（固体力学专业论文）三维数字光弹性基本方法的研究和应用.pdf

摘要光弹性法是解决工程中二维和三维应力问题的有效实验方法，它能够直接测量三维模型内部任意一点的应力信息。随着计算机技术的发展，光弹性法测量三维应力模型的自动化技术成为新的研究热点。本文在结合前人工作的基础上，针对三维数字光弹性法中的几个待解决的问题进行系统的研究，实现从图像采集到应力分离的完全自动化。本文以相移法为实现数字光弹性法的基础，针对p a t t e r s o n 和w a n g 的光弹性六步相移法中等倾线信息受到整数和半数级等差线的影响，提出了八步相移法。该方法从理论上解决了等倾线( 范围在【0 ，n 2 】) 信息受等差线干扰的问题，得到全场等倾线参数。在光弹性八步相移法的基础上，提出了确定模型切片的第一主应力方向的三种方法。根据求解反正切运算的两种规则，分析并获得反映第一主应力方向的等倾角信息。通过对径受压圆盘和圆环验证了该方法的可行性。分析了时效对三维光弹性模型的影响，在时效存在的前提下，假设了时效影响的力学模型，通过模拟和实验证明了此假设。介绍了在实验中消除时效影响的两种方法。在三维冻结应力模型切片的应力信息自动获取后，本文讨论了应力分离实现自动化的问题。用三维数字光弹性法分析汽轮机叶根、轮缘的三维接触应力。得到了该模型六个应力分量的全场数值，并讨论了叶根和轮缘的可能接触区域、该三维模型的m i s e s 等效应力和轮缘各齿承担的载荷。这说明三维数字光弹法可以应用到工程测试中，为扩展数字光弹性法发展的空间奠定了基础。关键词：三维数字光弹性法八步相移法等倾角等差线时间边缘效应汽轮机叶根和轮缘a b s t r a c tp h o t o e l a s c i t yi sa ne f f e c t i v em e t h o dt os o l v et w o d i m e n s i o n a la n dt h r e e d i m e n s i o n a ls t r e s sa n a l y s i si ne n g i n e e r i n ga n daf o c u st o d a y s t r e s sc o m p o n e n t sa ta n yp o i n to ft h et h r e e d i m e n s i o n a lm o d e lc a nb ec a l c u l a t e db yi t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n i q u e ，a u t o m a t i cw h o l e f i e l dm e a s u r e m e n to fp h o t o e l a s t i c i t yh a sb e e nf o c u s e d b a s e do nt h ew o r kw h i c hw a sr e p o r t e db e f o r e ，s o m eu r g e n tp r o b l e m so fd i g i t a lp h o t o e l a s t i c i t yh a v eb e e nd i s c u s s e d ，a n da u t o m a t i cd a t ap r o c e s s i n ga n ds t r e s ss e p a r a t i o no fp h o t o e l a s t i c i t ya l er e a l i z e d t h ep r o b l e mo fi s o c l i n i ca n di s o c h r o m a t i ci n t e r a c t i o ni si m p o r t a n ti np h a s e s h i f t i n gt e c h n i q u e si np h o t o e l a s t i c i t y at e c h n i q u en a m e de i g h t s t e pp h a s es h i f t i n gt e c h n i q u ei sp r e s e n t e dt os o l v et h ep r o b l e mo fi s o c l i n i cf r i n g ep a t t e r ni n f l u e n c e db yi s o c h r o m a t i cf r i n g ep a t t e m so fi n t e g e ro r d e ra n dh a l f - i n t e g e ro r d e r i s o c l i n i cp a r a m e t e ri nt h er a n g eo f 【0 ，州2 】o ft h ef r o z e ns l i c ei sg i v e nb yt h em e t h o d b a s e do nt h ee i g h t - s t e pp h a s es h i f t i n gt e c h n i q u e ，t h r e em e t h o d st od e t e r m i n i n gt h ef i r s tp r i n c i p a ls t r e s sd i r e c t i o no ft h es l i c ea r ed i s c u s s e d 1 s o c l i n i ca n g l ei n f o r m a t i o no fw h o l e - - f i e l df i r s tp r i n c i p a l s t r e s sd i r e c t i o nc a nb ea n a l y z e da n do b t a i n e db yt w or u l e so fa r c t a nc a l c u l a t i o n t h ef e a s i b i l i t yo ft h i sm e t h o dw a sp r o v e db yt h ee x p e r i m e n t so fd i s ka n dr i n gu n d e rr a d i a lc o m p r e s s i o n t h ei n f lu e n c eo ft i m ee d g ee f f e c ti sa n a l y z e d o nt h ep r e m i s eo fe x i t i n gt i m ee d g ee f f e c t ，m e c h a n i cm o d e li sf o u n d e da n dp r o v e db ys i m u l a t i o na n de x p e r i m e n t t w om e t h o d sf o re r a s i n gt i m ee d g ee f f e c ta r ep u tf o r w a r di nt h ee x p e r i m e n t s a u t o m a t i ct e c h n i q u eo fs t r e s ss e p a r a t i o ni sd i s c 弩s e da f t e ro b t a i n i n gt h ev a l u ea n dd i r e c t i o no fs e c o n d a r yp r i n c i p a ls t r e s so fe v e r yf r o z e ns l i c e t h r e e d i m e n s i o n a lc o n t a c ts t r e s so ft u r b i n eb e t w e e nr o o t sa n dr i m sa r ea n a l y z e db yt h et h r e e d i m e n s i o n a ld i g i t a lp h o t o e l a s t i c i t y s i xs t r e s sc o m p o n e n t sa n de q u i v a l e n tv o nm i s e ss t r e s so fa n yp o i n ti nt h em o d e la r ec a l c u l a t e da n dt h ec o n t a c ta r e ao fr o o t sa n dr i m sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y ，t h el o a d i n gv a l u e so fe v e r yt o o t ho fr i m sa r eo b t a i n e d t h r e e d i m e n s i o n a ld i g i t a lp h o t o e l a s t i c i t yc a nb eu s e dw i d e l yi ne n g i n e e r i n gf i e l da n dt h ef i e l do fa p p l i c a t i o ni sw i d e n e d k e yw o r d s ：t h r e e - d i m e n s i o n a ld i g i t a lp h o t o e l a s t i c i t y ，e i g h t s t e pp h a s es h i f t i n gt e c h n i q u e ，i s o c l i n i c ，i s o c h r o m a t i c ，t i m ee d g ee f f e c t ，r o o t sa n dr i m so ft u r b i n e独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他入己经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁盗叁堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名：微觚椰签字日期：厶铝年月。日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解叁盗苤堂有关保留、使用学位论文的规定。特授权墨盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名：纭加娜签字同期：加d 弓年月o 同焉猢帅第一章绪论1 1 本课题的研究背景第一章绪论在工程实际中，研究构件的三维应力问题是非常普遍的，例如在螺栓、内燃机连杆及连杆盖、汽轮机转子、压缩机叶轮、飞机起落架等的设计和使用中都必须了解其三维应力状态。由于计算机的应用，出现了各种有限元软件，例如m s c 、a n s y s 、a b a q u s 等，它们在处理不同的问题上有各自的优点，已经成为某些工程分析的主要手段。然而实际工程中有很多问题单靠有限元分析是难以达到目的的。因为有限元数值计算方法的正确性取决于其力学模型的建立和各类边界条件的确定，而对于复杂的工程问题，对于模型和边界条件的简化是不可避免的，这直接影响计算结果的正确性。实验方法可以校正和弥补这个不足，是分析力学问题必不可少的手段。光测弹性学方法简称光弹性法，是一种解决复杂二维和三维空间结构应力分析的实验方法。在确定危险截面、裂纹源位置及其最大应力、应力集中系数、全场的主应力方向等方面特别形象和有效，它对重大工程强度设计的合理选型与校核、现代力学行为和规律的研究等有重要的作用和意义【卜6 j 。这个方法就是用光学灵敏材料制成与实物相似的模型，或在实际构件上粘贴光学灵敏材料，在相应的载荷作用下，用偏振光照射并通过计算便能得到模型的应力分布规律。这种实验方法求得的应力分量对工程设计来说具有足够的精度，它直观性强，可靠性高，适应性广，能求出在各种复杂条件下的全部应力状态。特别是对理论计算较为困难的形状复杂、载荷复杂并有应力集中的构件，光弹性法更能显示出它的优越性。光弹性法的明显优势就是以直观的条纹图给出应力场的信息，即表征主应力差的等差线和表示主应力方向的等倾线。通过应力分离方法就能得到受力模型内部各点的应力分量或主应力大小和方向，这样就能解决大量实际问题，例如应力集中系数、应力强度因子和接触应力等。近些年来用光弹性法做三维应力分析7 。1 1 1 的学者也很多。冻结切片法 1 2 - 1 5 】、散光法【16 1 、等达因法 1 7 - 2 2 、动光弹法 2 3 。2 5 】、热光弹性法【2 6 1 、聚敛光法、光塑性法【z7 1 、积分光弹法和光强方程的矩阵推导方法等方面获得了不同程度的发展，从而促使光弹性法不断更新和发展，使其在工程应用和科学研究中的作用及重要性第一章绪论不断增强。用光弹法对三维模型进行应力分析，比较成熟的是冻结应力切片法，因为该方法可以获取三维应力模型内部任意点的应力信息。它是将光弹性材料按照相似理论制成模型，设计载荷大小，按照材料的冻结特性制作成冻结应力模型。用冻结应力切片法研究模型的三向应力状态时，所有的数据都是从冻结模型中截取的切片上测量的。传统的光弹法中，分数级等差线的测定一般是采取补偿法，例如拉伸试件补偿法、t a r d y 补偿法等。这些方法属于逐点法，能获取应力模型切片上指定点的等差线级次，但是对于三维冻结模型，工作量庞大，且很难保证应力分离时的精度。所以发展光弹性数据采集和应力分离的自动化技术势在必行。1 2 三维数字光弹法存在的问题三维数字光弹法的实现主要分为冻结切片的信息获取和应力分离两部分，目前应力分离自动化技术已取得了许多研究成果 2 8 - 3 1 】，但如何自动提取全场光弹性数据和切片上任意点的次主应力差、次主应力方向还没有比较理想的解决办法。根据应力光性定律，冻结切片上任意一点的次主应力差与该点的相位差( 等差线条纹级次) 成正比关系；次主应力方向即为该点的等倾角数值，范围为【0 ，7 】。由此可见，自动获取切片上任意一点的等差线条纹级次和等倾角信息是实现三维数字光弹的根本，也就是说，平面数字光弹是实现三维数字光弹的必要条件。1 2 1 等差线条纹级次的确定自动确定光弹性等差线条纹级次的技术对研究者来说是一个挑战。早期的研究者们利用黑白图像处理系统提出了一些算法。通常将条纹细化法与级数确定法相联系，不仅可以确定条纹骨骼线，同时也可以直接确定等差线的分数级条纹数。v o l o s h i n 和b u r g e r 3 2 】提出半级数条纹法，得到条纹级数与灰度值有关的关系式，只能确定整数级条纹之间的分数级数。c h e n 3 3 1 分别使用两种波长的单色光得到两幅条纹图，从而可以全场确定整数级条纹之间的分数级条纹级数，可称为双波长法【3 4 1 。此外，还有三波长法p 纠的研究。1 9 8 6 年h e k e r 和m o r c h e 3 6 首先将相移法的概念引入到光弹性测量中，先记录几幅在不同角度组合的偏振光场下的图像，这些图像对应着不同的相位，通过运算来得到等差线分数级条纹级数。p a t t e r s o n 和w a n g p 7 于19 9 1 年发展了h e k e r 和m o r c h e 的方法，提出了使用圆偏振仪光学系统与相移法结合获得等倾第一章绪论线和等差线级数的方法。在1 9 9 2 年，s a r m a 等【38 】把平面偏振仪光学系统中的分析镜分别旋转0 0 ，4 5 0 和9 0 0 ，分别记录相应的光强数据，得到等倾线角度以及等差线分数级条纹级数与光强的关系式，但是等差线条纹全局级次仍不能确定。a s u n d i l 3 9 】于1 9 9 3 年提出一个确定等差线条纹级数的方法，把t a r d y 补偿法从逐点法用到了特定等倾线上所有点，来确定这些点上的等差线分数级条纹级数。r a m e s h 和g a n a p a t h y l 4 0 】认为在这些确定等差线分数级条纹级数的方法中，p a t t e r s o n 和w a n g 的算法是真正的全场技术，计算结果与理论值符合较好。学者们以p a t t e r s o n 和w a n g 的方法为基础，将光弹性相移法经过改善，应用到了许多实际问题中去【4 1 - 4 4 。z u c c a r e l l o 等【4 5 】于1 9 9 8 年用傅立叶变换技术获得了等差线条纹级次。m o r i m o t o 4 6 】等使用傅立叶变换技术，摄取9 0 幅图像才能得到等差线和等倾线数据，1 9 9 7 年n g 4 7 】通过3 2 步逐步载荷法摄取6 4 幅图像，再使用傅立叶变换技术处理，得到等差线和等倾线数据。逐步载荷法采用已经出现的相移法原理，在某一特定载荷下记录不同偏振仪光学系统的光强数据，然后加一小载荷，再记录此时光场的光强数据【4 引。在大多数技术中，傅立叶变换技术由于需要参与运算的图像很多，很大程度上去除了噪声的影响，但是计算量庞大，不适合模型较复杂的工程应用。逐步载荷法的优点是可以进行动载荷的研究，它最大的缺点就是不能用于三维应力冻结模型的研究。相移法是比较普遍的方法，能够获取模型切片全场的数据，但是存在等差线和等倾线信息的相互耦合的情况。为了弥补相移法中的这个缺陷，出现了多种数值计算方法 4 9 - 5 2 】。雷振坤等 5 3 - 5 5 3 提出了采用白光五步相移法，有效地获取了不受等差线影响的范围在 0 ，万2 】的等倾线参数，由于在零级等差线的地方，光弹图像条纹为永久性黑色，所以也不能完全消除等差线对等倾线信息的影响。目前，不论是p a t t e r s o n 和w a n g 的六步相移法还是雷振坤的五步相移法，都由于等倾角和相位差的反正切运算，导致了计算结果在某些区域不明确，也就不能直接获取模型全场等差线级数。1 2 2 第一主应力方向的确定在光弹性相移法中，等倾角( 第一次主应力方向) 直接影响相位差的计算，而相移法中的反正切运算致使等倾角的范围不能确定。虽然已有不少工作，但是自动识别方面还比较困难。第一章绪论研究者【5 d “1 们采取利用等差线条纹的一定规律来确定被测点的第一主应力方向，首先约定左旋圆偏振仪光学系统中，逆时针旋转分析镜，监测整数级条纹之间任一点光强的增减趋势，来确定全场等倾角。封先河【6 5 】等提出了一种测定光弹塑性模型中任意一点的最大主应力辨别方法，但是这些研究都没有实现自动化。因此，关于自动确定冻结应力模型切片的第一主应力方向的问题，仍是研究焦点。它是将光弹性数据的采集过程和模型的应力分离衔接的一个桥梁，是实现数字光弹分析的关键。1 2 3 光弹模型的时效影响光弹性材料在室温下，即使不受载荷作用，因时间的增长也会在其边缘引起初应力，这称为时间边缘效应( 又称时效) 。时效是由于材料内部水分与空气中水分不平衡所致【6 引。当干燥的环氧材料放入某恒湿环境中时，水分子首先渗入其表层，并使该处含湿量逐渐增至与环境湿度相平衡的饱和值，同时，使表层膨胀应力( 时效) 也由零增加到某一饱和值。随着水分不断地向内部扩散和不断由表面吸入，表层的湿度虽然已经饱和不改变，但材料的总含湿量在不断增加，即时效影响范围继续由表层向内扩展，直到水分在整个材料达到饱和。研究得出【67 1 ，环氧材料的时效影响应力值( 即时效的大小) 随存放环境的相对湿度而异，与温度无关；相反，时效影响范围则随温度升高扩大加速，而与湿度无关。时间边缘效应对提高实验数据的准确性是极为不利的。因为工程上最重视模型边界应力的测量，而由于边界时效却大大降低了实验准确度。为了减小时间边缘效应的影响，一般采取以下措施来防止时效对光弹实验的影响。1 用“选择材料”或选择环境的方法，减小时效影响。某些复杂的实验往往要求较长的时间。这时，即使在实验前模型完全没有时效，但是在实验进行过程中由于环境湿度与材料的平衡湿度的差异会使模型产生时效。若要保证较高的实验精度，可选择平衡湿度与实验环境湿度相近的材料来制作模型；或者根据材料的平衡湿度，选择环境湿度与之相近的天气进行实验。2 最好在进行实验前对模型再进行精加工，切除边界区域。3 用平衡湿度法消除己存在的时效。根据平衡湿度原理啊，模型上深度不大的时效在平衡湿度环境下存放一段时间后可以得到消除。这种方法不适用于时效影响较大的模型。但是往往较为复杂的三维光弹性模型，由于切片、打磨等工序较为繁琐，消耗时间较长，致使某些切片的时效影响较为严重，传统的方法无法消去，严第一章绪论重影响测试精度。因此需要光弹工作者在接受时效影响的前提下寻找一种能较为合理地消除时效的方法。另外，在三维数字光弹法中，获取某切片的次主应力差和次主应力方向后需要进行应力分离以得到任意一点的六个应力分量。一般采取对模型切片进行正射和斜射相结合的方法，获取f f f ，和仃。一口一矿，一仃，再结合剪应力差法分离三个正应力。这个过程会出现对模型的剪应力求偏导数和积分的运算，数值计算时采取用有限差分代替偏导【6 引，用求和代替积分运算，必然会放大误差，严重影响计算结果的精确度。另外，在传统的光弹性法中，某点剪应力的符号要通过该点的主应力方向和等差线条纹级次来确定，这需要在实验中多次旋转光学元件人为判定该点的主应力方向和等差线条纹级次。由此可见，获取三维光弹性模型切片的等倾角和等差线条纹级次( 相位差)是光弹性应力分析从数据采集到应力计算整个过程实现完全自动化的关键。三维数字光弹性法本身环节较多，从图像的采取到计算每一步都会给结果带来不可忽视的影响。因此对每一步的实验操作和数据处理方法都应审慎对待，在提高实验精度上还需要付出不懈的努力。1 3 本文工作在了解三维数字光弹法的发展和现存主要问题后，选择以相移法为基础，展开三维光弹性测试自动化的研究。从理论分析着手，针对数字光弹中的主要问题结合计算机模拟及标准试件检验，提出解决方法，为实现三维数字光弹做一个完整的尝试。以汽轮机叶根和轮缘的三维接触应力分析为例，说明本文研究内容的可行性和价值性。第一章是绪论。简要地阐明了研究背景、意义；介绍了三维数字光弹性法的发展及现状，分析了三维光弹性法尚存的几个主要问题。第二章是确定三维模型各切片的等倾角和相位差信息。以光弹性相移法为基础，将切片光弹性数据的确定转化为平面问题来考虑。首先针对p a t t e r s o n 和w a n g 的光弹性六步相移法中等倾线受到整数和半数级等差线的影响，提出了八步相移法。该方法从理论上解决了等倾线( 范围在 0 ，, r 2 】) 信息受等差线干扰的问题，能够得到全场等倾线参数。通过对各个光学元件实验过程中可能产生的角度误差进行模拟，分析了误差的影响。其次，在光弹性八步相移法的基础上，提出了确定模型第一主应力方向的方法。相移法中等倾角是由反正切运算获得，通过求反正切运算的两种规则，利用第一章绪论三种方法分析并调整得到能反映模型全场第一主应力方向的真实等倾角信息。以m a t l a b 编程环境下仿真的对径受压圆环为例，结合主应力迹线对等倾线属性进行了详细讨论。分析了三种方法的利弊，并以对径受压圆盘和三点弯梁作为实例，验证了方法的可行性。最后，是对应力模型时效影响的探讨。从理论上介绍了光弹性模型时间边缘效应形成的原因，阐述了抑制时效的方法，即选择材料和选择环境等；建立了时效对模型产生应力影响的力学模型，并通过对径受压圆盘和三点弯梁模拟了在时效影响下的模型的等差线条纹图，与实验所拍摄的时效影响的效果基本一致；另外，在冻结应力模型已经存在时效的条件下，本章提出了两种消除时效的方法，以带有时效的冻结圆盘和三点弯梁为例。实验表明，本方法基本可行，只有在类似对径受压圆盘集中力作用点这些地方稍有出入。第三章主要讨论三维数字光弹性法实现完全自动化的第二个关键，冻结应力切片法的应力分离。对模型切片选取一次正射结合两次斜射的应力分离法，讨论了斜射时切片成像与正射相匹配的问题，分析切片厚度对图像采集的影响。在分离正应力的时候结合平衡微分方程，涉及到求偏导和积分的运算。选取点差值形函数拟合的方法，对剪应力分量进行按单元拟合，从而可直接求导或积分。第四章用三维数字光弹法分析汽轮机叶根、轮缘的三维接触应力。首先介绍了模型的设计、加载等工作。详细讨论了三维数字光弹法测量该模型的应力分量；分析了叶根和轮缘的可能接触区域、该三维模型的m i s e s 等效应力和轮缘各齿承担的载荷。在m a t l a b 编程环境下绘制出模型全场应力分量云图，并且分析了计算误差及误差出现的原因。第五章分析三维数字光弹冻结应力切片法是一项技术环节和影响因素较多的实验研究工作。其检测精度不仅取决于模型材料的性能、加工方法等，还依赖测量的手段、偏振仪光学系统中光学元件的旋转等。在第二章和第三章中分别对时效影响和冻结切片斜射及厚度影响进行了分析，本章讨论了在相移法采集图像时的偏振光学系统中各光学元件的角度误差和l 4 波片与光源的不匹配对计算结果带来的影响。第六章是总结和展望。总结本文工作并对进一步工作做出设想。本文结构框架图和创新点如下图：6第一章绪论图1 1 本文结构框图7第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取2 1 引言第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取实现三维数字光弹性的第一步是获取模型切片的全场次主应力差和和次主应力方向，也就是在偏振光学系统中，由透过模型切片某点出射的光强来描述的该点的相位差和等倾角信息。这是实现三维光弹性自动化的关键。基于该问题，本章着重分析在获取模型切片相位差和等倾角过程中存在的几个问题，若切片足够薄时，我们将切片看做平面状态，进行数字光弹性分析。在光弹性数据自动采集的早期阶段，出现过若干逐点分析方法的设想，希望直接定量地处理从等差线或等倾线分离出来的光强数据，来自动获取光弹性实验数据。由于这种方法受到记录全场光强数据设备条件的制约，实际上一直没有实现。直到数字图像处理硬件出现以后，这种处理方法才成为现实，可以自动地确定全场任一点的等倾线和等差线参数。将应力模型放置在偏振仪光学系统中，通过改变实验光场，记录与之相对应的图像，实现全场光弹性参数的自动确定，这种对不同的图像引进了不同的相位差的方法，称为相移法。1 9 9 1 年p a t t e r s o n 和w a n g 提出一种基于正交圆偏振光场的光弹性参数自动采集的六步相移法，进而在光弹工作者们不断改进下1 6 9 - 7 7 ，使六步相移法得到了更为广泛的应用。雷振坤等提出了以白光照射的五步相移法，但是到目前为止，光弹性相移法中出现的等差线和等倾线相互耦合、相互干扰的问题未得到很好的解决，直接影响了数字光弹法的实现。首先简述一下p a t t e r s o n 和w a n g 的六步相移法基本原理。将应力模型切片置入图2 1 的平面偏振光学系统中，采用单色光入射，其中只有第二个1 4 波片角度矽和分析镜角度是可变的，图2 1 中以灰色标示可旋转的光学元件，得到六幅具有不同相位差的图像，再通过反正切运算得到光弹性参数。用琼斯矩阵 7 8 - 8 0 1 推导出该光学系统中从分析镜出射的光矢量为p1ic o s 2 s i n p c o s plji c o s 2 矽2 + s i n2 欢( f 一1 ) c o s 织s i n 办i。2 【- s i n c o s ps i n2 jl ( i - 1 ) c o s 2 s i n 矽2f s i n2 欢+ c o s 2 织jr - e 话c o s 2 口+ s i n 2 目( p 话一1 ) c o s o s i n 口 r - i + li 1 r - 00 厂1 k 占一1 ) c o s o s i n oe 话s i n2 秒+ c o s 2 伊儿f li + 1 儿01 儿1 j( 2 1 )第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取其中，起偏镜p 的偏振轴与系统坐标轴x 轴的夹角为9 0 0 ，第一个1 4 波片q 1的快轴与x 轴的夹角为4 5 0 ，欢是第二个1 4 波片的快轴j c 轴的夹角，为分析镜彳的偏振轴与x 轴的夹角，口为应力模型第一主应力仃。与坐标轴x 轴方向的夹角，万为光通过应力模型内任一点所产生的相位差。图2 1 六步相移偏振光学系统根据式( 2 1 ) 可得从该偏振光学系统出射的光强表达式为，i = e e = 1 6 + 詈 1 - s i n2 ( p - 欢) c o s 6 + s i n2 ( o 一欢) e o s 2 ( f l 一夕2 ) s i n 万】z( 2 2 )e 是e 的转置共轭矩阵，厶是背景光强，厶是经过起偏镜的光的振幅。p a t t e r s o n 和w a n g 的六步相移法是分别让分析镜和第二个1 4 波片的角度按步长x 4 变化，得到如图表2 1 中的光强表达式。表2 1 六步相移光强表达式序号西8光强表达式1o死| 4i i = 1 6 + 0 5 1 。( 1 一c o s 8 )203 n 41 2 = 1 6 + 0 5 i 。( 1 + c o s 回30o1 3 = i b + 0 5 1 。( 1 + s i n 8 s i n 2 8 )4冗| 4冗1 4，4 = 1 6 + 0 5 1 。( 1 一s i n 8 c o s 2 0 )5霄| 2冗| 21 5 = 1 6 + o 5 1 。( 1 一s i n 8 s i n 2 0 )63 x 43 n 41 6 = 1 6 + 0 5 1 。( 1 + s i n6 c o s 2 0 )第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取由上述6 个光强表达式，得到删风t a n - l ( 措) = 0 5 x t a n - 1 c 端，亿3 )万：t a n 一- 怛二业! 型坠二丛! 型i( 2 4 )ll 一，2j我们所关心的是秒( 等倾角) 和万( 相位差主值) 的数值，而万是根据公式( 2 - 4 ) 计算得到，它与模型上该点的六个光场的光强和主应力方向秒有关。因此，首先要明确秒的数值，由公式( 2 3 ) ，该信息是由反正切运算得到，受到了s i n 万的数值( s i n 万= 0 时) 和s i n 万符号的影响。因此获取真实的全场次主应力方向和与次主应力差有关的相位差是相移法研究的重点，在本章第二节中针对s i n 万的数值对等倾角影响做出分析；第三节针对s i n 万符号影响等倾角进行研究。在光弹性实验中，模型边缘会产生随时间增长的条纹，它干扰正常的由外载荷引起的应力条纹，给实验带来误差，这就是所谓的时间边缘效应，简称时效。时效是由于材料内部含水量与空气中含水量不平衡所致。在本章第四节中对模型切片客观存在时效影响，并且在不能采取“选择材料”和“选择环境”消除时效的前提下，假设了时效影响的力学模型，并以实验进行分析。2 2 一些基本概念的讨论与约定为了便于本章工作的展开，首先明确几个概念。1 等倾线：在平面偏振光场中，满足公式( 2 5 ) 的角度为秒的点的集合组成的线称为酿度等倾线。s i n22 ( 0 - 0 0 ) = 0( 2 - 5 )其中，o o 是平面偏振光学系统中的起偏镜和检偏镜同时转过的角度，其数值可以从刻度盘上读出，这个数值就是该等倾线参数，范围为 0 ，, r 2 】。图2 - 2 为对径受压圆盘0 0 和3 0 0 的单纯等倾线图。在图2 - 2 ( a ) 中，o o = 0 0 ，公式( 2 5 ) 成立的条件是0 = 0 0 + n 9 0 0 ，疗= 1 ，2 ，如图十字交叉的黑线。图2 - 2 ( b ) 中，o o = 3 0 0 ，由式( 2 5 ) 可知，该等倾线为满足0 = 3 0 0 + n 9 0 0 ，n = 1 ，2 ，的点的集合。第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取( a ) 0 。等倾线和等差线( b ) 3 0 0 等倾线和等差线图2 - 2 对径受压圆盘等倾线条纹图2 等倾角：受力模型中一点等倾角数值指的是该点的第一主应力方向，即公式( 2 - 3 ) 中的一，其范围为 0 ， 。对于平面问题设q 和玛为模型上任一点的两个主应力( - - 维模型表示次主应力) ，且仉 o 2 ，它们与系统坐标系z 轴的夹角分别用日和以表示，则有b = 以州2 。在光弹性相移法中，一点的等倾角定义为该点的第一主应力d 与z 轴的夹角b 【o ，f 】图2 - 3 为对径受压圆盘全场等倾角图。圆图2 - 3 对径受压圆盘全场等倾角3 主应力迹线：用以表示主应力方向的曲线族，在该曲线上，每一点的切线方向即为该点的一个主应力方向。固此，主应力迹线总是两族彼此正交的曲线组成，本文中用虚线表示第一主应力巩方向，实线表示第二主应力口：方向。4 相位差主值：本文中又称等差线相位。即是公式( 2 - 4 ) 中的j 。它是由于入射光经过双折射材料中任意一点后，两柬光产生的相位差的主值。其范围是 0 ，2 卅。第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取2 3 数字光弹性八步相移法2 3 1 八步相移法原理根据公式( 2 3 ) 可以看出，等倾角口存在的充分必要条件是，。i 。，即：1 s i n 万0 ，2 c o s2 8 0 。也就是说在该受力模型的等差线为整数级和半数级条纹上任意一点，根据表2 1 中的六幅光强表达式均不能计算出等倾角信息；另外该模型的含等倾线信息的条纹图中，在等倾角臼为4 5 0 时，公式( 2 3 ) 亦没意义。所以现在的难点就是如何判断公式( 2 3 ) 中分母为零的情况是由s i n 万= 0 还是c o s 2 0 = 0 决定。因此，有必要寻找新的偏振光学系统的组合来解决应力模型切片某点等倾角信息不能定量表示的问题。我们考虑让第一个l 4 波片q l 也参与旋转，如图2 4 ，第一个l 4 波片q j 的快轴与系统坐标轴z 轴的夹角为旃。图2 4 八步相移偏振光学系统采用单色光入射，用琼斯矩阵推导出该光学系统出射的光强为式( 2 6 ) 。1 = e e = ，6 + 0 5 1 。( 1 一c o s 8 c o s 2 ( , 8 一办+ 识) + s i n ( 8 + 2 ( + z ) ) s i n 2 ( 0 + ) s i n 2 ( p + 办一氟) )( 2 6 )这三个参与旋转的光学元件的步长仍取7 r 4 ，得到如表2 2 中的八个光强表达式。第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取表2 2 八步相移光强表达式序号办办b光强表达式13 z 4a 1a冗| 21 l = 1 6 + 0 5 1 。( 1 一c o s 0 323 刀 4死| a01 2 = 1 6 + o 5 i 。( 1 + c o s 万)33 n 4001 3 = 1 6 + 0 5 1 。( 1 + s i n 6 s i n 2 1 9 )43 n 4瓦| 47 c | 41 4 = 1 6 + 0 5 1 。( 1 - i - s i n6 c o s 2 0 )5死| 40o1 5 = i b + 0 5 1 。( 1 一s i n 6 s i n 2 0 )6冗| 43 a 4冗| 41 6 = 1 6 + 0 5 i 。( 1 一s i n 6 c o s 2 0 )7万| 2兀l401 7 = i b + 0 5 1 。( 1 一c o s 6 s i n2 0 )800冗| 41 8 = ，6 + 0 5 1 。( 1 + c o s 6 c o s 2 0 )与表2 一l 对比，八步相移法仅增加了如表2 - 2 中的第7 和第8 个光强表达式，前六个与p a t t e r s o n 和w a n g 的六步相移法完全一致。有下式成立i 目= 0 5 t a n 一( 等) ，当，4 ，6 时 秒：o 5 t a n - l ( 饕) ，凯：1 6 _ 且i 。i s w t( 2 - 7 )l气叫6【1 0 = 州4 或3 n 4 ，当，4 = 1 6 勘6 = l g 时万= t a n - 一 ! 兰! 二! i ! ! ! ! 三皇! ! ! 二! ! ! ! ! ! 三里l( 2 8 )ll 一2j公式( 2 7 ) 中，。= 厶且。，。等同于1 f ( s s i i n n 8 万c + o s c 2 。0 s 们= 羔s 2 秒。，也就是s i n 删时的情况；而1 4 = 1 6 勘。吐等同于键黧鬈蚕羔。2 删，也就是c o s 2 0 = 0 时的情况。这样，就把公式( 2 3 ) 中分母为0 的情况区分开，弥补了公式( 2 3 ) 的不足，也解决了p a t t e r s o n 和w a n g 的六步相移中的一个主要难题。2 3 2 对径受压圆盘模拟仿真采用有解析解的对径压缩圆盘问题进行仿真模拟，用m a t l a b 编程平台实现。圆盘直径0 0 5 米，厚度0 0 0 6 米，对径压力8 3 2 牛顿，光源波长7 1 5 1 0 9 米，图像大小2 5 6 木2 5 6 像素。图2 5 是采用计算机模拟该圆盘按照表2 2 的八步相移第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取法对应的模拟图像。圃画回圆圆圃固圃幽幽t g ) i圈2 - 5 对衽压缩圆盘八步相移模拟图像( h 】，。图2 - 5 ( a ) - - i ! f l2 - 5 ( t ) np a t t e r s o n 和w a n g 的六步相移法所对应的模拟图像。根据公式( 2 3 ) ，暂不考虑s i n 5 的符号对等倾角0 的影响，也就是说在此公式的反正切运算中，将分子与分母的商视为整体。这样，得到如图2 - 6 c a ) 所示的范围在【o z 2 】全场口值( 该值g l e n 此圆盘等倾线参数) 。图2 - 6 ( b ) 是根据公式第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取( 2 - 7 ) 计算得到的该圆盘全场一信息。由弹性力学1 8 1 1 解析解，对径受压圆盘任意一点的应力状态为t 、口。和r 。，根据平面问题的各点主应力方向与该点应力关系式( 2 9 ) 得到该圆盘的全场范围在 o ，州2 的全场等倾线参数，如图2 - 6 ( c ) 所示。用2 5 6 级荻度显示，o 对应的灰度值是0 ，7 r 2 对应的灰度值是2 5 5 ，灰度值越高图像颜色越浅。8 = 0 5 x t a n 一。r 二l _ 二( 2 9 )2 f 。建i 翼1a ) 六步相移等倾线信息( b ) 八步相咎等倾线信息( c ) 全场等倾线参数解析解图2 - 6 对径受压圆盘全场等倾线信息图图2 - “a ) 中出现的形如i 和i i 所指的不连续的情况均由是，。= ，。引起的，类型i 是由c o s 2 8 = 0 引起的，而类型产生的原因是s i n 占= 0 。从图2 - 6 中可以看出六步相移的结果在等差线为半数或整数级和等倾线参数为4 5 0 的地方上出现明显地间断现象：八步相移的结果与解析解除了在等倾线为0 0 和9 0 0 的时候表示上有差别( 等倾线为0 度时与等倾线为9 0 度在光弹中的意义是一样的) 外其余的区域是基本相同的。其绝对误差表现在图2 - 7 中。“1 六步相移绝对误差( b ) 八步相移绝对误差图2 7 对径受压圆盘全场等倾线参数绝对误差圈。b一 一一r l第二章冻结模型切片全场敬主应力信息的获取2 3 3 圆盘实验验证将冻结环氧树脂圆盘模型放入偏振光场中，圆盘直径4 0 毫米，厚度6 毫米，材料条纹值为1 1 2 牛顿m 毫米条) ，用c c d ( c h a r g ec o u p l e dd e v i c e ) 摄像机，按照表2 - 2 旋转对应的光学元件拍摄图像图2 - 8 为拍摄的圆盘八步相移条纹图( 六步相移计算用图中的( a ) - ( o 即可) 。酬潮：”i 嘲( g ) ，囝2 - 8 冻结圆盘八步相移图像( h ) l第二章冻结模型切片全场冼主应力信息的获取图2 - 9 是由六步相移法计算出的该圆盘【0 ，口，2 】范围内的全场等倾线图，图2 1 0 是用八步相移计算得到的全场等倾线信息。硒毋i图2 9 六步相移全场等倾线蚓2 1 0 八步相移全场等倾线由此可见，利用八步相移法实现数字光弹很好地解决了等差线整数级或半数级对等倾线信息的干扰问题，更好地得到了连续的全场等倾线信息，使公式( 2 - 3 )避免了s i n 占= o 的影响，为进一步计算相位差奠定了基础，很大程度上减少了计算误差。2 4 数字光弹法中等倾角的确定在三维数字光弹法中，获取模型切片的次主应力差和第一主应力方向是首要任务，公式( 2 - 8 ) 中的0 即是该切片上某点的第一主应力方向，也就是该点的等倾角值，范围在 仉口】。由公式( 2 - 7 ) 得到删s m “c 糟) _ 0s c 麓翳x删s 一。c 措s t a r “篇车舞篇。a = 目| 域3 a i 4 ，若0 e 0 ，口 则需当。l 时訇、= i 。勘。 i 对当l 、= i 。且r 。= i 黜( 2 1 0 )由此可见，0 受到s i n j 和c o s 8 符号的干扰，据此计算得到的0 值并不能真实反映等倾角的值，在某些区域与真实的等倾角相差州2 ，所以依据公式( 2 _ 8 ) t甏第二章冻结模型切片全场次主应力信息的获取有a ：m 一阻 型! ! ! 型! 型垄! 坠= & 2 1 1 1 1 翌! 型型i ( 2 - 1 2 )一，所以，等倾角的不确定使得全场相位差主值在某些区域出现“反相”，如图2 - l l 所示。勉圃if a ) 八步相移法( b ) 解析解图2 1i 对径受压圆盘全场包裹的相位囤针对该问题，我们从公式( 2 1 0 ) 的反正切运算着手，分别以反正切运算的两种规则展开分析。2 , 4 1 根据规则】分析等倾角对于反正切运算有两种规则，我们首先分析第一种；觇g t ul ：d ；t a ni ( ；) j当a 0 ，b ) 0 时，d e 仉州2 )当a o 山 o 时，n ( 叫2 ，r - 】当a 0 b 0 时，ge ( 一州2 0 】依此规则，虽然得出的日e l o ，州，但由于公式( 2 - 7 ) 中分子和分母同时参杂了占的信息，导致计算结果2 口在【0 ，州2 ) 和 一口一州2 ) 范围内混淆，同时( 班，f 】和( 一州2 ，o 】范围内的数值也无法k 分。图2 一1 2 为照此规则求得的八步相移对径受压圆盘的等倾角和等差线相位图。第二章冻结模型切片全场次