中就必须含有(t)。同样的道理，方程右端又没有(t)，为了平衡r(t)中的(t)，r(t)中应该含有负的(t)，这样r(t)中就必须含有?苁(t)。这样循环下去，就成了一个死循环。 显然上述假设是不成立的，即右端自由项(t)应该属于r(t)。定义函数u(t)为函数u(t)上截取区间0-,0+这一部分。既然r(t)中含有(t)，那么r(t)就应该含有u(t)，方程右端又没有u(t)，所以r(t)中必有与之相消的负u(t)；这样的话，r(t)中应该还有u(t)的积分项tu(t)；二方程右端又没有tu(t)，所以也应该r(t)中必定有与之相消的负tu(t)；按这样分析下去的话，好像也陷入了死循环。但是我们是在区间0-,0+上讨论系统响应r(t)及其导数项在零时刻的跳变情况，而函数t及其各次幂函数在该区间上连续，且恒等于零。因此tu(t)及其后面的各项不会影响r(t)及其导数项在零时刻的跳变情况。因此，只需要讨论到u(t)这一项即可，函数在零时刻有没有跳变取决于其表达式是否存在u(t)，跳变的大小等于u(t)的系数。 针对上述方程，不妨设 r(t)=a(t)+bu(t)（2） 对上式积分得 r(t)=au(t)（3） 由于跳变量取决于u(t)的系数，因此系统响应r(t)就有a个单位的跳变，r(t)有b个单位的跳变。将（2）和（3）式代入（1）式比较系数得a=1,b=-2，那么r(0+)=r(0-)+1;r(0+)=r(0-)-1。 4.实例分析 假设某一系统初始状态r(0-)=1;r(0-)=0其微分方程表示如下： r(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2e(t)（4） 求激励e(t)=u(t)，时系统全响应及零输入响应和零状态响应分量。 先求零输入响应。激励e(t)=0，则： rzi(t)+3rzi(t)+2rzi(t)=0（5） 其解为rzi(t)=Ae-t+Be-2tu(t)，因为没有激励作用，其响应及其导数项在零时刻不会跳变。则有rzi(0+)=rzi(0-)=1；rzi(0+)=rzi(0-)=0。将该初始条件代入（5）式可求得 rzi(t)=2e-t-e-2tu(t)（6） 再求零状态响应。此时系统状态r(0-)=r(0-)=0将激励e(t)=u(t)代入（4）式得 rzs(t)+3rzs(t)+2rzs(t)=u(t)+2(t)（7） t0时，上述方程的通解为： rzs=Ce-t+De-2t+0.5u(t)（8） 设 rzs(t)=a(t)+bu(t)rzs(t)=au(t)rzs(t)在零时刻连续（9） 将（9）式代入（7）式比较系数得a=1,因此rzs(0+)=rzs(0-)+a=1。rzs(0+)=rzs(0-)+0=0将此条件代入（8）式得，其零状态响应： rzs(t)=0.5e-2tu(t)（10） 求全响应时。微分方程的形式（8）式完全相同，因此其通解的形式如（8）式相同，全响应初始条件是在r(0-)=1;r(0-)=0的基础上跳变，因此，r(0+)=r(0-)+0=1;r(0+)=r(0-)+a=1将该条件代入（8）式得 r(t)=2e-t-1.5e-2t+0.5ut(t)（11） 5.总结 经典法是分析系统响应的基本方法，也是学习其他方法的基础。本文运用冲击函数匹