（应用数学专业论文）关于非线性脉冲微分系统稳定性的若干结果.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得一( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的况明并表示谢意。 学位论文作者签名：秀 ；毛 导师签字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂蕉有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 兹4 毛 导师签字 签字日期：2 0 06 年多月引日 签字日期：2 0 0 您 y7孙 筝扣 1 ， e 山东师范大学硕士学位论文 关于非线性脉冲微分系统稳定性的若干结果 郗强 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文研究如下三类脉冲微分系统的稳定性： ( i ) 非线性脉冲控制系统 i 。7 ( t ) = = ，( t ，。，“) ，t t k ， z ( t + ) = x ( t ) + 如( z ( t ) ，“) ，t = t k ，k = 1 ，2 ，- ， 【。( t 手) = 叠o ： 其中，a 暇+ r 4x r ”，r ”j ，氏g 僻“且”，r “j ，“为给定可控集n 中的任一控 制向量，t o t 1 t 2 - 札 。为脉冲时刻，且t k 叶o o ，_ 。 ( i i ) 脉冲混合微分系统 i 。7 一f ( t ，z ，a k ( z k ) ) ，t ( t k ，t k + 1 ) ， z ( t ) = 。喜，。k 4 - = x k + 如( 。k ) ，k = l ，2 ， 【。= z ( 如) ， o ( x o ) ；0 ，x ( q ) = 9 3 0 ： 其中f g 啤+ 钟胛，册 ，厶a 【酽，舻 ，k g p ，胪 ，t o t 1 t 2 t k o o 为脉冲时刻，且t 。o o ，k - o 。 ( i i i ) 脉冲时滞微分系统 ， i 。( t ) = f ( t ，。( ) ，。( t r ( t ) ) ) ，t t o ，t 7 a ， 【z ( ，k ) = z ( 百) + 厶( 。( 百) ) ：k = l ，2 ， 其中，g 【r + r “r “，r “ ，氐c r ”，r “ ，t r ( t ) 0 ，r ( t ) 0 ，0 t o 曼t l 丁2 - 亿 为脉冲时刻，且仉_ o 。，r _ 。 得到了脉冲控制系统( i ) 关于两个测度的稳定性和有界性，脉冲混合微分系统( i i ) 零解的严格稳定性，及脉冲时滞微分系统( i i i ) 关于两个测度的稳定性结果，并分 别给出例子说明定理的应用 近年来脉冲控制问题引起了许多研究者的兴趣在大量实际应用中都存在控 制问题，如卫星的轨道运行，神经网络的优化控制，金融市场的资本供求等等许 多情况下，脉冲控制和连续控制需要相辅相成才能对系统产生较好的控制效果在 坐查堕堇盔兰堡主兰焦丝壅 控制理论中，连续控制体现在系统的状态表达式右端含有一个满足一定条件的控制 向量，而且在脉冲函数中也含有控制向量脉冲控制微分系统就描述了这类脉冲控 制问题目前，关于非线性脉冲控制系统稳定性的研究还是比较少的，而且都只用 l y a p u n o v 函数的比较原理讨论其稳定性质f 5 j ，【6 】，【8 】， 3 3 ，并没有涉及到其他方法本 文第一章在比较原理的基础上，利用变分l y a , p u n o v 方法 7 j 研究了非线性脉冲控制 系统( i ) 关于两个测度的稳定性，实际稳定性及有界性，建立了新的变分比较原理 和若干比较结果和以往不同，本章考虑了不带控制的常微分系统，将脉冲控制系 统( i ) 看作它的扰动系统，而且，文中的l y a p u n o v 函数含有此常微分系统的解通 过本章定理，我们可以由常微分系统和比较系统两者的相应稳定性质得到脉冲控制 系统( i ) 的稳定性质变分l y a p u n o v 方法的使用，使得已有结果可看作本文结果的 特殊情况 脉冲混合微分系统是一种可变结构的脉冲微分系统，它描述了许多实际中的物 理模型，近年来关于其稳定性的研究已有不少成果( 1 0 ，( 1 1 1 m 我们知道，一个 微分系统平凡解的l y a p u n o v 稳定并不能排除其渐近稳定的可能，而且，如果平凡 解是渐近稳定的，只是表明充分靠近平凡解的非零解是趋于零的，并不能刻划这些 解的衰减率，即它是如何趋于零的换句话说，这些稳定性概念只是对解的单边估 计，都是不严格的那么，自然就希望对解给出下界的估计，即与平凡解的接近程 度这种概念，称为管状区域的稳定性，或严格稳定性目前，对微分系统严格稳定 性的研究并不多见 1 2 】，【1 3 ，尤其是对脉冲微分系统本文第二章分别用l y a p u n o v 直接方法和比较原理研究了脉冲混合系统( i i ) 零解的严格稳定性，得到了若干充分 条件 近年来，具有时滞的脉冲微分系统定性理论的研究逐渐成为热点，特别是具有 界滞量的脉冲微分系统，已有一些成果一【2 6 2 6 在以往结果中，系统中的时滞往往 具有一个固定的上界，从而对其稳定性的研究形成一套方法，并出现了一些渐近稳 定定理而对具有变时滞的脉冲微分系统的定性研究还比较少，特别是对其稳定性 的研究，所见结果并不多，本文第三章用l y a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 技巧，讨论 了具有变时滞的脉冲微分系统( i i i ) 关于两个测度的稳定性，建立了若干充分条件 由于文中对系统的时滞r ( t ) 没有较强限制，可以趋于。，故定理中的r a z u m i k h i n 型条件不同于以往而且，本章多为一致稳定结果，由以前的方法并不能得到系统 ( i i i ) 的渐近稳定此外，第三章还用l y a p u n o v 函数建立了一个与此系统相对应的 比较原理，并由此原理得到了系统( i i i ) 关于两个测度稳定性的比较结果 关键词：非线性脉冲控制系统；脉冲混合微分系统；脉冲时滞微分系统 2 山东师范大学硕士学位论文 控制向量； 变时滞； 变分l y a p u n o v 方法； r a z u m l k h i n 技巧；比较原理；直接方法 稳定性；有界性；两个测度；严格稳定 分类号；0 1 7 5 2 1 3 一 坐查堕薹盔堂堡圭堂丝鲨塞 s o m er e s u l t so fs t a b i l i t yf o rn o n l i n e a ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a ls y s t e m s x i q i a n g i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o a g ，2 5 0 0 1 4 ：prc h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es t a b i l i t yp r o p e r t i e so ft h et h r e ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m sa sf o l l o w s ： ( i ) n o n l i n e a ri m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e m i 。( t ) = f ( t ，耳u ) ，t 芝t o ，t t k ， z ( t 毒) = 。( 札) + 五知，) ，k = 1 ，2 ， 【z ( 手) = x 0 ， w h e r e ，g f 耳矗”r m ，r ”j ，屯c 陋”r m ，r ”j ，“i sa n ya d m i s s i b l ec o n t r o lv e c t o r i ng i v e na d m i s s i b l ec o n t r o ls e tn ，t a t l t 2 “ o 。a r ei m p u l s et i m e s ，a n d “一斗o o ，女_ o 。 ( i i ) i m p u l s i v eh y b r i dd i f f e r e n t i a ls y s t e m iz 7 = f ( t ，z ，k ( z k ) ) ，t ( 靠，t k + 1 ) ， z ( t 毒) ：z 者，z = 。+ 乓( 。 ) ，= l ，2 ，一， 【k = ( t k ) ，i o ( x o ) ；0 ，z ( t ) = 。o ， w h e r e ，g f r + xr “r t m r “ ，如c r “，r “ ，h c r “，r m ，t o t 1 t 2 t k o o a r e i m p u l s e t i m e s a n d “_ o o ，k _ o o ( i i i ) i m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m ， j 一( t ) = f ( t ，。( t ) ，。0 一t ( t ) ) ) ，t t o ，t ， 【。( r ) = 。( r f ) + 丘( z ( r f ) ) ，= 1 ，2 ， w h e r e ，c r + f r “，r “ ，矗c r “，r 1 ，t t ( t ) 0 ，t 0 ) 0 ：0 如st 1 亿 飞 0 ( 3a r e i m p u l s e t i m e s ，a n d 仉斗。，k 斗s o w eg e tt h er e s u l t so fs t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s si nt e r m so ft w on l e a 8 u r e sf o rs v s t e m ( i ) ，t h er e s u l t so fs t r i c ts t a b i l i t yo ft h et r i v i a ls o l u t i o nf o rs y s t e m ( i i ) ，a n dt h er e s u i t s o fs t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e sf o rs y s t e m ( i i i ) e x a m p l e sa r ea l s o d i s c u s 8 e dt o i l l u s t r a t et h et h e o r e m s ，r e s p e c t i v e l y 4 山东师范大学硕士学位论文 i m p u l s i v ec o n t r o lp r o b l e mh a sa t t r a c t e dt h ei n t e r e s to fm a n yr e s e a r c h e r si nr e c e n t y e a r s s u c hc o n t r o la r i s e si naw i d ev a r i e t yo fa p p l i c a t i o n s s u c ha so r b i t a lt r a n s f e ro f s a t a l l l t e ，o p t i m mc o n t r o lo fn e r v en e t w o r k ，a n dc o n t r o lo fm o n e ys u p p l yi naf i n a n c i a l m a r k e t t h e r ea r em a n yc a s e sw h e r ei m p u l s i v ec o n t r o la n dc o n t i n u o u sc o n t r o lc a r lg i v e p r e f e r a b l ep e r f o r m a n c eb ys u p p l y m e n te a c ho t h e r i nt h ec o n t r o lt h e o r y , c o n t i n u o u sc o n t r o li ss h o w nb yt h ef a c tt h a tt h e r ee x i s t sa na d m i s s i b l ec o n t r o lv e c t o r w h i c hs a t l s f i e s c e r t a i nc o n d i t i o n s ，a tt h er i g h to fs y s t e m i m p u l s i v ec o n t r o lp r o b l e m sa r ew e l ld e s c r i b e d b yi m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e m s a tp r e s e n t ，t h es t a b i l i t yt h e o r yo fn o n l i n e a ri m p u l s i v e c o n t r o ls y s t e m sh a sn o ty e tb e e nf u l l yd e v e l o p e d ，a n dt h ek n o w nr e s u l t sa r ee s t a b l i s h e d o n l yb yv i r t u eo fc o m p a r i s o np r i n c i p l eo fl y a p u n o vf u n c t i o n s 5 ， 6 】，【8 j ， 3 3 n o te m p l o y i n g o t h e rm e t h o d s i nc h a p t e ro n e ，w es t u d ys t a b i l i t y ，p r a c t i c a ls t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s s p r o p e r t i e so fi m p u l s i v ec o n t r o l ；s y s t e m ( i ) i nt e r m so f t w om e a s u r e su s i n gv a r i a t i o n a ll y a - p u n o vm e t h o d r b a s e do nc o m p a r i s o np r i n c i p l e ，a n de s t a b l i s hn e w v a r i a t i o n a lc o m p a r i s o n p r i n c i p l ea n ds o m ec o m p a r i s o nr e s u l t s ，d i f f e r e n t l y ，w ec o n s i d e ra no r d i n a r yd i f f e r e n t i a l s y s t e mw h i c hc o n t a i n sn oc o n t r o l ，a n dl o o ki m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e m ( i ) a sp e r t u r b a t i o n o ft h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m ，a n d ，t h el y a p u n o vf u n c t i o ni nt h ep a p e rc o n t a i n st h e s o l u t i o no ft h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m b yu s i n gt h e s et h e o r e m s ，w ec 8 2 1c o n c l u d e s t s b i f i t yp r o p e r t i e so fi n l p u l s i v ec o n t r o ls y s t e m ( i ) f r o m t h ec o r r e s p o n d i n gs t a b i l i t yp r o p e r t i e so ft h er e l e v a n to r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e ma n dc o m p a r i s o ns y s t e ma sar e s u l to f u s i n gv a r i a t i o n a ll y a p u n o vm e t h o d ，t h ek n o w nr e s u l t sc a nb el o o k e da ss p e c i a lc a s e so f o u rr e s u l t s i m p u l s i v eh y b r i ds y s t e mi sc a l l e di m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hv a r i a b l es t r u c - t u r e ，w h i c hd e s c r i b e sag r e a tm a n yp h y r s i c a lm o d e l si na p p l i c a t i o n s ，a n dt h e r eh a sb e e n m u c hr e s e a r c ha b o u tt h es y s t e mi nr e c e n ty e a r s 1 0 m 圳3 州3 a sw ek n o w 、l y a p u n o v s t a b i l i t yo ft h et r i v i a ls o l u t i o no fad i f f e r e n t i a ls y s t e md o e sn o tr u l eo u tt h ep o s s i b i l i t y o fa s y m p t o t i cs t a b i l i t y m o r e o v e r ，t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h et r i v i a ls o l u t i o no n l y i m p l i e st h a tt h en o n t r i v i a ls o l u t i o n sn e a rt h e t r i v i a ls o l u t i o nt e n dt oz e r o ，a n di td o e s n o tg u a r a n t e ea n yi n f o r m a t i o na b o u tt h er a t eo fd e c a yo ft h es o l u t i o n sw h i c h s h o w sh o w t h e yt e n dt oz e r o i no t h e rw o r d s ，t h e s ed e f i n i t i o n so fs t a b i l i t ya r e o n e s i d e de s t i m a t e sf o r s o l u t i o n s ，a n dt h e ya r en o ts t r i c t s oi t i sn a t u r a lt oe x p e c tt h a ta ne s t i m a t i o no f l o w e r b o u n df o rt h er a t ea tw h i c hs o l u t i o n sa p p r o a c ht ot h et r i v i a ls o l u t i o nw o u l db eo f f e r e d s u c hc o n c e p t sa r ec a l l e ds t a b i l i t yi nt u b e l i k ed o m a i no rs t r i c ts t a b i l i t y c u r r e n t l y ，t h e r e s e a r c ha b o u tt h es t r i c ts t a b i s t yf o rd i f f e r e n t i a ls y s t e m se s p e c i a l l yf o ri m p u l s i v es y s t e m s 5 山东师范大学硕士学位论文 i sn o ty e tm u c h 1 2 m 3 m 4 1 i nc h a p t e rt w o ，w ei n v e s t i g a t et h e8 t r i 矗s t a b i l i t yo fi m p u l s i r eh y b r i ds y s t e m ( i i ) e m p l o y i n gl y a p u n o vd i r e c tm e t h o da n dc o m p a r i s o np r i n c i p l e r e s p e c t i v e l ya n dg e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s i nr e c e n ty e a r s ，t h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fi m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s h a v e b e e nd e v e l o p e db yal a r g en u m b e ro fm a t h e m a t i c i a n s ) a n dt h e r ea r es o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hf i n i t ed e l a y 1 8 卜【2 qi nt h ek n o w n l i t e r a t t t r e s ，t h ed e l a yo fs y s t e mi sa l w a y sr e s t r i c t e db yag i v e nb o u n d ，a n dt h u st h e r ea p p e a r sac o r r e s p o n d i n gm e t h o df o rt h er e s e a r c ho fs t a b i l i t y , a n ds o m ea s y m p t o t i cs t a b i l i t y t h e o r e m sh o w e v e r ，s t a b i l i t yt h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n g d e l a yh a sn o ty e tb e e nf u l l yd e v e l o p e d i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n v e s t i g a t et h e s t a b i l i t y i nt e r m so ft w om e a s u r e sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m ( i i i ) w i t ht i m e v a r y i n gd e l a y ， u s i n gl y a p u n o vf u n c t i o na n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u e s ，a n de s t a b l i s hs o n - r es u f f i c i e n tc o n - d i t i o n s s i n c et h ed e l a yf ( t ) o ft h es y s t e mi sn o tm u c hr e s t r i c t e d ，a n di tc o u l dt e n dt oo o ， t h er a z u m i k h i nc o n d i t i o n si no l i rt h e o r e m sa r ed i f f e r e n tf r o mt h ek n o w no n e s m o r e o v e r ， t h et h e o r e m si nc h a p t e rt h r e ea r ea b o u tu n i f o r ms t a b i l i t yi nt h em o s t 7a n do n ec a u n o t g e tt h ec o n c l u s i o na b o u ta s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o rs y s t e m ( i i i ) u s i n gt h ek n o w nm e t h o d i na d d i t i o n ，w ee s t a b h s hac o m p a r i s o np r i n c i p l ew i t hr e s p e c tt os y s t e m ( i i i ) i nc h a p t e r t h r e e ，a n de m p l o y i n gt h ep r i n c i p l e ，w eg e tac o m p a r i s o nc r i t e r i ao fs t a b i l i t yi nt e r m so f t w om e a s u r e sf o rt h es y s t e m k e y w o r d s ： n o n l i n e a ri m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e m ；h n p u l s i v eh y b i dd i f f e r e n t i a l s y s t e m ；i m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m ； a d m i s s i b l ec o n t r o lv e c t o r ；v a r i a t i o n a l l y a p u n o vm e t h o d ； t i m e v a r y i n gd e l a y ； r a z u m i k h i nt e c h n i q u e ； c o m p a r i s o np r i n c i p l e ；d i r e c tm e t h o d s t a b i h t y ；b o u n d e d n e s s ；t w om e a s u r e s ； s t r i c ts t a b i l i t y c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 1 6 山东师范大学硕士学位论文 第一章非线性脉冲控制系统的稳定性和有界性 5 1 1引言 近年来脉冲控制问题引起了许多研究者的兴趣在大量实际应用中都存在控制 问题，如卫星的轨道运行，神经网络的优化控制，金融市场的资本供求等等许多 情况下，脉冲控制和连续控制需要相辅相成才能对系统产生较好的控制效果在控 制理论中，连续控制体现在系统的状态表达式右端含有一个满足一定条件的控制向 量，而且在脉冲函数中也含有控制向量脉冲控制微分系统就描述了这类脉冲控制 问题 目前，关于非线性脉冲控制系统稳定性的研究还是比较少的，而且都只用l y a - p u n o v 函数的比较原理讨论其稳定性质6 ， 8 】，【3 3 】，并没有涉及到其他方法本章在 比较原理的基础上，利用变分l y a p u n o v 方法 7 】研究了非线性脉冲控制系统关于 两个测度的稳定性，实际稳定性及有界性，建立了新的变分比较原理和若干比较结 果和以往不同，本章考虑了不带控制的常微分系统，将脉冲控制系统看作它的扰 动系统，而且，文中的l y a p u n o v 函数含有此常微分系统的解通过本章定理，我 们可以由常微分系统和比较系统两者的相应稳定性质得到脉冲控制系统的稳定性 质变分l y a p u n o v 方法的使用，使得已有结果可看作本文结果的特殊情况最后 给出例子，说明定理的应用 1 2预备知识 本章考虑非线性脉冲控制系统 f z 协) ：f ( t ，z ，“) z ( 亡+ ) = z ( t ) z ( t j | ) = ：r 0 ， t t k ， t = t ，= 1 ，2 ，( 1 ) 其中，c r + r ”xr “，碎 ，氏c r “r “，r “ ，u 为给定可控集q 中的任一控 制向量，t o t 1 t 2 t k 0 ，使当 h o ( t o ，z o ) 0 和t = t ( t o ，) ， 使当h o ( t o ，z o ) 6 时，有h ( t ，( t ) ) e ，t t o + t ； ( s 3 ) ( h o ， ) 一一致稳定，如果( s ) 中的6 与i o 无关； ( s 4 ) ( h o ， ) 一一致吸引，如果( s 2 ) 中的d 和t 都与t o 无关； ( 昆) ( h o ， ) 一渐近稳定，如果( 最) 与( 岛) 同时成立； ( s 6 ) ( h o ，h ) 一一致渐近稳定，如果( 岛) 与( 甄) 同时成立； ( s 7 ) ( h o ， ) 一实际稳定，如果对给定的( ，a ) ：0 a a ，某t o 且 ，当h o ( t o ，z o ) a 时，有h ( t ，z 0 ) ) a ，t t o ； ( 岛) ( h o ， ) 一实际拟稳定，如果对给定的( a ，b ，t ) ，某t o r + ，当h o ( t o ，z o ) 0 ，使当 h o ( t o ，x o ) 0 ，和t ： t ( t o ，a ) 0 ，使当h o ( t o ，。o ) 0 ，当 h e ( t o ，x o ) o ，当 h o ( t o ，x o ) d i 时，有h o ( t o ，( t ) ) e ，t t o 而且，对任意d 2 ：0 d 2 d l ，存在 e 2 ：o 6 2 ，t t o ( p 4 ) ( h o ，h o ) - 严格一致稳定，如果( p 3 ) 中的6 1 ，如与o o 无关 5 1 ，3变分比较原理 本节首先给出一个引理，由此引理得到了一个新的变分比较原理，它是后面主 要结果的基础 9 山东师范大学硕士学位论文 引理1 3 1 6 】假设 ( i ) g p c i r + r 掣r 掣，r 1 v ，9 ( t ：“， ) 关于u 拟单调非减，关于u 非减 ( i i ) 讥：( r 望 r 举，r 翔，对每一个自然数k ，c k ( u ，”) 关于“，”非减； ( i i i ) r ( t ，t o ，z 1 ) 0 ) 是 i = 9 ( t ，叫，训) ，t t o ，t 扎， ”( t 古) = 妒( 叫( “) ，叫( “) ) ，k = 1 ，2 ， ， 【叫( t 击) = 枷。 在t t o 上的最大解； ( i v ) m ，u p c i r 十，r 掣 ， d + m ( t ) 墨9 ( t ，m ( t ) ，口( t ) ) ，t t o ，t “， m ( t 砉) 机( m ( 靠，口( “) ) ，k = 1 ，2 ， v ( t ) 茎r ( t ，t o ，1 , , 0 ) ，o 则m ( 2 。) t 0 0 意味着m ( t ) sr ( t ) ，t 兰t o 上述引理中，d + m ( t ) 表示函数m ( t ) 的右上d i n i 导数，下同 定理1 3 1 ( 变分比较原理) 假设 ( i ) g p g 陋车r 掣r 掣，r 。 ，9 ( t ，s ，“，”) 关于u 拟单调非减，关于”非减； ( i i ) 饥：旧掣r 掣，冗掣】，对每一个自然数k ：饥( u ，”) 关于u ，”非减； ( i i i ) r ( t ，s ，o ，w o ) 是 i 鲁 = g ( t ，5 ，w ， ) ，如ss t ，s 如， 州( t ) = 币( ( “) ， ( 札) ) ，七= 1 ，2 ，一， ( 3 ) 【叫( t 手) = 伽。 在oss 茎t o o 上的最大解； ( i v ) ，v p g r + r “，r 掣 ，y ( t ，。) 和1 9 ( t ，s ，z ) 1 分别关于z 满足局部l i p s c h i t z 条 件， d + y ( 5 ，掣( t ，s ，z 0 ) ) ) 三l i r as u p y ( s + h ，掣( t ，s 十九，z + h f ( s ，z ，“) ) ) 一y ( s ，可( t ，s ，z ) ) u + 9 0 ，s ，y ( 8 ，v ( t ，s ，z ) ) ，u ( s ) ) ，o o s t ，s “， y ( t ，掣( t ，t 吉，。( “) + l 扛( “) ) 让) ) ) 砂k ( v ( “，掣( t ，奴，z ( “) ) ) ，口( “) ) ，k = 1 ，2 口( s ) r ( t ，s ，t o ， o ) ，t o 曼sst o 。 1 0 山东师范大学硕士学位论文 则v ( t o ，v ( t ，t o ：卫o ) ) 茎w o 意味着v ( t ，z ( t ) ) sr o ( t ，t o ， o ) ，t t o ，其中r o ( t ，亡0 ，o ) 三 r ( t ，t ，t o ，”o ) ，y ( t ，t o ，z o ) 是( 2 ) 的任意解，x ( t ) = 。( t ，o o ：。o ，“) 是( 1 ) 的任意解 证明：令m ( t ，s ) = v ( s ，v ( t ，s ，z ( s ) ) ) ，由( i ) ，( 咄( i v ) 得 l i ms u p m ( t ，8 + h ) 一m ( t ，s ) 】 = l i r as u p 矿( s + h ，v ( t ，s 十h ，z ( s + ) ) ) 一v ( s ，( t ，s ：。( s ) ) ) = l i r ns u p i v ( s + h ，g ( ，s + h ，z 0 + ) ) ) 一矿( s + h ，g ( t ，s + h ，z 十h f ( s ，。，u ”j 十v ( s + h ，v ( t ，? + h ，。+ h f ( s ，z ，u ) ) ) 一y ( s ，u ( t ，s ，。( s ) ) ) l i ms l l p 三j ( f ，s + h ，z ( s + ) ) ( t ，s + h ，, 2 7 + m ( s ，。，“) ) + l i r as u p y ( s + h ，y ( t ，s + h ，。+ h f ( s ，z ，“) ) ) 一y ( s ，v ( t ，8 ，z ( 8 ) ) ) l i ms u p l l l i z ( 8 + h ) 一。一 ，( s ，。，“) + l i ms u p ： i v ( 8 + h ，v ( t ，s + 0 ，。+ h f ( s ，z ，“) ) ) 一v ( 5 ，v ( t ，s ，z ( s ) ) ) = l i r as u p 【y 扫+ h ，( t ，s + h ，。+ h f ( s ，z ，“) ) ) 一矿( s ，y ( t ，s ，z ( s ) ) ) g ( t ，s ，矿( s ，y ( t ，8 ，z ( s ) ) ) ，”( s ) ) ， 其中工和三1 分别是y ( t ，。) 和y ( z ；s ，z ) 的l 咖s c h i t z 常数， 即 d m ( t ，s ) 茎9 ( t ，s ，m ( t ，s ) ，u ( s ) ) ，t oss t ，5 t k ， 且 m ( t ，t 孝) s 妒女( m ( ，如) ，口( 如) ) ，七= 1 ，2 ， u ( s ) sr 壮，s ，o ：”o ) ，t o s t 于是对变量s ，满足引理1 3 1 的条件，由引理1 3l 得 m ( t ，s ) r ( ，8 ，t o ，o ) ，t o s t 特别的，取s = t 即得 v ( t ，z ( t ) ) 茎r o ( t ，t o ， o ) ，t t o 证毕口 注1 3 1 ：在定理条件下，若v ( t o ，心地2 ：0 ) ) = z o