（应用数学专业论文）基于跳扩散过程末离时的信用风险模型研究.pdf

摘要 摘要 本文基于经典的结构化违约模型，假定公司资产符合跳扩散过程，用此过程 对一特定边界o 。的末离时来确定违约时间，并给出相应定价公式和蒙特卡罗模拟 算法，然后给出对于随机返回率、随机利率的定价算法，在文章的最后对模型参 数进行分析。 关键词信用风险结构化模型跳扩散过程末离时随机返回率随机利率 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rd e v e l o p san e ws t r u c t u r a la p p r o a c ht ov a l u i n gd e f a u l t r i s k ys e c u r i t i e s b yd r i v i n gt h ed e f a u l tt i m ef r o mt h ef i r m sl a s te x i tt i m et oas p e c i a lb a r r i e ro ta n dm o d e l i n gt h ee v o l u t i o no ff i r mv a l u ea saj u m p d i f f u s i o np r o c e s s ，t h e nw eg e tt h ec l o s e d f o r ms o l u t i o nt oa s i m p l i f i e dm o d e li nw h i c ht h er i s k f r e ei n t e r e s tr a t ea n dr e c o v e r yr a t e i sc o n s t a n ta n dp r o v i d ean u m e r i c a ls o l u t i o nb a s e do nt h em o n t ec a r l oa p p r o a c h a f - t e r w a r d ，w ee x t e n d 血em o d e lt os t o c h a s t i cr e c o v e r yr a t ea n ds t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e i n t h el a s tp a r to ft h i sp a p e r , t h ea n a l y s i st ot h i sa p p r o a c hi sp r o v i d e d k e y w o r d sd e f a u l tr i s k s t r u c t u r a la p p r o a c h j u m p - d i f f u s i o np r o c e s s l a s te x i tt i m e s t o c h a s t i cr e c o v e r yr a t es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 第一章引言 第一章引言弟一早jii 结构化模型( s t r u c t u r a la p p r o a c h ) 是一类非常重要的信用风险模型。这类模 型中公司违约时间主要取决于公司资产的变化情况，所以结构化模型也被称为公 司资产价值模型。m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 以b l a c k s c h o l e s 期权定价模型为基础计算公 司债券违约模型。他假定公司资产符合几何布朗运动，考虑债券到期日的公司资 产嵋情况，若许大于债务x ，那么公司不违约，若小于债务x ，公司违约，且公 司付给债券持有者峙，这样t 时刻企业债券的价值x d ( t ) = m i n ( 嵋，x ) = x 一 ( x 一坼) + ，违约债券的定价问题就转换为一个看跌期权的定价问题。在m e r t o n 的 模型中无风险利率7 假定为常数，s h i m k o e a l ( 1 9 9 3 ) 又把这个结果推广到随机利 率( v a s i c e k 模型) 的情形。m e r t i o n 模型只考虑公司资产在最后t 时刻的价值，不 考虑公司在债券到期之前违约，这是不符合实际情况的。以后的好多作者扩展了 他的模型。比如b l a c k c o x 模型( 1 9 7 6 ) ，他们依然假设公司的资产符合几何布朗 运动，但违约时间定义为公司价值过程v 。到一个特定边界a 的首达时： 7 - = i n f ( t 【0 ，卵，k 五) = i n f ( t 0 ，卅，v t a ) 这样公司可能在丁之前违约。同时边界的确定成为一个新的问题，b l a c k c o x ( 1 9 7 6 ) ， l e l a n d ( 1 9 9 4 ) ，l e l a n d 和t o f t ( 1 9 9 6 ) 等都建立了各自的模型来确定最优边界。另 夕l - z h o u ( 1 9 9 6 ) 再次扩展了结构化模型，他假设公司资产符合跳扩散过程，依然以 其到某一边界的首达时为违约时，并给出这种模型下债券定价的蒙特卡罗模拟算 法。 。 这篇文章中，我们基于z h o u ( 1 9 9 7 ) 的跳扩散模型，用公司资产过程对违约边 界的末离时引出违约时间，并且给出一条具有直观意义的违约边界，最后给出这 种模型下企业债券定价的蒙特卡罗算法。 第二章模型假设 第二章模型假设 在这一章中我们给出基本的模型假设和符号标记。 2 1 资产价值过程 已知概率空间( q ，丁， 五) o t t ，q ) ，假设企业债券到期日为t ，公司的价值 过程符合跳扩散过程，即： d y t = ( u 一) w ) d t + c r d 眦+ ( i i 一1 ) d y t( 2 1 1 ) 其中： 乱，v ，入，盯为常数 眦为标准的布朗运动 k 为概率空间上的泊松过程，强度为入，即入表示公司资产过程发生跳跃的频率 t 为对数正态过程，且对任意t 有l n ( i - i 。) 一n ( u 订，0 i t ) 五) o t r ，q ) 为眠，m ，t 生成的盯代数流 盯为扩散过程的波动率。 u 表示公司资产的跳跃幅度 u = e n 一1 】= e x p ( u 丌+ 盯；2 ) 一1 入 就表示跳跃过程引起的资产增长率 乱表示公司资产的自然增长率 q 为风险中性测度 假设无风险利率为常数r ，那么在风险中性测度q 下，u = r ，( 2 1 1 ) 可写为 由( 2 1 2 ) 可知 d v t v t = ( r a 口) 出+ a d 比+ ( 一1 ) d y t( 2 1 2 ) 妣k = ( r 一舳一三一出+ 盯d 吼+ f n r l d y 。 ( 2 1 3 ) 2 第二章模型假设 以及 2 佗k = f 礼+ ( r - a v - 互1 盯2 ) 亡+ 盯眦+ j f o t i n h d k v t = v o e x p ( ( r a v 一去盯2 ) 亡+ a w t + i n y i d y t ) 1 y ( t ) = v o e 印( ( r 一入口一吉盯2 ) 亡+ 仃w t + 磊) ( 2 1 4 ) 其e e z , 一n ( u 霄，o r t r ) 2 2 违约时定义 b l a c k c o x 框架为首达时模型，即违约时间定义为公司价值过程v t 到一个 特定边界a 的首达时： 7 - = i n f ( t 0 ，卅， a ) = i n f ( t 0 ，卅，k 五) 但是这个违约时是兀可料的( 我们并不希望有这样的性质) ，并且在实际中公司 资产低于某一边界后并不一定违约，公司可以通过一定经济手段使资产价值重新 达到边界以上，所以首达时模型具有一定的不合理性。下面我们考虑公司资产价 值k 末离边界a 。的时间 定义公司违约时 l 。= s u p t 丁；k a t ，+ 。) ) 丁= 笋鬈；尔x h p l n t 时，公司资产价值从l n n t 点再也不能到达边界以上以在t 时刻支付债 务，此时定义7 - = l 口( 图2 1 ) 。当l 。= t 时有两种情况：若y r x ，即公司资产过 程在许时刻产生跳跃到边界以下，不能支付债务，公司违约，定义7 = t ( 图2 2 ) ； 若此时x 则公司不违约( 图2 3 ) 。我们的边界取丁时刻应付债务x 在t 时刻的 贴现值( 即n 。= x e - r t ) ，这样我们定义的违约时在经济上是直观合理的，并且在数 学上它并不是 五) o 。 t 可料的，在一定程度上修正了经典违约时的不足之处。 3 第二章模型假设 r 图2 1 ， r = 丘 图2 2 ， 图2 3 r = 厶= t 4 ， r 暮丘= t 第三章可违约债券定价公式 第三章可违约债券定价公式 3 1 可违约债券价格的显式解 对可违约权益五元组( x ，a ，x ，五，7 - ) ： x 表示无违约情况下，t 时刻应偿付权益 a 表示n t 时刻累计的红利 x 表示违约情况下，丁时刻返回的权益 五表示在违约情况下，亡时刻返回权益 7 - 表示违约时 在这里为了方便起见，我们令a t = 0 ( 即无红利支付) ，磊= 0 ( 只在t 时刻支付返 回权益) ，x = 6 x ( o 占 r + 腑丑r t 五 = x e r ( t 一。) 一x e 一7 ( 丁一) e q 【( 1 6 ) 卫r t 五】 = x e r ( t 一) 一x e r ( t 一( 1 6 ) q ( 7 t 乒 t ) ( 3 1 1 ) 由( 2 1 4 ) 我们可得： 峙砒酬卜肌瓤m + 磊) 那么f 佗在条件五和n ( t ) 一n ( t ) = n 下服从均值为l n ( v t ) + t t u 丌+ ( r 一知一 盯2 ) ( t 一亡) ，方差为n 砰+ l ( 7 2 ( t 一亡) 的正态分布。 定理3 1 1 在以上规定的条件下，可违约债券的价值过程 x d ( t ，t ) = x e r ( t 一2 ) 一x e 一7 ( r 一。) ( 1 6 ) 5 ( 3 1 2 )半 第三章可违约债券定价公式 证明见附录。 由定理3 1 1 的证明中 q ( t 丁磊) = q ( 许 a o ，在以上规定的条件下，可违约债券的现价 x d ( o ，t ) = x e r t x ( 1 6 ) e r tl i mf q n + 一 其中 如：三t q i = k ：一。x e r 丁，k ： x e - r t , v j i ) q = q ( q t ) k ：= v o l n ( v t * ) 一i n ( 呸1 ) = z e + y i r r i i = 1 ，2 ，n z t 一( ( r a 秒一丢盯2 ) 吾，盯吾) 7 p i n ( u 7 r ，2 ) 纨= 呈曩蓑耋支；入熹 z t ，y t ，死相互独立 第三章可违约债券定价公式 证明见附录。 这个定理是非常容易理解的，即当佗很大的时候资产价值在每一个小区间上 发生跳跃两次以上的概率可以忽略不计，y i 就表示在区间( 乞一1 ，t i 发生跳跃的概 率，7 r 。表示在该区间跳跃的幅度，我们让既= 兢0 一a v ，其中z ? 一( ( r 一 盯2 ) 吾，仃吾) ， 那么z ? 表示扩散过程部分，而入u + y i r i 表示跳跃过程部分对资产变化的影响。 基于以上定理，给出蒙特卡罗模拟的具体步骤： ( a ) 取n 足够大，如n = 5 0 0 。 ( b ) 将区f a o ，t i n 等分，记t i = i n t ，i = 1 ，2 ，礼。 ( c ) 取m 足够大，如m = 1 0 0 0 0 ，重复以下步骤m 次 ( 1 ) 按定理3 2 1 中的分布对每个i 生成一组相互独立的随机变量兢，z i ，y i ( 2 ) 令= v o ，计算 2 n ( k ) 一2 n ( k 一，) = x i + y i z r i i = 1 ，2 ，礼 ( 3 ) 找出第一个这样的整数i ，使得2 n ( 屹) a o ，在以上规定的条件下，可违约债券的现价 x d ( o ，t ) = x e - r t - t - e 川熙酽 ( x 一目( 嵋) ) 哦协 n 一 。 毒= 1 其中 岛= 二t 7 己 q i = k 2 。x e - r t , k ； x e - r t i ) q = q ( 1 2 , ) k ：= v o 轨( k ) 一i n ( 一。) = x i - - y i t r i i = 1 ，2 ，礼 z t 一( ( r 一入钞一三仃2 ) 莠，仃丢) 7 r i 一( 钆丌，2 ) 玑= 呈爱囊辜支i 入吾 玩，y ，死相互独立 证明见附录。 相应的，我们给出蒙特卡罗模拟的具体步骤： ( a ) 取n 足够大，如n = 5 0 0 。 ( b ) 将区间【0 ，邪礼等分，记如= n - - t ，i = 1 ，2 ，礼。 8 第四章随机返回率及v 打测度的计算 ( c ) 取m 足够大，如m = 1 0 0 0 0 ，重复以下步骤m 次 ( 1 ) 按定理4 1 1 中的分布对每个i 生成一组相互独立的随机变量x i ，7 1 i ，y i ( 2 ) 令k ：= k ，计算 z n ( v , 7 ) 一z n ( v , 7 一。) = x i + 玑死 i = 1 ，2 ，n ( 3 ) 找出第一个这样的整数i ，使得f n ( k ：) v a t l = 1 一u 其中a v 是指持有债券在时间a t 内的损失，u 为置信度。 利用定理4 1 1 我们给出计算持有相应债券v a t 的蒙特卡罗模拟算法： 假设展望期为亡 ( a ) 取n 足够大，如n = 5 0 0 。 ( b ) 将区间 o ，卅礼等分，记t i = 砉t ，i = 1 ，2 ，死。 ( c ) 取m 足够大，如m = 1 0 0 0 0 ，重复以下步骤m 次 ( 1 ) 按定理4 1 i f 的分布对每个i 生成一组相互独立的随机变量毛，7 r i ，y i ( 2 ) 令噱= v o ，计算 f n ( k ：) 一l n ( v t 7 一，) = x i + y i 7 r i i = 1 ，2 ，佗 ( 3 ) 找出第一个这样的整数i ，使得f 扎( 圪) a o ，在t 时刻的违约返回率为秒( w ) ， 那么可违约债券的现价 x d ( o ，t ) = x e q e x p ( 一d s ) 】+ l i m e q e z p ( - j 7 乏t n ) ( x 口( k ：) ) q d q ； o n - - - * 0 0 。一 一1 一 。 其中 t i = 二t n 吼= k _ 。x e 印( 一r k 一，t n ) ，y , j x e 印( 一r ；t n ) ，坳z ) k = i 南= j 1 0 第五章随机利率的情况 q = q ( q t ) r ；o = r o = k r 乏一r 乏一，= 已 f 佗( k ：) 一f 扎( k ：_ ，) = x i + 玑死 i = 1 ，2 ，礼 ( 耋) 一( ( 吒一譬恕知t ，( p 荔法刚乒 死一g ( u 丌，2 ) 玑2 t0 1 以概率入吾忆 f以概率1 一入吾 e q e x p ( 一n 以) 】 如( 5 1 2 ) 式所示 证明见附录。 基于以上定理，给出蒙特卡罗模拟的具体步骤： ( a ) 取n 足够大，如n = 5 0 0 。 ( b ) 将区间 o ，t i n 等分，记岛= 砉zi = 1 ，2 ，礼。 ( c ) 取m 足够大，如m = 1 0 0 0 0 ，重复以下步骤m 次 ( 1 ) 按定理5 1 1 中的分布对每个i 生成一组相互独立的随机变量兢，邑，7 r i ，y i ( 2 ) + v t ：= v o 计算 i n ( v t * ) 一i n ( k 1 ) = z i + y i t r i i = 1 ，2 ，n ( 3 ) 找出第一个这样的整数i ，使得f 几( k 乏) a o ，在耐刻的违约返回率为伊( w ) ， 那么可违约债券的现价 一t nn ( 咿) “伊 e x p ( 一1 0 喇s ) + l i r ae 渊庐 e x p ( 一r ；f 酬川( 删啪 其中 t i = 二t 哦= 喙，x e x p ( 一r ：一。t n ) ， x e x p ( - r ；t n ) ，碍 k = i k = j q i = q ( 5 2 i ) r t o = r o k ：= 7 乏一r = k ，= & 1 2 第五章随机利率的情况 f 凡( k ：) 一l n ( y l 。) = x i + y i z r i i = 1 ，2 ，礼 ( 塞) 一( ( 吒一譬憩a 口) 吾，( r 1 2 一p a t ) t ) 几一n ( u 丌，2 ) 玑= 呈美蓑耋支i a 吾 e q e 印( 一r 。以) 如( 5 2 2 ) 式所示 证明类似于定理5 1 1 ( 略) 。 我们同样可以得到相应蒙特卡罗算法的具体步骤( 略) 。 1 3 第六章模型分析 第六章模型分析 由于在我们的模型中用跳扩散过程的末离时导出违约时间，这样违约时7 - 和 债券的到期日有十分密切的关系，我们假设公司价值的瞬时波动率d r 矿为常数， 由( 2 1 3 ) 知 盯移= d r 2 + a 盯；( 6 。1 1 ) 取t = 1 0 ，t = 7 ，t = 4 ，t = 2 ，t = 1 ，t = 0 5 ，分别计算债券违约的累积概率 和边际违约概率并与首达时模型作对比，如图6 。1 图6 。1 2 ( 其中实线为首达时曲线， 虚线为末离时曲线，x = 1 ，1 o = 1 5 ，r = o 0 5 ，a = o 0 5 ，u 丌= 0 ，盯移= 0 0 3 5 ，仃丌2 = o 2 5 ，d r 2 = 盯移一a d r ；) 。在相同的边界a t = x e - r t 下，末离时模型的违约概率相对首 达时模型违约概率更小，这是因为我们的模型考虑在公司资产过程到达边界以下 后给公司一定的机会在到期之前重新回到边界以上。同时我们看到，在临近到期 时间丁的时候，末离时模型的违约概率变得相对很大，这是由于此时公司资产再 回到边界以上的机会变得很小。另外，类似于首达时的跳扩散模型，在到期日很 短的情况下( 如t = o 5 ) ，公司的违约概率也是大于零的，这是由于我们在公司价 值过程模型中加了跳跃的原因，这是与实际相同情况相同的，我们可以看到在到 期时间很短的时候我们的模型和首达时模型的违约概率相差不大，这是因为，这 时违约的原因主要是由于跳过程，如果在这一段时间内发生跳跃到边界以下，是 很难再回到边界以上的，毕竟在很短的时间内发生两次相反方向跳跃的概率是很 小的。 我们再对模型的其他参数进行分析，图( 6 1 3 ) 中t = t 0 ，x = 1 ，v o = 1 5 ，r = o 0 5 ，入= 0 0 5 ，缸丌= 0 ，盯移= 0 0 3 5 ，盯2 = 仃移一久仃；，分别取2 = 0 2 5 ，伊霄2 = 0 5 ，晖2 = 0 6 5 ，可知，在总波动率一定的情况下，跳跃部分的波动率越大，违约 概率越大。m ( 6 t 4 ) 中t = t 0 ，x = l ，v o = 1 5 ，r = o 0 5 ，u 霄= 0 ，盯参= 0 0 3 5 ，晖2 = o 2 5 ，盯2 = 盯移一a 盯：，分别取入= o 0 5 ，a = o 1 ，a = o 1 3 ，可知波动率随a 的值单 调递增，这个是很容易理解的，a 越大，资产价值k 的跳跃频率越高，公司越容易 违约。另外一个显然的情况，公司的初始价值越高越不容易违约在图( 6 1 5 ) 得到 证明，其中t = 1 0 ，x = 1 ，r = o 0 5 ，a = o 0 5 ，u 丌= 0 ，仃参= o 0 3 5 ，2 = o 2 5 ，仃2 = 盯移一a 盯；，分别取y o = 1 5 ，y o = 2 ，y o = 2 5 。 1 4 第六章模型分析 o o o 图6 1 0 24681 0 图6 2 o268加 图6 3 0i23 567 t o o o o o 第六章模型分析 图6 4 ol2 34 图6 5 7 d o o o o 图6 6 234 0 1 6 t ， t 第六章模型分析 图6 7 o m0 3 l卫lj3 0 图6 s 0 mo j 1 ml j2 m 图6 9 0 00 20 0 6 0 - 81 0 1 7 o o o 0 0 o o o o 0 第六章模型分析 图6 1 0 0 00 20 40 60 8 1 0 0 o o o 图6 1 1 0 00 10 20 30 40 5 o o 0 0 图6 1 2 0 00 1o j0 300j t 第六章模型分析 图6 1 3 o ： o - , = 0 2 5 6 一一吒= 0 5 0 图6 1 4 0加 吒= 0 6 5 0】69 旯= 0 0 5 一一丑= 0 1 五：0 1 3 图6 1 5 o24 一一一v 0 = 1 5 一= 2 e1 0 = 2 5 第七章结语 第七章结语 本篇文章讨论了基于跳扩散过程末离时的信用风险模型，在无风险利率r 、返 回率6 为常数的假设下，给出可违约债券的价格过程x d ( t ，t ) 的数学表达式，并给 出一个有效的蒙特卡罗模拟算法。文章接下来把模型推广到随机返回率以及随机 利率的情况，并在文章最后对模型参数进行分析。我们的模型对于各种信用衍生 产品的定价有很重要的启发作用，信用违约互换，信用逆差衍生产品的定价都可 以用我们的模型进行计算。 在此基础上我们的模型还有许多方面有待于进一步改进研究，比如进行实证 分析，以及最优边界的确定，推广到有红利的债券( a 0 ) ，债券违约后在违约时 支付返回值( 乙o ) 等等，另外，由于公司资产的不透明性这个结构化模型最大 的弱点，进一步发展跳扩散过程末离时相应的强度模型是非常有意义的工作。 第八章附录 第八章附录 定理3 1 1 的证明。 证明：由3 1 1 式我们知： x d ( ，t ) = x e 一7 ( r 一。) 一x e 一”( t 一( 1 5 ) q o t 咒) 所以我们只需要计算q ( 丁叫五) q ( 7 叫五) = q ( l 。 叫五) + q ( l 。= t ，硌 n t 五) = q ( y r a r j = t ) = q ( y r x 五) = q ( i n v t f 礼x 五) 一i q ( 1 n v t l n x t t ，( t ) 一( t ) = 礼) q ( ( t ) 一( 亡) = n ) 定理3 2 1 的证明。 证明：由3 1 1 式我们知： x d ( o ，t ) = x e 一7 t x e r r ( 1 6 ) q ( 7 - t ) 另外 q ( 丁丁) = q ( 如一， 丁屯) i = 1 令 佥t = k ；一。x e r ? ，k j x e - r t , t q = q ( q t ) 2 1 半 第八章附录 那么 由等式( 2 1 3 ) 可知 q ( 如一。 7 - 如) = 国。+ 。( 吾) z n ( y t ；) 一l n ( v t ) = x i +i = 1 ) 2 ，2 ，佗 j = o 翰一( ( r 一入钉一言盯2 ) 吾，仃2 吾) 一( u 霄，2 ) q ( ：尼) ：a 七竺里妄翌( 吾) 七 尼：。，1 ，2 ， 由k 和q i 的定义，有 q t = q i + o ( 二- ) 所以 得到 证毕。 定理4 1 1 的证明。 证明： 另外 令 q ( 屯一1 x d ( 0 ，t ) = e q ( x 一目( w ) ) 丑r t 】= r + 目( w ) 丑，r 】 x e 吖r e - 7 t e q ( x 一目( w ) ) r t 】 e q x p ( 诈) 岛一1 7 - t i q ( t t 一1 7 - t i ) 筑= 【k 。一。x e 一 ，k j x e - r t , z - q i = q ( q t ) q n 曲 璺l = t 一 丁 q 汹 第八章附录 那么 q ( t i 一。丁 如) = q 。+ 。( 吾) e q 一日( w ) 屯一 7 - 岛】= e q 一e ( h 。) 岛一 t + e 印( 一d s ) o ( v ，) l r t 】 j 0 j 0 = x e q e 印( 一z 丁r 。d 。) 】一e q 陋p ( 一0 t r s d s ) ( x p ( w ) ) 丑下丁 第八章附录 另外 e q e x p ( - d s ) ( x 目( k ) ) 丑，t 】 = 俨 e x p ( - 卜。d s ) ( x 一目( w ) ) 岛一。 7 纠她一1 7 屯) i 一1 ，0 ：ne q e 印( 妻一“r 。d s ) ( x 一口( w ) ) 如一。 丁屯】q ( 如一。 丁岛) 令 兜： k 一，x e 印( 壹一f “如) ， x e 印( n 一厂如) ，坳t 】 k = i j t k - - 1 k = j + 1 ，t k 一1 q = q ( q i ) 那么 q ( 亡l 一1 丁岛) = q i + 。( 寺 e q e x p e q e x p e q e x p r s d s ) ( x 一9 ( w ) ) 屯一1 7 - t i 】 r 。d s ) ( x 一9 ( k ；) ) 屯一， 7 - 岛】+ 。( 吾) 州s 胚叫酬q 抖。( 弓 由等式( 2 1 3 ) ，( 5 1 1 ) 可知 l n ( y t i ) 一z n ( y ) = 甄+ r i d i = 1 2 n n t r t t 一1 = 已 ( 塞) 一譬恕知t ，( 彳范删瓜c 7 2 ) 三t t ) 一( 札丌，) q ( k i = 忌) = 入七呈兰里妄塑( 吾) 知七：。，1 ，2 ， 一 一 一 广k 广k 广k 礼触n同竹声 第八章附录 由，7 乏和q i 的定义，有 ( i - - 阱。( 弓 吲一妻沪e 计妻咧卅。( 弓 i = 1j t j 一1f 三i 7 1 ，t jn卜 e q e x p ( 一z 。如) ( x 目( k ) ) 盹】= e q e x p ( 一zr i t 佗) ( x 一目( k ：) ) q 小卜。( 等) i = 1o j 一1i = 1 o 所以 eqexp(一rsds)(xp(k)丑下丁=甚恐eqezp(-jr 乏叫礼) ( x p ( ) ) q 幻q i o n 。一一j 。 ”。 参考文献 参考文献 【l 】a l t m a n ，e i ( 1 9 8 9 ) ：”m e a s u r i n gc o r p o r a t eb o n dm o r t a l i t ya n dp e r f o r m a n c e j o u r n a lo ff i n a n c e4 4 ，9 0 9 9 2 2 【2 】b a t e s ，d s ( 1 9 9 1 ) ：”t h ec r a s ho f8 7 ：w a si te x p e c t e d ? t h ee v i d e n c ef r o mo p t i o n s m a r k e t s j o u r n a lo ff i n a n c e4 6 ，10 0 9 10 4 4 3 1b a t e s d s ( 1 9 9 6 ) ：j u m p sa n ds t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ：”e x c h a n g er a t ep r o c e s s e si m p l i c i ti nd e u t s c h em a r ko p t i o n s r e v i e wo ff i n a n c i a ls t u d i e s9 ，6 9 10 7 4 】b l a c k , ea n dj c c o x ( 1 9 7 6 ) ：”v a l u i n gc o r p o r a t es e c u r i t i e s ：s o m ee f f e c t so f b o n d i n d e n t u r ep r o v i s i o n s j o u r n a lo ff i n a n c e3 1 ，3 5 1 3 6 7 5 1b l a c k , ea n dm s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) ： t h ep r i c i n go f o p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s , j o u r r l a lo fp o l i t i c a le c o n o m y8 1 ，6 3 7 6 5 4 【6 】c h a n c e ，d m ( 1 9 9 0 ) ：”d e f a u l tr i s ka n dt h ed u r a t i o no fz e r o - c o u p o nb o n d s , j o u r - n a lo ff i n a n c e4 5 ，2 6 5 2 7 4 7 】c o x ，j c j i n g e r s o l l ，a n ds r o s s ( 19 8 5 ) ：”at h e o r yo ft h et e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s e c o n o m e t r i c a5 3 ，3 8 5 - 4 0 7 8 】d u f f e e ，g r ( 1 9 9 6 ) ：”o nm e a s u r i n gc r e d i tr i s k so fd e r i v a t i v ei n s t r u m e n t s , j o u r - n a lo fb a n k i n ga n df i n a n c e 9 d u f f l e ，d a n dk j s i n g l e t o n ( 1 9 9 5 ) ：”m o d e l i n gt e r ms t r u c t u r e so fd e f a u l t a b l e b o n d s , w o r k i n gp a p e r , s t a n d f o r du n i v e r s i t yb u s i n e s ss c h 0 0 1 【l o 】h a r r i s o n ，j m ( 1 9 9 0 ) ：”b r o w n i a nm o t i o na n ds t o c h a s t i cf l o ws y s t e m s k r i e g e r p u b l i s h i n gc o m p a n y ：h o d d a 【11 】h u l l ，j a n da w h i t e ( 1 9 9 2 ) ：”t h ep r i c eo fd e f a u l t r i s k5 1 0 1 1 0 3 参考文献 【1 2 】j a r r o w , r a d l a n d o ，a n ds t u r n b u l l ( 1 9 9 4 ) ：”am a r k o vm o d e lf o rt h et e r m s t r u c t u r eo fc r e d i tr i s ks p r e a d s , w o r k i n gp a t e r , c o r n e l lu n i v e r s i t y 1 3 】j a r r o w ，r a a n de r r o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) ： j u m pr i s k sa n dt h ei n t e r t e m p o r a lc a p i t a l a s s e tp r i c i n gm o d e l j o u r n a lo fb u s i n e s s5 7 ，3 3 7 3 51 1 4 j a r r o w , r a a n da r u d d ( 1 9 8 3 ) ：o p t i o np r i c i n g ，i r w i n 1 5 】j a r r o w , r a a n ds t u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) ：”p r i c i n gd e r i v a t i v e so nf i n a n c i a ls e c u r i t i e s s u b j e c tt oc r e d i tr i s k j o u r n a lo ff i n a n c e4 2 ，2 6 7 2 8 0 【1 6 】j o h n s o n ，h a n dr s t u l z ( 1 9 8 7 ) ： t h ep r i c i n go fo p t i o n sw i t hd e f a u l tr i s e j o u r n a l o ff i n a n c e4 2 。2 6 7 2 8 0 【17 】k i m , i j ，k r a m a s w a m y , a n ds s u n d a r e s a n ( 19 9 2 ) ：”t h ev a l u a t i o no fc o r p o r a t e 丘x e di n c o m es e c u r i t i e s , w o r k i n gp a p e r , n e wy 0 r ku n i v e r s i t y 【1 8 】l e l a n d ，h e a n dk b t o f t ( 1 9 9 6 ) ：”o p t i m a lc a p i t a ls t r u c t u r e ，e n d o g e n o u s b a n k r u p t c y , a n dt h et e r ms t r u c t u r eo fc r e d i ts p r e a d s , j o u r n a lo ff i n a n c e51 ，9 8 7 1 0 1 9 【1 9 】m e r t o n ，r c ( 1 9 7 1 ) ：”o p t i m u mc o n s u m p t i o na n dp o r t f o l i or u l e si nac o n t i n u o u s - t i m em o d e l j o u r n a lo fe c n o m i ct h e o r y3 , 3 7 3 413 【2 0 】m e r t o n ，r c ( 1 9 7 4 ) ：”o nt h ep r i c i n go fc o r p o r a t ed e b t ：t h er i s ks t r u c t u r eo fi n t e r - e s tr a t e , j o u r n a lo ff i n a n c e2 9 ，4 4 9 4 7 0 【2 1 】m e r t o n ，r c ( 1 9 7 6 ) ：”o p t i