（光学工程专业论文）基于聚合物集成光波导的mzi传感芯片的研究.pdf

摘要 相对于温度传感( 热光调制器) 和电压传感( 电光调制器) 应用，将聚合物作为无 源波导材料用于集成光波导化学传感( 倏逝波相位传感) 是个新的尝试。与其它光波导 材料相比，聚合物降低了材料及器件的制各成本；对聚合物敏感层具有相对更好的固定 作用；有利于在传感器上同时集成调制器( 电光、热光) 进行相位微调。目前，降低器 件成本已成为加速集成光波导化学传感器发展和实用化的迫切需要，研究聚合物光波导 化学传感器具有重大意义。 基于m z i ( m a c h z e h n d e ri n t e r f e r o m e t e r ) 传感结构的巨大发展潜力，a r r o w ( a n t i r e s o n a n tr e f l e c t i n g0 p t i c a lw a v e g u i d e ) 波导的突出优点以及折射仪应用的广阔前 景，本文对聚合物a r r o w 结构的m z i 折射率测量芯片进行了研究。 m z i 两臂光路间的相位差对于m z i 传感器至关重要，因此它们各自的相位值必须 通过精确的模式分析来确定。论文首先对泄漏模式分析方法进行了归纳和实例比较，将 k u m a r 改进方法和非均匀有限差分法推广运用于泄漏损耗的计算中，并利用这些方法对 聚合物脊形a r r o w 结构进行了完整的模式分析，详尽描述了泄漏损耗、灵敏度、与光 纤的耦合损耗、解耦合距离和最小弯曲半径的计算方法和分析结论，给出了波导结构的 设计步骤和优化结果；然后针对m z i 原理上存在的量程和灵敏度相互制约的问题，采 用双m z i 结构实现双精度测量，对分束器结构进行优化，根据量程以及工作点位置要 求对a r r o w 波导高折射率覆盖层厚度和参考折射率进行了选择确定，给出了设计步骤 和计算曲线；之后研究了含氟聚酰亚胺材料的制备、成膜工艺，解决了气泡、开裂、表 面粗糙等薄膜表面质量问题，制备出了厚度和折射率均匀的聚酰亚胺薄膜，提供了全面 的实验分析结论；最后进行了含氟聚酰亚胺脊形a r r o w 结构m z i 传感芯片的实验制 作，获得了有关含氟聚酰亚胺光波导器件制作的多种工艺剥离法制各金属掩膜、i c p 刻蚀工艺和s i 表面增粘处理工艺等的实验研究结论。 关键词：传感器，含氟聚酰亚胺，泄漏模式分析，a r r o w ，m z i a b s t r a c t t h ea p p l i c a t i o no fp o l y m e r s ( a sp a s s i v ew a v e g u i d em a t e r i a l s ) t oi n t e r g r a t e do p t i c a l s e n s i n g ( e v a n e c e n tw a v es e n s i n g ) i san e wt r y a sc o m p a r e dw i t ht h a ti nt h e r m a ls e n s i n g u s i n gt h e r m o - o p t i c ( t o ) m o d u l a t o r s o r v o l t a g es e n s i n g 【u s i n ge l e c t r o o p t i c ( e o ) m o d u l a t o r s c o m p a r e dw i t ho t h e rm a t e r i a l s ，p o l y m e r sh a v em a n ya d v a n t a g e ss u c ha s l o w c o s t ，e a s yf a b r i c a t i o n ，b e a e r f i x a t i o nt ot h e s e n s i n gp o l y m e rf i l m ，a n dt h ep o t e n t i a l f o r i n t e g r a t i n gw i t hat o o re om o d u l a t o rf o raf i n et u n i n go fp h a s e r e d u c i n gt h ec o s ti s c u r r e n t l yo fg r e a tn e e dt oa c c e l e r a t et h ed e v e l o p m e n to fi n t e g r a t e dc h e m i c a ls e n o r s ，a n dt h e s t u d y i nt h ep r e s e n tt h e s i si sp a r t i a l l yf o rt h i sp u r p o s e i nv i e wo f t h ep o t e n t i a lo f m z l ( m a c h - z e h n d e ri n t e r f e r o m e t e r ) s e n s i n gs t r u c t u r e s ，u s e f u l f e a t u r e so fa r r o w ( a n t i r e s o n a n tr e f l e c t i n go p t i c a lw a v e g u i d e ) a n dp r o m i s i n gf u t u r e a p p l i c a t i o n so fr e f r a c t o m e t e r s ，m z ir e f r a c t o m e t e r sb a s e d o n p o l y m e r i ca r r o w s t r u c t u r ea r e s t u d i e di nt h i st h e s i s t h e p h a s ed i f f e r e n c ei nt h et w o a r m so fam z ii sv i t a lf o ram z i - b a s e ds e n s o r , a n dt h e p h a s e ( o f e a c hl i g h t p a t h ) s h o u l db ed e t e r m i n e dw i t ha na c c u r a t em o d a l a n a l y s i s i nt h ep r e s e n t t h e s i s ，t h em e t h o d so fl e a k ym o d ea n a l y s i sa r es u m a r i z e da n dac o m p a r i s o ni sg i v e nw i t h s o m ee x a m p l e s t h ek u m a r sm e t h o da n dt h ef i n i t ed i f f e r e n c em o d e s o l v e r ( w i t hn o n u n i f o r m g r i da n dp m lb o u n d a r yt r e a t m e n t ) a r ee x t e n d e dt oc a l c u l a t et h el e a k yl o s s ar i ba r r o w s t r u c t u r eb a s e do nap o l y m e r i cm a t e r i a li sa n a l y z e d ，a n di t sc h a r a c t e r i s t i c ss u c ha st h el e a k y l o s s ，t h es e n s i t i v i t y , t h ec o u p l i n gl o s st o a no p t i c a lf i b e r , t h ed e c o u p l i n gd i s t a n c ea n dt h e m i n i m a lb e n d i n gr a d i u sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l ，a n dt h eo p t i m i z e dr e s u l t sa r eo b t a i n e d t o s o l v et h ei n t r i n s i cp r o b l e mo ft i a d e o f fb e t w e e nt h es e n s i t i v i t ya n dt h es e n s i n gr a n g ei na s e n s o rb a s e do na s i n g l em z i ，ad o u b l e m z is t r u c t u r ei sa p p l i e dt or e a l i z ead o u b l e - p r e c i s i o n m e a s u r e m e n t a c c o r d i n g t ot h er e q u i r e m e n t sf o rt h es e n s i n gr a n g ea n dt h eo p e r a t i n gp o i n t ，a n a p p r o p r i a t et h i c k n e s so ft h eo v e r l a y e ra n dt h er e f e r e n c er e f r a c t i v e i n d e xa r ec h o s e n t h e f l u o r i n a t e dp o l y a m i ea c i ds o l u t i o na n df i l mm a t e r i a la r et h e np r o d u c e d ，a n dm a n ys u r f a c e q u a l i t yp r o b l e m ss u c ha sa i rb u b b l e s ，c r a c k sa n ds u r f a c er o u g h n e s sa r cs u l v e d p o l y m e rf i l m s w i t hu n i f o r mt h i c k n e s sa n du n i f o r mr e f r a c t i v ei n d e xa r eo b t a i n e d f i n a l l y , am z i r e f r a c t o m e t e ri sf a b r i c a t e da n dm a n ye x p e r i m e n t a lc o n c l u s i o n sa b o u tp o l y i r n i d e p r o c e s s t e c h n i q u e s ( s u c ha sm e t a lm a s kf a b r i c a t i o nw i t l ll i f t - o f fm e t h o d i c pe t c h i n ga n ds u r f a c e a d h e s i o ne n h a n c i n gw i ms i l i c o nw a f e r ) a r e g i v e n k e yw o r d s ：s e n s o r ，f l u o r i n a t e dp o l y i m i d e ，l e a k ym o d ea n a l y s i s ，a r r o w ：m z i 1 1 一 浙江大学博士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 现代信息技术是由信息的采集、传输和处理技术组成，因此传感器技术、通信技术 和计算机技术成为信息技术的三大支柱。传感器是新技术革命和信息社会的重要技术基 础，是现代科技的开路先锋。随着现代测量、控制和自动化技术的发展，传感器在各个 领域中的作用日益显著，并成为决定系统质量的关键性器件。现代的计算机技术和通信 技术由于超大规模集成电路的飞速发展而已经充分发达后，不仅对传感器的精度、可靠 性、响应速度、获取的信息量要求越来越高，还要求其成本低廉且使用方便。因此世界 发达国家都在加快对传感器新技术的研究与开发。 传感器是将各种非电量( 包括物理量、化学量、生物量等) 转换成便于处理和传输 的另一种物理量( 一般是电量) 的装置。由于并非所有的非电量都能利用现有的手段直 接变换为电量，因此需要将被测量预先变换为另一种易于变换的量。光波波长比波长最 短的无线电波还要短四个数量级，从而具有更大的传递信息和处理信息的能力，并且各 种光电探测设备( 如光电二级管、功率计、频率计、光谱仪、c c d 摄像机等) 应用普 遍，故而光常被作为敏感信息的载体而成为过渡物理量。以光学测量为基础的光学传感 器发展迅速，被广泛应用于各种领域。 光纤传感器是光学传感发展中的重大突破。由于光纤不仅可以作为光波的传输媒 质，而且其传输光波的特征参量( 振幅、频率、相位、偏振态等) 因外界因素( 如温度、 压力、磁场、电场、位移等) 的作用而问接或直接地发生变化，从而可用来探测各种信 息。光纤传感器与传统光学传感器相比具有许多优点：灵敏度高，结构简单、体积小、 重量轻、耐腐蚀、抗干扰、带宽大、便于实现遥测和分布式传感器等【1 1 【2 1 。发展至今， 基于各种光学性质和光学现象的光纤传感器( 包括光纤光栅传感器) 已被应用于许多领 域，其中在应力、压力、温度、电流和化学气体传感方面的研究最为广泛，目前已有一 些商业化产品。然而，对于高灵敏度的应用需求和系统集成的发展趋势，光纤传感器则 失去优势。 集成光学技术为光学传感开辟了新的发展方向f 3 】_ f 8 o 集成光学利用类似于半导体集 成电路的方法，把光学元件以薄膜形式集成在同一衬底上形成集成光路，它解决了传统 光学系统暴露出的体积大、稳定性差、光束的对准和准直困难等问题。集成光波导传感 器是集成光学技术的一个重要应用领域，它的感应和传递信息的媒质是直接制作在芯片 第一章绪论 上的介质光波导。与光纤传感器相比，集成光波导传感器具有以下优势：( 1 ) 更好的稳 定性和可靠性，有利于在恶劣环境下使用；( 2 ) 通过波导材料的灵活选择和结构的优化 设计，可获得更高的灵敏度；( 3 ) 通过单片集成，可实现多信道同时测量以及系统微型 化和多功能化，并降低功耗；( 4 ) 通过与微机械、微电子技术相结合( m o e m ) 1 9 - 1 1 2 1 , 可提供新的传感应用和集成潜力：( 5 ) 通过集成工艺实现规模化生产，可降低成本。可 见，集成光波导传感器是光纤传感器的有利补充，它不但继承了光纤传感器的优点，而 且还更有利于实现多功能集成、紧凑封装和批量生产，以及拥有小型轻量、稳定可靠、 低耗高效等其他结构传感器无法比拟的优势，是新一代微型化、集成化和智能化传感器 系统的重要组成部分。 当传感器变得更为精巧并且对其计算能力的集成度要求更高时，集成光波导传感器 的优势就会越来越明显，其应用领域也会更加广泛口3 】- 【2 。例如在航空领域，系统质量 的减小与传感器数量、数据传输量的增加成为矛盾，从而要求传感器具有多功能、大带 宽、高可靠性和极强的抗电磁干扰的能力，此时，集成光波导传感器和光纤数据传输相 结合则是最好的选择。在药物投递、基因研究和材料合成及化学分析等应用中，集成光 波导传感器由于具有高灵敏度和多信道同时探测的发展潜力，因此也得到了广泛研究。 近年来，随着环境保护、生命科学和工业控制的发展，人们对具有高分辨率、宽测量范 围、可快速测量和远程控制、价格便宜的微型生物化学传感器提出了更为迫切的需求， 这无疑是对集成光波导传感器的发展起到了巨大的推动作用；同时各种新机理、新工艺 及新材料的蓬勃发展，特别是光波导器件在通信领域中的不断实用化，也为集成光波导 传感器的发展创造了极为有利的条件。可以预见集成光波导传感器的广阔应用前景，其 发展潜力是不可估量的。 当前，国际上很多国家正在对用于各种用途的集成光波导传感器进行研制，主要有 压力、电磁场1 4 1 、流型15 1 、加速剧16 1 、角速度和生物化学传感器【18 】【2 3 1 等。我国的 部分研究机构也开展了各种类型的集成光波导传感器的研究工作【2 4 】- 【3 l 】，并取得了进展， 其中最典型的是长春光机所与物理研究所研制出的集成光波导型的电磁场传感器 2 9 】和 清华大学研制的光波导陀螺仪【2 ”。在生物化学传感方面，我国开展的研究相对较少，其 主要原因是集成光波导传感器仍然具有较高的研制成本，同时，由于国内在机器人和生 物芯片方面的研究也才刚刚起步，因此目前还没有特别需求。 集成光波导传感器的广阔应用前景说明对其进行研究具有重大实际意义和实用价 值，它未来的发展同时给了我们机遇与挑战。因此我们应该跟踪国外传感器最新的技术 发展，采用新原理、新材料和新工艺，加大对集成光波导传感器技术研究，使我国传感 器技术与外国差距缩短，为我国的国民经济发展和国防现代化建设作出应有贡献。目前， 化学传感器在医药诊断、环境监测、食物质量控制等方面有着迫切需求，集成光波导传 浙江大学博士学位论文 感器【3 2 l 一 3 4 】的各种优点使它极具吸引力，本文因此开展了这方面的研究，并重点介绍了 我们在集成光波导折射仪的研究中所作出的努力。 1 2 集成光波导化学传感器 通常情况下，样品材料的化学反应过程或者是它的化学特性( 如浓度、湿度、p h 值等) 的变化，会引起折射率、吸收系数、反射系数、荧光频率或散射光谱等光学特征 参数的变化，因此当样品材料与光波之间发生作用时，表征光波的特征参量振幅、 频率或相位会受其影响而改变，通过对光波特征参量的测量，就可以获知样品材料相应 的特征信息。图1 1 给出了光波导化学传感器的基本原理框图。 图l - l 光波导化学传感器的基本原理框图 目前，大部分集成光波导化学传感器都是基于倏逝波原理1 3 】【3 【3 6 1 ，原因是倏逝波为 介质光波导的固有特征，它对光波导材料本身没有任何特殊性质的要求，也不会产生任 何负面效应，同时还具有无源、灵敏度高、简单易实现等优点，因此是解决目前化学传 感技术中存在的精度低、可靠性差、操作复杂和成本高等问题的有效途径。 1 2 1 倏逝波原理 当在两介质表面发生全反射时，光波不是绝对地在界面上被全部反射回第一介质， 而是透入第二介质很薄的一层表面( 约一个波长) ，并沿界面传播一段距离( 古斯一汉 欣( g o o s - h a n c h e n ) 位移，波长量级) ，最后返回第一介质。透入第二介质的这个波， 称为倏逝波。因此，当真空波长为a 的光波在覆盖层、波导层和衬底层折射率分别为， 疗r 和仇，厚度为h 的介质光波导中传输时，其( 导模) 光能量不会被完全限制在波导区 之内( 见图1 - 2 ) ，而是略微渗入覆盖层和衬底一定深度磊和露。倏逝波是按指数函数 衰减的，其分布可以表示为： 第一章绪论 e ；4e 冲c - xs d j ， ，= f 宝雾惹屡 d 。；( z 2 n ) n2 一w 玎“2 ( 1 一1 ) ( 1 2 ) 劾倏逝波 、z 飘 k 覆盖层i l c 幼k 、 、 ) 波导层n f ，妻气燮 妙 r衬底层n 。 图1 - 2 光波导的倏逝波分布 其中，4 表示光场在波导界面处的振幅大小，而是离开界面的距离，为导模的等 效折射率，其大小取决于光波导的结构参数( 波导各介质层的厚度和折射率) 、光波波 长、偏振模式( t e 或t m ) 和模序数。可见，倏逝波将样品材料与导模等效折射率 联系起来。样品材料的折射率、吸收系数或反射系数的变化就会引入等效折射率的改变 量，进而使待测材料作用后的导模光场e 和作用前光场e 之间具有以下关系： e ( x ，y ) = e ( x ，y ) e x p ( j t c o 工) ( 1 3 ) = e ( x ，y ) e x p ( 一茁o 。l ) e x p ( j x o ，。三) 式中= 2 n - 2 是真空中的波数：三为光波导和待测材料间的相互作用长度；一m 。和4 。 分别为d 的实部和虚部。由上式可知，一 k 上即为导模光波的相位改变量，a n i , n l 表 示了光波振幅的衰减或增益。因此，最终被体现在导模相位和振i 幅的变化上。 总之，利用导模倏逝波“感知”波导表面附近样品材料特性的变化，从而改变光波 的相位或振幅，然后利用合适的光路( 通常转换为光功率的形式) 和电路进行探测而得 到样品材料的信息，这就是倏逝波传感原理。 1 2 2 倏逝波传感模型 实际的传感器件中，样品材料和导模倏逝波的相互作用方式并不完全相同，通常可 简化为两种模型：均匀传感和表面传感【蚓( 见图1 3 ) 。 d 浙江大学博士学位论文 均匀传感是指样品材料均匀分布在波导表面，且分布厚度远大于导模倏逝波的穿透 深度，导模的可认为是由样品材料覆盖层折射率的均匀变化血。引入。表面传感则 是指样品材料分子受到吸收或束缚作用，在波导表面形成很薄一层附加层f ( 厚度d ，远 小于穿透深度，折射率即，随厚度变化) ，此时导模的由附加层厚度的变化d f ，和折 射率的变化”以及其上方覆盖层折射率k 的变化引入。 阏阏震 f ( n o ) 厂 s ( n 。) ( a ) 均匀传感 c ( n 。) lf 。( n f )l d f f ( n o ) 1 厂 s ( n ：) ( b ) 表面传感 图1 - 3 倏逝波传感模型分类 均匀传感和表面传感模型分别有不同的适用场合。对于一些生物传感器 3 9 4 0 1 ，如亲 和力传感，免疫传感等，为了能够实时探测波导表面对于待测材料分子的吸收与解吸收 作用，它们需要在光波导表面形成一层很薄( b + h 1 d ，= ( x ，y ) 1y b b v b ( 6 + h 2 ) y 一b y 一( 6 + h 2 ) n 2 ( z ，y ) = ! ( z ) + ：( y ) + r ( z ，y ) 10 r k x ，y ) = 0 一”； 在弱导近似下，即r l 玉y ) - 0 ，则有， x 口一 a y b n 2 力“圮+ n i ( 2 - 8 ) 霭二而 露褥一 将上式代入标量亥姆霍兹方程，并利用分离变量法求解，可得到以下方程组， 1 9 - - ( c ) ( 2 9 ) ( 2 一l o ) ( 2 - 1 1 ) 肌仉玖所 力力力力 ， ， ， ，“0 似o ，fl【 盯十_利过 浙江大学博上学位论文 万d2 x + m ，2 ( x ) 矿dz y + m ，2 ( y ) p 2 = 8 ：+ 8 ： 可见，矩形波导被近似地分解为两个独立的平板波导( 图2 - 3 ( b ) ( c ) ) ，折射率分布 分别为肌和m 例，传播常数分别为口，和芦，。因此，求解三维矩形波导的传播常数 卢的问题被简化为简单的二维问题，利用平板波导严格的解析方法求解就非常方便了。 计算步骤如下：( 1 ) 分段写出各介质层中的场分布；( 2 ) 结合边界条件( 注意偏振) 推 导出特征方程；( 3 ) 利用搜索算法计算方程解，即p ，或口。需要注意的是，x 向分层 波导( 图2 - 3 ( b ) ) 属于一般的平板波导结构，y 向分层波导( 图2 - 3 i c ) ) 则属于泄漏平 板波导结构，所以求解y 向分层波导时，必须采用能够搜索到复数根的搜索算法。 推导出的x 向和y 向分层波导的准t e 模的特征方程分别为： 9 1 季c t 2s i n ( a 2 一南叩0 8 z 口) 0 f a 2 ：振币两，( 2 - 1 3 ) i q = 历一碚( h ；一”2 r 2 ) 以b l a t b = 0 一，= ( y 。r ：) c o s ( y ：b ) v s i n h ( y 。h 。) + ( ，。r 。) c o s h ( z 。h ) 一s i n ( y ：6 ) l c 。s h ( y 。 。) + ( y 。，。) s i n h ( 厂， , - 。j ) b 。= ( ，r ：) s i n ( y ：6 ) s i n h ( y ，h ，) + ( y o r 。) c o s h ( y 。h ，) + c o s ( ，2 b - ) c o s h ( y 。h ，) + ( y 0 r ，) s i n h ( y h ，) 一= ( y ，r 2 ) c o s ( r ：6 ) s i n h ( y ，h 2 ) + ( i y 。r ，) c o s h ( y ，h ：) 一s i n ( y 2 6 ) lc o s h ( y 3 h 2 ) + ( i y 4 r 3 ) s i n h ( r 3 h 2 ) l b = 一( 乃r z ) s i n ( y ：6 ) s i n h ( y ， ：) + ( 吵。r ，) y o s h ( 几 。) 1 一c o s ( ，2 b ) c o s h ( r ，h z ) + ( i y 。r 3 ) s i n h ( r 3 h 2 ) y 。= 彰一( n ：一”，2 2 ) y 。= 彤一砰( ”；一n ；2 ) y ：= 碍”；2 一彤 y3 = 、j p j k ：t h ：一n 2 r 2 ) y 。= 以；( ；一 ，2 2 ) 一 计算得到卢，或芦，之后，分别写出x 向和y 向平板波导的场分布为： ( 2 - 1 4 、 o q o 0 = = “ 力 k h 雕 鳄 笙三童塞堕堂丝昱壁壁堕望堡薹型塑坌堑望鲨一 一t 羔 【c o s ( 口2 口) y ( y ) = l x l a x l b + h l c 1 p 7 。一6 1 + c 2 p “( 一6 )b + h l y b c 3c o s ( y 2 y ) + c 4s i n ( y 2 y ) b y 一b c 5 p n 16 + c 6 p 一如+ 6 一b y 一( 6 + h 2 ) c 8 “+ 6 + “2 y 一( 6 + h 2 ) ( 2 1 5 ) c 3 = 廿 c 。= 一a c ，= 【b c o s ( 。6 ) + 彳s i n ( y ：6 ) c o s h ( y ，h ：) + ( j r 。r ，) s i n h ( r ，h ：) c ，= c ，e x p ( y 3 h 2 ) 1 + ( ，y 。i i y ，) 2 c 。= c ，e x p ( 一， ：) 1 一( 办；z ，) 2 c 。： 曰 c 。s ( ，：6 ) + ( ，：z , ) s i n ( y ：6 ) 一爿 s i n ( y 。6 ) 一( ，：z ，) c 。s ( ，：6 ) ) 2 ( 2 - 1 6 ) c ，： b c o s ( y 。6 ) 一( ，：r 。) s i n ( ，：6 ) _ 一 s i n ( ，：6 ) + ( ，：z ，) c o s ( 厂：6 ) c 。= c e x p ( y i h l ) + c2e x p ( - y i h l ) 传播常数修正值计算公式为， 础2 = 爵j 吁( x ，y ) x ( x ) 2 】，( y ) 2 蚴 j!。一 x ( x ) 2 i ，( y ) 2d x d y r 0 f x 2 d x = 1 2 a 。 p ( x ) 2 d x ( f y ( y ) 。d y + p ( y ) 2 咖) = 2 、n 2 ，一 ；) 。i 。1 一 p ( x ) 2 d r f 】，( y ) 2 d y rx 2 d x = a + s i n ( 2 a 2 n ) ( 2 a z ) e 2c 0 s 2 ( 6 r z n ) e 。r 2 d y = c 0 2 ( 2 t o ) r y 2 砂= c 。2 e x p 2 y 。h 。卜1 ( 2 r ，) 一c ：2 e x p 一2 y 一仆一l ( 2 y t ) + 2 c c ：“ ( 2 - 1 7 ) y 2 砂= c 3 2 ( s i n ( 2 y ：b ) r 2 + 2 b ) 2 + c , 2 ( s i n ( 2 y 2 b ) l r ：一2 b ) 2 e 。y 2 d y = c ，2 1 一e x p 卜2 y 3 h ：】) ( 2 儿) 一c s 2 1 e x p 2 y 3 h ：】) ( 2 儿) + 2 c 5 c 6 h 2 亡也y 2 毋= c 7 2 1 ( 2 j r 。) 将前面计算得到的两平板波导的场分布。酬和y 劬分别带入上式，即可求得传播常 浙江大学博士学位论文 数的修正值印2 ，最后传播常数由卢2 = 废+ 鹰+ 矿计算得到。以上推导过程看似复杂，但 最终的计算仅为方程( 2 1 3 ) ，( 2 - 1 4 ) 的求解和式( 2 1 7 ) 的计算。对于准t m 模，也可以推 导出类似的计算公式。 2 2 3 等效折射率法 对于如图2 - 4 ( a ) 所示的脊形波导，很难用m a r c t i l l i 法或k u a m a r s 法进行分析，等效 折射率法( e 虢c t i v ei n d e xm e t l l o d ，e l m ) 1 2 7 1 则是较好的选择。为了将传统的等效折射 率法推广到复数传播常数的计算中，可利用转移矩阵法求有效折射率。 首先，图2 4 ( a ) 中的脊形波导截面被分为三个独立的区域，每个区都被看作为一 个独立的平板泄漏波导，应用转移矩阵法求出各平板泄漏波导的复数传播常数，然后根 据n = 卢得到各个区域的复数有效折射率作为介质折射率，构造出新的对称三层平板 波导( 图2 - 4 ( b ) ) ，其厚度等于脊形波导的脊区宽度。等效后的平板波导可以再一次利 用转移矩阵法求解。在两次运用转移矩阵方法时，必须注意偏振问题。如果求解准t e 模，第一次应用转移矩阵法( y 向等效) 时应采用t e 模公式，第二次应用转移矩阵法 时( x 向等效) 则用t m 模公式；如果求解准t m 模，第一次用t m 模公式，第二次用 t e 模公式。 r 唧o l l l i g c l ；i o n o ir e 8 i o n l 户 !】1【一 。，。j!i：【，。1一 8 8 曲 ! ( a ) ! nn 图2 - 4 ( a ) 脊形波导分为三个区 ( b ) 脊形波导等效后的对称三层平板波导 实际上，在设计器件时，因为直接用三维结构进行分析和模拟不仅困难，而且计算 费时，所以常常会采用等效折射率法，将三维波导等效成二维的波导，然后再进行分析 模拟。因此，等效折射率法是一种常用的近似方法。 第二章集成光波导器件的理论基础和分析算法 2 2 4 半矢量有限差分法 对于三维波导，以上各种近似的解析分析方法都有其适用条件和应用局限性：( 1 ) 只能计算传播常数，不能给出精确的场分布：( 2 ) 计算结果的准确度不够。随着计算机 技术的发展，数值计算方法成为更加便捷和可靠的分析方法。在电磁场数值计算方法中， 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 是应用最早的一种方法，以场域中各离散点上函 数的差商近似替代该点的微商，使偏微分方程转化为代数方程组从而求解，具有概念清 晰，方法简单、直观等特点。 1 半矢量波动方程 由亥姆霍兹方程可以导出横向分量e ，母的特征方程的矩阵形式1 2 8 1 ， 乏岛p 捌e y ( 纠 p 其中，考虑到界面上法向分量的非连续性，为了便于使用差分格式，将不连续的微分 项改写为连续形式，则上式中左边各矩阵元为， ，= 熹 古掣 + 等“啦， p y y e y = 等+ 专陪掣卜啦， p 聊 p ，y e y = 万o 【 1 下o ( n 2 e y ) - 蔫 ，= 专降掣卜舞 方程( 2 1 8 ) 为三维结构波导的全矢量特征方程，微分算子尸。和r 。表征了两偏振分量之 问的相互耦合作用。实际上对于多数光波导器件，两偏振分量间的耦合作用非常弱，可 以忽略，那么全矢量方程即可简化为两个半矢量方程， 只，e r2 声2 e r f 2 - 2 0 ) p t y ep = 9 2 ey b 分量方程对应于准t e 模，马分量方程对应于准t m 模。当如。= p 。时，半矢量方程 即简化为标量形式。 2 非均匀格点差分 浙江大学博士学位论文 因为有限差分计算的精确度是和差分格点的数目密切相关的，格点越密集，精确度 越高，然而却需要更大的内存开支。对于大截面波导，特别是当各介质层厚度相差悬殊 时( 如s o i 脊形波导中绝缘层和波导芯层厚度相差很大) ，由于均匀格点间距取很小时 会导致相当大的内存空间，因此很难得到满意的结果。非均匀格点差分可以在保证计算 精度的情况下节省大量内存，是一种可取的方法。 对波导截面的非均匀分割可以采用多种方法，总的原则是：在折射率变化越快的区 域，格点需要越密集。如：各介质层内的格点数相同，每层内为均匀分割，格点间距与 该层的厚度成正比；格点间距随离开界面距离的增加而线性增大或胺照等差数列增加 等。此外，还可以采用三角函数映射关系，将空间域中的非均匀分割变换为角度域内均 匀分割1 2 明进行差分计算。 当相邻格点间距差别较大时，常用的五点差分格式不再适用，这时可以采用加权的 三层有限差分公式来保证计算的准确性。按照图2 - 5 所示格式( 工方向均匀分割，y 方向 非均匀分割) 对方程( 2 _ 2 0 ) 进行差分得到方程( 2 2 1 ) ，其中笔孕在格点，劫处的值用b 分别在第f 一1 层( y h ，劫处，第i 层o 。劫处和第i + 1 层( y i + j ，劫处关于x 的二阶中心差商 ( 咒一，母一- )( 咒。，g )( 阼。巴。) t 一。? 。 a y l 1 融，已一。)( 儿童) ( ) i i ，弓+ p + 召卜一 1 一片一再 觊l ：i l ( m “，q ，)( 片。q )( x + - ，b w ) 1 。 吒 卜1 万 面l 图2 - 5 加权三层格式 塑害塑慨2 慨， ”f ! 鱼墨墨二业二鱼鱼一 ! 鱼鱼二鱼! 鱼! 1 l i l 2 山“+ 啦l 血2 矗+ 商一 盘2 j f， + ( 1 一 一吐) | - 二_ l - 6 + , + 谴一i n e 。n 一吨毪一i 2 吨e 。一i 2 。声q j 缸2 亩+ 屯 血2 垤2 而盟专纽 = 矿e 。 2 磅u 弓山一也川与+ 1 j _ i = 一i 一l 碡u + n 2 + 1 4 _ 1 血2 j ( 2 2 1a ) 第二章集成光波导器件的理论基础和分析算法 ! f 三一 妙+ 妙2 l ”二- ，+ ”i ， n e “厂”己e j ， 2 n j ，e j 厂”巨“， 知2 n ：，+ 月：u 兮 2 h ，+ 巨 j 一 州寸吃) 学1 2 瑚 + 屯( 血兰盟卜，2 慨， = 矿e 。 的加权平均值代替，三层的权数分别为，j ，1 一，一 2 ，t 2 。 1 1 、r 2 可以取相邻两层格点间距缈和a y 2 的函数，根据y 向格点与二阶中心差分计 算点的距离比例归一化求得。以上差分格式形似复杂，但特征矩阵仍然具有带状矩阵的 形式，因此只要计算每一差分单元中的各点所对应的系数向量，也就是九个大小为虬 x m 的一维数组( m ，帆分别代表计算窗口内x 和y 方向上的格点总数) ，这样便可采 用稀疏矩阵的格式来存储特征矩阵，并采用反幂迭代法求得任何所需范围内的特征值及 其相应的归一化场分布。 3 完美匹配层( p m l p e r f e c tm a t c h e dl a y e r ) 边界 利用有限差分法解偏微分方程时，确定边界条件是非常关键的步骤。对于求解具有 复数传播常数的泄漏模，导模计算中常用的零边界条件不再适用。p m l 边界是由 b e r e n g e r b o 最早引入的无反射的电磁波吸收边界，w p h u a n g 等人将p m l 边界条件应 用到泄漏模的计算中【1 3 ”。 类似于物理吸收边界，p m l 边界也要求附加计算格点，但是增加量与物理吸收边 界相比要少的多，所以计算花费也低许多。正如文献【1 3 2 】中指出，p m l 边界实际上是 把在p m l 区域内的坐标复数化。 如果定义o - ( p ) 为p m l 层内的传导率函数，p 为计算点到p m i ，内边界( 与内部区域 相邻的界面) 的距离，并将p m l 层内的复数坐标写为， z ( 尸) = 【1 一i o - ( p ) 如 ( 2 _ 2 2 ) 厂p 那么当平面波= “p h k 对进入p m l 层时，其幅度将以e x p l kp ( p ) d ol 形式衰减。 0l 浙江大学博士学位论文 由于内部区域材料与p m l 边界之间不存在材料的不连续性，因此不会有任何反射。若 取p m l 外边界( 。：l ，l 为p m l 层的厚度) 为零，则反射回的平面波再次抵达p m l 内 边界时，其幅度已衰减为。p f 一2 q ( p ) 妒1 。可见，如果。选择足够大，就能使反射率 达到很小。通常定义盯( p ) = o m 。( p l ) 2 ，其中o m 。可根据设定的p m l 层反射率r ( 正 入射) 反推求得。公式为， 仃。：一。r ) 仁。胛p 三卜1 ( 2 - 2 3 ) 4 1 n ( 仃m “= 一 r ) 忙。胛，三厂1 式中k o 是真空中的波数； n p 为p m l 层常数折射率，一般选择与p m l 层相邻介质的折 射率相同。 p m l 边界在有限差分计算中的具体实现则非常简单，只要将其差分形式中的格点 间距作a x = a x ( 1 一，盯) 变换即可。而且，因为p m l 层内部区域的电导率为零，所以整 个计算区域仍然可用统一的差分形式进行计算。 4 柱坐标下的有限差分 利用有限差分法，结合p m l 边界条件，求解柱坐标下的波动方程，即可对弯曲波 导进行模式分析。 一 一 一 i i i 一 + 。1 一r 。1 1 + 1 。_ 图2 - 6 柱坐标系下的脊形弯曲波导 在柱坐标系( r ，庐，x ) 中，沿庐向传播的光场表达为e ( ，x ) e x p j ( w t 一删) 】，v 为角度传 播常数。以图2 - 6 中的脊形弯曲波导为例，r 为平均曲率半径( 对应于脊中心线位置) 。 电磁场准t e 模和准t m 的柱坐标波动方程分别为】【1 3 ”， 第二章集成光波导器件的理论基础和分析算法 导( 吉挈h 砉挈 + 警删一。 肛弛 陋：。， 等弓等+ 未陆挈卜”2 7 i 2 t = 。 一一t m 长度传播常数与角度传播常数之间具有转化关系= 叫r 。根据传播常数的虚数部分，即 可计算得到弯曲损耗。 2 2 5 各种方法计算实例及比较 原则上，导模的分析方法都可以推广到泄漏模分析中。对于解析方法，首先需要给 出泄漏模场分布的正确解析表达式，然后根据边界条件推导特征方程，同时需要应用复 数根搜索算法求解特征方程；而对于数值计算方法，关键是提供合适的边界条件，方可 得到准确的计算结果。解析方法物理意义清晰，计算过程简单，但对于三维结构却无法 给出精确的模场分布。数值方法准确性高，能够同时给出传播常数和模场分布，但所需 计算机内存大，计算时间较长。 下面给出了各种方法的计算实例并进行了比较和分析。 1 转移矩阵法和有限差分法分析平板波导 采用转移矩阵法、均匀格点有限差分法和非均匀格点有限差分法( 在离开界面的方 向上，格点间距按等差数列增加) ，分别对表2 1 中所示参数的平板波导的泄漏模进行 计算。图2 7 为由三种方法得到的t e 基模模场分布，从图中可以看到它们的计算结果 几乎完全重合。表2 2 中列出了由这三种方法计算得到的传播常数和泄漏损耗，以及各 自所需的计算时间。从表中数据同样可以看到三种方法的一致性。其中转移矩阵法毫无 表2 - l 平板波导结构参数( x = 1 5 5 p n ) l a y e r r e f r a c t i v e1 1 1 i c k n e s s i n d e x ( 儿m ) a