（控制理论与控制工程专业论文）基于小波分析的大气颗粒物数字图像的边缘检测.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 大气悬浮颗粒污染物( t s p ) 是指空气动力学当量直径在1 0 0 微米以下的固 态和液态颗粒物，它是造成大气污染的重要原因之一。如何有效的识别出大气 中悬浮颗粒状污染物，采取必要的保护措施，直是国内外环境人员研究的一 个重要课题。 在图像分析的研究和应用中，图像分割是一种基本的和关键的技术，其目 的是将目标和背景分离，为目标识别、精确定位等后续处理提供依据，其结果 直接影响到其后的信息处理过程。在图像分割中，边缘检测方法可以说是人们 研究得最多的方法，它试图通过检测包含不同区域的边缘来解决图像分割问题。 由于小波变换具有良好的多尺度边缘检测性质，使得小波变换用于边缘检 测的理论和应用都得到了极大的发展。建立在这些发展的基础之上，本文主要 在经典的图像边缘检测方法研究、小波变换的基本理论研究、研究了利用小波 算子进行图像边缘检测的方法、总结了在图像边缘检测中会遇到的一些问题这 几方面作了部分工作。 经典的图像边缘检测方法包括：差分边缘检测、r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、 p r e w i 饥算子、r o b i n s o n 算子和l a p l a c e 算子，并通过理论分析和仿真计算， 比较了它们各自的优缺点及适用性。这类经典的方法大都基于微分技术来确定 图像的边缘，算法简单，但抗噪性能较差，适用于边缘比较清晰的图像边缘检 测。然后介绍小波变换基本理论，给出了一种自适应整数小波变换方法。研究 了利用小波算子进行图像边缘检测的方法。 小波变换具有良好的时频局部化特性及多尺度分析能力，本文利用选取合 适的小波基函数，通过对含有边缘模糊的l e n a 标准图像，大气颗粒物数字图像 进行图像的二值化，中值滤波，利用小波算法对处理后的图像进行边缘检测， 显示出了这类方法与传统的边缘检测方法相比具有的良好效果。最后对本文工 作进行了总结。列出了在图像边缘检测中会遇到的一些问题，以及应采取的措 施。如：阈值选取、边缘检测的前后处理等。通过仿真计算，比较了在各种不 同情况的检测结果。 本文工作对图像处理中的边缘检测方法研究以及应用有一定的参考价值。 关键词：图像处理边缘检测 小波变换多尺度分析 墓堡望三奎堂堡主兰垡丝壅 a b s t r a c t t o t a ls u s p e n d e dp a n i c u l a t e ( t s p ) m e 趾st h cs 0 1 i da n dl i q u i d 酽a i nm i n g s ， w h o s ea e r o d v n 舯i c se q u i v a l e n td i 锄e t e ri sb e l o w10 0m i c r o n s i ti so n eo ft 1 1 em o s t i m p o r t 锄tr e a s o n so fa i rp 0 1 l m i o n h o wt oi d e n t i 母t s pe 商e c t i v e l yi nt l l e 锄o s p h e r e ， a n dt oa d o p tn e c e s s a r yp r o t e c t i o n ，h 矗sb e e na ni l p o n a i l tt o p i ct h a tt h ee n v i r o n m e n t d e r s o n n e l ，b o t hi na 1 1 da b r o a d ，s t u d i e sa l im et i m e i nt 1 1 er e s e a r c ho fi m a g ea n a l y s i s ，i m a g ed i v i s i o ni so n ei m p o r t a mt e c l l i l 0 1 0 鼢 w h i c hd i v i d e so b j e c t s 丘o mb a c k g r o u n d i tg i v e su sb a s e m e mt oo b j e c td e t e c t i o n h t h ei m a g ed i v i s i o n ，e d g ed e t e c t i o ni so n eo fi m p o r t a n tm e t h o d s i td e a l sw i t l le d g e d e t e c t i o np r o b l e m st h r o u g hd e t e c t i n gt h ee d g eo fd i f f b r e n ta r e a w a v e l e t b a s e de d g ed e t e c t i o nh a sb e i n gs u r p r i s i n g l yd e v e l o p e db o t l l i np u r e t h e o r y a i l d a p p l i c a t i o nb e c a u s e w a v e l e tt r a n s f b 珊h a sp r o r n i n e ma b i l i t i e so f m u 丘i s c a l ee d g ed e t e c t i o n b a s e do nt h ed e v e l o p m e n t ， t h i sa n i c le l sm a i l l c o n t r i b u t i o ni n c l u d er e s e a r c ho nt h ec l a s s i cm e m o d so fi m a g ee d g ed e t e c t i o n 、 w a v e l e tt h e o r y 、 i m a g ee d g ed e t e c t i o nb a s e do nw a v e l e tt 1 1 e o r ya n ds o m ep r o b l e m o nm ei m a g ee d g ed e t e c t i o n t h ec l a s s i cm e t h o d so fi m a g ee d g ed e t e c t i o ni n c l u d e sd i f 叠 1 e n c eo p e r a t o r ， r o b e r t so p e m t o r 、s o b e lo p e r a t o r 、p r e w i no p e r a t o r 、r o b i n s o no p e r a t o ra n dl 印l a c e o p e r a t o lt h r o u g hm e o r ya n a l y s i sa n di m i t a t i o n ，c o m p a r e 、i t ht h e i ra d v a n t a g ea n d d i s a d v a i l t a g e t h e s em e 血o d sa r eb a s e do n d i 疗b r e m i a lc o e 衔c i e n ta i l ds i i r l p l e ，b u tt h e a b i l 畸o fa n t i n o i s ei sb a d t h e ya r eo n e nu s e dc l e a re d g ed e t e c t i o n n e x t a 1 1a d a 州v e w a v e l e tt r a 璐f b n n 廿1 a tm a p si n t e g e r st oi n t e g e r si sp r e s e n t e di n t h j sp 印e ls o m e r e s e a r c hi sd o n ei nm ew a v e l c t b a s e de d g ed e t e c t i o nm e m o d s l a s ts o m ep r o b l e m s i nt h ew a v e l e t b a s e de d g ed c t e c t i o na r es 啪m e du pa n d 百v eu sm e 血o d st or e s o l v e 廿l e s ep r o b l e m s a u 廿1 ew o r ki nt h i sp 印e ri so fs o m ev a l u et or e s e a r c ha n d 印p l i c a t i o n so fi m a g e e d g ed e t e c t i o n k e yw o r d s ：i m a g ep r o c e s s i n g ；e d g ed e t e c t i o n ；w a v e l e tt r a n s f o r n l ； m u l t i s c a l ea n a l y s i s i i 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 人类的世界是一个丰富多彩纷繁复杂的世界。人类在自然界的活动中，视 觉信息是人的主要视觉来源。人类认识外在世界的信息8 0 是通过视觉提供。 随着计算机技术的发展，数字图像技术近年来得到极大的重视和长足的发展， 出现了许多有关的新理论、新方法、新算法、新手段和新设备，并已经在科学 研究、工业生产、医疗卫生、教育、娱乐、管理和通信等方面得到了广泛的应 用，对推动社会发展改善人们生活水平都起到了重要的作用。 1 1 图像分割技术 在图像分析的研究和应用中，图像分割是一种基本的和关键的技术，其目 的是将目标和背景分离，为目标识别、精确定位等后续处理提供依据，其结果 直接影响到其后的信息处理过程。 借助集合的概念，图像分割的定义如下： 令几何厅代表整个图像区域，对开的分割可以看作将斤分成若干个满足以 下5 个条件的非空的子集( 子区域) 届，尼，尼： ( 1 ) ur r ； = 1 ( 2 ) 对所有的j 和如! 有届n 尼= 函 ( 3 ) 对j = 1 ，2 ，且有以尼) = t r u e ( 4 ) 对j 有尸( 尼u 脚= f a l s e ( 5 ) 对j = 1 ，2 ，月，尼是连通的区域。 其中，尸r ) 是对所有在集合尼中元素的逻辑谓词，函是空集。 图像分割的过程是把图像各具特性的区域( 也称目标) 提取出来的过程。 要点是：把图像划分成若干互不交迭区域的集合，这些区域要么对当前的任务 有意义，要么有助于说明它们与实际物体或物体的某些部分之间的对应关系。 图像分割对把输入图像转化为分割图像，从而进一步提取目标特征，进行目标 测量和分类以及其后的高层处理等都非常重要。 对灰度图像的分割常常基于灰度值的两个性质：不连续性和相似性。区域 武汉理工大学硕士学位论文 内部的象素一般具有灰度相似性，而在区域之间的边界上一般具有灰度不连续 性。所以分割算法可据此分为利用区域间灰度不连续性的基于边界的算法和利 用区域内灰度相似性的基于区域的算法。 另外，根据分割过程中处理策略的不同，分割算法又可分为并行算法和串 行算法。在并行算法中，所有边缘点都可独立地和同时地做出，而在串行算法 中，早期处理的结果可被其后的处理过程所利用。一般串行算法所需要的时间 比并行算法长，但抗噪能力较强。以上述位两个准则互不重合又互为补充，所 以分割算法可根据这两个准则分成四类：如图所示： f 并行边界类 图像分割 霁霁嫠螽羹 i 串行区域类 关于图像分割技术，已经有相当多的研究结果和方法。从6 0 年代开始人们 就对图像分割技术进行了大量的研究，至今已经提出了上千种针对各种具体应 用的分割算法。但是，由于图像分割的重要性和困难性，尽管从七十年代起图 像分割问题就吸引了很多研究人员为之付出巨大的努力，但是直到目前为止， 还不存在一个通用的方法及判断分割是否成功的客观标准。 1 2 图像边缘检测方法 在图像分割中，边缘检测方法可以说是人们研究得最多的方法，它试图通 过检测包含不同区域的边缘来解决图像分割问题。图像的大部分主要信息都存 在于图像的边缘中，主要表现为图像局部特征的不连续性，是图像中灰度变化 比较剧烈的地方，也即我们通常所说的信号发生奇异变化的地方。奇异信号沿 边缘走向的灰度变化剧烈，通常我们将边缘划分为阶跃状和屋顶状两种类型。 阶跃边缘中边缘两边的灰度值有明显的变化；而屋顶状边缘中边缘位于灰度增 加与减少的交界处。在数学上可利用灰度的导数来刻划边缘的变化，对阶跃边 缘、屋顶状边缘分别求其一阶、二阶导数。可见，对阶跃边缘点，其灰度变化 曲线的一阶导数在a 点达到极大值；二级导数在a 点与零交叉。对屋顶状边缘 b ，其灰度变化曲线的一阶导数在b 点与零交叉，二阶导数在b 点达到极大值。 基于边缘检测的方法可以是并行的，也可以是串行的，主要取决于边缘连 2 武汉理工大学硕士学位论文 接或跟踪时采用的策略，闽值分割法和象素分割问题都属于并行区域类，而区 域生长和区域分裂合并则属于串行区域类。 在这些方法中，边缘检测方法是人们研究得最多的方法，它试图通过检测 包含不同区域的边缘来解决图像分割问题，基于在不同区域之间的边缘上象素 灰度值的变化往往比较剧烈，这类方法大多是基于局部信息的，一般利用图像 一阶导数的极大值或者二阶倒数的过零点信息提供判断边缘点的依据。在现代 的图像分割技术中，人们常常用这种方法对图像进行初步处理，再血癌用方法 得到准确的边界，从而实现图像的正确分割。再本文第二章节中将详细介绍这 些方法。 早期，人们利用局部图像微分技术来获得边缘检测算子，但是微分算予的 方法受噪声的影响很大，人们提出了理论上最成熟的线性滤波方法，但是，小 尺度滤波定位边缘准确，但对噪声较敏感，大尺度滤波定位边缘又会发生偏移。 小波方法是处理顺便信号的有力工具，将小波理论应用于图像边缘检测中，能 够取得很好的结果。 1 3 评价边缘检测算法的准则 1 3 1 连续c a n n y 准则 要确定边缘检测算子的优劣性，需要有评价它们的最优准则。目前用于评 价边缘检测算子的标准很多，而且这些不同的最优准则，得到了不同的边缘检 测算子( 如s h e n ，d e r i c h e 和c a n n y 算子) 。这些最优准则中应用最为广泛的评 价标准是c a n n y 准则，它具体包括三个方面的内容。 1 最优检测：不漏检真实存在的边缘，也不把非边缘点检出，从而使得输 出的信噪比最大。信噪比为 鲫衄= f 厂( x ) 出l n 。e ，2 ) 出 ( 1 一1 ) 鲫衄2 i f 。厂( x ) 出l p o ，2 ( x ) 出 ( 卜1 ) 其中，场为高斯白噪音的方差。 2 最优检测精度：检测到的边缘点的位置距离实际边缘点的位置最近。位 置距离为 厂= = 一 三2l 八o ) y i 。厂( x ) 出 ( 1 2 ) 武汉理工大学硕士学位论文 3 检测点与边缘点一一对应：最优的算子对边缘点不会产生多重局部极大 响应，这个标准用于表示噪音通过滤波器后两个极大响应值之间的距离，显然 如果这个距离越大，在某一窗口内，局部极大值就越少，就可以使每一个实际 存在的边缘点和检测到的边缘点一一对应。两个极大响应值之间的距离为 j 。 一e 广( z ) 出值广( z ) 出 ( 1 3 ) 上述准则中的，( x ) 是用于边缘检测的检测函数，采用的边缘模型为阶跃边 缘。自从c a n n y 提出这个评价准则后，大家纷纷以其为标准，根据不同的应用 领域作相应的改进，并按着些改进后的准则构造应用于不同领域的检测算子， 取得了很好的效果。 1 3 2 离散c a n n y 准则 连续c a n n y 准则严格地要求检测函数在原点连续，许多常用的边缘检测函 数都不满足此要求，使得评价这些检测函数的性能十分困难。d e m i g n y 引入的 c a n n y 准则的离散表示形式很好地解决了这个问题。而且从后面的内容可以看 出，离散c a n n y 准则可以使整个小波边缘检测算子的构造过程在时域中进行。 本文也正是利用了离散形式的这些优点，研究了一种新的构造用于边缘检测小 波滤波器的方法。 对任意的离散采样信号肖，一阶微分序列茁。定义为 v 疗，x 。= x 一x h 一1 同样定义二阶微分为 x ”n = x 月+ l 一工1 n 。 那么离散c a n n y 准则表示为： 1 最优检测： c 1 = ( e ：) ( 1 _ 4 ) 2 最优检测精度： c 2 = ( 岛一) 暖g 扩 ( 1 吲 3 检测点与边缘点一一对应： c 3 = 2 厅a r c c o s ( 一p ) ( 1 6 ) 其中，p = 一1 + 猷2 ( 2 羔一。g ：) 。 上面准则中的k 。 为边缘检测滤波器，对应到本文为小波滤波器，其长度 4 武汉理工大学硕士学位论文 为2 w + 1 ，采用的边缘模型为阶跃边缘。 1 4 小波变换用于边缘检测的现状 在用于边缘检测的小波构造理论方面，m a l l a t 和z h o n g 将小波变换的性质 与梯度方法结合起来，得到了所谓的多尺度边缘检测算子。并利用用于边缘检 测的小波函数数值上近似等于尺度函数求导后所得函数的数值这一性质，得到 了一组用于边缘检测的小波。这组小波仅仅利用了小波用于边缘检测的理论， 没有引进最优准则。h y m a r kl i a o 等将连续c a n n y 准则引入小波的构造当中， 得到了一组近似最优的边缘检测算子。他们的方法当中，由于只用到了双尺度 方程，所以他们构造的小波只是一般的小波，不具有正交性，也不具有双正交 性，从而在进行小波分解时所得每一频带的数据同原始图像的数据量相同，使 得整个计算过程需要较大的存储空间和较多的运算时间。而且由于他们在构造 过程当中，对小波滤波器的长度进行了截断，此种意义下说明它只是近似最优 的。并且在过去用于边缘检测的小波构造方法当中，都是采用连续c a n n y 准则 作为限制条件，通过限制优化得到各种参数。由于对许多小波以及对应的尺度 函数很难给出解析表达式，使得利用连续c a n n y 准则存在许多的困难。即使可 以给出相应的尺度函数，在此基础上得到的小波函数也只能是对应于该尺度函 数的用于边缘检测的最优小波，不是真正意义上的最优小波。 1 5 本文主要工作 大气悬浮颗粒污染物是指空气动力学当量直径在1 0 0 f 删以下的固态和液 态颗粒物。它是空气主要污染物监测的基本内容之一( s o 。、c o 、n o 。、o 。、t s p ) ， 也是空气环境质量的主要衡量指标之一。城市环境周报和环境日报也将大气悬 浮颗粒物浓度和主要成分列在其中。大气悬浮颗粒物对人们的生活和健康有非 常重要的影响，它对人体的危害强度主要依赖于其成分、浓度、来源和粒径。 其中粒径成分是主要的致病因子，决定是否有害和致何种疾病。一般而言，粒 径大于3 0 朋的颗粒，进入呼吸道的可能性很小，1 0 、3 0 朋的颗粒绝大部分沉 积在鼻腔，5 t 1 0 ，肼的颗粒可进入气管和支气管，小于5 朋的颗粒能进入到呼 吸道和散布于肺泡上。显而已见，只有小于1 0 z 肼的颗粒物才是最危险的。所 武汉理工大学硕士学位论文 以把颗粒小于l o i 删的颗粒物叫做可吸入颗粒物。大气悬浮颗粒物的主要来源 于工业煤烟尘、民用煤烟尘、燃油尘、汽车尾气尘、冶炼工业尘、建材工业尘、 自然风沙尘等，主要是无机化合物。在大城市如武汉，工业烟囱排放颗粒物、 汽车尾气排放颗粒物、冶炼工业尘等都是城市大气悬浮颗粒物的重要来源。 在通常情况下，可将信号中的奇异点或突变点认为是图像中的边缘点，其 附近灰度的变化情况可从它相邻象素灰度分布的梯度来反映。根据这一特点， 前人提出了多种边缘检测算子：如r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、 l a p l a c e 算子等。这些方法多是以待处理像素为中心的邻域来作为进行灰度分 析的基础，实现对图像边缘的提取并取得了较好处理结果的。但这类方法同时 也存在有边缘非单像素宽、边缘定位不精确、噪声干扰较严重，即使采用滤波 等手段来加以去噪，也相应地会带来使边缘模糊的副作用等难以克服的缺陷。 由于小波变换具有良好的时频局部化特性及多尺度分析能力，利用小波来 检测图像边缘的思想越来越引起人们的重视。自从1 9 8 7 年m a l l a t 将计算机视 觉邻域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中，使得小波变换的算法变得比 较简单和易用，才使得利用小波算子对图像多尺度地进行边缘检测的方法得到 了迅速献发展和应用。小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数为平滑函数 的一阶导数或二阶导数，利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极 大值或过零点的性质来提取出信号的边缘点。 通过上一节对各种构造小波边缘检测算子方法优劣性的分析，本文主要运 用离散c a n n y 准则和用于边缘检测的小波滤波器和尺度滤波器的关系得到一种 新的构造小波边缘检测算子的方法。并且对基于小波变换的大气悬浮颗粒图像 的边缘检测算法作了研究。文章介绍了作者在导师指导下做出的一部分结果。 主要有 ( 1 ) 研究经典边缘检测算子，比较其优缺点，并给出各个算子的仿真记结果 ( 2 ) 讨论了小波的基本理论及其用于边缘检测的理论 ( 3 ) 小波边缘检测的算法、详细步骤及仿真结果 ( 4 ) 介绍了闽值的选取方法、模糊边缘的提取方法、边缘检测前的模糊清晰 化及对比度增强算法以及闽值选取对边缘检测结果的影响。 对每部分所得结论，都做了大量的实验，文中给出了详细的实验结果。 6 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章经典图像边缘检测方法 边缘检测的实质是采用某种算法来提取图像中对象与背景间的交界线。我 们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。图像灰度的变化情况可 以用图像灰度分布的梯度来反映。因此我们可以用局部图像微分技术来获得边 缘检测算子。经典的边缘检测方法，是对原始图像中像素的某小邻域来构造边 缘检测算子。其过程如图2 一l 所示。首先通过平滑来滤除图像中的噪声，然后 进行一阶或二阶微分运算，求得梯度最大值或二阶导数的过零点，最后选适当 的阈值来提取边界。 匾亟产墨匦亟吲鞣豁产闺 i 垦塑图堡 _ 11 塑璺堡卜磊；i 剥写；嚣墨f 型坚坚一望墨皇j 图2 1 边缘检测处理过程示意图 2 1 边缘检测的基本方法 图像的局部边缘定义为两个强度明显不同的区域之间的过渡，图像的梯度 函数即图像灰度变化的速率将在这些过渡边界上存在最大值。早期的边缘检测 是通过基于梯度算子成一阶导数的检测器来估计图像灰度变化的梯度方向，增 强图像中的这些变化区域，然后对该梯度进行闽值运算，如果梯度值大于某个 给定闽限，则存在边缘。 一阶微分是图像边缘和线条检测的基本方法。图像函数，( x ，y ) 在点( x ，) | ) 的梯度( 即一阶微分) 是一个具有方向和大小的矢量即 w 咖【g 。g ，= 怯割 。1 ) 可( x ，y ) 的幅度为 州w ) - g y ) = 謦十等 _ 2 ) 方向角为 船朋一c 协l 苗剖 。) 以上述理论为依据，人们提出了许多算法，常用的方法有：差分边缘检测、 7 武汉理工大学硕士学位论文 r o b e r t 边缘检测算子、l a p l a c e 边缘检测算子等等。 所有的基予梯度的边缘检测器之间的根本区别有三点： a ) 子应用的方向： b ) 这些方向上逼近图像一维导数的方式； c ) 将这些近似值合成梯度幅度的方式。 2 2 一些经典的边缘检测算子 2 2 1 差分边缘检测 当我们处理数字图像的离散域时，可用图像的一阶差分直接代替图像函数 的导数。二维离散图像函数在x 方向的阶差分定义为： 厂( 苫十l ，j ，) 一厂( z ，y ) ( 2 4 ) y 方向的一阶差分定义为 厂( x ，歹十1 ) 一厂( z ，y ) ( 2 5 ) 利用像素灰度的一阶导数算子在灰度迅速变化处得到极值来进行奇异点的 检测。它在某一点的值就代表该点的“边缘强度”，可| 三i 通过对这些值设置溷值 来进一步得到边缘图像。但是，用差分检测边缘必须使差分的方向与边缘方向 垂直，这就需要对图像的不同方向都进行差分运算，增加了实际运算的繁琐性。 一般为垂直边缘、水平边缘、对角线边缘检测： l oo o l o l o | 一l o o j ：f：fi ：蚓 垂直边缘 水平边缘对角线边缘 差分边缘检测方法是最原始、基本的方法。根据灰度迅速变化处一阶导数 达到最大( 阶跃边缘情况) 原理，利用导数算子检测边缘。这种算子具有方向性， 要求差分方向与边缘方向垂直，运算繁琐，目前很少采用。 2 2 2r o b e r t s 算子 由r o b e r t s 提出的算子是种利用局部差分算子寻找边缘的算子，它在 2 2 邻域上计算对角导数： 8 武汉理工大学硕士学位论文 g ( x ，y ) = 【厂( x ，y ) 一厂( x + l ，y + 1 ) 】2 + 驴( z ，y 十1 ) 一，( x + 1 ，y ) 】2 ( 2 6 ) g ( x ，y ) 又称为r o b e r t s 交叉算子。在实际应用中，为了简化计算，用梯度 函数的r o b e r t s 绝对值来近似 g ( x ，y ) = ( x ，y ) 一，( x 十1 ，+ i ) i + l 厂( x ，y + 1 ) 一，( z + l ，_ y ) ( 2 7 ) 另外还可以用r o b e r t s 最大值算子来计算 g ( x ，一) = m a x ( f 厂( x ，y ) 一，( x + 1 ，y + 1 ) i ， ，( x ，y + 1 ) 一厂( 工+ 1 ，y ) ) ( 2 8 ) 上式能够提供较好的不变性边缘取向。对于同等长度但取向不同的边缘， 应用r o b e r t s 最大值算子比应用r o b e r t s 交叉算予所得到的合成幅度变化小。 r o b e r t s 边缘检测算子的卷积算子为 划 r o b e r t 边缘检测算子方向模板 由上面两个卷积算子对图像运算后，代入( 2 7 ) 式，可求得图像的梯度幅度 值g ( x ，y ) ，然后适当选取阈限t h ，作如下判断：g ( x ，y ) t h ，( f ，_ ，) 为阶跃状 边缘点，k ( f ，川为个二值图像，也就是图像的边缘图像。 2 2 3s o b o i 算子 r o b e r t s 算子的一个主要问题是计算方向差分时对噪声敏感。s o b e l 提出 种将方向差分运算与局部平均相结合的方法，即s o b e l 算子。该算子是在以 厂( z ，) 为中心的3 x 3 邻域上计算盖和j ，方向的偏导数，即： s ；= 杪n 十1 ，一1 ) + 2 ，0 + 1 ，) + ，“+ 1 ，y + 1 ) 一1 扩( 。? l ，y 一1 ) + 2 ，( x l ，) + ，( z l ，y + 1 ) ( 2 9 ) q = 扩“一l ，y + 1 ) + 2 ，( _ y + 1 ) + ，0 + l ，y + 1 ) 一f 扩( x l ，y 一1 ) + 2 ，( j ，y 1 ) + ，( x + 1 ，一1 ) )j 实际上，上式应用了f ( x ，y ) 邻域图像强度的加权平均差值。其梯度大小为： g ( x ，y ) = ( s ：+ 占i ) ( 2 1 0 ) 或取绝对值 g ( 工，y ) = l j ，l + p ，l ( 2 一1 1 ) 它的卷积算子为 9 武汉理工大学硕士学位论文 雕和雎习 s o b e l 边缘检测算子方向模板 由上面两个卷积算子对图像运算后，代入( 2 1 1 ) 式，可求得图像的梯度幅 度值g ( x ，y ) ，然后适当选取阈限t h ，作如下判断：g ( x ，y ) t h ，( f ，) 为阶跃 状边缘点，治( f ，州为一个二值图像，也就是图像的边缘图像。 s o b e l 算子很容易在空间上实现，s o b e l 边缘检测器不但产生较好的边缘检 测效果，同时，因为s o b e l 算子引入了局部平均，使其受噪声的影响也比较小。 当使用大的领域时，抗噪声特性会更好，但这样做会增加计算量，并且得到的 边缘也较粗。 s o b e l 算子利用像素点上下、左右相邻点的灰度加权算法，根据在边缘点 处达到极值这一现象进行边缘的检测。因此s o b e l 算子对噪声具有平滑作用， 提供较为精确的边缘方向信息，但是，这是由于局部平均的影响，它同时也会 检测出许多的伪边缘，且边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时，是 一种较为常用的边缘检测方法。 2 2 4p r e w l t t 算子 p r e w i t t 提出了类似的计算偏微分估计值的方法 p ，= 扩( x + 1 ，y 一1 ) + ，( x + l ，y ) + ，( x + 1 ，+ 1 ) 一 矿( j 一1 ，y 1 ) 十厂( x l ，) + ，( x 一1 ，y + 1 ) p ，= 扩( x 一1 ，y + 1 ) + ，( z ，y + 1 ) + 厂( x + l ，y 十1 ) 一 扩( x l ，y 1 ) + ，( x ，j ，一1 ) + ，( x + l ，一1 ) 梯度计算则与式( 2 一1 1 ) 相同。 它的卷积算子为 r 一1一l1 1 ooo l1 】1 j ( 2 1 2 ) p r e w i t t 边缘检测算子方向模板 当用两个掩模板( 卷积算子) 组成边缘检测器时，通常取较大的幅度作为输 出值。这使得它们对边缘的走向有些敏感。取它们的平方和的开方可以获得性 能更一致的全方位的响应。这与真实的梯度值更接近。另一种方法是，可以将 p r e w i t t 算予扩展到八个方向，即边缘样板算子。这些算子样板由理想的边缘 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 子图像构成。依次用边缘样板去检测图像，与被检测区域最为相似的样板给出 最大值。用这个最大值作为算子的输出值p ( f ，_ ，) ，这样可将边缘像素检测出来。 定义p r e w it t 边缘检测算子模板如下： 雌蚓隆i i 矧 ( 1 ) 1 方向 ( 2 ) 2 方向( 3 ) 3 方向( 4 ) 4 方向 群川矧l 匪l ( 5 ) 5 方向( 6 ) 6 方向 ( 7 ) 7 方向( 8 ) 8 方向 p r e w i t t 边缘检测算子模板 8 个算子样板对应的边缘方向如下图所示： 3 7 图2 28 个算子样板对应的边缘方向 2 2 5r o b in s o n 算子 r o b i n s o n 边缘检测算子也是一种边缘样板算子，其算子和p r e w i t t 边缘检 测算子相似，只是8 个边缘样板不同，如下所示。 睢! 。 睢习雕 ! 翊 ( 1 ) l 方向 ( 2 ) 2 方向 ( 3 ) 3 方向( 4 ) 4 方向 孵卅雕o 雕 雕习 ( 5 ) 5 方向 ( 6 ) 6 方向( 7 ) 7 方向 ( 8 ) 8 方向 r o b i n s o n 边缘检测算子模板 在实际应用中，正如前所述，通常就是利用简单的卷积核来计算方向差分， 武汉理工大学硕士学位论文 不同的算子对应不同的卷积核，它们产生的两个偏导数在图像一个点上用均方 值或绝对值求和的形式结合起来，一旦估计出梯度值，将梯度值与某个给定的 阈值比较来判断是否存在边缘，如果梯度值大于这个阈值，就认为存在边缘。 显然，闽值的选择是很重要的。在含噪声图像中，阈值的选择是一个涉及在丢 失有效边缘和由于噪声所造成的错误边缘之间进行折衷考虑的问题。 2 2 6l a p l a c e 算子 一阶微分是一个矢量，既有大小又有方向，和标量相比，它的存储量大。 另外，在具有等斜率的宽区域上，有可能将全部区域都当作边缘检测出来。因 此，有必要求出斜率的变化率，即对图像函数进行二阶微分运算 v ：，( x ，y ) ：掣+ 掣 ( 2 1 3 ) 这就是应用l a p l a c e 算子提取边缘的形式，即二阶偏导数的和，它是一个 标量，属于各向同性的运算，对灰度突变敏感。在数字图像中，可用差分来近 似微分运算，其离散计算形式为 v 2 ，( 工，y ) = 上( x ，y ) = 抄( x + 1 ，y ) 一，( x ，y ) 卜【厂( x ，y ) 一，o 一1 ，y ) 】) ( 2 1 4 ) + l 厂( x ，y + 1 ) 一厂( x ，y ) 】一l 厂( x ，y ) 一厂( z ，y 一1 ) 】 也可以写成 上( x ，_ y ) = ，( x + 1 ，y ) + ，( 工一1 ，y ) + ，( 工，y + 1 ) + ，( x ，y 一1 ) 一4 ，( z ，) ，) ( 2 1 5 ) l a p l a c e 算子对不同的边缘类型有二种估算模板： z 司卜1 卅f ：1 l l o 1 jl l l l jl 一1 o 一1 j【一1 1 一l j ( a ) 阶跃边缘 ( b ) 屋顶边缘 对阶跃状边缘，二阶导数在边缘点产生一个陡峭的零交叉，即边缘点两边 二阶导函数取异号。l a p l a c e 算子就是据此对，( x ，y ) 的每个像素取它关于x 方 向和y 方向的二阶差分之和，这是一个与边缘方向无关的边缘检测算子。而对 屋顶状边缘，在边缘点的二阶导数取极小值，这时对厂( x ，) 每个像素取它关于 z 方向和y 方向的二阶差分之和的相反数。 l a p l a c e 算子有两个缺点：其一是边缘方向信息的丢失，其二是l a p l a c e 算子为二阶差分，双倍加强了图像中的噪声影响：优点是各向同性，即具有旋转 不变性。因为在微分学中有：一个只包含偶次阶导数和取偶次幂的奇次阶导数 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 的线性组合算子，一定是各向同性的。 l a d l a c e 算子是二阶微分算子，利用边缘点处二阶导函数出现零交叉原理 检测边缘。不具有方向性，定位精度高，不但检测出了绝大部分的边缘，同时 基本上没有出现伪边缘。但它的检测也存在一些缺点，如丢失了一些边缘、有 一些边缘不够连续、不能获得边缘方向等信息。而且l a p l a c e 算子为二阶差分， 与一阶微分比较，l a p l a c e 算子对噪声更敏感，它使噪声成分加强，因此在实 际应用中，必须充分注意。通常在进行微分运算之前需要对图像进行平滑。 二阶微分是一个标量，可取负值，也可取正值，般取正值或取绝对值。 同一阶微分一样，二阶微分也存在着阈值选择的问题，其最好的方法是计算 l a p l a c e 直方图，然后在双峰直方图谷的区域决定阈值。 通过以上算法的分析及实际边缘检测效果比较，l a p l a c e 算子是比较成功 的，但它的检测图中还有一些不连续的检测边缘，说明它的边缘检测也不够精 确。分析l a p l a c e 算予，其算法的核心便在于对l a p l a c e 算予驴厂( x ，y ) 的估算。 在己有的算法中，人们都是以被检测像素点为中心，作出在其等4 5 度角8 个方向上进行检测的模板。不同之处在于使用的参数不同。在改进的l a p l a c e 算法中，使用了如下的新模板： ；j至 0 8 5 6 8 0 除了原来的方向外，又增加了8 个方向，共有等2 2 5 度角1 6 个方向上进 行检测的模板，并根据l a p l a c e 算子的可靠性设定了适当的权向量，在改进的 l a p l a c e 算子中， v 2 ，( t ，y ) “7 ，( x ，y ) 一【厂( z ，y 1 ) + ，0 + 1 ，y ) + 厂( ，y + 1 ) 】 一；【厂“一1 ，y 1 ) + ，( x + l ，y 1 ) + ，o + l ，y + 1 ) + 八x l ，y 一1 ) ( 2 1 6 ) 一；驴( z “y _ 2 ) + m 心y - 1 ) + m 心y + 1 ) + m + 1 ，y + 2 ) + 厂( j 一1 ，y 一2 ) + ，( ，一l ，y + 2 ) + ，( x 一2 ，y + 1 ) + ，( x 一2 ，y 1 ) 十厂( j l ，y 一2 ) 】 根据该估算模板，可以提高边缘检测的精度，同时又由于合理地设置了参 数，因而避免了一些伪边缘的提取。改进的l a p l a c e 算子相对于原来的l a p l a c e 算子而言，不但检测出来的边缘更清晰，而且也检测出原来所没有检测出的一 些边缘。 武汉理工大学硕士学位论文 2 3 经典边缘检测方法的仿真结果 以l e n a 标准检测图像为例，采用前面所述的检测方法检测出的边缘如图 2 3 至图2 8 所示：其中图2 3 是没有噪声时的检测结果，在有噪声的情况下， 我们以最常见的高斯白噪声为例，在图像中分别加入均值为零，不同方差的加 性噪声，再用这三种方法对边缘进行检测，所得的结果分别如图2 4 至图2 8 所示。 原始图像 s o b e l 算子边缘检测 p r e w i t t 算子边缘检测 r o b e r t s 算子边缘检测 图2 3 没有噪声时检测结果 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 原始图像s o b e l 算子边缘检测 p r e w i t t 算子边缘检测r o b e r t s 算子边缘检测 图2 4 加入高斯白噪声( = o ，仃2 = 0 0 1 ) 检测结果 原始图像s o b e l 算子边缘检测 p r e w it t 算子边缘检测r o b e r ts 算子边缘检测 图2 5 加入高斯白噪声( = 0 ，盯2 = 0 0 2 ) 检测结果 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 簿始图像 s o b e 晔乎边撩检测 p 枷舅子边缘检测鼬b b n 礴子边缘揸滂 图2 6 加入高斯白噪声( = o ，盯2 = o 0 4 ) 检测结果 愿揩图俦 s o 峙i 算子边鳞硷测 pr e 州”算予边 窜捡潮 只。b n 。算子边缘捡潮 图2 7 加入高斯白噪声( = 0 ，盯2 = o 0 8 ) 检测结果 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 蹶辩刚潆s o b e 僻子边绦梭测 p 嘲确t 舅子边i 袭榆测 r n b 目n s 霹子边缘检测 图2 8 加入高斯自噪声( = o ，盯2 = o 1 0 ) 检测结果 由于各种原因，图像常常受到随机噪声的干扰。经典的边缘检测方法由于 引入了各种形式的微分运算，从而必然引起对噪声的极度敏感，在其上执行边 缘检测的结果常常是把噪声当作边缘点检测出来，而真正的边缘也由于受到噪 声干扰而没有被检测出来。因而对于有噪图像来说，一种好的边缘检测方法应 具有良好的各种噪声抑制能力，同时又有完备的边缘保持特性。 由图2 3 可以看出，在图像没有噪声的情况下，s o b e l 算子、p r e w i t t 算子 和r o b e r t s 算子都能够检测出比较准确边缘。由图2 4 至图2 8 可以看出，当 有高斯白噪声时，相对于r o b e r t s 算子来说，s o b e l 算子和p r e w i t t 算子受噪 声的影响较小。 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章小波变换的基本理论研究 小波变换属于时频分析，它对不同的频率成分在时域上的取样步长具有调 节性，高频者小，低频者大。因此小波变换能够把信号或图像分解成混合的多 尺度成分。并对大小不同的尺度成分采用相应粗细的时域或空域取样步长，从 而可以聚焦到信号的任意小细节。可见小波变换具有许多的优良性质，下面便 讨论小波的基本理论和其用于边缘检测的理论。 3 1 小波变换基本理论 3 1 1 多分辨率分析 多分辨率分析( m u f t 卜r e s o l u t i o na n a l y s i sm r a ) ，又称为多尺度分析，是 建立在函数空间概念上的理论，但其思想的形成来源于工程，其创建者s m a l l a t 是在研究图像处理问题时建立这套理论的。它在正交小波变换理论中具有非常 重要的地位。 定义2 1 1 多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间 1 ) 一致单调性：ckckckc y 矿，c 2 ) 渐进完全性：n _ = 0 u 一= o ( r ) i e zi 如 3 ) 伸缩规贝0 性： 厂( r ) 一厂( 2 ，f ) _ ，z 4 ) 平移不变性：，( f ) kj 厂o 一聆) ，对所有”z 5 ) 正交基存在性：存在p ，使得扫o 一_ ，z ) l 。是的正交集，即 = e p 口”扣o n ) i 【伊( f n ) 妒( f 一肌) 出= 以，。 其中，正交基存在性可放宽为r i e z e 基的存在性，因为由r i e z e 基可以构 造出一组正交基来。若劬o n ) l 。：为空间的k 正交基，则 扣。( r ) = 2 1 胆妒( 2 1 卜- ”) t 。，必为子空间巧的标准正交基。 3 1 2 尺度函数和小波函数 设_ ，z 是( 励的一个多分辨率分析，r ( 励，存在着唯一的函数 武汉理工大学硕士学位论文 p ( f ) r 使得 p ，。( f ) = 2 一“2 妒( 2 一。r 九) 竹z 必定是内的一个r i e s z 基，其中妒( f ) 称为尺度函数。由o ( ，) k 雎， 所以 妒(