（信号与信息处理专业论文）基于压缩感知的ct迭代图像重建技术应用研究.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 c t 成像技术是一种能准确、直观的展示物体内部组织结构信息的技术。近年 来，多排螺旋c t 技术飞速发展，标志着c t 又进入了快速的技术发展阶段。随着c t 更加广泛的临床应用，会遇到不完全投影数据重建的情况。比如障碍物的阻挡或 者对检查者健康的人性化考虑想缩短扫描时间等。这样获得的投影数据就会不完 整。研究如何在不完全投影数据的情况下重建满足临床需求的c t 图像，无论从理 论上还是实践应用上都具有非常重要的意义。 对于不满足数据完备性条件的不完全投影数据，现有的经典滤波反投影类重 建方法不能重建出满足i 临床要求的c t 图像，图像出现混叠伪影或是图像不完整。因 此，必须寻求新的图像重建方法解决不完全投影数据图像重建问题。与滤波反投影 类方法相比，另一类c t 图像重建方法迭代类图像重建算法，具有所需投影数较少， 即使信噪比低的情况下也能重建出质量好的图像的突出优点，非常适合不完全投影 数据图像重建的情况。因此，采用迭代类图像重建方法是更好的解决路线。 同时，压缩感知理论证明了稀疏信号可以由远不满足s h a n n o n n y q u i s t 采样 定理的采样数据精确重建，为解决不完全投影数据c t 重建问题提供了很好的思 路。本课题基于压缩感知理论，提出并实现了一类适用于不完全投影数据的c t 迭 代图像重建方法c s i r 算法。该方法将不完全投影c t 图像重建问题转化为线性约 束条件下的函数最小化问题，并且考虑构造不同的目标函数使结果更加精确。而 且c s i r 算法还充分利用图像的先验信息来抑止伪影及弥补缺失投影数据。 针对不完全投影数据重建问题，我们进行了大量仿真实验研究。仿真实验结 果表明，在不完全投影的情况下，c s i r 算法重建出的图像不仅没有滤波反投影类 算法的混叠伪影，而且重建图像足够精确。这也是传统的迭代类重建方法和单纯 的压缩感知算法都无法实现的，评价指标也说明了这点。因此本文c s i r 方法能够 从不完全投影数据中重建出足够精确的c t 断层图像，在临床实践中将具有良好的 应用前景。 关键词：c t ；不完全投影；迭代图像重建；压缩感知 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t c ti so n ei m a g i n gt e c h n o l o g yt h a tc a l l d i s p l a yt h ei n n e ra n a t o m i cs t r u c t u r e i n f o r m a t i o no ft h eo b j e c ta c c u r a t e l ya n di n t u i t i v e l y i nr e c e n ty e a r s ，m u l t i d e t e c t o rc t d e v e l o p sr a p i d l y , i n d i c a t i n gc te n t e r i n g an e wp e r i o d w i t hc te x t e n s i v ec l i n i c a l a p p l i c a t i o n s ，w em a y e n c o u n t e ri n s u f f i c i e n tp r o j e c t i o nd a t ar e c o n s t r u c t i o np r o b l e m ，e g ， i nt h ec a s e so fo b s t a c l e s h a d i n ga n ds h o r t e n i n gs c a n n i n gt i m ef o r t h eh e a l t h c o n s i d e r a t i o n i nt h e s ec a s e s ，t h ea c q u i r e dp r o j e c t i o nd a t aw i l lb ei n - c o m p l e t e s t u d y i n g h o wt oa c c u r a t e l yr e c o n s t r u c tc ti m a g e sf r o mi n s u f f i c i e n tp r o j e c t i o nd a t ai so fg r e a t s i g n i f i c a n c ef o rf u n d a m e n t a lr e s e a r c ha n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n w h e nt h en u m b e ro fp r o j e c t i o n sd o e sn o ts a t i s f yt h ed a t as u f f i c i e n c yc o n d i t i o n ， s t r e a k l i k ea l i a s i n ga r t i f a c t sw i l lb ei n e v i t a b l ei nc ti m a g e so rt h ei m a g e sa r en o t c o m p l e t er e c o n s t r u c t e d ，u s i n gc l a s s i c a lf i l t e r e db a c k p r o je c t i o n ( f b p ) a l g o r i t h m s s o w en e e dt os e e kn e wi m a g er e c o n s t r u c t i o nm e t h o d st oa d d r e s st h ei n s u f f i c i e n tp r o j e c t i o n d a t ar e c o n s t r u c t i o np r o b l e m c o m p a r e d 谢t hf b pm e t h o d s ，t h ea d v a n t a g eo fc t i t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o nm e t h o d sa r em o r eo b v i o u s t h ei t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h mi s a b l e t og e n e r a t et o m o g r a p h i ci m a g e s 晰t hh i g h e rq u a l i t yw h e nt h e p r o j e c t i o nd a t ai sn o i s yo ri n s u f f i c i e n t h e n c e ，u s i n gi t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m s t os o l v et h ep r o b l e mw i l lb eab e t t e rt e c h n i c a lr o u t e a tt h es a m et i m e ，c o m p r e s s e ds e n s i n gt h e o r yh a sp r o v e dt h a ts p a r s es i g n a l sc a nb e a c c u r a t e l yr e c o n s t r u c t e df r o mf a rl e s sm e a s u r e m e n t st h a nw h a ti su s u a l l yc o n s i d e r e d n e c e s s a r ya c c o r d i n gt ot h es h a n n o n n y q u i s ts a m p l i n gt h e o r e m i tp r o v i d e su sp o t e n t i a l d i r e c t i o n f o ro u rp r o b l e m i nt h i sp r o j e c t ，b a s e do nc o m p r e s s e ds e n s i n gt h e o r y , w e p r o p o s e da n di m p l e m e n t e dan e wc a t e g o r yo fc ti t e r a t i v ei m a g er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m w ec a l lt h e mc s i ra l g o r i t h m s t h em e t h o d sc o n v e r tt h ep r o b l e mt of u n c t i o n m i n i m i z a t i o np r o g r a mu n d e rl i n e a rc o n s t r a i n t ，a n dc o n s i d e rh o wt oc o n s t r u c td i f f e r e n t o b j e c tf u n c t i o nt om a k et h er e s u l tm o r ea c c u r a t e m e a n w h i l e ，w eu s e dp r i o ri n f o r m a t i o n t os u p p r e s sm i f a c t sa n dr e m e d yl o s td a t a a i m i n ga tt h er e c o n s t r u c t i o np r o b l e mu n d e ri n s u f f i c i e n tp r o j e c t i o nd a t a , w ed i d l o t so fs i m u l a t i o nr e s e a r c h r e s u l t ss h o w e dt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o dc o u l da c c u r a t e l y r e c o n s t r u c tt o m o g r a p h i ci m a g e sf r o ml i m i t e dp r o j e c t i o n sa n dt h ei m a g e sa r eo fh i 曲 q u a l i t yw i t h o u ts t r e a k - l i k ea l i a s i n ga r t i f a c t s t r a d i t i o n a li t e r a t i v ea l g o r i t h m so rm e t h o d s 2 山东大学硕士学位论文 s i n g l yu s i n gc o m p r e s s e ds e n s i n gm a yn o ta c h i e v ei t a n dt h eq u a n t i t i v ea n a l y s e sf o r t h e s er e s u l t sg a v et h es a m ec o n c l u s i o n s s ot h ep r o p o s e dm e t h o di sh i g h l yp o t e n t i a li n c l i n i c a la p p l i c a t i o n s k e yw o r d s ：c t ；i n s u f f i c i e n tp r o j e c t i o n ；i t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o n ；c o m p r e s s e ds e n s i n g 山东大学硕士学位论文 4 c t ：计算机断层扫描 m r i ：核磁共振成像 f b p ：滤波反投影 a r t ：代数重建技术 符号说明 c s ：压缩感知 c s i r ：基于压缩感知的迭代图像重建 m s e ：均方误差 p s n r ：峰值信噪比 山东大学硕士学位论文 1 1 课题的来源及背景 第一章绪论 本课题来源于山东省a 然科学基金项g ( z r 2 0 i o f m o l 2 ) 一显著降低x - 射线辐 射剂量的新型m d c t 图像重建算法研究o c t ( c o m p u t e dt o m o g r a p h y ，x 射线计算机断层扫描) 是继伦琴18 9 5 年发现x 射 线后工程界又一划时代突破，被公认为2 0 世纪影响人类发展的十大技术之一1 1 1 。 c t 技术是通过对物体进行不同角度下的射线投影而获取物体横截面信息的成像技 术，能准确，直观的展示物体内部组织的结构。1 9 7 1 年世界上第一台c t 机于英国 伦敦a t l d n s o nm o d e y 医院正式安装使用。随后c t 技术迅速发展，再后来由于核磁 共振成像( m a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ，m r i ) 的问世一定程度上使c t 的重要性显 著降低，八十年代c t 的发展处于平静阶段，没有实质性的亮点出现。今天，c t 已 经成为放射诊断领域内不可缺少的一部分，是一种成熟的、在临床上普遍认可的 检查方法。特别是近年来，多排螺旋c t ( m u l t i - d e t e c t o rc o m p u t e dt o m o g r a p h y ， m d c t ) 技术和多源c t ( m u l t i s o u r c ec o m p u t e dt o m o g r a p h y ，m s c t ) 的飞速发展， 标志着c t 又进入了快速的技术发展阶段，并再次扩展了它的临床应用领域，如心 脏、肺的动态检查及c t 血管造影、介入治疗的引导等1 2 j ，如图1 1 和1 2 所示。 图1 - 1 多层螺旋c t 设备 山东大学硕士学位论文 图1 2c t 临床图像 随着c t 日益广泛的临床应用以及临床地位的提升，会遇到不完全投影数据重 建的情况。比如障碍物的阻挡以及对检查者健康的人性化考虑想缩短扫描时间【3 】 等都会使获得的投影数据不完整。在c t 成像过程中，获得不完整投影数据的投影 方式可归为两类：一类是欠采样投影方式，另一类是有限角投影方式1 4 j 。欠采样投 影是指c t 机x 射线管的旋转角度范围满足h e a a gk 1 u y 的数据完备性条件1 5 j ，但 是扫描间隔不满足s h a n n o n n y q u i s t 采样定理。即采样间隔大，采样个数少，获得 的投影数目少，如图1 - 3 q 了( b ) 所示。实际上，常用商业c t 机在螺旋扫描旋转一圈中 大约需要投影1 0 0 0 次。目前图像质量和诊断能力在很大程度上要取决于扫描时间， 因为病人自觉或不自觉的运动会使图像清晰度下降，产生伪影。因此为了缩短扫 描时间，就会出现有限角扫描的情况。这时x 射线管的旋转扫描角度范围不足3 6 0 0 ， 但采样间隔满足n y q u i s t 采样定理，也就是仅在有限角范围内对物体进行扫描，如 图1 3 中( c ) 。但是迄今为止，尚未出现非常有效的算法进行有限角情况下的c t 图像 重建。本课题要解决的就是如何能够从欠采样的投影数据或者有限角投影数据等 不完全投影数据足够精确地重建c t 断层图像，以便辅助临床诊断。 6 山东大学硕士学位论文 ( a ) 完全采样( b ) 欠采样( c ) 有限角采样 图卜3 不同的投影方式 在医学c t 中，重建算法一般采用滤波反投影( f i l t e r e db a c k p r o j e c t i o n ，f b p ) 类算法。但该类算法要求必须满足t u y 的数据完备性条件，而且采样速率必须满 足传统的香农奈奎斯特定理，这样才能从投影数据重建出完整的精确图像。在不 完全投影数据的情况下，对于欠采样数据用经典的滤波反投影算法得到的重建图 像出现条状混叠伪影。虽然这些均匀间隔的条状伪影并不代表任何解剖结构，但 是诊断过程中每一个细小的环节都是十分重要的，这些混叠伪影需要尽可能的避 免和消除。同样，有限角时因x 射线管的旋转角度范围不满足数据完备性条件而无 法用现有的滤波反投影类算法重建出完整图像。因此，必须寻求新的重建方法解 决不完全投影数据重建c t 完整图像的问题。一般而言，解决不完全数据问题的方 法大致可以分为两类，一类是先通过插值运算估计缺失数据，进而再用f b p 之类的 解析算法进行图像重建。这只对特定物体在c t 机特定扫描参数下的图像重建适用。 而且该方法并不能向更一般的情况推广。相比之下，通过迭代数值计算方法求解 相应的投影数据模型( 大规模线性系统) 则是更为合理的思路。 随着科技的进步，信号的分辨率和带宽的提高，传统的香农奈奎斯特采样定 理从很多硬件等数字信号处理方面受到很大的压力和挑战，同时获得的海量样本 中只要有限的信息是重要且有价值的，因此浪费了大量资源。对此美国斯坦福大 学的d o n o h o ，c a n d e sa n dt a o 在2 0 0 4 提出的压缩感知( c o m p r e s s e ds e n s i n g ) 理论 【6 ，7 】证明了只要信号在某一个正交空间具有稀疏性，就能以较低的频率采样信号高 概率重构该信号。对于图像也就是：若图像在某个变换域具有稀疏表示，则可由 远少于奈奎斯特采样数的投影观测值足够清晰的重建出原始图像。近来，已有学 7 山东大学硕士学位论文 曼皇! 詈詈皇皇曼詈喜暑鼍詈量皇皇! 量量皇量詈量皇詈曼暑皇鼍皇皇曾鼍詈! 曼! 詈! 詈! 曼曼詈! 詈曼曼! 詈鲁詈! 曼鲁皇詈量量曼詈鼍暑暑量曼詈兽皇詈詈詈詈詈量曼詈詈詈! 皇置i i 者开始探索c s 理论在图像重建中的应用并取得一些初步成果。比较典型的有： l u s t i n gm 等人首先将压缩感知理论用于医学m r 图像的重建【引。国内也有人研究 将压缩感知用于图像恢复中，如李林等提出的基于轮廓波维纳滤波的图像压缩感 知重构方法等【9 】。由于c t 图像具有稀疏表示，所以人们可以在c s 理论框架下寻求 不完全投影数据的精确c t 断层图像重建的新方法。 1 2 论文的研究内容和结构 迭代重建的概念首先由g o r d o n 、b e n d e r 、h e r m a n 等人于1 9 7 0 年引入图像重建 领域，第一台医用c t 机所用的原理就是代数重建迭代算法。迭代类算法特别适合 于不完全投影数据的图像重建。本课题在深入研究c t 成像原理以及传统迭代类重 建算法的基础上，利用c t 图像具有梯度稀疏表示的先验知识，基于压缩感知理论 提出一类针对不完全投影数据c t 迭代图像重建的新算法。该类方法通过求解线性 约束条件下不同目标函数的最小化问题，可以从不完全投影数据足够精确地重建 出适宜影像学临床诊断需求c t 断层图像，从而解决不完全投影数据重建的问题。 论文的具体安排如下：第一章绪论，介绍了近年来c t 技术的发展及面临不完 全投影数据重建问题，引出如何在不完全投影数据的情况下重建精确图像是c t 研 究的重要内容和研究方向。还介绍了一些方法和国内外研究现状及论文的创新点。 第二章详细介绍了c t 成像原理及投影重建算法及数学基础等，还介绍了c t 仿真实 验平台。第三章具体讨论c t 迭代类图像重建算法，主要是a r t 迭代图像重建算法 及改进重建图像质量的要素等。还对不完全投影重建的情况进行了讨论和分析。 第四章主要讨论压缩感知理论的原理，关键问题以及在c t 图像重建中的应用。第 五章是课题的核心。提出并实现了基于压缩感知的c t 迭代图像重建算法，解决了 不完全投影数据的图像重建问题并进行了大量实验。最后一章总结了本文的工作， 分析了课题中可以改进之处并对研究前景进行了展望。 1 3 课题的创新点 压缩感知理论是最近几年国内外相关学科的研究热点。c t 不完全采样数据的 图像重建更是影响c t 成像技术进一步发展的瓶颈之一。本课题将压缩感知理论和 8 山东大学硕士学位论文 传统迭代图像重建方法相结合，研究针对不完全投影数据的c t 图像重建方法，有 较大的学术价值和临床应用前景。此外，本课题涉及到放射医学影像、数学、计 算机图像分析处理等多个学科领域，属于多学科交叉课题。 本文具体的创新点总结如下： ( 1 ) 将c s 理论用于c t 图像重建来解决不完全投影数据图像重建问题。本课 题将适宜不完全数据图像重建的传统迭代算法融合到c s 技术中，提出一类新的基 于c s 的c t 迭代图像重建算法，该类算法能够从有限的投影数据足够精确地重建 断层图像，有着很好的临床应用前景。 ( 2 ) 灵活而又巧妙的构造本文c s i r 算法中的最优化目标函数。我们综合考 虑c t 成像的物理机制、临床先验知识等因素构造算法中的目标函数。同时课题 将有约束的函数最小化问题转化为无约束的最优化问题，然后通过最优化理论中 的最速下降法使目标函数最小，从而得到要重建的目标c t 图像，解决了不完全投 影数据重建的问题。 9 山东大学硕士学位论文 第二章c t 原理及图像重建算法 2 1o t 成像原理 2 1 1c t 技术的发展及研究现状 c t 的历史可以追溯至0 1 8 9 5 年r o e n t g e n 发现x 射线。1 9 7 3 年英国e m i 公司基于工 程师c n h o u n s f i e l d1 9 7 2 年的专利成功研制了世界上第一台真正意义上的医用 c t 1 0 】。相继，美国m a y oc l i n i c 帮麻省总医院安装了颅脑c t ，放射诊断学自此进入 了c t 时代。c t 具有断层成像，密度分辨率高，无损检测，存储方便等优点。相对 于x 射线成像术具有软组织分辨能力高，投影剂量小，动态范围大等特点。 h o u n s f i e l d 和c o r m a c k 因发明c t 获得1 9 7 9 年诺贝尔医学和生理学奖。2 0 世纪8 0 年代， 螺旋c t 诞生并投入临床应用。螺旋c t 相对于断层c t 的优势在于：螺旋c t 可以不 问断地采集投影数据，可以重建得到物体的体数据( v o l u m ed a t a ) ，扫描时间短且z 轴分辨率高，减少了运动伪迹和漏扫，可以重建出高质量的三维图像。多层螺旋 c t ( m u l t i d e t e c t o rs p i r a lc t ，m d c t ) 是在单层螺旋c t 基础上发展起来的，最先由 e l s c i n t 公司于1 9 9 1 年推出双层螺旋c t 。多层螺旋c t 扫描速度更快，覆盖范围更广， 辐射更低，重建出的图像质量更高。另外，s i e m e n s 公司于2 0 0 5 年1 1 月底推出了 世界上首台双源c t ，双源c t 有很高的时间分辨率，可得到高质量的重建图像且减 少了所需剂量。双源c t 被业界誉为c t 技术的又一大突破。双源螺旋c t 的发展以及 从单层扫描向多层扫描的转变使得c t 再次富有吸引力，并使得c t 在技术和临床前 景方面有决定性的发展。 近年来c t 又出现了许多新的技术，如用多层面重建法( m u l t i p l a n a r r e c o n s t r u c t i o n ，m p r ) 和表面遮盖法( s u r f a c es h a d e dd i s p l a y , s s d ) 进行c t 的三维 可视化重建，c t 仿真内镜技术( v i r t u a le n d o s c o p y , v e ) ，c t 血管成像( c t a ) ， c t 灌注成像( c tp e r f u s i o n ) 等。 国内在c t 领域的研究虽然已取得初步进展，但在先进技术方面同国外的水平 还有很大差距。国内大医院所购买的c t 机绝大多数都是由国际大的医疗器械厂商 s i e m e n s ，p h i l i p s ，g e n e r a le l e c t r i c 等研制开发的。而且通常c t 机的数据采集和成 l o 山东大学硕士学位论文 像处理硬件模块都已被固化加密，无法再做二次开发和升级，维修也只能依靠国 外厂家。因此，针对我国医学临床领域的应用需求，国家现在投入了很大的物力、 财力鼓励c t 技术方面的研究。 迄今，c t 的发展经历了五代【1 1 】：( 1 ) 平行束( 笔束) 平移旋转扫描模式( 2 ) 扇 束平移旋转扫描模式( 3 ) 扇束光源监测器同步旋转扫描模式( 4 ) 采用扇束滑环技 术的c t ( 5 ) 锥束c t ( 商业上多称作多层c t ) 。各代具体的扫描方式如图2 1 所示。 方式的改进主要考虑缩短扫描时间，减少x 射线的辐射，提高重建图像的质量和 空间分辨率。 d 百 ( i ) ( a ) 平行束平移旋转 射线管 检溺嚣 ( b ) 扇束平移旋转 ( c ) 光源监测器同步旋转扫描( d ) 扇束滑环技术 山东大学硕士学位论文 嘲 八 ， i i r a y s o u r ( e ) 锥束c t 图2 1 各代c t 扫描方式 ( d 螺旋c t ， 。蕊 声 心o 。淤阏- i ) w 图2 2 扇束扫描的两种方式( a ) 等角扇束( b ) 等距扇束 对应不同x 射线的投影方式，投影数据与物体体素密度之间的解析关系是不相 同的，数学计算也不一样。投影数据和体素密度之间的关系可用下面介绍的r a d o n 变换来建模。理论上说，从物体到投影数据可视为r a d o n i e 变换，而从投影数据反 推物体的体素密度可视为r a d o n 反变换。平行束投影方式最为简单，平行的x 射线 束与探测器相对应，绕着物体在1 8 0 0 范围内平移，旋转，获得物体的投影数据。在 工程上，实现理想的平行x 光是达不到的，比较容易实现的是扇束投影和锥束投影。 扇束投影分为两种形式，如图2 2 所示：一种是等角扇束，通道尺寸相同且间隔均 匀的探测器模块被放置在以射线源为圆心的圆弧上，各次采样之间的角度间隔相 同；另一种是等距扇束，探测器是一个平面，而不是一个曲面，采样间隔均匀， 相邻采样单元与射线源形成的角度间隔从中心到边缘逐渐改变。锥束扫描方式是 一种三维扫描结构，检测器模块含有多层是平面结构，与平行束扇束扫描结构相 比，这样就充分利用球管产生的x 射线，一次就可以产生一个面数据，具有更高的 空间分辨率，更短的数据采集时间和更高的射线利用率。但由于工程实现上的困 1 2 山东大学硕士学位论文 难，如目前还缺乏廉价的、大尺寸平板探测器，以及计算机硬件计算速度的限制， 现实重建需要更多的时间。各代扫描方式的具体情况比较如表2 1 所示。 表2 - 1 各代扫描方式的比较 第一代第二代 l 第三代 l 第四代第五代 扫描方式笔束扫描扇束扫描 运动方式平移旋转方式连续扫描方式 扫描时间 3 m i n10 s 2 m i n2 8 s 1 0 s i 1 s 1 0 s 更快 主要用途头颅扫描 全身扫描，观察除心脏外的脏器血管、心脏造影 2 1 2c t 成像原理及系统组成 c t 成像过程大体为：用x 射线束对人体一定厚度的层面进行扫描，由探测器 接收透过该层面的x 射线，所得的信号经过模数转换( a d c ) ，转变为数字信号。 这个过程也就是原始数据采集的过程。然后交由计算机进行预处理如射束硬化， 解除零点漂移等获得比较精确的数据，再由软件进行反投影重建算法处理，最后 得到断层图像输出至显示设备上显示或存储于磁光盘中【i 2 1 。 c t 成像系统组成主要有：扫描设备，包括x 射线管，滑环和( 平板) 检测器， 信号转换系统等，还有扫描数据处理和重建设备，就是计算机系统，最后是图像 显示和存储设备。c t 系统组成及成像过程如图2 3 所示。 图2 - 3c t 成像系统 山东大学硕士学位论文 2 2c t 图像重建的基础 所谓c t 图像重建就是由探测器采集到的x 光投影数据，求解断层图像矩阵 中的像素值，重新构造图像的过程。重建基础包括物理基础和数学基础两个部分。 2 2 1 物理基础 c t 的物理学原理是吸收定律，假定光源发出的x 射线强度为厶，到达检测器 的强度为，光路上物质衰减系数为p ( x ) ，i = 1 ，2 ，刀，则根据比尔定理 ( l a m b e r t - b e e r s ) 有 “( x ) d x = _ l n 亭) ( 2 - 1 ) 从上式( 2 1 ) 知：( 1 ) 所谓投影重建c t 图像，就是从已知的厶和检测到的， 反推或反求j l l ；换言之，由积分值一l n ( 纥) 反求被积函数p ( x ) ，即由得到的投影 值求线性衰减系数。这是一个典型的数学反问题( 逆问题) 。( 2 ) 所谓的c t 图像， 就是x 射线所穿过的人体断层组织对x 射线衰减系数的分布。 但是，人体组织的肛都与水很接近( | “。= 0 1 9 c m 一) 。若直接以u 值成像，则 难以反映组织间的差异。在c t 影像技术中，引入c t 数( h o u s e f i e l d 数) 概念： c r 数：世1 0 0 0 ：h( 2 2 ) j l l 。 显然，水的h = 0 。人体骨骼的p = 2 p 。，骨的h = 1 0 0 0 ；而空气的p = 0 ，空气的 h = - 1 0 0 0 。 2 2 2c t 图像重建的数学基础 r a d o n 变换及r a d o n 逆变换c t 图像重建的数学理论基础是r a d o n 变换 1 1 3 , 1 4 】。1 9 1 7 年，由奥地利数学家j o h a n nr a d o n 首先提出来的，但其论文或研究工 作直到2 0 世纪7 0 年代才被人发现。2 0 世纪6 0 年代，美国物理学家a l a nm c o r m a c k 又独立系统地对r a d o n 变换理论进行了深入研究，并且在其论文中用算例演示了 基于r a d o n 变换的图像重建试验结果。一般认为，c o r m a c k 的研究工作真正为c t 工程技术提供了理论指导。由于c o r m a c k 在c t 理论学术研究上的突出贡献，1 9 7 9 1 4 山东大学硕士学位论文 年同g o d f r e yh o u n s f i e l d 共同获得了诺贝尔生理医学奖。 如图2 - 4 所示，函数f ( x ，y ) 的r a d o n 变换定义为该函数沿倾角为p 、距原点 距离为s 的直线的线积分 g ( s ，0 ) = l if ( x ，y ) 8 ( x e o s o + y s i n 0 - s ) a x a y ( 硼 s o o ，0 0 万) ( 2 - 3 ) 用倪表示r a d o n 变换算子，则g ( s ，0 ) = 形。贸也称作投影算子。因为对于固 定的s ，0 ，g ( s ，0 ) 为函数沿直线三的一维投影。 兴 黧。 0 7 图2 - 4r a d o n 受抉不恿图 引入旋转坐标系统： = 仁兰黝 即 f = 嚣：舞：，禺x = s e 如o s 日0 - u s 硎i n 0 。蹦。n 变舸重新貅 g ( s ，日) = if ( s c o s o u s i n 0 ，s s i n 0 + u c o s o ) d u ( 哪 j ，0 0 7 r ) ( 2 4 ) c t 图像重建的过程就是对r a d o n 变换进行逆变换，其定义为：给定函数 f ( x ，y ) 的r a d o n 变换g ( s ，0 ) = 彤，( 蝴 s o o ，0 0 ，r ) ，则g ( s ，0 ) 的r a d o n 逆 变换为： f ( x , y ) = 孬1r 意船棚 ( 2 - 5 ) 投影定理( 中心切片定理) 将函数f ( x ，y ) 的二维傅立叶变换记作f ( 善。，考2 ) ， 即f ( x ，y ) 付- zf ( 考。，考2 ) ；f ( 善l ，考2 ) 在极坐标系下写作c ( 考，日) = f ( 考c o s 0 ，考s i n o ) ；函 数f ( x ，y ) 在视角0 0 下的r a d o n 变换记作g ( s ，0 0 ) ，g ( s ，0 。) 关于变量s 的一维傅立 叶变换记作g ( 孝，0 0 ) ，o o g ( s ，氏) 6 g 悸，9 。) 。则 能一 g 传，吼) 2 g ，吼) = ，偕c 。s 吼，善s i n 吼) ( 2 6 ) 兰：三二：，吼) 给出，偕，考：) 的一个中心切片，该切片与孝。轴的夹角为p 。，三二 过坐标原点。如图2 - 5 所示。 ” 一 、 只1 l ， ； 等螽 、a萍 f 一工 1 - 空壤 棚萎兰! 表竺了某函数的二坌隹傅立叶变换与其r 甜。n 变换一维傅立叶变换 之间的关系，是c t 滤波反投影图像重建算法直接的理论基础。 仄 2 3 图像重建算法 2 3 1 图像重建算法的基本内容及分类 肉簖篓霎三要芑差兰基本内容：断层平面中某一点的像素密度值可看作这一平面 内所有经过该点的射线投影之和( 的平均值) 。 。9 ” 。叫 去和坳青u 。，j 式中溉表示像素的值，皿，r 为经过像素的第i 条射线投影。可以这样理解： p 2l 歹吼z 瑚( 2 - s ) 其中七只z ) 是身体组织密度。 下竺竺妻萎苎兰：直是投影重建技术的核心问题。在投影数据已确定的情况 n 重建图像的质量很大程度上取决于所采用的图像重建算法。同三：。某二姜 1 6 山东大学硕士学位论文 型的图像重建算法在速度上、质量上也存在很大的差异。在c t 投影重建技术的 发展过程中，人们提出了许多种重建算法，但从大的类别上可以分为解析类重 建算法与迭代类重建算法两种。迭代类重建算法将在下一章详细介绍，在这里 我们主要说一下解析法中经典的滤波反投影类重建算法。 2 3 2 滤波反投影类重建算法 滤波反投影( f b p ) 是现在商业c t 普遍采用的重建算法【”l 。就是用以实现 r a d o n 逆变换的方法。由傅立叶变换和r a d o n 变换间的关系可得： 如) = 砖) 【掣】告d t ( 2 - 9 ) 地臼) = r 甜r c o s ( p 一妒) ，庐w ( 2 - l o ) 称“滤波反投影方程”，它体现了滤波( 卷积) 反投影算法的三个步骤： 1 把在固定视角咖下测得的投影p ( x r ，谚) 经过滤波，得到滤波后投影 g ( ，谚) ； 2 对每一个以，把g ( x ，晚) 反投射于满足= r c o s ( 0 一谚) 的射线上的所有各点 ( ，0 ) ； 3 将步骤2 中的反投影值对所有0 西7 r 进行累加( 积分) ，得重建后的图像 a 。 f b p 算法理论上要求一维滤波器的频率响应( 善) 爿毒l 。这是一个频带无限的 滤波函数，1 日( 毒) 1 2 必= l 考1 2 鹕专。按照佩利一维纳准则( 物理可实现系统， 频率响应须平方可积) ，该滤波器是无法实现的。工程中实际使用的滤波器为强制 带限的： 珂( 考) = | i 形( 考)( 2 1 1 ) 此处的形( 考) 为带宽是b 。寺折叠频率，采样频率的一半) 的窗函数。主要有两 种滤波器：r l 滤波器和s - l 滤波器。一般而言，使用i u 滤波器，图像轮廓清 楚，但存在g i b b s 现象；使用sl 滤波器，重建图像在低频段不及前者质量高。 解析法的优点是计算量小，重建速度快，对完全投影数据能获得很好的重建 质量，因此目前商用c t 系统中广泛采用解析法，但其最大的缺点是对投影数据的 山东大学硕士学位论文 完备性要求较高。 2 4c t 图像重建仿真实验 2 4 1 仿真模型介绍 研究c t 图像重建，必须要有投影数据。真实的投影数据由c t 机的数据采集 系统获得。在高校或科研机构内，只能利用模型模拟或仿真计算得到投影数据。 通常，用具有密度值的椭圆模拟人体断层的不同组织，用密度值来模拟人体断层 对x 射线的衰减系数。图2 - 6 为2 ds h e p p - l o g a n 头部模型及r a d o n 变换后的图像。 我们用经典的3 ds h e p p 。l o g a n 头部模型作为要重建的目标图像【l 酬，并进行c t 扫 描仿真实验，参考模型在m a t l a b 下显示结果如图2 7 所示。 1 8 e q f 一l 图2 - 62 ds h e p p - l o g a n 头部模型及r a d o n 变换后的图像 图2 73 ds h e p p - l o g a n 头部模型在m a t l a b 下显示结果 山东大学硕士学位论文 2 4 2c t 仿真实验平台介绍 我们在深入研究c t 物理机理和成像系统后，在v c + + 6 0 环境下搭建了c t 仿真模拟实验平台。本课题所有实验都是在该平台上面进行的。该软件系统能 实现s h e p p l o g a n 头部模型的各种扫描方式下的c t 图像重建，模拟c t 成像过 程。从模型设计，各种扫描方式的仿真，到投影数据不同算法重建，最后能重 建出完整合理的图像。该平台的主框架如图2 8 所示。 日翻岛盘曩曩翰嘲赣鼯缀缀鬃熬；鼻。到! 烹黼们1 麓圈硅m 图2 - 8 c t 仿真平台主界面 图2 - 9 是扫描视野为1 2 8 时锥束扫描方式下重建出的大小为2 5 6 x 2 5 6 的 s h e p p l o g a n 模型的二维断层图像。图2 1 0 为断层序列图像的三维可视化图像。 图2 9 重建断面图 1 9 匿譬圈 山东大学硕士学位论文 2 0 图2 1 03 d 可视化图像 山东大学硕士学位论文 3 1 引言 第三章c t 迭代图像重建算法 3 1 1 迭代图像重建的必要性及分类 迭代重建的概念首先由g o r d o n 、b e n d e r 、h e r m a n 等人于1 9 7 0 年引入图像重建 领域，是利用级数迭代的思想进行图像的重建。迭代图像重建技术的突出优势在 于它能够在投影数据信噪比低、数据严重缺损的情形下获得更高质量的重建图像 【1 7 j 。即在本课题中不完全投影数据f b p 算法无能为力的场合，均可借助于迭代重 建算法解决。此外还可以结合一些先验知识进行求解，目前已经有部分商用c t 开 始采用迭代算法进行图像重建。 迭代图像重建可分为代数迭代图像重建和统计迭代图像重建。代数迭代图像 重建中以代数重建技术( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e ，a r t ) o s a 9 1 为代表。世 界上第一台c t 机即使用了剐r t 迭代方法，重建8 0 x 8 0 的图像，需用5 分钟时间。随 后为了提高工程应用性能，学者们先后又提出了联合代数重建( s a r t ) ，修改的联 合代数重建( m s a r t ) ，频谱分析图像重建( f s a r t ) 和神经网络代数迭代重建等新型 代数迭代重建方法【2 0 】。统计迭代图像重建方法中以期望最大化算法 ( e x p e c t a t i o n - m a x i m i z a t i o n ，e m ) 算法【2 1 ，2 2 1 为代表，其他还有o s e m 等改进的统计 迭代算法。a r t 尤其适宜于处理相容但不完备投影数据下的c t 图像重建问题，是c t 不完全数据图像重建领域应用最为广泛的迭代算法。而e m 算法则是一种数理统计的 方法，更好地刻画了c t 成像的物理机理和x 射线的光子本性。迭代重建的缺点是重 建速度慢，占用内存大。但随着计算机技术的飞速发展，迭代法的缺点将不再明显， 而它的优点所需投影数少，较简单灵活等将更为突出。因此，本课题在深入研究迭 代重建算法的基础上提出解决不完全投影数据重建的新的迭代方法。 3 1 2 迭代图像重建的基本问题及原理 迭代图像重建算法与前述变换法的最大区别在于一开始就把连续的图像 f ( x ，y ) 进行离散化，把整个图像区域划分为j = 刀珂个有限个像素，每个像素内部 的灰度值视为常数，这样就可以用一个j 维矢量来表示该重建物体的图像。用透射 2 l 山东大学硕士学位论文 力强的射线对物体进行扫描，根据射线的衰减值测量得到投影数据，不妨用矢量p 表示它的投影。如图3 1 所示。 图3 - l 迭代重建的原理图 这里把射线看作宽为r 的粗线( 常取f 等于像素宽度6 ) 。这条粗线覆盖像素 的一部分面积。它是像素面积的一个分数。该分数乘以这个像素的像素值x 就是像 素对所述射线投影的贡献。例如图中号像素的像素值( 或为灰度，或为密度) 为 x ，号射线与号像素重迭的面积与像素的面积之比为m ，称为加权因子。于是像 素，对射线f 的投影的贡献为 p o = ( 3 - 1 ) f 号射线还经过其他像素，其总的射线投影为所有像素对f 条射线投影贡献的和 n = 岛= _ ( 3 - 2 ) ji 用矩阵表示为p = w x ，p 表示投影